FEDERAL EĞİTİM AJANSI

EĞİTİM GELİŞTİRME ENSTİTÜSÜ

“Parametrelerle denklem ve eşitsizliklerin çözümü için grafik yöntemler”

Tamamlanmış

matematik öğretmeni

Belediye eğitim kurumu orta öğretim okulu No. 62

Lipetsk 2008

GİRİİŞ................................................. ....... ................................................... ............. .3

X;en) 4

1.1. Paralel aktarım................................................................ .................................... 5

1.2. Dönüş................................................. .................................................. ...... 9

1.3. Homotetik. Düz çizgiye sıkıştırma.................................................. ..... .................. 13

1.4. Düzlemde iki doğru.................................................. ....................................... 15

2. GRAFİK TEKNİKLER. KOORDİNAT DÜZLEMİ ( X;A) 17

ÇÖZÜM................................................. .................................................... 20

BİBLİYOGRAFİK LİSTE.................................................. ................................... ........ 22

GİRİİŞ

Okul çocuklarının standart olmayan denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken yaşadıkları sorunlar, hem bu sorunların göreceli karmaşıklığından hem de okulun kural olarak standart sorunları çözmeye odaklanmasından kaynaklanmaktadır.

Birçok okul çocuğu parametreyi “normal” bir sayı olarak algılar. Aslında bazı problemlerde bir parametre sabit bir değer olarak kabul edilebilir, ancak bu sabit değer bilinmeyen değerler alır! Bu nedenle problemi bu sabitin tüm olası değerleri için dikkate almak gerekir. Diğer problemlerde bilinmeyenlerden birini yapay olarak parametre olarak bildirmek uygun olabilir.

Diğer okul çocukları bir parametreyi bilinmeyen bir miktar olarak ele alırlar ve cevaplarında parametreyi, utanmadan, bir değişken cinsinden ifade edebilirler. X.

Final ve giriş sınavlarında parametrelerle ilgili temel olarak iki tür problem vardır. Bunları ifadelerinden hemen ayırt edebilirsiniz. Birincisi: "Her parametre değeri için bir denklemin veya eşitsizliğin tüm çözümlerini bulun." İkincisi: "Belirli bir denklem veya eşitsizlik için belirli koşulların her biri için karşılandığı parametrenin tüm değerlerini bulun." Buna göre bu iki türden problemlerin cevapları özünde farklılık göstermektedir. Birinci tipteki bir problemin cevabı, parametrenin tüm olası değerlerini listeler ve bu değerlerin her biri için denklemin çözümleri yazılır. İkinci tip bir problemin cevabı, problemde belirtilen koşulların karşılandığı tüm parametre değerlerini gösterir.

Parametrenin belirli bir sabit değeri için bir parametreli bir denklemin çözümü, bilinmeyenin öyle bir değeridir ki, onu denklemde değiştirirken ikincisi doğru bir sayısal eşitliğe dönüşür. Bir parametreli eşitsizliğin çözümü de benzer şekilde belirlenir. Bir denklemin (eşitsizliğin) bir parametreyle çözülmesi, parametrenin kabul edilebilir her değeri için, belirli bir denklemin (eşitsizlik) tüm çözümlerinin kümesini bulmak anlamına gelir.

1. GRAFİK TEKNİKLER. KOORDİNAT DÜZLEMİ ( X;en)

Parametreli problemlerin çözümüne yönelik temel analitik teknikler ve yöntemlerin yanı sıra görsel ve grafiksel yorumlamaların da kullanım yolları vardır.

Parametrenin problemde hangi role atandığına bağlı olarak (değişkene eşit veya eşit değil), iki ana grafik tekniği buna göre ayırt edilebilir: birincisi, koordinat düzleminde bir grafik görüntünün oluşturulmasıdır. (X;y), ikincisi - açık (X; A).

(x; y) düzleminde fonksiyon y =F (X; A) parametreye bağlı olarak bir eğri ailesi tanımlar A. Her ailenin olduğu açıktır. F belirli özelliklere sahiptir. Öncelikle ailenin bir eğrisinden diğerine geçmek için ne tür bir düzlem dönüşümünün (paralel öteleme, döndürme, vb.) kullanılabileceğiyle ilgileneceğiz. Bu dönüşümlerin her birine ayrı bir paragraf ayrılacaktır. Bize öyle geliyor ki böyle bir sınıflandırma, karar verenin gerekli grafik görüntüyü bulmasını kolaylaştırır. Bu yaklaşımla çözümün ideolojik kısmının, hangi şeklin (düz çizgi, daire, parabol vb.) eğri ailesinin bir üyesi olacağına bağlı olmadığını unutmayın.

Elbette ailenin grafik imajı her zaman y =F (X;A) basit bir dönüşümle tanımlanır. Dolayısıyla bu tür durumlarda aynı aileye ait eğrilerin birbiriyle nasıl ilişkili olduğuna değil, eğrilerin kendisine odaklanmak faydalı olacaktır. Başka bir deyişle, çözüm fikrinin öncelikle belirli bir problemin özelliklerine dayandığı başka bir problem türünü ayırt edebiliriz. geometrik şekiller ve bir bütün olarak aile değil. Her şeyden önce hangi rakamlar (daha doğrusu bu rakamların aileleri) bizi ilgilendirecek? Bunlar düz çizgiler ve parabollerdir. Bu seçim doğrusalın özel (temel) konumundan kaynaklanmaktadır ve ikinci dereceden fonksiyonlar okul matematiğinde.

Grafiksel yöntemlerden bahsetmişken, rekabetçi sınavların uygulanmasından "doğan" bir sorundan kaçınmak imkansızdır. Grafik değerlendirmelere dayalı bir kararın kesinliği ve dolayısıyla yasallığı sorununa atıfta bulunuyoruz. Kuşkusuz biçimsel açıdan analitik olarak desteklenmeyen “resim”den alınan sonuç kesin olarak elde edilememiştir. Peki bir lise öğrencisinin uyması gereken titizlik düzeyini kim, ne zaman ve nerede belirliyor? Bize göre, bir öğrencinin matematik titizlik düzeyine ilişkin gereklilikler sağduyuyla belirlenmelidir. Böyle bir bakış açısının öznellik derecesini anlıyoruz. Üstelik grafiksel yöntem, netlik sağlama araçlarından sadece bir tanesidir. Ve görünürlük aldatıcı olabilir..gif" width="232" height="28">'nin tek bir çözümü vardır.

Çözüm. Kolaylık sağlamak için lg'yi belirtiyoruz b = a. Orijinaline eşdeğer bir denklem yazalım: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma tanım alanıyla ve (Şekil 1). Ortaya çıkan grafik bir düz çizgi ailesidir y = a yalnızca bir noktada kesişmelidir. Şekil bu gereksinimin yalnızca şu durumlarda karşılandığını göstermektedir: bir > 2, yani lg b> 2, b> 100.

Cevap. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> denklemin çözüm sayısını belirleyin .

Çözüm. Fonksiyonun grafiğini çizelim: 102" height="37" style="vertical-align:top">

Düşünelim. Bu, OX eksenine paralel düz bir çizgidir.

Cevap..gif" width="41" height="20">, ardından 3 çözüm;

eğer öyleyse 2 çözüm;

ise 4 çözüm.

Yeni bir görev serisine geçelim..gif" width="107" height=27 src=>.

Çözüm. Düz bir çizgi oluşturalım en= X+1 (Şek. 3)..gif" width="92" height="57">

denkleminin eşdeğeri olan bir çözümü var ( X+1)2 = x + A have one root..gif" width="44 height=47" height="47"> Orijinal eşitsizliğin çözümü yoktur. Türevi bilen birinin bu sonucu farklı şekilde elde edebileceğini unutmayın.

Daha sonra, “yarı parabol”ü sola kaydırarak grafiklerin son aktif olduğu anı düzelteceğiz. en = X+1 ve iki ortak noktası var (konum III). Bu düzenleme gereksinim tarafından sağlanmaktadır. A= 1.

Bu segment için açıktır ki [ X 1; X 2], nerede X 1 ve X 2 – grafiklerin kesişme noktalarının apsisleri, orijinal eşitsizliğin çözümü olacaktır..gif" width=68 height=47" height=47">, o zaman

Bir "yarı parabol" ve bir düz çizgi yalnızca bir noktada kesiştiğinde (bu duruma karşılık gelir) bir > 1), o zaman çözüm segment olacaktır [- A; X 2"], burada X 2" – köklerin en büyüğü X 1 ve X 2 (konum IV).

Örnek 4..gif" genişlik = "85" yükseklik = "29 src = ">.gif" genişlik = "75" yükseklik = "20 src = "> . Buradan anlıyoruz .

Şimdi işlevlere bakalım ve . Bunların arasında yalnızca bir tanesi bir eğri ailesini tanımlar. Şimdi değiştirmenin şüphesiz faydalar getirdiğini görüyoruz. Buna paralel olarak, önceki problemde benzer bir değiştirme kullanarak "yarı parabol" hareketi değil düz bir çizgi yapabileceğinizi not ediyoruz. Şekil 2'ye dönelim. 4. Açıkçası, eğer “yarıparabolün” tepe noktasının apsisi birden büyükse, yani –3 A > 1, , bu durumda denklemin kökleri yoktur..gif" width="89" height="29"> ve farklı bir monotonluk karakterine sahiptir.

Cevap. O halde denklemin bir kökü varsa; if https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width = "141" height = "81 src = ">

çözümleri var.

Çözüm. Doğrudan ailelerin https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 olduğu açıktır. " >

Anlam k1 sistemin ilk denkleminde (0;0) çiftini yerine koyarak bulacağız. Buradan k1 =-1/4. Anlam k 2 sistemden talep ederek elde ediyoruz

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> ne zaman k> 0'ın tek kökü vardır. Buradan k2= 1/4.

Cevap. .

Bir açıklama yapalım. Bu noktaya ilişkin bazı örneklerde standart bir problemi çözmemiz gerekecek: Bir çizgi ailesi için, eğriye teğetlik momentine karşılık gelen eğimini bulun. Bunu nasıl yapacağınızı size göstereceğiz genel görünüm türevi kullanarak.

Eğer (x0; sen 0) = dönme merkezi, ardından koordinatlar (X 1; en 1) eğriye teğet noktalar y =f(x) sistemi çözerek bulabilirsiniz

Gerekli eğim k eşittir.

Örnek 6. Denklemin hangi parametre değerleri için benzersiz bir çözümü var?

Çözüm..gif" genişlik = "160" yükseklik = "29 src = ">..gif" genişlik = "237" yükseklik = "33">, yay AB.

OA ve OB arasından geçen tüm ışınlar AB yayını bir noktada keser ve ayrıca AB OB ve OM (teğet) yaylarını da bir noktada keser..gif" width="16" height="48 src=">. Eğim faktörü teğet eşittir. Sistemden kolayca bulun

Yani aileleri yönlendirin https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Cevap. .

Örnek 7..gif" width = "160" height = "25 src = "> bir çözümü var mı?

Çözüm..gif" width = "61" height = "24 src = "> ve azalır. Nokta maksimum noktadır.

Bir fonksiyon, AB yayı olan https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> noktasından geçen düz çizgiler ailesidir. OA ve OB düz çizgileri arasında yer alacak çizgiler problemin koşullarını karşılar..gif" width="17" height="47 src=">.

Cevap..gif" width="15" height="20">çözüm yok.

1.3. Homotetik. Düz bir çizgiye sıkıştırma.

Örnek 8. Sistemin kaç çözümü var?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width = "41" height = "20 src = "> sistemin çözümü yok. Sabit için bir > 0 ilk denklemin grafiği köşeleri olan bir karedir ( A; 0), (0;-A), (-A;0), (0;A). Dolayısıyla ailenin üyeleri homotetik karelerdir (hotetikliğin merkezi O(0; 0) noktasıdır).

Şekil 2'ye dönelim. 8..gif" width="80" height="25"> Karenin her kenarının daire ile iki ortak noktası vardır, bu da sistemin sekiz çözümü olacağı anlamına gelir. Daire karenin içinde yazılı olduğu ortaya çıktığında, yani yine dört çözüm olacak. Açıkçası sistemin hiçbir çözümü yok.

Cevap. Eğer A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, o zaman dört çözüm var; eğer öyleyse sekiz çözüm var.

Örnek 9. Her biri için denklemin https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width = "181" height = "29 src = "> olduğu parametrenin tüm değerlerini bulun. ..jpg" width="195" height="162"> fonksiyonunu düşünün

Yarım dairenin yarıçapı 'den büyük ve küçük olduğunda, yani kök sayısı 8 sayısına karşılık gelecektir. bulunduğunu unutmayın.

Cevap. veya .

1.4. Bir düzlemde iki düz çizgi

Esasen, bu paragrafın problemlerini çözme fikri, iki düz çizginin göreceli konumunun incelenmesi sorusuna dayanmaktadır: Ve . Bu problemin çözümünü genel hatlarıyla göstermek kolaydır. Bizce konunun genel yönüne zarar vermeyecek spesifik tipik örneklere doğrudan döneceğiz.

Örnek 10. Sistem a ve b için ne yapar?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" genişlik = "160" yükseklik = "25 src = ">..gif" genişlik = "67" yükseklik = "24 src = "> , t..gif" genişlik = "116" yükseklik = "55">

Sistemin eşitsizliği sınırı olan bir yarım düzlemi tanımlar en= 2x– 1 (Şek. 10). Ortaya çıkan sistemin bir çözümü olduğunu anlamak kolaydır; eğer düz bir çizgi varsa ah += 5'e kadar yarım düzlemin sınırıyla kesişir veya ona paralel olarak yarım düzlemde yer alır en– 2x + 1 < 0.

Hadi davayla başlayalım b = 0. O zaman denklem öyle görünüyor ki Ah+ tarafından = 5 açıkça çizgiyle kesişen dikey bir çizgiyi tanımlar y = 2X - 1. Ancak bu ifade yalnızca ..gif" width="43" height="20 src="> sistemin çözümleri olduğunda ..gif" width="99" height="48"> olduğunda doğrudur. Bu durumda, çizgilerin kesişme koşulu şu şekilde elde edilir: ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> ve , veya ve , veya ve https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width = "69" height = "24 src = ">.

- B koordinat düzlemi xOa fonksiyonun grafiğini çiziyoruz.

− Düz çizgileri göz önünde bulundurun ve bu düz çizgilerin aşağıdaki koşulları karşıladığı Oa ekseni aralıklarını seçin: a) https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 fonksiyonunun grafiğiyle kesişmiyor .gif" width="69" height ="24"> bir noktada, c) iki noktada, d) üç noktada vb.

− Eğer görev x'in değerlerini bulmaksa, o zaman a'nın değerinin bulunan aralıklarının her biri için x'i ayrı ayrı a cinsinden ifade ederiz.

Bir parametrenin eşit değişken olarak görünümü grafiksel yöntemlere yansıtılır..jpg" width="242" height="182">

Cevap. a = 0 veya a = 1.

ÇÖZÜM

Analiz edilen sorunların, önerilen yöntemlerin etkinliğini ikna edici bir şekilde göstermesini umuyoruz. Ancak ne yazık ki bu yöntemlerin uygulama alanı grafik görüntü oluştururken karşılaşılabilecek zorluklarla sınırlıdır. Gerçekten o kadar kötü mü? Görünüşe göre hayır. Aslında bu yaklaşımla, minyatür bir araştırma modeli olarak parametrelerle ilgili problemlerin temel didaktik değeri büyük ölçüde kaybolmaktadır. Bununla birlikte, yukarıdaki hususlar öğretmenlere yöneliktir ve başvuru sahipleri için formül oldukça kabul edilebilirdir: amaç, araçları haklı çıkarır. Üstelik, şunu söyleme özgürlüğümüze sahip olalım ki, hatırı sayılır sayıda üniversitede parametrelerle rekabet problemleri derleyenler resimden duruma giden yolu izlemektedir.

Bu problemlerde denklemlerin veya eşitsizliklerin sol ve sağ taraflarında yer alan fonksiyonların grafiklerini bir kağıda çizdiğimizde önümüze çıkan bir parametre ile problem çözme olanaklarını tartıştık. Parametrenin isteğe bağlı değerler alabilmesi nedeniyle, görüntülenen grafiklerden biri veya her ikisi de düzlem üzerinde belirli bir şekilde hareket eder. Parametrenin farklı değerlerine karşılık gelen bütün bir grafik ailesinin elde edildiğini söyleyebiliriz.

İki ayrıntıyı özellikle vurgulayalım.

Öncelikle “grafiksel” bir çözümden bahsetmiyoruz. Tüm değerler, koordinatlar, kökler ilgili denklem ve sistemlerin çözümleri olarak kesin ve analitik olarak hesaplanır. Aynı durum grafiklere dokunma veya kesişme durumları için de geçerlidir. Bunlar gözle değil, ayırt ediciler, türevler ve kullanabileceğiniz diğer araçların yardımıyla belirlenir. Resim sadece bir çözüm sunuyor.

İkinci olarak, gösterilen grafiklerle ilgili sorunu çözmenin bir yolunu bulamasanız bile, soruna ilişkin anlayışınız önemli ölçüde genişleyecek, kendi kendinizi test etmek için bilgi alacaksınız ve başarı şansınız önemli ölçüde artacaktır. Bir problemde ne olacağını doğru bir şekilde hayal ederek farklı anlamlar parametresini kullanarak doğru çözüm algoritmasını bulabilirsiniz.

Dolayısıyla bu sözleri acil bir cümleyle bitireceğiz: eğer en ufak bir derecede zor görev Grafik çizmeyi bildiğiniz fonksiyonlar var, mutlaka yapın, pişman olmayacaksınız.

BİBLİYOGRAFİK LİSTE

1. Cherkasov,: Lise öğrencileri ve üniversitelere başvuranlar için el kitabı [Metin] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 s.

2. Gorshtein, parametrelerle birlikte [Metin]: 3. baskı, genişletilmiş ve revize edilmiş / , . – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 1999. – 336 s.

İzin vermek f(x,y) Ve g(x, y)- değişkenli iki ifade X Ve en ve kapsam X. Daha sonra formdaki eşitsizlikler f(x, y) > g(x, y) veya f(x, y) < g(x, y) isminde iki değişkenli eşitsizlik .

Değişkenlerin Anlamı x, yçoğundan X Eşitsizliğin gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüğü noktaya denir. karar ve belirlenmiş (x, y). Eşitsizliği çözün - bu, bu tür birçok çiftin bulunması anlamına gelir.

Her sayı çifti ise (x, y)çözüm kümesinden eşitsizliğe kadar noktayı eşleştirin M(x, y), bu eşitsizliğin belirlediği düzlemdeki noktalar kümesini elde ederiz. Onu aradılar bu eşitsizliğin grafiği . Bir eşitsizliğin grafiği genellikle düzlem üzerinde bir alandır.

Eşitsizliğin çözüm kümesini tasvir etmek f(x, y) > g(x, y), aşağıdaki şekilde ilerleyin. Öncelikle eşitsizlik işaretini eşittir işaretiyle değiştirin ve denklemi içeren bir doğru bulun. f(x,y) = g(x,y). Bu çizgi düzlemi birkaç parçaya böler. Bundan sonra her bölümden bir puan alıp bu noktada eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek yeterlidir. f(x, y) > g(x, y). Bu noktada yürütülürse bu noktanın bulunduğu bölümün tamamında yürütülecektir. Bu parçaları birleştirerek birçok çözüm elde ediyoruz.

Görev. sen > X.

Çözüm.İlk önce eşitsizlik işaretini eşittir işaretiyle değiştiririz ve dikdörtgen koordinat sisteminde denklemi içeren bir çizgi oluştururuz. sen = X.

Bu çizgi düzlemi iki parçaya böler. Bundan sonra her parçaya bir puan alın ve bu noktada eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin. sen > X.

Görev. Eşitsizliği grafiksel olarak çözün
X 2 + en 2 £25.

İki eşitsizlik verilsin F 1(x, y) > G 1(x, y) Ve F 2(x, y) > G 2(x, y).

İki değişkenli eşitsizlik kümeleri sistemleri

Eşitsizlik sistemi temsil etmek kendin bu eşitsizliklerin birleşimi. Sistem çözümü her anlam mı (x, y) eşitsizliklerin her birini gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştürür. Birçok çözüm sistemler eşitsizlikler, belirli bir sistemi oluşturan eşitsizliklere yönelik çözüm kümelerinin kesişimidir.

Eşitsizlikler kümesi temsil etmek kendin bunların ayrılması eşitsizlikler Bütünlüğün çözümüyle her anlam mı (x, y) eşitsizliklerden en az birini gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştürür. Birçok çözüm bütünlük bir küme oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin birleşimidir.

Görev. Eşitsizlik sistemini grafiksel olarak çözün

Çözüm. y = x Ve X 2 + en 2 = 25. Sistemin her eşitsizliğini çözüyoruz.

Sistemin grafiği, birinci ve ikinci eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi (çift tarama) olan düzlem üzerindeki noktaların kümesi olacaktır.

Görev. Bir dizi eşitsizliği grafiksel olarak çözün

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1. Eşitsizlikleri grafiksel olarak çözün: a) en> 2X; B) en< 2X + 3;

V) X 2+ e 2 > 9; G) X 2+ e 2 £4.

2. Eşitsizlik sistemlerini grafiksel olarak çözün:

a) b)

10. sınıf öğrencisi Yuri Kotovchikhin

Öğrenciler 6. sınıftan itibaren modüllerle denklemleri çalışmaya başlarlar; alt modüler ifadelerin sabit işaret aralıklarına göre modüllerin genişletilmesini kullanan standart çözüm yöntemini öğrenirler. Bu konuyu daha derinlemesine ve kapsamlı bir çalışma gerektirdiğine, modüldeki sorunların öğrenciler için büyük zorluklar yarattığına inandığım için seçtim. İÇİNDE okul müfredatı Sınavlarda karmaşıklığı artan görevler olarak modül içeren görevler vardır, dolayısıyla böyle bir görevle karşılaşmaya hazırlıklı olmalıyız.

İndirmek:

Önizleme:

Belediye eğitim kurumu

Ortalama ortaokul №5

Konuyla ilgili araştırma çalışmaları:

« Modül içeren denklem ve eşitsizliklerin cebirsel ve grafiksel çözümü»

Tamamlanan çalışma:

10. sınıf öğrencisi

Kotovchikhin Yuri

Danışman:

Matematik öğretmeni

Shanta N.P.

Uryupinsk

1.Giriş……………………………………………………….3

2. Kavramlar ve tanımlar…………………………………….5

3. Teoremlerin kanıtı…………………………………………..6

4. Modülü içeren denklemleri çözme yöntemleri…………...7

4.1. A ve b sayıları, modülleri ve kareleri arasındaki bağımlılıkları kullanarak çözüm……………………………………………………………………………12

4.2.Denklemleri çözmek için modülün geometrik yorumunun kullanılması………………………………………………………………..14

4.3.Mutlak değerin işaretini içeren en basit fonksiyonların grafikleri.

………………………………………………………………………15

4.4.Modül içeren standart dışı denklemlerin çözümü....16

5. Sonuç……………………………………………………….17

6. Kullanılan literatür listesi……………………………18

Çalışmanın amacı: Öğrenciler 6. sınıftan itibaren modüllerle denklemleri çalışmaya başlarlar; alt modüler ifadelerin sabit işaretli aralıklara göre modüllerin genişletilmesinden yararlanarak standart çözüm yöntemini öğrenirler. Bu konuyu daha derinlemesine ve kapsamlı bir çalışma gerektirdiğine, modüldeki sorunların öğrenciler için büyük zorluklar yarattığına inandığım için seçtim. Okul müfredatında karmaşıklığı artan görevler olarak modül içeren görevler vardır ve sınavlarda bu nedenle böyle bir görevle karşılaşmaya hazırlıklı olmalıyız.

1. Giriş:

"Modül" kelimesi Latince "ölçü" anlamına gelen "modulus" kelimesinden gelir. Bu, birçok anlamı olan ve yalnızca matematikte değil aynı zamanda mimari, fizik, teknoloji, programlama ve diğer kesin bilimlerde de kullanılan çok anlamlı bir kelimedir (homonym).

Mimarlıkta bu, belirli bir durum için belirlenen ilk ölçü birimidir. mimari yapı ve kendisini oluşturan unsurların çoklu oranlarını ifade etmeye hizmet eder.

Teknolojide bu, teknolojinin çeşitli alanlarında kullanılan, evrensel bir anlamı olmayan ve çeşitli katsayıları ve miktarları (örneğin, etkileşim modülü, elastik modül vb.) belirlemeye hizmet eden bir terimdir.

Toplu modül (fizikte), bir malzemedeki normal gerilimin bağıl uzamaya oranıdır.

2. Kavramlar ve tanımlar

A gerçek sayısının modülü - mutlak değeri - |A| ile gösterilir.

Bu konuyu derinlemesine incelemek için ihtiyaç duyacağım en basit tanımları öğrenmem gerekiyor:

Denklem değişkenleri içeren bir eşitliktir.

Modüllü bir denklem, mutlak değer işareti altında (modül işareti altında) bir değişken içeren bir denklemdir.

Bir denklemi çözmek, denklemin tüm köklerini bulmak veya köklerinin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

3. Teoremlerin kanıtı

Teorem 1. Mutlak değer Bir reel sayının değeri, a veya -a sayıdan büyük olanına eşittir.

Kanıt

1. Eğer a sayısı pozitifse -a negatiftir, yani -a

Örneğin 5 sayısı pozitif, -5 sayısı negatif ve -5 sayısıdır.

Bu durumda |a| = a, yani |a| a ve - a sayılarından büyük olanıyla eşleşir.

2. Eğer a negatif ise -a pozitiftir ve a

Sonuçlar. Teoremden |-a| = |a|.

Aslında hem ve hem de -a ve a sayılarından büyük olanına eşittir, yani birbirlerine eşittirler.

Teorem 2. Herhangi bir gerçek sayının mutlak değeri aritmetik eşittir karekök A'dan 2 .

Aslında bir sayının modülü tanımı gereği lАl>0 elde edilirse, A>0 için |a| anlamına gelir. = √A 2

eğer bir 2

Bu teorem bazı problemleri çözerken |a|'yı değiştirmeyi mümkün kılar. Açık

Geometrik olarak |a| koordinat çizgisi üzerinde a sayısını temsil eden noktadan orijine olan mesafe anlamına gelir.

O zaman koordinat çizgisi üzerinde sıfırdan eşit uzaklıkta, modülleri eşit olan iki a ve -a noktası varsa.

Eğer a = 0 ise, |a| koordinat doğrusunda 0 noktasıyla temsil edilir

4. Modül içeren denklemleri çözme yöntemleri.

Mutlak değerin işaretini içeren denklemleri çözmek için bir sayının modülünün tanımına ve bir sayının mutlak değerinin özelliklerine güveneceğiz. Bazı örnekleri çözeceğiz farklı şekillerde ve modül içeren denklemleri çözmek için hangi yöntemin daha kolay olduğunu görelim.

Örnek 1. |x + 2| denklemini analitik ve grafiksel olarak çözelim. = 1.

Çözüm

Analitik çözüm

1. yöntem

Bir modülün tanımına dayanarak akıl yürüteceğiz. Modülün altındaki ifade negatif değilse, yani x + 2 ≥0 ise, modül işaretinin altından artı işaretiyle “çıkacaktır” ve denklem şu şekli alacaktır: x + 2 = 1. Modül işareti altındaki ifadenin değeri negatifse, tanım gereği şuna eşit olacaktır: veya x + 2=-1

Böylece ya x + 2 = 1 ya da x + 2 = -1 elde ederiz. Ortaya çıkan denklemleri çözerek şunları buluruz: X+2=1 veya X+2+-1

X=-1 X=3

Cevap: -3;-1.

Şimdi şu sonuca varabiliriz: Eğer bir ifadenin modülü pozitif bir gerçek sayı a'ya eşitse, o zaman modülün altındaki ifade ya a ya da -a olur.

Grafik çözümü

Modül içeren denklemleri çözmenin yollarından biri grafiksel yöntemdir. Bu yöntemin özü bu fonksiyonların grafiklerini oluşturmaktır. Grafikler kesişirse bu grafiklerin kesişme noktaları denklemimizin kökleri olacaktır. Grafikler kesişmiyorsa denklemin kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz. Bu yöntem muhtemelen modül içeren denklemleri çözmek için diğerlerinden daha az kullanılır, çünkü ilk olarak çok zaman alır ve her zaman rasyonel değildir ve ikincisi, grafikleri çizerken elde edilen sonuçlar her zaman doğru değildir.

Modül içeren denklemleri çözmenin başka bir yolu da sayı doğrusunu aralıklara bölmektir. Bu durumda sayı doğrusunu bölmemiz gerekir ki modülün tanımı gereği bu aralıklardaki mutlak değerin işareti kaldırılabilsin. Daha sonra, aralıkların her biri için bu denklemi çözmemiz ve ortaya çıkan köklerle ilgili bir sonuç çıkarmamız gerekecek (aralığımızı karşılayıp karşılamadıkları). Boşlukları dolduran kökler nihai cevabı verecektir.

2. yöntem

Modülün hangi x değerlerinde sıfıra eşit olduğunu belirleyelim: |X+2|=0, X=2

Her biri denklemi çözdüğümüz iki aralık elde ederiz:

İki karışık sistem elde ediyoruz:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Her sistemi çözelim:

X=-3 X=-1

Cevap: -3;-1.

Grafik çözümü

y= |X+2|, y= 1.

Grafik çözümü

Denklemi grafiksel olarak çözmek için fonksiyonların grafiklerini oluşturmanız gerekir ve

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, bir fonksiyonun grafiğini oluşturalım - bu, OX eksenini ve OY eksenini noktalarda kesen bir fonksiyondur.

Fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarının apsisleri denklemin çözümlerini verecektir.

y=1 fonksiyonunun düz grafiği, y=|x + 2| fonksiyonunun grafiğiyle kesişiyor. (-3; 1) ve (-1; 1) koordinatlarına sahip noktalarda, dolayısıyla denklemin çözümleri noktaların apsisi olacaktır:

x=-3, x=-1

Cevap: -3;-1

Örnek 2. 1 + |x| denklemini analitik ve grafiksel olarak çözün. = 0,5.

Çözüm:

Analitik çözüm

Denklemi dönüştürelim: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Bu durumda denklemin hiçbir çözümü olmadığı açıktır, çünkü tanım gereği modül her zaman negatif değildir.

Cevap: Çözüm yok.

Grafik çözümü

Denklemi dönüştürelim: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Fonksiyonun grafiği ışınlardır - 1. ve 2. koordinat açılarının açıortayları. Fonksiyonun grafiği OX eksenine paralel ve OY ekseninde -0,5 noktasından geçen düz bir çizgidir.

Grafikler kesişmiyor, bu da denklemin çözümü olmadığı anlamına geliyor.

Cevap: Çözüm yok.

Örnek 3. |-x + 2| denklemini analitik ve grafiksel olarak çözün. = 2x + 1.

Çözüm:

Analitik çözüm

1. yöntem

Öncelikle değişken için kabul edilebilir değer aralığını ayarlamanız gerekir. Doğal bir soru ortaya çıkıyor: Neden önceki örneklerde bunu yapmaya gerek yoktu, ama şimdi ortaya çıktı.

Gerçek şu ki, bu örnekte, denklemin sol tarafında bir ifadenin modülü var ve sağ tarafta bir sayı değil, değişkenli bir ifade var - bu, onu ayıran önemli durumdur. bu örneköncekilerden.

Sol tarafta bir modül ve sağ tarafta değişken içeren bir ifade olduğundan, bu ifadenin negatif olmaması yani geçerli aralığın olması gerekir.

modül değerleri

Şimdi eşitliğin sağ tarafında bulduğumuz örnekte olduğu gibi mantık yürütebiliriz. pozitif sayı. İki karışık sistem elde ediyoruz:

(1) -X+2≥0 ve (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Her sistemi çözelim:

(1) aralığa dahildir ve denklemin köküdür.

X≤2

X=⅓

(2)X>2

X=-3

X = -3 aralığa dahil değildir ve denklemin kökü değildir.

Cevap: ⅓.

4.1. a ve b sayıları, modülleri ve bu sayıların kareleri arasındaki bağımlılıkları kullanarak çözüm.

Yukarıda verdiğim yöntemlere ek olarak sayılar ile verilen sayıların modülleri arasında ve ayrıca verilen sayıların kareleri ile modülleri arasında da belli bir denklik vardır:

|a|=|b| a=b veya a=-b

A2=b2 a=b veya a=-b

Buradan da şunu elde ediyoruz

|a|=|b| a 2 =b 2

Örnek 4. |x + 1|=|2x - 5| denklemini çözün iki farklı şekilde.

1. (1) ilişkisini dikkate alarak şunu elde ederiz:

X + 1=2x - 5 veya x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6x=11/3

Birinci denklemin kökü x=6, ikinci denklemin kökü x=11/3

Böylece orijinal denklemin kökleri x 1 =6, x 2 =11/3

2. İlişki (2) sayesinde şunu elde ederiz:

(x + 1)2=(2x - 5)2 veya x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>denklemin 2 farklı kökü vardır.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

Çözümün gösterdiği gibi bu denklemin kökleri de 11/3 ve 6 sayılarıdır.

Cevap: x 1 =6, x 2 =11/3

Örnek 5. (2x + 3) denklemini çözün 2 =(x - 1) 2 .

(2) ilişkisini hesaba katarak |2x + 3|=|x - 1| sonucunu elde ederiz, bundan önceki örnekteki örneğe göre (ve (1) ilişkisine göre):

2x + 3=x - 1 veya 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Dolayısıyla denklemin kökleri x1 = -4 ve x2 = -0 olur, (6)

Cevap: x1=-4, x2 =0,(6)

Örnek 6. |x - 6|=|x2 - 5x + 9| denklemini çözün.

İlişkiyi kullanarak şunu elde ederiz:

x - 6=x2 - 5x + 9 veya x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> kök yok.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

Kontrol edin: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(ben)

Cevap: x 1 =1; x 2 =3

4.2.Denklemlerin çözümünde modülün geometrik yorumunun kullanılması.

Nicelikler arasındaki farkın modülünün geometrik anlamı aralarındaki mesafedir. Örneğin |x - a | ifadesinin geometrik anlamı - segmentin uzunluğu koordinat ekseni a ve x apsisleriyle noktaları birleştiriyor. Cebirsel bir problemi geometrik dile çevirmek çoğu zaman hantal çözümlerden kaçınmayı sağlar.

Örnek 7. |x - 1| denklemini çözelim. + |x - 2|=1 modülün geometrik yorumunu kullanarak.

Şu şekilde akıl yürüteceğiz: modülün geometrik yorumuna dayanarak, sol taraf denklem, belirli bir apsis noktası x'ten apsis 1 ve 2'ye sahip iki sabit noktaya olan mesafelerin toplamıdır. Bu durumda, segmentten apsisli tüm noktaların gerekli özelliğe sahip olduğu, ancak bu segmentin dışında bulunan noktaların olmadığı açıktır. Dolayısıyla cevap: Denklemin çözüm kümesi segmenttir.

Cevap:

Örnek8. |x - 1| denklemini çözelim. - |x - 2|=1 1 modülün geometrik yorumunu kullanarak.

Bir önceki örneğe benzer şekilde mantık yürüteceğiz ve apsis 1 ve 2 olan noktalara olan mesafe farkının yalnızca koordinat ekseninde 2 sayısının sağında yer alan noktalar için bire eşit olduğunu bulacağız. bu denklem 1 ve 2 noktaları arasında kalan parça ve 2 noktasından çıkan ve OX ekseninin pozitif yönünde yönlendirilen ışın olmayacaktır.

Cevap: )