İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında, kök formüllerine ek olarak verilen başka yararlı ilişkiler de vardır. Vieta teoremi. Bu makalede Vieta teoreminin bir formülasyonunu ve kanıtını vereceğiz. ikinci dereceden denklem. Daha sonra teoremin Vieta teoreminin tersini ele alacağız. Bundan sonra çözümleri en tipik örneklere analiz edeceğiz. Son olarak reel kökler arasındaki ilişkiyi tanımlayan Vieta formüllerini yazıyoruz. cebirsel denklem derece n ve katsayıları.

Sayfada gezinme.

Vieta teoremi, formülasyonu, kanıtı

D=b 2 −4·a·c olan ikinci dereceden a·x 2 +b·x+c=0 formundaki denklemin köklerinin formüllerinden aşağıdaki ilişkiler şöyledir: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Bu sonuçlar doğrulandı Vieta teoremi:

Teorem.

Eğer x 1 ve x 2 ikinci dereceden denklem a x 2 +b x+c=0'ın kökleriyse, köklerin toplamı b ve a katsayılarının oranına eşit olur. zıt işaret ve köklerin çarpımı c ve a katsayılarının oranına eşittir, yani.

Kanıt.

Vieta teoreminin kanıtını aşağıdaki şemaya göre gerçekleştireceğiz: İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bilinen kök formüllerini kullanarak oluşturuyoruz, ardından elde edilen ifadeleri dönüştürüyoruz ve bunların −b/'ye eşit olduğundan emin oluyoruz. sırasıyla a ve c/a.

Köklerin toplamından başlayalım ve bunu telafi edelim. Şimdi kesirleri azaltıyoruz ortak payda, sahibiz . Ortaya çıkan kesirin payında, bundan sonra:. Sonunda 2'den sonra elde ederiz. Bu, Vieta teoreminin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamına ilişkin ilk ilişkisini kanıtlar. İkinciye geçelim.

İkinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını oluşturuyoruz: . Kesirlerde çarpma kuralına göre; son parça olarak yazılabilir. Şimdi bir parantezi paydaki bir parantezle çarpıyoruz, ancak bu çarpımı şu şekilde daraltmak daha hızlıdır: kare fark formülü, Bu yüzden . Sonra hatırlayarak bir sonraki geçişi gerçekleştiriyoruz. İkinci dereceden denklemin diskriminantı D=b 2 −4·a·c formülüne karşılık geldiğinden, son kesirde D yerine b 2 −4·a·c koyabiliriz, elde ederiz. Parantezleri açıp döküm yaptıktan sonra benzer terimler kesire ulaşıyoruz ve bunun 4·a oranında indirgenmesi sonucu verir. Bu, Vieta teoreminin köklerin çarpımı için ikinci ilişkisini kanıtlıyor.

Açıklamaları atlarsak, Vieta teoreminin ispatı kısa ve öz bir form alacaktır:
,
.

Sadece diskriminantın sıfıra eşit olması durumunda ikinci dereceden denklemin bir kökü olduğunu belirtmek gerekir. Ancak bu durumda denklemin iki özdeş kökü olduğunu varsayarsak, Vieta teoremindeki eşitlikler de geçerlidir. Aslında, D=0 olduğunda, ikinci dereceden denklemin kökü eşittir ve , ve D=0 olduğundan, yani b 2 −4·a·c=0, dolayısıyla b 2 =4·a·c, o zaman .

Uygulamada, Vieta teoremi çoğunlukla x 2 +p·x+q=0 formundaki indirgenmiş ikinci dereceden denklemle (baş katsayı 1'e eşit olacak şekilde) ilişkili olarak kullanılır. Bazen, genelliği sınırlamayan, sadece bu türden ikinci dereceden denklemler için formüle edilir, çünkü herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki tarafı sıfır olmayan bir a sayısına bölerek eşdeğer bir denklemle değiştirilebilir. Vieta teoreminin karşılık gelen formülasyonunu verelim:

Teorem.

İkinci dereceden indirgenmiş denklem x 2 +p x+q=0'ın kökleri toplamı, x'in ters işaretli katsayısına, köklerin çarpımı ise serbest terime yani x 1'e eşittir. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Vieta teoreminin tersi teorem

Vieta teoreminin önceki paragrafta verilen ikinci formülasyonu, x 1 ve x 2'nin ikinci dereceden indirgenmiş x 2 +p x+q=0 denkleminin kökleri olması durumunda, x 1 +x 2 =−p ilişkilerinin olduğunu gösterir. , x 1 x 2 =q. Öte yandan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yazılı ilişkilerinden x 1 ve x 2'nin ikinci dereceden x 2 +p x+q=0 denkleminin kökleri olduğu sonucu çıkar. Başka bir deyişle Vieta teoreminin tersi doğrudur. Bunu bir teorem şeklinde formüle edip kanıtlayalım.

Teorem.

Eğer x 1 ve x 2 sayıları x 1 +x 2 =−p ve x 1 · x 2 =q olacak şekildeyse, o zaman x 1 ve x 2 indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +p · x+q'nin kökleridir =0.

Kanıt.

x 2 +p·x+q=0 denklemindeki p ve q katsayıları x 1 ve x 2 aracılığıyla ifadeleriyle değiştirildikten sonra eşdeğer bir denklem haline dönüştürülür.

Ortaya çıkan denklemde x yerine x 1 sayısını yazarsak eşitliği elde ederiz x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, herhangi bir x 1 ve x 2 için doğru sayısal eşitlik 0=0'ı temsil eder, çünkü x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Bu nedenle x 1 denklemin köküdür x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 bu, x 1'in, x 2 +p·x+q=0 eşdeğer denkleminin kökü olduğu anlamına gelir.

Denklemde ise x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x yerine x 2 sayısını yazarsak eşitliği elde ederiz x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Bu gerçek bir eşitliktir, çünkü x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Dolayısıyla x 2 aynı zamanda denklemin köküdür x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 ve dolayısıyla x 2 +p·x+q=0 denklemleri.

Bu teoremin ispatını tamamlar, teoremin tersi Vieta.

Vieta teoremini kullanma örnekleri

Vieta teoreminin ve onun tersi teoreminin pratik uygulaması hakkında konuşmanın zamanı geldi. Bu bölümde en tipik örneklerin birçoğunun çözümlerini analiz edeceğiz.

Teoremin tersini Vieta teoreminin tersini uygulayarak başlayalım. Verilen iki sayının belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek için kullanılması uygundur. Bu durumda toplamları ve farkları hesaplanır ve ardından ilişkilerin geçerliliği kontrol edilir. Bu ilişkilerin her ikisi de sağlanırsa, Vieta teoreminin tersi olan teorem sayesinde bu sayıların denklemin kökleri olduğu sonucuna varılır. Eğer ilişkilerden en az biri karşılanmıyorsa bu sayılar ikinci dereceden denklemin kökleri değildir. Bu yaklaşım, bulunan kökleri kontrol etmek için ikinci dereceden denklemleri çözerken kullanılabilir.

Örnek.

1) x 1 =−5, x 2 =3 veya 2) veya 3) sayı çiftlerinden hangisi 4 x 2 −16 x+9=0 ikinci dereceden denklemin kök çiftidir?

Çözüm.

Verilen ikinci dereceden denklem 4 x 2 −16 x+9=0'ın katsayıları a=4, b=−16, c=9'dur. Vieta teoremine göre ikinci dereceden bir denklemin kökleri toplamı -b/a yani 16/4=4, köklerin çarpımı ise c/a yani 9 olmalıdır. /4.

Şimdi verilen üç çiftin her birindeki sayıların toplamını ve çarpımını hesaplayalım ve bunları az önce elde ettiğimiz değerlerle karşılaştıralım.

İlk durumda x 1 +x 2 =−5+3=−2 elde ederiz. Ortaya çıkan değer 4'ten farklıdır, dolayısıyla başka bir kontrol yapılamaz, ancak Vieta teoreminin tersi olan teoremi kullanarak, ilk sayı çiftinin verilen ikinci dereceden denklemin bir kök çifti olmadığı sonucuna varılabilir.

İkinci duruma geçelim. Burada birinci şart sağlanmış oluyor. İkinci koşulu kontrol ediyoruz: Ortaya çıkan değer 9/4'ten farklı. Sonuç olarak, ikinci sayı çifti ikinci dereceden denklemin bir kök çifti değildir.

Son bir vaka kaldı. Burada ve . Her iki koşul da karşılanmıştır, dolayısıyla bu x 1 ve x 2 sayıları verilen ikinci dereceden denklemin kökleridir.

Cevap:

Vieta teoreminin tersi, ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için pratikte kullanılabilir. Genellikle, verilen ikinci dereceden denklemlerin tamsayı katsayılı tamsayı kökleri seçilir, çünkü diğer durumlarda bunu yapmak oldukça zordur. Bu durumda, iki sayının toplamı ikinci dereceden bir denklemin eksi işaretiyle alınan ikinci katsayısına eşitse ve bu sayıların çarpımı serbest terime eşitse bu sayıların Bu ikinci dereceden denklemin kökleri. Bunu bir örnekle anlayalım.

İkinci dereceden x 2 −5 x+6=0 denklemini alalım. x 1 ve x 2 sayılarının bu denklemin kökleri olabilmesi için iki eşitliğin sağlanması gerekir: x 1 + x 2 =5 ve x 1 ·x 2 =6. Geriye kalan tek şey bu sayıları seçmek. İÇİNDE bu durumda bunu yapmak oldukça basittir: 2+3=5 ve 2.3=6 olduğundan bu tür sayılar 2 ve 3'tür. Dolayısıyla 2 ve 3 bu ikinci dereceden denklemin kökleridir.

Vieta teoreminin tersi olan teorem, köklerden biri zaten bilindiğinde veya açık olduğunda, belirli bir ikinci dereceden denklemin ikinci kökünü bulmak için özellikle uygundur. Bu durumda ikinci kök ilişkilerin herhangi birinden bulunabilir.

Örneğin ikinci dereceden 512 x 2 −509 x −3=0 denklemini ele alalım. Bu ikinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfıra eşit olduğundan, burada birliğin denklemin kökü olduğunu görmek kolaydır. Yani x 1 =1. İkinci kök x 2, örneğin x 1 ·x 2 =c/a ilişkisinden bulunabilir. Elimizde 1 x 2 =−3/512 var, buradan x 2 =−3/512. İkinci dereceden denklemin her iki kökünü de bu şekilde belirledik: 1 ve −3/512.

Kök seçiminin yalnızca en basit durumlarda tavsiye edildiği açıktır. Diğer durumlarda, kökleri bulmak için ikinci dereceden bir denklemin köklerine yönelik formülleri bir diskriminant aracılığıyla kullanabilirsiniz.

Bir diğer pratik kullanım Vieta teoreminin tersi olan teorem, x 1 ve x 2 kökleri verilen ikinci dereceden denklemlerin oluşturulmasından oluşur. Bunun için verilen ikinci dereceden denklemin zıt işaretli x katsayısını veren köklerin toplamını ve serbest terimi veren köklerin çarpımını hesaplamak yeterlidir.

Örnek.

Kökleri -11 ve 23 olan ikinci dereceden bir denklem yazın.

Çözüm.

x 1 =−11 ve x 2 =23'ü gösterelim. Bu sayıların toplamını ve çarpımını hesaplıyoruz: x 1 +x 2 =12 ve x 1 ·x 2 =−253. Bu nedenle, belirtilen sayılar, ikinci katsayısı −12 ve serbest terimi −253 olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleridir. Yani gerekli denklem x 2 −12·x−253=0'dır.

Cevap:

x 2 −12·x−253=0 .

İkinci dereceden denklemlerin köklerinin işaretleriyle ilgili problemleri çözerken Vieta teoremi sıklıkla kullanılır. Vieta teoreminin ikinci dereceden indirgenmiş denklem x 2 +p·x+q=0'ın köklerinin işaretleriyle nasıl bir ilişkisi vardır? İşte konuyla ilgili iki açıklama:

• Serbest terim q ise pozitif sayı ve eğer ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri varsa, o zaman ya her ikisi de pozitiftir ya da her ikisi de negatiftir.
• Serbest q terimi negatif bir sayı ise ve ikinci dereceden denklemin gerçel kökleri varsa, işaretleri farklıdır, yani bir kök pozitif, diğeri negatiftir.

Bu ifadeler x 1 · x 2 =q formülünden ve ayrıca pozitif çarpma kurallarından kaynaklanmaktadır: negatif sayılar ve farklı işaretlere sahip sayılar. Uygulama örneklerine bakalım.

Örnek.

R pozitiftir. Diskriminant formülünü kullanarak D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8'i, r 2 +8 ifadesinin değerini buluruz. herhangi bir gerçek r için pozitiftir, dolayısıyla herhangi bir gerçek r için D>0'dır. Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklemin herhangi bir durum için iki kökü vardır. gerçek değerler parametre r.

Şimdi köklerin ne zaman oluştuğunu öğrenelim. farklı işaretler. Köklerin işaretleri farklıysa, çarpımları negatiftir ve Vieta teoremine göre indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Bu nedenle, serbest r−1 teriminin negatif olduğu r değerleriyle ilgileniyoruz. Dolayısıyla ilgilendiğimiz r değerlerini bulmak için ihtiyacımız var karar vermek doğrusal eşitsizlik r−1<0 , откуда находим r<1 .

Cevap:

r'de<1 .

Vieta formülleri

Yukarıda ikinci dereceden bir denklem için Vieta teoreminden bahsettik ve ileri sürdüğü ilişkileri analiz ettik. Ancak sadece ikinci dereceden denklemlerin değil, aynı zamanda kübik denklemlerin, dördüncü derece denklemlerin ve genel olarak gerçek köklerini ve katsayılarını bağlayan formüller vardır. cebirsel denklemler derece Arandılar Vieta'nın formülleri.

Formun n derecesinin cebirsel denklemi için Vieta formülünü yazalım ve bunun n gerçek kökü x 1, x 2, ..., x n (aralarında çakışan olanlar olabilir) olduğunu varsayalım:

Vieta'nın formülleri elde edilebilir bir polinomun doğrusal faktörlere ayrıştırılmasına ilişkin teorem ve ayrıca karşılık gelen tüm katsayıların eşitliği yoluyla eşit polinomların tanımı. Yani polinom ve onun formun doğrusal faktörlerine açılımı eşittir. Son çarpımdaki parantezleri açıp karşılık gelen katsayıları eşitleyerek Vieta formüllerini elde ederiz.

Özellikle n=2 için ikinci dereceden bir denklem için zaten bildiğimiz Vieta formüllerine sahibiz.

Kübik bir denklem için Vieta'nın formülleri şu şekildedir:

Geriye sadece Vieta'nın formüllerinin sol tarafında sözde temel formüllerin bulunduğunu belirtmek kalıyor. simetrik polinomlar.

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Bir denklemin köklerinin toplamını belirlemek, ikinci dereceden denklemleri çözerken gerekli adımlardan biridir (a, b ve c üslerinin keyfi sayılar olduğu ax² + bx + c = 0 formundaki denklemler ve a ? 0). Vieta teoreminin desteği.

Talimatlar

1. İkinci dereceden denklemi ax² + bx + c = 0 olarak yazın Örnek: Başlangıç ​​denklemi: 12 + x² = 8x Doğru yazılan denklem: x² - 8x + 12 = 0

2. Denklemin köklerinin toplamının ters işaretle alınan "b" sayısına eşit olacağı ve çarpımlarının "c" sayısına eşit olacağı Vieta teoremini uygulayın. Örnek: Söz konusu denklemde. , b = -8, c = 12, sırasıyla: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Denklemlerin köklerinin doğru mu yoksa negatif sayı mı olduğunu öğrenin. Hem çarpım hem de köklerin toplamı pozitif sayı ise, köklerin tümü geçerli bir sayıdır. Köklerin çarpımı düzenli ve köklerin toplamı negatif bir sayı ise her iki kök de negatiftir. Köklerin çarpımı negatifse, bir kökün “+”, diğerinin “-” işareti vardır. Bu durumda ek bir kural kullanmanız gerekir: “Köklerin toplamı pozitifse. sayının modülündeki büyük kök de pozitiftir ve eğer köklerin toplamı negatif bir sayıysa, mutlak değeri daha büyük olan bir köktür - negatif." Örnek: Söz konusu denklemde hem toplam hem de çarpım doğrudur. sayılar: 8 ve 12; bu, her iki kökün de pozitif sayı olduğu anlamına gelir.

4. Ortaya çıkan denklem sistemini kökleri seçerek çözün. Seçime faktörlerle başlamak ve ardından herhangi bir faktör çiftini ikinci denklemde yerine koymak ve bu köklerin toplamının çözüme karşılık gelip gelmediğini kontrol etmek daha uygun olacaktır. Örnek: x1∗x2=12 Uygun çiftler. kökler sırasıyla: 12 ve 1, 6 ve 2, 4 ve 3 olacaktır. x1+x2=8 denklemini kullanarak elde edilen çiftleri kontrol edin. Çiftler 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Buna göre denklemin kökleri 6 ve 8 sayılarıdır.

Bir denklem, f(x,y,…)=g(x,y,..) formundaki bir eşitliktir; burada f ve g, bir veya daha fazla değişkenin fonksiyonlarıdır. Bir denklemin kökünü keşfetmek, bu eşitliğin sağlandığı bir dizi argümanı keşfetmek anlamına gelir.

İhtiyacın olacak

• Matematiksel inceleme bilgisi.

Talimatlar

1. Şu şekilde bir denkleme sahip olmanız mümkündür: x+2=x/5. Öncelikle bu eşitliğin tüm bileşenlerini sağ taraftan sola taşıyalım, bileşenin işaretini ters tarafa çevirelim. Bu denklemin sağ tarafında bir sıfır olacak, yani şunu elde ederiz: x+2-x/5 = 0.

2. Benzer terimleri sunalım. Şunu elde ederiz: 4x/5 + 2 = 0.

3. Daha sonra, elde edilen indirgenmiş denklemden bilinmeyen terimi bulacağız, bu durumda bu x'tir. Bilinmeyen değişkenin ortaya çıkan değeri başlangıç ​​denkleminin çözümü olacaktır. Bu durumda şunu elde ederiz: x = -2,5.

Konuyla ilgili video

Not!
Çözüm sonucunda ekstra kökler ortaya çıkabilir. Her şeyi olumlu çözseniz bile bunlar başlangıçtaki denklemin çözümü olmayacaktır. Aldığınız tüm çözümleri kontrol ettiğinizden emin olun.

Yararlı tavsiye
Bilinmeyenler için daima elde edilen değerleri kontrol edin. Bu, elde edilen değeri başlangıç ​​denkleminde değiştirerek kolayca yapılabilir. Eşitlik doğruysa çözüm de doğrudur.

Vieta teoremi bx2+cx+d=0 tipindeki bir denklemin kökleri (x1 ve x2) ile üsleri (b ve c, d) arasında doğrudan bir bağlantı kurar. Bu teoremin yardımıyla, köklerin anlamını belirlemeden, cesurca söylemek gerekirse, bunların toplamını zihinde hesaplamak mümkündür. Bunda zor bir şey yok, asıl önemli olan bazı kuralları bilmek.

İhtiyacın olacak

• - hesap makinesi;
• - notlar için kağıt.

Talimatlar

1. İncelenen ikinci dereceden denklemi standart bir forma getirin, böylece tüm üsler azalan sırada olur, yani ilk önce en yüksek derece x2 ve sonunda sıfır derece x0 olur. Denklem şu şekli alacaktır: b*x2 + c*x1 + d*x0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Diskriminantın negatif olmadığını kontrol edin. Denklemin köklerinin olduğundan emin olmak için bu kontrol gereklidir. D (ayırt edici) şu biçimi alır: D = c2 – 4*b*d. Burada birkaç seçenek var. D – diskriminant – doğru, bu da denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir. D sıfıra eşittir, bundan bir kök olduğu sonucu çıkar, ancak çifttir, yani x1 = x2. D negatiftir, bir okul cebir dersi için bu durum köklerin olmadığı, yüksek matematik için köklerin olduğu ancak bunların karmaşık olduğu anlamına gelir.

3. Denklemin köklerinin toplamını belirleyin. Vieta teoremini kullanarak bunu yapmak kolaydır: b*x2+c*x+d = 0. Denklemin köklerinin toplamı “–c” ile doğru orantılı ve “b” üssüyle ters orantılıdır. Yani x1+x2 = -c/b. Formülasyona göre köklerin çarpımını belirleyin - bir denklemin köklerinin çarpımı “d” ile doğru orantılıdır ve “b” göstergesiyle ters orantılıdır: x1*x2 = d/b.

Not!
Eğer negatif bir diskriminant alırsanız bu köklerin olmadığı anlamına gelmez. Bu, denklemin köklerinin karmaşık kökler olduğu anlamına gelir. Vieta teoremi bu durumda da geçerlidir ancak formu biraz değişecektir: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Yararlı tavsiye
İkinci dereceden bir denklemle değil de n dereceli bir kübik veya denklemle karşı karşıya kalırsanız: b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, o zaman köklerin toplamını veya çarpımını hesaplamak için denklemi için Vieta teoremini :1 doğru olarak kullanabilirsiniz. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Bir sayıyı bir denklemde değiştirirken doğru eşitlik elde edilirse, böyle bir sayıya kök denir. Kökler düzenli, negatif veya sıfır olabilir. Denklemin her kök kümesi arasında maksimum ve minimum ayırt edilir.

Talimatlar

1. Denklemin tüm köklerini bulun, varsa içlerinden negatif olanı seçin. Diyelim ki bize 2x?-3x+1=0 ikinci dereceden bir denklem verildi. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formülü uygulayın: x(1,2)=/2=/2=/2, sonra x1=2, x2=1. Aralarında hiçbir olumsuzluğun olmadığını fark etmek kolaydır.

2. Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden bir denklemin köklerini de bulabilirsiniz. Bu teoreme göre x1+x1=-b, x1?x2=c, burada b ve c sırasıyla x?+bx+c=0 denkleminin üsleridir. Bu teoremi uygulayarak, bazı durumlarda sorunu önemli ölçüde basitleştirebilen b?-4ac diskriminantını hesaplamamak mümkündür.

3. İkinci dereceden bir denklemde x'teki üs çift ise, kökleri bulmak için ana formülü değil kısaltılmış formülü kullanabilirsiniz. Temel formül x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a gibi görünüyorsa kısaltılmış haliyle şu şekilde yazılır: x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/a. İkinci dereceden bir denklemde kukla terim yoksa, x'i parantezlerin dışına çıkarmak oldukça kolaydır. Bazen de sol taraf tam bir kare şeklinde katlanır: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Sadece bir sayı değil, bir sürü çözüm veren denklem türleri vardır. Trigonometrik denklemler diyelim. Yani 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 denkleminin sonucu x=?/4+?k olacaktır, burada k bir tam sayıdır. Yani, k parametresinin herhangi bir tamsayı değerini değiştirirken, x argümanı verilen denklemi karşılayacaktır.

5. Trigonometri problemlerinde negatif köklerin tamamını veya negatif köklerin en büyüğünü bulmanız gerekebilir. Bu tür problemleri çözmek için mantıksal akıl yürütme veya matematiksel tümevarım yöntemi kullanılır. k için bazı tamsayı değerlerini x=?/4+?k ifadesine yerleştirin ve argümanın nasıl çalıştığını gözlemleyin. Bu arada, önceki denklemdeki en büyük negatif kök x=-3?/4 ve k=1 olacaktır.

Konuyla ilgili video

Not!
Bu örnekte, a=1 olan ikinci dereceden denklemin bir versiyonunu ele aldık. Aynı yöntemi kullanarak ikinci dereceden tam bir denklemi çözmek için (a&ne 1) "a"yı birliğe getiren bir yardımcı denklem oluşturmanız gerekir.

Yararlı tavsiye
Kökleri hızlı bir şekilde keşfetmek için bu denklem çözme yöntemini kullanın. Not almadan kafanızda bir denklem çözmeniz gerekiyorsa da yardımcı olacaktır.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

(Hatırlayın: indirgenmiş ikinci dereceden denklem, ilk katsayının 1 olduğu bir denklemdir).

Açıklama:

İkinci dereceden denklem olsun balta 2 +bx +C= 0'ın kökleri var X 1 ve X 2. O zaman Vieta teoremine göre:

Örnek 1:

Verilen x 2 – 7x + 10 = 0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir.

Köklerin toplamı 7, çarpımı 10'dur.

Denklemimizde ikinci katsayı -7, serbest terim ise 10'dur.

Böylece köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı da serbest terime eşit olur.

Çoğu zaman Vieta teoremi kullanılarak kolayca hesaplanabilen ikinci dereceden denklemler vardır - üstelik bunları onun yardımıyla hesaplamak daha kolaydır. Bunu hem önceki örnekte hem de sonraki örnekte doğrulamak kolaydır.

Örnek 2. İkinci dereceden denklemi çöz X 2 – 2X – 24 = 0.

Çözüm .

Vieta teoremini uygulayıp iki özdeşliği yazıyoruz:

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

-24'ün çarpanlarını toplamları 2 olacak şekilde seçiyoruz. Biraz düşündükten sonra 6 ve -4'ü buluyoruz. Hadi kontrol edelim:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Fark ettiğiniz gibi, pratikte Vieta teoreminin özü, verilen ikinci dereceden denklemdeki serbest terimi, toplamı zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olan faktörlere ayırmaktır. Bu faktörler kökler olacaktır.

Bu, ikinci dereceden denklemimizin köklerinin 6 ve –4 olduğu anlamına gelir.

Cevap: X 1 = 6, X 2 = –4.

Örnek 3. İkinci dereceden 3x 2 + 2x – 5 = 0 denklemini çözelim.

Burada indirgenmiş ikinci dereceden bir denklemle uğraşmıyoruz. Ancak bu tür denklemler, katsayıları dengeliyse Vieta teoremi kullanılarak da çözülebilir - örneğin, birinci ve üçüncü katsayıların toplamı zıt işaretli ikinciye eşitse.

Çözüm .

Denklemin katsayıları dengelidir: birinci ve üçüncü terimlerin toplamı zıt işaretli ikinciye eşittir:

3 + (–5) = –2.

Vieta teoremine uygun olarak

x 1 + x 2 = –2/3
x 1 x 2 = –5/3.

Toplamları -2/3 ve çarpımları -5/3 olan iki sayı bulmamız gerekiyor. Bu sayılar denklemin kökleri olacaktır.

İlk sayı hemen tahmin ediliyor: 1. Sonuçta x = 1 olduğunda denklem en basit toplama ve çıkarmaya dönüşüyor:
3 + 2 – 5 = 0. İkinci kök nasıl bulunur?
1'i 3/3 olarak temsil edelim ki tüm sayılar aynı paydaya sahip olsun: böylesi daha kolaydır. Ve hemen başka eylemler ortaya çıkar. Eğer x 1 = 3/3 ise:

3/3 + x 2 = –2/3.

Basit bir denklemi çözelim:

x 2 = –2/3 – 3/3.

Cevap: x 1 = 1; x2 = –5/3

Örnek 4: İkinci Dereceden Denklem 7'yi Çözün X 2 – 6X – 1 = 0.

Çözüm :

Bir kök hemen ortaya çıkıyor; gözünüze çarpıyor: X 1 = 1 (çünkü basit aritmetik sonucu: 7 – 6 – 1 = 0).

Denklemin katsayıları dengelidir: birinci ve üçüncünün toplamı zıt işaretli ikinciye eşittir:
7 + (– 1) = 6.

Vieta teoremine uygun olarak iki kimlik inşa ediyoruz (bu durumda bunlardan biri yeterli olsa da):

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

x 1 değerini bu iki ifadeden herhangi birinin yerine koyun ve x 2'yi bulun:

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Cevap : X 1 = 1; X 2 = –1/7

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin diskriminantı.

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin diskriminantı, genel bir formülle veya basitleştirilmiş bir formülle hesaplanabilir:

Şu tarihte:D = 0, yukarıdaki denklemin kökleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Eğer D< 0, то уравнение не имеет корней.

D = 0 ise denklemin tek kökü vardır.

D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.