“Çoklular” konusu 5. sınıfta işleniyor ortaokul. Amacı yazılı ve sözlü matematiksel hesaplama becerilerini geliştirmektir. Bu derste yeni kavramlar tanıtılıyor - “katlı sayılar” ve “bölenler”, bir doğal sayının bölenlerini ve katlarını bulma tekniği ve LCM'yi çeşitli yollarla bulma yeteneği uygulanmaktadır.

Bu konu çok önemlidir. Kesirli örnekleri çözerken bu bilgi uygulanabilir. Bunu yapmak için bulmanız gerekir ortak payda en küçük ortak katı (LCM) hesaplayarak.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir tamsayıdır.

Her doğal sayının sonsuz sayıda katı vardır. Kendisi en küçük olarak kabul edilir. Kat, sayının kendisinden küçük olamaz.

125 sayısının 5 sayısının katı olduğunu kanıtlamanız gerekiyor. Bunun için ilk sayıyı ikinciye bölmeniz gerekiyor. 125, 5'e kalansız bölünüyorsa cevap evettir.

Bu yöntem küçük sayılar için geçerlidir.

LOC hesaplanırken özel durumlar vardır.

1. Biri (80) diğerine (20) bölünebilen 2 sayının (örneğin 80 ve 20) ortak katını bulmanız gerekiyorsa, bu sayı (80) bunların en küçük katıdır. iki sayı.

LCM(80, 20) = 80.

2. Eğer ikisinin ortak böleni yoksa, onların LCM'lerinin bu iki sayının çarpımı olduğunu söyleyebiliriz.

LCM(6, 7) = 42.

Son örneğe bakalım. 6 ve 7'nin 42 ile ilişkisi bölenlerdir. Bir sayının katlarını kalansız bölerler.

Bu örnekte 6 ve 7 eşleştirilmiş faktörlerdir. Çarpımları en çok çarpan sayıya (42) eşittir.

Bir sayı yalnızca kendisine veya 1'e (3:1=3; 3:3=1) bölünebiliyorsa asal sayı olarak adlandırılır. Geri kalanlara kompozit denir.

Başka bir örnek, 9'un 42'nin böleni olup olmadığının belirlenmesini içerir.

42:9=4 (kalan 6)

Cevap: 9, 42'nin böleni değildir çünkü cevabın bir kalanı vardır.

Bölen, bölenin doğal sayıların bölündüğü sayı olması ve katın kendisinin bu sayıya bölünmesiyle bir çarpandan farklıdır.

En büyük ortak bölen sayılar A Ve B, en küçük katlarıyla çarpıldığında sayıların çarpımını verir A Ve B.

Yani: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Daha karmaşık sayıların ortak katları aşağıdaki şekilde bulunur.

Örneğin 168, 180, 3024'ün LCM'sini bulun.

Bu sayıları asal çarpanlara ayırıp kuvvetlerin çarpımı olarak yazıyoruz:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Bölünebilirlik işaretleri doğal sayılar.

2'ye kalansız bölünebilen sayılara denireşit .

2'ye tam olarak bölünemeyen sayılara denirgarip .

2'ye bölünebilme testi

Bir doğal sayının sonu çift rakamla bitiyorsa bu sayı 2'ye kalansız bölünür, bir sayı tek rakamla bitiyorsa bu sayı 2'ye tam olarak bölünemez.

Örneğin 6 sayısı0 , 30 8 , 8 4 2'ye kalansız bölünebilen sayılar 5'tir1 , 8 5 , 16 7 2'ye kalansız bölünmez.

3'e bölünebilme testi

Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa sayı 3'e bölünür; Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünemiyorsa sayı 3'e de bölünmez.

Örneğin 2772825 sayısının 3'e bölünüp bölünmediğini bulalım. Bunun için bu sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3'e bölünebilir. Bu, 2772825 sayısının 3'e bölünebildiği anlamına gelir.

5'e bölünebilme testi

Bir doğal sayının kaydı 0 veya 5 rakamıyla bitiyorsa bu sayı 5'e kalansız bölünür. Bir sayının kaydı başka bir rakamla bitiyorsa sayı 5'e kalansız bölünemez.

Örneğin 1 sayısı5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 5'e kalansız bölünebilir ve sayılar 1'dir7 , 37 8 , 9 1 paylaşmayın.

9'a bölünebilme testi

Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünüyorsa sayı 9'a bölünür; Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünemiyorsa sayı 9'a da bölünemez.

Örneğin 5402070 sayısının 9'a bölünüp bölünmediğini bulalım. Bunun için bu sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9'a bölünmez Bu, 5402070 sayısının 9'a bölünemediği anlamına gelir.

10'a bölünebilme testi

Bir doğal sayının sonu 0 rakamıyla bitiyorsa bu sayı 10'a kalansız bölünür. Bir doğal sayı başka bir rakamla bitiyorsa 10'a tam olarak bölünemez.

Örneğin 4 sayısı0 , 17 0 , 1409 0 10'a kalansız bölünebilir ve 1 sayıları7 , 9 3 , 1430 7 - paylaşmayın.

En büyük ortak böleni (GCD) bulma kuralı.

Birkaç doğal sayının en büyük ortak bölenini bulmak için yapmanız gerekenler:

2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;

3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.

Örnek. OBEB'yi (48;36) bulalım. Kuralı kullanalım.

1. 48 ve 36 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. 48 sayısının açılımında yer alan faktörlerden 36 sayısının açılımında yer almayanları çıkarıyoruz.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Geriye kalan çarpanlar 2, 2 ve 3'tür.

3. Geriye kalan çarpanları çarpın ve 12 değerini elde edin. Bu sayı, 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

En küçük ortak katı (LCM) bulma kuralı.

Birkaç doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için yapmanız gerekenler:

1) bunları asal faktörlere ayırın;

2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;

3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;

4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

Örnek. LOC'yi (75;60) bulalım. Kuralı kullanalım.

1. 75 ve 60 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. 75 sayısının açılımına dahil olan çarpanları yazalım: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Onlara 60 sayısının açılımındaki eksik faktörleri ekleyin; 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

İki veya daha fazla sayının en küçük ortak katını incelemeye başlayalım. Bu bölümde terimi tanımlayacağız, en küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki bağlantıyı kuran teoremi ele alacağız ve problem çözme örnekleri vereceğiz.

Ortak katlar – tanım, örnekler

Bu konuda sadece sıfır dışındaki tam sayıların ortak katlarıyla ilgileneceğiz.

Tanım 1

Tam sayıların ortak katı verilen tüm sayıların katı olan bir tamsayıdır. Aslında verilen sayılardan herhangi birine bölünebilen herhangi bir tam sayıdır.

Ortak katların tanımı iki, üç veya daha fazla tam sayıyı ifade eder.

Örnek 1

Yukarıda verilen tanıma göre 12 sayısının ortak katları 3 ve 2'dir. Ayrıca 12 sayısı 2, 3 ve 4 sayılarının ortak katı olacaktır. 12 ve -12 sayıları ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 sayılarının ortak katlarıdır.

Aynı zamanda, 2 ve 3 sayılarının ortak katı 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 sayıları ve bir dizi başka sayı olacaktır.

Bir çiftin ilk sayısına bölünebilen ve ikincisine bölünmeyen sayıları alırsak, bu sayılar ortak kat olmayacaktır. Yani 2 ve 3 sayıları için 16, − 27, 5009, 27001 sayıları ortak kat olmayacaktır.

0, sıfır dışındaki herhangi bir tam sayı kümesinin ortak katıdır.

Bölünebilme özelliğini hatırlarsak zıt sayılar, o zaman bazı k tamsayılarının, tıpkı - k sayısı gibi, bu sayıların ortak katı olacağı ortaya çıkar. Bu, ortak bölenlerin pozitif veya negatif olabileceği anlamına gelir.

Tüm numaraların LCM'sini bulmak mümkün mü?

Herhangi bir tam sayının ortak katı bulunabilir.

Örnek 2

Diyelim ki bize verildi k tamsayılar a 1 , a 2 , … , a k. Sayıları çarptığımızda elde ettiğimiz sayı a 1 · a 2 · … · a k bölünebilme özelliğine göre orijinal üründe yer alan faktörlerin her birine bölünecektir. Bu, sayıların çarpımı anlamına gelir a 1 , a 2 , … , a k bu sayıların en küçük ortak katıdır.

Bu tamsayıların kaç tane ortak katı olabilir?

Bir tam sayı grubunun çok sayıda ortak katı olabilir. Aslında sayıları sonsuzdur.

Örnek 3

Diyelim ki elimizde bir k sayısı var. O zaman z'nin bir tam sayı olduğu k · z sayılarının çarpımı, k ve z sayılarının ortak katı olacaktır. Sayıların sayısı sonsuz olduğuna göre ortak katların sayısı da sonsuzdur.

En Küçük Ortak Kat (LCM) – Tanım, Gösterim ve Örnekler

En küçük sayı kavramını hatırlayalım. verilen set Tam Sayıları Karşılaştırma bölümünde incelediğimiz sayılar. Bu kavramı dikkate alarak, tüm ortak katlar arasında pratik açıdan en büyük öneme sahip olan en küçük ortak katın tanımını formüle ediyoruz.

Tanım 2

Verilen tam sayıların en küçük ortak katı bu sayıların en küçük pozitif ortak katıdır.

Verilen sayıların herhangi bir sayısı için bir en küçük ortak kat mevcuttur. Referans literatüründe kavramın en yaygın kullanılan kısaltması NOC'dir. Sayıların en küçük ortak katının kısa gösterimi a 1 , a 2 , … , a k LOC formuna sahip olacak (bir 1, bir 2,…, bir k).

Örnek 4

6 ve 7'nin en küçük ortak katı 42'dir. Onlar. LCM(6, 7) = 42. 2, 12, 15 ve 3 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır. Kısa bir gösterim LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60 gibi görünecektir.

Verilen sayıların tüm grupları için en küçük ortak kat açık değildir. Çoğu zaman hesaplanması gerekir.

NOC ve GCD arasındaki ilişki

En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen birbiriyle ilişkilidir. Kavramlar arasındaki ilişki teorem ile kurulur.

Teorem 1

İki pozitif tamsayı a ve b'nin en küçük ortak katı, a ve b'nin çarpımının a ve b'nin en büyük ortak bölenine bölünmesine eşittir, yani LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) ).

Kanıt 1

Diyelim ki elimizde a ve b sayılarının katı olan bir M sayısı var. M sayısı a'ya bölünebiliyorsa z tam sayısı da vardır. , eşitliğin doğru olduğu koşullar altında M = a k. Bölünebilirlik tanımına göre M şuna bölünebilir: B, Daha sonra a · k bölünmüş B.

Eğer gcd (a, b) için yeni bir gösterim eklersek: D, o zaman eşitlikleri kullanabiliriz a = a 1 d ve b = b 1 · d. Bu durumda her iki eşitlik de göreceli asal sayılar olacaktır.

Yukarıda zaten belirledik a · k bölünmüş B. Şimdi bu koşul şu şekilde yazılabilir:
1 gün bölünmüş b 1 gün koşuluna eşdeğerdir 1 bin bölünmüş b 1 Bölünebilme özelliklerine göre.

Eş asal sayıların özelliğine göre; 1 Ve b 1– eş asal sayılar, 1 bölünemez b 1 buna rağmen 1 bin bölünmüş b 1, O b 1 paylaşılmalıdır k.

Bu durumda bir sayının var olduğunu varsaymak doğru olacaktır. T, bunun için k = b 1 t ve o zamandan beri b 1 = b: d, O k = b: d t.

Şimdi bunun yerine k eşitliğin yerine koyalım M = a k formun ifadesi b: d t. Bu eşitliği sağlamamızı sağlar M = a b: d t. Şu tarihte: t = 1 a ve b'nin en küçük pozitif ortak katını alabiliriz , eşit bir b: d a ve b sayıları şartıyla Olumlu.

Böylece LCM (a, b) = a · b: OBEB olduğunu kanıtladık (a, b).

LCM ile GCD arasında bir bağlantı kurmak, verilen iki veya daha fazla sayının en büyük ortak böleni aracılığıyla en küçük ortak katı bulmanızı sağlar.

Tanım 3

Teoremin iki önemli sonucu vardır:

• iki sayının en küçük ortak katının katları, bu iki sayının ortak katlarıyla aynıdır;
• karşılıklı asal pozitif sayılar a ve b'nin en küçük ortak katı, çarpımlarına eşittir.

Bu iki gerçeği kanıtlamak zor değil. a ve b sayılarının herhangi bir ortak katı, bir t tamsayı değeri için M = LCM (a, b) · t eşitliği ile tanımlanır. a ve b göreceli olarak asal olduğundan, gcd (a, b) = 1 olur, dolayısıyla gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı

Birkaç sayının en küçük ortak katını bulmak için iki sayının LCM'sini sırayla bulmak gerekir.

Teorem 2

Diyelim ki a 1 , a 2 , … , a k bazı pozitif tam sayılardır. LCM'yi hesaplamak için m k bu sayıları sırayla hesaplamamız gerekiyor m2 = LCM(a 1 , a 2) , m3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Kanıt 2

Bu konuda tartışılan ilk teoremin ilk sonucu, ikinci teoremin geçerliliğini kanıtlamamıza yardımcı olacaktır. Gerekçe aşağıdaki algoritmaya dayanmaktadır:

• sayıların ortak katları 1 Ve bir 2 LCM'lerinin katlarıyla çakışırlar, aslında sayının katlarıyla çakışırlar m2;
• sayıların ortak katları 1, bir 2 Ve 3 m2 Ve 3 m3;
• sayıların ortak katları a 1 , a 2 , … , a k sayıların ortak katlarıyla çakışmak m k - 1 Ve bir k bu nedenle sayının katlarıyla çakışır m k;
• sayının en küçük pozitif katının olması nedeniyle m k sayının kendisi mi m k, ardından sayıların en küçük ortak katı a 1 , a 2 , … , a köyle m k.

Teoremi bu şekilde kanıtladık.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Çevrimiçi hesap makinesi, iki veya herhangi başka sayıda sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.

GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi

GCD ve LOC'yi bulun

Bulunan GCD ve LOC: 6433

Hesap makinesi nasıl kullanılır?

• Giriş alanına sayıları girin
• Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
• "GCD ve LCM'yi Bul" düğmesini tıklayın

Sayılar nasıl girilir

• Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
• Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil

GCD ve NOC nedir?

En büyük ortak bölen birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En az ortak kat birkaç sayı var en küçük sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.

Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler

1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Son rakama bakıyoruz: 8 - bu, sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.

2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı üçe bölünüyor.

3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.

4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.

İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının gcd'si nasıl bulunur

En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.

Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:

1. Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
3. Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

İki sayının LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.

LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:

1. 28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
2. OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bu amaçla en büyük ortak bölen için bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrılır ve ortak çarpanların çarpımı bulunur. asal faktörler bu sayılar. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).

Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.

1. Öncelikle sayıları çarpanlarına ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
3. Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
4. Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
5. Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

“LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler” bölümünde başlattığımız en küçük ortak kat hakkındaki sohbete devam edelim. Bu konu başlığımızda üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın yollarına bakacağız ve negatif bir sayının LCM'si nasıl bulunur sorusuna bakacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurmuştuk. Şimdi GCD aracılığıyla LCM'nin nasıl belirleneceğini öğrenelim. Öncelikle pozitif sayılar için bunu nasıl yapacağımızı bulalım.

Tanım 1

LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) formülünü kullanarak en büyük ortak bölenden en küçük ortak katı bulabilirsiniz.

Örnek 1

126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

a = 126, b = 70'i alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için değerleri formüle koyalım.

70 ve 126 sayılarının gcd'sini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolayısıyla GCD (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayalım: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM(126, 70) = 630.

Örnek 2

68 ve 34 sayısını bulun.

Çözüm

GCD girişi bu durumda 68, 34'e bölünebildiği için bu zor değil. En küçük ortak katı şu formülü kullanarak hesaplayalım: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katını bulma kuralını kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

Şimdi sayıları asal çarpanlara ayırmaya dayanan LCM'yi bulma yöntemine bakalım.

Tanım 2

En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:

• LCM'yi bulmamız gereken sayıların tüm asal faktörlerinin çarpımını oluştururuz;
• ortaya çıkan ürünlerden tüm asal faktörleri hariç tutuyoruz;
• ortak asal faktörleri çıkardıktan sonra elde edilen ürün, verilen sayıların LCM'sine eşit olacaktır.

En küçük ortak katı bulmanın bu yöntemi, LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının ayrışmasına katılan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda iki sayının gcd'si, bu iki sayının çarpanlara ayrılmasında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.

Örnek 3

75 ve 210 olmak üzere iki sayımız var. Bunları şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm faktörlerinin çarpımını oluşturursanız şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 sayılarının ortak çarpanlarını hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir çarpım elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürünümüz 75 ve 210 numaralar için LCM olacaktır.

Örnek 4

Sayıların LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıyoruz.

Çözüm

Koşulda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7.

Bu sayıların ayrıştırılmasına katılan tüm faktörlerin çarpımı şu şekilde olacaktır: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak faktörleri bulalım. Bu 7 numara. Bunu toplam üründen hariç tutalım: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LOC(441, 700) = 44,100.

Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin başka bir formülasyonunu verelim.

Tanım 3

Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısını hariç tutuyorduk. Şimdi bunu farklı şekilde yapacağız:

• Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
• birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
• iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ederiz.

Örnek 5

Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ve faktörlerin çarpımına 5 75 sayısı eksik faktörleri topluyor 2 Ve 7 Sayılar 210. Şunu elde ederiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.

Örnek 6

84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.

Çözüm

Koşuldaki sayıları basit çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Çarpıma 2, 2, 3 ve 3 çarpanlarını ekleyelim. 7 sayı 84'te 2, 3, 3 ve 3'ün çarpanları eksik
3 648 numara. Ürünü alıyoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 648) = 4,536.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Kaç sayıyla uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: iki sayının LCM'sini sırayla bulacağız. Bu durum için bir teorem var.

Teorem 1

Tamsayılarımız olduğunu varsayalım a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu sayılar sırasıyla m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesaplanarak bulunur.

Şimdi teoremin belirli problemleri çözmek için nasıl uygulanabileceğine bakalım.

Örnek 7

140, 9, 54 ve 4 sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir. 250 .

Çözüm

Şu gösterimi tanıtalım: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9)'u hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının OBEB'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını uygulayalım: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Şunu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, OBEB (140, 9) = 140 9: OBEB (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dolayısıyla m2 = 1.260.

Şimdi aynı algoritmayı kullanarak hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.

Sadece m4 = LCM (m3, a4) = LCM (3 780, 250) hesaplamamız gerekiyor. Aynı algoritmayı takip ediyoruz. m4 = 94 500 elde ederiz.

Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.

Cevap: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Gördüğünüz gibi hesaplamalar basit ama oldukça emek yoğun. Zamandan tasarruf etmek için başka bir yola gidebilirsiniz.

Tanım 4

Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:

• tüm sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz;
• birinci sayının çarpanlarının çarpımına ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekliyoruz;
• önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının vb. eksik faktörlerini ekliyoruz;
• ortaya çıkan çarpım, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.

Örnek 8

84, 6, 48, 7, 143 numaralı beş sayının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

Beş sayının tümünü asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Asal sayılar 7 sayısı asal çarpanlara ayrılamaz. Bu sayılar asal faktörlere ayrıştırılmalarıyla örtüşmektedir.

Şimdi 84 sayısının 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alıp bunlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının çarpımındadır. Bu nedenle bunları atlıyoruz.

Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. Asal çarpanları 2 ile 2'nin çarpımından aldığımız 48 sayısına geçelim. Daha sonra dördüncü sayıdan 7'nin asal çarpanını ve beşincinin 11 ve 13'ünün çarpanlarını toplarız. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, orijinal beş sayının en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Negatif sayıların en küçük ortak katını bulma

En küçük ortak katı bulmak için negatif sayılar, bu sayıların önce sayılarla değiştirilmesi gerekir karşıt işaret ve ardından yukarıdaki algoritmaları kullanarak hesaplamaları gerçekleştirin.

Örnek 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ve LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Bu tür eylemlere izin verilir çünkü eğer bunu kabul edersek A Ve - bir– zıt sayılar,
daha sonra bir sayının katları kümesi A bir sayının katları kümesiyle eşleşir - bir.

Örnek 10

Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 Ve − 45 .

Çözüm

Sayıları değiştirelim − 145 Ve − 45 zıt sayılarına 145 Ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, daha önce Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi belirleyerek LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305'i hesaplıyoruz.

Sayıların LCM'sinin -145 olduğunu anlıyoruz ve − 45 eşittir 1 305 .

Cevap: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.