Her doğal sayı için ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR sonra verildi diyorlar sayı dizisi :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR , . . . .

Dolayısıyla sayı dizisi doğal argümanın bir fonksiyonudur.

Sayı A 1 isminde dizinin ilk terimi , sayı A 2 — dizinin ikinci terimi , sayı A 3 — üçüncü ve benzeri. Sayı BİR isminde n'inci terim diziler ve bir doğal sayı N — onun numarası .

İki bitişik üyeden BİR Ve BİR +1 dizi üyesi BİR +1 isminde sonraki (karşı BİR ), A BİR — öncesi (karşı BİR +1 ).

Bir dizi tanımlamak için dizinin herhangi bir sayıdaki üyesini bulmanızı sağlayacak bir yöntem belirtmeniz gerekir.

Çoğu zaman sıra kullanılarak belirtilir. n'inci terim formülleri yani bir dizinin bir üyesini numarasına göre belirlemenize olanak tanıyan bir formül.

Örneğin,

bir dizi pozitif tek sayı formülle verilebilir

BİR= 2N- 1,

ve alternatif dizi 1 Ve -1 - formül

B N = (-1)N +1 . ◄

Sıra belirlenebilir tekrarlanan formül, yani, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar dizinin herhangi bir üyesini ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer A 1 = 1 , A BİR +1 = BİR + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer 1= 1, bir 2 = 1, BİR +2 = BİR + BİR +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi terimi şu şekilde oluşturulur:

1 = 1,

bir 2 = 1,

3 = 1 + bir 2 = 1 + 1 = 2,

4 = bir 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sıralar olabilir son Ve sonsuz .

Sıra denir nihai Eğer sınırlı sayıda üyesi varsa. Sıra denir sonsuz sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı doğal sayılar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Asal sayılar dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Sıra denir artan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha büyükse.

Sıra denir azalan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - artan sıra;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - azalan dizi. ◄

Sayısı arttıkça elemanları azalmayan veya tam tersi artmayan diziye ne ad verilir? monoton dizi .

Monotonik diziler özellikle artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin aynı sayının eklendiği bir öncekine eşit olduğu bir dizidir.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR, . . .

herhangi biri için aritmetik bir ilerlemedir doğal sayı N koşul yerine getirildi:

BİR +1 = BİR + D,

Nerede D - belirli bir sayı.

Böylece, belirli bir terimin sonraki ve önceki terimleri arasındaki fark aritmetik ilerleme her zaman sabit:

bir 2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = BİR +1 - BİR = D.

Sayı D isminde aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer A 1 = 3, D = 4 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:

1 =3,

bir 2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = bir 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terimle aritmetik ilerleme için A 1 ve fark D o N

BİR = 1 + (N- 1)D.

Örneğin,

Aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = 1 + (N- 2)D,

BİR= 1 + (N- 1)D,

BİR +1 = A 1 + ve,

o zaman açıkçası

Bir aritmetik ilerlemenin ikinciden başlayarak her üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bir aritmetik ilerlemenin ardışık terimleridir.

Örneğin,

BİR = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

BİR = 2N- 7,

bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Buradan,

◄

Dikkat N Bir aritmetik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: A 1 , aynı zamanda daha önceki herhangi bir bir k

BİR = bir k + (N- k)D.

Örneğin,

İçin A 5 yazılabilir

5 = 1 + 4D,

5 = bir 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

BİR = bir n-k + kd,

BİR = bir n+k - kd,

o zaman açıkçası

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik ilerlemenin eşit aralıklı üyelerinin toplamının yarısına eşittir.

Ayrıca herhangi bir aritmetik ilerleme için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (bir 7 + bir 13)/2;

4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ BİR,

Birinci N Bir aritmetik ilerlemenin terimleri, uç terimlerin toplamının yarısı ile terim sayısının çarpımına eşittir:

Buradan özellikle şu sonuç çıkar: terimleri toplamanız gerekirse

bir k, bir k +1 , . . . , BİR,

bu durumda önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Aritmetik bir ilerleme verilirse, miktarlar A 1 , BİR, D, N VeS N iki formülle birbirine bağlanır:

Bu nedenle, bu miktarlardan üçünün değerleri verilirse, diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. Burada:

• Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
• Eğer D < 0 , o zaman azalıyor;
• Eğer D = 0 , bu durumda dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

Geometrik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olduğu bir dizidir.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir N koşul yerine getirildi:

bn +1 = bn · Q,

Nerede Q ≠ 0 - belirli bir sayı.

Dolayısıyla, belirli bir geometrik ilerlemenin sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Sayı Q isminde geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik bir ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer B 1 = 1, Q = -3 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:

b 1 = 1,

b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 ve payda Q o N Bu terim aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

bn = B 1 · qn -1 .

Örneğin,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Bunun tersi de doğru olduğundan aşağıdaki ifade geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bir geometrik ilerlemenin ardışık terimleridir.

Örneğin,

Formülün verdiği diziyi kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

bu da istenen ifadeyi kanıtlıyor. ◄

Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir üye bk bunun için formülü kullanmak yeterlidir

bn = bk · qn - k.

Örneğin,

İçin B 5 yazılabilir

b5 = b 1 · Q 4 ,

b5 = b2 · 3. soru,

b5 = b3 · q 2,

b5 = b4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · q k,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn - k· bn + k

İkinciden başlayarak geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin karesi, bu ilerlemenin eşit aralıklı terimlerinin çarpımına eşittir.

Ayrıca herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ ben.

Örneğin,

geometrik ilerlemede

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Birinci N paydalı geometrik ilerlemenin üyeleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre

Sn= not 1

Terimleri toplamanız gerekiyorsa şunu unutmayın:

bk, bk +1 , . . . , bn,

daha sonra formül kullanılır:

Örneğin,

geometrik ilerlemede 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Geometrik bir ilerleme verilirse, o zaman miktarlar B 1 , bn, Q, N Ve Sn iki formülle birbirine bağlanır:

Bu nedenle, bu miktarlardan herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

İlk terimle geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluğun özellikleri :

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artıyor:

B 1 > 0 Ve Q> 1;

B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme azalıyor:

B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Ve Q> 1.

Eğer Q< 0 , bu durumda geometrik ilerleme dönüşümlüdür: tek sayılı terimler ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimler ters işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlk ürünün ürünü N geometrik ilerlemenin terimleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Pn= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz geometrik ilerleme denir 1 , yani

|Q| < 1 .

Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

Böyle bir paydayla dizi değişiyor. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı ilklerin toplamının sınırsız olarak yaklaştığı sayıyı adlandırın N sayısında sınırsız bir artış olan bir ilerlemenin üyeleri N . Bu sayı her zaman sonludur ve aşağıdaki formülle ifade edilir:

Örneğin,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneğe bakalım.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , O

ba bir 1 , ba bir 2 , ba bir 3 , . . . b d .

Örneğin,

1, 3, 5, . . . - farkla aritmetik ilerleme 2 Ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - paydayla geometrik ilerleme 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - paydayla geometrik ilerleme Q , O

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - farkla aritmetik ilerleme bir günlüğe kaydetQ .

Örneğin,

2, 12, 72, . . . - paydayla geometrik ilerleme 6 Ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄

Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.

Sovyet matematikçi, akademisyen A.N. Kolmogorov

Geometrik ilerleme.

Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili problemlerin yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili problemler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.

Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.

Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en önemli formülleri ve ifadeleri hatırlayalım., bu kavramla ilişkilidir.

Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir

, (1)

Nerede . Formül (1), geometrik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .

Not, tam da bu özelliği nedeniyle söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.

Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:

, (3)

Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerleme terimleriformül geçerlidir

Eğer belirtirsek, o zaman

Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.

Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır

. (7)

Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne

Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.

Teorem. Eğer öyleyse

Kanıt. Eğer öyleyse

Teorem kanıtlandı.

“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.

Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman

Cevap: .

Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz

(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.

1. Eğer, daha sonra sistemin (9) ilk denkleminden elimizdeki.

2. Eğer öyleyse .

Örnek 3., ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .

Koşullara göre. Bununla birlikte. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var

Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .

Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.

Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. O zamandan beri.

O zamandan beri veya

Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.

Ancak koşul gereği.

Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .

Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var

O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.

Cevap: .

Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:

O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.

Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz

Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .

Cevap: .

Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:

Ve .

Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz

Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz

Veya .

Cevap: .

Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.

Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.

Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .

Kontrol edelim: eğer, sonra , ve; eğer , o zaman ve .

İlk durumda elimizde ve , ve ikincisinde – ve .

Cevap: , .

Örnek 10.Denklemi çözün

, (11)

Nerede ve .

Çözüm. Denklemin (11) sol tarafı, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .

Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne . Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök ikinci dereceden denklem dır-dir

Cevap: .

Örnek 11. P pozitif sayılar dizisiaritmetik bir ilerleme oluşturur, A - geometrik ilerleme, ne alakası var . Bulmak .

Çözüm.Çünkü aritmetik dizi, O (aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü, sonra veya . Bu şu anlama geliyor: geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre, sonra bunu yazıyoruz.

O zamandan beri ve o zaman . Bu durumda ifade veya şeklini alır. Koşullara göre, yani Denklem'den.aldık tek karar dikkate alınan sorun yani .

Cevap: .

Örnek 12. Toplamı Hesapla

. (12)

Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını (12) 5 ile çarpın ve şunu elde edin:

Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak, O

veya .

Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri.

Cevap: .

Burada verilen problem çözme örnekleri, giriş sınavlarına hazırlanırken adaylara faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili, kullanılabilir öğretim yardımcılarıÖnerilen literatür listesinden.

1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s.

2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler Okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Tam kurs ilköğretim matematik Görevlerde ve alıştırmalarda. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Zaten Antik Mısır sadece aritmetiği değil aynı zamanda geometrik ilerlemeyi de biliyordu. Örneğin Rhind papirüsünden bir problem: “Yedi yüzün yedi kedisi vardır; Her kedi yedi fare yer, her fare yedi başak mısır yer ve her başak arpa yedi ölçek arpa yetiştirebilir. Bu serideki sayılar ve toplamları ne kadar büyük?

Pirinç. 1. Eski Mısır geometrik ilerleme problemi

Bu görev başka zamanlarda farklı halklar arasında farklı varyasyonlarla birçok kez tekrarlandı. Örneğin 13. yüzyılda yazılmıştır. Pisalı Leonardo'nun (Fibonacci) yazdığı "Abaküs Kitabı"nda, her biri 7 torbaya sahip olan 7 katır taşıyan 7 yaşlı kadının Roma'ya (tabii ki hacılar) giderken ortaya çıktığı bir sorun var. Her birinde 7 bıçak ve her birinde 7 kılıf bulunan 7 somun bulunur. Sorun kaç tane nesne olduğunu soruyor.

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Bu formül örneğin şu şekilde kanıtlanabilir: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

b 1 q n sayısını S n'ye ekleyin ve şunu elde edin:

Buradan S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) olur ve gerekli formülü elde ederiz.

Zaten Antik Babil'in 6. yüzyıla kadar uzanan kil tabletlerinden birinde. M.Ö örneğin, 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 toplamını içerir. Doğru, diğer bazı durumlarda olduğu gibi, bu gerçeğin Babilliler tarafından nasıl bilindiğini bilmiyoruz. .

Birçok kültürde, özellikle de Hint kültüründe, geometrik ilerlemenin hızla artması, evrenin büyüklüğünün görsel bir simgesi olarak defalarca kullanılmaktadır. Satrancın ortaya çıkışıyla ilgili ünlü efsanede hükümdar, mucidine ödülü kendisi seçme fırsatı verir ve satranç tahtasının ilk karesine iki tane olmak üzere bir tane konursa elde edilecek buğday tanelerinin sayısını sorar. sayı her iki katına çıktığında ikinci, üçüncüde dört, dördüncüde sekiz vb. Vladyka bunu düşündü Hakkında konuşuyoruz En fazla birkaç çanta civarındaydı ama yanlış hesaplamıştı. Satranç tahtasının 64 karesinin tamamı için mucidin 20 basamaklı bir sayı olarak ifade edilen (2 64 - 1) tane alması gerekeceğini görmek kolaydır; Dünya yüzeyinin tamamı ekilse bile gerekli miktarda tahılın toplanması en az 8 yıl alacaktır. Bu efsane bazen satranç oyununda gizli olan neredeyse sınırsız olasılıkların göstergesi olarak yorumlanır.

Bu sayının gerçekte 20 haneli olduğunu görmek kolaydır:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (daha doğru bir hesaplama 1,84∙10 19 verir). Ama acaba bu sayının hangi rakamla bittiğini bulabilir misiniz?

Payda 1'den büyükse geometrik ilerleme artan, birden küçükse azalan olabilir. İkinci durumda, yeterince büyük n için qn sayısı keyfi olarak küçük olabilir. Artan geometrik ilerleme beklenmedik bir hızla artarken, azalan geometrik ilerleme de aynı hızla azalır.

N ne kadar büyük olursa, q n sayısı sıfırdan o kadar zayıf olur ve S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) geometrik ilerlemesinin n terimlerinin toplamı S = b 1 / ( sayısına o kadar yakın olur. 1 – q). (Örneğin, F. Viet bu şekilde mantık yürüttü). S sayısına sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı denir. Ancak yüzyıllar boyunca, sonsuz sayıda terimle birlikte TAMAMEN geometrik diziyi toplamanın ne anlama geldiği sorusu matematikçiler için yeterince açık değildi.

Örneğin Zeno'nun "Yarım Bölünme" ve "Aşil ve Kaplumbağa" aporialarında azalan bir geometrik ilerleme görülebilir. İlk durumda, yolun tamamının (uzunluk 1 olduğu varsayılarak) sonsuz sayıda 1/2, 1/4, 1/8 vb. bölümlerin toplamı olduğu açıkça gösterilmiştir. Bu elbette şu andan itibaren geçerlidir: sonlu toplam sonsuz geometrik ilerleme hakkındaki fikirlerin bakış açısı. Ve yine de - bu nasıl olabilir?

Aşil ile ilgili açmazda durum biraz daha karmaşıktır çünkü burada ilerlemenin paydası 1/2 değil, başka bir sayıdır. Örneğin Aşil'in v hızıyla koştuğunu, kaplumbağanın u hızıyla hareket ettiğini ve aralarındaki başlangıç ​​uzaklığının l olduğunu varsayalım. Aşil bu mesafeyi l/v zamanında kat edecek ve bu süre zarfında kaplumbağa lu/v kadar mesafe kat edecektir. Aşil bu parçayı geçtiğinde, onunla kaplumbağa arasındaki mesafe l (u /v) 2 vb.'ye eşit olacaktır. Kaplumbağaya yetişmenin, ilkiyle sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını bulmak anlamına geldiği ortaya çıktı. terim l ve payda u /v. Bu toplam - Aşil'in sonunda kaplumbağa ile buluşma yerine koşacağı bölüm - l / (1 – u /v) = lv / (v – u)'ya eşittir. Ancak yine de bu sonuç nasıl yorumlanmalı ve neden bir anlam ifade ediyor? uzun zamandır pek açık değildi.

Arşimet, bir parabol parçasının alanını belirlemek için geometrik ilerlemenin toplamını kullandı. Parabolün bu parçası AB kirişi ile sınırlansın ve parabolün D noktasındaki teğeti AB'ye paralel olsun. AB'nin orta noktası C, AC'nin orta noktası E, CB'nin orta noktası F olsun. A, E, F, B noktalarından DC'ye paralel çizgiler çizelim; D noktasında çizilen teğetin bu doğruları K, L, M, N noktalarında kesmesine izin verin. Ayrıca AD ve DB parçalarını da çizelim. EL doğrusunun AD doğrusunu G noktasında ve parabolün H noktasında kesişmesine izin verin; FM doğrusu DB doğrusunu Q noktasında ve parabol R noktasında kesiyor. Konik bölümlerin genel teorisine göre DC, bir parabolün (yani eksenine paralel bir bölüm) çapıdır; o ve D noktasındaki teğet, x ve y koordinat eksenleri olarak görev yapabilir; burada parabolün denklemi y 2 = 2px olarak yazılır (x, D'den belirli bir çapın herhangi bir noktasına olan mesafedir, y uzunluğudur) çapın bu noktasından parabolün kendisindeki bir noktaya kadar belirli bir teğete paralel bir parça).

Parabol denklemi sayesinde DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ve DK = 2DL olduğundan KA = 4LH olur. Çünkü KA = 2LG, LH = HG. Bir parabolün ADB segmentinin alanı, ΔADB üçgeninin alanına ve AHD ve DRB segmentlerinin birlikte alınan alanlarına eşittir. Buna karşılık, AHD segmentinin alanı benzer şekilde AHD üçgeninin alanına ve her biri aynı işlemi gerçekleştirebileceğiniz geri kalan AH ve HD segmentlerine eşittir - bir üçgene (Δ) bölünür ve kalan iki segment (), vb.:

ΔAHD üçgeninin alanı, ΔALD üçgeninin alanının yarısına eşittir (ortak bir AD tabanına sahiptirler ve yükseklikleri 2 kat farklılık gösterir), bu da, alanının yarısına eşittir. ​ΔAKD üçgeni ve dolayısıyla ΔACD üçgeninin alanının yarısı. Böylece, ΔAHD üçgeninin alanı, ΔACD üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Benzer şekilde, ΔDRB üçgeninin alanı, ΔDFB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Dolayısıyla, ΔAHD ve ΔDRB üçgenlerinin alanları birlikte alındığında ΔADB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. AH, HD, DR ve RB bölümlerine uygulandığında bu işlemin tekrarlanması, bunlardan üçgenler seçecektir; bunların alanı birlikte alındığında, ΔAHD ve ΔDRB üçgenlerinin birlikte alındığında alanından 4 kat daha az olacaktır ve bu nedenle ΔADB üçgeninin alanından 16 kat daha azdır. Ve benzeri:

Böylece Arşimed, "bir düz çizgi ile bir parabol arasında kalan her parçanın, aynı tabana ve eşit yüksekliğe sahip bir üçgenin üçte dördünü oluşturduğunu" kanıtladı.

Geometrik ilerleme, aritmetikle birlikte üzerinde çalışılan önemli bir sayı dizisidir. okul kursu 9. sınıfta cebir. Bu makalede geometrik ilerlemenin paydasına ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğine bakacağız.

Geometrik ilerlemenin tanımı

Öncelikle bu sayı serisinin tanımını verelim. Geometrik ilerleme, ilk öğesinin payda adı verilen sabit bir sayıyla sıralı olarak çarpılmasıyla oluşturulan bir dizi rasyonel sayıdır.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... serisindeki sayılar geometrik bir dizidir, çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsanız 6 elde edersiniz. 6'yı 2 ile çarparsanız, şunu elde edersiniz: 12 vb.

Söz konusu dizinin üyeleri genellikle ai sembolüyle gösterilir; burada i, dizideki öğe sayısını gösteren bir tamsayıdır.

Yukarıdaki ilerleme tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: Eğer n = 1 ise b1-1 = 1 olur ve a1 = a1 elde ederiz. Eğer n = 2 ise an = b * a1 olur ve yine söz konusu sayı serisinin tanımına geliriz. Benzer muhakeme devam ettirilebilir büyük değerler N.

Geometrik ilerlemenin paydası

B sayısı, sayı serisinin tamamının hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif veya birden büyük veya birden küçük olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:

• b > 1. Artan bir rasyonel sayı dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... Eğer a1 elemanı negatifse, o zaman tüm dizi yalnızca mutlak değerde artacak, sayıların işaretine bağlı olarak azalacaktır.
• b = 1. Aynı rasyonel sayıların sıradan bir dizisi olduğundan, bu duruma çoğu zaman ilerleme adı verilmez. Örneğin -4, -4, -4.

Tutar formülü

İncelemeye geçmeden önce özel görevler Söz konusu ilerleme türünün paydasını kullanarak, ilk n öğesinin toplamı için önemli bir formül verilmelidir. Formül şuna benzer: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

İlerleme terimlerinin yinelenen dizisini dikkate alırsanız, bu ifadeyi kendiniz elde edebilirsiniz. Ayrıca yukarıdaki formülde toplamı bulmak için yalnızca ilk elemanı ve paydayı bilmenin yeterli olduğunu unutmayın. herhangi bir numaraüyeler.

Sonsuz azalan dizi

Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama yapıldı. Şimdi Sn formülünü bildiğimize göre onu bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i aşmayan herhangi bir sayı büyük kuvvetlere yükseltildiğinde sıfıra yöneleceğinden, yani -1 ise b∞ => 0 olur.

(1 - b) farkı, paydanın değeri ne olursa olsun her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik ilerleme S∞'un toplamının işareti, onun ilk elemanı a1'in işareti tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Şimdi edinilen bilginin belirli sayılara nasıl uygulanacağını göstereceğimiz birkaç probleme bakalım.

Görev No. 1. İlerleme ve toplamın bilinmeyen unsurlarının hesaplanması

Geometrik bir ilerleme verildiğinde bu ilerlemenin paydası 2 ve ilk elemanı 3'tür. 7. ve 10. terimleri neye eşit olacak ve ilk yedi elemanının toplamı kaç olacaktır?

Sorunun durumu oldukça basittir ve yukarıdaki formüllerin doğrudan kullanımını içerir. Yani n eleman sayısını hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. element için elimizde: a7 = b6 * a1, bilinen verileri yerine koyarsak şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. terim için de yaparız: a10 = 29 * 3 = 1536.

Toplam için iyi bilinen formülü kullanalım ve bu değeri serinin ilk 7 elemanı için belirleyelim. Elimizde: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem No. 2. Bir ilerlemenin keyfi unsurlarının toplamının belirlenmesi

-2, bn-1 * 4 geometrik ilerlemesinin paydasına eşit olsun; burada n bir tam sayıdır. Bu serinin 5. elemanından 10. elemanına kadar olan toplamın belirlenmesi gerekmektedir.

Ortaya çıkan problem bilinen formüller kullanılarak doğrudan çözülemez. 2 şekilde çözülebilir çeşitli metodlar. Konunun sunumunun bütünlüğü için her ikisini de sunuyoruz.

Yöntem 1. Fikir basit: İlk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Daha küçük olanı hesaplıyoruz: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi daha büyük toplamı hesaplıyoruz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Son ifadede yalnızca 4 terimin toplandığını unutmayın, çünkü 5. terim zaten problemin koşullarına göre hesaplanması gereken miktara dahil edilmiştir. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimlerinin toplamı için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekiyle tamamen aynı şekilde ilerliyoruz, yalnızca ilk önce miktarın sembolik gösterimi ile çalışıyoruz. Elimizde: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Elde edilen ifadede bilinen sayıları değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem No. 3. Payda nedir?

a1 = 2 olsun, sonsuz toplamı 3 olmak şartıyla geometrik ilerlemenin paydasını bulun ve bunun azalan bir sayı dizisi olduğu biliniyor.

Sorunun koşullarına göre, sorunu çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değildir. Elbette ilerlemenin toplamı sonsuz azalıyor. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b) var. Paydayı buradan ifade ediyoruz: b = 1 - a1 / S∞. Bilinen değerleri değiştirmek ve gerekli sayıyı elde etmek için kalır: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 veya -0,333(3). Bu tür bir dizi için b modülünün 1'i aşmaması gerektiğini hatırlarsak bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Görüldüğü gibi |-1 / 3|

Görev No. 4. Bir dizi sayıyı geri yükleme

Bir sayı serisinin 2 elemanı verilsin, örneğin 5'incisi 30'a ve 10'uncusu 60'a eşittir. Geometrik ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek tüm seriyi bu verilerden yeniden oluşturmak gerekir.

Sorunu çözmek için öncelikle bilinen her terime karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Elimizde: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye bölersek şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan problem cümlesinden bilinen terimlerin oranının beşinci kökünü (b = 1,148698) alarak paydayı belirliyoruz. Ortaya çıkan sayıyı bilinen elementin ifadelerinden birine koyarsak şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Böylece bn ilerlemesinin paydasını ve bn-1 * 17,2304966 = an geometrik ilerlemesini bulduk, burada b = 1,148698.

Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?

Bu sayı serisinin pratik bir uygulaması olmasaydı, o zaman onun çalışması tamamen teorik ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.

Aşağıda en ünlü 3 örneği bulabilirsiniz:

• Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno paradoksu, sonsuz azalan sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
• Satranç tahtasının her karesine buğday taneleri yerleştirirseniz, 1. kareye 1 tane, 2. - 2'ye, 3. - 3'e vb. koyarsanız, tahtanın tüm karelerini doldurmak için ihtiyacınız olacaktır. 18446744073709551615 tane!
• "Tower of Hanoi" oyununda diskleri bir çubuktan diğerine taşımak için 2n - 1 işlem gerçekleştirmek gerekir, yani sayıları kullanılan disk sayısı n ile katlanarak artar.

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü çok basittir. Hem anlam olarak hem de genel görünüm olarak. Ancak n'inci terimin formülünde çok ilkelden oldukça ciddiye kadar her türlü sorun var. Ve tanışma sürecinde kesinlikle ikisini de dikkate alacağız. Peki tanışalım mı?)

Yani başlangıçta aslında formülN

İşte burada:

bn = B 1 · qn -1

Formül yalnızca bir formüldür, doğaüstü bir şey değildir. Benzer bir formülden daha basit ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı da keçe çizme kadar basittir.

Bu formül, geometrik ilerlemenin HERHANGİ bir üyesini SAYISINA GÖRE bulmanızı sağlar " N".

Gördüğünüz gibi anlam, aritmetik ilerlemeyle tam bir benzetmedir. N sayısını biliyoruz - bu sayının altındaki terimi de sayabiliriz. Hangisini istersek. "q" ile defalarca çarpmadan. Bütün mesele bu.)

İlerlemelerle bu seviyede çalışırken, formülde yer alan tüm miktarların sizin için zaten açık olması gerektiğini anlıyorum, ancak yine de her birini deşifre etmenin görevim olduğunu düşünüyorum. Her ihtimale karşı.

İşte başlıyoruz:

B 1 – Birinci geometrik ilerleme terimi;

Q – ;

N- üye numarası;

bn – n'inci (Nth) geometrik ilerleme terimi.

Bu formül herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini birbirine bağlar: BN, B 1 , Q Ve N. Ve tüm ilerleme sorunları bu dört temel figürün etrafında dönüyor.

"Nasıl kaldırılır?"– Meraklı bir soru duyuyorum... İlköğretim! Bakmak!

Neye eşittir ikinci ilerlemenin üyesi? Sorun değil! Doğrudan yazıyoruz:

b 2 = b 1 ·q

Peki ya üçüncü üye? Sorun da değil! İkinci terimi çarpıyoruz bir kez dahaQ.

Bunun gibi:

B3 = b2q

Şimdi ikinci terimin de b 1 ·q'ye eşit olduğunu hatırlayalım ve bu ifadeyi eşitliğimizde yerine koyalım:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Şunu elde ederiz:

B 3 = b 1 ·q 2

Şimdi yazımızı Rusça olarak okuyalım: üçüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir ikinci derece. Anladın mı? Henüz değil? Tamam, bir adım daha.

Dördüncü terim nedir? Hepsi aynı! Çarpmak öncesi(yani üçüncü terim) q'da:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Toplam:

B 4 = b 1 ·q 3

Ve yine Rusçaya çeviriyoruz: dördüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir üçüncü derece.

Ve benzeri. Peki nasıl? Deseni yakaladınız mı? Evet! Herhangi bir sayıdaki herhangi bir terim için, aynı q çarpanlarının sayısı (yani paydanın derecesi) her zaman şu şekilde olacaktır: İstenilen üye sayısından bir eksikN.

Bu nedenle formülümüz değişiklik yapmadan şöyle olacaktır:

bn =B 1 · qn -1

Bu kadar.)

Peki, sorunları çözelim sanırım?)

Formül problemlerini çözmeNgeometrik ilerlemenin üçüncü terimi.

Her zamanki gibi formülün doğrudan uygulanmasıyla başlayalım. İşte tipik bir sorun:

Geometrik ilerlemede, bilinmektedir ki B 1 = 512 ve Q = -1/2. İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Elbette bu sorun hiçbir formüle ihtiyaç duymadan da çözülebilir. Doğrudan geometrik ilerleme anlamında. Ama n'inci dönemin formülüne ısınmamız gerekiyor, değil mi? Burada ısınıyoruz.

Formülü uygulamak için verilerimiz aşağıdaki gibidir.

İlk üye belli. Bu 512.

B 1 = 512.

İlerlemenin paydası da bilinmektedir: Q = -1/2.

Geriye kalan tek şey n'nin üye sayısının ne olduğunu bulmak. Sorun değil! Onuncu dönemle ilgileniyor muyuz? Yani genel formülde n yerine on koyuyoruz.

Ve aritmetiği dikkatlice hesaplayın:

Cevap 1

Gördüğünüz gibi ilerlemenin onuncu dönemi eksi çıktı. Şaşırtıcı bir şey yok: ilerleme paydamız -1/2, yani. olumsuz sayı. Bu da bize ilerleyişimizin işaretlerinin değiştiğini gösteriyor, evet.)

Burada her şey basit. Burada da benzer bir problem var ama hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.

Geometrik ilerlemede şunu bilinmektedir:

B 1 = 3

İlerlemenin on üçüncü terimini bulun.

Her şey aynı, ancak bu sefer ilerlemenin paydası mantıksız. İkinin kökü. Tamam, sorun değil. Formül evrensel bir şeydir; her sayıyı işleyebilir.

Doğrudan aşağıdaki formüle göre çalışıyoruz:

Formül elbette olması gerektiği gibi çalıştı, ancak... bazı insanların takıldığı nokta burası. Kök ile bundan sonra ne yapmalı? Bir kökün on ikinci kuvvetine nasıl yükseltilir?

Nasıl-nasıl... Elbette herhangi bir formülün iyi bir şey olduğunu anlamalısınız, ancak önceki tüm matematik bilgileri iptal edilmez! Nasıl inşa edilir? Evet, derecelerin özelliklerini unutmayın! Kökü dönüştürelim kesirli derece ve – bir dereceyi bir dereceye yükseltme formülüne göre.

Bunun gibi:

Cevap: 192

Ve hepsi bu.)

N'inci terim formülünü doğrudan uygulamanın temel zorluğu nedir? Evet! Asıl zorluk derecelerle çalışmak! Yani üs alma negatif sayılar, kesirler, kökler ve benzeri yapılar. O yüzden bu konuda sorun yaşayanlar lütfen dereceleri ve özelliklerini tekrarlasın! Yoksa bu konuyu da yavaşlatırsınız, evet...)

Şimdi tipik arama problemlerini çözelim formülün unsurlarından biri, eğer diğerleri verilirse. Bu tür sorunları başarıyla çözmek için tarif tek tip ve son derece basittir - formülü yazNüye Genel görünüm! Durumun yanındaki not defterinde. Ve sonra bu durumdan bize neyin verildiğini ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz. Ve formülden ifade ediyoruz gerekli değer. Tüm!

Örneğin, çok zararsız bir sorun.

Paydası 3 olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 567'dir. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.

Karmaşık bir şey yok. Doğrudan büyüye göre çalışıyoruz.

n'inci terimin formülünü yazalım!

bn = B 1 · qn -1

Bize ne verildi? İlk olarak ilerlemenin paydası verilir: Q = 3.

Üstelik bize verilen beşinci üye: B 5 = 567 .

Tüm? HAYIR! Ayrıca bize n numarası da verildi! Bu beş: n = 5.

Umarım kayıtta ne olduğunu zaten anlamışsındır B 5 = 567 aynı anda iki parametre gizlenir - bu beşinci terimin kendisi (567) ve numarasıdır (5). Bundan zaten benzer bir derste bahsetmiştim ama burada da bahsetmeye değer diye düşünüyorum.)

Şimdi verilerimizi formülde yerine koyuyoruz:

567 = B 1 ·3 5-1

Aritmetik yapıyoruz, basitleştiriyoruz ve basit bir şey elde ediyoruz Doğrusal Denklem:

81 B 1 = 567

Çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

B 1 = 7

Gördüğünüz gibi ilk terimi bulmada herhangi bir sorun yok. Ancak paydayı ararken Q ve sayılar N Ayrıca sürprizler de olabilir. Bir de bunlara (sürprizlere) hazırlıklı olmak lazım, evet.)

Örneğin, bu sorun:

Paydası pozitif olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.

Bu kez bize birinci ve beşinci terimler veriliyor ve ilerlemenin paydasını bulmamız isteniyor. İşte başlıyoruz.

Formülü yazıyoruzNüye!

bn = B 1 · qn -1

İlk verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

B 5 = 162

B 1 = 2

N = 5

Eksik değer Q. Sorun değil! Şimdi bulalım.) Bildiğimiz her şeyi formülde yerine koyarız.

Şunu elde ederiz:

162 = 2Q 5-1

2 Q 4 = 162

Q 4 = 81

Dördüncü derecenin basit bir denklemi. Ve şimdi - dikkatlice! Açık bu aşamadaçözümler, birçok öğrenci hemen sevinçle (dördüncü derecenin) kökünü çıkarır ve cevabı alır Q=3 .

Bunun gibi:

q4 = 81

Q = 3

Ama aslında bu tamamlanmamış bir cevaptır. Daha doğrusu eksik. Neden? Mesele şu ki cevap Q = -3 ayrıca uygun: (-3) 4 de 81 olacak!

Bunun nedeni güç denkleminin xn = A her zaman vardır iki zıt kök en eşitN . Artı ve eksi ile:

Her ikisi de uygundur.

Örneğin, karar verirken (örn. ikinci derece)

x 2 = 9

Nedense görünüşüne şaşırmıyorsun iki kökler x=±3? Burada da durum aynı. Ve başka herhangi biriyle eşit derece (dördüncü, altıncı, onuncu vb.) aynı olacaktır. Detaylar konu başlığındadır

Bu yüzden doğru çözümşöyle olacak:

Q 4 = 81

Q= ±3

Tamam, işaretleri sıraladık. Hangisi doğru; artı mı eksi mi? Peki, sorunu bulmak için problem açıklamasını tekrar okuyalım. Ek Bilgiler. Elbette mevcut olmayabilir ama bu problemde bu tür bilgiler mevcut. Durumumuz düz metinde bir ilerlemenin verildiğini belirtiyor pozitif payda.

Bu nedenle cevap açıktır:

Q = 3

Burada her şey basit. Sorun cümlesi şu şekilde olsaydı ne olurdu sizce?

Bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.

Fark ne? Evet! Durumda Hiç bir şey paydanın işaretinden bahsedilmez. Ne doğrudan ne de dolaylı olarak. Ve burada sorun zaten olurdu iki çözüm!

Q = 3 Ve Q = -3

Evet evet! Hem artı hem de eksi ile.) Matematiksel olarak bu gerçek şu anlama gelir: iki ilerleme, problemin koşullarına uyan. Ve her birinin kendi paydası var. Sırf eğlence olsun diye pratik yapın ve her birinin ilk beş terimini yazın.)

Şimdi üye numarasını bulma alıştırması yapalım. Bu sorun en zoru, evet. Ama aynı zamanda daha yaratıcı.)

Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

3; 6; 12; 24; …

Bu ilerlemede 768 sayısı hangi sayıdır?

İlk adım hala aynı: formülü yazNüye!

bn = B 1 · qn -1

Ve şimdi her zamanki gibi bildiğimiz verileri onun yerine koyuyoruz. Hım... işe yaramıyor! İlk terim nerede, payda nerede, diğer her şey nerede?!

Nerede, nerede... Neden gözlere ihtiyacımız var? Kirpiklerini mi çırpıyorsun? Bu sefer ilerleme bize doğrudan formda veriliyor. diziler.İlk üyeyi görebilir miyiz? Görürüz! Bu bir üçlüdür (b 1 = 3). Payda ne olacak? Henüz göremiyoruz ama sayması çok kolay. Tabii eğer anlarsan...

Yani sayıyoruz. Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamına göre: terimlerinden herhangi birini (birinci hariç) alıp bir öncekine böleriz.

En azından şu şekilde:

Q = 24/12 = 2

Başka ne biliyoruz? Ayrıca bu ilerlemenin 768'e eşit bir terimini de biliyoruz. Bir n sayısı altında:

bn = 768

Numarasını bilmiyoruz ama bizim görevimiz tam olarak onu bulmak.) O yüzden arıyoruz. Formüle ikame için gerekli tüm verileri zaten indirdik. Kendinizden habersiz.)

Burada yerine şunu koyuyoruz:

768 = 3 2N -1

Temel olanları yapalım - her iki tarafı da üçe bölelim ve denklemi olağan biçimde yeniden yazalım: bilinmeyen solda, bilinen sağda.

Şunu elde ederiz:

2 N -1 = 256

Bu ilginç bir denklem. "n"yi bulmamız gerekiyor. Ne, sıradışı mı? Evet tartışmıyorum. Aslında bu en basit şey. Bilinmeyen (içinde) olduğu için böyle adlandırılmıştır. bu durumda bu numara N) maliyetler gösterge derece.

Geometrik ilerlemeyi öğrenme aşamasında (bu dokuzuncu sınıf), üstel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğretmiyorlar, evet... Bu lise için bir konu. Ama korkutucu bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmiyorsanız bile, hadi bulmaya çalışalım. N, basit mantık ve sağduyunun rehberliğinde.

Hadi konuşmaya başlayalım. Sol tarafta bir ikilimiz var belli bir dereceye kadar. Bu derecenin tam olarak ne olduğunu henüz bilmiyoruz ama bu korkutucu değil. Ancak bu derecenin 256'ya eşit olduğundan eminiz! Yani ikinin bize ne kadar 256 verdiğini hatırlıyoruz. Hatırlıyor musun? Evet! İÇİNDE sekizinci derece!

256 = 2 8

Dereceleri hatırlamıyorsanız veya tanımakta sorun yaşıyorsanız sorun değil: art arda ikinin karesini, küpü, dördüncüyü, beşinciyi vb. kullanırız. Aslında seçim ancak bu düzeyde oldukça işe yarayacaktır.

Öyle ya da böyle şunu elde ederiz:

2 N -1 = 2 8

N-1 = 8

N = 9

Yani 768 dokuzuncu ilerlememizin bir üyesi. İşte bu, sorun çözüldü.)

Cevap: 9

Ne? Sıkıcı? Temel şeylerden bıktınız mı? Kabul etmek. Ve ben de. Bir sonraki seviyeye geçelim.)

Daha karmaşık görevler.

Şimdi daha zorlu problemleri çözelim. Tam olarak süper havalı değil ama cevaba ulaşmak için biraz çalışma gerektirenler.

Mesela bu.

Dördüncü terimi -24 ve yedinci terimi 192 ise geometrik ilerlemenin ikinci terimini bulun.

Bu türün bir klasiğidir. Progresyonun iki farklı terimi biliniyor ancak başka bir terimin bulunması gerekiyor. Üstelik tüm üyeler komşu DEĞİLDİR. İlk başta kafa karıştırıcı, evet...

Olduğu gibi, bu tür sorunları çözmek için iki yöntemi ele alacağız. İlk yöntem evrenseldir. Cebirsel. Her türlü kaynak veriyle kusursuz çalışır. İşte buradan başlayacağız.)

Her terimi formüle göre açıklıyoruz Nüye!

Her şey aritmetik ilerlemeyle tamamen aynıdır. Sadece bu sefer birlikte çalışıyoruz bir diğer Genel formül. Hepsi bu.) Ama özü aynı: alıyoruz ve birer birer Başlangıç ​​verilerimizi n'inci terimin formülüne koyarız. Her üye için - kendilerine ait.

Dördüncü dönem için şunu yazıyoruz:

B 4 = B 1 · Q 3

-24 = B 1 · Q 3

Yemek yemek. Bir denklem hazır.

Yedinci dönem için şunu yazıyoruz:

B 7 = B 1 · Q 6

192 = B 1 · Q 6

Toplamda iki denklemimiz var aynı ilerleme .

Onlardan bir sistem oluşturuyoruz:

Tehditkar görünümüne rağmen sistem oldukça basittir. En bariz çözüm basit ikamedir. ifade ediyoruz B 1 üstteki denklemden alıp alttaki denklemle değiştirin:

Alt denklemle biraz uğraştıktan sonra (üsleri azaltıp -24'e bölerek), şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu arada, aynı denkleme daha basit bir şekilde de ulaşılabilir! Hangisi? Şimdi size başka bir sır göstereceğim ama çok güzel, güçlü ve faydalı yol Bu tür sistemler için çözümler. Denklemleri aşağıdakileri içeren bu tür sistemler sadece çalışıyor. En azından birinde. İsminde bölme yöntemi bir denklem diğerine.

Yani önümüzde bir sistem var:

Soldaki her iki denklemde de - iş ve sağda sadece bir sayı var. Bu çok iyiye işaret.) Hadi onu alalım ve... diyelim ki alt denklemi üstteki denkleme bölelim! Ne demek, bir denklemi diğerine bölelim mi?Çok basit. Hadi alalım Sol Taraf bir denklem (alt) ve bölmek onun üzerinde Sol Taraf başka bir denklem (üst). Sağ taraf da benzer: Sağ Taraf bir denklem bölmek Açık Sağ Taraf bir diğer.

Tüm bölme işlemi şuna benzer:

Şimdi azaltılabilecek her şeyi azaltarak şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu yöntemin iyi tarafı nedir? Evet, çünkü böyle bir bölünme sürecinde kötü ve uygunsuz olan her şey güvenli bir şekilde azaltılabilir ve geriye tamamen zararsız bir denklem kalır! Bu yüzden sahip olmak çok önemli yalnızca çarpma Sistemin denklemlerinden en az birinde. Çarpma yok, azaltılacak bir şey yok, evet...

Genel olarak, bu yöntem (sistem çözmenin diğer pek çok önemsiz olmayan yöntemi gibi) ayrı bir dersi bile hak ediyor. Kesinlikle daha detaylı inceleyeceğim. Bir gün…

Ancak sistemi tam olarak nasıl çözdüğünüz önemli değil, her halükarda şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:

Q 3 = -8

Sorun değil: küp kökünü çıkarın ve işiniz bitti!

Çıkarma işlemi sırasında buraya artı/eksi koymanıza gerek olmadığını lütfen unutmayın. Kökümüz tek (üçüncü) derecedendir. Cevap da aynı, evet.)

Böylece ilerlemenin paydası bulunmuştur. Eksi iki. Harika! Süreç devam ediyor.)

İlk terim için (örneğin üst denklemden) şunu elde ederiz:

Harika! Birinci terimi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi de dahil.)

İkinci dönem için her şey oldukça basit:

B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6

Cevap: -6

Böylece problemi çözmenin cebirsel yöntemini parçaladık. Zor? Pek değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı mı? Evet kesinlikle. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için var grafik yöntemi. Eski ve bize tanıdık geliyor.)

Hadi bir problem çizelim!

Evet! Kesinlikle. Yine ilerlememizi sayı ekseninde gösteriyoruz. Bir cetveli takip etmek gerekli değildir, terimler arasında eşit aralıkları korumak gerekli değildir (bu arada, ilerleme geometrik olduğu için aynı olmayacaktır!), sadece şematik olarak Sıramızı çizelim.

Bunu şu şekilde anladım:

Şimdi resme bakın ve anlayın. Kaç tane özdeş faktör "q" ayrılır dördüncü Ve yedinciüyeler? Doğru, üç!

Bu nedenle şunu yazmaya hakkımız var:

-24·Q 3 = 192

Buradan q'yu bulmak artık çok kolay:

Q 3 = -8

Q = -2

Bu harika, payda zaten cebimizde. Şimdi resme tekrar bakalım: bu tür paydaların arasında kaç tane var? ikinci Ve dördüncüüyeler? İki! Bu nedenle, bu terimler arasındaki bağlantıyı kaydetmek için paydayı oluşturacağız karesi.

O halde şunu yazıyoruz:

B 2 · Q 2 = -24 , Neresi B 2 = -24/ Q 2

Bulduğumuz paydayı b 2 ifadesinin yerine koyarız, sayarız ve şunu elde ederiz:

Cevap: -6

Gördüğünüz gibi her şey sistemden çok daha basit ve hızlı. Üstelik burada ilk terimi saymamıza bile gerek yoktu! Kesinlikle.)

İşte bu kadar basit ve görsel bir yol-ışık. Ama aynı zamanda ciddi bir dezavantajı da var. Tahmin ettin mi? Evet! Yalnızca çok kısa ilerleme parçaları için iyidir. Bizi ilgilendiren üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yerler. Ama diğer tüm durumlarda bir resim çizmek zaten zor, evet... O zaman sorunu sistem aracılığıyla analitik olarak çözüyoruz.) Ve sistemler evrensel şeylerdir. Her türlü sayıyı yönetebilirler.

Başka bir destansı meydan okuma:

Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birinciden 10, üçüncü terim ise ikinciden 30 fazladır. İlerlemenin paydasını bulun.

Ne, güzel mi? Hiç de bile! Hepsi aynı. Yine problem ifadesini saf cebire çeviriyoruz.

1) Her terimi aşağıdaki formüle göre açıklıyoruz Nüye!

İkinci terim: b 2 = b 1 q

Üçüncü terim: b 3 = b 1 q 2

2) Üyeler arasındaki bağlantıyı problem bildiriminden yazıyoruz.

Şartı okuyoruz: "Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birincisinden 10 daha büyüktür." Dur, bu çok değerli!

O halde şunu yazıyoruz:

B 2 = B 1 +10

Ve bu cümleyi saf matematiğe çeviriyoruz:

B 3 = B 2 +30

İki denklemimiz var. Bunları bir sistemde birleştirelim:

Sistem basit görünüyor. Ancak harfler için çok fazla farklı indeks var. İkinci ve üçüncü terimlerin ifadelerini birinci terim ve payda yerine koyalım! Bunları boyamamız boşuna mıydı?

Şunu elde ederiz:

Ama böyle bir sistem artık hediye değil, evet... Bunu nasıl çözebiliriz? Ne yazık ki, karmaşık sorunları çözmek için evrensel bir gizli büyü yoktur. doğrusal olmayan Matematikte sistem yoktur ve olamaz. Fantastik! Ancak bu kadar sert bir cevizi kırmaya çalışırken aklınıza gelmesi gereken ilk şey, Ancak sistemin denklemlerinden biri şuna indirgenebilir değil mi? güzel manzaraörneğin değişkenlerden birini diğerine göre kolayca ifade etmeye izin veriyor mu?

Hadi çözelim. Sistemin ilk denklemi açıkça ikincisinden daha basittir. Ona işkence edeceğiz.) İlk denklemden denememiz gerekmez mi? bir şey aracılığıyla ifade etmek bir şey? Paydayı bulmak istediğimiz için Q o zaman ifade etmemiz bizim için en avantajlı olacaktır. B 1 başından sonuna kadar Q.

Öyleyse bu işlemi ilk denklemle, eski güzel denklemleri kullanarak yapmaya çalışalım:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Tüm! Yani ifade ettik gereksiz bize (b 1) değişkenini verin gerekli(Q). Evet, elimizdeki en basit ifade bu değil. Bir çeşit kesir... Ama sistemimiz makul bir seviyede, evet.)

Tipik. Ne yapacağımızı biliyoruz.

ODZ yazıyoruz (Mutlaka!) :

q ≠ 1

Her şeyi paydayla (q-1) çarpıyoruz ve tüm kesirleri iptal ediyoruz:

10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)

Her şeyi ona bölüyoruz, parantezleri açıyoruz ve her şeyi soldan topluyoruz:

Q 2 – 4 Q + 3 = 0

Sonucu çözüyoruz ve iki kök alıyoruz:

Q 1 = 1

Q 2 = 3

Son bir cevap var: Q = 3 .

Cevap: 3

Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü içeren çoğu problemi çözmenin yolu her zaman aynıdır: oku dikkatle problemin durumunu ve n'inci terimin formülünü kullanarak tamamını çeviriyoruz kullanışlı bilgi saf cebire dönüştü.

Yani:

1) Problemde verilen her terimi formüle göre ayrı ayrı açıklıyoruzNüye.

2) Problemin koşullarından üyeler arasındaki bağlantıyı matematiksel forma çeviriyoruz. Bir denklem veya denklem sistemi oluşturuyoruz.

3) Ortaya çıkan denklemi veya denklem sistemini çözeriz, ilerlemenin bilinmeyen parametrelerini buluruz.

4) Belirsiz bir yanıt olması durumunda, ek bilgi (varsa) bulmak için sorun bildirimini dikkatlice okuyun. Ayrıca alınan yanıtı DL'nin şartlarıyla (varsa) kontrol ederiz.

Şimdi geometrik ilerleme problemlerini çözme sürecinde en sık hataya yol açan ana problemleri listeleyelim.

1. Temel aritmetik. Kesirlerle ve negatif sayılarla işlemler.

2. Bu üç noktadan en az birinde sorun varsa bu konuda hata yapmanız kaçınılmazdır. Ne yazık ki... O yüzden tembel olmayın ve yukarıda anlatılanları tekrarlayın. Ve bağlantıları takip edin - gidin. Bazen yardımcı olur.)

Değiştirilmiş ve tekrarlanan formüller.

Şimdi bu durumun daha az tanıdık bir sunumuyla birkaç tipik sınav problemine bakalım. Evet evet tahmin ettiniz! Bu değiştirilmiş Ve tekrarlayan n'inci terim formülleri. Bu tür formüllerle zaten karşılaştık ve aritmetik ilerleme üzerinde çalıştık. Burada her şey benzer. İşin özü aynıdır.

Örneğin, OGE'den gelen bu sorun:

Geometrik ilerleme formülle verilir bn = 3 2 N . Birinci ve dördüncü terimlerinin toplamını bulun.

Bu kez ilerleme bizim için her zamanki gibi değil. Bir çeşit formül şeklinde. Ne olmuş? Bu formül aynı zamanda bir formülNüye! Sen ve ben, n'inci terimin formülünün hem genel biçimde, harfler kullanılarak hem de yazılabileceğini biliyoruz. spesifik ilerleme. İLE özel birinci terim ve payda.

Bizim durumumuzda, aslında bize aşağıdaki parametrelerle geometrik ilerleme için genel bir terim formülü veriliyor:

B 1 = 6

Q = 2

Kontrol edelim mi?) n'inci terimin formülünü genel formda yazalım ve yerine koyalım. B 1 Ve Q. Şunu elde ederiz:

bn = B 1 · qn -1

bn= 6 2N -1

Çarpanlara ayırmayı ve kuvvetlerin özelliklerini kullanmayı basitleştiririz ve şunu elde ederiz:

bn= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N

Gördüğünüz gibi her şey adil. Ancak amacımız belirli bir formülün türetilmesini göstermek değil. Bu böyle, lirik bir ara söz. Tamamen anlama amaçlıdır.) Amacımız, durumda bize verilen formüle göre sorunu çözmektir. Anladınız mı?) Yani doğrudan değiştirilmiş formülle çalışıyoruz.

İlk dönemi sayıyoruz. Hadi değiştirelim N=1 genel formüle:

B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Bunun gibi. Bu arada tembellik etmeyeceğim ve ilk dönemin hesaplanmasında yapılan tipik bir hataya bir kez daha dikkatinizi çekeceğim. YAPMAYIN, formüle bakarak bn= 3 2N, hemen ilk terimin üç olduğunu yazmak için acele edin! Bu çok büyük bir hata, evet...)

Devam edelim. Hadi değiştirelim N=4 ve dördüncü terimi sayın:

B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Ve son olarak gerekli miktarı hesaplıyoruz:

B 1 + B 4 = 6+48 = 54

Cevap: 54

Başka bir problem.

Geometrik ilerleme koşullarla belirlenir:

B 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

İlerlemenin dördüncü terimini bulun.

Burada ilerleme yinelenen bir formülle verilmektedir. İyi tamam.) Bu formülle nasıl çalışılır – biz de biliyoruz.

Biz de öyle davranıyoruz. Adım adım.

1) İkiyi sayın ardışık ilerlemenin üyesi.

İlk dönem zaten bize verildi. Eksi yedi. Ancak bir sonraki ikinci terim yineleme formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Tabii ki çalışma prensibini anlarsanız.)

Yani ikinci terimi sayıyoruz bilinen ilkine göre:

B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21

2) İlerlemenin paydasını hesaplayın

Sorun da değil. Düz, hadi bölelim ikinciçük üzerinde Birinci.

Şunu elde ederiz:

Q = -21/(-7) = 3

3) Formülü yazınNolağan formdaki üyeyi girin ve gerekli üyeyi hesaplayın.

Yani ilk terimi ve paydayı da biliyoruz. O halde şunu yazıyoruz:

bn= -7·3N -1

B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Cevap: -189

Gördüğünüz gibi geometrik bir ilerleme için bu tür formüllerle çalışmak aslında aritmetik bir ilerlemeden farklı değildir. Bu formüllerin yalnızca genel özünü ve anlamını anlamak önemlidir. Ayrıca geometrik ilerlemenin anlamını da anlamalısınız, evet.) Ve o zaman aptalca hatalar olmayacak.

Peki, kendi başımıza karar verelim mi?)

Isınma için çok temel görevler:

1. Geometrik bir ilerleme verildiğinde B 1 = 243, a Q = -2/3. İlerlemenin altıncı terimini bulun.

2. Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle verilir bn = 5∙2 N +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı teriminin sayısını bulun.

3. Geometrik ilerleme şu koşullarla verilir:

B 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

İlerlemenin beşinci terimini bulun.

Biraz daha karmaşık:

4. Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

B 1 =2048; Q =-0,5

Altıncı negatif terim neye eşittir?

Süper zor görünen şey nedir? Hiç de bile. Mantık ve geometrik ilerlemenin anlamını kavramak sizi kurtaracaktır. Tabii ki n'inci dönemin formülü.

5. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi -14, sekizinci terim ise 112'dir. İlerlemenin paydasını bulun.

6. Geometrik ilerlemenin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı 75, ikinci ve üçüncü terimlerin toplamı 150'dir. Dizinin altıncı terimini bulun.

Cevaplar (karışıklık içinde): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Neredeyse hepsi bu. Tek yapmamız gereken saymayı öğrenmek geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı evet keşfet sonsuz azalan geometrik ilerleme ve miktarı. Bu arada çok ilginç ve sıradışı bir şey! Sonraki derslerde bu konu hakkında daha fazla bilgi edinin.)