Üstel fonksiyon. Dersin hedefleri: İrrasyonel bir üste sahip bir derece düşünün; Üstel fonksiyonun tanımını girin. Ana fonksiyonları formüle edin. Sayı kuvveti: tanımlar, gösterim, örnekler

Site bölümleri

Editörün Seçimi:

Reklam

Ev - İklim

Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız bir sayının kuvveti. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım. İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının kuvvetinin tanımının a olarak adlandıracağımız a için verildiğini varsayalım. derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n şeklinde bir ifadedir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. a n gösterimini okumanın evrensel yolu şudur: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Başka bir örnek verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı da (4,32) 9 üssüdür.

Son örnekte 4.32'nin üssünün parantez içinde yazıldığını lütfen unutmayın: Tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvet tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz , tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2)3 ve −23 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi, doğal üssü 3 olan −2'nin kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri, kuvvetinin bilinen bir değerinden ve bilinen bir üssünden kuvvetin tabanını bulma problemidir. Bu görev şuna yol açar.

Birçok kişinin olduğu biliniyor rasyonel sayılar her biri tam ve kesirli sayılardan oluşur kesirli sayı pozitif veya negatif olarak temsil edilebilir ortak kesir. Bir önceki paragrafta dereceyi bir tam sayı üssüyle tanımladık, bu nedenle derecenin tanımını şu şekilde tamamlamak için: rasyonel gösterge a sayısının kuvvetine m/n kesirli üssüyle anlam vermeniz gerekir; burada m bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır. Hadi bunu yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklı olacaktır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın m/n kesirli üssüne kuvveti, a'nın m üssünün n'inci kökü olarak adlandırılır.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu ifadesine, a sayısının m üssünün n'inci kökü denir.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı kalmaz.

Kesirli üslü derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: Üssü 0 olan a sayısının kuvveti, üssü karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının kuvveti olarak kabul edilir (bu koşulun önemini aşağıda açıklayacağız) ). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için, ifade negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir); negatif m için a sayısı yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde bölme olacaktır). sıfır). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfır olmamalıdır (böylece sayıya bölünme olmaz) sıfır).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti

İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .

Bir sayının kuvveti belirlendikten sonra, hakkında konuşmak mantıklıdır. derece özellikleri. Bu yazıda olası tüm üslere değinirken bir sayının kuvvetinin temel özelliklerini vereceğiz. Burada derecelerin tüm özelliklerinin kanıtlarını sunacağız ve ayrıca bu özelliklerin örnekleri çözerken nasıl kullanıldığını göstereceğiz.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü derecelerin özellikleri

Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a n kuvveti, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu tanıma dayanarak ve ayrıca kullanarak reel sayıların çarpımının özellikleri, aşağıdakileri elde edebilir ve gerekçelendirebiliriz doğal üslü derecenin özellikleri:

a m ·a n =a m+n derecesinin temel özelliği, genelleştirilmesi;
aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği a m:a n =a m−n ;
çarpım güç özelliği (a·b) n =a n ·b n, onun uzantısı;
doğal dereceye bölümün özelliği (a:b) n =a n:b n ;
bir dereceyi (a m) n =a m·n kuvvetine yükseltmek, bunun genelleştirilmesi (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
derecenin sıfırla karşılaştırılması:
- a>0 ise herhangi bir n doğal sayısı için a n>0;
- a=0 ise a n =0;
- eğer bir<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ise<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
a ve b pozitif sayılar ise ve a
m ve n m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0'da 0 a m >an eşitsizliği doğrudur.

Hemen şunu belirtelim ki tüm yazılı eşitlikler birebir aynı belirtilen şartlara bağlı olarak hem sağ hem de sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin a m ·a n =a m+n kesirinin ana özelliği ifadeleri basitleştirme sıklıkla a m+n =a m ·a n şeklinde kullanılır.

Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.

Aynı bazlara sahip iki kuvvetin çarpımının özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için a m ·a n =a m+n eşitliği doğrudur.

Derecenin ana özelliğini kanıtlayalım. Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a m ·an formundaki aynı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımı bir çarpım olarak yazılabilir. Çarpmanın özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: ve bu çarpım a sayısının doğal üssü m+n olan, yani m+n olan kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.

Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Aynı tabanlara (2) ve doğal kuvvetlere (2 ve 3) sahip dereceleri alalım, derecelerin temel özelliğini kullanarak 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 · 2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesaplayarak geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma işlemini gerçekleştirerek, 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 ve 2 5 =2·2·2·2·2=32, eşit değerler elde edildiğine göre 2 2 ·2 3 =2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini doğrular.

Çarpma özelliklerine dayanan bir derecenin temel özelliği, aynı tabanlara ve doğal üslere sahip üç veya daha fazla kuvvetin çarpımına genelleştirilebilir. Yani herhangi bir k doğal sayısı için n 1, n 2, …, n k eşitlik doğrudur an n 1 ·a n 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Örneğin, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Doğal üslü kuvvetlerin bir sonraki özelliğine geçebiliriz: aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği: sıfırdan farklı herhangi bir a gerçek sayısı ve m>n koşulunu karşılayan keyfi m ve n doğal sayıları için a m:a n =a m−n eşitliği doğrudur.

Bu özelliğin kanıtını sunmadan önce formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. Sıfıra bölünmeyi önlemek için a≠0 koşulu gereklidir, çünkü 0 n =0'dır ve bölme konusunu öğrendiğimizde sıfıra bölemeyeceğimiz konusunda anlaştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m>n koşulu getirildi. Aslında, m>n için a m−n üssü bir doğal sayıdır, aksi takdirde ya sıfır (m−n için olur) ya da negatif bir sayı (m için olur) olur.
Kanıt. Bir kesrin temel özelliği eşitliği yazmamızı sağlar a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Ortaya çıkan eşitlikten a m−n ·a n =a m çıkar ve m−n'nin a m ve an kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliğini kanıtlar.

Bir örnek verelim. Aynı π tabanlarına ve doğal üsler 5 ve 2'ye sahip iki derece alalım; π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 eşitliği, derecenin dikkate alınan özelliğine karşılık gelir.

Şimdi düşünelim ürün gücü özelliği: Herhangi iki a ve b reel sayısının çarpımının doğal kuvveti n, a n ve b n kuvvetlerinin çarpımına eşittir, yani (a·b) n =a n ·b n .

Gerçekten de, doğal üssü olan bir derecenin tanımı gereği, . Çarpma özelliklerine göre son çarpım şu şekilde yeniden yazılabilir: , a n · b n'ye eşittir.

İşte bir örnek: .

Bu özellik üç veya daha fazla faktörün çarpımının gücüne kadar uzanır. Yani k faktörün çarpımının doğal derecesi n'nin özelliği şu şekilde yazılır: (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Açıklık sağlamak için bu özelliği bir örnekle göstereceğiz. Üç faktörün 7'nin kuvvetinin çarpımı için elimizde .

Aşağıdaki özellik ayni bir bölümün özelliği: a ve b gerçek sayılarının n doğal kuvvetine bölümü, a n ve b n kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a:b) n =a n:b n.

Kanıt önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu yüzden (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ve (a:b) n ·b n =a n eşitliğinden (a:b) n'nin a n'nin b n'ye bölümü olduğu sonucu çıkar.

Örnek olarak belirli sayıları kullanarak bu özelliği yazalım: .

Şimdi seslendirelim bir gücü bir güce yükseltme özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için, a m'nin n'ye kuvveti, m·n üssü olan a sayısının kuvvetine eşittir, yani (a m) n =a m·n.

Örneğin, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dereceye göre kuvvet özelliğinin kanıtı aşağıdaki eşitlik zinciridir: .

Dikkate alınan özellik, dereceye, dereceye, vb. genişletilebilir. Örneğin herhangi bir p, q, r ve s doğal sayısı için eşitlik . Daha fazla netlik sağlamak için burada belirli sayıların yer aldığı bir örnek verilmiştir: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Dereceleri doğal bir üsle karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyoruz.

Sıfır ve kuvveti doğal bir üsle karşılaştırmanın özelliğini kanıtlayarak başlayalım.

Öncelikle herhangi bir a>0 için a n >0 olduğunu kanıtlayalım.

Çarpmanın tanımından da anlaşılacağı üzere iki pozitif sayının çarpımı pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpımının sonucunun da pozitif bir sayı olacağını göstermektedir. Ve doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu argümanlar, herhangi bir pozitif a tabanı için a n derecesinin pozitif bir sayı olduğunu iddia etmemizi sağlar. Kanıtlanmış özelliği nedeniyle 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ve .

a=0 olan herhangi bir n doğal sayısı için a n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Aslında, 0 n =0·0·…·0=0 . Örneğin, 0 3 =0 ve 0 762 =0.

Negatif derece tabanlarına geçelim.

Üssün çift sayı olduğu durumla başlayalım, m'nin bir doğal sayı olduğu 2·m olarak gösterelim. Daha sonra . a·a formundaki çarpımların her biri, a ve a sayılarının modüllerinin çarpımına eşittir, yani pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla ürün de olumlu olacak ve derece a 2·m. Örnek verelim: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ve .

Son olarak, a tabanı negatif bir sayı ve üssü 2 m−1 tek sayı olduğunda, o zaman . Tüm a·a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan sayıyla çarpılması negatif sayı a negatif bir sayıyla sonuçlanır. Bu özellik nedeniyle (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Aşağıdaki formülasyona sahip olan kuvvetleri aynı doğal üslerle karşılaştırma özelliğine geçelim: aynı doğal üslere sahip iki kuvvetten, n, tabanı daha küçük olandan küçüktür ve tabanı daha büyük olan daha büyüktür. . Hadi kanıtlayalım.

Eşitsizlik a n eşitsizliklerin özellikleri a n formunun kanıtlanabilir bir eşitsizliği de doğrudur .

Geriye derecelerin listelenen özelliklerinin sonuncusunu doğal üslerle kanıtlamak kalıyor. Formüle edelim. Doğal üsleri ve aynı pozitif tabanları birden küçük olan iki kuvvetten üssü küçük olan daha büyüktür; ve doğal üsleri ve aynı tabanları birden büyük olan iki kuvvetten üssü büyük olan daha büyüktür. Bu özelliğin ispatına geçelim.

m>n ve 0 için bunu kanıtlayalım m>n başlangıç koşulu nedeniyle 0, yani 0'da
Geriye mülkün ikinci kısmını kanıtlamak kalıyor. m>n ve a>1 a m >an için doğru olduğunu kanıtlayalım. Parantezlerden bir n çıkarıldıktan sonra a m −a n farkı a n ·(a m−n −1) formunu alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a>1 için a n derecesi pozitif bir sayıdır ve a m−n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü başlangıç koşulundan dolayı m−n>0 ve a>1 için derece a m−n birden büyüktür. Sonuç olarak, a m −a n >0 ve a m >an , ki bunun kanıtlanması gerekiyordu. Bu özellik 3 7 >3 2 eşitsizliği ile gösterilmektedir.

Tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri
Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü kuvvetlerin tüm özellikleri, önceki paragrafta sıralanan ve kanıtlanmış doğal üslü kuvvetlerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.

Tamsayı negatif üslü bir derecenin yanı sıra sıfır üslü bir dereceyi, eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özellikleri geçerli kalacak şekilde tanımladık. Dolayısıyla tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerli olmakla birlikte, elbette kuvvetlerin tabanları da sıfırdan farklıdır.

Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfırdan farklı a ve b sayıları ile m ve n tam sayıları için aşağıdakiler doğrudur: tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri:

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n;

n pozitif bir tam sayı ise, a ve b pozitif sayılardır ve a b−n;

m ve n tam sayılarsa ve m>n ise 0'da 1 a m >an eşitsizliği geçerlidir.

a=0 olduğunda, a m ve a n kuvvetleri yalnızca hem m hem de n pozitif tamsayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Dolayısıyla biraz önce yazdığımız özellikler a=0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayılar olduğu durumlar için de geçerlidir.

Bu özelliklerin her birinin kanıtlanması zor değildir; bunun için doğal ve tam sayı üslü derece tanımlarının yanı sıra gerçek sayılarla işlem özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, kuvvet özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, eğer p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, o zaman (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) eşitliklerini göstermeniz gerekir. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ve (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hadi bunu yapalım.

Pozitif p ve q için (a p) q =a p·q eşitliği önceki paragrafta kanıtlanmıştır. Eğer p=0 ise, o zaman (a 0) q =1 q =1 ve a 0·q =a 0 =1 olur, dolayısıyla (a 0) q =a 0·q olur. Benzer şekilde, eğer q=0 ise, (a p) 0 =1 ve a p·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a p) 0 =a p·0. Hem p=0 hem de q=0 ise, o zaman (a 0) 0 =1 0 =1 ve a 0·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a 0) 0 =a 0·0.

Şimdi (a −p) q =a (−p)·q olduğunu kanıtlıyoruz. Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, o zaman . Sahip olduğumuz güçlere bölümün özelliği ile . 1 p =1·1·…·1=1 olduğundan ve , o zaman . Son ifade, tanımı gereği, a −(p·q) biçiminde bir kuvvettir ve çarpma kurallarına bağlı olarak (−p)·q olarak yazılabilir.

Aynı şekilde .

VE .

Aynı prensibi kullanarak, bir derecenin diğer tüm özelliklerini eşitlik biçiminde yazılmış bir tamsayı üssüyle kanıtlayabilirsiniz.

Kaydedilen özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, a koşulunun karşılandığı herhangi bir negatif tamsayı −n ve herhangi bir pozitif a ve b için geçerli olan a −n >b −n eşitsizliğinin kanıtı üzerinde durmaya değer. . Koşul gereği a 0. a n · b n çarpımı aynı zamanda a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı olarak da pozitiftir. O zaman ortaya çıkan kesir, b n −a n ve a n ·b n pozitif sayılarının bölümü olarak pozitiftir. Bu nedenle a −n >b −n'nin nereden geldiğinin kanıtlanması gerekiyordu.

Tamsayı üslü kuvvetlerin son özelliği, doğal üslü kuvvetlerin benzer özelliği ile aynı şekilde kanıtlanır.

Rasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

Tamsayı üssü olan bir derecenin özelliklerini ona genişleterek kesirli üslü bir derece tanımladık. Başka bir deyişle kesirli üslü kuvvetler, tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere sahiptir. Yani:

Kesirli üslü derecelerin özelliklerinin kanıtı, kesirli üslü bir derecenin tanımına ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. Kanıt sunalım.

Kesirli üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği ve o zaman . Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamızı sağlar. Ayrıca, tamsayı üslü bir derecenin özelliğini kullanarak, kesirli üslü bir derecenin tanımıyla şunu elde ederiz: ve elde edilen derecenin göstergesi şu şekilde dönüştürülebilir: . Bu ispatı tamamlar.

Kesirli üslü kuvvetlerin ikinci özelliği tamamen benzer şekilde kanıtlanır:

Geri kalan eşitlikler benzer ilkeler kullanılarak kanıtlanmıştır:

Bir sonraki özelliğin kanıtlanmasına geçelim. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu kanıtlayalım. b . m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere p rasyonel sayısını m/n olarak yazalım. Koşullar<0 и p>0 bu durumda koşullar m<0 и m>buna göre 0. m>0 ve a için
Benzer şekilde m için<0 имеем a m >b m , nereden, yani ve a p >b p .

Listelenen özelliklerin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. p ve q rasyonel sayıları için 0'da p>q olduğunu kanıtlayalım. 0 – eşitsizlik a p >a q . m1 ve m2'nin tam sayılar ve n'nin bir doğal sayı olduğu sıradan kesirler ve elde etsek bile, p ve q rasyonel sayılarını her zaman ortak bir paydaya indirgeyebiliriz. Bu durumda, p>q koşulu aşağıdaki m1>m2 koşuluna karşılık gelecektir. Daha sonra 0'daki aynı taban ve doğal üslere sahip kuvvetlerin karşılaştırılması özelliği ile 1 – eşitsizlik a m 1 > a m 2 . Köklerin özelliklerindeki bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve . Ve derecenin rasyonel bir üsle tanımlanması, eşitsizliklere ve buna göre ilerlememize olanak tanır. Buradan nihai sonuca varıyoruz: p>q ve 0 için 0 – eşitsizlik a p >a q .

İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

İrrasyonel üslü bir derecenin tanımlanma şeklinden, onun rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Yani herhangi bir a>0, b>0 ve irrasyonel sayılar p ve q için aşağıdakiler doğrudur İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q;

herhangi bir pozitif sayı için a ve b, a 0 eşitsizliği a p bp;

irrasyonel sayılar için p ve q, 0'da p>q 0 – eşitsizlik a p >a q .

Bundan, a>0 için herhangi bir p ve q reel üslü kuvvetlerin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

Referanslar.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik ders kitabı. eğitim kurumları.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

BÖLÜM II. BÖLÜM 6
SAYI DİZİLERİ

İrrasyonel üssü olan derece kavramı

a pozitif bir sayı ve a irrasyonel bir sayı olsun.
a* ifadesine ne anlam verilmelidir?
Sunumu daha net hale getirmek için, bunu özel olarak yapacağız.
örnek. Yani a - 2 ve a = 1, 624121121112 koyalım. . . .
Burada a, aşağıdaki gibi oluşan sonsuz bir ondalık kesirdir
kanun: a görüntüsü için dördüncü virgülden başlayarak
Sadece 1 ve 2 rakamları kullanılmış olup rakam sayısı 1'dir,
2 rakamından önce art arda yazılır, her zaman artarak
bir. A kesri periyodik değildir, aksi takdirde basamak sayısı 1 olur,
Görüntüsünde arka arkaya kaydedilenler sınırlı olacaktır.
Bu nedenle a irrasyonel bir sayıdır.
Peki ifadeye ne anlam verilmelidir?
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . R
Bu soruyu cevaplamak için bir değerler dizisi oluşturalım
ve eksiklik ve fazlalıkla (0,1)* doğrulukla. Aldık
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
2 sayısının karşılık gelen güç dizilerini oluşturalım:
2M. 2M*; 21*624; 21'62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
Sıra arttıkça sıra (3) de artar
(1) (Teorem 2 § 6).
Sıra (4) azalıyor çünkü dizi azalıyor
(2).
Dizinin (3) her terimi dizinin her bir teriminden küçüktür
(4) ve dolayısıyla sıra (3) sınırlıdır
yukarıdan ve dizi (4) aşağıdan sınırlanmıştır.
Monoton sınırlı dizi teoremine dayanarak
(3) ve (4) numaralı dizilerin her birinin bir limiti vardır. Eğer

384 İrrasyonel üssü olan derece kavramı . .

şimdi (4) ve (3) dizileri arasındaki farkın yakınlaştığı ortaya çıktı
sıfıra ulaştığında bu dizilerin her ikisi de takip edecek,
ortak bir sınırı vardır.
(3) ve (4) dizilerinin ilk terimlerinin farkı
21-7 - 21’* = 2|, (20*1 - 1) içinde< 4 (У 2 - 1).
İkinci terimlerin farkı
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
N'inci terimlerin farkı
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Teorem 3 § 6'ya dayanarak
lim 10″ / 2 = 1.
Yani (3) ve (4) dizilerinin ortak bir limiti vardır. Bu
limit daha büyük olan tek gerçek sayıdır
dizinin tüm üyeleri (3) ve dizinin tüm üyelerinden daha azı
(4), 2*'nin tam değeri olarak kabul edilmesi tavsiye edilir.
Söylenenlerden, genel olarak kabul etmenin tavsiye edildiği sonucu çıkıyor
aşağıdaki tanım:
Tanım. Eğer a^> 1 ise a'nın irrasyonel kuvveti
a üssü bir gerçek sayıdır
bu, üsleri olan bu sayının tüm kuvvetlerinden daha büyüktür
dezavantajlı ve tüm derecelerden daha az olan rasyonel yaklaşımlar
üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayı ve
aşırı.
eğer bir<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
tüm kuvvetlerden daha büyük olan gerçek sayıdır
Üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayı ve
göstergeleri bu sayının tüm güçlerinden fazla ve daha az olan
- Dezavantajlı rasyonel yaklaşımlar.
.Eğer a- 1 ise irrasyonel üssü a ile derecesi
1'dir.
Limit kavramını kullanarak bu tanım formüle edilebilir.
Bu yüzden:
İrrasyonel üssü olan pozitif bir sayının kuvveti
ve dizinin yöneldiği sınıra denir
bu sayının rasyonel kuvvetleri, sıranın sağlanması koşuluyla
bu derecelerin üsleri a'ya eğilimlidir, yani.
аа = lim аЧ
B - *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

Bu materyalde bir sayının kuvvetinin ne olduğuna bakacağız. Temel tanımların yanı sıra doğal, tamsayı, rasyonel ve irrasyonel üslü kuvvetlerin neler olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi tüm kavramlar örnek problemlerle anlatılacaktır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
İlk olarak, bir derecenin temel tanımını doğal bir üsle formüle edelim. Bunu yapmak için çarpma işleminin temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik gerçek sayıyı (a harfiyle gösterilen), gösterge olarak da doğal sayıyı (n harfiyle gösterilen) esas alacağımızı önceden belirtelim.
Tanım 1
Doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şu şekilde yazılır: BİR ve bir formül biçiminde bileşimi şu şekilde temsil edilebilir:

Örneğin üs 1 ve taban a ise a'nın birinci kuvveti şu şekilde yazılır: 1. a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: bir 1 = bir.

Genel olarak derecenin çok sayıda eşit faktörü yazmanın uygun bir şekli olduğunu söyleyebiliriz. Yani formun bir kaydı 8 8 8 8 kısaltılabilir 8 4 . Aynı şekilde ürün, çok sayıda terim yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Bunu doğal sayıların çarpımına ayrılmış makalede zaten tartışmıştık.

Derece girişi nasıl doğru okunur? Genel olarak kabul edilen seçenek “a üzeri n”dir. Veya “a'nın n'inci kuvveti” veya “anth kuvveti” diyebilirsiniz. Diyelim ki örnekte girişle karşılaştık 8 12 "8 üssü 12", "8 üssü 12" veya "8'in 12. kuvveti" şeklinde okuyabiliriz.

Sayıların ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin kendi yerleşik isimleri vardır: kare ve küp. İkinci kuvveti görürsek örneğin 7 (7 2) sayısını görürsek “7'nin karesi” veya “7 sayısının karesi” diyebiliriz. Benzer şekilde üçüncü derece şu şekilde okunur: 5 3 - bu “5 sayısının küpü” veya “5'in küpü”dür. Ancak standart formülasyonu “ikinci/üçüncü kuvvete” de kullanabilirsiniz; bu bir hata olmayacaktır.
Örnek 1
Doğal üssü olan bir derece örneğine bakalım: 5 7 beşi taban, yedisi üs olacak.

Tabanın bir tam sayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 taban kesir 4, 32, üs ise dokuz olacaktır. Parantezlere dikkat edin: Bu gösterim, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvetler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Parantez ne işe yarar? Hesaplamalardaki hataların önlenmesine yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 Ve − 2 3 . Bunlardan ilki, doğal üssü üç olan bir kuvvete yükseltilmiş negatif bir sayı eksi iki anlamına gelir; ikincisi derecenin zıt değerine karşılık gelen sayıdır 2 3 .

Bazen kitaplarda bir sayının kuvvetinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir^n(burada a taban ve n üstür). Yani 4^9 eşittir 4 9 . Eğer n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ama notasyonu kullanacağız BİR daha yaygın olduğu için.

Bir üssün değerinin doğal bir üsle nasıl hesaplanacağını tanımından tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci sayıda çarpmanız gerekir. Bunun hakkında daha fazlasını başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematik kavramının, bir sayının kökü olanın tersidir. Gücün değerini ve üssünü bilirsek tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde tartıştığımız sorunların çözümünde yararlı olan bazı spesifik özellikleri vardır.

Üsler yalnızca doğal sayıları değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait oldukları için negatif olanlar ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tamsayı değerini de içerebilir.
Tanım 2
Pozitif tamsayı üssü olan bir sayının kuvveti bir formülle temsil edilebilir: .

Bu durumda n herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Sıfır derece kavramını anlayalım. Bunu yapmak için eşit tabanlara sahip kuvvetler için bölüm özelliğini dikkate alan bir yaklaşım kullanıyoruz. Bu şekilde formüle edilmiştir:
Tanım 3
Eşitlik a m: a n = a m - n aşağıdaki koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölünmeyi önler. M ve n değerleri eşitse aşağıdaki sonucu elde ederiz: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 eşit sayıların bölümüdür BİR ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak böyle bir ispat sıfırın sıfırıncı kuvveti için geçerli değildir. Bunu yapmak için güçlerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var; eşit temellere sahip güçlerin çarpımlarının özelliği. Şuna benziyor: bir m · bir n = bir m + n .

Eğer n 0'a eşitse, o zaman a m · a 0 = a m(Bu eşitlik aynı zamanda bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer ve de sıfıra eşitse eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m · 0 0 = 0 m n'nin herhangi bir doğal değeri için bu doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak neye eşit olduğu önemli değildir. 0 0 yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin doğruluğunu etkilemez. Bu nedenle formun notasyonu 0 0 kendine özel bir anlamı yoktur ve biz de ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derecenin tabanının sıfır olmaması şartıyla. Dolayısıyla sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti birdir.
Örnek 2
Belirli sayıların olduğu bir örneğe bakalım: 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değer 0 0 tanımlanmadı.

Sıfır dereceden sonra negatif derecenin ne olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için yukarıda kullandığımız eşit tabanlı kuvvetlerin çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Koşulu tanıtalım: m = − n, o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Bundan şu sonuç çıkıyor bir - n · bir n = bir - n + n = bir 0 = 1. Görünüşe göre bir n ve a−n Karşılıklı olarak karşılıklı sayılarımız var.

Sonuç olarak, a'nın negatif tam kuvveti 1 a n kesirinden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, negatif tam sayı üslü bir derece için, doğal üslü bir derecenin sahip olduğu tüm aynı özelliklerin geçerli olduğunu doğrular (tabanın sıfıra eşit olmaması şartıyla).
Örnek 3
Negatif tamsayı üssü n olan bir a kuvveti, 1 a n kesri olarak temsil edilebilir. Dolayısıyla a - n = 1 a n bir ≠ 0 ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Fikrimizi spesifik örneklerle açıklayalım:
Örnek 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son kısmında söylenen her şeyi net bir şekilde tek bir formülle tasvir etmeye çalışacağız:
Tanım 4
Doğal üssü z olan bir sayının kuvveti şöyledir: a z = a z, e ile l ve z - pozitif tamsayı 1, z = 0 ve a ≠ 0, (z = 0 ve a = 0 için sonuç 0 0'dır, ifadesinin değerleri 0 0 tanımlanmamıştır) 1 a z, if ve z negatif bir tam sayı ise ve a ≠ 0 ( z negatif bir tam sayı ise ve a = 0 ise 0 z elde edersiniz, egoz değeri belirsizdir)

Rasyonel üssü olan kuvvetler nelerdir?

Üssün tam sayı içerdiği durumları inceledik. Bununla birlikte, üssü kesirli bir sayı içerse bile bir sayının üssünü yükseltebilirsiniz. Buna rasyonel üssü olan kuvvet denir. Bu bölümde diğer güçlerle aynı özelliklere sahip olduğunu kanıtlayacağız.

Rasyonel sayılar nedir? Kümeleri hem tam hem de kesirli sayıları içerir ve kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak temsil edilebilir. Bir a sayısının kuvvetinin tanımını m / n kesirli üssüyle formüle edelim; burada n bir doğal sayı ve m bir tam sayıdır.

Kesirli a m n üssüne sahip bir derecemiz var. Güç-güç özelliğinin geçerli olabilmesi için a m n n = a m n · n = a m eşitliğinin doğru olması gerekir.

N'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, m, n ve a'nın verilen değerleri için a m n anlamlıysa a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Tamsayı üssü olan bir derecenin yukarıdaki özellikleri a m n = a m n koşulu altında doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şudur: m / n kesirli üssü olan belirli bir a sayısının kuvveti, a sayısının m üssünün n'inci köküdür. Verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesinin anlamlı kalması durumunda bu doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için - kesinlikle daha az olacak bir a alalım (m ≤ 0 için) aldık 0 m ancak böyle bir derece tanımlanmamıştır). Bu durumda kesirli üslü bir derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Pozitif bir a sayısı için kesirli üssü m/n olan bir kuvvet, a'nın m kuvvetine yükseltilmiş n'inci köküdür. Bu bir formülle ifade edilebilir:

Sıfır tabanlı bir kuvvet için bu hüküm de uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayı ise.

Tabanı sıfır ve kesirli pozitif üssü m/n olan bir kuvvet şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, m'nin pozitif bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olması koşuluyla.

Negatif bir oran için m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktaya dikkat edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması koşulunu getirdiğimizden, bazı durumları göz ardı ettik.

A m n ifadesi bazen a ve bazı m'nin bazı negatif değerleri için hala anlamlıdır. Dolayısıyla doğru girişler (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 olup tabanı negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekecek: üssünde indirgenebilir bir sıradan kesir bulunan a derecesi, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesirin bulunduğu a derecesi olarak kabul edilir. Daha sonra neden bu duruma ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Dolayısıyla, eğer a m · k n · k notasyonuna sahipsek, bunu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

Eğer n tek bir sayıysa ve m'nin değeri pozitifse ve a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. A'nın negatif olmaması koşulu gereklidir çünkü negatif bir sayıdan çift dereceli bir kök çıkarılamaz. Eğer m'nin değeri pozitifse, a hem negatif hem de sıfır olabilir, çünkü Tek kök herhangi bir gerçek sayıdan alınabilir.

Yukarıdaki tanımların tümünü tek bir girişte birleştirelim:

Burada m/n indirgenemez bir kesir anlamına gelir; m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.
Tanım 5
Herhangi bir sıradan indirgenebilir kesir m · k n · k için derece, a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üssü m / n olan bir a sayısının kuvveti aşağıdaki durumlarda mn olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a için, pozitif tamsayı değerleri m ve tek doğal değerler n. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Sıfırdan farklı herhangi bir gerçek a, m'nin negatif tamsayı değerleri ve n'nin tek değerleri için, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Negatif olmayan herhangi bir a, pozitif tam sayı m ve hatta n için, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a, negatif tamsayı m ve çift n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Diğer değerlerde kesirli üslü derece belirlenmez. Bu tür derecelere örnekler: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Şimdi yukarıda tartışılan koşulun önemini açıklayalım: neden indirgenebilir üssü olan bir kesiri indirgenemez üssü olan bir kesirle değiştirelim? Eğer bunu yapmasaydık şu durumlarla karşı karşıya kalacaktık: 6/10 = 3/5. O zaman doğru olmalıdır (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

İlk olarak sunduğumuz kesirli üslü derece tanımının pratikte kullanılması ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden onu kullanmaya devam edeceğiz.
Tanım 6
Böylece, kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. Negatif olması durumunda A a m n notasyonu bir anlam ifade etmiyor. Pozitif kesirli üsler için sıfırın kuvveti a/n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamıyoruz.

Sonuç olarak, herhangi bir kesirli göstergeyi hem karışık sayı hem de ondalık kesir olarak yazabileceğinizi not ediyoruz: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesaplarken, üssü sıradan bir kesirle değiştirmek ve ardından üssün tanımını kesirli bir üsle kullanmak daha iyidir. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

İrrasyonel ve gerçek üslü kuvvetler nelerdir?

Gerçek sayılar nedir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle reel üslü derecenin ne olduğunu anlayabilmek için rasyonel ve irrasyonel üslü dereceleri tanımlamamız gerekir. Yukarıda rasyonel olanlardan bahsetmiştik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.
Örnek 5
İrrasyonel bir a sayısı ve onun ondalık yaklaşıkları olan a 0 , a 1 , a 2 , dizisine sahip olduğumuzu varsayalım. . . . Örneğin a = 1,67175331 değerini alalım. . . , Daha sonra

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Yaklaşım dizilerini a a 0 , a a 1 , a a 2 , derece dizileriyle ilişkilendirebiliriz. . . . Sayıların rasyonel kuvvetlere yükseltilmesi konusunda daha önce söylediklerimizi hatırlarsak o zaman bu kuvvetlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

Örneğin ele alalım bir = 3, bu durumda a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . vesaire.

Kuvvetler dizisi, a tabanı ve irrasyonel üssü a olan kuvvetin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1, 67175331 formunun irrasyonel üssüne sahip bir derece. . 6, 27 sayılarına kadar azaltılabilir.
Tanım 7
İrrasyonel bir a üssüne sahip pozitif bir a sayısının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0 , a a 1 , a a 2 , dizisinin limitidir. . . , burada a 0 , a 1 , a 2 , . . . a irrasyonel sayısının ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Pozitif irrasyonel üsler için sıfır tabanlı bir derece de tanımlanabilir; 0 a = 0 Yani, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ancak negatif olanlar için bu yapılamaz çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Herhangi bir irrasyonel kuvvete yükseltilen bir birim, örneğin bir birim olarak kalır ve 1 2, 1 5'te 2 ve 1 - 5, 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Rasyonel üssü olan bir derece, özellikleri.
İfade a n n≤0 için a=0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanır. Bu tür güçlerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için eşitlikler geçerlidir:
A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat edin:

Eğer m>n ise a>1 için a m >an n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu bölümde 2. tür ifadelere anlam vererek bir sayının kuvvetleri kavramını genelleştireceğiz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 vb. Rasyonel üslü kuvvetlerle tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. O halde, özellikle sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalı M . Gerçekten de eğer mülk
(a p) q =a pq

idam edilir, ardından

Son eşitlik (n'inci kökün tanımı gereği) sayının şu anlama gelir:a'nın n'inci kökü olmalı M.

Tanım.

M'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu (n > 1) rasyonel üssü r= olan bir a>0 sayısının kuvveti, sayıdır.

Yani tanım gereği
(1)

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r>0 için r = 0.
İrrasyonel üslü derece.
İrrasyonel sayışeklinde temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .
İzin vermek . Sonra rasyonel üssü olan kuvvetler var. Bu kuvvetlerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limitine denir taban ve irrasyonel üslü derece: .
Pozitif bir a sayısını sabitleyelim ve onu her sayıya atayalım. Böylece f(x) = a sayısal fonksiyonunu elde ederiz. X , Q rasyonel sayılar kümesinde tanımlıdır ve daha önce listelenen özelliklere sahiptir. a=1 olduğunda fonksiyon f(x) = a X 1'den beri sabittir X Herhangi bir rasyonel x için =1.

y = 2 fonksiyonunun grafiği üzerinde birkaç nokta çizelim X daha önce bir hesap makinesi kullanarak 2 değerini hesaplamış olmak X segmentte [—2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve ardından 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) 1/16, 1/32'lik adımlarla aynı yapıları zihinsel olarak sürdürmek, vb. ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilebilecek, tüm sayı doğrusu boyunca tanımlı ve artan ve değer alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Yeterince inşa edilmiş büyük sayı fonksiyon grafiği noktaları, bu işlevin benzer özelliklere sahip olduğundan emin olabilirsiniz (fark, işlevin R) azalır.

Bu gözlemler 2 sayısının bu şekilde tanımlanabileceğini göstermektedir.α ve her irrasyonel α için, y=2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y=2 fonksiyonu X artar ve fonksiyonsayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl belirlendiğini genel hatlarıyla anlatalım. α a>1 için irrasyonel α için. Y = a fonksiyonunun olduğundan emin olmak istiyoruz X artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri karşılamalıdır r 1<а α <а r 1 .

r değerlerini seçme 1 ve r2 x'e yaklaşırken, a'nın karşılık gelen değerlerinin fark edildiği fark edilebilir. r 1 ve a r 2 çok az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan yalnızca bir y sayısının var olduğu kanıtlanabilir. r 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az a r 2 tüm rasyonel r için 2 . Bu y sayısı tanımı gereği bir α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesi kullanmak x, xn ve x`n noktalarında, burada xn ve x`n - sayıların ondalık yaklaşımlarıx'in ne kadar yakın olduğunu bulacağız n ve x`n k 2'si arasındaki fark ne kadar azsa x n ve 2 x'n .

O zamandan beri

ve bu nedenle,

Benzer şekilde aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalığa göre ilişkilere varıyoruz
;

;

;

;

.

Anlam hesap makinesinde hesaplanan:
.

A sayısı da benzer şekilde belirlenir α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 herhangi bir α ve 0 içinα>0 için α =0.
Üstel fonksiyon.

Şu tarihte: A > 0, A = 1, fonksiyon tanımlı y = a X, sabitten farklıdır. Bu fonksiyon denir üstel fonksiyon baz ileA.

sen= bir X en A> 1:

0 tabanlı üstel fonksiyonların grafikleri< A < 1 и A> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri sen= bir X 0'da< A < 1:
Fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.

Fonksiyon aralığı - aralık (0; + ) .

Fonksiyon tüm sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artar, yani eğer X 1 < x 2, o zaman bir x 1 >bir x 2 .

Şu tarihte: X= 0 fonksiyon değeri 1'dir.

Eğer X> 0, ardından 0< A < 1 ve eğer X < 0, то bir x > 1.
İLE genel özellikler 0'daki üstel fonksiyon< a < 1, так и при a > 1 şunları içerir:
A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, herkes için X 1 Ve X 2.

A - x= ( A X) − 1 = 1 AX herkes için X.

NA X= A

Okumak:

Neden deniz dalgalarında bir fırtına hayal ediyorsunuz? Bütçe ile yerleşimlerin muhasebeleştirilmesi Bir tavada süzme peynirden cheesecake - kabarık cheesecake için klasik tarifler 500 g süzme peynirden Cheesecake Kuru erikli siyah inci salatası Kuru erikli siyah inci salatası Domates salçası tarifleri ile Lecho