Formun çağrıldığı bir fonksiyon ikinci dereceden fonksiyon.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği – parabol.

Durumları ele alalım:

DURUMDA, KLASİK PARABOL

Yani , ,

Oluşturmak için x değerlerini formülde değiştirerek tabloyu doldurun:

Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1), vb. Açık koordinat uçağı(x'in değerlerini aldığımız adım ne kadar küçük olursa (içinde bu durumda adım 1) ve ne kadar çok x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:

Durumunu alırsak, yani eksene göre simetrik (oh) bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:

II DURUMU, “a” BİRİMDEN FARKLIDIR

, , alırsak ne olur? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

İlk resimde (yukarıya bakın), parabol tablosundaki (1;1), (-1;1) noktalarının (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğü açıkça görülmektedir. yani aynı değerlerle her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktalarında geçerli olacaktır. Resim 2 ve 3'te de benzer şekilde mantık yürütüyoruz.

Ve parabol parabolden "genişlediğinde":

Özetleyelim:

1)Katsayının işareti dalların yönünü belirler. Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlak değer katsayısı (modülü) parabolün “genişlemesinden” ve “sıkışmasından” sorumludur. Parabol ne kadar büyük olursa, parabol o kadar dar olur; |a| ne kadar küçükse, parabol o kadar geniş olur.

III DURUM, “C” GÖRÜNÜYOR

Şimdi oyuna girelim (yani durumu düşünün), formun parabollerini ele alacağız. Parabolün işarete bağlı olarak eksen boyunca yukarı veya aşağı kayacağını tahmin etmek zor değildir (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):

IV DURUM, “b” GÖRÜNÜYOR

Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Ne zaman eşit olmaktan vazgeçecek?

Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan şey tepe noktasını hesaplamak için formül: , .

Yani bu noktada ((0;0) noktasında olduğu gibi) yeni sistem koordinatlar) zaten yapabileceğimiz bir parabol oluşturacağız. Eğer durumla ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, bir yukarıya koyarız - ortaya çıkan nokta bizimdir (benzer şekilde sola bir adım, bir adım yukarı bizim noktamızdır); örneğin ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, iki yukarıya vb. koyarız.

Örneğin bir parabolün tepe noktası:

Şimdi anlaşılması gereken asıl şey, bu tepe noktasında parabol düzenine göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.

Bir parabol oluştururken tepe noktasının koordinatlarını bulduktan sonraAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:

1) parabol kesinlikle noktadan geçecektir . Gerçekten de formülde x=0 yerine şunu elde ederiz. Yani parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının ordinatı . Örneğimizde (yukarıda), parabol ordinatla noktasında kesişiyor, çünkü .

2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgi olduğundan parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde hemen (0; -2) noktasını alıp parabolün simetri eksenine göre simetrik oluşturuyoruz, parabolün geçeceği (4; -2) noktasını elde ediyoruz.

3) Eşitleyerek parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Diskriminant'a bağlı olarak bir (, ), iki ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) elde ederiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Bir önceki örnekte diskriminantın kökü tamsayı değil; oluştururken kökleri bulmamız pek mantıklı değil ama eksenle iki kesişim noktamızın olacağını açıkça görüyoruz (oh) (title="Rendered by QuickLaTeX.com'dan beri)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Öyleyse hadi çözelim

Formda verilmişse bir parabol oluşturma algoritması

1) dalların yönünü belirleyin (a>0 – yukarı, a<0 – вниз)

2) formülünü kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını buluruz.

3) serbest terimi kullanarak parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta oluştururuz (işaretlemenin kârsız olduğu unutulmamalıdır) bu nokta mesela, değer büyük olduğu için... bu noktayı atlıyoruz...)

4) Bulunan noktada - parabolün tepe noktasında (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) bir parabol inşa ediyoruz. If title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolün eksenle (oy) kesişme noktalarını (henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”) denklemi çözerek buluruz.

örnek 1

Örnek 2

Not 1. Parabol başlangıçta bize bazı sayıların bulunduğu formda verilmişse (örneğin,), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize tepe noktasının koordinatları zaten verilmiştir. Neden?

İkinci dereceden bir üç terimliyi alalım ve tam kareyi onun içinde yalnız bırakalım: Bakın, şunu anladık , . Sen ve ben daha önce bir parabolün tepe noktasına, yani şimdi adını vermiştik.

Örneğin, . Parabolün tepe noktasını düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün genişlediğini ('ye göre) anlıyoruz. Yani 1. noktayı uyguluyoruz; 3; 4; Bir parabol oluşturma algoritmasından 5 (yukarıya bakın).

Not 2. Parabol buna benzer bir biçimde verilirse (yani iki doğrusal faktörün çarpımı olarak sunulursa), o zaman parabolün eksen (öküz) ile kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda – (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.

Okuldaki matematik derslerinde bir fonksiyonun en basit özellikleri ve grafiği hakkında zaten bilgi sahibi oldunuz. y = x 2. Bilgimizi genişletelim ikinci dereceden fonksiyon.

1. Egzersiz.

Fonksiyonun grafiğini çizin y = x 2. Ölçek: 1 = 2 cm Oy ekseninde bir nokta işaretleyin. F(0; 1/4). Bir pusula veya bir kağıt şeridi kullanarak noktaya olan mesafeyi ölçün F bir noktaya kadar M paraboller. Daha sonra şeridi M noktasına sabitleyin ve dikey olana kadar bu noktanın etrafında döndürün. Şeridin sonu x ekseninin biraz altına düşecek (Şekil 1). Şerit üzerinde x ekseninin ötesine ne kadar uzandığını işaretleyin. Şimdi parabol üzerinde başka bir nokta alın ve ölçümü tekrar tekrarlayın. Şeridin kenarı x ekseninin ne kadar altına düştü?

Sonuç: y = x 2 parabolünün hangi noktasını alırsanız alın, bu noktadan F(0; 1/4) noktasına olan mesafe, aynı noktadan apsis eksenine olan mesafeden her zaman aynı sayı kadar daha büyük olacaktır - 1/4.

Farklı da söyleyebiliriz: Parabolün herhangi bir noktasından (0; 1/4) noktasına olan mesafe, parabolün aynı noktasından y = -1/4 düz çizgisine olan mesafeye eşittir. Bu harika F(0; 1/4) noktasına denir odak paraboller y = x 2 ve düz çizgi y = -1/4 – müdire bu parabol. Her parabolün bir doğrultmanı ve bir odağı vardır.

Bir parabolün ilginç özellikleri:

1. Parabolün herhangi bir noktası, parabolün odağı adı verilen bir noktadan ve onun doğrultmanı adı verilen düz bir çizgiden eşit uzaklıktadır.

2. Bir parabolü simetri ekseni etrafında döndürürseniz (örneğin, Oy ekseni etrafında y = x 2 parabolünü), dönüş paraboloidi adı verilen çok ilginç bir yüzey elde edersiniz.

Dönen bir kaptaki sıvının yüzeyi, dönme paraboloitinin şekline sahiptir. Tamamlanmamış bir bardak çayı bir kaşıkla kuvvetlice karıştırıp ardından kaşığı çıkarırsanız bu yüzeyi görebilirsiniz.

3. Ufuk çizgisine belli bir açıyla boşluğa bir taş atarsanız, taş bir parabol çizerek uçacaktır. (İncir. 2).

4. Bir koninin yüzeyini onun cinslerinden herhangi birine paralel bir düzlemle keserseniz, bu durumda kesit bir parabol ile sonuçlanacaktır. (Şek. 3).

5. Eğlence parklarında bazen Paraboloit of Wonders adı verilen eğlenceli bir gezi yapılır. Dönen paraboloidin içinde duran herkese kendisi yerde duruyormuş gibi görünürken, diğer insanlar bir şekilde mucizevi bir şekilde duvarlara tutunuyor.

6. Yansıtıcı teleskoplarda parabolik aynalar da kullanılır: Teleskop aynasına düşen, paralel bir ışınla gelen uzak bir yıldızın ışığı odakta toplanır.

7. Spot ışıklarda genellikle paraboloid şeklinde bir ayna bulunur. Bir paraboloidin odağına bir ışık kaynağı yerleştirirseniz, parabolik aynadan yansıyan ışınlar paralel bir ışın oluşturur.

İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi

Matematik derslerinde, y = x 2 fonksiyonunun grafiğinden formun fonksiyonlarının grafiklerinin nasıl elde edileceğini incelediniz:

1) y = eksen 2– y = x 2 grafiğini |a|'da Oy ekseni boyunca uzatmak kez ( |a| ile< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, pirinç. 4).

2) y = x 2 + n– Grafiğin Oy ekseni boyunca n birim kayması ve eğer n > 0 ise kayma yukarı doğru olur ve eğer n ise< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafiğin Ox ekseni boyunca m birim kayması: eğer m< 0, то вправо, а если m >0, sonra sola, (Şekil 5).

4) y = -x 2– y = x 2 grafiğinin Ox eksenine göre simetrik gösterimi.

Fonksiyonun grafiğini çizmeye daha yakından bakalım y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c formundaki ikinci dereceden bir fonksiyon her zaman şu forma indirgenebilir:

y = a(x – m) 2 + n, burada m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Hadi kanıtlayalım.

Gerçekten mi,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Yeni notasyonları tanıtalım.

İzin vermek m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

o zaman y = a(x – m) 2 + n veya y – n = a(x – m) 2 elde ederiz.

Biraz daha değişiklik yapalım: y – n = Y, x – m = X (*) olsun.

Daha sonra grafiği bir parabol olan Y = aX 2 fonksiyonunu elde ederiz.

Parabolün tepe noktası orijindedir. X = 0; Y = 0.

Tepe noktasının koordinatlarını (*) yerine koyarak, y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n grafiğinin tepe noktasının koordinatlarını elde ederiz.

Böylece, şu şekilde temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonu çizmek için

y = a(x – m) 2 + n

dönüşümler aracılığıyla aşağıdaki şekilde ilerleyebilirsiniz:

A) y = x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin;

B) Ox ekseni boyunca m birim ve Oy ekseni boyunca n birim paralel öteleme ile - parabolün tepe noktasını orijinden koordinatlarla (m; n) noktaya aktarın (Şekil 6).

Dönüşümlerin kaydedilmesi:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Örnek.

Dönüşümleri kullanarak, Kartezyen koordinat sisteminde y = 2(x – 3) 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun – 2.

Çözüm.

Dönüşüm zinciri:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Çizim şu şekilde gösterilmiştir: pirinç. 7.

Kendi başınıza ikinci dereceden fonksiyonların grafiğini çizme alıştırması yapabilirsiniz. Örneğin, dönüşümleri kullanarak tek koordinat sisteminde y = 2(x + 3) 2 + 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Herhangi bir sorunuz varsa veya bir öğretmenden tavsiye almak istiyorsanız, o zaman yürütme fırsatınız olur. çevrimiçi öğretmenle 25 dakikalık ücretsiz ders kayıt olduktan sonra. İçin daha fazla çalışmaÖğretmeninizle birlikte size uygun tarife planını seçebilirsiniz.

Hala sorularınız mı var? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.

Burada yazılacakları anlamak için ikinci dereceden fonksiyonun ne olduğunu ve neyle kullanıldığını iyi bilmeniz gerekir. İkinci dereceden fonksiyonlar konusunda kendinizi bir profesyonel olarak görüyorsanız hoş geldiniz. Ancak eğer değilse, konuyu okumalısınız.

Küçük bir taneyle başlayalım çekler:

1. İkinci dereceden bir fonksiyon genel formda (formülde) neye benzer?
2. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğine ne denir?
3. Baş katsayı ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini nasıl etkiler?

Bu sorulara hemen cevap verebildiyseniz okumaya devam edin. En az bir soru zorluklara neden olduysa, adresine gidin.

Yani, ikinci dereceden bir fonksiyonu nasıl ele alacağınızı, grafiğini nasıl analiz edeceğinizi ve noktalara göre bir grafik oluşturmayı zaten biliyorsunuz.

İşte burada: .

Kısaca ne yaptıklarını hatırlayalım ihtimaller.

1. Öncü katsayı, parabolün "dikliğinden" veya başka bir deyişle genişliğinden sorumludur: parabol ne kadar büyükse, o kadar dar (daha dik) ve parabol ne kadar küçükse, o kadar geniştir (düz).
2. Serbest terim, parabolün ordinat ekseni ile kesişiminin koordinatıdır.
3. Ve katsayı, parabolün koordinatların merkezinden yer değiştirmesinden bir şekilde sorumludur. Şimdi bu konuyu daha detaylı konuşalım.

Bir parabol oluşturmaya her zaman nereden başlarız? Ayırt edici noktası nedir?

Bu tepe noktası. Tepe noktasının koordinatlarını nasıl bulacağınızı hatırlıyor musunuz?

Apsis aşağıdaki formül kullanılarak aranır:

Bunun gibi: daha Daha, onlar Sola parabolün tepe noktası hareket eder.

Tepe noktasının ordinatı, fonksiyona değiştirilerek bulunabilir:

Kendiniz değiştirin ve matematiği yapın. Ne oldu?

Her şeyi doğru yaparsanız ve elde edilen ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirirseniz şunu elde edersiniz:

Görünüşe göre daha fazlası modulo, onlar daha yüksek irade tepe noktası paraboller.

Son olarak grafiği çizmeye geçelim.
En kolay yol üstten başlayarak bir parabol oluşturmaktır.

Örnek:

Fonksiyonun grafiğini oluşturun.

Çözüm:

Öncelikle katsayıları belirleyelim: .

Şimdi köşenin koordinatlarını hesaplayalım:

Şimdi unutmayın: aynı öncü katsayıya sahip tüm paraboller aynı görünür. Bu, bir parabol oluşturup tepe noktasını bir noktaya hareket ettirirsek ihtiyacımız olan grafiği elde edeceğimiz anlamına gelir:

Basit, değil mi?

Geriye tek bir soru kaldı: hızlı bir şekilde parabol nasıl çizilir? Köşesi orijinde olan bir parabol çizsek bile onu yine de nokta nokta inşa etmemiz gerekir ve bu uzun ve zahmetlidir. Ancak tüm paraboller aynı görünür, belki çizimlerini hızlandırmanın bir yolu vardır?

Ben okuldayken matematik öğretmenim herkese kartondan parabol şeklinde bir şablon kesmelerini ve böylece bunu hızlıca çizebilmelerini söyledi. Ama her yerde şablonla dolaşamayacaksınız ve sınava sokmalarına da izin verilmeyecek. Bu, yabancı nesneler kullanmayacağımız, bir model arayacağımız anlamına gelir.

En basit parabolü ele alalım. Nokta nokta inşa edelim:

Buradaki model budur. Tepe noktasından sağa (eksen boyunca) ve yukarıya (eksen boyunca) kaydırırsak, parabolün noktasına ulaşacağız. Ayrıca: Bu noktadan sağa ve yukarıya doğru hareket edersek, yine parabol noktasına ulaşacağız. Sonraki: sağa ve yukarıya. Sıradaki ne? Tam devam. Ve böyle devam edin: birini sağa, sonraki tek sayıyı yukarı taşıyın. Sonra aynısını sol dal için de yapıyoruz (sonuçta parabol simetriktir, yani dalları aynı görünür):

Harika, bu, baş katsayısı eşit olan bir tepe noktasından herhangi bir parabol oluşturmanıza yardımcı olacaktır. Örneğin bir parabolün tepe noktasının bir noktada olduğunu öğrendik. Bu parabolü (kağıt üzerinde kendiniz) oluşturun.

İnşa edilmiş?

Şunun gibi görünmeli:

Şimdi ortaya çıkan noktaları birleştiriyoruz:

Bu kadar.

Tamam, şimdi sadece parabolleri neyle inşa edebiliriz?

Tabii ki değil. Şimdi onlarla ne yapacağımızı bulalım.

Birkaç tipik duruma bakalım.

Harika, parabolün nasıl çizileceğini öğrendiniz, şimdi gerçek fonksiyonları kullanarak pratik yapalım.

Şimdi bu fonksiyonların grafiklerini çizin:

Yanıtlar:

3. Üst: .

Kıdemli katsayı daha azsa ne yapacağınızı hatırlıyor musunuz?

Kesrin paydasına bakıyoruz: eşittir. Yani şu şekilde hareket edeceğiz:

• sağ yukarı
• sağ yukarı
• sağ yukarı

ve ayrıca solda:

4. Üst: .

Ah, bu konuda ne yapabiliriz? Tepe noktası çizgiler arasında bir yerdeyse hücreler nasıl ölçülür?

Ve hile yapacağız. Önce bir parabol çizelim ve ancak ondan sonra tepe noktasını bir noktaya taşıyalım. Hayır, hadi daha da kurnazca bir şey yapalım: Hadi bir parabol çizelim ve sonra eksenleri hareket ettirin:- Açık aşağı, a - açık Sağ:

Bu tekniğin herhangi bir parabol durumunda çok kullanışlı olduğunu unutmayın.

Fonksiyonu şu şekilde temsil edebileceğimizi hatırlatmak isterim:

Örneğin: .

Bu bize ne veriyor?

Gerçek şu ki, parantezlerin () içinden çıkarılan sayı, parabolün tepe noktasının apsisidir ve parantezlerin () dışındaki terim, tepe noktasının ordinatıdır.

Bu, bir parabol inşa ettikten sonra sadece ihtiyacınız olacağı anlamına gelir. ekseni sola ve ekseni aşağı hareket ettirin.

Örnek: Bir fonksiyonun grafiğini oluşturalım.

Tam bir kare seçelim:

Kaç numara düşüldü parantez içindekilerden mi? Bu (ve düşünmeden nasıl karar verebileceğiniz değil).

O halde bir parabol oluşturalım:

Şimdi ekseni aşağı, yani yukarı kaydırıyoruz:

Ve şimdi - sola, yani sağa:

Bu kadar. Bu, bir parabolün tepe noktasıyla birlikte orijinden bir noktaya taşınmasıyla aynıdır; yalnızca düz eksenin hareket ettirilmesi kavisli bir parabolün hareket ettirilmesinden çok daha kolaydır.

Şimdi her zamanki gibi ben:

Ve eski aksları bir silgiyle silmeyi unutmayın!

ben şöyleyim Yanıtlar Kontrol etmek için size bu parabollerin köşelerinin koordinatlarını yazacağım:

Her şey bir araya geldi mi?

Eğer evet ise, o zaman harikasın! Bir parabolün nasıl ele alınacağını bilmek çok önemli ve faydalıdır ve burada bunun hiç de zor olmadığını gördük.

İKİNCİ BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİNİN OLUŞTURULMASI. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

İkinci dereceden fonksiyon - formun bir fonksiyonu, burada ve herhangi bir sayı (katsayılar), - serbest bir terim.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür.

Parabolün tepe noktası:
yani \displaystyle b ne kadar büyükse, parabolün tepe noktası o kadar sola doğru hareket eder.
Bunu fonksiyona koyarız ve şunu elde ederiz:
yani \displaystyle b'nin mutlak değeri ne kadar büyükse, parabolün tepe noktası da o kadar yüksek olur

Serbest terim, parabolün ordinat ekseni ile kesişiminin koordinatıdır.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ, ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve herkese erişim imkanımız var gizli metinler hemen açılabilirler.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!