Modül herkesin duymuş gibi göründüğü ama gerçekte kimsenin gerçekten anlamadığı şeylerden biridir. Bu nedenle bugün denklemleri modüllerle çözmeye adanmış büyük bir ders olacak.

Hemen söyleyeceğim: ders zor olmayacak. Ve genel olarak modüller nispeten basit bir konudur. “Evet, elbette karmaşık değil! Aklımı başımdan alıyor!” - birçok öğrenci şunu söyleyecektir, ancak tüm bu beyin kırılmaları çoğu insanın kafasında bilginin değil, bir tür saçmalığın olması nedeniyle meydana gelir. Ve bu dersin amacı saçmalığı bilgiye dönüştürmektir :)

Küçük bir teori

O zaman hadi gidelim. En önemli şeyle başlayalım: Modül nedir? Size bir sayının modülünün basitçe aynı sayı olduğunu ancak eksi işareti olmadan alındığını hatırlatmama izin verin. Bu, örneğin $\left| -5 \sağ|=5$. Veya $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Bu kadar basit mi? Evet, basit. O halde pozitif bir sayının mutlak değeri nedir? Burada her şey daha da basit: Pozitif bir sayının modülü bu sayının kendisine eşittir: $\left| 5 \sağ|=5$; $\sol| 129,5 \right|=$129,5, vb.

İlginç bir şey ortaya çıkıyor: farklı sayılar aynı modüle sahip olabilir. Örneğin: $\sol| -5 \sağ|=\sol| 5 \sağ|=5$; $\sol| -129.5 \sağ|=\sol| 129,5\sağ|=129,5$. Modülleri aynı olan bu sayıların ne tür sayılar olduğunu görmek kolaydır: bu sayılar zıttır. Böylece, zıt sayıların modüllerinin eşit olduğunu kendimiz not ediyoruz:

\[\sol| -a \sağ|=\sol| a\sağ|\]

Bir diğer önemli gerçek: modül asla negatif değildir. Hangi sayıyı alırsak alalım - pozitif ya da negatif - modülü her zaman pozitif (veya aşırı durumlarda sıfır) olur. Bu nedenle modüle genellikle bir sayının mutlak değeri denir.

Ayrıca, modülün tanımını pozitif ve negatif sayı, ardından tüm sayılar için modülün genel bir tanımını elde ederiz. Yani: bir sayının modülü, sayı pozitifse (veya sıfırsa) sayının kendisine, sayı negatifse karşıt sayıya eşittir. Bunu formül olarak yazabilirsiniz:

Ayrıca sıfır modülü vardır, ancak her zaman sıfıra eşittir. Ayrıca zıttı olmayan tek sayı sıfırdır.

Dolayısıyla $y=\left| fonksiyonunu düşünürsek x \right|$ ve grafiğini çizmeye çalıştığınızda şunun gibi bir şey elde edeceksiniz:

Modül grafiği ve denklem çözme örneği

Bu resimden $\left| olduğu hemen anlaşılıyor. -m \sağ|=\sol| m \right|$ ve modül grafiği hiçbir zaman x ekseninin altına düşmez. Ancak hepsi bu kadar değil: kırmızı çizgi $y=a$ düz çizgisini işaret ediyor, bu da pozitif $a$ için bize aynı anda iki kök veriyor: $((x)_(1))$ ve $((x) _(2)) $, ama bunu daha sonra konuşacağız :)

Tamamen cebirsel tanıma ek olarak geometrik bir tanım da var. Diyelim ki sayı doğrusunda iki nokta var: $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))$. Bu durumda $\left| ifadesi ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ basitçe belirtilen noktalar arasındaki mesafedir. Veya isterseniz bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğu:

Bu tanım aynı zamanda modülün her zaman negatif olmadığını da ima eder. Ancak yeterli tanım ve teori - hadi gerçek denklemlere geçelim :)

Temel formül

Tamam, tanımı çözdük. Ama bu durumu hiç kolaylaştırmadı. Bu modülü içeren denklemler nasıl çözülür?

Sakin ol, sadece sakin ol. En basit şeylerle başlayalım. Bunun gibi bir şeyi düşünün:

\[\sol| x\sağ|=3\]

Yani $x$'ın modülü 3'tür. $x$ neye eşit olabilir? Tanıma bakılırsa $x=3$'dan oldukça memnunuz. Gerçekten mi:

\[\sol| 3\sağ|=3\]

Başka numaralar var mı? Cap bunun var olduğunu ima ediyor gibi görünüyor. Örneğin, $x=-3$ aynı zamanda $\left| -3 \right|=3$, yani gerekli eşitlik sağlanır.

Peki belki araştırıp düşünürsek daha fazla sayı bulabiliriz? Ama şunu kabul edelim: artık sayı yok. Denklem $\sol| x \right|=3$'ın yalnızca iki kökü vardır: $x=3$ ve $x=-3$.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. $x$ değişkeni yerine $f\left(x \right)$ fonksiyonunun modül işaretinin altında kalmasına izin verin ve sağdaki üçlü yerine koyduğumuz Rasgele sayı$a$. Denklemi elde ederiz:

\[\sol| f\left(x \sağ) \sağ|=a\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? Size hatırlatmama izin verin: $f\left(x \right)$ isteğe bağlı bir işlevdir, $a$ herhangi bir sayıdır. Onlar. Hiçbir şey! Örneğin:

\[\sol| 2x+1 \sağ|=5\]

\[\sol| 10x-5 \sağ|=-65\]

İkinci denkleme dikkat edelim. Onun hakkında hemen şunu söyleyebilirsiniz: Kökleri yok. Neden? Her şey doğrudur: çünkü modülün negatif bir sayıya eşit olması gerekir ki bu asla gerçekleşmez, çünkü modülün her zaman pozitif bir sayı veya aşırı durumlarda sıfır olduğunu zaten biliyoruz.

Ancak ilk denklemle her şey daha eğlenceli. İki seçenek vardır: Ya modül işaretinin altında pozitif bir ifade vardır ve sonra $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ veya bu ifade hala negatiftir ve sonra $\left| 2x+1 \sağ|=-\sol(2x+1 \sağ)=-2x-1$. İlk durumda denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\sol| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Ve aniden $2x+1$ alt modül ifadesinin gerçekten pozitif olduğu ortaya çıktı - 5 sayısına eşit. Bu denklemi güvenli bir şekilde çözebiliriz; ortaya çıkan kök, cevabın bir parçası olacaktır:

Özellikle güvensiz olanlar, bulunan kökü orijinal denklemin yerine koymayı deneyebilir ve modülün altında gerçekten pozitif bir sayı olduğundan emin olabilirler.

Şimdi negatif bir alt modüler ifadenin durumuna bakalım:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Sağ ok 2x+1=-5\]

Hata! Yine her şey açık: $2x+1 \lt 0$ olduğunu varsaydık ve sonuç olarak $2x+1=-5$ elde ettik - aslında bu ifade Sıfırdan daha az. Ortaya çıkan denklemi, bulunan kökün bize uyacağından emin olarak çözüyoruz:

Toplamda yine iki yanıt aldık: $x=2$ ve $x=3$. Evet, hesaplama miktarının çok basit $\left| denkleminden biraz daha büyük olduğu ortaya çıktı. x \right|=3$, ancak temelde hiçbir şey değişmedi. Yani belki biraz vardır evrensel algoritma?

Evet böyle bir algoritma var. Ve şimdi onu analiz edeceğiz.

Modül işaretinden kurtulmak

Bize $\left| denklemi verilsin f\left(x \right) \right|=a$ ve $a\ge 0$ (aksi halde, zaten bildiğimiz gibi, kök yoktur). Daha sonra aşağıdaki kuralı kullanarak modül işaretinden kurtulabilirsiniz:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Böylece modüllü denklemimiz modülsüz olarak ikiye ayrılıyor. Teknoloji bu kadar! Birkaç denklemi çözmeye çalışalım. Bununla başlayalım

\[\sol| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Sağda on artı olduğunda ayrı, eksi olduğunda ayrı ayrı ele alalım. Sahibiz:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! İki kökümüz var: $x=1.2$ ve $x=-2.8$. Çözümün tamamı kelimenin tam anlamıyla iki satır sürdü.

Tamam, hiç şüphe yok, biraz daha ciddi bir şeye bakalım:

\[\sol| 7-5x\sağ|=13\]

Yine artı ve eksi ile modülü açıyoruz:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\bit(hizala)\]

Tekrar birkaç satır - ve cevap hazır! Dediğim gibi modüllerde karmaşık bir şey yok. Sadece birkaç kuralı hatırlamanız gerekiyor. Bu nedenle, gerçekten daha karmaşık görevlere devam ediyoruz ve başlıyoruz.

Sağ taraftaki değişkenin durumu

Şimdi bu denklemi düşünün:

\[\sol| 3x-2 \sağ|=2x\]

Bu denklem öncekilerden temel olarak farklıdır. Nasıl? Ve eşittir işaretinin sağında $2x$ ifadesinin olması gerçeği - ve bunun pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu önceden bilemeyiz.

Bu durumda ne yapmalı? Öncelikle şunu kesin olarak anlamalıyız Denklemin sağ tarafı negatif çıkarsa denklemin kökleri olmaz- modülün negatif bir sayıya eşit olamayacağını zaten biliyoruz.

İkincisi, eğer sağ kısım hala pozitifse (veya sıfıra eşitse), o zaman tam olarak eskisi gibi hareket edebilirsiniz: modülü ayrı ayrı artı işaretiyle ve ayrı olarak eksi işaretiyle açın.

Böylece, $f\left(x \right)$ ve $g\left(x \right)$ rastgele işlevleri için bir kural formüle ederiz:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Denklemimize göre şunu elde ederiz:

\[\sol| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Peki, bir şekilde $2x\ge 0$ gereksinimiyle başa çıkacağız. Sonunda, ilk denklemden aldığımız kökleri aptalca yerine koyabilir ve eşitsizliğin geçerli olup olmadığını kontrol edebiliriz.

O halde denklemin kendisini çözelim:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\bit(hizala)\]

Peki, bu iki kökten hangisi $2x\ge 0$ gereksinimini karşılıyor? Evet ikiside! Bu nedenle cevap iki sayı olacaktır: $x=(4)/(3)\;$ ve $x=0$. Çözüm bu :)

Bazı öğrencilerin şimdiden sıkılmaya başladığından şüpheleniyorum. Peki, daha da karmaşık bir denkleme bakalım:

\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Her ne kadar kötü görünse de aslında “modül eşittir fonksiyon” şeklindeki denklem hala aynı:

\[\sol| f\left(x \sağ) \sağ|=g\sol(x \sağ)\]

Ve tamamen aynı şekilde çözüldü:

\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Eşitsizlikle daha sonra ilgileneceğiz - bu bir şekilde çok kötü (aslında basit ama çözmeyeceğiz). Şimdilik ortaya çıkan denklemlerle uğraşmak daha iyi. İlk durumu ele alalım - bu, modülün artı işaretiyle genişletildiği zamandır:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Soldaki her şeyi toplamanız, benzerlerini getirmeniz ve ne olacağını görmeniz hiç de akıllıca değil. Ve şöyle oluyor:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\bit(hizala)\]

$((x)^(2))$ ortak faktörünü parantezlerden çıkarırız ve çok basit bir denklem elde ederiz:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(hizala) \sağ.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Burada çarpımın önemli bir özelliğinden yararlandık ve bunun için orijinal polinomu çarpanlara ayırdık: çarpanlardan en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir.

Şimdi modülün eksi işaretiyle genişletilmesiyle elde edilen ikinci denklemi de aynı şekilde ele alalım:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\sol(-3x+2 \sağ)=0. \\\bit(hizala)\]

Yine aynı şey: Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir. Sahibiz:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Üç kökümüz var: $x=0$, $x=1.5$ ve $x=(2)/(3)\;$. Peki, bu setten hangisi son cevaba girecek? Bunu yapmak için eşitsizlik biçiminde ek bir kısıtlamamız olduğunu unutmayın:

Bu gereklilik nasıl dikkate alınır? Bulunan kökleri yerine koyalım ve eşitsizliğin bu $x$ için geçerli olup olmadığını kontrol edelim. Sahibiz:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\bit(hizala)\]

Dolayısıyla $x=1.5$ kökü bize uymuyor. Ve yanıt olarak yalnızca iki kök olacak:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Gördüğünüz gibi bu durumda bile karmaşık bir şey yoktu; modüllü denklemler her zaman bir algoritma kullanılarak çözülür. Polinomlar ve eşitsizlikler hakkında iyi bir anlayışa sahip olmanız yeterlidir. Bu nedenle, daha karmaşık görevlere geçiyoruz - zaten bir değil iki modül olacak.

İki modüllü denklemler

Şimdiye kadar sadece en çok çalıştık basit denklemler— bir modül ve başka bir şey vardı. Bu "başka bir şeyi" eşitsizliğin başka bir kısmına, modülden uzağa gönderdik, böylece sonunda her şey $\left| biçiminde bir denkleme indirgenecekti. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ veya daha basiti $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Ancak çocuk Yuvası sona erdi - daha ciddi bir şeyi düşünmenin zamanı geldi. Şöyle denklemlerle başlayalım:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \sağ) \sağ|\]

Bu “modül eşittir modül” biçiminde bir denklemdir. Temel olarak önemli nokta diğer terimlerin ve faktörlerin yokluğu: solda yalnızca bir modül, sağda bir modül daha - ve daha fazlası değil.

Artık birileri bu tür denklemleri çözmenin şu ana kadar incelediklerimizden daha zor olduğunu düşünecektir. Ama hayır: bu denklemleri çözmek daha da kolaydır. İşte formül:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tüm! Basitçe alt modüler ifadeleri birinin önüne artı veya eksi işareti koyarak eşitleriz. Ve sonra ortaya çıkan iki denklemi çözüyoruz - ve kökler hazır! Hiçbir ek kısıtlama, eşitsizlik vb. yok. Her şey çok basit.

Bu sorunu çözmeye çalışalım:

\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \sağ|\]

İlköğretim Watson! Modüllerin genişletilmesi:

\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Her durumu ayrı ayrı ele alalım:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\bit(hizala)\]

Birinci denklemin kökleri yoktur. Çünkü ne zaman $3=-7$? Hangi $x$ değerlerinde? “$x$ nedir ki? Taşlandın mı? Orada hiç $x$ yok” diyorsunuz. Ve haklı olacaksın. $x$ değişkenine bağlı olmayan bir eşitlik elde ettik ve aynı zamanda eşitliğin kendisi de yanlış. Bu yüzden kökleri yok :)

İkinci denklemde her şey biraz daha ilginç ama aynı zamanda çok çok basit:

Gördüğünüz gibi her şey birkaç satırda tam anlamıyla çözüldü - doğrusal bir denklemden başka bir şey beklemiyorduk :)

Sonuç olarak son cevap: $x=1$.

Nasıl? Zor? Tabii ki değil. Başka bir şey deneyelim:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|\]

Yine $\left| formunda bir denklemimiz var. f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Bu nedenle, modül işaretini ortaya çıkararak hemen yeniden yazıyoruz:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Belki birileri şimdi şunu soracaktır: “Hey, ne saçmalık? Neden “artı-eksi” ifadesi solda değil de sağdaki ifadede görünüyor?” Sakin olun, şimdi her şeyi açıklayacağım. Aslında denklemimizi iyi anlamda şu şekilde yeniden yazmamız gerekirdi:

Daha sonra parantezleri açmanız, tüm terimleri eşittir işaretinin bir tarafına taşımanız gerekir (çünkü denklem her iki durumda da kare olacaktır) ve sonra kökleri bulun. Ancak şunu kabul etmelisiniz: "artı-eksi" üç terimden önce göründüğünde (özellikle bu terimlerden biri ikinci dereceden bir ifade olduğunda), "artı-eksi"nin yalnızca iki terimden önce göründüğü durumdan bir şekilde daha karmaşık görünüyor.

Ancak hiçbir şey bizi orijinal denklemi şu şekilde yeniden yazmaktan alıkoyamaz:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\]

Ne oldu? Özel bir şey yok: sadece sol ve sağ tarafları değiştirdiler. Hayatımızı biraz daha kolaylaştıracak küçük bir şey :)

Genel olarak bu denklemi artı ve eksi seçenekleri dikkate alarak çözüyoruz:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\bit(hizala)\]

İlk denklemin kökleri $x=3$ ve $x=1$'dır. İkincisi genellikle tam bir karedir:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Bu nedenle tek bir kökü vardır: $x=1$. Ancak bu kökü daha önce elde etmiştik. Böylece nihai cevaba yalnızca iki sayı girecektir:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Görev tamamlandı! Raftan bir pasta alıp yiyebilirsiniz. 2 tane var, ortadaki seninki :)

Önemli Not. Aynı köklerin varlığı farklı seçenekler Modülün genişlemesi, orijinal polinomların çarpanlara ayrıldığı anlamına gelir ve bu faktörler arasında mutlaka ortak bir tane olacaktır. Gerçekten mi:

\[\begin(hizala)& \left| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|=\sol| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\bit(hizala)\]

Modül özelliklerinden biri: $\left| a\cdot b \sağ|=\sol| a \right|\cdot \left| b \right|$ (yani çarpımın modülü, modüllerin çarpımına eşittir), dolayısıyla orijinal denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|\]

Gördüğünüz gibi aslında ortak bir faktörümüz var. Şimdi tüm modülleri bir tarafta toplarsanız bu faktörü parantezden çıkarabilirsiniz:

\[\begin(hizala)& \left| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|-\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|=0; \\& \sol| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\bit(hizala)\]

Şimdi, faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpımın sıfıra eşit olduğunu unutmayın:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \sağ|=0, \\& \sol| x-2 \sağ|=1. \\\end(hizala) \sağ.\]

Böylece iki modüllü orijinal denklem, dersin başında bahsettiğimiz en basit iki denkleme indirgenmiş oldu. Bu tür denklemler tam anlamıyla birkaç satırda çözülebilir :)

Bu açıklama gereksiz derecede karmaşık ve pratikte uygulanamaz görünebilir. Ancak gerçekte çok daha fazlasıyla karşılaşabilirsiniz. karmaşık görevler bugün analiz ettiğimizden daha fazla. İçlerinde modüller polinomlar, aritmetik kökler, logaritmalar vb. ile birleştirilebilir. Ve böyle durumlarda denklemin genel derecesini parantezlerin dışına çıkararak düşürme yeteneği çok ama çok faydalı olabilir :)

Şimdi ilk bakışta çılgınca görünebilecek başka bir denkleme bakmak istiyorum. Pek çok öğrenci, hatta modülleri iyi anladıklarını düşünenler bile bu konuda takılıp kalıyor.

Ancak bu denklemi çözmek daha önce baktığımız şeyden çok daha kolaydır. Ve nedenini anlarsanız, modüllü denklemleri hızlı bir şekilde çözmek için başka bir numara bulacaksınız.

Yani denklem şu:

\[\sol| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \sağ|=0\]

Hayır, bu bir yazım hatası değil: modüller arasında bir artıdır. Ve iki modülün toplamının sıfıra eşit olduğu $x$ değerini bulmamız gerekiyor :)

Sorun ne bu arada? Ancak sorun şu ki, her modül pozitif bir sayıdır veya aşırı durumlarda sıfırdır. İki pozitif sayıyı toplarsanız ne olur? Açıkçası yine pozitif bir sayı:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(hizala)\]

Son satır size bir fikir verebilir: Modüllerin toplamının sıfır olduğu tek durum, her modülün sıfır olduğu zamandır:

\[\sol| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

Peki modül ne zaman sıfıra eşit olur? Yalnızca bir durumda - alt modüler ifade sıfıra eşit olduğunda:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Böylece, ilk modülün sıfırlandığı üç noktamız var: 0, 1 ve −1; ve ayrıca ikinci modülün sıfırlandığı iki nokta: −2 ve 1. Bununla birlikte, her iki modülün de aynı anda sıfıra sıfırlanmasına ihtiyacımız var, bu nedenle bulunan sayılar arasından aşağıdakilere dahil olanları seçmemiz gerekiyor: her iki set. Açıkçası, böyle tek bir sayı var: $x=1$ - bu son cevap olacak.

Bölünme yöntemi

Zaten bir sürü problemi ele aldık ve bir sürü teknik öğrendik. Hepsi bu kadar mı sanıyorsun? Ama hayır! Şimdi son tekniğe ve aynı zamanda en önemlisine bakacağız. Denklemlerin modül ile bölünmesinden bahsedeceğiz. Ne hakkında konuşacağız ki? Biraz geriye gidelim ve basit bir denkleme bakalım. Örneğin bu:

\[\sol| 3x-5 \sağ|=5-3x\]

Prensip olarak böyle bir denklemin nasıl çözüleceğini zaten biliyoruz çünkü bu $\left| formunun standart bir yapısıdır. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Ancak bu denkleme biraz farklı bir açıdan bakmaya çalışalım. Daha doğrusu, modül işaretinin altındaki ifadeyi düşünün. Herhangi bir sayının modülünün o sayının kendisine eşit olabileceğini ya da bu sayının tersi olabileceğini de hatırlatayım:

\[\sol| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Aslında bütün sorun bu belirsizlikten kaynaklanıyor: Modülün altındaki sayı değiştiği için (değişkene bağlı), pozitif mi negatif mi olduğu bizim için net değil.

Peki ya başlangıçta bu sayının pozitif olmasını isterseniz? Örneğin, şunu talep edelim: $3x-5 \gt 0$ - bu durumda modül işareti altında pozitif bir sayı almamız garanti edilir ve bu modülden tamamen kurtulabiliriz:

Böylece denklemimiz kolayca çözülebilecek doğrusal bir denklem haline gelecektir:

Doğru, tüm bu düşünceler yalnızca $3x-5 \gt 0$ koşulu altında anlamlıdır - modülü açık bir şekilde ortaya çıkarmak için bu gereksinimi kendimiz belirledik. Bu nedenle, bulunan $x=\frac(5)(3)$ değerini bu koşula koyalım ve kontrol edelim:

Belirtilen $x$ değeri için gereksinimimizin karşılanmadığı ortaya çıktı, çünkü ifadenin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı ve bunun kesinlikle sıfırdan büyük olmasına ihtiyacımız var. Üzgün. :(

Ama sorun değil! Sonuçta başka bir seçenek daha var $3x-5 \lt 0$. Üstelik: $3x-5=0$ durumu da var - bunun da dikkate alınması gerekiyor, aksi takdirde çözüm eksik kalacaktır. Yani, $3x-5 \lt 0$ durumunu düşünün:

Açıkçası modül eksi işaretiyle açılacaktır. Ancak daha sonra garip bir durum ortaya çıkıyor: Orijinal denklemin hem solunda hem de sağında aynı ifade ortaya çıkacak:

Acaba $5-3x$ ifadesi $x$ ile $5-3x$ ifadesine eşit olacak mı? Kaptan Apaçıklık bile bu tür denklemler yüzünden tükürüğünde boğulurdu, ama biliyoruz ki: bu denklem bir özdeşliktir, yani. değişkenin herhangi bir değeri için doğrudur!

Bu, herhangi bir $x$'ın bize uygun olacağı anlamına gelir. Ancak bir sınırlamamız var:

Başka bir deyişle cevap tek bir sayı değil, tam bir aralık olacaktır:

Son olarak dikkate alınması gereken bir durum daha kaldı: $3x-5=0$. Burada her şey basit: modülün altında sıfır olacaktır ve sıfırın modülü de sıfıra eşittir (bu doğrudan tanımdan gelir):

Ama sonra orijinal denklem $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ şu şekilde yeniden yazılacaktır:

$3x-5 \gt 0$ durumunu düşündüğümüzde bu kökü zaten yukarıda elde etmiştik. Üstelik bu kök $3x-5=0$ denkleminin bir çözümüdür - bu, modülü sıfırlamak için bizim koyduğumuz kısıtlamadır :)

Böylece aralığa ek olarak bu aralığın en sonunda yer alan sayıyla da yetineceğiz:

Toplam son cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Modüllü oldukça basit (esasen doğrusal) bir denklemin cevabında bu tür saçmalıkları görmek çok yaygın değildir, gerçekten mi? Peki, buna alışın: Modülün zorluğu, bu tür denklemlerdeki cevapların tamamen tahmin edilemez olmasıdır.

Çok daha önemli olan başka bir şey var: Az önce modüllü bir denklemi çözmek için evrensel bir algoritmayı analiz ettik! Ve bu algoritma aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. Denklemdeki her modülü sıfıra eşitleyin. Birkaç denklem elde ederiz;
2. Tüm bu denklemleri çözün ve kökleri sayı doğrusunda işaretleyin. Sonuç olarak, düz çizgi, her birinde tüm modüllerin benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı birkaç aralığa bölünecektir;
3. Her aralık için orijinal denklemi çözün ve cevaplarınızı birleştirin.

Bu kadar! Geriye tek bir soru kaldı: 1. adımda elde edilen köklerle ne yapmalı? Diyelim ki iki kökümüz var: $x=1$ ve $x=5$. Sayı doğrusunu 3 parçaya bölecekler:

Peki aralıklar nelerdir? Bunlardan üçünün olduğu açıktır:

1. En soldaki: $x \lt 1$ — birimin kendisi aralığa dahil değildir;
2. Merkezi: $1\le x \lt 5$ - burada aralığa bir dahildir, ancak beşi dahil değildir;
3. En sağdaki: $x\ge 5$ - beş yalnızca buraya dahildir!

Sanırım modeli zaten anladınız. Her aralık sol ucu içerir ve sağ ucu içermez.

İlk bakışta böyle bir giriş uygunsuz, mantıksız ve genel olarak bir tür çılgınlık gibi görünebilir. Ama inanın bana: Biraz pratik yaptıktan sonra bu yaklaşımın en güvenilir olduğunu ve modüllerin açık bir şekilde açılmasını engellemediğini göreceksiniz. Her seferinde böyle bir şema kullanmak daha iyidir: sol/sağ ucunu mevcut aralığa verin veya onu bir sonrakine "atın".

Bu yazıda detaylı olarak analiz edeceğiz bir sayının mutlak değeri. Vereceğiz çeşitli tanımlar Bir sayının modülü, notasyonu tanıtın ve grafik illüstrasyonlar sağlayın. Aynı zamanda şunu da düşünelim çeşitli örnekler Tanım gereği bir sayının modülünü bulma. Bundan sonra modülün ana özelliklerini listeleyip gerekçelendireceğiz. Yazının sonunda bir karmaşık sayının modülünün nasıl belirlenip bulunduğundan bahsedeceğiz.

Sayfada gezinme.

Sayı modülü - tanım, gösterim ve örnekler

İlk önce tanıtıyoruz sayı modülü tanımı. a sayısının modülünü yazacağız yani sayının soluna ve sağına modül işaretini oluşturacak şekilde dikey çizgiler koyacağız. Birkaç örnek verelim. Örneğin modül −7 şu şekilde yazılabilir; modül 4.125 olarak yazılır ve modül formun gösterimine sahiptir.

Aşağıdaki modül tanımı, gerçek sayılar kümesinin kurucu parçaları olarak ve dolayısıyla tamsayılara ve rasyonel ve irrasyonel sayılara atıfta bulunur. Karmaşık bir sayının modülü hakkında konuşacağız.

Tanım.

a sayısının modülü– a pozitif bir sayıysa bu ya a sayısının kendisidir ya da −a sayısıdır, karşı sayı a negatif bir sayı ise a, a=0 ise 0.

Bir sayının modülünün sesli tanımı genellikle aşağıdaki biçimde yazılır , bu giriş şu anlama gelir: if a>0 , if a=0 ve if a<0 .

Kayıt daha kompakt bir biçimde sunulabilir . Bu gösterim şu anlama gelir: if (a, 0'dan büyük veya ona eşit) ve if a<0 .

Giriş de var . Burada a=0 durumunu ayrıca açıklamamız gerekir. Bu durumda elimizde −0=0 vardır, çünkü sıfır kendinin karşıtı olan bir sayı olarak kabul edilir.

Hadi verelim bir sayının modülünü bulma örnekleri Belirtilen bir tanımı kullanarak. Örnek olarak 15 ve 15 sayılarının modüllerini bulalım. Bulmakla başlayalım. 15 sayısı pozitif olduğu için modülü tanım gereği bu sayının kendisine eşittir, yani. Bir sayının modülü nedir? Negatif bir sayı olduğu için modülü sayının karşısındaki sayıya yani sayıya eşittir. . Böylece, .

Bu noktayı sonuçlandırmak için, bir sayının modülünü bulurken pratikte kullanılabilecek çok uygun bir sonuç sunuyoruz. Bir sayının modülünün tanımından şu sonuç çıkar: bir sayının modülü, işareti dikkate alınmaksızın modül işaretinin altındaki sayıya eşittir Yukarıda tartışılan örneklerden bu çok açık bir şekilde görülmektedir. Belirtilen ifade, bir sayının modülünün neden aynı zamanda çağrıldığını da açıklamaktadır. sayının mutlak değeri. Yani bir sayının modülü ile bir sayının mutlak değeri bir ve aynıdır.

Bir sayının mesafe olarak modülü

Geometrik olarak bir sayının modülü şu şekilde yorumlanabilir: mesafe. Hadi verelim bir sayının modülünün mesafeye göre belirlenmesi.

Tanım.

a sayısının modülü– bu, koordinat çizgisi üzerindeki başlangıç ​​noktasından a sayısına karşılık gelen noktaya kadar olan mesafedir.

Bu tanım, birinci paragrafta verilen bir sayının modül tanımıyla tutarlıdır. Bu noktaya açıklık getirelim. Orijinden pozitif bir sayıya karşılık gelen noktaya olan mesafe bu sayıya eşittir. Sıfır orijine karşılık gelir, dolayısıyla orijinden 0 koordinatlı noktaya olan mesafe sıfıra eşittir (sırasıyla tek bir birim segmenti veya bir birim segmentin herhangi bir kısmını oluşturan tek bir segmenti ayırmanıza gerek yoktur) O noktasından koordinatı 0 olan bir noktaya gitmek için). Orijinden negatif koordinatlı bir noktaya olan uzaklık, bu noktanın koordinatının karşısındaki sayıya eşittir, çünkü orijinden koordinatı karşıt sayı olan noktaya olan mesafeye eşittir.

Örneğin 9 sayısının modülü 9'a eşittir çünkü orijinden 9 koordinatlı noktaya olan mesafe dokuza eşittir. Başka bir örnek verelim. Koordinatı −3,25 olan nokta O noktasından 3,25 uzaklıkta bulunmaktadır, dolayısıyla .

Bir sayının modülünün belirtilen tanımı, iki sayının farkının modülünün tanımının özel bir durumudur.

Tanım.

İki sayının farkının modülü a ve b, koordinat çizgisinin a ve b koordinatlarına sahip noktaları arasındaki mesafeye eşittir.

Yani, A(a) ve B(b) koordinat doğrusu üzerinde noktalar verilmişse, A noktasından B noktasına olan uzaklık, a ve b sayıları arasındaki farkın modülüne eşittir. O noktasını (başlangıç) B noktası olarak alırsak, bu paragrafın başında verilen bir sayının modülünün tanımını elde ederiz.

Aritmetik karekökü kullanarak bir sayının modülünü belirleme

Bazen meydana gelir aritmetik karekök yoluyla modülün belirlenmesi.

Örneğin -30 sayılarının modüllerini bu tanıma göre hesaplayalım. Sahibiz. Benzer şekilde üçte ikisinin modülünü hesaplıyoruz: .

Bir sayının modülünün aritmetik karekök yoluyla tanımı da bu makalenin ilk paragrafında verilen tanımla tutarlıdır. Hadi gösterelim. a pozitif bir sayı olsun ve -a negatif bir sayı olsun. Daha sonra Ve , eğer a=0 ise, o zaman .

Modül özellikleri

Modülün bir dizi karakteristik sonucu vardır - modül özellikleri. Şimdi bunlardan başlıcalarını ve en sık kullanılanlarını sunacağız. Bu özellikleri gerekçelendirirken, bir sayının modülünün uzaklık cinsinden tanımına güveneceğiz.

Modülün en belirgin özelliğiyle başlayalım: Bir sayının modülü negatif bir sayı olamaz. Kelimenin tam anlamıyla bu özellik herhangi bir a sayısı biçimine sahiptir. Bu özelliğin gerekçelendirilmesi çok kolaydır: Bir sayının modülü bir mesafedir ve mesafe negatif bir sayı olarak ifade edilemez.

Bir sonraki modül özelliğine geçelim. Bir sayının modülü sıfır ancak ve ancak bu sayı sıfırsa. Sıfırın modülü tanım gereği sıfırdır. Sıfır orijine karşılık gelir; her gerçek sayı koordinat çizgisi üzerinde tek bir noktayla ilişkili olduğundan koordinat çizgisi üzerindeki başka hiçbir nokta sıfıra karşılık gelmez. Aynı sebepten dolayı sıfırdan farklı herhangi bir sayı, orijinden farklı bir noktaya karşılık gelir. Ve orijinden O noktası dışındaki herhangi bir noktaya olan mesafe sıfır değildir, çünkü iki nokta arasındaki mesafe ancak ve ancak bu noktalar çakışırsa sıfırdır. Yukarıdaki mantık, yalnızca sıfır modülünün sıfıra eşit olduğunu kanıtlar.

Devam etmek. Karşıt sayıların eşit modülleri vardır, yani herhangi bir sayı için a. Nitekim koordinat doğrusu üzerinde koordinatları zıt sayılar olan iki nokta orijinden aynı uzaklıkta bulunmaktadır, yani zıt sayıların modülleri eşittir.

Modülün aşağıdaki özelliği: İki sayının çarpımının modülü bu sayıların modüllerinin çarpımına eşittir, yani, . Tanım gereği, a ve b sayılarının çarpımının modülü ya a·b'ye ya da eğer −(a·b)'ye eşittir. Reel sayıların çarpım kurallarından, a ve b sayılarının modüllerinin çarpımının a·b, veya -(a·b) if'e eşit olduğu sonucu çıkar ve bu da söz konusu özelliği kanıtlar.

a'nın b'ye bölümünün modülü, bir sayının modülünün b'nin modülüne bölümüne eşittir, yani, . Modülün bu özelliğini gerekçelendirelim. Bölüm ürüne eşit olduğundan, o zaman. Sahip olduğumuz önceki mülk sayesinde . Geriye kalan tek şey, bir sayının modülünün tanımı nedeniyle geçerli olan eşitliği kullanmaktır.

Bir modülün aşağıdaki özelliği eşitsizlik olarak yazılır: , a , b ve c keyfi gerçek sayılardır. Yazılı eşitsizlik bundan başka bir şey değil üçgen eşitsizliği. Bunu açıklığa kavuşturmak için koordinat doğrusu üzerinde A(a), B(b), C(c) noktalarını alalım ve köşeleri aynı doğru üzerinde olan dejenere bir ABC üçgenini ele alalım. Tanım gereği, farkın modülü AB parçasının uzunluğuna, - AC parçasının uzunluğuna ve - CB parçasının uzunluğuna eşittir. Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu diğer iki kenarın uzunluklarının toplamını aşmadığından eşitsizlik doğrudur dolayısıyla eşitsizlik de doğrudur.

Az önce kanıtlanan eşitsizlik şu biçimde çok daha yaygındır: . Yazılı eşitsizlik genellikle aşağıdaki formülasyonla modülün ayrı bir özelliği olarak kabul edilir: “ İki sayının toplamının modülü, bu sayıların modüllerinin toplamını aşmaz" Ancak b yerine -b koyarsak ve c=0 alırsak eşitsizlik doğrudan eşitsizlikten kaynaklanır.

Karmaşık bir sayının modülü

Hadi verelim karmaşık bir sayının modülünün tanımı. Bize verilsin karmaşık sayı cebirsel biçimde yazılmıştır; burada x ve y, belirli bir z karmaşık sayısının sırasıyla gerçek ve sanal kısımlarını temsil eden bazı gerçek sayılardır ve sanal birimdir.

Öğrencilerin en çok zorlandıkları konulardan biri modül işareti altında değişken içeren denklemlerin çözülmesidir. Önce bunun neyle bağlantılı olduğunu bulalım mı? Örneğin, neden çoğu çocuk ikinci dereceden denklemleri fındık gibi çözüyor ama modül gibi karmaşık olmaktan uzak bir kavramla ilgili bu kadar çok sorun yaşıyor?

Benim düşünceme göre, tüm bu zorluklar, modüllü denklemleri çözmek için açıkça formüle edilmiş kuralların bulunmamasından kaynaklanmaktadır. Yani karar vermek ikinci dereceden denklem, öğrenci önce diskriminant formülünü, ardından ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülleri uygulaması gerektiğini kesin olarak bilir. Denklemde bir modül bulunursa ne yapmalı? Denklemin modül işareti altında bir bilinmeyen içermesi durumu için gerekli eylem planını net bir şekilde anlatmaya çalışacağız. Her durum için birkaç örnek vereceğiz.

Ama önce şunu hatırlayalım modül tanımı. Yani sayıyı modüle edin A bu numaranın kendisi şu şekilde çağrılır: A Negatif olmayan ve -A eğer sayı A Sıfırdan daha az. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

|bir| = a eğer a ≥ 0 ve |a| = -a eğer a< 0

Modülün geometrik anlamından bahsederken, her gerçek sayının sayı ekseninde belirli bir noktaya karşılık geldiğini unutmamak gerekir - onun koordinat. Yani bir sayının modülü veya mutlak değeri, bu noktadan sayısal eksenin orijinine olan mesafedir. Mesafe her zaman pozitif bir sayı olarak belirtilir. Dolayısıyla herhangi bir negatif sayının modülü pozitif bir sayıdır. Bu arada, bu aşamada bile birçok öğrencinin kafası karışmaya başlıyor. Modül herhangi bir sayıyı içerebilir, ancak modülü kullanmanın sonucu her zaman pozitif bir sayıdır.

Şimdi doğrudan denklemlerin çözümüne geçelim.

1. |x| biçiminde bir denklem düşünün = c, burada c bir gerçek sayıdır. Bu denklem modül tanımı kullanılarak çözülebilir.

Tüm reel sayıları sıfırdan büyük olanlar, sıfırdan küçük olanlar ve üçüncü grup da 0 sayısı olmak üzere üç gruba ayırıyoruz. Çözümü diyagram şeklinde yazıyoruz:

(±c, eğer c > 0 ise

Eğer |x| = c ise x = (0, eğer c = 0 ise

(eğer varsa kök yok< 0

1) |x| = 5, çünkü 5 > 0 ise x = ±5;

2) |x| = -5, çünkü -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sonra x = 0.

2. |f(x)| formunun denklemi = b, burada b > 0. Bu denklemi çözmek için modülden kurtulmak gerekir. Bunu şu şekilde yaparız: f(x) = b veya f(x) = -b. Şimdi ortaya çıkan denklemlerin her birini ayrı ayrı çözmeniz gerekiyor. Orijinal denklemde b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4 çünkü 4 > 0 ise

x + 2 = 4 veya x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, çünkü 11 > 0 ise

x 2 – 5 = 11 veya x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 kök yok

3) |x 2 – 5x| = -8, çünkü -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| biçiminde bir denklem =g(x). Modülün anlamına göre böyle bir denklemin sağ tarafı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse çözümleri olacaktır; g(x) ≥ 0. O zaman elimizde:

f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Eğer 5x – 10 ≥ 0 ise bu denklemin kökleri olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümü burada başlar.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Çözüm:

2x – 1 = 5x – 10 veya 2x – 1 = -(5x – 10)

3. O.D.Z.'yi birleştiriyoruz. ve çözümü elde ederiz:

Kök x = 11/7 O.D.Z.'ye uymaz, 2'den küçüktür, ancak x = 3 bu koşulu karşılar.

Cevap: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözelim:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Çözüm:

x – 1 = 1 – x 2 veya x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 veya x = 1 x = 0 veya x = 1

3. Çözümü ve O.D.Z.'yi birleştiriyoruz:

Yalnızca x = 1 ve x = 0 kökleri uygundur.

Cevap: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| formunun denklemi = |g(x)|. Böyle bir denklem aşağıdaki iki denkleme eşdeğerdir: f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Bu denklem aşağıdaki ikisine eşdeğerdir:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 veya x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 veya x = 4 x = 2 veya x = 1

Cevap: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Yerine koyma yöntemi (değişken yerine koyma) ile çözülen denklemler. Bu çözüm yöntemi en kolay şekilde şu şekilde açıklanmaktadır: spesifik örnek. O halde bize modüllü ikinci dereceden bir denklem verilsin:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Modül özelliğine göre x 2 = |x| 2, böylece denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. |x| yerine koyalım. = t ≥ 0 olursa:

t 2 – 6t + 5 = 0. Bu denklemi çözdüğümüzde t = 1 veya t = 5 buluruz. Yer değiştirmeye dönelim:

|x| = 1 veya |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Cevap: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Başka bir örneğe bakalım:

x 2 + |x| – 2 = 0. Modül özelliğine göre x 2 = |x| 2, bu nedenle

|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x| yerine koyma işlemini yapalım. = t ≥ 0 ise:

t 2 + t – 2 = 0. Bu denklemi çözerek t = -2 veya t = 1 elde ederiz. Yer değiştirmeye dönelim:

|x| = -2 veya |x| = 1

Kök yok x = ± 1

Cevap: x = -1, x = 1.

6. Diğer bir denklem türü ise “karmaşık” modülü olan denklemlerdir. Bu tür denklemler "bir modül içinde modüller" içeren denklemleri içerir. Bu tür denklemler modülün özellikleri kullanılarak çözülebilir.

1) |3 – |x|| = 4. İkinci tip denklemlerde olduğu gibi hareket edeceğiz. Çünkü 4 > 0 olursa iki denklem elde ederiz:

3 – |x| = 4 veya 3 – |x| = -4.

Şimdi her denklemde x modülünü ifade edelim, sonra |x| = -1 veya |x| = 7.

Ortaya çıkan denklemlerin her birini çözüyoruz. İlk denklemde kök yok çünkü -1< 0, а во втором x = ±7.

Cevap x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Bu denklemi benzer şekilde çözüyoruz:

3 + |x + 1| = 5 veya 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 veya x + 1 = -2. Kök yok.

Cevap: x = -3, x = 1.

Modüllü denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem de vardır. Bu aralık yöntemidir. Ama buna daha sonra bakacağız.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bir sayının mutlak değeri A orijinden noktaya olan mesafedir A(A).

Bu tanımı anlamak için değişkenin yerine koyalım A herhangi bir sayı, örneğin 3 ve tekrar okumayı deneyin:

Bir sayının mutlak değeri 3 orijinden noktaya olan mesafedir A(3 ).

Modülün sıradan bir mesafeden başka bir şey olmadığı ortaya çıkıyor. Başlangıç ​​noktasından A noktasına olan mesafeyi görmeye çalışalım( 3 )

Başlangıç ​​noktasından A noktasına olan mesafe ( 3 ) 3'e eşittir (üç birim veya üç adım).

Bir sayının modülü iki dikey çizgiyle gösterilir, örneğin:

3 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |3|

4 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |4|

5 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |5|

3 sayısının modülünü aradık ve 3'e eşit olduğunu gördük. Bunu yazıyoruz:

Şöyle okur: "Üç sayısının modülü üçtür"

Şimdi -3 sayısının modülünü bulmaya çalışalım. Tekrar tanıma dönüyoruz ve -3 rakamını yerine koyuyoruz. Yalnızca nokta yerine A yeni bir nokta kullan B. Tam durak Aİlk örnekte zaten kullanmıştık.

Sayının modülü - 3 orijinden bir noktaya olan mesafedir B(—3 ).

Bir noktadan diğerine olan mesafe negatif olamaz. Bu nedenle herhangi bir negatif sayının modülü, uzaklık olduğundan, negatif olmayacaktır. -3 sayısının modülü 3 sayısı olacaktır. Orijinden B(-3) noktasına olan mesafe de üç birime eşittir:

Şöyle okur: "Eksi üçün modülü üçtür."

0 sayısının modülü 0'a eşittir, çünkü 0 koordinatına sahip nokta koordinatların orijini ile çakışır, yani. başlangıç ​​noktasından noktaya uzaklık Ç(0) sıfıra eşittir:

"Sıfırın modülü sıfırdır"

Sonuç çıkarıyoruz:

• Bir sayının modülü negatif olamaz;
• Pozitif bir sayı ve sıfır için modül, sayının kendisine eşittir ve negatif bir sayı için - zıt sayı;
• Karşıt sayıların modülleri eşittir.

Zıt sayılar

Yalnızca işaretleri farklı olan sayılara denir zıt. Örneğin -2 ve 2 sayıları zıttır. Sadece işaretlerde farklılık gösterirler. −2 sayısının eksi işareti, 2'nin de artı işareti vardır, ancak biz onu göremiyoruz çünkü artı, daha önce de söylediğimiz gibi, geleneksel olarak yazılmaz.

Zıt sayılara daha fazla örnek:

Karşıt sayıların modülleri eşittir. Örneğin -2 ve 2'nin modüllerini bulalım

Şekil, başlangıç ​​noktasından noktalara olan mesafeyi göstermektedir. A(−2) Ve B(2) eşit olarak iki adıma eşittir.

Dersi beğendin mi?
Bize katılın yeni Grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın

A aşağıdaki kurallara göre hesaplanır:

Kısalık sağlamak için notasyonlar kullanılır |bir|. Yani |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 vb.

Her boyutta X oldukça doğru bir değere karşılık gelir | X|. Ve bu demek ki kimlik en= |X| setleri en bazıları gibi argüman işlevi X.

Takvim Bu işlevler aşağıda sunulmuştur.

İçin X > 0 |X| = X, ve için X< 0 |X|= -X; bu bağlamda y = | doğrusu X| en X> 0 düz bir çizgiyle birleştirilir y = x(ilk koordinat açısının açıortayı) ve ne zaman X< 0 - с прямой y = -x(ikinci koordinat açısının açıortayı).

Ayırmak denklemler bilinmeyenleri işaretin altına dahil et modül.

Bu tür denklemlerin keyfi örnekleri - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+1 vb.

Denklemleri çözme Modül işareti altında bir bilinmeyen içermesi, bilinmeyen sayının mutlak değerinin x'e eşit olması gerçeğine dayanmaktadır. pozitif sayı a ise bu sayı x'in kendisi ya a'ya ya da -a'ya eşittir.

Örneğin:, eğer | X| = 10 ise veya X=10 veya X = -10.

Hadi düşünelim bireysel denklemleri çözme.

Denklemin çözümünü analiz edelim | X- 1| = 2.

Modülü genişletelim o zaman fark X- 1, +2 veya -2'ye eşit olabilir. Eğer x - 1 = 2 ise, o zaman X= 3; eğer X- 1 = - 2 ise X= - 1. Bir ikame yaparız ve bu değerlerin her ikisinin de denklemi sağladığını buluruz.

Cevap. Yukarıdaki denklemin iki kökü vardır: X 1 = 3, X 2 = - 1.

Hadi analiz edelim denklemin çözümü | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Sonrasında modül genişletmeşunu elde ederiz: veya 6 - 2 X= 3X+ 1 veya 6 - 2 X= - (3X+ 1).

İlk durumda X= 1 ve ikincisinde X= - 7.

Muayene.Şu tarihte: X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; mahkemeden şu sonuç çıkıyor, X = 1 - kök verildi denklemler.

Şu tarihte: X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20; 20 ≠ -20'den beri, o zaman X= - 7 bu denklemin kökü değil.

Cevap. sen Denklemin tek kökü vardır: X = 1.

Bu tür denklemler olabilir çöz ve grafiksel olarak.

Öyleyse karar verelim Örneğin, grafiksel denklem | X- 1| = 2.

İlk önce inşa edeceğiz fonksiyon grafikleri en = |X- 1|. İlk önce fonksiyonun grafiğini çizelim en=X- 1:

O kısmı grafik Sanatları eksenin üzerinde yer alan X Bunu değiştirmeyeceğiz. Onun için X- 1 > 0 ve dolayısıyla | X-1|=X-1.

Grafiğin eksenin altında bulunan kısmı X, hadi tasvir edelim simetrik olarak bu eksene göre. Çünkü bu kısım için X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Sonuç astar(düz çizgi) ve olacak fonksiyon grafiği y = | X—1|.

Bu çizgi ile kesişecek dümdüz en= 2 iki noktada: apsis -1 ile M 1 ve apsis 3 ile M 2. Ve buna göre denklem | X- 1| =2 iki kök olacak: X 1 = - 1, X 2 = 3.