Aritmetik ilerleme bir sayı dizisini adlandırın (bir ilerlemenin terimleri)

Sonraki her terimin bir öncekinden yeni bir terimle farklılaştığı, buna aynı zamanda denir. adım veya ilerleme farkı.

Böylece, ilerleme adımını ve ilk terimini belirterek, aşağıdaki formülü kullanarak öğelerinden herhangi birini bulabilirsiniz:

Özellikler aritmetik ilerleme

1) Aritmetik dizinin ikinci sayıdan başlayarak her üyesi, dizinin önceki ve sonraki üyelerinin aritmetik ortalamasıdır.

Bunun tersi de doğrudur. Bir ilerlemenin bitişik tek (çift) terimlerinin aritmetik ortalaması aralarında duran terime eşitse, o zaman bu sayı dizisi bir aritmetik ilerlemedir. Bu ifadeyi kullanarak herhangi bir sırayı kontrol etmek çok kolaydır.

Ayrıca aritmetik ilerlemenin özelliği nedeniyle yukarıdaki formül aşağıdakilere genelleştirilebilir:

Terimleri eşittir işaretinin sağına yazarsanız bunu doğrulamak kolaydır

Pratikte sıklıkla problemlerdeki hesaplamaları basitleştirmek için kullanılır.

2) Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü iyi hatırlayın; hesaplamalarda vazgeçilmezdir ve sıklıkla basit yaşam durumlarında bulunur.

3) Toplamın tamamını değil, k. terimden başlayan dizinin bir kısmını bulmanız gerekiyorsa aşağıdaki toplam formülü işinize yarayacaktır.

4) Pratik açıdan ilgi çekici olan, k'inci sayıdan başlayan bir aritmetik ilerlemenin n teriminin toplamını bulmaktır. Bunu yapmak için formülü kullanın

Böylece teorik materyal tamamlanır ve pratikte sık karşılaşılan sorunların çözümüne geçilir.

Örnek 1. Aritmetik ilerleme 4;7;...'nin kırkıncı terimini bulun.

Çözüm:

İçinde bulunduğumuz duruma göre

İlerleme adımını belirleyelim

İyi bilinen bir formül kullanarak ilerlemenin kırkıncı terimini buluyoruz

Örnek 2.

Çözüm:

Üçüncü ve yedinci terimleriyle aritmetik bir ilerleme verilir. İlerlemenin ilk terimini ve on'un toplamını bulun.

Formülleri kullanarak ilerlemenin verilen öğelerini yazalım.

İlkini ikinci denklemden çıkarıyoruz, sonuç olarak ilerleme adımını buluyoruz

Aritmetik ilerlemenin ilk terimini bulmak için bulunan değeri denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız

İlerlemenin ilk on teriminin toplamını hesaplıyoruz

Karmaşık hesaplamalar yapmadan gerekli tüm miktarları bulduk.

Çözüm:

Örnek 3. Bir aritmetik ilerleme, payda ve onun terimlerinden biri tarafından verilmektedir. İlerlemenin ilk terimini, 50'den başlayarak 50 teriminin toplamını ve ilk 100'ün toplamını bulun.

İlerlemenin yüzüncü elemanının formülünü yazalım

ve ilkini bul

İlkine dayanarak ilerlemenin 50. dönemini buluyoruz

İlerleme bölümünün toplamını bulma

ve ilk 100'ün toplamı

İlerleme miktarı 250'dir.

Örnek 4.

Aşağıdaki durumlarda bir aritmetik ilerlemenin terim sayısını bulun:

Çözüm:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Denklemleri ilk terim ve ilerleme adımı açısından yazalım ve belirleyelim.

Toplamdaki terim sayısını belirlemek için elde edilen değerleri toplam formülüne koyarız

Basitleştirmeler yapıyoruz

ve ikinci dereceden denklemi çöz

Bulunan iki değerden yalnızca 8 sayısı problem koşullarına uymaktadır. Böylece ilerlemenin ilk sekiz teriminin toplamı 111 olur.

Örnek 5.

Denklemi çöz

1+3+5+...+x=307.

Çözüm: Bu denklem aritmetik ilerlemenin toplamıdır. İlk terimini yazalım ve ilerlemedeki farkı bulalım Her doğal sayı için ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR sonra verildi diyorlar :

sayı dizisi 1 , sayı dizisi 2 , sayı dizisi 3 , . . . , A , . . . .

BİR

Dolayısıyla sayı dizisi doğal argümanın bir fonksiyonudur. sayı dizisi 1 Sayı isminde dizinin ilk terimi sayı dizisi 2 — , sayı dizinin ikinci terimi sayı dizisi 3 — , sayı üçüncü gerçek bir sayıyla eşleş Sayı ve benzeri. Sayı n'inci terim diziler ve bir doğal sayı — N .

onun numarası A İki bitişik üyeden A +1 Ve A +1 Sayı dizi üyesi sonraki gerçek bir sayıyla eşleş (göreceli olarak gerçek bir sayıyla eşleş — ), A sonraki A +1 ).

Bir dizi tanımlamak için, dizinin herhangi bir sayıdaki üyesini bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmeniz gerekir.

Çoğu zaman sıra kullanılarak belirtilir. n'inci terim formülleri yani bir dizinin bir üyesini numarasına göre belirlemenize olanak tanıyan bir formül.

Örneğin,

bir dizi pozitif tek sayı formülle verilebilir

A= 2N- 1,

ve alternatif dizi 1 Ve -1 - formül

B N = (-1)N +1 . ◄

Sıra belirlenebilir tekrarlanan formül, yani, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar dizinin herhangi bir üyesini ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer sayı dizisi 1 = 1 , A A +1 = A + 5

sayı dizisi 1 = 1,

sayı dizisi 2 = sayı dizisi 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

sayı dizisi 3 = sayı dizisi 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

sayı dizisi 4 = sayı dizisi 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

sayı dizisi 5 = sayı dizisi 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer 1= 1, bir 2 = 1, A +2 = A + A +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi terimi şu şekilde oluşturulur:

1 = 1,

bir 2 = 1,

3 = 1 + bir 2 = 1 + 1 = 2,

4 = bir 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

sayı dizisi 6 = sayı dizisi 4 + sayı dizisi 5 = 3 + 5 = 8,

sayı dizisi 7 = sayı dizisi 5 + sayı dizisi 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sıralar olabilir son İki bitişik üyeden sonsuz .

Sıra denir nihai Eğer sınırlı sayıda üyesi varsa. Sıra denir sonsuz sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı dizi doğal sayılar:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Asal sayılar dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Sıra denir artan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha büyükse.

Sıra denir azalan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2ve bir doğal sayı, . . . - artan sıra;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - azalan dizi. ◄

Sayı arttıkça elemanları azalmayan veya tam tersi artmayan diziye ne ad verilir? monoton dizi .

Monotonik diziler özellikle artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin, aynı sayının eklendiği bir öncekine eşit olduğu bir dizidir.

sayı dizisi 1 , sayı dizisi 2 , sayı dizisi 3 , . . . , A, . . .

herhangi bir doğal sayı için aritmetik bir ilerlemedir Her doğal sayı için ise koşul yerine getirildi:

A +1 = A + D,

Nerede D - belirli bir sayı.

Dolayısıyla, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve önceki terimleri arasındaki fark her zaman sabittir:

bir 2 - sayı dizisi 1 = 3 - sayı dizisi 2 = . . . = A +1 - A = D.

Dolayısıyla sayı dizisi doğal argümanın bir fonksiyonudur. D Sayı aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer sayı dizisi 1 = 3, D = 4 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:

1 =3,

bir 2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = bir 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

sayı dizisi 5 = sayı dizisi 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terimle aritmetik ilerleme için sayı dizisi 1 ve fark D o Her doğal sayı için ise

A = 1 + (ve bir doğal sayı- 1)D.

Örneğin,

Aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = 1 + (ve bir doğal sayı- 2)D,

A= 1 + (ve bir doğal sayı- 1)D,

A +1 = sayı dizisi 1 + ve,

o zaman açıkçası

Bir aritmetik ilerlemenin ikinciden başlayarak her üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bir aritmetik ilerlemenin ardışık terimleridir.

Örneğin,

A = 2ve bir doğal sayı- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

A = 2ve bir doğal sayı- 7,

bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2ve bir doğal sayı- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ve bir doğal sayı- 5.

Buradan,

◄

Dikkat Her doğal sayı için ise Bir aritmetik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: sayı dizisi 1 , aynı zamanda daha önceki herhangi bir bir k

A = bir k + (ve bir doğal sayı- k)D.

Örneğin,

İçin sayı dizisi 5 yazılabilir

5 = 1 + 4D,

5 = bir 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

A = bir n-k + kd,

A = bir n+k - kd,

o zaman açıkçası

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik ilerlemenin eşit aralıklı üyelerinin toplamının yarısına eşittir.

Ayrıca herhangi bir aritmetik ilerleme için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) sayı dizisi 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (sayı dizisi 9 + sayı dizisi 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (bir 7 + bir 13)/2;

4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ A,

Birinci Her doğal sayı için ise Bir aritmetik ilerlemenin terimleri, uç terimlerin toplamının yarısı ile terim sayısının çarpımına eşittir:

Buradan özellikle şu sonuç çıkar: terimleri toplamanız gerekiyorsa

bir k, bir k +1 , . . . , A,

bu durumda önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Aritmetik bir ilerleme verilirse, miktarlar sayı dizisi 1 , A, D, ve bir doğal sayı VeS Her doğal sayı için ise iki formülle birbirine bağlanır:

Bu nedenle, bu miktarlardan üçünün değerleri verilirse, diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. Bu durumda:

• Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
• Eğer D < 0 , sonra azalıyor;
• Eğer D = 0 , bu durumda dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

Geometrik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olduğu bir dizidir.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir Her doğal sayı için ise koşul yerine getirildi:

bn +1 = bn · Q,

Nerede Q ≠ 0 - belirli bir sayı.

Dolayısıyla, belirli bir geometrik ilerlemenin sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Dolayısıyla sayı dizisi doğal argümanın bir fonksiyonudur. Q Sayı geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik bir ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer B 1 = 1, Q = -3 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:

b 1 = 1,

b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 ve payda Q o Her doğal sayı için ise Bu terim aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

bn = B 1 · qn -1 .

Örneğin,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Bunun tersi de doğru olduğundan aşağıdaki ifade geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bir geometrik ilerlemenin ardışık terimleridir.

Örneğin,

Formülün verdiği diziyi kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

bu da istenen ifadeyi kanıtlıyor. ◄

Dikkat Her doğal sayı için ise Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir üye bk bunun için formülü kullanmak yeterlidir

bn = bk · qn - k.

Örneğin,

İçin B 5 yazılabilir

b5 = b 1 · Q 4 ,

b5 = b2 · 3. soru,

b5 = b3 · q 2,

b5 = b4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn - k· bn + k

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin karesi, bu ilerlemenin kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerinin çarpımına eşittir.

Ayrıca herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bm· bn= bk· b l,

M+ ve bir doğal sayı= k+ ben.

Örneğin,

geometrik ilerlemede

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Birinci Her doğal sayı için ise paydalı geometrik ilerlemenin üyeleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre

Sn= not 1

Terimleri toplamanız gerekiyorsa şunu unutmayın:

bk, bk +1 , . . . , bn,

daha sonra formül kullanılır:

Örneğin,

geometrik ilerlemede 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Geometrik bir ilerleme verilirse, o zaman miktarlar B 1 , bn, Q, ve bir doğal sayı Ve Sn iki formülle birbirine bağlanır:

Bu nedenle, bu miktarlardan herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

İlk terimle geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluğun özellikleri :

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artıyor:

B 1 > 0 Ve Q> 1;

B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme azalıyor:

B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Ve Q> 1.

Eğer Q< 0 , bu durumda geometrik ilerleme dönüşümlüdür: tek sayılı terimler ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimler ters işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlk ürünün ürünü Her doğal sayı için ise geometrik ilerlemenin terimleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Pn= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) ve bir doğal sayı / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz geometrik ilerleme denir 1 yani

|Q| < 1 .

Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

Böyle bir paydayla dizi değişiyor. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı ilklerin toplamının sınırsız olarak yaklaştığı sayıyı adlandırın Her doğal sayı için ise sayısında sınırsız bir artış olan bir ilerlemenin üyeleri Her doğal sayı için ise . Bu sayı her zaman sonludur ve aşağıdaki formülle ifade edilir:

Örneğin,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneğe bakalım.

sayı dizisi 1 , sayı dizisi 2 , sayı dizisi 3 , . . . D , O

ba bir 1 , ba bir 2 , ba bir 3 , . . . b d .

Örneğin,

1, 3, 5, . . . - farkla aritmetik ilerleme 2 Ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - paydayla geometrik ilerleme 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - paydayla geometrik ilerleme Q , O

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - farkla aritmetik ilerleme bir günlüğe kaydetQ .

Örneğin,

2, 12, 72, . . . - paydayla geometrik ilerleme 6 Ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄

Karar vermeye başlamadan önce aritmetik ilerleme problemleri aritmetik ilerleme olduğundan sayı dizisinin ne olduğunu düşünelim. özel durum sayı dizisi.

Sayı dizisi, her bir öğesinin kendi seri numarasına sahip olduğu bir sayı kümesidir.. Bu kümenin elemanlarına dizinin üyeleri denir. Bir sıra öğesinin seri numarası bir indeksle gösterilir:

Dizinin ilk elemanı;

Dizinin beşinci elemanı;

- dizinin "n'inci" elemanı, yani n numarasında "sırada duran" öğe.

Bir sıra elemanının değeri ile sıra numarası arasında bir ilişki vardır. Bu nedenle bir diziyi, argümanı dizinin elemanının sıra numarası olan bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Başka bir deyişle şunu söyleyebiliriz dizi doğal argümanın bir fonksiyonudur:

Sıra üç şekilde ayarlanabilir:

1 . Sıra bir tablo kullanılarak belirtilebilir. Bu durumda dizideki her bir üyenin değerini basitçe belirleriz.

Örneğin, Birisi kişisel zaman yönetimini üstlenmeye ve öncelikle hafta boyunca VKontakte'de ne kadar zaman geçirdiğini saymaya karar verdi. Zamanı tabloya kaydederek yedi öğeden oluşan bir dizi alacaktır:

Tablonun ilk satırı haftanın gününün sayısını, ikinci satırı dakika cinsinden zamanı gösterir. Yani Pazartesi günü birisinin VKontakte'de 125 dakika, yani Perşembe günü - 248 dakika ve yani Cuma günü sadece 15 dakika geçirdiğini görüyoruz.

2 . Sıra, n'inci terim formülü kullanılarak belirtilebilir.

Bu durumda, bir dizi elemanının değerinin numarasına bağımlılığı doğrudan bir formül biçiminde ifade edilir.

Örneğin, eğer öyleyse

Belirli bir sayıya sahip bir dizi elemanının değerini bulmak için, eleman numarasını n'inci terimin formülüne koyarız.

Argümanın değeri biliniyorsa, bir fonksiyonun değerini bulmamız gerekiyorsa aynı şeyi yaparız. Argümanın değerini fonksiyon denkleminde değiştiririz:

Örneğin, , O

Bir dizide, rastgele bir sayısal fonksiyondan farklı olarak, argümanın yalnızca doğal bir sayı olabileceğini bir kez daha belirtmek isterim.

3 . Dizi, n dizi üye numarasının değerinin önceki üyelerin değerlerine bağımlılığını ifade eden bir formül kullanılarak belirtilebilir.

Bu durumda dizi üyesinin değerini bulmak için sadece sayısını bilmemiz yeterli değildir. Dizinin ilk üyesini veya ilk birkaç üyesini belirtmemiz gerekiyor. ,

Örneğin, sırayı düşünün Dizi üyelerinin değerlerini bulabiliriz birer birer

üçüncüsünden başlayarak: Yani, dizinin n'inci teriminin değerini bulmak için her seferinde önceki iki terime dönüyoruz. Bir diziyi belirlemenin bu yöntemine denir tekrarlayan Latince kelimeden yinelenen

- geri gelmek.

Aritmetik ilerleme Artık aritmetik ilerlemeyi tanımlayabiliriz. Aritmetik ilerleme, sayı dizisinin basit bir özel durumudur.

ikinciden başlayarak her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan sayısal bir dizidir. aritmetik ilerleme farkı Numara aranır

. Aritmetik ilerlemenin farkı pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} If title="d>0.

artan

Örneğin 2; 5; 8; 11;... Eğer ise, o zaman bir aritmetik ilerlemenin her terimi bir öncekinden daha küçüktür ve ilerleme şu şekildedir:.

azalan

Örneğin 2; -1; -4; -7;... Eğer ise ilerlemenin tüm terimleri aynı sayıya eşit olur ve ilerleme şu şekilde olur:.

sabit

Örneğin, 2;2;2;2;...

Aritmetik ilerlemenin ana özelliği:

Şimdi resme bakalım.

Bunu görüyoruz

ve aynı zamanda

.

Bu iki eşitliği topladığımızda şunu elde ederiz:

Eşitliğin her iki tarafını da 2'ye bölün:

Yani aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, ikinciden başlayarak, iki komşunun aritmetik ortalamasına eşittir:

Bunu görüyoruz

, O

Üstelik, o zamandan beri

ve bu nedenle">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

title = "k>l" ile başlayan bir aritmetik ilerlemenin her terimi

Terimin formülü.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin aşağıdaki ilişkileri sağladığını görüyoruz:

ve nihayet Elimizde

n'inci terimin formülü.ÖNEMLİ!

Aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi ve aracılığıyla ifade edilebilir. Aritmetik ilerlemenin ilk terimini ve farkını bilerek, terimlerinden herhangi birini bulabilirsiniz.

Bir aritmetik ilerlemenin n teriminin toplamı.

Keyfi bir aritmetik ilerlemede, uç noktalardan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamları birbirine eşittir:

İlerlemenin şartlarını önce artan sayı sırasına göre, sonra azalan sıraya göre düzenleyelim:

Çiftler halinde ekleyelim:

Her parantez içindeki toplam, çiftlerin sayısı n'dir.

Şunu elde ederiz:

Bu yüzden, Bir aritmetik ilerlemenin n teriminin toplamı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

düşünelim aritmetik ilerleme problemlerini çözme.

1 . Sıra, n'inci terimin formülüyle verilir: . Bu dizinin aritmetik bir ilerleme olduğunu kanıtlayın.

Dizinin bitişik iki terimi arasındaki farkın aynı sayıya eşit olduğunu kanıtlayalım.

Dizinin iki bitişik üyesi arasındaki farkın sayılarına bağlı olmadığını ve sabit olduğunu bulduk. Dolayısıyla tanımı gereği bu dizi aritmetik bir ilerlemedir.

2 . Aritmetik ilerleme verildiğinde -31; -27;...

a) İlerlemenin 31 terimini bulun.

b) 41 sayısının bu ilerlemeye dahil olup olmadığını belirleyiniz.

A)Şunu görüyoruz;

İlerlememizin n'inci döneminin formülünü yazalım.

Genel olarak

Bizim durumumuzda , Bu yüzden

Veya aritmetik, özellikleri incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. okul kursu cebir. Bu makalede, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusu ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Bu nasıl bir ilerleme?

Soruna geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neden bahsettiğimizi anlamakta fayda var.

Önceki her sayıya bir değer eklenerek (çıkarılarak) elde edilen herhangi bir gerçek sayı dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Bu tanım matematik diline çevrildiğinde şu şekli alır:

Burada i, a i satırının elemanının seri numarasıdır. Böylece yalnızca bir başlangıç ​​​​numarasını bilerek tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.

Söz konusu sayı dizisi için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolaylıkla gösterilebilir:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Yani n'inci elemanın değerini sırasıyla bulmak için d farkını ilk eleman a'ya 1 n-1 kez eklemelisiniz.

Aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül

Belirtilen miktarın formülünü vermeden önce basit bir özel durumu dikkate almakta fayda var. Doğal sayıların 1'den 10'a kadar ilerlemesi verildiğinde, bunların toplamını bulmanız gerekir. Progresyonda (10) az sayıda terim olduğundan, problemi doğrudan çözmek, yani tüm unsurları sırayla toplamak mümkündür.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Göz önünde bulundurmaya değer bir şey ilginç şey: her terim bir sonrakinden aynı d = 1 değeri kadar farklı olduğundan, birincinin onuncuyla, ikincinin dokuzuncuyla vb. ikili toplamı aynı sonucu verecektir. Gerçekten mi:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 adet var, yani serinin eleman sayısından tam iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak ilk örnekte elde edilen sonuca ulaşacaksınız.

Bu argümanları genelleştirirsek aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

S n = n * (bir 1 + bir n) / 2.

Bu ifade, bir satırdaki tüm öğelerin toplamının hiç de gerekli olmadığını; ilk a 1 ve sonuncusu a n'nin değerini bilmenin yeterli olduğunu gösterir. toplam sayı n terim.

Belirli bir soruna çözüm ararken bu eşitliği ilk düşünenin Gauss olduğuna inanılıyor. okul öğretmeni görev: ilk 100 tam sayıyı toplayın.

m'den n'ye kadar elemanların toplamı: formül

Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik ilerlemenin (ilk öğeler) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna yanıt verir, ancak çoğu zaman problemlerde ilerlemenin ortasında bir sayı dizisinin toplanması gerekir. Bu nasıl yapılır?

Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'den n'ye kadar terimlerin toplamını bulmamız gereksin. Sorunu çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye kadar verilen bölümünü yeni bir sayı dizisi biçiminde sunmalısınız. bunda m'inci temsil a m terimi ilk olacak ve bir n, n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda, toplam için standart formülün uygulanmasıyla aşağıdaki ifade elde edilecektir:

S m n = (n - m + 1) * (bir m + bir n) / 2.

Formül kullanma örneği

Aritmetik ilerlemenin toplamını nasıl bulacağınızı bildiğinizden, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.

Aşağıda sayısal bir dizi bulunmaktadır, 5'inciden başlayıp 12'nci ile biten terimlerinin toplamını bulmalısınız:

Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu göstermektedir. n'inci eleman ifadesini kullanarak ilerlemenin 5. ve 12. terimlerinin değerlerini bulabilirsiniz. Görünüşe göre:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Söz konusu cebirsel ilerlemenin sonundaki sayıların değerlerini bilmek ve seride hangi sayıları işgal ettiklerini bilmek, önceki paragrafta elde edilen toplamın formülünü kullanabilirsiniz. Ortaya çıkacak:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Bu değerin farklı şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 öğenin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın, ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın.

I. V. Yakovlev | Matematik materyalleri | MathUs.ru

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme özel tip devamı. Bu nedenle, bir aritmetik (ve ardından geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce, kısaca tartışmalıyız. önemli kavram sayı dizisi.

Alt sıra

Ekranında belirli sayıların birbiri ardına görüntülendiği bir cihaz düşünün. 2 diyelim; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu sayı kümesi tam olarak bir dizi örneğidir.

Tanım. Sayı dizisi, her sayıya benzersiz bir sayının atanabileceği (yani tek bir doğal sayıyla ilişkili)1 bir sayı kümesidir. n sayısına dizinin n'inci terimi denir.

Yani yukarıdaki örnekte ilk sayı 2'dir, bu dizinin ilk üyesidir ve a1 ile gösterilebilir; beş rakamı 6 rakamına sahiptir, serinin beşinci terimidir ve a5 ile gösterilebilir. Kesinlikle, n'inci terim diziler bir (veya bn, cn, vb.) ile gösterilir.

Dizinin n'inci teriminin bir formülle belirlenebildiği durum çok uygun bir durumdur. Örneğin, an = 2n 3 formülü şu diziyi belirtir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü şu sırayı belirtir: 1; 1; 1; 1; : : :

Her sayı kümesi bir dizi değildir. Dolayısıyla bir parça bir dizi değildir; yeniden numaralandırılamayacak kadar çok sayıda sayı içeriyor. Tüm reel sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.

Aritmetik ilerleme: temel tanımlar

Artık aritmetik ilerlemeyi tanımlamaya hazırız.

Tanım. Aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) önceki terimin ve bazı sabit sayıların (aritmetik ilerlemenin farkı olarak adlandırılır) toplamına eşit olduğu bir dizidir.

Örneğin dizi 2; 5; 8; 11; : : : ilk terimi 2 ve farkı 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 7; 2; 3; 8; : : : ilk terimi 7 ve farkı 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 3; 3; 3; : : : farkı sıfıra eşit olan bir aritmetik ilerlemedir.

Eşdeğer tanım: an+1 an farkı sabit bir değerse (n'den bağımsız) an dizisine aritmetik ilerleme denir.

Aritmetik ilerlemeye farkı pozitifse artan, farkı negatifse azalan denir.

1 Ancak burada daha kısa bir tanım var: Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, gerçek sayılar dizisi f: N fonksiyonudur! R.

Varsayılan olarak dizilerin sonsuz olduğu, yani sonsuz sayıda sayı içerdiği kabul edilir. Ancak hiç kimse bizi sonlu dizileri dikkate alma zahmetine sokmuyor; aslında herhangi bir sonlu sayı kümesine sonlu bir dizi denilebilir. Örneğin bitiş sırası 1'dir; 2; 3; 4; 5 beş sayıdan oluşur.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Aritmetik ilerlemenin tamamen iki sayı tarafından belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle şu soru ortaya çıkıyor: İlk terimi ve farkı bilerek, aritmetik ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl buluruz?

Elde etmek gerekli formül Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi zor değildir. izin ver

Problem 1. Aritmetik ilerleme 2'de; 5; 8; 11; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti

Aritmetik ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede ve herhangi biri için

Başka bir deyişle, bir aritmetik ilerlemenin her üyesi (ikincisinden başlayarak) komşu üyelerinin aritmetik ortalamasıdır.

gerekli olan da buydu.

Daha genel olarak, aritmetik ilerleme an eşitliği sağlar

a n = a n k+ a n+k

herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Formül (2)'nin, dizinin aritmetik bir ilerleme olması için yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olarak hizmet ettiği ortaya çıktı.

Aritmetik ilerleme işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi bir aritmetik ilerlemedir.

Kanıt. Formül (2)'yi şu şekilde yeniden yazalım:

a na n 1= a n+1a n:

Buradan an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını görebiliriz ve bu tam olarak an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti tek bir ifade biçiminde formüle edilebilir; Kolaylık sağlamak için bunu üç sayı için yapacağız (bu, problemlerde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur).

Aritmetik ilerlemenin karakterizasyonu. Üç a, b, c sayısı ancak ve ancak 2b = a + c ise bir aritmetik ilerleme oluşturur.

Problem 2. (MSU, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sıraya göre 8x, 3x2 ve 4 numaralı üç sayı azalan bir aritmetik dizi oluşturuyor. X'i bulun ve bu ilerlemenin farkını belirtin.

Çözüm. Aritmetik ilerlemenin özelliği gereği elimizde:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Eğer x = 1 ise 6 farkla 8, 2, 4'lük azalan bir ilerleme elde ederiz. Eğer x = 5 ise 40, 22, 4'lük artan bir ilerleme elde ederiz; bu durum uygun değildir.

Cevap: x = 1, fark 6'dır.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

Efsaneye göre bir gün öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyler ve sessizce oturup gazete okur. Ancak birkaç dakika içinde bir çocuk sorunu çözdüğünü söyledi. Bu, 9 yaşındaki Karl Friedrich Gauss'du, daha sonra en büyük matematikçiler tarihte.

Küçük Gauss'un fikri şuydu. İzin vermek

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Bu tutarı tersten yazalım:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ve şu iki formülü ekleyin:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Parantez içindeki her terim 101'e eşittir ve toplamda bu tür 100 terim vardır.

2S = 101 100 = 10100;

Toplam formülünü türetmek için bu fikri kullanırız

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Eğer n'inci terimin formülünü an = a1 + (n 1)d yerine koyarsak, formül (3)'ün faydalı bir modifikasyonu elde edilir:

Problem 3. 13'e bölünebilen tüm üç basamaklı pozitif sayıların toplamını bulun.

Çözüm. 13'ün katı olan üç basamaklı sayılar, ilk terimi 104 ve farkı 13 olan bir aritmetik dizi oluşturur; Bu ilerlemenin n'inci terimi şu şekildedir:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

İlerlememizin kaç terim içerdiğini bulalım. Bunu yapmak için eşitsizliği çözelim:

bir 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; numara 6 69:

Yani ilerlememizde 69 üye var. Formül (4)'ü kullanarak gerekli miktarı buluruz:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2