Bilgi patlaması Biyolojide - Petri kabındaki mikrop kolonileri Avustralya'da Tavşanlar Zincir reaksiyonlar - kimyada Fizikte - radyoaktif bozunma, değişim atmosferik basınç rakım değişikliği ile vücudun soğuması - radyoaktif bozunma, rakım değişikliği ile atmosfer basıncının değişmesi, vücudun soğuması. Adrenalinin kana karışması ve yok edilmesi. Ayrıca bilgi miktarının her 10 yılda bir ikiye katlandığını iddia ediyorlar.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

İfade 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1,…1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… dizi artar 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1.73205; 2 1, ;… dizi Sınırlı olarak artar, yani bir limite yakınsar - 2 3 değerine

π 0 tanımlanabilir

10 10 18 Fonksiyonun özellikleri y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Fonksiyonun özellikleri y = a x n \ n a >10 21

Bilgi miktarı her 10 yılda bir iki katına çıkar. Öküz ekseni boyunca - aritmetik ilerleme yasasına göre: 1,2,3,4…. Oy ekseni boyunca - yasaya göre geometrik ilerleme: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Üstel bir fonksiyonun grafiğine üs adı verilir (Latince exponere - gösteriş yapmak anlamına gelir)

Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız bir sayının kuvveti. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım. İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının kuvvetinin tanımının a olarak adlandıracağımız a için verildiğini varsayalım. derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n şeklinde bir ifadedir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. a n gösterimini okumanın evrensel yolu şudur: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Bir örnek daha verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı ise (4,32) 9 üssüdür.

Son örnekte 4.32'nin üssünün parantez içinde yazıldığını lütfen unutmayın: Tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvet tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz , tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2) 3 ve −2 3 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi −2'nin doğal üssü 3 olan bir kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri, kuvvetinin bilinen bir değerinden ve bilinen bir üssünden bir kuvvetin tabanını bulma problemidir. Bu görev şuna yol açar.

Birçok kişinin olduğu biliniyor rasyonel sayılar her biri tam ve kesirli sayılardan oluşur kesirli sayı pozitif veya negatif olarak temsil edilebilir ortak kesir. Bir önceki paragrafta dereceyi bir tam sayı üssüyle tanımladık, bu nedenle derecenin tanımını şu şekilde tamamlamak için: rasyonel gösterge a sayısının kuvvetine m/n kesirli üssüyle anlam vermeniz gerekir; burada m bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır. Hadi bunu yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklı olacaktır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın m/n kesirli üssüne kuvveti, a'nın m üssünün n'inci kökü olarak adlandırılır.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu ifadesine, a sayısının m üssünün n'inci kökü denir.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı kalmaz.

Kesirli üslü derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: Üssü 0 olan a sayısının kuvveti, üssü karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının kuvveti olarak kabul edilir (bu koşulun önemini aşağıda açıklayacağız) ). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için ifade, negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir); negatif m için a sayısı yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde bölme olacaktır). sıfır). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfır olmamalıdır (böylece sayıya bölünme olmaz) sıfır).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti



İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .

Bir sayının derecesi belirlendikten sonra bundan bahsetmek mantıklıdır. derece özellikleri. Bu yazıda olası tüm üslere değinirken bir sayının kuvvetinin temel özelliklerini vereceğiz. Burada derecelerin tüm özelliklerinin kanıtlarını sunacağız ve ayrıca bu özelliklerin örnekleri çözerken nasıl kullanıldığını göstereceğiz.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü derecelerin özellikleri

Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a n kuvveti, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu tanıma dayanarak ve ayrıca kullanarak reel sayıların çarpımının özellikleri, aşağıdakileri elde edebilir ve gerekçelendirebiliriz doğal üslü derecenin özellikleri:

1. a m ·a n =a m+n derecesinin temel özelliği, genelleştirilmesi;
2. aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği a m:a n =a m−n ;
3. çarpım güç özelliği (a·b) n =a n ·b n, onun uzantısı;
4. bir bölümün özelliği doğal derece(a:b) n =a n:b n ;
5. bir dereceyi (a m) n =a m·n kuvvetine yükseltmek, bunun genelleştirilmesi (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. derecenin sıfırla karşılaştırılması:
   • a>0 ise herhangi bir n doğal sayısı için a n>0;
   • a=0 ise a n =0;
   • eğer bir<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ise<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. a ve b pozitif sayılar ise ve a
8. m ve n m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0'da 0 a m >an eşitsizliği doğrudur.

Hemen şunu belirtelim ki tüm yazılı eşitlikler birebir aynı belirtilen şartlara bağlı olarak hem sağ hem de sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin a m ·a n =a m+n kesirinin ana özelliği ifadeleri basitleştirme sıklıkla a m+n =a m ·a n şeklinde kullanılır.

Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.

Aynı bazlara sahip iki kuvvetin çarpımının özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için a m ·a n =a m+n eşitliği doğrudur.

Derecenin ana özelliğini kanıtlayalım. Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a m ·an formundaki aynı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımı bir çarpım olarak yazılabilir. Çarpmanın özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: ve bu çarpım a sayısının doğal üssü m+n olan, yani m+n olan kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.

Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Aynı tabanlara (2) ve doğal kuvvetlere (2 ve 3) sahip dereceleri alalım, derecelerin temel özelliğini kullanarak 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 · 2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesaplayarak geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma işlemini gerçekleştirirken, 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 ve 2 5 =2·2·2·2·2=32, eşit değerler elde edildiğine göre 2 2 ·2 3 =2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini doğrular.

Çarpma özelliklerine dayanan bir derecenin temel özelliği, aynı tabanlara ve doğal üslere sahip üç veya daha fazla kuvvetin çarpımına genelleştirilebilir. Yani herhangi bir k doğal sayısı için n 1, n 2, …, n k eşitlik doğrudur an n 1 ·a n 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Örneğin, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Doğal üslü kuvvetlerin bir sonraki özelliğine geçebiliriz: aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği: sıfırdan farklı herhangi bir a gerçek sayısı ve m>n koşulunu karşılayan keyfi m ve n doğal sayıları için a m:a n =a m−n eşitliği doğrudur.

Bu özelliğin kanıtını sunmadan önce formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. Sıfıra bölünmeyi önlemek için a≠0 koşulu gereklidir, çünkü 0 n =0'dır ve bölme konusunu öğrendiğimizde sıfıra bölemeyeceğimiz konusunda anlaştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m>n koşulu getirildi. Aslında, m>n için a m−n üssü bir doğal sayıdır, aksi takdirde ya sıfır (m−n için olur) ya da negatif bir sayı (m için olur) olur.

Kanıt. Bir kesrin temel özelliği eşitliği yazmamızı sağlar a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Ortaya çıkan eşitlikten a m−n ·a n =a m çıkar ve m−n'nin a m ve an kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliğini kanıtlar.

Bir örnek verelim. Aynı π tabanlarına ve doğal üsler 5 ve 2'ye sahip iki derece alalım; π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 eşitliği, derecenin dikkate alınan özelliğine karşılık gelir.

Şimdi düşünelim ürün gücü özelliği: Herhangi iki a ve b reel sayısının çarpımının doğal kuvveti n, a n ve b n kuvvetlerinin çarpımına eşittir, yani (a·b) n =a n ·b n .

Aslında, doğal üssü olan bir derecenin tanımı gereği, . Çarpma özelliklerine göre son çarpım şu şekilde yeniden yazılabilir: , a n · b n'ye eşittir.

İşte bir örnek: .

Bu özellik üç veya daha fazla faktörün çarpımının gücüne kadar uzanır. Yani k faktörün çarpımının doğal derecesi n'nin özelliği şu şekilde yazılır: (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Açıklık sağlamak için bu özelliği bir örnekle göstereceğiz. Üç faktörün 7'nin kuvvetinin çarpımı için elimizde .

Aşağıdaki özellik ayni bir bölümün özelliği: a ve b gerçek sayılarının n doğal kuvvetine bölümü, a n ve b n kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a:b) n =a n:b n.

Kanıt önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu yüzden (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ve (a:b) n ·b n =a n eşitliğinden (a:b) n'nin a n'nin b n'ye bölümü olduğu sonucu çıkar.

Örnek olarak belirli sayıları kullanarak bu özelliği yazalım: .

Şimdi seslendirelim bir gücü bir güce yükseltme özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için, a m'nin n'ye kuvveti, m·n üssü olan a sayısının kuvvetine eşittir, yani (a m) n =a m·n.

Örneğin, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dereceye göre kuvvet özelliğinin kanıtı aşağıdaki eşitlik zinciridir: .

Dikkate alınan özellik, dereceye, dereceye, vb. genişletilebilir. Örneğin herhangi bir p, q, r ve s doğal sayısı için eşitlik . Daha fazla netlik sağlamak için burada belirli sayıların yer aldığı bir örnek verilmiştir: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Dereceleri doğal bir üsle karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyoruz.

Sıfır ve kuvveti doğal bir üsle karşılaştırmanın özelliğini kanıtlayarak başlayalım.

Öncelikle herhangi bir a>0 için a n >0 olduğunu kanıtlayalım.

Çarpmanın tanımından da anlaşılacağı üzere iki pozitif sayının çarpımı pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpımının sonucunun da pozitif bir sayı olacağını göstermektedir. Ve doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu argümanlar, herhangi bir pozitif a tabanı için a n derecesinin pozitif bir sayı olduğunu iddia etmemizi sağlar. Kanıtlanmış özellik nedeniyle 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ve .

a=0 olan herhangi bir n doğal sayısı için a n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Aslında, 0 n =0·0·…·0=0 . Örneğin, 0 3 =0 ve 0 762 =0.

Negatif derece tabanlarına geçelim.

Üssün çift sayı olduğu durumla başlayalım, m'nin bir doğal sayı olduğu 2·m olarak gösterelim. Daha sonra . a·a formundaki çarpımların her biri, a ve a sayılarının modüllerinin çarpımına eşittir, yani pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla ürün de olumlu olacak ve derece a 2·m. Örnek verelim: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ve .

Son olarak, a tabanı negatif bir sayı ve üssü 2 m−1 tek sayı olduğunda, o zaman . Tüm a·a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan negatif a sayısıyla çarpılması negatif bir sayıyla sonuçlanır. Bu özellik nedeniyle (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Aşağıdaki formülasyona sahip olan kuvvetleri aynı doğal üslerle karşılaştırma özelliğine geçelim: aynı doğal üslere sahip iki kuvvetten, n, tabanı daha küçük olandan küçüktür ve tabanı daha büyük olan daha büyüktür. . Hadi kanıtlayalım.

Eşitsizlik a n eşitsizliklerin özellikleri a n formunun kanıtlanabilir bir eşitsizliği de doğrudur .

Geriye derecelerin listelenen özelliklerinin sonuncusunu doğal üslerle kanıtlamak kalıyor. Formüle edelim. Doğal üsleri ve aynı pozitif tabanları birden küçük olan iki kuvvetten üssü küçük olan daha büyüktür; ve doğal üsleri ve aynı tabanları birden büyük olan iki kuvvetten üssü büyük olan daha büyüktür. Bu özelliğin ispatına geçelim.

m>n ve 0 için bunu kanıtlayalım m>n başlangıç ​​koşulu nedeniyle 0, yani 0'da

Geriye mülkün ikinci kısmını kanıtlamak kalıyor. m>n ve a>1 a m >an için doğru olduğunu kanıtlayalım. Parantezlerden bir n çıkarıldıktan sonra a m −a n farkı a n ·(a m−n −1) formunu alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a>1 için a n derecesi pozitif bir sayıdır ve a m−n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü başlangıç ​​koşulundan dolayı m−n>0 ve a>1 için derece a m−n birden büyüktür. Sonuç olarak, a m −a n >0 ve a m >an , ki bunun kanıtlanması gerekiyordu. Bu özellik 3 7 >3 2 eşitsizliği ile gösterilmektedir.

Tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri

Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü kuvvetlerin tüm özellikleri, önceki paragrafta sıralanan ve kanıtlanmış doğal üslü kuvvetlerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.

Tamsayı negatif üslü bir derecenin yanı sıra sıfır üslü bir dereceyi, eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özellikleri geçerli kalacak şekilde tanımladık. Dolayısıyla tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerli olmakla birlikte, elbette kuvvetlerin tabanları da sıfırdan farklıdır.

Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfırdan farklı a ve b sayıları ile m ve n tam sayıları için aşağıdakiler doğrudur: tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n;
6. n pozitif bir tam sayı ise, a ve b pozitif sayılardır ve a b−n;
7. m ve n tam sayılarsa ve m>n ise 0'da 1 a m >an eşitsizliği geçerlidir.

a=0 olduğunda, a m ve a n kuvvetleri yalnızca hem m hem de n pozitif tamsayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Dolayısıyla biraz önce yazdığımız özellikler a=0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayılar olduğu durumlar için de geçerlidir.

Bu özelliklerin her birinin kanıtlanması zor değildir; bunun için doğal ve tam sayı üslü derece tanımlarının yanı sıra gerçek sayılarla işlem özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, kuvvet özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, eğer p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, o zaman (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) eşitliklerini göstermeniz gerekir. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ve (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hadi bunu yapalım.

Pozitif p ve q için (a p) q =a p·q eşitliği önceki paragrafta kanıtlanmıştır. Eğer p=0 ise, o zaman (a 0) q =1 q =1 ve a 0·q =a 0 =1 olur, dolayısıyla (a 0) q =a 0·q olur. Benzer şekilde, eğer q=0 ise, (a p) 0 =1 ve a p·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a p) 0 =a p·0. Hem p=0 hem de q=0 ise, o zaman (a 0) 0 =1 0 =1 ve a 0·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a 0) 0 =a 0·0.

Şimdi (a −p) q =a (−p)·q olduğunu kanıtlıyoruz. Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, o zaman . Sahip olduğumuz güçlere bölümün özelliği ile . 1 p =1·1·…·1=1 olduğundan ve , o zaman . Son ifade, tanımı gereği, a −(p·q) biçiminde bir kuvvettir ve çarpma kurallarına bağlı olarak (−p)·q olarak yazılabilir.

Aynı şekilde .

VE .

Aynı prensibi kullanarak, bir derecenin diğer tüm özelliklerini eşitlik biçiminde yazılmış bir tamsayı üssüyle kanıtlayabilirsiniz.

Kaydedilen özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, a koşulunun karşılandığı herhangi bir negatif tamsayı −n ve herhangi bir pozitif a ve b için geçerli olan a −n >b −n eşitsizliğinin kanıtı üzerinde durmaya değer. . Koşul gereği a 0. a n · b n çarpımı aynı zamanda a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı olarak da pozitiftir. O zaman ortaya çıkan kesir, b n −a n ve a n ·b n pozitif sayılarının bölümü olarak pozitiftir. Bu nedenle a −n >b −n'nin nereden geldiğinin kanıtlanması gerekiyordu.

Tamsayı üslü kuvvetlerin son özelliği, doğal üslü kuvvetlerin benzer özelliği ile aynı şekilde kanıtlanır.

Rasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

Tamsayı üssü olan bir derecenin özelliklerini ona genişleterek kesirli üslü bir derece tanımladık. Başka bir deyişle kesirli üslü kuvvetler, tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere sahiptir. Yani:

Kesirli üslü derecelerin özelliklerinin kanıtı, kesirli üslü bir derecenin tanımına ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. Kanıt sunalım.

Kesirli üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği ve , o zaman . Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamızı sağlar. Ayrıca, tamsayı üslü bir derecenin özelliğini kullanarak, kesirli üslü bir derecenin tanımıyla şunu elde ederiz: ve elde edilen derecenin göstergesi şu şekilde dönüştürülebilir: . Bu ispatı tamamlar.

Kesirli üslü kuvvetlerin ikinci özelliği tamamen benzer şekilde kanıtlanır:

Geri kalan eşitlikler benzer ilkeler kullanılarak kanıtlanmıştır:

Bir sonraki özelliğin kanıtlanmasına geçelim. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu kanıtlayalım. b . m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere p rasyonel sayısını m/n olarak yazalım. Koşullar<0 и p>0 bu durumda koşullar m<0 и m>buna göre 0. m>0 ve a için

Benzer şekilde m için<0 имеем a m >b m , nereden, yani ve a p >b p .

Listelenen özelliklerin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. p ve q rasyonel sayıları için 0'da p>q olduğunu kanıtlayalım. 0 – eşitsizlik a p >a q . m1 ve m2'nin tam sayılar ve n'nin bir doğal sayı olduğu sıradan kesirler ve elde etsek bile, p ve q rasyonel sayılarını her zaman ortak bir paydaya indirgeyebiliriz. Bu durumda, p>q koşulu aşağıdaki m1>m2 koşuluna karşılık gelecektir. Daha sonra 0'daki aynı taban ve doğal üslere sahip kuvvetlerin karşılaştırılması özelliği ile 1 – eşitsizlik a m ​​1 > a m 2 . Köklerin özelliklerindeki bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve . Ve derecenin rasyonel bir üsle tanımlanması, eşitsizliklere ve buna göre ilerlememize olanak tanır. Buradan nihai sonuca varıyoruz: p>q ve 0 için 0 – eşitsizlik a p >a q .

İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

İrrasyonel üslü bir derecenin tanımlanma şeklinden, onun rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Yani herhangi bir a>0, b>0 ve irrasyonel sayılar p ve q için aşağıdakiler doğrudur İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q;
6. herhangi bir pozitif sayı için a ve b, a 0 eşitsizliği a p bp;
7. irrasyonel sayılar için p ve q, 0'da p>q 0 – eşitsizlik a p >a q .

Bundan, a>0 için herhangi bir p ve q reel üslü kuvvetlerin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

Referanslar.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik ders kitabı. eğitim kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Rasyonel üssü olan bir derece, özellikleri.

İfade a n n≤0 için a=0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanır. Bu tür güçlerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için eşitlikler geçerlidir:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat edin:

Eğer m>n ise a>1 için a m >an n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu bölümde 2. tür ifadelere anlam vererek bir sayının kuvvetleri kavramını genelleştireceğiz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 vb. Rasyonel üslü kuvvetlerle tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. O halde, özellikle sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalı M . Gerçekten de eğer mülk

(a p) q =a pq

idam edilir, ardından

Son eşitlik (n'inci kökün tanımı gereği) sayının şu anlama gelir:a'nın n'inci kökü olmalı M.

Tanım.

M'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu (n > 1) rasyonel üssü r= olan bir a>0 sayısının kuvveti, sayıdır.

Yani tanım gereği

(1)

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r>0 için r = 0.

Derece c irrasyonel gösterge.

İrrasyonel sayışeklinde temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üssü olan kuvvetler var. Bu kuvvetlerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limitine denir taban ve irrasyonel üslü derece: .

Pozitif bir a sayısını sabitleyelim ve onu her sayıya atayalım. Böylece f(x) = a sayısal fonksiyonunu elde ederiz. X , Q rasyonel sayılar kümesinde tanımlıdır ve daha önce listelenen özelliklere sahiptir. a=1 olduğunda fonksiyon f(x) = a X 1'den beri sabittir X Herhangi bir rasyonel x için =1.

y = 2 fonksiyonunun grafiği üzerinde birkaç nokta çizelim X daha önce bir hesap makinesi kullanarak 2 değerini hesaplamış olmak X segmentte [—2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve ardından 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) 1/16, 1/32'lik adımlarla aynı yapıları zihinsel olarak sürdürmek, vb. ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilebilecek, tüm sayı doğrusu boyunca tanımlı ve artan ve değer alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Yeterince inşa edilmiş büyük sayı fonksiyon grafiği noktaları, bu işlevin benzer özelliklere sahip olduğundan emin olabilirsiniz (fark, işlevin R) azalır.

Bu gözlemler 2 sayısının bu şekilde tanımlanabileceğini göstermektedir.α ve her irrasyonel α için, y=2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y=2 fonksiyonu X artar ve fonksiyonsayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl belirlendiğini genel hatlarıyla anlatalım. α a>1 için irrasyonel α için. Y = a fonksiyonunun olduğundan emin olmak istiyoruz X artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri karşılamalıdır r 1<а α <а r 1 .

r değerlerini seçme 1 ve r2 x'e yaklaşırken, a'nın karşılık gelen değerlerinin fark edildiği fark edilebilir. r 1 ve a r 2 çok az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan yalnızca bir y sayısının var olduğu kanıtlanabilir. r 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az a r 2 tüm rasyonel r için 2 . Bu y sayısı tanımı gereği bir α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesi kullanmak x, xn ve x`n noktalarında, burada xn ve x`n - sayıların ondalık yaklaşımlarıx'in ne kadar yakın olduğunu bulacağız n ve x`n k 2'si arasındaki fark ne kadar azsa x n ve 2 x'n .

O zamandan beri

ve bu nedenle,

Benzer şekilde aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalığa göre ilişkilere varıyoruz

;

;

;

;

.

Anlam hesap makinesinde hesaplanan:

.

A sayısı da benzer şekilde belirlenir α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 herhangi bir α ve 0 içinα>0 için α =0.

Üstel fonksiyon.

Şu tarihte: A > 0, A = 1, fonksiyon tanımlı y = a X, sabitten farklıdır. Bu fonksiyon denir üstel fonksiyon baz ileA.

sen= bir X en A> 1:

0 tabanlı üstel fonksiyonların grafikleri< A < 1 и A> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri sen= bir X 0'da< A < 1:

• Fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.
• Fonksiyon aralığı - aralık (0; + ) .
• Fonksiyon tüm sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artar, yani eğer X 1 < x 2, o zaman bir x 1 >bir x 2 .
• Şu tarihte: X= 0 fonksiyon değeri 1'dir.
• Eğer X> 0, ardından 0< A < 1 ve eğer X < 0, то bir x > 1.
İLE genel özellikler 0'daki üstel fonksiyon< a < 1, так и при a > 1 şunları içerir:
• A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, herkes için X 1 Ve X 2.
• A - x= ( A X) − 1 = 1 AX herkes için X.
• NA X= A