Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.

Sovyet matematikçisi, akademisyen A.N. Kolmogorov

Geometrik ilerleme.

Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili problemlerin yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili problemler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.

Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.

Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en önemli formülleri ve ifadeleri hatırlayalım., bu kavramla ilgilidir.

Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir

, (1)

Nerede . Formül (1), geometrik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .

Not, tam da bu özelliği nedeniyle söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.

Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:

, (3)

Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerleme terimleriformül geçerlidir

Eğer belirtirsek, o zaman

Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.

Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır

. (7)

Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne

Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.

Teorem. Eğer öyleyse

Kanıt. Eğer öyleyse

Teorem kanıtlandı.

“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.

Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman

Cevap: .

Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz

(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.

1. Eğer, daha sonra (9) sisteminin ilk denkleminden elimizdeki.

2. Eğer öyleyse .

Örnek 3., ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .

Koşullara göre. Ancak bu nedenle. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var

Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .

Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.

Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. O zamandan beri.

O zamandan beri veya

Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.

Ancak koşul gereği.

Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .

Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var

O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.

Cevap: .

Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:

O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.

Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz

Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .

Cevap: .

Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:

Ve .

Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz

Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz

Veya .

Cevap: .

Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.

Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.

Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .

Kontrol edelim: eğer, sonra ve ;

eğer , o zaman ve .İlk durumda elimizde

ve , ve ikincisinde – ve .

Cevap: , .Örnek 10.

, (11)

Denklemi çöz

nerede ve . Çözüm. Sol taraf

Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne denklem (11), sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .. Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök ikinci dereceden denklem

Cevap: .

öyleÖrnek 11. Ppozitif sayılar dizisi aritmetik bir ilerleme oluşturur , A– geometrik ilerleme

Çözüm. ve burada. Bulmak . Çünkü aritmetik dizi , O(aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü , sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor:geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre

, sonra bunu yazıyoruz. O zamandan beri ve o zaman. Bu durumda ifade veya şeklini alır. Şarta göre,yani Denklem'den. alıyoruz tek çözüm dikkate alınan sorun

Cevap: .

yani .Örnek 12.

. (12)

Çözüm. Toplamı Hesapla

Eşitliğin her iki tarafını (12) 5 ile çarpın ve şunu elde edin: aritmetik dizi

Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak

veya .

Cevap: .

Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri., Burada verilen problem çözme örnekleri, giriş sınavlarına hazırlanırken adaylara faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili kullanılabiliröğretim yardımcıları

Önerilen literatür listesinden.

1. Üniversitelere başvuran adaylar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s. 2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS

, 2014. – 216 s. 3. Medynsky M.M. Tam kurs ilköğretim matematik Görevlerde ve alıştırmalarda. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus

, 2015. – 208 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

7 28 112 448 1792...

Belirli bir seriyi ele alalım. Herhangi bir unsurunun değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha fazla olduğu kesinlikle açıktır. Araç, bu seri

bir ilerlemedir. Geometrik ilerleme sonsuz bir sayı dizisidir. yani bir sonraki sayı, bir önceki sayının belirli bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 =a z ·q, burada z, seçilen öğenin numarasıdır.

Buna göre z ∈ N.

Okulda geometrik ilerlemenin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle dayanarak ilerlemenin paydası şu şekilde bulunabilir:

Ne q ne de b z sıfır olamaz. Ayrıca ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.

Buna göre bir serideki bir sonraki sayıyı bulmak için sonuncuyu q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi ayarlamak için ilk elemanını ve paydasını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra sonraki terimlerden herhangi birini ve bunların toplamını bulmak mümkündür.

Çeşitler

Q ve a 1'e bağlı olarak bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

• Hem a 1 hem de q birden büyükse, bu durumda böyle bir dizi her biri ile artmaktadır sonraki öğe geometrik ilerleme. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre de birden büyüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

• Eğer |q| birden küçüktür, yani onunla çarpmak bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme, azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.

• Alternatif işaret. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3, q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

Formüller

Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:

• Z terimi formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayının altındaki bir öğeyi hesaplamanıza olanak tanır.

Örnek:Q = 3, A 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesini saymak gerekir.

Çözüm:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Sayısı eşit olan ilk elemanların toplamı z. Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını şu ana kadar hesaplamanıza olanak tanır:bir zdahil.

Şu andan itibaren (1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q, 1'e eşit değildir.

Not: Eğer q=1 ise ilerleme sonsuz sayıda tekrarlanan sayılar dizisi olacaktır.

Geometrik ilerlemenin toplamı, örnekler:A 1 = 2, Q= -2. S5'i hesaplayın.

Çözüm:S 5 = 22 - formülü kullanarak hesaplama.

• Eğer |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Örnek:A 1 = 2 , Q= 0,5. Tutarı bulun.

Çözüm:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

• Karakteristik özellik. Aşağıdaki durum ise herhangi biri için çalışırz, o zaman verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:

bir z 2 = bir z -1 · Az+1

• Ayrıca geometrik dizideki herhangi bir sayının karesi, belirli bir serideki herhangi iki sayının, eğer bu elemana eşit uzaklıktaysa, kareleri toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , NeredeT- bu sayılar arasındaki mesafe.

• Elemanlarq bakımından farklıbir kere.
• Bir ilerlemenin elemanlarının logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak aritmetik bir ilerlemedir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayı kadar büyüktür.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıfa yönelik çözüm örnekleri yardımcı olabilir.

• Koşullar:A 1 = 3, A 3 = 48. BulQ.

Çözüm: Sonraki her öğe bir öncekinden daha büyüktür.Q bir kere.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri cinsinden ifade etmek gerekir.

Buradan,A 3 = Q 2 · A 1

DeğiştirirkenQ= 4

• Koşullar:A 2 = 6, A 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Çözüm:Bunu yapmak için ilk eleman olan q'yu bulun ve onu formülde değiştirin.

A 3 = Q· A 2 , buradan,Q= 2

a 2 = q · bir 1 ,Bu yüzden bir 1 = 3

S6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü elemanı birinci ve payda aracılığıyla ifade etmek yeterlidir.

a 4 = q 3· 1 = -80

Uygulama örneği:

• Bir banka müşterisi 10.000 ruble tutarında bir depozito yatırdı; şartlara göre müşteri her yıl bunun %6'sını anapara tutarına ekleyecektir. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olacak?

Çözüm: Başlangıç ​​tutarı 10 bin ruble. Bu, yatırımdan bir yıl sonra hesabın 10.000 + 10.000 tutarına eşit olacağı anlamına gelir. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre bir yıl sonra hesapta kalacak tutar şu şekilde ifade edilecektir:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Yani her yıl miktar 1,06 kat artıyor. Yani 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için birinci unsurun 10 bin ve paydanın 1,06 olmasıyla verilen ilerlemenin dördüncü unsurunu bulmak yeterli oluyor.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Toplamların hesaplanmasına ilişkin problem örnekleri:

Geometrik ilerleme çeşitli problemlerde kullanılır. Toplamı bulmaya yönelik bir örnek şu şekilde verilebilir:

A 1 = 4, Q= 2, hesaplaS5.

Çözüm: Hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, bunları formülde kullanmanız yeterli.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Geom'da. ilerleme, her bir sonraki öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekirA 1 ve paydaQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Benzer şekilde, bulmanız gerekirA 1 , bilerekA 2 VeQ.

A 1 · Q = A 2

bir 1 =2

S 6 = 728.

>>Matematik: Geometrik ilerleme

Okuyucuya kolaylık sağlamak amacıyla bu paragraf, bir önceki paragrafta izlediğimiz planın aynısına göre oluşturulmuştur.

1. Temel kavramlar.

Tanım. Tüm üyeleri 0'dan farklı olan ve her üyesi ikinciden başlayarak bir önceki üyeden aynı sayı ile çarpılarak elde edilen sayısal diziye geometrik ilerleme denir. Bu durumda 5 sayısına geometrik ilerlemenin paydası denir.

Dolayısıyla geometrik bir ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan bir sayısal dizidir (b n)

Bir sayı dizisine bakıp bunun geometrik bir ilerleme olup olmadığını belirlemek mümkün müdür? Olabilmek. Dizinin herhangi bir üyesinin önceki üyeye oranının sabit olduğuna ikna olursanız, geometrik ilerleme elde edersiniz.
Örnek 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Örnek 2.

Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 3.

Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Bu, b 1 - 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir.

Bu dizinin aynı zamanda aritmetik bir ilerleme olduğuna dikkat edin (bkz. § 15'teki örnek 3).

Örnek 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Bu, b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir.

Açıkçası, b 1 > 0, q > 1 ise geometrik ilerleme artan bir dizidir (bkz. örnek 1), b 1 > 0, 0 ise azalan bir dizidir.< q < 1 (см. пример 2).

(bn) dizisinin geometrik bir ilerleme olduğunu belirtmek için bazen aşağıdaki gösterim uygundur:

Simge “geometrik ilerleme” ifadesinin yerini alır.
Geometrik ilerlemenin ilginç ve aynı zamanda oldukça açık bir özelliğine dikkat çekelim:
Eğer sıra geometrik bir ilerlemedir, ardından kareler dizisi, yani geometrik bir ilerlemedir.
İkinci geometrik dizide birinci terim q 2'ye eşit ve eşittir.
Geometrik bir ilerlemede b n'den sonraki tüm terimleri atarsak, sonlu bir geometrik ilerleme elde ederiz
Bu bölümün ileriki paragraflarında geometrik ilerlemenin en önemli özelliklerini ele alacağız.

2. Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül.

Geometrik bir ilerleme düşünün payda q. Sahibiz:

Herhangi bir n sayısı için eşitliğin doğru olduğunu tahmin etmek zor değil

Bu geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüdür.

Yorum.

Önceki paragraftaki önemli açıklamayı okuduysanız ve anladıysanız, o zaman formül (1)'i, tıpkı aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülde yapıldığı gibi, matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlamaya çalışın.

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yeniden yazalım.

ve gösterimi tanıtalım: y = mq 2 elde ederiz, veya daha detaylı olarak,
x argümanı üssün içinde yer aldığından bu fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir. Bu, geometrik bir ilerlemenin, doğal sayılar kümesi N'de tanımlanan üstel bir fonksiyon olarak düşünülebileceği anlamına gelir. Şek. Şekil 96a, Şekil 96'daki fonksiyonun grafiğini göstermektedir. 966 - fonksiyon grafiği Her iki durumda da, belirli bir eğri üzerinde yer alan izole edilmiş noktalarımız (apsis x = 1, x = 2, x = 3, vb.) var (her iki şekil de aynı eğriyi gösteriyor, yalnızca farklı konumlarda ve farklı ölçeklerde tasvir edilmiş). Bu eğriye üstel eğri denir. Üstel fonksiyon ve grafiği hakkında daha fazla ayrıntı 11. sınıf cebir dersinde tartışılacaktır.

Önceki paragraftaki 1-5 arasındaki örneklere dönelim.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Bu b 1 = 1, q = 3 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım.
2) Bu geometrik bir ilerlemedir. Bunun için n'inci terim için bir formül oluşturalım.

Bu geometrik bir ilerlemedir N'inci terimin formülünü oluşturalım
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Bu b 1 = 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Bu b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir. N'inci terimin formülünü oluşturalım

Örnek 6.

Geometrik bir ilerleme verildiğinde

Her durumda çözüm, geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne dayanmaktadır.

a) Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne n = 6 koyarsak şunu elde ederiz:

b) elimizde

512 = 2 9 olduğundan n - 1 = 9, n = 10 elde ederiz.

d) Bizde

Örnek 7.

Geometrik dizinin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 48, beşinci ve altıncı terimlerin toplamı da 48'dir. Bu dizinin onikinci terimini bulun.

İlk aşama. Matematiksel bir modelin hazırlanması.

Problemin koşulları kısaca şu şekilde yazılabilir:

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
O halde problemin ikinci koşulu (b 7 - b 5 = 48) şu şekilde yazılabilir:

Problemin üçüncü koşulu (b 5 + b 6 = 48) şu şekilde yazılabilir:

Sonuç olarak, iki değişken b 1 ve q olan iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:

yukarıda yazılan koşul 1) ile birlikte problemin matematiksel modelini temsil eder.

İkinci aşama.

Derlenmiş modelle çalışma. Sistemin her iki denkleminin sol taraflarını eşitleyerek şunu elde ederiz:

(denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan b 1 q 4 ifadesine böldük).

q 2 - q - 2 = 0 denkleminden q 1 = 2, q 2 = -1'i buluruz. Sistemin ikinci denkleminde q = 2 değerini yerine koyarsak şunu elde ederiz:
Sistemin ikinci denkleminde q = -1 değerini yerine koyarsak b 1 1 0 = 48 elde ederiz; bu denklemin çözümü yoktur.

Yani b 1 =1, q = 2 - bu çift derlenmiş denklem sisteminin çözümüdür.

Şimdi geometrik ilerlemeyi yazabiliriz. hakkında konuşuyoruz problemde: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Üçüncü aşama.

Sorun sorusunun cevabı. B 12'yi hesaplamanız gerekiyor. Sahibiz

Cevap: b 12 = 2048.

3. Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formül.

Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin

Terimlerinin toplamını S n ile gösterelim;

Bu miktarı bulmak için bir formül türetelim.

q = 1 olan en basit durumla başlayalım. O zaman b 1,b 2, b 3,..., bn geometrik ilerlemesi b 1'e eşit n sayıdan oluşur, yani. ilerleme b 1, b 2, b 3, ..., b 4 gibi görünüyor. Bu sayıların toplamı nb 1'dir.

Şimdi q = 1 olsun S n'yi bulmak için yapay bir teknik uyguluyoruz: S n q ifadesinde bazı dönüşümler gerçekleştiriyoruz. Sahibiz:

Dönüşümleri gerçekleştirirken öncelikle geometrik ilerlemenin tanımını kullandık, buna göre (üçüncü akıl yürütme çizgisine bakın); ikincisi, eklediler ve çıkardılar, bu yüzden ifadenin anlamı elbette değişmedi (dördüncü akıl yürütme çizgisine bakın); üçüncü olarak geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullandık:

Formül (1)'den şunları buluyoruz:

Bu, geometrik ilerlemenin n teriminin toplamına ilişkin formüldür (q = 1 durumu için).

Örnek 8.

Sonlu bir geometrik ilerleme verildiğinde

a) ilerleme koşullarının toplamı; b) terimlerinin karelerinin toplamı.

b) Yukarıda (bkz. s. 132), bir geometrik ilerlemenin tüm terimlerinin karesi alınırsa, o zaman ilk terim b2 ve paydası q2 olan bir geometrik ilerleme elde ettiğimizi zaten belirtmiştik. Daha sonra yeni ilerlemenin altı teriminin toplamı şu şekilde hesaplanacaktır:

Örnek 9.

Geometrik ilerlemenin 8. terimini bulun.

Aslında aşağıdaki teoremi kanıtladık.

Sayısal bir dizi, geometrik bir ilerlemedir ancak ve ancak, ilk Teorem (ve sonlu bir dizi durumunda sonuncusu) hariç, her bir teriminin karesi önceki ve sonraki terimlerin çarpımına eşitse ( geometrik ilerlemenin karakteristik bir özelliği).

Geometrik ilerleme matematikte aritmetikten daha az önemli değildir. Geometrik ilerleme, b1, b2,..., b[n] sayılarından oluşan bir dizidir ve her bir sonraki terimi, bir öncekinin sabit bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilir. Aynı zamanda büyüme oranını veya ilerlemenin azalmasını da karakterize eden bu sayıya denir. geometrik ilerlemenin paydası ve belirtmek

İçin görevi tamamla Geometrik ilerlemenin paydasına ek olarak ilk terimini de bilmek veya belirlemek gerekir. İçin pozitif değer payda ilerlemesi monotonik bir dizidir ve bu sayı dizisi monoton olarak azalıyorsa ve monoton olarak artıyorsa. Paydanın bire eşit olması durumu pratikte dikkate alınmaz, çünkü elimizde bir dizi aynı sayı vardır ve bunların toplamı pratikte bir önem taşımaz.

Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle hesaplanır

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülle belirlenir

Klasik geometrik ilerleme problemlerinin çözümlerine bakalım. Anlaşılması en basit olanlarla başlayalım.

Örnek 1. Geometrik ilerlemenin ilk terimi 27 ve paydası 1/3'tür. Geometrik ilerlemenin ilk altı terimini bulun.

Çözüm: Sorunun durumunu forma yazalım.

Hesaplamalar için geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülünü kullanırız

Buna dayanarak ilerlemenin bilinmeyen terimlerini buluyoruz

Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin terimlerini hesaplamak zor değil. İlerlemenin kendisi şöyle görünecek

Örnek 2. Geometrik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: 6; -12; 24. Paydayı ve yedinci terimini bulun.

Çözüm: Geomitrik ilerlemenin paydasını tanımına göre hesaplıyoruz.

Paydası -2'ye eşit olan alternatif bir geometrik ilerleme elde ettik. Yedinci terim aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

Bu sorunu çözer.

Örnek 3. Bir geometrik ilerleme, iki terimiyle verilmektedir. . İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Çözüm:

Verilen değerleri formül kullanarak yazalım

Kurallara göre, paydayı bulup sonra aramamız gerekirdi. istenilen değer ama onuncu dönem için elimizde

Aynı formül, giriş verileriyle yapılan basit manipülasyonlara dayanarak elde edilebilir. Serinin altıncı terimini diğerine bölersek sonuç olarak şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan değer altıncı terimle çarpılırsa onuncu terimi elde ederiz.

Bu nedenle, bu tür görevler için basit dönüşümleri kullanarak hızlı yol doğru çözümü bulabilirsiniz.

Örnek 4. Geometrik ilerleme yinelenen formüllerle verilmektedir

Geometrik ilerlemenin paydasını ve ilk altı terimin toplamını bulun.

Çözüm:

Verilen verileri bir denklem sistemi biçiminde yazalım

Paydayı ikinci denklemi birinciye bölerek ifade edin

İlk denklemden ilerlemenin ilk terimini bulalım

Geometrik ilerlemenin toplamını bulmak için aşağıdaki beş terimi hesaplayalım

Talimatlar

10, 30, 90, 270...

Geometrik ilerlemenin paydasını bulmanız gerekir.
Çözüm:

Seçenek 1. İlerlemenin rastgele bir terimini alalım (örneğin 90) ve onu bir öncekine (30) bölelim: 90/30=3.

Bir geometrik ilerlemenin birkaç teriminin toplamı veya azalan bir geometrik ilerlemenin tüm terimlerinin toplamı biliniyorsa, ilerlemenin paydasını bulmak için uygun formülleri kullanın:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamıdır ve
S = b1/(1-q), burada S sonsuz derecede azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır (paydası birden küçük olan ilerlemenin tüm terimlerinin toplamı).
Örnek.

Azalan geometrik ilerlemenin ilk terimi bire, tüm terimlerin toplamı ise ikiye eşittir.

Bu ilerlemenin paydasını belirlemek gerekiyor.
Çözüm:

Problemdeki verileri formülde değiştirin. Ortaya çıkacak:
2=1/(1-q), dolayısıyla – q=1/2.

İlerleme bir sayı dizisidir. Geometrik ilerlemede, sonraki her terim, bir öncekinin ilerlemenin paydası adı verilen belirli bir q sayısıyla çarpılmasıyla elde edilir.

Talimatlar

Eğer iki bitişik geometrik terim b(n+1) ve b(n) biliniyorsa, paydayı elde etmek için büyük olan sayıyı kendisinden önceki sayıya bölmeniz gerekir: q=b(n+1)/b (N). Bu, ilerlemenin tanımından ve paydasından kaynaklanmaktadır. Önemli bir durum birinci terimin eşitsizliği ve sıfıra ilerlemenin paydasıdır, aksi takdirde belirsiz kabul edilir.

Böylece ilerlemenin terimleri arasında şu ilişkiler kurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) formülünü kullanarak, q paydasının ve b1 teriminin bilindiği geometrik ilerlemenin herhangi bir terimi hesaplanabilir. Ayrıca ilerlemelerin her biri modül açısından komşu üyelerinin ortalamasına eşittir: |b(n)|=√, ilerlemenin aldığı yer burasıdır.

Geometrik ilerlemenin bir benzeri en basit olanıdır üstel fonksiyon y=a^x, burada x bir üs, a ise belirli bir sayıdır. Bu durumda ilerlemenin paydası ilk terimle çakışır ve sayıya eşit A. Y fonksiyonunun değeri şu şekilde anlaşılabilir: n'inci terim x argümanı alınırsa ilerleme doğal sayı n (sayaç).

Geometrik ilerlemeyi sağlayan geometrik ilerlemenin bir diğer önemli özelliği