Okul çocuklarına matematikte birçok görev verilir. Bunlar arasında sıklıkla aşağıdaki formülasyonla ilgili sorunlar vardır: iki anlam vardır. Verilen sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur? Edinilen beceriler kesirlerle çalışmak için kullanıldığından, bu tür görevleri yerine getirebilmek gerekir. farklı paydalar. Bu yazımızda LOC nasıl bulunur ve temel kavramlara bakacağız.

LCM nasıl bulunur sorusunun cevabını bulmadan önce çoklu terimini tanımlamanız gerekir.. Çoğu zaman, bu kavramın formülasyonu şu şekildedir: Belirli bir A değerinin katı, A'ya kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır. Yani 4'ün katları 8, 12, 16, 20 olacaktır. vb. gerekli sınıra kadar.

Ayrıca, belirli bir değere ait bölenlerin sayısı sınırlı olabilir, ancak katları sonsuz sayıdadır. Doğal değerler için de aynı değer vardır. Bu, kalansız olarak kendilerine bölünen bir göstergedir. Belirli göstergeler için en küçük değer kavramını anladıktan sonra onu nasıl bulacağımıza geçelim.

NOC'yi bulmak

İki veya daha fazla üssün en küçük katı, belirtilen tüm sayılara tamamen bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

Böyle bir değeri bulmanın birkaç yolu vardır, aşağıdaki yöntemleri göz önünde bulundurun:

1. Sayılar küçükse, ona bölünebilenlerin hepsini bir çizgiye yazın. Aralarında ortak bir nokta bulana kadar bunu yapmaya devam edin. Yazılı olarak K harfiyle gösterilirler. Örneğin 4 ve 3'ün en küçük katı 12'dir.
2. Bunlar büyükse veya 3 veya daha fazla değerin katlarını bulmanız gerekiyorsa, sayıları parçalara ayırmayı içeren başka bir teknik kullanmalısınız. asal faktörler. Önce listelenen en büyüğünü, sonra diğerlerini düzenleyin. Her birinin kendi çarpan sayısı vardır. Örnek olarak 20 (2*2*5) ve 50 (5*5*2) sayılarını ayrıştıralım. Küçük olan için faktörlerin altını çizip en büyüğüne ekleyin. Sonuç, yukarıdaki sayıların en küçük ortak katı olan 100 olacaktır.
3. 3 sayıyı (16, 24 ve 36) bulurken prensipler diğer ikisiyle aynıdır. Her birini genişletelim: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. En büyüğünün açılımına 16 sayısının açılımından sadece iki ikiyi dahil etmiyoruz ve daha önce belirttiğimiz sayısal değerler için en küçük sonuç olan 144'ü elde ediyoruz.

Artık iki, üç veya daha fazla değer için en küçük değeri bulmak için genel tekniğin ne olduğunu biliyoruz. Ancak özel yöntemler de var, öncekiler yardımcı olmazsa NOC'yi aramaya yardımcı olur.

GCD ve NOC nasıl bulunur?

Özel bulma yöntemleri

Herhangi bir matematik bölümünde olduğu gibi, belirli durumlarda yardımcı olan LCM bulmanın özel durumları vardır:

• sayılardan biri diğerlerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük katı ona eşittir (60 ve 15'in LCM'si 15'tir);
• karşılıklı asal sayılar ortak asal çarpanları yoktur. En küçük değerleri bu sayıların çarpımına eşittir. Böylece 7 ve 8 sayıları için 56;
• aynı kural, özel literatürde okunabilecek özel durumlar da dahil olmak üzere diğer durumlar için de geçerlidir. Bu aynı zamanda bireysel makalelerin ve hatta aday tezlerin konusu olan bileşik sayıların ayrıştırılması durumlarını da içermelidir.

Özel durumlar daha az yaygındır standart örnekler. Ancak onlar sayesinde, değişen karmaşıklık derecelerindeki kesirlerle çalışmayı öğrenebilirsiniz. Bu özellikle kesirler için geçerlidir eşit olmayan paydaların olduğu yer.

Birkaç örnek

En küçük katı bulma ilkesini anlamanıza yardımcı olacak birkaç örneğe bakalım:

1. LOC'yi (35; 40) bulun. Önce 35 = 5*7'yi, sonra 40 = 5*8'i ayrıştırıyoruz. En küçük sayıya 8 ekleyin ve LOC 280'i elde edin.
2. NOC (45; 54). Her birini ayrıştırıyoruz: 45 = 3*3*5 ve 54 = 3*3*6. 6 sayısını 45'e ekliyoruz. 270'e eşit bir LCM elde ediyoruz.
3. Peki son örnek. 5 ve 4 var. Bunların asal katları yok, dolayısıyla bu durumda en küçük ortak kat bunların çarpımı olacak ve bu da 20'ye eşit olacak.

Örnekler sayesinde NOC'nin nasıl konumlandığını, nüansların neler olduğunu ve bu tür manipülasyonların anlamının ne olduğunu anlayabilirsiniz.

NOC'yi bulmak başlangıçta göründüğünden çok daha kolaydır. Bunu yapmak için hem basit genişletme hem de çarpma kullanılır basit değerler birbirinin üstüne. Matematiğin bu bölümüyle çalışabilme yeteneği, matematiksel konuların, özellikle de değişen karmaşıklık derecelerindeki kesirlerin daha fazla incelenmesine yardımcı olur.

Periyodik olarak örnekleri çözmeyi unutmayın çeşitli yöntemler Bu, mantıksal aygıtı geliştirir ve çok sayıda terimi hatırlamanıza olanak tanır. Böyle bir üssü nasıl bulacağınızı öğrenirseniz, matematik bölümlerinin geri kalanında başarılı olabilirsiniz. Mutlu matematik öğrenme!

Video

Bu video en az ortak katı nasıl bulacağınızı anlamanıza ve hatırlamanıza yardımcı olacaktır.

İkinci sayı: b=

Bin ayırıcı Boşluk ayırıcı olmadan "'

Sonuç:

En büyük ortak bölen GCD( A,B)=6

LCM'nin en küçük ortak katı( A,B)=468

a ve b sayılarına kalansız bölünebilen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen(GCD) bu sayıların. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) veya hcf(a,b) ile gösterilir.

En az ortak katİki a ve b tam sayısının LCM'si, a ve b'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. LCM(a,b) veya lcm(a,b) ile gösterilir.

a ve b tam sayılarına denir karşılıklı olarak asal+1 ve -1 dışında ortak bölenleri yoksa.

En büyük ortak bölen

İki tane verilsin pozitif sayılar A 1 ve A 2 1). Bu sayıların ortak bölenini bulmak gerekiyor yani. böyle bir numara bul λ sayıları bölen A 1 ve A 2 aynı anda. Algoritmayı açıklayalım.

1) Bu yazıda sayı kelimesi tam sayı olarak anlaşılacaktır.

İzin vermek A 1 ≥ A 2 ve izin ver

Nerede M 1 , A 3 bazı tam sayılardır, A 3 <A 2 (bölmenin geri kalanı A başına 1 A 2 daha az olmalı A 2).

Diyelim ki λ böler A 1 ve A 2 o zaman λ böler M 1 A 2 ve λ böler A 1 −M 1 A 2 =A 3 (“Sayıların bölünebilirliği. Bölünebilirlik testi” makalesinin 2. ifadesi). Buradan her ortak bölenin A 1 ve A 2 ortak bölendir A 2 ve A 3. Bunun tersi de geçerliyse λ ortak bölen A 2 ve A 3 o zaman M 1 A 2 ve A 1 =M 1 A 2 +A 3 de bölünebilir λ . Bu nedenle ortak bölen A 2 ve A 3 aynı zamanda bir ortak bölendir A 1 ve A 2. Çünkü A 3 <A 2 ≤A 1 ise sayıların ortak bölenini bulma probleminin çözümünü söyleyebiliriz. A 1 ve A 2 sayıların ortak bölenini bulma gibi daha basit bir probleme indirgenmiştir A 2 ve A 3 .

Eğer A 3 ≠0 ise bölebiliriz A 2 açık A 3. Daha sonra

,

Nerede M 1 ve A 4 bazı tam sayılardır, ( A Bölmeden kalan 4 A 2 açık A 3 (A 4 <A 3)). Benzer akıl yürütmeyle sayıların ortak bölenlerinin olduğu sonucuna varıyoruz. A 3 ve A 4, sayıların ortak bölenleriyle çakışır A 2 ve A 3 ve ayrıca ortak bölenlerle A 1 ve A 2. Çünkü A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sürekli azalan sayılardır ve aralarında sonlu sayıda tam sayı olduğundan A 2 ve 0, sonra bir adımda N, bölmenin geri kalanı A hayır A n+1 sıfıra eşit olacaktır ( A n+2 =0).

.

Her ortak bölen λ sayılar A 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların bölenidir A 2 ve A 3 , A 3 ve A 4 , .... A n ve A n+1 . Bunun tersi de doğrudur, sayıların ortak bölenleri A n ve A n+1 aynı zamanda sayıların bölenleridir A n−1 ve A N , .... , A 2 ve A 3 , A 1 ve A 2. Ancak sayıların ortak böleni A n ve A n+1 bir sayıdır A n+1 çünkü A n ve A n+1 şunlara bölünebilir: A n+1 (unutmayın A n+2 =0). Buradan A n+1 aynı zamanda sayıların bölenidir A 1 ve A 2 .

Numaraya dikkat edin A n+1 sayıların en büyük böleni A n ve A n+1 , en büyük bölenden beri A n+1 kendisidir A n+1 . Eğer A n+1 tam sayıların çarpımı olarak gösterilebilirse bu sayılar aynı zamanda sayıların ortak bölenleridir. A 1 ve A 2. Sayı A n+1 denir en büyük ortak bölen sayılar A 1 ve A 2 .

Sayılar A 1 ve A 2 pozitif ya da negatif sayı olabilir. Sayılardan biri sıfıra eşitse bu sayıların en büyük ortak böleni diğer sayının mutlak değerine eşit olacaktır. Sıfır sayıların en büyük ortak böleni tanımsızdır.

Yukarıdaki algoritma denir Öklid algoritmasıİki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için

İki sayının en büyük ortak bölenini bulma örneği

630 ve 434 numaralı iki sayının en büyük ortak bölenini bulun.

• Adım 1. 630 sayısını 434'e bölün. Geri kalan 196'dır.
• Adım 2. 434 sayısını 196'ya bölün. Geri kalan 42 olur.
• Adım 3. 196 sayısını 42'ye bölün. Geri kalan 28'dir.
• Adım 4. 42 sayısını 28'e bölün. Geri kalan 14'tür.
• Adım 5. 28 sayısını 14'e bölün. Geri kalan 0'dır.

5. adımda bölmeden kalan 0 olur. Dolayısıyla 630 ve 434 sayılarının en büyük ortak böleni 14'tür. 2 ve 7 sayılarının aynı zamanda 630 ve 434 sayılarının da bölenleri olduğuna dikkat edin.

Eş asal sayılar

Tanım 1. Sayıların en büyük ortak böleni olsun A 1 ve A 2 bire eşittir. Daha sonra bu numaralar çağrılır eş asal sayılar, ortak böleni yoktur.

Teorem 1. Eğer A 1 ve A 2 eş asal sayı ve λ bir sayı, ardından sayıların herhangi bir ortak böleni λa 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların ortak bölenidir λ Ve A 2 .

Kanıt. Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını düşünün A 1 ve A 2 (yukarıya bakın).

.

Teoremin koşullarına göre sayıların en büyük ortak böleni şu şekildedir: A 1 ve A 2 ve bu nedenle A n ve A n+1 eşittir 1. Yani A n+1 =1.

Bütün bu eşitlikleri şununla çarpalım: λ , Daha sonra

.

Ortak bölen olsun A 1 λ Ve A 2 evet δ . Daha sonra δ çarpan olarak dahil edilir A 1 λ , M 1 A 2 λ ve içinde A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (bkz. "Sayıların bölünebilirliği", Açıklama 2). Sonraki δ çarpan olarak dahil edilir A 2 λ Ve M 2 A 3 λ ve bu nedenle bir faktör olarak dahil edilmiştir. A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Bu şekilde akıl yürüterek, şuna ikna olduk: δ çarpan olarak dahil edilir A n−1 λ Ve M n−1 A N λ ve bu nedenle A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Çünkü A n+1 =1 ise δ çarpan olarak dahil edilir λ . Bu nedenle sayı δ sayıların ortak böleni λ Ve A 2 .

Teorem 1'in özel durumlarını ele alalım.

Sonuçlar 1. İzin vermek A Ve C Asal sayılar görecelidir B. Daha sonra onların ürünü ac göre asal bir sayıdır B.

Gerçekten mi. Teorem 1'den ac Ve B aynı ortak bölenlere sahip C Ve B. Ama sayılar C Ve B nispeten basit, yani tek bir ortak böleni var 1. Sonra ac Ve B ayrıca tek bir ortak bölen 1 var. Bu nedenle ac Ve B karşılıklı olarak basit.

Sonuçlar 2. İzin vermek A Ve B eş asal sayılar ve izin ver B böler tamam. Daha sonra B böler ve k.

Gerçekten mi. Onay koşulundan tamam Ve B ortak bir böleni var B. Teorem 1'e göre, B ortak bölen olmalı B Ve k. Buradan B böler k.

Sonuç 1 genelleştirilebilir.

Sonuçlar 3. 1. Sayıları bırakın A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sayıya göre asaldır B. Daha sonra A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, bu sayıların çarpımı sayıya göre asaldır B.

2. İki satırlık sayılarımız olsun

Öyle ki, birinci serideki her sayı, ikinci serideki her sayının oranında asaldır. Daha sonra ürün

Bu sayıların her birine bölünebilen sayıları bulmanız gerekir.

Bir sayı bölünebiliyorsa A 1, o zaman formu var sa 1 nerede S bir miktar. Eğer Q sayıların en büyük ortak böleni A 1 ve A 2, o zaman

Nerede S 1 bir tam sayıdır. Daha sonra

öyle sayıların en küçük ortak katları A 1 ve A 2 .

A 1 ve A 2 aralarında asalsa sayıların en küçük ortak katıdır A 1 ve A 2:

Bu sayıların en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor.

Yukarıdakilerden herhangi bir sayının katları olduğu sonucu çıkar A 1 , A 2 , A 3 sayının katı olmalı ε Ve A 3 ve geri. sayıların en küçük ortak katı olsun ε Ve A 3 evet ε 1. Daha sonra sayıların katları A 1 , A 2 , A 3 , A 4 sayının katı olmalı ε 1 ve A 4. sayıların en küçük ortak katı olsun ε 1 ve A 4 evet ε 2. Böylece sayıların tüm katlarının olduğunu öğrendik. A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m belirli bir sayının katlarıyla çakışıyor ε n'ye verilen sayıların en küçük ortak katı denir.

Sayıların olduğu özel durumda A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m göreceli olarak asaldır, bu durumda sayıların en küçük ortak katıdır A 1 , AŞekil 2, yukarıda gösterildiği gibi (3) formuna sahiptir. Sonraki, beri A Sayılara göre 3 asal A 1 , A 2 o zaman A 3 asal sayı A 1 · A 2 (Sonuç 1). Sayıların en küçük ortak katı anlamına gelir A 1 ,A 2 ,A 3 bir sayıdır A 1 · A 2 · A 3. Benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki ifadelere ulaşıyoruz.

İfade 1. Eş asal sayıların en küçük ortak katı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m onların çarpımına eşittir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

İfade 2. Eş asal sayıların her birine bölünebilen herhangi bir sayı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m aynı zamanda çarpımlarına da bölünebilir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

LCM (en az ortak kat) nasıl bulunur?

İki tam sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların her ikisine de kalan bırakmadan bölünebilen tam sayıların en küçüğüdür.

Yöntem 1. LCM'yi, verilen sayıların her biri için, elde edilen tüm sayıları 1, 2, 3, 4 vb. ile çarparak artan sırada yazarak bulabilirsiniz.

Örnek 6 ve 9 numaralar için.
6 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 6, 12, 18 , 24, 30
9 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 9, 18 , 27, 36, 45
Gördüğünüz gibi 6 ve 9 numaralarının LCM'si 18'e eşit olacaktır.

Bu yöntem, her iki sayı da küçük olduğunda ve bunları bir tam sayı dizisiyle çarpmanın kolay olduğu durumlarda kullanışlıdır. Ancak, iki basamaklı veya üç basamaklı sayılar için LCM'yi bulmanız gereken ve ayrıca üç veya daha fazla başlangıç ​​sayısının olduğu durumlar da vardır.

Yöntem 2. Orijinal sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulabilirsiniz.
Ayrıştırmadan sonra, ortaya çıkan asal faktör dizisinden aynı sayıların üzerini çizmek gerekir. İlk sayının kalan sayıları ikinciye çarpan, ikinci sayının kalan sayıları ise birinciye çarpan olacaktır.

Örnek 75 ve 60 sayıları için.
75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı, bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı basit çarpanlarına ayıralım:
75 = 3 * 5 * 5, bir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Gördüğünüz gibi her iki satırda da faktör 3 ve 5 görünüyor. Onları zihinsel olarak "üstünü çizeriz".
Bu sayıların her birinin açılımında yer alan kalan faktörleri yazalım. 75 sayısını ayrıştırırken 5 rakamı, 60 sayısını ayrıştırırken 2*2 kalıyor.
Yani 75 ve 60 sayılarının LCM'sini belirlemek için 75'in açılımından kalan sayıları (bu 5) 60 ile çarpmamız ve 60'ın açılımından kalan sayıları (bu 2) çarpmamız gerekiyor. * 2) 75'e. Yani, anlaşılmasını kolaylaştırmak için "çapraz" çarptığımızı söylüyoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 sayılarının LCM'sini bu şekilde bulduk. Bu 300 sayısıdır.

Örnek. 12, 16, 24 sayıları için LCM'yi belirleyin
Bu durumda eylemlerimiz biraz daha karmaşık olacaktır. Ama önce her zaman olduğu gibi tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi doğru bir şekilde belirlemek için, tüm sayıların en küçüğünü seçiyoruz (bu 12 sayısıdır) ve diğer sayı satırlarından en az birinde henüz aynı faktörle karşılaşırsak, bunların üstünü çizerek sırayla faktörlerini gözden geçiriyoruz. üzeri çizildi.

Adım 1. Tüm sayı dizilerinde 2*2'nin oluştuğunu görüyoruz. Hadi bunların üzerini çizelim.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Adım 2. 12 sayısının asal çarpanlarında sadece 3 sayısı kalıyor. Ancak 24 sayısının asal çarpanlarında mevcut. Her iki satırdan da 3 sayısını çiziyoruz, 16 sayısı için ise herhangi bir işlem yapmamıza gerek yok. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Gördüğünüz gibi 12 sayısını ayrıştırırken tüm sayıların üzerini çizdik. Bu, LOC bulmanın tamamlandığı anlamına gelir. Geriye kalan tek şey değerini hesaplamak.
12 sayısı için 16 sayısının kalan çarpanlarını alın (bir sonraki artan sırada)
12 * 2 * 2 = 48
Burası NOC

Gördüğünüz gibi bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu ancak üç veya daha fazla sayı için bulmanız gerektiğinde bu yöntem bunu daha hızlı yapmanızı sağlar. Ancak LCM'yi bulmanın her iki yöntemi de doğrudur.

En küçük ortak katı bulmanın üç yoluna bakalım.

Çarpanlara ayırma yoluyla bulma

İlk yöntem, verilen sayıları asal çarpanlarına ayırarak en küçük ortak katı bulmaktır.

Diyelim ki 99, 30 ve 28 sayılarının LCM'sini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için bu sayıların her birini asal çarpanlara ayıralım:

İstenilen sayının 99, 30 ve 28'e bölünebilmesi için bu bölenlerin tüm asal çarpanlarını içermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak için bu sayıların tüm asal çarpanlarını mümkün olan en büyük kuvvete alıp bunları birbiriyle çarpmamız gerekir:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Dolayısıyla LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860'tan küçük hiçbir sayı 99, 30 veya 28'e bölünemez.

Verilen sayıların en küçük ortak katını bulmak için, bunları asal çarpanlarına ayırırsınız, ardından her asal çarpanı göründüğü en büyük üsle alırsınız ve bu çarpanları birbiriyle çarparsınız.

Nispeten asal sayıların ortak asal çarpanları bulunmadığından en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin üç sayı: 20, 49 ve 33 aralarında asaldır. Bu yüzden

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Çeşitli asal sayıların en küçük ortak katını bulurken de aynı şey yapılmalıdır. Örneğin, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Seçime göre bulma

İkinci yöntem ise seçim yaparak en küçük ortak katı bulmaktır.

Örnek 1. Verilen sayıların en büyüğü başka bir sayıya bölündüğünde, bu sayıların LCM'si en büyüğüne eşittir. Örneğin dört sayı verilmiştir: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a bölünebilir, dolayısıyla:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Diğer durumlarda en küçük ortak katı bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:

1. Verilen sayılardan en büyüğünü belirleyiniz.
2. Daha sonra, en büyük sayının katları olan sayıları buluyoruz, bunu artan sırada doğal sayılarla çarpıyoruz ve elde edilen çarpımın kalan verilen sayılara bölünebilir olup olmadığını kontrol ediyoruz.

Örnek 2. 24, 3 ve 18 olmak üzere üç sayı verilmiştir. Bunların en büyüğünü belirleriz - bu 24 sayısıdır. Daha sonra, her birinin 18 ve 3'e bölünebilir olup olmadığını kontrol ederek 24'ün katları olan sayıları buluruz:

24 · 1 = 24 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.

24 · 2 = 48 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.

24 · 3 = 72 - 3 ve 18'e bölünebilir.

Böylece LCM (24, 3, 18) = 72 olur.

LCM'yi sırayla bularak bulma

Üçüncü yöntem, LCM'yi sırayla bularak en küçük ortak katı bulmaktır.

Verilen iki sayının LCM'si, bu sayıların çarpımının en büyük ortak bölenlerine bölünmesine eşittir.

Örnek 1. Verilen iki sayının LCM'sini bulun: 12 ve 8. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu sayıları çarpın:

Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:

Böylece LCM (12, 8) = 24 olur.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:

1. Öncelikle bu sayılardan herhangi ikisinin LCM'sini bulun.
2. Daha sonra bulunan en küçük ortak katın ve verilen üçüncü sayının LCM'si.
3. Daha sonra, elde edilen en küçük ortak katın ve dördüncü sayının LCM'si vb.
4. Böylece LCM arayışı sayılar olduğu sürece devam eder.

Örnek 2. Verilen üç sayının LCM'sini bulalım: 12, 8 ve 9. Önceki örnekte 12 ve 8 sayılarının LCM'sini zaten bulduk (bu 24 sayısıdır). Geriye 24 sayısının ve verilen üçüncü sayının - 9'un en küçük ortak katını bulmak kalır. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBE (24, 9) = 3. LCM'yi 9 sayısıyla çarpın:

Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:

Böylece LCM (12, 8, 9) = 72 olur.

Tanım. a ve b sayılarını kalansız olarak bölen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen (GCD) bu sayılar.

24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır; 35'in bölenleri ise 1, 5, 7, 35 sayılarıdır.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir karşılıklı olarak asal.

Tanım. Doğal sayılara denir karşılıklı olarak asal, eğer en büyük ortak bölenleri (GCD) 1 ise.

En Büyük Ortak Bölen (GCD) verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.

48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırdığımızda şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayılardan ilkinin açılımında yer alan faktörlerden, ikinci sayının açılımında yer almayanları (yani iki ikiyi) çıkarıyoruz.
Geriye kalan çarpanlar 2*2*3'tür. Çarpımları 12'dir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olur. Üç ve daha fazla sayının da en büyük ortak böleni bulunur.

Bulmak için en büyük ortak bölen

2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.

Verilen sayıların tümü bunlardan birine bölünebiliyorsa bu sayı en büyük ortak bölen verilen rakamlar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 15 sayısıdır, çünkü diğer tüm sayılar ona bölünebilir: 45, 75 ve 180.

En küçük ortak kat (LCM)

Tanım. En küçük ortak kat (LCM) a ve b doğal sayıları hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: 75 = 3 * 5 * 5 ve 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımında eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekleyelim (yani çarpanları birleştirelim).
Çarpımı 300 olan 2 * 2 * 3 * 5 * 5 şeklinde beş çarpan elde ederiz. Bu sayı, 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.

Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını da bulurlar.

İle en küçük ortak katları bul birkaç doğal sayıya ihtiyacınız var:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğunu unutmayın.
Örneğin 12, 15, 20 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır çünkü bu sayıların tümüne bölünebilir.

Pisagor (M.Ö. VI. yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit olan (sayı hariç) bir sayıya mükemmel sayı adını verdiler. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33,550,336'dır. Pisagorcular yalnızca ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. N. e. Beşincisi (33.550.336) 15. yüzyılda bulundu. 1983 yılına gelindiğinde 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak bilim adamları hala tek mükemmel sayıların mı yoksa en büyük mükemmel sayıların mı olduğunu bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da asal sayıların bir çarpımı olarak temsil edilebilmesinden kaynaklanmaktadır; yani. asal sayılar, diğer doğal sayıların inşa edildiği tuğlalar gibidir.
Muhtemelen doğal sayılar dizisindeki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - serinin bazı kısımlarında daha fazla, bazılarında ise daha az vardır. Ancak sayı dizisinde ne kadar ilerlersek, asal sayılar o kadar az yaygın olur. Şu soru ortaya çıkıyor: Son (en büyük) bir asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan “Elementler” adlı kitabında sonsuz sayıda asal sayının olduğunu, yani her asal sayının arkasında daha büyük bir asal sayının bulunduğunu kanıtladı. sayı.
Asal sayıları bulmak için aynı dönemdeki bir başka Yunan matematikçi Eratosthenes bu yöntemi ortaya attı. 1'den bir sayıya kadar tüm sayıları yazdı, sonra ne asal ne de bileşik sayı olan bir sayının üzerini çizdi, sonra 2'den sonra gelen tüm sayıların (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8, vb.). 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tü. Daha sonra ikiden sonra 3'ten sonra gelen tüm sayıların (3'ün katı olan sayılar yani 6, 9, 12 vb.) üzeri çizildi. sonunda yalnızca asal sayılar çaprazlanmadan kaldı.