1
/
5
Bilimin birçok alanındaki (örneğin matematiksel istatistik ve istatistiksel fizik) normal dağılımın önemi olasılık teorisinin merkezi limit teoreminden kaynaklanmaktadır. Bir gözlemin sonucu, her biri toplam toplama göre küçük bir katkıda bulunan çok sayıda rastgele zayıf bağımlı niceliğin toplamı ise, o zaman terim sayısı arttıkça, ortalanan ve normalleştirilmiş sonucun dağılımı normal olma eğilimindedir. Olasılık teorisinin bu kanunu, isminin sebeplerinden biri olan normal dağılımın yaygın dağılımına neden olur.
Özellikler
Anlar
Rastgele değişkenler ise X 1 (\displaystyle X_(1)) Ve X 2 (\displaystyle X_(2)) bağımsızdır ve matematiksel beklentilerle normal dağılıma sahiptir μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Ve μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ve varyanslar σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Ve σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) buna göre, o zaman X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) aynı zamanda matematiksel beklentiyle normal bir dağılıma sahiptir μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ve varyans σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Buradan normal bir rastgele değişkenin, keyfi sayıda bağımsız normal rastgele değişkenin toplamı olarak temsil edilebileceği sonucu çıkar.
Maksimum entropi
Normal dağılım, varyansı belirli bir değeri aşmayan tüm sürekli dağılımlar arasında maksimum diferansiyel entropiye sahiptir.
Normal sözde rastgele değişkenlerin modellenmesi
En basit yaklaşık modelleme yöntemleri merkezi limit teoremine dayanmaktadır. Yani, sonlu varyansa sahip birkaç bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış niceliği eklerseniz, toplam dağıtılacaktır. yaklaşık olarakİyi. Örneğin standart olarak 100 bağımsız olanı eklerseniz eşit olarak Rastgele değişkenler dağıtıldığında, toplamın dağılımı yaklaşık olarak olacaktır. normal.
Normal dağıtılmış sözde rastgele değişkenlerin programlı üretimi için Box-Muller dönüşümünün kullanılması tercih edilir. Tekdüze dağıtılmış bir değere dayalı olarak normal dağıtılmış bir değer oluşturmanıza olanak tanır.
Doğada normal dağılım ve uygulamalar
Normal dağılım doğada sıklıkla bulunur. Örneğin, aşağıdaki rastgele değişkenler normal dağılımla iyi bir şekilde modellenmiştir:
- çekim sırasında sapma.
- ölçüm hataları (ancak bazı ölçü aletlerinin hataları normal dağılıma sahip değildir).
- Bir popülasyondaki canlı organizmaların bazı özellikleri.
Bu dağılım çok yaygındır çünkü sonlu varyansa sahip, sonsuza kadar bölünebilen sürekli bir dağılımdır. Bu nedenle, bazıları buna limitte yaklaşır, örneğin binom ve Poisson. Bu dağılım birçok deterministik olmayan fiziksel süreci modeller.
Diğer dağıtımlarla ilişki
- Normal dağılım Pearson tip XI dağılımıdır.
- Bir çift bağımsız standart normal dağılımlı rastgele değişkenin oranı bir Cauchy dağılımına sahiptir. Yani eğer rastgele değişken X (\displaystyle X) ilişkiyi temsil eder X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Nerede Y (\displaystyle Y) Ve Z (\displaystyle Z)- bağımsız standart normal rastgele değişkenler), o zaman bir Cauchy dağılımına sahip olacaktır.
- Eğer z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- müştereken bağımsız standart normal rastgele değişkenler, yani z ben ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), daha sonra rastgele değişken x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) k serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımına sahiptir.
- Rastgele değişken ise X (\displaystyle X) lognormal dağılıma tabiyse, doğal logaritması normal dağılıma sahiptir. Yani eğer X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), O Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Ve tam tersi ise Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), O X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \Sağ)).
- İki standart normal rastgele değişkenin karelerinin oranı
Normal dağılım yasası (genellikle Gauss yasası olarak anılır) olasılık teorisinde son derece önemli bir rol oynar ve diğer dağılım yasaları arasında özel bir konuma sahiptir. Uygulamada en sık karşılaşılan dağıtım kanunudur. Normal hukuku diğer yasalardan ayıran temel özellik, diğer dağıtım yasalarının çok yaygın tipik koşullar altında yaklaştığı sınırlayıcı bir yasa olmasıdır.
Herhangi bir dağıtım yasasına tabi (bazı çok gevşek kısıtlamalara tabi) yeterince büyük sayıda bağımsız (veya zayıf bağımlı) rastgele değişkenlerin toplamının yaklaşık olarak normal yasaya uyduğu kanıtlanabilir ve bu daha doğru bir şekilde doğrulanır, toplanan rastgele değişkenlerin sayısı daha fazladır. Uygulamada karşılaşılan ölçüm hataları, atış hataları vb. gibi rastgele değişkenlerin çoğu, çok sayıda nispeten küçük terimin (temel hataların) toplamı olarak temsil edilebilir; bunların her biri bir faktörden kaynaklanır. diğerlerinden bağımsız, ayrı bir neden. Bireysel temel hatalar hangi dağıtım yasalarına tabi olursa olsun, çok sayıda terimin toplamındaki bu dağılımların özellikleri dengelenir ve toplamın normale yakın bir yasaya tabi olduğu ortaya çıkar. Toplanabilir hatalara getirilen temel sınırlama, bunların hepsinin toplamda nispeten küçük bir rol oynamasıdır. Bu koşul karşılanmazsa ve örneğin rastgele hatalardan birinin miktar üzerindeki etkisi diğerlerinin üzerinde keskin bir şekilde baskın çıkarsa, o zaman bu hakim hatanın dağıtım yasası, onun miktar üzerindeki etkisini empoze edecek ve onun etkisini belirleyecektir. Dağıtım kanununun temel özellikleri.
Bağımsız, tekdüze küçük rastgele terimlerin toplamı için bir limit olarak normal yasayı belirleyen teoremler, Bölüm 13'te daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.
Normal dağılım yasası, formun olasılık yoğunluğu ile karakterize edilir:
Normal dağılım eğrisi simetrik tepe şeklinde bir görünüme sahiptir (Şekil 6.1.1). Eğrinin maksimum koordinatı ('ye eşit), noktaya karşılık gelir; Noktadan uzaklaştıkça dağılım yoğunluğu azalır ve eğri asimptotik olarak apsise yaklaşır.
Normal yasanın (6.1.1) ifadesinde yer alan sayısal parametrelerin anlamını bulalım; Değerin matematiksel bir beklentiden başka bir şey olmadığını ve değerin standart sapması olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için miktarın ana sayısal özelliklerini - matematiksel beklenti ve dağılım - hesaplıyoruz.
Değişken değişimini kullanma
Formül (6.1.2)'deki iki aralıktan birincisinin sıfıra eşit olduğunu doğrulamak kolaydır; ikincisi ünlü Euler-Poisson integralidir:
. (6.1.3)
Buradan,
onlar. parametre değerin matematiksel beklentisini temsil eder. Bu parametre, özellikle atış problemlerinde sıklıkla dağılım merkezi olarak adlandırılır (c.r. olarak kısaltılır).
Miktarın varyansını hesaplayalım:
.
Değişken değişikliğini tekrar uygulama
Parçalara göre integrasyon yaparsak şunu elde ederiz:
Kıvrımlı parantez içindeki ilk terim sıfıra eşittir (çünkü at, herhangi bir kuvvet artışından daha hızlı azalır), formül (6.1.3)'e göre ikinci terim eşittir, dolayısıyla
Sonuç olarak formül (6.1.1)'deki parametre değerin standart sapmasından başka bir şey değildir.
Parametrelerin anlamını ve normal dağılımı bulalım. Dağılımın simetri merkezinin dağılım merkezi olduğu formül (6.1.1)'den hemen anlaşılmaktadır. Farkın işareti ters çevrildiğinde (6.1.1) ifadesinin değişmediği gerçeğinden bu anlaşılmaktadır. Dağılımın merkezini değiştirirseniz, dağıtım eğrisi şeklini değiştirmeden apsis ekseni boyunca kayacaktır (Şekil 6.1.2). Dağılımın merkezi, dağılımın apsis ekseni üzerindeki konumunu karakterize eder.
Saçılma merkezinin boyutu rastgele değişkenin boyutuyla aynıdır.
Parametre, dağıtım eğrisinin konumunu değil, şeklini karakterize eder. Bu, dağılımın özelliğidir. Dağılım eğrisinin en büyük ordinatı ile ters orantılıdır; siz arttıkça maksimum koordinat azalır. Dağıtım eğrisinin alanı her zaman birliğe eşit kalması gerektiğinden, artış sırasında dağıtım eğrisi x ekseni boyunca uzanarak daha düz hale gelir; tam tersine, azaldıkça dağılım eğrisi yukarı doğru uzar, aynı zamanda yanlardan da sıkışır ve daha iğne şeklinde hale gelir. İncirde. 6.1.3'te üç normal eğri (I, II, III) gösterilmektedir; bunlardan I. eğri en büyüğüne, III. eğri ise en küçük değere karşılık gelir. Parametreyi değiştirmek, dağıtım eğrisinin ölçeğini değiştirmeye eşdeğerdir; ölçeği bir eksen boyunca arttırırken diğer eksende aynısını azaltır.
Normal bir yasaya göre dağıtılan rastgele değişkenlere örnek olarak bir kişinin boyu ve yakalanan aynı türden balıkların kütlesi verilebilir. Normal dağılım şu anlama gelir:
: Sezgisel olarak “normal” olarak algılanan (ve aslında ortalaması alınan) insan boyu, aynı türden balık kütlesi değerleri vardır ve yeterince büyük bir örnekte, bunlardan çok daha sık bulunurlar. yukarı veya aşağı doğru farklılık gösterir.
Sürekli bir rastgele değişkenin (bazen bir Gauss dağılımı) normal olasılık dağılımı, bu dağılımın ortalamaya göre simetrik olan yoğunluk fonksiyonunun bir çan kesimine (kırmızı eğri) çok benzemesi nedeniyle çan şeklinde olarak adlandırılabilir. Yukarıdaki şekilde).
Bir örnekte belirli değerlerle karşılaşma olasılığı, şeklin eğri altındaki alanına eşit olup, normal dağılım durumunda değerlere karşılık gelen “zil”in üst kısmının altında olduğunu görüyoruz. Ortalamaya bakıldığında alan ve dolayısıyla olasılık, kenarların altından daha büyüktür. Böylece, daha önce söylenenle aynı şeyi elde ediyoruz: "Normal" boyda bir kişiyle tanışma ve "normal" ağırlıkta bir balık yakalama olasılığı, yukarı veya aşağı doğru farklılık gösteren değerlerden daha yüksektir. Birçok pratik durumda ölçüm hataları normale yakın bir yasaya göre dağıtılır.
Dersin başında normal dağılımın yoğunluk fonksiyonunu gösteren şekle tekrar bakalım. Bu fonksiyonun grafiği, yazılım paketindeki belirli bir veri örneğinin hesaplanmasıyla elde edilmiştir. İSTATİSTİK. Üzerinde, histogram sütunları, dağılımı kırmızı bir eğri olan normal dağılım yoğunluk fonksiyonunun gerçek grafiğine yakın olan (veya istatistiklerde yaygın olarak söylendiği gibi, önemli ölçüde farklı olmayan) örnek değerlerin aralıklarını temsil eder. . Grafik bu eğrinin aslında çan şeklinde olduğunu gösteriyor.
Normal dağılım birçok açıdan değerlidir çünkü sürekli bir rastgele değişkenin yalnızca beklenen değerini ve standart sapmasını bilerek, bu değişkenle ilişkili herhangi bir olasılığı hesaplayabilirsiniz.
Normal dağılım aynı zamanda kullanımı en kolay olanlardan biri olma avantajına da sahiptir. İstatistiksel hipotezleri test etmek için kullanılan istatistiksel testler - Öğrenci t testi- yalnızca örnek verilerin normal dağılım yasasına uyması durumunda kullanılabilir.
Sürekli bir rastgele değişkenin normal dağılımının yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
,
Nerede X- Değişen miktarın değeri, - Ortalama değer, - Standart sapma, e=2,71828... - doğal logaritmanın tabanı, =3,1416...
Normal dağılım yoğunluk fonksiyonunun özellikleri
Ortalamadaki değişiklikler normal yoğunluk fonksiyonu eğrisini eksene doğru hareket ettirir Öküz. Eğri artarsa sağa, azalırsa sola doğru hareket eder.
Standart sapma değişirse eğrinin tepesinin yüksekliği değişir. Standart sapma arttığında eğrinin tepesi daha yüksek, azaldığında ise daha alçak olur.
Normal dağılmış bir rastgele değişkenin belirli bir aralıkta düşme olasılığı
Zaten bu paragrafta anlamı başlıkta belirtilen pratik sorunları çözmeye başlayacağız. Teorinin problemlerin çözümü için hangi olasılıkları sağladığına bakalım. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için başlangıç kavramı, normal dağılımın kümülatif fonksiyonudur.
Kümülatif normal dağılım fonksiyonu:
.
Ancak ortalama ve standart sapmanın olası her kombinasyonu için tablo elde etmek sorunludur. Bu nedenle, normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamanın basit yollarından biri, standartlaştırılmış normal dağılım için olasılık tablolarını kullanmaktır.
Normal dağılıma standartlaştırılmış veya normalleştirilmiş denir. ortalaması ve standart sapması şudur.
Standartlaştırılmış Normal Dağılım Yoğunluğu Fonksiyonu:
.
Standartlaştırılmış normal dağılımın kümülatif fonksiyonu:
.
Aşağıdaki şekil, grafiği yazılım paketindeki belirli bir veri örneğinin hesaplanmasıyla elde edilen standart normal dağılımın integral fonksiyonunu göstermektedir. İSTATİSTİK. Grafiğin kendisi kırmızı bir eğridir ve örnek değerler ona yaklaşmaktadır.
Resmi büyütmek için farenin sol tuşuyla üzerine tıklayabilirsiniz.
Rastgele bir değişkenin standartlaştırılması, görevde kullanılan orijinal birimlerden standartlaştırılmış birimlere geçmek anlamına gelir. Standardizasyon formüle göre yapılır
Uygulamada, bir rastgele değişkenin olası tüm değerleri çoğu zaman bilinmez, dolayısıyla ortalama ve standart sapma değerleri doğru bir şekilde belirlenemez. Gözlemlerin aritmetik ortalaması ve standart sapma ile değiştirilirler. S. Büyüklük z standart sapmaları ölçerken rastgele bir değişkenin değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarını ifade eder.
Açık aralık
Hemen hemen her istatistik kitabında bulunabilen standartlaştırılmış normal dağılım olasılık tablosu, standart normal dağılıma sahip bir rastgele değişkenin olasılıklarını içerir. Z belirli bir sayıdan daha az bir değer alacaktır z. Yani eksi sonsuzdan sonsuza kadar olan açık aralığa düşecektir. z. Örneğin miktarın olasılığı Z 1,5'ten az, 0,93319'a eşit.
Örnek 1.Şirket, ortalama 1000 saat ve standart sapması 200 saat olmak üzere normal dağılıma sahip parçalar üretmektedir.
Rastgele seçilen bir parça için servis ömrünün en az 900 saat olma olasılığını hesaplayın.
Çözüm. İlk gösterimi tanıtalım:
İstenilen olasılık.
Rastgele değişken değerleri açık bir aralıktadır. Ancak bir rastgele değişkenin verilen değerden daha düşük bir değer alma olasılığını nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz ve problemin koşullarına göre verilen değere eşit veya daha büyük bir değer bulmamız gerekiyor. Bu, normal yoğunluk eğrisinin (çan) altındaki alanın diğer kısmıdır. Bu nedenle, istenen olasılığı bulmak için, rastgele değişkenin belirtilen 900'den daha düşük bir değer almasına ilişkin belirtilen olasılığı birlikten çıkarmanız gerekir:
Artık rastgele değişkenin standartlaştırılması gerekiyor.
Gösterimi tanıtmaya devam ediyoruz:
z = (X ≤ 900)
;
X= 900 - rastgele değişkenin belirtilen değeri;
μ
= 1000 - ortalama değer;
σ
= 200 - standart sapma.
Bu verileri kullanarak problemin koşullarını elde ederiz:
.
Standartlaştırılmış rastgele değişken tablolarına göre (aralık sınırı) z= −0,5, 0,30854 olasılığa karşılık gelir. Birlikten çıkarın ve problem ifadesinde gerekli olanı elde edin:
Yani parçanın en az 900 saat kullanım ömrüne sahip olma olasılığı %69'dur.
Bu olasılık, MS Excel'in NORM.DAĞ işlevi (integral değer - 1) kullanılarak elde edilebilir:
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DAĞ(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
MS Excel'deki hesaplamalar hakkında - bu dersin sonraki paragraflarından birinde.
Örnek 2. Belirli bir şehirde ortalama yıllık aile geliri, ortalaması 300.000, standart sapması 50.000 olan normal dağılımlı bir rastgele değişkendir.Ailelerin %40'ının gelirinin 300.000'den az olduğu bilinmektedir. A. Değeri bulun A.
Çözüm. Bu problemde %40, rastgele değişkenin harfle gösterilen belirli bir değerden daha küçük bir açık aralıktan değer alma olasılığından başka bir şey değildir. A.
Değeri bulmak için A, ilk önce integral fonksiyonunu oluşturuyoruz:
Sorunun koşullarına göre
μ
= 300000 - ortalama değer;
σ
= 50000 - standart sapma;
X = A- bulunacak miktar.
Eşitlik oluşturma
.
İstatistik tablolarından 0,40 olasılığının aralık sınırının değerine karşılık geldiğini buluyoruz z = −0,25
.
Bu nedenle eşitliği yaratıyoruz
ve çözümünü bulun:
A = 287300
.
Cevap: Ailelerin %40'ının geliri 287.300'ün altındadır.
Kapalı aralık
Pek çok problemde normal dağılıma sahip bir rastgele değişkenin şu aralıkta bir değer alma olasılığının bulunması gerekir: z 1 ila z 2. Yani kapalı bir aralığa düşecektir. Bu tür problemleri çözmek için tabloda aralığın sınırlarına karşılık gelen olasılıkları bulmak ve ardından bu olasılıklar arasındaki farkı bulmak gerekir. Bu, küçük değerin büyük değerden çıkarılmasını gerektirir. Bu sık karşılaşılan sorunların çözüm örnekleri aşağıdaki gibidir ve bunları kendiniz çözmeniz istenir, ardından doğru çözümleri ve cevapları görebilirsiniz.
Örnek 3. Bir işletmenin belirli bir dönem kârı, ortalama değeri 0,5 milyon olan, normal dağılım kanununa tabi bir rastgele değişkendir. ve standart sapma 0,354. İşletmenin kârının 0,4 ila 0,6 c.u arasında olma olasılığını iki ondalık basamak dahilinde belirleyin.
Örnek 4.Üretilen parçanın uzunluğu, normal yasaya göre parametrelerle dağıtılan rastgele bir değişkendir. μ
=10 ve σ
=0,071. Parçanın izin verilen boyutlarının 10±0,05 olması gerekiyorsa, iki ondalık basamağa kadar doğru kusur olasılığını bulun.
İpucu: Bu problemde, rastgele bir değişkenin kapalı bir aralığa düşme olasılığını (kusursuz bir parça alma olasılığı) bulmanın yanı sıra, bir işlem daha yapmanız gerekir.
standartlaştırılmış değerin olasılığını belirlemenizi sağlar Z Az değil -z ve daha fazla yok +z, Nerede z- standartlaştırılmış bir rastgele değişkenin keyfi olarak seçilmiş bir değeri.
Bir dağılımın normalliğini kontrol etmek için yaklaşık bir yöntem
Örnek değerlerin dağılımının normalliğini kontrol etmek için yaklaşık bir yöntem aşağıdakilere dayanmaktadır: normal dağılımın özelliği: çarpıklık katsayısı β
1
ve basıklık katsayısı β
2
sıfıra eşittir.
Asimetri katsayısı β
1
ampirik dağılımın ortalamaya göre simetrisini sayısal olarak karakterize eder. Çarpıklık katsayısı sıfırsa aritmetrik ortalama, medyan ve mod eşittir ve dağılım yoğunluk eğrisi ortalamaya göre simetriktir. Asimetri katsayısı sıfırdan küçükse (β
1
< 0
), o zaman aritmetik ortalama medyandan küçüktür ve medyan da moddan () küçüktür ve eğri sağa kaydırılır (normal dağılımla karşılaştırıldığında). Asimetri katsayısı sıfırdan büyükse (β
1
> 0
), o zaman aritmetik ortalama medyandan daha büyüktür ve medyan da moddan () daha büyüktür ve eğri sola kaydırılır (normal dağılımla karşılaştırıldığında).
Basıklık katsayısı β
2
eksen yönünde aritmetik ortalama etrafındaki ampirik dağılımın konsantrasyonunu karakterize eder oy ve dağıtım yoğunluk eğrisinin zirve derecesi. Basıklık katsayısı sıfırdan büyükse eğri daha uzar (normal dağılıma göre) eksen boyunca oy(grafik daha tepelidir). Basıklık katsayısı sıfırdan küçükse eğri daha düzleşir (normal dağılıma göre) eksen boyunca oy(grafik daha geniştir).
Asimetri katsayısı MS Excel SKOS fonksiyonu kullanılarak hesaplanabilir. Bir veri dizisini kontrol ediyorsanız, veri aralığını bir “Sayı” kutusuna girmeniz gerekir.
Basıklık katsayısı MS Excel KURTESS fonksiyonu kullanılarak hesaplanabilir. Bir veri dizisini kontrol ederken, veri aralığını tek bir “Sayı” kutusuna girmek de yeterlidir.
Yani zaten bildiğimiz gibi normal dağılımda çarpıklık ve basıklık katsayıları sıfıra eşittir. Peki ya -0,14, 0,22, 0,43 çarpıklık katsayılarına ve 0,17, -0,31, 0,55 basıklık katsayılarına sahipsek? Soru oldukça adil, çünkü pratikte yalnızca bazı kaçınılmaz, kontrolsüz dağılımlara maruz kalan asimetri ve basıklığın yaklaşık örnek değerleriyle ilgileniyoruz. Bu nedenle bu katsayıların kesinlikle sıfıra eşit olması talep edilemez; yalnızca sıfıra yeterince yakın olmaları gerekir. Peki yeterli ne anlama geliyor?
Elde edilen ampirik değerlerin kabul edilebilir değerlerle karşılaştırılması gerekmektedir. Bunu yapmak için, aşağıdaki eşitsizlikleri kontrol etmeniz gerekir (modül katsayılarının değerlerini kritik değerlerle - hipotez test alanının sınırlarıyla karşılaştırın).
Asimetri katsayısı için β
1
.
) olasılık teorisinde özellikle önemli bir rol oynar ve çoğunlukla pratik problemlerin çözümünde kullanılır. Başlıca özelliği, diğer dağıtım yasalarının çok yaygın tipik koşullar altında yaklaştığı sınırlayıcı bir yasa olmasıdır. Örneğin, yeterince büyük sayıda bağımsız (veya zayıf bağımlı) rastgele değişkenin toplamı yaklaşık olarak normal yasaya uyar ve bu, ne kadar fazla rastgele değişken toplanırsa o kadar doğru olur.
Bina yapı elemanlarının imalat ve montajı sırasındaki ölçüm hatalarının, geometrik boyutlardaki ve konumlarındaki sapmaların, malzemelerin fiziksel ve mekanik özelliklerindeki değişkenliklerin ve bina yapılarına etki eden yüklerin normal kanuna tabi olduğu deneysel olarak kanıtlanmıştır.
Hemen hemen tüm rastgele değişkenler, ortalama değerlerden sapmanın, her biri ayrı ayrı önemsiz olan çok sayıda rastgele faktörün neden olduğu Gauss dağılımına tabidir. (Merkezi Limit Teoremi).
Normal dağılım olasılık yoğunluğunun şu şekilde olduğu rastgele sürekli bir değişkenin dağılımıdır (Şekil 18.1).
Pirinç. 18.1. 1'de normal dağılım yasası< a 2 .
burada a ve dağıtım parametreleridir.
Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkenin olasılık özellikleri şuna eşittir:
Matematiksel beklenti (18.2)
Varyans (18.3)
Standart sapma (18.4)
Asimetri katsayısı bir = 0(18.5)
Aşırı e= 0. (18.6)
Gauss dağılımında yer alan σ parametresi, rastgele değişkenin ortalama kare oranına eşittir. Büyüklük A dağıtım merkezinin konumunu belirler (bkz. Şekil 18.1) ve değeri A- dağıtım genişliği (Şekil 18.2), yani. Ortalama değer etrafında istatistiksel dağılım.
Pirinç. 18.2. σ 1'de normal dağılım yasası< σ 2 < σ 3
Normal bir dağılım için belirli bir aralığa (x 1'den x 2'ye) düşme olasılığı, her durumda olduğu gibi, temel fonksiyonlarla ifade edilmeyen ve şu şekilde temsil edilen olasılık yoğunluğunun (18.1) integrali ile belirlenir. Laplace işlevi adı verilen özel bir işlev (olasılık integrali).
Olasılık integralinin temsillerinden biri:
Büyüklük Ve isminde çeyreklik
Ф(х)'un tek bir fonksiyon olduğu görülebilir, yani Ф(-х) = -Ф(х) .
Bu fonksiyonun değerleri teknik ve eğitim literatüründe tablolar halinde hesaplanır ve sunulur.
Normal yasanın dağılım fonksiyonu (Şekil 18.3) olasılık integrali aracılığıyla ifade edilebilir:
Pirinç. 18.2. Normal dağılım fonksiyonu.
Normal bir yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişkenin aralığına düşme olasılığı X. x'e kadar, şu ifadeyle belirlenir:
bu not alınmalı
F(0) = 0; F(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
Dağıtımla ilgili pratik problemleri çözerken, matematiksel beklentiye göre simetrik bir aralığa düşme olasılığının dikkate alınması genellikle gereklidir; eğer bu aralığın uzunluğu, yani. aralığın kendisinin ile ile arasında bir sınırı varsa, elimizde:
Pratik problemleri çözerken, rastgele değişkenlerin sapmalarının sınırları standart, standart sapma ile rastgele değişkenin sapma bölgesinin sınırlarını belirleyen belirli bir faktörle çarpılarak ifade edilir.
Formül (18.10) ve Ф(х) tablosunu (Ek No. 1) alarak ve ayrıca kullanarak şunu elde ederiz:
Bu formüller gösteriyor rastgele bir değişken normal bir dağılıma sahipse, ortalama değerinden σ'dan fazla olmamak üzere sapma olasılığı %68,27, 2σ'den fazla olmamak üzere %95,45 ve 3σ - %99,73'ten fazla olmamak üzere.
0,9973 değeri birliğe yakın olduğundan, bir rastgele değişkenin normal dağılımının matematiksel beklentiden 3σ'dan fazla sapması pratik olarak imkansız kabul edilir. Yalnızca normal dağılım için geçerli olan bu kurala üç sigma kuralı adı verilmektedir. Bunun ihlali muhtemeldir P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Bu kural, ürünlerin ve yapıların geometrik özelliklerinin toleranslarının izin verilen sapma sınırlarını belirlerken kullanılır.
Rastgele ise, deney sonucunda belirli olasılıklarla gerçek değerler alabilir. Rastgele bir değişkenin en eksiksiz ve kapsamlı özelliği dağıtım yasasıdır. Dağılım yasası, bir rastgele değişken X'in belirli bir xi değerini alması veya belirli bir aralığa düşme olasılığını belirlemenizi sağlayan bir fonksiyondur (tablo, grafik, formül). Bir rastgele değişkenin belirli bir dağılım yasası varsa, bu yasaya göre dağıldığı veya bu dağılım yasasına uyduğu söylenir.
Her dağıtım kanunu olasılıksal bir bakış açısından rastgele bir değişkeni tamamen tanımlayan bir fonksiyondur. Uygulamada, bir X rastgele değişkeninin olasılık dağılımının çoğunlukla yalnızca test sonuçlarına göre değerlendirilmesi gerekir.
Normal dağılım
Normal dağılım Gauss dağılımı olarak da adlandırılan , fizik başta olmak üzere birçok bilgi alanında kritik rol oynayan bir olasılık dağılımıdır. Bir fiziksel nicelik, çok sayıda rastgele gürültünün etkisine maruz kaldığında normal bir dağılım izler. Bu durumun son derece yaygın olduğu açıktır, bu nedenle tüm dağılımlar arasında normal dağılımın doğada en yaygın olanıdır - dolayısıyla isimlerinden biri olduğunu söyleyebiliriz.
Normal dağılım iki parametreye bağlıdır - yer değiştirme ve ölçek, yani matematiksel açıdan bakıldığında, tek bir dağılım değil, bunların bir ailesidir. Parametre değerleri ortalama (matematiksel beklenti) ve yayılma (standart sapma) değerlerine karşılık gelir.
Standart normal dağılım, matematiksel beklentisi 0 ve standart sapması 1 olan normal bir dağılımdır.
Asimetri katsayısı
Dağılımın sağ kuyruğu soldan uzunsa çarpıklık katsayısı pozitif, aksi halde negatiftir.
Dağılım matematiksel beklentiye göre simetrikse asimetri katsayısı sıfırdır.
Numune çarpıklık katsayısı, dağılımın simetri açısından test edilmesinin yanı sıra normallik açısından kaba bir ön test için de kullanılır. Normallik hipotezini reddetmenize izin verir, ancak kabul etmenize izin vermez.
Basıklık katsayısı
Basıklık katsayısı (zirve katsayısı), bir rastgele değişkenin dağılımının zirvesinin keskinliğinin bir ölçüsüdür.
Normal dağılımın basıklık katsayısının sıfıra eşit olması için formülün sonuna “eksi üç” getirilmektedir. Matematiksel beklenti etrafındaki dağılımın zirvesi keskinse pozitif, tepe düzgünse negatiftir.
Rastgele bir değişkenin momentleri
Bir rastgele değişkenin momenti, belirli bir rastgele değişkenin dağılımının sayısal bir özelliğidir.
