Örneklem anketine göre mevduat sahipleri şehrin Sberbank'ındaki mevduatlarının büyüklüğüne göre gruplandırıldı:

Tanımlamak:

1) varyasyonun kapsamı;

2) ortalama mevduat büyüklüğü;

3) ortalama doğrusal sapma;

4) dağılım;

5) standart sapma;

6) katkıların değişim katsayısı.

Çözüm:

Bu dağıtım serisi açık aralıklar içermektedir. Bu tür serilerde, geleneksel olarak birinci grubun aralığının değerinin bir sonraki grubun aralığının değerine eşit olduğu varsayılır ve son grubun aralığının değeri, önceki grubun aralığının değerine eşittir. önceki.

İkinci grubun aralığının değeri 200'e eşittir, dolayısıyla birinci grubun değeri de 200'e eşittir. Sondan bir önceki grubun aralığının değeri 200'e eşittir, bu da son aralığın da olacağı anlamına gelir 200 değeri var.

1) Değişim aralığını özelliğin en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki fark olarak tanımlayalım:

Mevduat büyüklüğündeki değişim aralığı 1000 ruble.

2) Katkı payının ortalama büyüklüğü ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılarak belirlenecektir.

Öncelikle her aralıktaki niteliğin ayrık değerini belirleyelim. Bunu yapmak için basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak aralıkların orta noktalarını buluyoruz.

İlk aralığın ortalama değeri şöyle olacaktır:

ikincisi - 500 vb.

Hesaplama sonuçlarını tabloya girelim:

Şehrin Sberbank'ındaki ortalama depozito 780 ruble olacak:

3) Ortalama doğrusal sapma, bir özelliğin bireysel değerlerinin genel ortalamadan mutlak sapmalarının aritmetik ortalamasıdır:

Aralık dağılım serisindeki ortalama doğrusal sapmayı hesaplama prosedürü aşağıdaki gibidir:

1. Ağırlıklı aritmetik ortalama, paragraf 2)'de gösterildiği gibi hesaplanır.

2. Ortalamadan mutlak sapmalar belirlenir:

3. Ortaya çıkan sapmalar frekanslarla çarpılır:

4. İşareti dikkate almadan ağırlıklı sapmaların toplamını bulun:

5. Ağırlıklı sapmaların toplamı frekansların toplamına bölünür:

Hesaplama veri tablosunu kullanmak uygundur:

Sberbank müşterilerinin mevduat büyüklüğünün ortalama doğrusal sapması 203,2 ruble.

4) Dağılım, her nitelik değerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır.

Aralık dağılım serisindeki varyansın hesaplanması aşağıdaki formül kullanılarak gerçekleştirilir:

Bu durumda varyansın hesaplanmasına ilişkin prosedür aşağıdaki gibidir:

1. Paragraf 2)'de gösterildiği gibi ağırlıklı aritmetik ortalamayı belirleyin.

2. Ortalamadan sapmaları bulun:

3. Her seçeneğin ortalamadan sapmasının karesi:

4. Sapmaların karelerini ağırlıklarla (frekanslar) çarpın:

5. Ortaya çıkan ürünleri özetleyin:

6. Ortaya çıkan miktar, ağırlıkların (frekansların) toplamına bölünür:

Hesaplamaları bir tabloya koyalım:

Excel programı hem profesyoneller hem de amatörler tarafından oldukça değerlidir, çünkü her beceri seviyesindeki kullanıcılar onunla çalışabilir. Örneğin, Excel'de minimum "iletişim" becerisine sahip olan herkes basit bir grafik çizebilir, düzgün bir tablo hazırlayabilir vb.

Aynı zamanda bu program, örneğin hesaplamalar gibi çeşitli hesaplama türlerini gerçekleştirmenize bile izin verir, ancak bu biraz farklı bir eğitim seviyesi gerektirir. Ancak bu programla yeni yeni tanışmaya başladıysanız ve daha ileri düzey bir kullanıcı olmanıza yardımcı olacak her şeyle ilgileniyorsanız bu makale tam size göre. Bugün size ortalamanın ne olduğunu anlatacağım. standart sapma Excel'deki formül, neden gerekli olduğu ve kesin olarak ne zaman kullanıldığı. Hadi gidelim!

Nedir

Teoriyle başlayalım. Standart sapma genellikle denir karekök, mevcut miktarlar arasındaki tüm karesel farkların aritmetik ortalamasından ve bunların aritmetik ortalamasından elde edilir.

Bu kavramın özü, bir aracın değişkenlik derecesini belirlemektir, yani bu, kendi içinde tanımlayıcı istatistiklerden türetilen bir göstergedir. Herhangi bir zaman diliminde bir enstrümanın volatilitesindeki değişiklikleri tanımlar. STANDART DEĞER formüllerini kullanarak numunenin standart sapmasını mantıksal ve metin değerleri göz ardı edilir.

Formül

Standart sapmanın hesaplanmasına yardımcı olur excel formülü, Excel'de otomatik olarak sağlanır. Bulmak için Excel'de formül bölümünü bulmanız ve ardından STANDART DEĞER adlı bölümü seçmeniz gerekir, bu nedenle çok basittir.

Bundan sonra önünüzde hesaplama için veri girmeniz gereken bir pencere görünecektir. Özellikle, özel alanlara iki sayı girilmelidir, bundan sonra programın kendisi numunenin standart sapmasını hesaplayacaktır.

Kuşkusuz matematiksel formüller ve hesaplamalar oldukça karmaşık bir konudur ve her kullanıcı bununla hemen başa çıkamaz. Ancak biraz daha derine inip konuya biraz daha detaylı bakarsanız her şeyin o kadar da üzücü olmadığı ortaya çıkıyor. Umarım standart sapmayı hesaplama örneğini kullanarak buna ikna olmuşsunuzdur.

Yardımcı olacak video

X ben - rastgele (güncel) değişkenler;

X– numune için rastgele değişkenlerin ortalama değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bu yüzden, varyans sapmaların ortalama karesidir . Yani önce ortalama değer hesaplanır, sonra alınır. her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki farkın karesi alınır , eklenir ve daha sonra popülasyondaki değer sayısına bölünür.

Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların özel olması için karesi alınmış pozitif sayılar ve bunları özetlerken olumlu ve olumsuz sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemektir. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız.

Çözüm sihirli kelime“Dağılım” yalnızca şu üç kelimeden oluşur: ortalama – kare – sapmalar.

Standart sapma (MSD)

Varyansın karekökünü alarak “” ifadesini elde ederiz. standart sapma".İsimler var "standart sapma" veya "sigma" (Yunanca harfin adından σ .). Standart sapmanın formülü şöyledir:

Bu yüzden, dağılım sigma kare veya standart sapmanın karesidir.

Standart sapma, elbette, veri dağılımının ölçüsünü de karakterize eder, ancak artık (dağılımın aksine) aynı ölçüm birimlerine sahip oldukları için orijinal verilerle karşılaştırılabilir (bu, hesaplama formülünden açıktır). Değişim aralığı uç değerler arasındaki farktır. Belirsizliğin bir ölçüsü olarak standart sapma birçok istatistiksel hesaplamada da yer almaktadır. Doğruluk derecesini belirlemek için kullanılır farklı tahminler ve tahminler. Eğer varyasyon çok büyükse, standart sapma da büyük olacaktır ve dolayısıyla tahmin hatalı olacaktır; bu da örneğin çok geniş güven aralıklarında ifade edilecektir.

Bu nedenle, gayrimenkul değerlemelerinde istatistiksel veri işleme yöntemlerinde, görevin gerekli doğruluğuna bağlı olarak iki veya üç sigma kuralı kullanılmaktadır.

İki sigma kuralını ve üç sigma kuralını karşılaştırmak için Laplace formülünü kullanırız:

F-F,

burada Ф(x) Laplace fonksiyonudur;

Minimum değer

β = maksimum değer

s = sigma değeri (standart sapma)

a = ortalama

Bu durumda kullanılır özel görünüm Laplace formülü, rastgele değişken X'in değerlerinin α ve β sınırları, a = M(X) dağılımının merkezinden belirli bir d değeri kadar eşit aralıklarla yerleştirildiğinde: a = a-d, b = a+d. Veya (1) Formül (1), bir rastgele değişken Xc'nin belirli bir sapma d'sinin olasılığını belirler. normal hukuk ondan dağıtım matematiksel beklenti M(X) = a.

Formül (1)'de d = 2s ve d = 3s'yi sırayla alırsak, şunu elde ederiz: (2), (3).

İki sigma kuralı

İki sigma kuralını geometrik olarak gösterelim. Şek. Şekil 6, dağıtım merkezi a olan bir Gauss eğrisini göstermektedir. Eğrinin tamamı ve Ox ekseni tarafından sınırlanan alan 1'e (%100) eşittir ve iki sigma kuralına göre apsis a–2s ve a+2s arasındaki eğrisel yamuğun alanı eşittir 0,954'e (toplam alanın %95,4'ü). Gölgeli alanların alanı 1-0,954 = 0,046'dır (toplam alanın »%5'i). Bu alanlara rastgele değişkenin kritik bölgesi denir. Rastgele bir değişkenin kritik bölgeye düşen değerleri olası değildir ve pratikte geleneksel olarak imkansız olarak kabul edilir.

Koşullu olasılık imkansız değerler Rastgele değişkenin anlamlılık düzeyi denir. Anlamlılık düzeyi aşağıdaki formülle güven olasılığıyla ilişkilidir:

burada q, yüzde olarak ifade edilen anlamlılık düzeyidir.

Üç sigma kuralı

Daha fazla güvenilirlik gerektiren sorunları çözerken, güven olasılığı (Pd) 0,997'ye (daha doğrusu 0,9973) eşit alındığında, formül (3)'e göre iki sigma kuralı yerine kural kullanılır. üç sigma

Buna göre üç sigma kuralı 0,9973 güven olasılığı ile kritik alan, aralığın (a-3s, a+3s) dışındaki nitelik değerlerinin alanı olacaktır. Anlamlılık düzeyi %0,27'dir.

Başka bir deyişle, olasılık mutlak değer sapmalar standart sapmanın üç katını aşacaktır, çok küçüktür, yani 0,0027 = 1-0,9973'e eşittir. Bu, vakaların yalnızca %0,27'sinde bunun gerçekleşeceği anlamına gelir. Olasılık dışı olayların imkansızlığı ilkesine dayanan bu tür olaylar, pratik olarak imkansız kabul edilebilir. Onlar. örnekleme son derece doğrudur.

Üç sigma kuralının özü budur:

Rastgele bir değişken normal olarak dağıtılıyorsa, matematiksel beklentiden sapmasının mutlak değeri standart sapmanın (MSD) üç katını aşmaz.

Pratikte üç sigma kuralı şu şekilde uygulanır: Eğer incelenen rastgele değişkenin dağılımı bilinmiyorsa ancak yukarıdaki kuralda belirtilen koşul karşılanıyorsa, incelenen değişkenin normal dağıldığını varsaymak için bir neden vardır. ; aksi halde normal dağılım göstermez.

Önem düzeyi, izin verilen risk derecesine ve eldeki göreve bağlı olarak alınır. Gayrimenkul değerlemesi için genellikle iki sigma kuralına göre daha az kesin bir örnek benimsenir.

Dağılım. Standart sapma

Dağılım her bir nitelik değerinin genel ortalamadan sapmalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır. Kaynak verilere bağlı olarak varyans, ağırlıklandırılmamış (basit) veya ağırlıklı olabilir.

Varyans aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

· gruplanmamış veriler için

· gruplandırılmış veriler için

Ağırlıklı varyansı hesaplama prosedürü:

1. Aritmetik ağırlıklı ortalamayı belirleyin

2. Varyantın ortalamadan sapmaları belirlenir

3. Her seçeneğin ortalamadan sapmasının karesi

4. Sapmaların karelerini ağırlıklarla (frekanslar) çarpın

5. Ortaya çıkan ürünleri özetleyin

6. Ortaya çıkan miktar terazilerin toplamına bölünür

Varyansı belirleme formülü aşağıdaki formüle dönüştürülebilir:

- basit

Varyansı hesaplama prosedürü basittir:

1. aritmetik ortalamayı belirleyin

2. aritmetik ortalamanın karesi

3. Satırdaki her seçeneğin karesini alın

4. Karelerin toplamını bulma seçeneği

5. Karelerin toplamını sayılarına bölün, yani. ortalama kareyi belirle

6. Karakteristiğin ortalama karesi ile ortalamanın karesi arasındaki farkı belirleyin

Ayrıca ağırlıklı varyansın belirlenmesine yönelik formül aşağıdaki formüle dönüştürülebilir:

onlar. dağılım, özelliğin kare değerlerinin ortalaması ile aritmetik ortalamanın karesi arasındaki farka eşittir. Dönüştürülen formülü kullanırken, bir özelliğin bireysel değerlerinin x'ten sapmalarını hesaplamak için ek prosedür ortadan kaldırılır ve sapmaların yuvarlanması ile ilgili hesaplamadaki hata ortadan kaldırılır

Dispersiyonun bir dizi özelliği vardır ve bunlardan bazıları hesaplamayı kolaylaştırır:

1) sabit bir değerin dağılımı sıfırdır;

2) nitelik değerlerinin tüm çeşitleri aynı sayı kadar azaltılırsa varyans azalmayacaktır;

3) nitelik değerlerinin tüm varyantları aynı sayıda (kat) azaltılırsa, varyans bir faktör kadar azalacaktır

Standart sapma S- varyansın karekökünü temsil eder:

· gruplanmamış veriler için:

;

· varyasyon serisi için:

Değişim aralığı, doğrusal ortalama ve standart sapma nicelik olarak adlandırılır. Aynı ölçü birimlerine sahiptirler bireysel değerler imza.

Varyans ve standart sapma en yaygın kullanılan varyasyon ölçümleridir. Bu, matematiksel istatistiğin temelini oluşturan olasılık teorisinin çoğu teoreminde yer almalarıyla açıklanmaktadır. Ek olarak, varyans bileşen öğelerine ayrıştırılarak etkinin değerlendirilmesine olanak sağlanır. çeşitli faktörlerözelliğin değişmesine neden olur.

Kâr marjına göre gruplandırılmış bankalar için değişim göstergelerinin hesaplanması tabloda gösterilmektedir.

Ortalama doğrusal ve standart sapma, bir özelliğin değerinin, birimler ve incelenen popülasyon arasında ortalama olarak ne kadar dalgalandığını gösterir. Yani, içinde bu durumda ortalama değer kâr miktarındaki dalgalanmalar şunlardır: ortalama doğrusal sapmaya göre 0,882 milyon ruble; standart sapmaya göre - 1.075 milyon ruble. Standart sapma her zaman ortalama doğrusal sapmadan daha büyüktür. Karakteristiğin dağılımı normale yakınsa S ile d arasında bir ilişki vardır: S=1,25d veya d=0,8S. Standart sapma, nüfus birimlerinin büyük bir kısmının aritmetik ortalamaya göre nasıl konumlandığını gösterir. Dağılımın şekli ne olursa olsun, özelliğin 75 değeri x 2S aralığına düşer ve tüm değerlerden en az 89'u x 3S aralığına düşer (P.L. Chebyshev teoremi).

Varyansın kareköküne ortalamadan standart sapma adı verilir ve şu şekilde hesaplanır:

İlköğretim cebirsel dönüşüm Standart sapma formülü onu aşağıdaki forma götürür:

Bu formülün genellikle hesaplama uygulamalarında daha kullanışlı olduğu ortaya çıkar.

Standart sapma, tıpkı ortalama doğrusal sapma gibi, bir özelliğin spesifik değerlerinin ortalama değerlerinden ne kadar saptığını gösterir. Standart sapma her zaman ortalama doğrusal sapmadan daha büyüktür. Aralarında şu ilişki vardır:

Bu oranı bildiğinizde, örneğin bilinmeyeni belirlemek için bilinen göstergeleri kullanabilirsiniz, ancak (BEN a'yı hesaplayın ve bunun tersini yapın. Standart sapma, bir özelliğin değişkenliğinin mutlak boyutunu ölçer ve özelliğin değerleriyle (ruble, ton, yıl vb.) aynı ölçü birimleriyle ifade edilir. Mutlak bir varyasyon ölçüsüdür.

İçin alternatif işaretler, örneğin varlığı veya yokluğu yüksek öğrenim, sigorta, dağılım ve standart sapma formülleri aşağıdaki gibidir:

Üniversite fakültelerinden birinde öğrencilerin yaşa göre dağılımını karakterize eden ayrı bir serinin verilerine göre standart sapmanın hesaplanmasını gösterelim (Tablo 6.2).

Tablo 6.2.

Yardımcı hesaplamaların sonuçları tablonun 2-5 sütunlarında verilmiştir. 6.2.

Bir öğrencinin ortalama yaşı (yıl), ağırlıklı aritmetik ortalama formülü (sütun 2) ile belirlenir:

Öğrencinin bireysel yaşının ortalamadan karesel sapmaları 3-4. sütunlarda, sapmaların kareleri ve karşılık gelen frekansların çarpımı ise 5. sütunda yer almaktadır.

Öğrencilerin yaşının, yıllarının varyansını formül (6.2) kullanarak buluyoruz:

O halde o = l/3.43 1.85 *oda, yani. Öğrencinin yaşının her bir özel değeri ortalamadan 1,85 yıl sapmaktadır.

Değişim katsayısı

Mutlak değerinde standart sapma, yalnızca özelliğin varyasyon derecesine değil, aynı zamanda seçeneklerin mutlak seviyelerine ve ortalamaya da bağlıdır. Bu nedenle ortalamayı karşılaştırın standart sapmalar Farklı ortalama seviyelere sahip varyasyon serileri doğrudan imkansızdır. Böyle bir karşılaştırma yapabilmek için bulmanız gerekir. özgül ağırlık yüzde olarak ifade edilen aritmetik ortalamadaki ortalama sapma (doğrusal veya ikinci dereceden), yani hesaplamak göreceli değişim ölçüleri.

Doğrusal varyasyon katsayısı formülle hesaplanır

Değişim katsayısı aşağıdaki formülle belirlenir:

Değişim katsayılarında, yalnızca incelenen özelliğin farklı ölçüm birimleriyle ilişkili karşılaştırılamazlık değil, aynı zamanda aritmetik ortalamaların değerindeki farklılıklar nedeniyle ortaya çıkan karşılaştırılamazlık da ortadan kaldırılır. Ayrıca varyasyon göstergeleri popülasyonun homojenliğini karakterize eder. Varyasyon katsayısı %33'ü geçmiyorsa popülasyon homojen kabul edilir.

Tabloya göre. 6.2 ve yukarıda elde edilen hesaplama sonuçlarına göre, değişim katsayısını, %, formül (6.3)'e göre belirleriz:

Varyasyon katsayısı %33'ü aşarsa, bu, incelenen popülasyonun heterojenliğini gösterir. Bizim durumumuzda elde edilen değer, öğrenci popülasyonunun yaşa göre kompozisyon bakımından homojen olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, değişim göstergelerini genelleştirmenin önemli bir işlevi ortalamaların güvenilirliğini değerlendirmektir. Daha az c1, a2 ve V, Sonuçta ortaya çıkan olgu kümesi ne kadar homojense ve sonuçta ortaya çıkan ortalama da o kadar güvenilir olur. Matematiksel istatistiklerin dikkate aldığı “üç sigma kuralına” göre normal dağılım gösteren veya bunlara yakın serilerde aritmetik ortalamadan ±3'ü geçmeyen sapmalar 1000 vakanın 997'sinde meydana gelir. X ve a, varyasyon serisi hakkında genel bir başlangıç ​​fikri edinebilirsiniz. Örneğin ortalama ise ücretlerşirketteki çalışanın 25.000 ruble ve a'nın 100 rubleye eşit olması durumunda, kesinliğe yakın bir olasılıkla, şirket çalışanlarının ücretlerinin (25.000 ± ± 3 x 100) aralığında dalgalandığı iddia edilebilir, yani. 24.700 ila 25.300 ruble.