Kesirler nasıl dönüştürülür? ortak payda

eğer sen sıradan kesirler aynı paydalara sahiplerse, o zaman şunu söylerler: kesirler ortak bir paydaya indirgenir.

Örnek 1

Örneğin, $\frac(3)(18)$ ve $\frac(20)(18)$ kesirleri aynı paydalara sahiptir. Ortak paydalarının 18$ olduğu söyleniyor. $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ ve $\frac(100)(29)$ kesirleri de aynı paydalara sahiptir. Ortak paydalarının 29$ olduğu söyleniyor.

Kesirlerin paydaları farklıysa ortak paydaya indirgenebilirler. Bunu yapmak için pay ve paydalarını belirli ek faktörlerle çarpmanız gerekir.

Örnek 2

İki kesir $\frac(6)(11)$ ve $\frac(2)(7)$ ortak bir paydaya nasıl indirgenir?

Çözüm.

$\frac(6)(11)$ ve $\frac(2)(7)$ kesirlerini sırasıyla $7$ ve $11$ ek çarpanlarıyla çarpalım ve bunları $77$ ortak paydasına getirelim:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

Böylece, Kesirleri ortak paydaya indirgemek verilen kesirlerin pay ve paydasının ek faktörlerle çarpılması sonucu aynı paydalara sahip kesirlerin elde edilmesidir.

Ortak payda

Tanım 1

Bazı kesirler kümesinin tüm paydalarının herhangi bir pozitif ortak katına denir. ortak payda.

Başka bir deyişle, verilen adi kesirlerin ortak paydası herhangi doğal sayı, verilen kesirlerin tüm paydalarına bölünebilir.

Tanım, belirli bir kesir kümesi için sonsuz sayıda ortak paydayı ima eder.

Örnek 3

$\frac(3)(7)$ ve $\frac(2)(13)$ kesirlerinin ortak paydalarını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları sırasıyla 7$ ve 13$'a eşittir. $2$ ve $5$'ın pozitif ortak katları $91, 182, 273, 364$ vb.'dir.

Bu sayılardan herhangi biri $\frac(3)(7)$ ve $\frac(2)(13)$ kesirlerinin ortak paydası olarak kullanılabilir.

Örnek 4

$\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ ve $\frac(11)(9)$ kesirlerinin $252$ ortak paydasına indirgenip indirgenemeyeceğini belirleyin.

Çözüm.

Bir kesri $252$ ortak paydasına nasıl dönüştüreceğinizi belirlemek için, $252$ sayısının $2, 7$ ve $9$ paydalarının ortak katı olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Bunu yapmak için $252$ sayısını her bir paydaya bölün:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

$252$ sayısı tüm paydalara bölünebilir; $2, 7$ ve $9$'ın ortak katıdır. Bu, verilen $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ ve $\frac(11)(9)$ kesirlerinin $252$ ortak paydasına indirgenebileceği anlamına gelir.

Cevap: Yapabilirsin.

En düşük ortak payda

Tanım 2

Verilen kesirlerin tüm ortak paydaları arasında en küçük doğal sayıyı ayırt edebiliriz. en düşük ortak payda.

Çünkü LOC – en küçük pozitif ortak bölen Verilen bir sayı kümesinde, verilen kesirlerin paydalarının LCM'si, verilen kesirlerin en küçük ortak paydasıdır.

Bu nedenle kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmak için bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulmanız gerekir.

Örnek 5

Verilen kesirler $\frac(4)(15)$ ve $\frac(37)(18)$'dır. En düşük ortak paydalarını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları $15$ ve $18$'dır. $15$ ve $18$ sayılarının LCM'si olarak en küçük ortak paydayı bulalım. Bunun için sayıların ayrıştırılmasını kullanıyoruz asal faktörler:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Cevap: 90$.

Kesirleri en düşük ortak paydaya indirgeme kuralı

Çoğu zaman cebir, geometri, fizik vb. problemlerini çözerken. Ortak kesirleri herhangi bir ortak payda yerine en küçük ortak paydaya indirgemek gelenekseldir.

Algoritma:

1. Verilen kesirlerin paydalarının LCM'sini kullanarak en küçük ortak paydayı bulun.
2. 2.Verilen kesirler için ek çarpanı hesaplayınız. Bunu yapmak için, bulunan en düşük ortak paydanın her kesrin paydasına bölünmesi gerekir. Ortaya çıkan sayı bu kesirin ek bir faktörü olacaktır.
3. Her kesrin payını ve paydasını bulunan ek faktörle çarpın.

Örnek 6

$\frac(4)(16)$ ve $\frac(3)(22)$ kesirlerinin en küçük ortak paydasını bulun ve her iki kesri de ona azaltın.

Çözüm.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için bir algoritma kullanalım.

$16$ ve $22$ sayılarının en küçük ortak katını hesaplayalım:

Paydaları basit faktörlere ayıralım: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

Her kesir için ek faktörleri hesaplayalım:

$176\div 16=11$ – $\frac(4)(16)$ kesri için;

$176\div 22=8$ – $\frac(3)(22)$ kesri için.

$\frac(4)(16)$ ve $\frac(3)(22)$ kesirlerinin pay ve paydalarını sırasıyla $11$ ve $8$ ek çarpanlarıyla çarpalım. Şunu elde ederiz:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

Her iki kesir de en düşük ortak payda olan $176$'a indirgenir.

Cevap: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Bazen en düşük ortak paydayı bulmak, bir dizi zaman alıcı hesaplama gerektirir ve bu da sorunun çözüm amacını haklı çıkarmayabilir. Bu durumda en çok kullanabilirsiniz basit yol– kesirleri, bu kesirlerin paydalarının çarpımı olan ortak bir paydaya indirgemek.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirmek için şunları yapmanız gerekir: 1) verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun; bu, en düşük ortak payda olacaktır. 2) yeni paydayı her kesrin paydasına bölerek her kesir için ek bir faktör bulun. 3) her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

Örnekler. Aşağıdaki kesirleri en küçük ortak paydalarına azaltın.

Paydaların en küçük ortak katını buluyoruz: LCM(5; 4) = 20, çünkü 20 hem 5'e hem de 4'e bölünebilen en küçük sayıdır. 1. kesir için ek bir 4 çarpanı bulun (20) : 5=4). 2. kesir için ek faktör 5'tir (20 : 4=5). 1. kesrin pay ve paydasını 4 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 20 ).

8, 4'e ve kendisine bölünebildiği için bu kesirlerin en küçük ortak paydası 8'dir. 1. kesir için ek faktör olmayacak (ya da bire eşit diyebiliriz), 2. kesir için ek çarpan 2 (8) : 4=2). 2. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 8 ).

Bu kesirler indirgenemez.

1. kesri 4, 2. kesri ise 2 azaltalım. ( sıradan kesirlerin azaltılmasına ilişkin örneklere bakın: Site Haritası → 5.4.2. Ortak kesirleri azaltma örnekleri). LOC'yi bulun(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. 1. kesrin ek çarpanı 5'tir (80 : 16=5). 2. kesrin ek çarpanı 4'tür (80 : 20=4). 1. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 4 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya ( 80 ).

En düşük ortak paydayı buluyoruz: BOH(5 ; 6 ve 15)=NOK(5 ; 6 ve 15)=30. 1. kesrin ek çarpanı 6'dır (30 : 5=6), 2. kesrin ek çarpanı 5'tir (30 : 6=5), 3. kesrin ek çarpanı 2'dir (30 : 15=2). 1. kesrin pay ve paydasını 6 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 3. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 30 ).

Sayfa 1/1 1

Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye ve bu konudaki problemleri çözmeye bakacağız. Ortak payda kavramını ve ek bir faktörü tanımlayalım, ortak paydayı hatırlayalım. asal sayılar. En düşük ortak payda (LCD) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için bir takım problemleri çözelim.

Konu: Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri farklı paydalar

Ders: Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek

Tekrarlama. Bir kesrin temel özelliği.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.

Örneğin bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Kesri elde ederiz. Bu işleme kesir indirgeme denir. Kesrin pay ve paydasını 2 ile çarparak da ters dönüşümü gerçekleştirebilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdiğimizi söylüyoruz. 2 sayısına ek faktör denir.

Çözüm. Bir kesir, verilen kesrin paydasının katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için pay ve paydası ek bir faktörle çarpılır.

1. Kesri payda 35'e düşürün.

35 sayısı 7'nin katıdır, yani 35 sayısı 7'ye kalansız bölünür. Bu, bu dönüşümün mümkün olduğu anlamına geliyor. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye böleriz. 5 elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarpın.

2. Kesri payda 18'e düşürün.

Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için yeni paydayı orijinal paydaya bölün. 3 elde ederiz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpın.

3. Kesri paydası 60 olacak şekilde azaltın.

60'ı 15'e bölmek ek bir faktör verir. 4'e eşittir. Pay ve paydayı 4 ile çarpın.

4. Kesri paydaya düşürün 24

Basit durumlarda yeni bir paydaya indirgeme zihinsel olarak gerçekleştirilir. Yalnızca ek faktörün orijinal kesrin biraz sağında ve üstünde bir parantez arkasında belirtilmesi gelenekseldir.

Bir kesirin paydası 15'e, bir kesrin paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası da 15'tir.

Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik açısından kesirler en küçük ortak paydalarına indirgenir. Verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.

Örnek. Kesirleri en düşük ortak paydaya azaltın.

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulalım. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesirlere ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya bölün. Üç, ilk kesir için ek bir faktör, iki ise ikinci için ek bir faktördür. Kesirleri payda 12'ye getirelim.

Kesirleri ortak paydaya getirdik, yani paydası aynı olan eşit kesirler bulduk.

Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için şunları yapmalısınız:

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;

İkinci olarak, en düşük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani. her kesir için ek bir faktör bulun.

Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

a) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En düşük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4, ikinci için ise 3'tür. Kesirleri payda 24'e indiririz.

b) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölersek sırasıyla 5 ve 3 elde edilir. Kesirleri payda 45'e indiririz.

c) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.

Bazen verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını sözlü olarak bulmak zor olabilir. Daha sonra asal çarpanlara ayırma kullanılarak ortak payda ve ek faktörler bulunur.

Kesirleri ortak bir paydaya azaltın.

60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının açılımını yazalım ve ikinci açılımda eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını toplayalım. 60'ı 14 ile çarpalım ve ortak paydası 840 olsun. Birinci kesrin ek çarpanı 14. İkinci kesrin ek çarpanı 5. Kesirleri ortak paydası olan 840'a getirelim.

Referanslar

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.

4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. -ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. -ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ve diğerleri: 5-6. Sınıflar için ders kitabı-muhatap. lise. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.

Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu dersten.

Ev ödevi

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (bağlantı bkz. 1.2)

Ödev: Sayı 297, Sayı 298, Sayı 300.

Diğer görevler: No. 270, No. 290

Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye ve bu konudaki problemleri çözmeye bakacağız. Ortak payda kavramını ve ek bir faktörü tanımlayalım ve göreceli asal sayıları hatırlayalım. En düşük ortak payda (LCD) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için bir takım problemleri çözelim.

Konu: Paydaları Farklı Kesirlerde Toplama ve Çıkarma

Ders: Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek

Tekrarlama. Bir kesrin temel özelliği.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.

Örneğin bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Kesri elde ederiz. Bu işleme kesir indirgeme denir. Kesrin pay ve paydasını 2 ile çarparak da ters dönüşümü gerçekleştirebilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdiğimizi söylüyoruz. 2 sayısına ek faktör denir.

Çözüm. Bir kesir, verilen kesrin paydasının katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için pay ve paydası ek bir faktörle çarpılır.

1. Kesri payda 35'e düşürün.

35 sayısı 7'nin katıdır, yani 35 sayısı 7'ye kalansız bölünür. Bu, bu dönüşümün mümkün olduğu anlamına geliyor. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye böleriz. 5 elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarpın.

2. Kesri payda 18'e düşürün.

Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için yeni paydayı orijinal paydaya bölün. 3 elde ederiz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpın.

3. Kesri paydası 60 olacak şekilde azaltın.

60'ı 15'e bölmek ek bir faktör verir. 4'e eşittir. Pay ve paydayı 4 ile çarpın.

4. Kesri paydaya düşürün 24

Basit durumlarda yeni bir paydaya indirgeme zihinsel olarak gerçekleştirilir. Yalnızca ek faktörün orijinal kesrin biraz sağında ve üstünde bir parantez arkasında belirtilmesi gelenekseldir.

Bir kesirin paydası 15'e, bir kesrin paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası da 15'tir.

Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik açısından kesirler en küçük ortak paydalarına indirgenir. Verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.

Örnek. Kesirleri en düşük ortak paydaya azaltın.

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulalım. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesirlere ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya bölün. Üç, ilk kesir için ek bir faktör, iki ise ikinci için ek bir faktördür. Kesirleri payda 12'ye getirelim.

Kesirleri ortak paydaya getirdik, yani paydası aynı olan eşit kesirler bulduk.

Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için şunları yapmalısınız:

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;

İkinci olarak, en düşük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani. her kesir için ek bir faktör bulun.

Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

a) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En düşük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4, ikinci için ise 3'tür. Kesirleri payda 24'e indiririz.

b) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölersek sırasıyla 5 ve 3 elde edilir. Kesirleri payda 45'e indiririz.

c) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.

Bazen verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını sözlü olarak bulmak zor olabilir. Daha sonra asal çarpanlara ayırma kullanılarak ortak payda ve ek faktörler bulunur.

Kesirleri ortak bir paydaya azaltın.

60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının açılımını yazalım ve ikinci açılımda eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını toplayalım. 60'ı 14 ile çarpalım ve ortak paydası 840 olsun. Birinci kesrin ek çarpanı 14. İkinci kesrin ek çarpanı 5. Kesirleri ortak paydası olan 840'a getirelim.

Referanslar

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.

4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. -ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. -ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ve diğerleri: Ortaokulun 5-6. sınıfları için ders kitabı-muhatap. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.

Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu dersten.

Ev ödevi

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (bağlantı bkz. 1.2)

Ödev: Sayı 297, Sayı 298, Sayı 300.

Diğer görevler: No. 270, No. 290