Hadi birlikte çalışalım ikinci dereceden denklemler. Bunlar çok popüler denklemler! tam olarak genel görünüm ikinci dereceden denklem şuna benzer:

Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür?Önünüzde bu formda ikinci dereceden bir denklem varsa, o zaman her şey basittir. Haydi hatırlayalım sihirli kelime ayrımcı . Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur. Yani ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işaretinin altındaki ifade ayrımcı. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Hesapladığımız formül bu. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin, ilk denklem için A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

İşte bu.

Bu formülü kullanırken hangi durumlar mümkündür? Sadece üç vaka var.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı farklı bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak bu, konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz eşitsizliklerde rol oynuyor.

3. Diskriminant negatiftir. İtibaren negatif sayı karekökçıkarılmadı. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada bir = -6; b = -5; c = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır ve hata sayısı yazmak yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle kullanıyorsanız pratik teknikler Aşağıda açıklananlar. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığımız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrendiler ki bu da iyi. Nasıl doğru bir şekilde belirleneceğini biliyorsun a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anlıyorsunuz: dikkatle mi?

Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler . Ayrıca diskriminantla da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. a, b ve c.

Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! İşte bu. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Hiçbir ayrım yapmadan. İlk tamamlanmamış denklemi ele alalım. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x = 0, veya x = 4

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, diskriminant kullanmaktan çok daha basittir.

İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:

Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:

Ayrıca iki kök . x = +3 ve x = -3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da basit transfer sayıları sağa doğru çevirin ve ardından kökü çıkarın.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...

İlk randevu. İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla . Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Hatayı arayın. İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Tüm daha az hata irade.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi şununla çarpın: ortak paydaönceki bölümde açıklandığı gibi. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...

Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

İşte bu! Çözmek bir zevktir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik tavsiyeler:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!

Kesirli denklemler. ODZ.

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler . Aynı şey.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

Öğretildiği gibi genç sınıfları? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Nasıl olduğunu unut kötü rüya! Kesirleri eklerken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor. Bu da denklemin ile çarpılması gerektiği anlamına geliyor. 2(x+2). Çarp:

Bu, kesirlerin yaygın bir çarpımıdır, ancak bunu ayrıntılı olarak açıklayacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü sağ taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Klasik ikinci dereceden denklem. Ancak önümüzdeki eksi iyi değil. Her zaman -1 ile çarparak veya bölerek bundan kurtulabilirsiniz. Ancak örneğe yakından bakarsanız, bu denklemi -2'ye bölmenin en iyisi olduğunu fark edeceksiniz! Bir anda eksi ortadan kaybolacak ve oranlar daha cazip hale gelecek! -2'ye bölün. Sol tarafta - terim terim ve sağda - sıfırı -2'ye (sıfır) bölerseniz şunu elde ederiz:

Diskriminant aracılığıyla çözüyoruz ve Vieta teoremini kullanarak kontrol ediyoruz. Aldık x = 1 ve x = 3. İki kök.

Gördüğünüz gibi ilk durumda dönüşümden sonra denklem doğrusal hale geldi, ancak burada ikinci dereceden hale geliyor. Kesirlerden kurtulduktan sonra tüm X'ler azalır. Geriye 5=5 gibi bir şey kalıyor. Bu şu anlama geliyor x herhangi bir şey olabilir. Ne olursa olsun yine de azalacak. Ve bunun saf gerçek olduğu ortaya çıkıyor: 5=5. Ancak kesirlerden kurtulduktan sonra 2=7 gibi tamamen yanlış olduğu ortaya çıkabilir. Ve bu şu anlama geliyor çözüm yok! Herhangi bir X'in doğru olmadığı ortaya çıkıyor.

Ana çözümü gerçekleştirdik kesirli denklemler ? Basit ve mantıklıdır. Hoşumuza gitmeyen her şeyin kaybolması için orijinal ifadeyi değiştiriyoruz. Veya müdahale ediyor. İÇİNDE bu durumda bunlar kesirler. Aynısını logaritmalar, sinüsler ve diğer dehşetlerle her türlü karmaşık örnekle yapacağız. Biz Her zaman Bütün bunlardan kurtulalım.

Ancak orijinal ifadeyi ihtiyacımız olan yönde değiştirmemiz gerekiyor. kurallara göre, evet... Ustalığı matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlıktır. Yani bunda ustalaşıyoruz.

Şimdi bunlardan birini nasıl atlayacağımızı öğreneceğiz. Birleşik Devlet Sınavında ana pusu! Ama önce bakalım bu duruma düşecek misiniz, düşmeyecek misiniz?

Basit bir örneğe bakalım:

Konu zaten tanıdık, her iki tarafı da çarpıyoruz (x – 2), şunu elde ederiz:

Parantezle hatırlatırım (x – 2) Sanki tek bir bütünsel ifadeyle çalışıyoruz!

Burada artık paydalara bir tane yazmadım, onursuz... Ve paydalara parantez çizmedim, hariç x – 2 hiçbir şey yok, çizmene gerek yok. Kısaltalım:

Parantezleri açın, her şeyi sola taşıyın ve benzerlerini verin:

Çözüyoruz, kontrol ediyoruz, iki kök alıyoruz. x = 2 Ve x = 3. Harika.

Ödevin kökü veya birden fazla kök varsa bunların toplamını yazmanız gerektiğini varsayalım. Ne yazacağız?

Cevabın 5 olduğuna karar verirseniz, pusuya düşürüldü. Ve görev size verilmeyecektir. Boşuna çalıştılar... Doğru cevap 3.

Sorun ne?! Ve bir kontrol yapmaya çalışıyorsun. Bilinmeyenlerin değerlerini yerine koyun orijinalörnek. Ve eğer x = 3 her şey harika bir şekilde birlikte büyüyecek, 9 = 9 elde edeceğiz, o zaman x = 2 Sıfıra bölünme olacak! Kesinlikle yapamayacağınız şey. Araç x = 2 bir çözüm değildir ve cevapta dikkate alınmaz. Bu sözde yabancı veya ekstra köktür. Sadece onu atıyoruz. Son kök birdir. x = 3.

Nasıl yani?! – Öfkeli ünlemler duyuyorum. Bize bir denklemin bir ifadeyle çarpılabileceği öğretildi! Bu aynı dönüşüm!

Evet, aynı. Küçük bir koşul altında - çarptığımız (böldüğümüz) ifade - sıfırdan farklı. A x – 2 en x = 2 sıfıra eşittir! Yani her şey adil.

Peki şimdi ne yapmalıyız? İfadeyle çarpmıyor musunuz? Her seferinde kontrol etmeli miyim? Yine belirsiz!

Sakin ol! Panik yapma!

Bu zor durumda bizi üç sihirli harf kurtaracak. Ne düşündüğünü biliyorum. Sağ! Bu ODZ . Kabul Edilebilir Değerler Alanı.

Bunun, a, b ve c'nin bilinmeyen x için gerçek katsayılar olduğu ve a ≠ o ve b ve c'nin aynı anda sıfır olacağı ax 2 + bx + c = o eşitliğinin özel bir versiyonu olduğu bilinmektedir. ayrı ayrı. Örneğin, c = o, b ≠ o veya tam tersi. İkinci dereceden denklemin tanımını neredeyse hatırladık.

İkinci derece trinomial sıfırdır. İlk katsayısı a ≠ o, b ve c herhangi bir değeri alabilir. X değişkeninin değeri, ikame onu doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğünde olacaktır. Gerçek köklere odaklanalım, ancak denklemin çözümleri de olabilir. Katsayılardan hiçbirinin o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o'ya eşit olmadığı bir denklemi tam olarak adlandırmak gelenekseldir.
Bir örnek çözelim. 2x 2 -9x-5 = ah, buluyoruz
D = 81+40 = 121,
D pozitiftir, yani kökler vardır, x 1 = (9+√121):4 = 5 ve ikinci x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrol etmek doğru olduklarından emin olmanıza yardımcı olacaktır.

İşte ikinci dereceden denklemin adım adım çözümü

Diskriminant kullanarak, sol tarafında a ≠ o için bilinen ikinci dereceden üç terimli herhangi bir denklemi çözebilirsiniz. Örneğimizde. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

İkinci dereceden eksik denklemlerin ne olduğunu düşünelim

1. ax 2 +in = o. Serbest terim, x 0'daki c katsayısı, burada ≠ o'da sıfıra eşittir.
   Bu türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Parantez içinde x'i çıkaralım. İki faktörün çarpımının sıfıra eşit olduğu zamanı hatırlayalım.
   x(ax+b) = o, bu x = o veya ax+b = o olduğunda olabilir.
   2.yi çözdüğümüzde x = -в/а elde ederiz.
   Sonuç olarak, x 2 = -b/a hesaplamalarına göre köklerimiz x 1 = 0'dır.
2. Şimdi x'in katsayısı o'ya eşittir ve c (≠) o'ya eşit değildir.
   x 2 +c = o. C'yi eşitliğin sağ tarafına taşıyalım, x 2 = -с elde ederiz. Bu denklemin yalnızca -c olduğunda gerçek kökleri vardır pozitif sayı(‹ o ile),
   x 1 sırasıyla √(-c)'ye eşit olur, x 2 ise -√(-c) olur. Aksi takdirde denklemin hiçbir kökü yoktur.
3. Son seçenek: b = c = o, yani ax 2 = o. Doğal olarak bu kadar basit bir denklemin tek kökü vardır: x = o.

Özel durumlar

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin nasıl çözüleceğine baktık ve şimdi herhangi bir türü ele alalım.

• İkinci dereceden tam bir denklemde x'in ikinci katsayısı çift sayıdır.
  k = o.5b olsun. Diskriminant ve kökleri hesaplamak için formüllerimiz var.
  D/4 = k 2 - ac, D › o için kökler x 1,2 = (-k±√(D/4))/a olarak hesaplanır.
  D = o'da x = -k/a.
  D ‹ o için kök yoktur.
• İkinci dereceden denklemler verilmiştir, x karenin katsayısı 1 olduğunda genellikle x 2 + рх + q = o şeklinde yazılır. Yukarıdaki formüllerin tümü onlar için geçerlidir, ancak hesaplamalar biraz daha basittir.
  Örnek, x 2 -4x-9 = 0. D: 2 2 +9, D = 13'ü hesaplayın.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Ayrıca verilenlere uygulaması da kolaydır, denklemin köklerinin toplamının eksi (anlamı) olan ikinci katsayı olan -p'ye eşit olduğunu söylüyor. karşıt işaret) ve aynı köklerin çarpımı serbest terim olan q'ya eşit olacaktır. Bu denklemin köklerini sözlü olarak belirlemenin ne kadar kolay olacağını görün. İndirgenmemiş katsayılar için (sıfıra eşit olmayan tüm katsayılar için), bu teorem şu şekilde uygulanabilir: x 1 + x 2 toplamı -b/a'ya eşittir, x 1 ·x 2 çarpımı c/a'ya eşittir.

Serbest terim c ile birinci katsayı a'nın toplamı b katsayısına eşittir. Bu durumda, denklemin en az bir kökü vardır (kanıtlanması kolaydır), birincisi zorunlu olarak -1'e ve varsa ikincisi -c/a'ya eşit olacaktır. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi kendiniz nasıl çözeceğinizi kontrol edebilirsiniz. Daha basit olamazdı. Katsayılar birbirleriyle belirli ilişkiler içinde olabilir.

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Tüm katsayıların toplamı o'ya eşittir.
  Böyle bir denklemin kökleri 1 ve c/a'dır. Örnek, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Çeşitli ikinci derece denklemleri çözmenin başka yolları da vardır. Örneğin burada belirli bir polinomdan tam bir kare çıkarmak için bir yöntem var. Birkaç grafiksel yöntem vardır. Bu tür örneklerle sık sık karşılaştığınızda, tohum gibi “tıklamayı” öğreneceksiniz çünkü tüm yöntemler otomatik olarak aklınıza geliyor.

İÇİNDE modern toplum kare değişkeni içeren denklemlerle işlem yapabilme yeteneği birçok faaliyet alanında faydalı olabilir ve bilimsel ve teknik gelişmelerde pratikte yaygın olarak kullanılır. Bunun kanıtı deniz ve nehir gemilerinin, uçakların ve roketlerin tasarımında bulunabilir. Bu tür hesaplamaları kullanarak, en büyük hareket yörüngeleri farklı bedenler uzay nesneleri dahil. İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler yalnızca ekonomik tahminlerde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılmaktadır. Yürüyüş gezilerinde, spor etkinliklerinde, mağazalarda alışveriş yaparken ve diğer çok yaygın durumlarda bunlara ihtiyaç duyulabilir.

İfadeyi bileşen faktörlerine ayıralım

Denklemin derecesi belirlenir maksimum değer Bu ifadenin içerdiği değişkenin derecesi. 2'ye eşitse, böyle bir denklem ikinci dereceden olarak adlandırılır.

Formüllerin diliyle konuşursak, nasıl görünürse görünsün, belirtilen ifadeler her zaman istenildiği zaman forma getirilebilir. sol taraf ifadesi üç terimden oluşur. Bunlar arasında: ax 2 (yani, katsayısı ile karesi olan bir değişken), bx (katsayısıyla karesi olmayan bir bilinmeyen) ve c (serbest bir bileşen, yani sıradan bir sayı). Sağ taraftaki tüm bunlar 0'a eşittir. Böyle bir polinomun, ax 2 hariç kendisini oluşturan terimlerden birinin eksik olması durumunda, buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Bu tür problemlerin çözümüne yönelik örneklerde öncelikle bulunması kolay olan değişkenlerin değerleri dikkate alınmalıdır.

İfadenin sağ tarafında iki terim var gibi görünüyorsa, daha doğrusu ax 2 ve bx, x'i bulmanın en kolay yolu değişkeni parantezlerin dışına çıkarmaktır. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x(ax+b). Daha sonra, ya x=0 olduğu ya da problemin şu ifadeden bir değişken bulmakta olduğu açıkça ortaya çıkıyor: ax+b=0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının yalnızca biri sıfır olduğunda 0 ile sonuçlanacağını belirtir.

Örnek

x=0 veya 8x - 3 = 0

Sonuç olarak denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0,375.

Bu tür denklemler, koordinatların orijini olarak alınan belirli bir noktadan itibaren hareket etmeye başlayan yerçekiminin etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim şu biçimi alır: y = v 0 t + gt 2/2. Gerekli değerleri yerine koyarak, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, cismin yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve daha birçok niceliği bulabilirsiniz. Ama bunu daha sonra konuşacağız.

Bir İfadeyi Faktoringe Alma

Yukarıda açıklanan kural, bu sorunları daha fazla çözmeyi mümkün kılar. zor vakalar. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerine bakalım.

X 2 - 33x + 200 = 0

Bu ikinci dereceden üç terimli tamamlandı. Öncelikle ifadeyi dönüştürüp çarpanlarına ayıralım. Bunlardan iki tane var: (x-8) ve (x-25) = 0. Sonuç olarak elimizde 8 ve 25 olmak üzere iki kök var.

9. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin yalnızca ikinci dereceden değil, üçüncü ve dördüncü dereceden ifadelerde de bir değişken bulmasına olanak tanır.

Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tarafı değişkenli çarpanlara ayırdığımızda bunlardan üç tane vardır, yani (x+1), (x-3) ve (x+ 3).

Sonuç olarak bu denklemin üç kökü olduğu ortaya çıkıyor: -3; -1; 3.

Karekök

Başka bir vaka tamamlanmamış denklem ikinci sıra ise harf dilinde sağ tarafı ax 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde temsil edilen bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim sağ tarafa aktarılır ve ardından eşitliğin her iki tarafından karekök çıkarılır. Bu durumda genellikle denklemin iki kökü olduğuna dikkat edilmelidir. Tek istisna, değişkenin sıfıra eşit olduğu, hiç bir terim içermeyen eşitlikler ve sağ tarafın negatif olduğu ifadelerin çeşitleri olabilir. İkinci durumda, yukarıdaki eylemler köklerle gerçekleştirilemediğinden hiçbir çözüm yoktur. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 sayıları olacaktır.

Arazi alanının hesaplanması

Bu tür hesaplamalara duyulan ihtiyaç eski zamanlarda ortaya çıktı, çünkü o uzak zamanlarda matematiğin gelişimi büyük ölçüde arazi parsellerinin alanlarını ve çevrelerini en yüksek doğrulukla belirleme ihtiyacıyla belirlendi.

Bu tür problemlere dayanarak ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini de düşünmeliyiz.

Diyelim ki uzunluğu genişliğinden 16 metre daha fazla olan dikdörtgen bir arsa var. Alanının 612 m 2 olduğunu biliyorsanız sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulmalısınız.

Başlamak için önce gerekli denklemi oluşturalım. Alanın genişliğini x ile gösterirsek uzunluğu (x+16) olur. Yazılmış olanlardan, alanın, problemimizin koşullarına göre 612 olan x(x+16) ifadesiyle belirlendiği anlaşılmaktadır. Bu, x(x+16) = 612 anlamına gelir.

İkinci dereceden denklemlerin tam çözümü, ki bu ifade tam da budur, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafta hala iki faktör bulunsa da çarpımları hiç 0'a eşit olmadığından burada farklı yöntemler kullanılıyor.

diskriminant

Öncelikle gerekli dönüşümleri yapalım, ardından dış görünüş Bu ifadenin şekli şöyle görünecektir: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen formda, a=1, b=16, c=-612 olan bir ifade aldığımız anlamına gelir.

Bu, ikinci dereceden denklemleri bir diskriminant kullanarak çözmenin bir örneği olabilir. Burada gerekli hesaplamalarşemaya göre üretilir: D = b 2 - 4ac. Bu yardımcı miktar sadece ikinci dereceden bir denklemde gerekli miktarları bulmayı mümkün kılmakla kalmaz, aynı zamanda miktarı da belirler. olası seçenekler. D>0 ise iki tane var; D=0 için bir kök vardır. D durumunda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kökler ve formülleri hakkında

Bizim durumumuzda diskriminant şuna eşittir: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin bir cevabı olduğunu gösteriyor. Eğer k'yı biliyorsanız ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanızı sağlar.

Bu, sunulan durumda şu anlama gelir: x 1 =18, x 2 =-34. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz çünkü arsanın boyutları negatif büyüklüklerle ölçülemez, yani x (yani arsanın genişliği) 18 m olur. Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18. +16=34 ve çevre 2(34+ 18)=104(m2).

Örnekler ve görevler

İkinci dereceden denklemler çalışmamıza devam ediyoruz. Bunlardan birkaçının örnekleri ve ayrıntılı çözümleri aşağıda verilecektir.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Her şeyi eşitliğin sol tarafına taşıyalım, bir dönüşüm yapalım yani standart denilen denklem türünü elde edip sıfıra eşitleyelim.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Benzerlerini toplayarak diskriminantı belirliyoruz: D = 49 - 48 = 1. Bu, denklemimizin iki kökü olacağı anlamına gelir. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplayalım, yani birincisi 4/3'e, ikincisi ise 1'e eşit olacaktır.

2) Şimdi farklı türden gizemleri çözelim.

Burada herhangi bir kök olup olmadığını bulalım x 2 - 4x + 5 = 1? Kapsamlı bir cevap elde etmek için polinomu karşılık gelen olağan forma indirgeyelim ve diskriminantı hesaplayalım. Yukarıdaki örnekte ikinci dereceden denklemi çözmeye gerek yoktur çünkü sorunun özü bu değildir. Bu durumda D = 16 - 20 = -4, yani gerçekte köklerin olmadığı anlamına gelir.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden denklemlerİkincisinin değerinden karekök alındığında, yukarıdaki formüller ve diskriminant aracılığıyla çözmek uygundur. Ancak bu her zaman gerçekleşmez. Ancak bu durumda değişkenlerin değerlerini elde etmenin birçok yolu vardır. Örnek: Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme. Adını 16. yüzyıl Fransa'sında yaşayan ve matematik yeteneği ve saraydaki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyere sahip olan birinden alıyor. Portresi makalede görülebilir.

Ünlü Fransız'ın fark ettiği desen şu şekildeydi. Denklemin köklerinin sayısal olarak toplamının -p=b/a olduğunu ve çarpımlarının q=c/a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.

Şimdi belirli görevlere bakalım.

3x2 + 21x - 54 = 0

Basit olması açısından ifadeyi dönüştürelim:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremini kullanalım, bu bize şunu verecektir: Köklerin toplamı -7 ve çarpımı -18'dir. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Kontrol ettikten sonra bu değişken değerlerinin gerçekten ifadeye uyduğundan emin olacağız.

Parabol grafiği ve denklemi

İkinci dereceden fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmişti. Şimdi bazı matematik bilmecelerine biraz daha detaylı bakalım. Tanımlanan türdeki herhangi bir denklem görsel olarak temsil edilebilir. Grafik olarak çizilen böyle bir ilişkiye parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Her parabolün bir tepe noktası, yani dallarının çıktığı bir nokta vardır. Eğer a>0 ise, sonsuza kadar yükselirler ve<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Fonksiyonların görsel temsilleri, ikinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere tüm denklemlerin çözülmesine yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. X değişkeninin değeri ise grafik çizgisinin 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Tepe noktasının koordinatları az önce verilen x 0 = -b/2a formülü kullanılarak bulunabilir. Ve ortaya çıkan değeri fonksiyonun orijinal denkleminde değiştirerek, y 0'ı, yani ordinat eksenine ait olan parabolün tepe noktasının ikinci koordinatını bulabilirsiniz.

Bir parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birçok örneği vardır, ancak aynı zamanda genel modeller de vardır. Şimdi onlara bakalım. a>0 için grafiğin 0x ekseni ile kesişmesinin ancak 0'ın negatif değer alması durumunda mümkün olacağı açıktır. Ve bir için<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aksi takdirde D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabolün grafiğinden kökleri de belirleyebilirsiniz. Bunun tersi de doğrudur. Yani görsel bir görüntü elde ederseniz ikinci dereceden fonksiyon Kolay değil, ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyip ortaya çıkan denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseniyle kesişme noktalarını bilerek bir grafik oluşturmak daha kolaydır.

Tarihten

Eskiden kare değişkeni içeren denklemleri kullanarak sadece matematiksel hesaplamalar yapmakla kalmıyor, geometrik şekillerin alanlarını da belirliyorlardı. Kadim insanlar, fizik ve astronomi alanlarındaki büyük keşiflerin yanı sıra astrolojik tahminler yapmak için de bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyorlardı.

Modern bilim adamlarının önerdiği gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Bu, çağımızdan dört yüzyıl önce oldu. Elbette onların hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden kökten farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamyalı matematikçilerin negatif sayıların varlığından haberleri yoktu. Ayrıca herhangi bir modern okul çocuğunun bildiği diğer inceliklere de aşina değillerdi.

Belki de Babil'deki bilim adamlarından bile daha önce, Hintli bilge Baudhayama ikinci dereceden denklemleri çözmeye başlamıştı. Bu, İsa'nın döneminden yaklaşık sekiz yüzyıl önce gerçekleşti. Doğru, ikinci dereceden denklemler, verdiği çözme yöntemleri en basitleriydi. Onun yanı sıra Çinli matematikçiler de eski günlerde benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da ikinci dereceden denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldılar.

İkinci dereceden denklem - çözülmesi kolay! *Bundan sonra “KU” olarak anılacaktır. Arkadaşlar öyle görünüyor ki matematikte böyle bir denklemi çözmekten daha basit bir şey olamaz. Ama içimden bir ses birçok insanın onunla sorunları olduğunu söyledi. Yandex'in ayda kaç tane isteğe bağlı gösterim verdiğini görmeye karar verdim. İşte ne oldu, bakın:

Bu ne anlama geliyor? Bu, ayda yaklaşık 70.000 kişinin bu bilgiyi aradığı anlamına geliyor ve bu yaz ve okul yılı boyunca ne olacak - iki kat daha fazla talep olacak. Bu şaşırtıcı değil, çünkü okuldan uzun zaman önce mezun olan ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan kız ve erkekler bu bilgiyi arıyorlar ve okul çocukları da hafızalarını tazelemeye çalışıyorlar.

Bu denklemin nasıl çözüleceğini anlatan birçok site olmasına rağmen ben de katkıda bulunup materyali yayınlamaya karar verdim. Öncelikle bu isteğe istinaden ziyaretçilerin siteme gelmesini istiyorum; ikinci olarak diğer yazılarımda “KU” konusu açıldığında bu yazının linkini vereceğim; üçüncü olarak, size çözümü hakkında diğer sitelerde genellikle belirtilenden biraz daha fazlasını anlatacağım. Hadi başlayalım! Makalenin içeriği:

İkinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:

burada katsayılar a,Bve c, a≠0 olan keyfi sayılardır.

İÇİNDE okul kursu materyal aşağıdaki biçimde verilmiştir - denklemler geleneksel olarak üç sınıfa ayrılır:

1. İki kökleri vardır.

2. *Tek bir kökü vardır.

3. Kökleri yoktur. Burada gerçek köklerinin olmadığını özellikle belirtmekte fayda var.

Kökler nasıl hesaplanır? Sadece!

Diskriminant değerini hesaplıyoruz. Bu “korkunç” kelimenin altında çok basit bir formül yatıyor:

Kök formülleri aşağıdaki gibidir:

*Bu formülleri ezbere bilmeniz gerekiyor.

Hemen yazıp çözebilirsiniz:

Örnek:

1. Eğer D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.

2. Eğer D = 0 ise denklemin bir kökü vardır.

3. Eğer D ise< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Denkleme bakalım:

İle bu vesileyle Diskriminant sıfır olduğunda okul kursu sonucun bir kök olduğunu söylüyor, burada dokuza eşit. Her şey doğru, öyle ama...

Bu fikir biraz yanlıştır. Aslında iki kök var. Evet, evet, şaşırmayın, iki eşit kök elde edersiniz ve matematiksel olarak kesin olmak gerekirse, cevabın iki kök yazması gerekir:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ama bu böyle - küçük bir ara söz. Okulda bunu yazıp tek bir kök olduğunu söyleyebilirsin.

Şimdi bir sonraki örnek:

Bildiğimiz gibi negatif bir sayının kökü alınamadığından bu durumda bir çözüm yoktur.

Bütün karar süreci bundan ibaret.

İkinci dereceden fonksiyon.

Bu, çözümün geometrik olarak neye benzediğini gösterir. Bunu anlamak son derece önemlidir (gelecekte makalelerden birinde ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz).

Bu formun bir fonksiyonudur:

burada x ve y değişkenlerdir

a, b, c – a ≠ 0 ile verilen sayılar

Grafik bir paraboldür:

Yani, “y” sıfıra eşit olan ikinci dereceden bir denklemi çözerek parabolün x ekseni ile kesişme noktalarını bulduğumuz ortaya çıkıyor. Bu noktalardan ikisi (ayırıcı pozitiftir), biri (ayırıcı sıfırdır) ve hiçbiri (ayırıcı negatiftir) olabilir. İkinci dereceden fonksiyonla ilgili ayrıntılar bakabilirsin Inna Feldman'ın makalesi.

Örneklere bakalım:

Örnek 1: Çöz 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Cevap: x 1 = 8 x 2 = –12

*Denklemin sol ve sağ taraflarını hemen 2'ye bölmek, yani basitleştirmek mümkündü. Hesaplamalar daha kolay olacaktır.

Örnek 2: Karar vermek x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ve x 2 = 11 olduğunu bulduk

Cevapta x=11 yazmak caizdir.

Cevap: x = 11

Örnek 3: Karar vermek x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant negatiftir, reel sayılarda çözüm yoktur.

Cevap: çözüm yok

Diskriminant negatiftir. Bir çözüm var!

Burada negatif bir diskriminantın elde edilmesi durumunda denklemin çözümünden bahsedeceğiz. Karmaşık sayılar hakkında bir şey biliyor musun? Bunların neden ve nerede ortaya çıktıklarını ve matematikteki spesifik rollerinin ve gerekliliklerinin ne olduğunu burada ayrıntıya girmeyeceğim; bu ayrı bir makalenin konusu.

Karmaşık sayı kavramı.

Küçük bir teori.

Karmaşık sayı z, formdaki bir sayıdır

z = a + bi

a ve b'nin gerçel sayılar olduğu durumlarda, i sanal birim olarak adlandırılır.

a+bi – bu TEK BİR NUMARAdır, toplama değil.

Sanal birim eksi birin köküne eşittir:

Şimdi denklemi düşünün:

İki eşlenik kök elde ediyoruz.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem.

Özel durumları ele alalım; bu, “b” veya “c” katsayısının sıfıra eşit olduğu (veya her ikisinin de sıfıra eşit olduğu) durumdur. Herhangi bir ayrımcılığa uğramadan kolayca çözülebilirler.

Durum 1. Katsayı b = 0.

Denklem şöyle olur:

Haydi dönüştürelim:

Örnek:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Durum 2. Katsayı c = 0.

Denklem şöyle olur:

Dönüştürüp çarpanlara ayıralım:

*Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir.

Örnek:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 veya x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Durum 3. Katsayılar b = 0 ve c = 0.

Burada denklemin çözümünün her zaman x = 0 olacağı açıktır.

Faydalı özellikler ve katsayı kalıpları.

Büyük katsayılı denklemleri çözmenizi sağlayan özellikler vardır.

AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A + B+ c = 0, O

- denklemin katsayıları için ise AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A+ ç =B, O

Bu özellikler karar vermenize yardımcı olur belirli bir tür denklemler

Örnek 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Oranların toplamı 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bunun anlamı

Örnek 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Eşitlik geçerlidir A+ ç =B, Araç

Katsayıların düzenlilikleri.

1. Eğer ax 2 + bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse, kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Örnek. 6x 2 + 37x + 6 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Eğer ax 2 – bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Örnek. 15x 2 –226x +15 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Denklemde ise. ax 2 + bx – c = 0 katsayısı “b” eşittir (a 2 – 1) ve katsayısı “c” sayısal olarak “a” katsayısına eşittir, o zaman kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Örnek. 17x 2 +288x – 17 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Eğer ax 2 – bx – c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 – 1)'e eşitse ve c katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Örnek. 10x 2 – 99x –10 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vieta'nın teoremi.

Vieta'nın teoremi, adını ünlü Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır. Vieta teoremini kullanarak, rastgele bir KU'nun köklerinin toplamını ve çarpımını katsayıları cinsinden ifade edebiliriz.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Toplamda 14 sayısı sadece 5 ve 9'u verir. Bunlar köklerdir. Belirli bir beceriyle, sunulan teoremi kullanarak birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak anında çözebilirsiniz.

Ayrıca Vieta teoremi. İkinci dereceden bir denklemi olağan şekilde (bir diskriminant aracılığıyla) çözdükten sonra ortaya çıkan köklerin kontrol edilebilmesi uygundur. Bunu her zaman yapmanızı öneririm.

ULAŞIM ŞEKLİ

Bu yöntemle “a” katsayısı serbest terimle sanki kendisine “atılmış” gibi çarpılır, bu yüzden buna denir. "aktarma" yöntemi. Bu yöntem, Vieta teoremini kullanarak denklemin köklerini kolayca bulabileceğiniz durumlarda ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Eğer A± b+c≠ 0 ise transfer tekniği kullanılır, örneğin:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Denklem (2)'deki Vieta teoremini kullanarak x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu belirlemek kolaydır.

Denklemin ortaya çıkan kökleri 2'ye bölünmelidir (çünkü ikisi x 2'den "atılmıştır"), şunu elde ederiz:

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Gerekçesi nedir? Bakın neler oluyor.

Denklem (1) ve (2)'nin ayırıcıları eşittir:

Denklemlerin köklerine bakarsanız yalnızca farklı paydalar elde edersiniz ve sonuç tam olarak x 2 katsayısına bağlıdır:

İkincisi (değiştirilmiş) 2 kat daha büyük köklere sahiptir.

Bu nedenle sonucu 2'ye bölüyoruz.

*Üç atarsak sonucu 3'e vb. böleriz.

Cevap: x 1 = 5 x 2 = 0,5

meydan ur-ie ve Birleşik Devlet Sınavı.

Önemini kısaca anlatacağım - Çabuk ve düşünmeden KARAR VERMELİSİNİZ, köklerin ve ayırıcıların formüllerini ezbere bilmeniz gerekiyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde yer alan problemlerin çoğu, ikinci dereceden bir denklemin (geometrik olanlar dahil) çözülmesine indirgenir.

Dikkate değer bir şey!

1. Bir denklemin yazım şekli “örtük” olabilir. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür:

15+ 9x 2 - 45x = 0 veya 15x+42+9x 2 - 45x=0 veya 15 -5x+10x 2 = 0.

Bunu standart bir forma getirmeniz gerekiyor (çözerken kafanızın karışmaması için).

2. X'in bilinmeyen bir miktar olduğunu ve herhangi bir harfle (t, q, p, h ve diğerleri) gösterilebileceğini unutmayın.

Bu yazıda tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne bakacağız.

Ama önce hangi denklemlere ikinci dereceden denir tekrarlayalım. x'in bir değişken olduğu ve a, b ve c katsayılarının bazı sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklem denir. kare. Gördüğümüz gibi, x 2'nin katsayısı sıfıra eşit değildir ve bu nedenle x'in veya serbest terimin katsayıları sıfıra eşit olabilir, bu durumda tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:

1) Eğer b = 0, c ≠ 0 ise ax 2 + c = 0;

2) Eğer b ≠ 0, c = 0 ise ax 2 + bx = 0;

3) Eğer b = 0, c = 0 ise ax 2 = 0 olur.

• Nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + c = 0 formundaki denklemler.

Denklemi çözmek için serbest c terimini denklemin sağ tarafına taşırız, şunu elde ederiz:

balta 2 = ‒s. a ≠ 0 olduğundan denklemin her iki tarafını da a'ya böleriz, o zaman x 2 = ‒c/a olur.

Eğer -с/а > 0 ise denklemin iki kökü vardır

x = ±√(–c/a) .

Eğer -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini örneklerle anlamaya çalışalım.

Örnek 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Örnek 2. 2x 2 + 8 = 0 denklemini çözün.

Cevap: Denklemin çözümü yoktur.

• Hadi bunu nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + bx = 0 formundaki denklemler.

ax 2 + bx = 0 denklemini çözmek için çarpanlara ayıralım yani x'i parantezden çıkaralım, x(ax + b) = 0 elde ederiz. Faktörlerden en az biri eşitse çarpım sıfıra eşittir. sıfıra. O zaman ya x = 0 ya da ax + b = 0. ax + b = 0 denklemini çözerek ax = - b elde ederiz, dolayısıyla x = - b/a olur. ax 2 + bx = 0 formundaki bir denklemin her zaman iki kökü x 1 = 0 ve x 2 = ‒ b/a'dır. Bu tür denklemlerin çözümünün şemada nasıl göründüğüne bakın.

Bilgimizi belirli bir örnekle pekiştirelim.

Örnek 3. 3x 2 ‒ 12x = 0 denklemini çözün.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 veya 3x – 12 = 0

Cevap: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Üçüncü tip denklemler ax 2 = 0çok basit bir şekilde çözüldü.

Eğer ax 2 = 0 ise x 2 = 0 olur. Denklemin iki eşit kökü vardır: x 1 = 0, x 2 = 0.

Açıklık sağlamak için şemaya bakalım.

Örnek 4'ü çözerken bu tür denklemlerin çok basit bir şekilde çözülebileceğinden emin olalım.

Örnek 4. 7x 2 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1, 2 = 0.

Ne tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerektiği her zaman hemen belli olmaz. Aşağıdaki örneği düşünün.

Örnek 5. Denklemi çöz

Denklemin her iki tarafını da ortak bir paydayla yani 30 ile çarpalım.

Hadi keselim

5(5x2 + 9) – 6(4x2 – 9) = 90.

Parantezleri açalım

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Benzerini verelim

99'u denklemin sol tarafından sağa taşıyalım, işaretini ters çevirelim

Cevap: Kök yok.

Eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne baktık. Umarım artık bu tür görevlerde herhangi bir zorluk yaşamayacaksınız. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin türünü belirlerken dikkatli olun, o zaman başarılı olursunuz.

Bu konuyla ilgili sorularınız varsa derslerime kaydolun, ortaya çıkan sorunları birlikte çözelim.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.