Önceki makalelerden birinde bir sayının kuvvetinden bahsetmiştik. Bugün anlamını bulma sürecinde gezinmeye çalışacağız. Bilimsel olarak konuşursak, bir güce nasıl doğru şekilde yükseltilebileceğimizi bulacağız. Bu sürecin nasıl yürütüldüğünü anlayacağız ve aynı zamanda olası tüm üslere de değineceğiz: doğal, irrasyonel, rasyonel, tamsayı.

Öyleyse örneklerin çözümlerine daha yakından bakalım ve ne anlama geldiğini öğrenelim:

1. Kavramın tanımı.
2. Negatif sanata yükselmek.
3. Tam sayı göstergesi.
4. Bir sayıyı yükseltmek irrasyonel derece.

İşte anlamını tam olarak yansıtan bir tanım: “Üslülük, bir sayının üssünün değerinin tanımıdır.”

Buna göre, Sanatta a sayısının yükseltilmesi. r ve a derecesinin değerini r üssüyle bulma süreci aynı kavramlardır. Örneğin görev (0,6)6″ kuvvetinin değerini hesaplamaksa, o zaman “0,6 sayısını 6 kuvvetine çıkar” ifadesine basitleştirilebilir.

Bundan sonra doğrudan inşaat kurallarına geçebilirsiniz.

Negatif güce yükseltme

Açıklık sağlamak için aşağıdaki ifadeler zincirine dikkat etmelisiniz:

110=0,1=1* 10 eksi 1 yemek kaşığı.,

1100=0,01=1*10 eksi 2 derece,

11000=0,0001=1*10 eksi 3 ilmek,

110000=0,00001=1*10 ila eksi 4 derece.

Bu örnekler sayesinde 10'un herhangi bir eksi kuvvetini anında hesaplayabilme yeteneğini açıkça görebilirsiniz. Bu amaçla ondalık bileşeni basitçe kaydırmak yeterlidir:

• 10'dan -1 dereceye kadar - birden önce 1 sıfır vardır;
• -3'te - birden önce üç sıfır;
• -9'da 9 sıfır vardır ve bu böyle devam eder.

10 eksi 5 yemek kaşığının ne kadar olacağını da bu şemadan anlamak kolaydır. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Bir sayının doğal gücüne nasıl yükseltilir

Tanımı hatırlayarak, Sanat'taki a doğal sayısını dikkate alıyoruz. n, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşittir. Örnekleyelim: (a*a*…a)n, burada n çarpılan sayıların sayısıdır. Buna göre a'yı n'ye yükseltmek için çarpımı şu şekilde hesaplamak gerekir: a*a*…a bölü n çarpı.

Bundan açıkça anlaşılıyor ki doğal st'ye yükseltiliyor. çarpma işlemini gerçekleştirme yeteneğine dayanır(Bu materyal reel sayıların çarpılması bölümünde ele alınmıştır). Soruna bakalım:

-2'yi 4. ilmeğe yükseltin.

Doğal bir göstergeyle karşı karşıyayız. Buna göre kararın seyri şu şekilde olacaktır: (-2) md. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Şimdi geriye kalan tek şey tam sayıları çarpmak: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). 16 alıyoruz.

Sorunun cevabı:

(-2) Sanatta. 4=16.

Örnek:

Değeri hesaplayın: üç virgül iki yedinin karesi.

Bu örnekşu çarpıma eşittir: üç virgül iki yedinin üç virgül iki yediyle çarpılması. Karışık sayıların nasıl çarpıldığını hatırlayarak inşaatı tamamlıyoruz:

• 3 nokta 2 yedinin kendi kendisiyle çarpılması;
• 23 yedinci çarpı 23 yedinciye eşittir;
• 529 kırk dokuzda eşittir;
• azaltırız ve 10 otuz dokuz kırk dokuzuncu elde ederiz.

Cevap: 10 39/49

İrrasyonel bir üsse yükseltme konusuna gelince, hesaplamaların, derece tabanının, değerin belirli bir doğrulukla elde edilmesini sağlayacak herhangi bir rakama ön yuvarlanmasının tamamlanmasından sonra yapılmaya başlandığı belirtilmelidir. Örneğin P(pi) sayısının karesini almamız gerekiyor.

P'yi yüzde birlere yuvarlayarak başlıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

P kare = (3,14)2=9,8596. Ancak P'yi on binde bire indirirsek P = 3,14159 elde ederiz. O zaman karesi tamamen farklı bir sayı verir: 9,8695877281.

Burada birçok problemde irrasyonel sayıların kuvvetlerini yükseltmeye gerek olmadığını belirtmek gerekir. Kural olarak, cevap ya gerçek derece biçiminde, örneğin 6'nın kökü üzeri 3 şeklinde girilir veya ifade izin veriyorsa dönüşümü gerçekleştirilir: 5 ila 7 derecenin kökü = 125'in kökü 5.

Bir sayının tam sayı üssüne nasıl yükseltilir

Bu cebirsel işlem uygundur aşağıdaki durumları dikkate alın:

• tamsayılar için;
• sıfır göstergesi için;
• pozitif bir tamsayı üssü için.

Neredeyse tüm pozitif tamsayılar doğal sayıların kütlesiyle çakıştığından, pozitif tamsayı kuvvetine ayarlamak, Madde 2'deki ayarlamayla aynı süreçtir. doğal. Bu süreci önceki paragrafta anlattık.

Şimdi st'nin hesaplanması hakkında konuşalım. hükümsüz. Yukarıda, a sayısının sıfır kuvvetinin, sıfır olmayan herhangi bir a (gerçek) için belirlenebileceğini, oysa Sanat'ta a'nın belirlenebileceğini öğrenmiştik. 0, 1'e eşit olacaktır.

Buna göre herhangi bir gerçek sayıyı sıfıra yükseltmek. birini verecek.

Örneğin st. 0=1'de 10, (-3.65)0=1 ve st.'de 0. 0 belirlenemez.

Tamsayı kuvvetine yükseltmeyi tamamlamak için, negatif tamsayı değerlerine ilişkin seçeneklere karar vermek kalır. Sanat'ı hatırlıyoruz. a'dan tam sayı üslü -z kesir olarak tanımlanacaktır. Kesrin paydası st. değerini bulmayı zaten öğrendiğimiz pozitif bir tamsayı değeriyle. Şimdi geriye kalan tek şey bir inşaat örneğini düşünmek.

Örnek:

Negatif tamsayı üssüyle 2 sayısının küpünün değerini hesaplayın.

Çözüm süreci:

Negatif üslü bir derecenin tanımına göre şunu ifade ediyoruz: iki eksi 3 derece. bir üzeri iki üzeri üçüncü kuvvete eşittir.

Payda basitçe hesaplanır: iki küp;

3 = 2*2*2=8.

Cevap: iki üzeri eksi 3. sanat. = sekizde bir.

Bu materyalde bir sayının kuvvetinin ne olduğuna bakacağız. Temel tanımların yanı sıra doğal, tamsayı, rasyonel ve irrasyonel üslü kuvvetlerin neler olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi tüm kavramlar örnek problemlerle anlatılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk olarak, bir derecenin temel tanımını doğal bir üsle formüle edelim. Bunu yapmak için çarpma işleminin temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik gerçek sayıyı (a harfiyle gösterilir), gösterge olarak da doğal sayıyı (n harfiyle gösterilir) esas alacağımızı önceden belirtelim.

Tanım 1

Doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şu şekilde yazılır: BİR ve bir formül biçiminde bileşimi şu şekilde temsil edilebilir:

Örneğin üs 1 ve taban a ise a'nın birinci kuvveti şu şekilde yazılır: 1. a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: bir 1 = bir.

Genel olarak derecenin çok sayıda eşit faktörü yazmanın uygun bir şekli olduğunu söyleyebiliriz. Yani formun bir kaydı 8 8 8 8 kısaltılabilir 8 4 . Aynı şekilde, bir eser de kayıttan kaçınmamıza yardımcı olur büyük sayı terimler (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Bunu doğal sayıların çarpımına ayrılmış makalede zaten tartışmıştık.

Derece girişi nasıl doğru okunur? Genel olarak kabul edilen seçenek “a üzeri n”dir. Veya “a'nın n'inci kuvveti” veya “anth kuvveti” diyebilirsiniz. Diyelim ki örnekte girişle karşılaştık 8 12 "8 üssü 12", "8 üssü 12" veya "8'in 12. kuvveti" şeklinde okuyabiliriz.

Sayıların ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin kendi yerleşik isimleri vardır: kare ve küp. İkinci kuvveti görürsek örneğin 7 (7 2) sayısını görürsek “7'nin karesi” veya “7 sayısının karesi” diyebiliriz. Benzer şekilde üçüncü derece şu şekilde okunur: 5 3 - bu “5 ​​sayısının küpü” veya “5'in küpü”dür. Ancak standart formülasyonu “ikinci/üçüncü kuvvete” de kullanabilirsiniz; bu bir hata olmayacaktır.

Örnek 1

Doğal üssü olan bir derece örneğine bakalım: 5 7 beşi taban, yedisi üs olacak.

Tabanın bir tam sayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 Taban kesir 4, 32, üs ise dokuz olacaktır. Parantezlere dikkat edin: Bu gösterim, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvetler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Parantez ne işe yarar? Hesaplamalardaki hataların önlenmesine yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 Ve − 2 3 . İlki şu anlama geliyor negatif sayı eksi ikinin doğal üs üç ile üssü; ikincisi derecenin zıt değerine karşılık gelen sayıdır 2 3 .

Bazen kitaplarda bir sayının kuvvetinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir^n(burada a taban ve n üstür). Yani 4^9 eşittir 4 9 . Eğer n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ama notasyonu kullanacağız BİR daha yaygın olduğu için.

Bir üssün değerinin doğal bir üsle nasıl hesaplanacağını tanımından tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci sayıda çarpmanız gerekir. Bu konuda daha ayrıntılı olarak başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematik kavramının, bir sayının kökü olanın tersidir. Gücün değerini ve üssünü bilirsek tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde tartıştığımız, problemlerin çözümünde yararlı olan bazı spesifik özellikleri vardır.

Üslü sayılar yalnızca doğal sayıları değil, aynı zamanda tam sayılar kümesine ait oldukları için negatif olanlar ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tam sayı değerini de içerebilir.

Tanım 2

Pozitif tamsayı üssü olan bir sayının kuvveti bir formülle temsil edilebilir: .

Bu durumda n herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Sıfır derece kavramını anlayalım. Bunu yapmak için eşit tabanlara sahip kuvvetler için bölüm özelliğini dikkate alan bir yaklaşım kullanıyoruz. Bu şekilde formüle edilmiştir:

Tanım 3

Eşitlik a m: a n = a m - n aşağıdaki koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölünmeyi önler. M ve n değerleri eşitse aşağıdaki sonucu elde ederiz: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 bir bölümdür eşit sayılar BİR ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak böyle bir ispat sıfırın sıfırıncı kuvveti için geçerli değildir. Bunu yapmak için güçlerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var; eşit temellere sahip güçlerin çarpımlarının özelliği. Şuna benziyor: bir m · bir n = bir m + n .

Eğer n 0'a eşitse, o zaman a m · a 0 = a m(Bu eşitlik aynı zamanda bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer ve de sıfıra eşitse eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m · 0 0 = 0 m n'nin herhangi bir doğal değeri için bu doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak ne olduğu önemli değildir. 0 0 yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin doğruluğunu etkilemez. Bu nedenle formun notasyonu 0 0 kendine özel bir anlamı yoktur ve biz de ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derecenin tabanının sıfır olmaması şartıyla. Dolayısıyla sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti birdir.

Örnek 2

Belirli sayıların olduğu bir örneğe bakalım: 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değer 0 0 tanımlanmadı.

Sıfır dereceden sonra negatif derecenin ne olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için yukarıda kullandığımız eşit tabanlı kuvvetlerin çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Koşulu tanıtalım: m = − n, o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Bundan şu sonuç çıkıyor bir - n · bir n = bir - n + n = bir 0 = 1. Görünüşe göre bir n ve a−n Karşılıklı olarak karşılıklı sayılarımız var.

Sonuç olarak, a'nın negatif tam kuvveti 1 a n kesirinden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, negatif tam sayı üslü bir derece için, doğal üslü bir derecenin sahip olduğu tüm aynı özelliklerin geçerli olduğunu doğrular (tabanın sıfıra eşit olmaması şartıyla).

Örnek 3

Negatif tamsayı üssü n olan bir a kuvveti, 1 a n kesri olarak temsil edilebilir. Dolayısıyla a - n = 1 a n bir ≠ 0 ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Fikrimizi spesifik örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son kısmında söylenen her şeyi net bir şekilde tek bir formülle tasvir etmeye çalışacağız:

Tanım 4

Doğal üssü z olan bir sayının kuvveti şöyledir: a z = a z, e ile l ve z - pozitif tamsayı 1, z = 0 ve a ≠ 0, (z = 0 ve a = 0 için sonuç 0 0'dır, ifadesinin değerleri 0 0 tanımlanmamıştır) 1 a z, if ve z negatif bir tam sayı ise ve a ≠ 0 ( z negatif bir tam sayı ise ve a = 0 ise 0 z elde edersiniz, egoz değeri belirsizdir)

Rasyonel üssü olan kuvvetler nelerdir?

Üssün tam sayı içerdiği durumları inceledik. Bununla birlikte, üssü kesirli bir sayı içerse bile bir sayının üssünü yükseltebilirsiniz. Buna c derecesi denir rasyonel gösterge. Bu bölümde diğer güçlerle aynı özelliklere sahip olduğunu kanıtlayacağız.

Rasyonel sayılar nedir? Çeşitliliği hem bütün hem de kesirli sayılar kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak temsil edilebilir. Bir a sayısının kuvvetinin tanımını m / n kesirli üssüyle formüle edelim; burada n bir doğal sayı ve m bir tam sayıdır.

Kesirli bir m n üssüne sahip bir derecemiz var. Güç-güç özelliğinin geçerli olabilmesi için a m n n = a m n · n = a m eşitliğinin doğru olması gerekir.

N'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, m, n ve a'nın verilen değerleri için a m n anlamlıysa a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Tamsayı üssü olan bir derecenin yukarıdaki özellikleri a m n = a m n koşulu altında doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şudur: m / n kesirli üssü olan belirli bir a sayısının kuvveti, a sayısının m üssünün n'inci köküdür. Verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesinin anlamlı kalması durumunda bu doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için - kesinlikle daha az olacak bir a alalım (m ≤ 0 için) alıyoruz 0 m ancak böyle bir derece tanımlanmamıştır). Bu durumda kesirli üslü bir derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Bazıları için kesirli üssü m/n olan kuvvet pozitif sayı a, a'nın m üssüne yükseltilmiş n'inci köküdür. Bu bir formülle ifade edilebilir:

Sıfır tabanlı bir kuvvet için bu hüküm de uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayı ise.

Tabanı sıfır ve kesirli pozitif üssü m/n olan bir kuvvet şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, m'nin pozitif bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olması koşuluyla.

Negatif bir oran için m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktaya dikkat edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması koşulunu getirdiğimizden, bazı durumları göz ardı ettik.

A m n ifadesi bazen a ve bazı m'nin bazı negatif değerleri için hala anlamlıdır. Dolayısıyla doğru girişler (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 olup tabanı negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekecek: üssünde indirgenebilir bir sıradan kesir bulunan a derecesi, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesirin bulunduğu a derecesi olarak kabul edilir. Daha sonra neden bu duruma ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Dolayısıyla, eğer a m · k n · k notasyonuna sahipsek, bunu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

Eğer n tek bir sayıysa ve m'nin değeri pozitifse ve a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. A'nın negatif olmaması koşulu gereklidir çünkü negatif bir sayıdan çift dereceli bir kök çıkarılamaz. Eğer m'nin değeri pozitifse, a hem negatif hem de sıfır olabilir, çünkü Tek kök herhangi bir gerçek sayıdan alınabilir.

Yukarıdaki tanımların tümünü tek bir girişte birleştirelim:

Burada m/n indirgenemez bir kesir anlamına gelir, m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Tanım 5

Herhangi bir sıradan indirgenebilir kesir m · k n · k için derece, a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üssü m / n olan bir a sayısının kuvveti aşağıdaki durumlarda a m n olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a için, tam sayı pozitif değerler m ve tek doğal değerler n. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Sıfırdan farklı herhangi bir gerçek a, m'nin negatif tamsayı değerleri ve n'nin tek değerleri için, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Negatif olmayan herhangi bir a, pozitif tam sayı m ve hatta n için, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a, negatif tamsayı m ve çift n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Diğer değerlerde kesirli üslü derece belirlenmez. Bu tür derecelere örnekler: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Şimdi yukarıda tartışılan koşulun önemini açıklayalım: neden indirgenebilir üssü olan bir kesiri indirgenemez üssü olan bir kesirle değiştirelim? Eğer bunu yapmasaydık şu durumlarla karşı karşıya kalacaktık: 6/10 = 3/5. O zaman doğru olmalıdır (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

İlk olarak sunduğumuz kesirli üslü derece tanımının pratikte kullanılması ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden onu kullanmaya devam edeceğiz.

Tanım 6

Böylece, kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. Negatif olması durumunda A a m n notasyonu bir anlam ifade etmiyor. Pozitif kesirli üsler için sıfırın kuvveti a/n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamıyoruz.

Sonuç olarak, herhangi bir kesirli göstergenin şu şekilde yazılabileceğini not ediyoruz: karışık sayı ve formda ondalık: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Hesaplarken, üssü sıradan bir kesirle değiştirmek ve ardından üssün tanımını kesirli bir üsle kullanmak daha iyidir. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

İrrasyonel ve gerçek üslü kuvvetler nelerdir?

Gerçek sayılar nedir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle reel üslü derecenin ne olduğunu anlayabilmek için rasyonel ve irrasyonel üslü dereceleri tanımlamamız gerekir. Yukarıda rasyonel olanlardan bahsetmiştik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.

Örnek 5

İrrasyonel bir a sayısı ve onun ondalık yaklaşıkları olan a 0 , a 1 , a 2 , dizisine sahip olduğumuzu varsayalım. . . . Örneğin a = 1,67175331 değerini alalım. . . , Daha sonra

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Yaklaşım dizilerini a a 0 , a a 1 , a a 2 , derece dizisiyle ilişkilendirebiliriz. . . . Sayıların rasyonel kuvvetlere yükseltilmesi konusunda daha önce söylediklerimizi hatırlarsak o zaman bu kuvvetlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

Örneğin ele alalım bir = 3, bu durumda a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . vesaire.

Kuvvetler dizisi, a tabanı ve irrasyonel üssü a olan kuvvetin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1, 67175331 formunun irrasyonel üssüne sahip bir derece. . 6, 27 sayılarına kadar azaltılabilir.

Tanım 7

İrrasyonel bir a üssüne sahip pozitif bir a sayısının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0 , a a 1 , a a 2 , dizisinin limitidir. . . , burada a 0 , a 1 , a 2 , . . . a irrasyonel sayısının ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Pozitif irrasyonel üsler için sıfır tabanlı bir derece de tanımlanabilir; 0 a = 0 Yani, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ancak negatif olanlar için bu yapılamaz çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Örneğin, herhangi bir irrasyonel güce yükseltilmiş bir birim bir birim olarak kalır ve 1 2, 1 5'te 2 ve 1 - 5, 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Cebirde ve tüm matematikte temel özelliklerden biri derecedir. Elbette 21. yüzyılda tüm hesaplamalar çevrimiçi hesap makinesiyle yapılabiliyor ancak bunu kendi başınıza yapmayı öğrenmek beyin gelişimi için daha iyidir.

Bu yazımızda bu tanımla ilgili en önemli konuları ele alacağız. Yani genel olarak ne olduğunu ve temel fonksiyonlarının neler olduğunu, matematikte hangi özelliklerin bulunduğunu anlayalım.

Hesaplamanın neye benzediğine ve temel formüllerin ne olduğuna dair örneklere bakalım. Ana miktar türlerine ve bunların diğer işlevlerden nasıl farklı olduğuna bakalım.

Bu miktarı kullanarak çeşitli problemleri nasıl çözeceğimizi anlayalım. Sıfırıncı kuvvete, irrasyonel, negatif vb. değerlerin nasıl yükseltileceğini örneklerle göstereceğiz.

Çevrimiçi üs hesaplayıcı

Bir sayının kuvveti nedir

"Bir sayıyı bir kuvvete çıkarmak" ifadesiyle ne kastedilmektedir?

Bir sayının kuvveti n, art arda n kez büyüklük faktörlerinin çarpımıdır.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

a n = a * a * a * …a n .

Örneğin:

• Üçüncü derecede 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 adıma. iki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 adıma. dört = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 adımda 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 adımda. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1'den 10'a kadar kareler ve küplerden oluşan bir tablo bulunmaktadır.

1'den 10'a kadar derece tablosu

Aşağıda doğal sayıları pozitif kuvvetlere (1'den 100'e) yükseltmenin sonuçları verilmiştir.

Derecelerin özellikleri

Böyle bir matematiksel fonksiyonun özelliği nedir? Temel özelliklerine bakalım.

Bilim adamları aşağıdakileri tespit etti: tüm derecelerin karakteristik işaretleri:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Örneklerle kontrol edelim:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Öte yandan, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Benzer şekilde: 2 3: 2 2 = 8/4 =2. Aksi halde 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ya farklıysa? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüğünüz gibi kurallar işe yarıyor.

Peki ya toplama ve çıkarma ile? Çok basit. Önce üs alma, sonra toplama ve çıkarma işlemi yapılır.

Örneklere bakalım:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Lütfen dikkat: İlk önce çıkarma yaparsanız kural geçerli olmayacaktır: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ancak bu durumda parantez içinde eylemler olduğundan önce toplama işlemini hesaplamanız gerekir: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Nasıl üretilir daha fazla hesaplama zor vakalar ? Sıra aynı:

• parantezler varsa onlarla başlamanız gerekir;
• sonra üs alma;
• daha sonra çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştirin;
• toplamadan sonra çıkarma.

Tüm derecelerin özelliği olmayan belirli özellikler vardır:

1. Bir a sayısının m dereceye kadar n'inci kökü şu şekilde yazılacaktır: a m / n.
2. Bir kesri bir kuvvete yükseltirken: hem pay hem de payda bu prosedüre tabidir.
3. Bir eseri inşa ederken farklı sayılar bir kuvvete göre ifade, bu sayıların verilen kuvvetle çarpımına karşılık gelecektir. Yani: (a * b) n = a n * b n .
4. Bir sayıyı negatif kuvvete yükseltirken, 1'i aynı yüzyıldaki ancak “+” işareti olan bir sayıya bölmeniz gerekir.
5. Bir kesrin paydası negatif bir kuvvet ise, bu ifade pay ve paydanın pozitif kuvvetinin çarpımına eşittir.
6. Herhangi bir sayının üssü 0 = 1 ve üssü 0 = 1'dir. 1 = kendinize.

Bu kurallar bazı durumlarda önemlidir; bunları aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Negatif üslü derece

Eksi dereceyle ne yapmalı, yani gösterge negatif olduğunda?

4 ve 5 numaralı özelliklere göre(yukarıdaki noktaya bakın), çıkıyor:

Bir (- n) = 1 / Bir n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

Ve tam tersi:

1/A (- n) = Bir n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

Peki ya kesirli ise?

(A/B) (- n) = (B/A)n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Doğal göstergeli derece

Üslü sayıların tam sayılara eşit olduğu bir derece olarak anlaşılır.

Hatırlanması gerekenler:

0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...vb.

bir 1 = bir, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...vb.

Ayrıca (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... ise sonuç “+” işaretli olacaktır. Negatif bir sayı tek kuvvete yükseltilirse, bunun tersi de geçerlidir.

Genel özellikler ve yukarıda açıklanan tüm spesifik özellikler de onların karakteristik özelliğidir.

Kesirli derece

Bu tip bir şema olarak yazılabilir: A m / n. Şöyle okuyun: A sayısının n'inci kökü m üssü.

Kesirli göstergeyle istediğinizi yapabilirsiniz: azaltın, parçalara ayırın, başka bir güce yükseltin vb.

İrrasyonel üslü derece

α irrasyonel bir sayı ve A ˃ 0 olsun.

Böyle bir göstergeyle derecenin özünü anlamak için, Farklı olası durumlara bakalım:

• A = 1. Sonuç 1 olacaktır. Aksiyom olduğuna göre - 1'in tüm kuvvetleri bire eşittir;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasyonel sayılar;

• 0˂А˂1.

Bu durumda durum tam tersidir: İkinci paragraftakiyle aynı koşullar altında A r 2 ˂ A α ˂ Ar r 1.

Örneğin üs π sayısıdır. Bu mantıklı.

r 1 – bu durumda 3'e eşittir;

r 2 – 4'e eşit olacaktır.

O zaman A = 1 için 1 π = 1 olur.

A = 2, sonra 2 3˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, bu durumda (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Bu dereceler herkes tarafından karakterize edilir matematiksel işlemler ve yukarıda açıklanan spesifik özellikler.

Çözüm

Özetleyelim - bu miktarlar ne için gerekli, bu tür fonksiyonların avantajları nelerdir? Elbette her şeyden önce matematikçilerin ve programcıların örnekleri çözerken hayatlarını kolaylaştırırlar çünkü hesaplamaları en aza indirmelerine, algoritmaları kısaltmalarına, verileri sistematikleştirmelerine ve çok daha fazlasına olanak tanırlar.

Bu bilgi başka nerede faydalı olabilir? Her zaman çalışma uzmanlığı: tıp, farmakoloji, diş hekimliği, inşaat, teknoloji, mühendislik, tasarım vb.

Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.

Sayı Cöyle N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:

bir m·a n = a m + n .

2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bir kuvvetin bir kuvvete yükseltilmesiyle üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n .

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda içine inşa edin N kuvvet radikal bir sayı ise kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü bir derece. Pozitif olmayan (tamsayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır. mutlak değer pozitif olmayan gösterge:

Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.

Bir sayının kuvveti hakkındaki konuşmaya devam ederek, kuvvetin değerinin nasıl bulunacağını bulmak mantıklı olacaktır. Bu süreç denir üs alma. Bu yazıda üstel almanın nasıl yapıldığını inceleyeceğiz ve olası tüm üslere (doğal, tamsayı, rasyonel ve irrasyonel) değineceğiz. Ve geleneğe göre, sayıları çeşitli kuvvetlere yükseltme örneklerinin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alacağız.

Sayfada gezinme.

"Üslülük" ne anlama geliyor?

Üs alma denilen şeyin ne olduğunu açıklayarak başlayalım. İşte ilgili tanım.

Tanım.

Üs alma- bu bir sayının kuvvetinin değerini bulmaktır.

Dolayısıyla bir a sayısının r üssü olan kuvvetinin değerini bulmak ve a sayısını r kuvvetine çıkarmak aynı şeydir. Örneğin, görev "(0,5) 5 kuvvetinin değerini hesaplamak" ise, o zaman şu şekilde yeniden formüle edilebilir: "0,5 sayısını 5 kuvvetine yükseltin."

Artık doğrudan üstel almanın gerçekleştirildiği kurallara gidebilirsiniz.

Bir sayının doğal kuvvetine yükseltilmesi

Uygulamada genellikle eşitlik esasına dayalı olarak uygulanır. Yani, bir a sayısını m/n kesirli kuvvetine yükseltirken, önce a sayısının n'inci kökü alınır, ardından elde edilen sonuç m tamsayı kuvvetine yükseltilir.

Kesirli bir kuvvete yükseltme örneklerinin çözümlerine bakalım.

Örnek.

Derecenin değerini hesaplayın.

Çözüm.

İki çözüm göstereceğiz.

İlk yol. Kesirli üslü bir derecenin tanımı gereği. Kök işaretinin altındaki derecenin değerini hesaplıyoruz ve sonra çıkarıyoruz küp kökü: .

İkinci yol. Kesirli üslü bir derecenin tanımına göre ve köklerin özelliklerine dayanarak aşağıdaki eşitlikler doğrudur: . Şimdi kökü çıkarıyoruz , son olarak bunu bir tamsayı kuvvetine yükseltiyoruz .

Açıkçası, kesirli güce yükseltmenin elde edilen sonuçları örtüşüyor.

Cevap:

Kesirli bir üssün ondalık kesir veya karışık sayı olarak yazılabileceğini unutmayın; bu durumlarda karşılık gelen sıradan kesirle değiştirilmeli ve ardından bir üssüne yükseltilmelidir.

Örnek.

(44.89) 2.5'i hesaplayın.

Çözüm.

Üssü forma yazalım ortak kesir(gerekirse makaleye bakın): . Şimdi kesirli güce yükseltme işlemini gerçekleştiriyoruz:

Cevap:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Şunu da söylemek gerekir ki sayıları rasyonel kuvvetlere çıkarmak oldukça emek yoğun süreç(özellikle kesirli üssün payı ve paydası yeterince büyük sayılar içerdiğinde), bu genellikle bilgisayar teknolojisi kullanılarak gerçekleştirilir.

Bu noktayı sonuçlandırmak için sıfır sayısının kesirli kuvvetine yükseltme üzerinde duralım. Sıfırın kesirli kuvvetine şu anlamı verdik: ve sıfırın m/n kuvveti tanımlanmamıştır. Yani sıfırın kesirli pozitif kuvveti sıfırdır, örneğin, . Ve kesirli bir negatif kuvvette sıfırın bir anlamı yoktur, örneğin 0 -4.3 ifadeleri bir anlam ifade etmez.

Mantıksız bir güce yükselmek

Bazen irrasyonel üslü bir sayının kuvvetinin değerini bulmak gerekli hale gelir. Bu durumda, pratik amaçlar için, derecenin değerinin belirli bir işarete göre doğru olarak elde edilmesi genellikle yeterlidir. Pratikte bu değerin elektronik bilgisayarlar kullanılarak hesaplandığını hemen belirtelim, çünkü bunu manüel olarak irrasyonel bir güce yükseltmek çok sayıda hantal hesaplama gerektirir. Ancak yine de eylemlerin özünü genel anlamda tanımlayacağız.

İrrasyonel üslü bir a sayısının kuvvetinin yaklaşık değerini elde etmek için üssün ondalık yaklaşımı alınır ve kuvvetin değeri hesaplanır. Bu değer a sayısının irrasyonel üslü kuvvetinin yaklaşık değeridir. Bir sayının ondalık yaklaşımı başlangıçta ne kadar doğru alınırsa, sonunda derecenin değeri de o kadar doğru elde edilecektir.

Örnek olarak 2 1,174367... kuvvetinin yaklaşık değerini hesaplayalım. Aşağıdaki ondalık yaklaşımı alalım irrasyonel gösterge: . Şimdi 2'nin rasyonel kuvvetini 1,17'ye çıkarırsak (bu sürecin özünü önceki paragrafta anlatmıştık), 2 1,17 ≈2,250116 elde ederiz. Böylece, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Örneğin, irrasyonel üssün daha doğru bir ondalık yaklaşımını alırsak, orijinal üssün daha doğru bir değerini elde ederiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referanslar.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik ders kitabı. eğitim kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).