|
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
İkinci dereceden denklem türleri
İkinci dereceden denklem nedir? Neye benziyor? vadede ikinci dereceden denklem anahtar kelime "kare". Bu şu anlama gelir: denklemde mutlaka bir x kare olmalı. Buna ek olarak, denklem yalnızca X'i (birinci kuvvete göre) ve yalnızca bir sayıyı içerebilir (ya da içermeyebilir!) (ücretsiz üye). Ve ikiden büyük bir kuvvetin X'i olmamalıdır.
Matematiksel açıdan ikinci dereceden bir denklem, şu formdaki bir denklemdir:
Burada a, b ve c- bazı sayılar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ancak A– sıfırdan başka herhangi bir şey. Örneğin:
Burada A =1; B = 3; C = -4
Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2
Burada A =-3; B = 6; C = -18
Peki, anlıyorsun...
Soldaki bu ikinci dereceden denklemlerde komple setüyeler. Katsayılı X'in karesi A, x üzeri katsayılı birinci kuvvet B Ve ücretsiz üye
Bu tür ikinci dereceden denklemlere denir tam dolu.
Farzedelim B= 0, ne elde ederiz? Sahibiz X birinci dereceye kadar kaybolacak. Bu, sıfırla çarpıldığında meydana gelir.) Örneğin şu şekilde ortaya çıkıyor:
5x2 -25 = 0,
2x2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Vesaire. Ve eğer her iki katsayı da B Ve C sıfıra eşitse, o zaman daha da basittir:
2x2 =0,
-0,3x2 =0
Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen x karenin tüm denklemlerde mevcut olduğunu unutmayın.
Bu arada neden A sıfıra eşit olamaz mı? Ve onun yerine sen değiştiriyorsun A sıfır.) X karemiz kaybolacak! Denklem doğrusal hale gelecektir. Ve çözüm tamamen farklı...
İkinci dereceden denklemlerin tüm ana türleri bunlardır. Tam ve eksik.
İkinci dereceden denklemlerin çözümü.
Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.
İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada verilen denklemi standart bir forma getirmek gerekir; forma:
Eğer denklem size zaten bu formda verilmişse, ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur.) Önemli olan tüm katsayıları doğru belirlemek, A, B Ve C. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şuna benzer:
Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı. Ama onun hakkında daha fazla bilgiyi aşağıda bulabilirsiniz. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c.
Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Bu formüle göre hesaplıyoruz. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle!
Örneğin denklemde:
A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:
Örnek neredeyse çözüldü:
Cevap bu.
Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!
Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:
Burada A = -6;
B = -5;
C = -1
Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.
Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak ve hata sayısını yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:
Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine ortaya çıkacak. Özellikle kullanıyorsanız pratik teknikler
Aşağıda açıklananlar. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!
Ancak ikinci dereceden denklemler sıklıkla biraz farklı görünür. Örneğin şöyle: Tanıdın mı?) Evet! Bu.
tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. a, b ve c.
Genel bir formül kullanılarak da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0
! İşte bu. Bunun yerine formüle sıfır yazın C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !
Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlk tamamlanmamış denklemi ele alalım. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.
Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x 1 = 0, x 2 = 4.
Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, genel formülü kullanmaktan çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in birinci, hangisinin ikinci olacağını kesinlikle kayıtsız bırakmama izin verin. Sırayla yazmakta fayda var x 1- daha küçük olan ve x 2- hangisi daha büyükse.
İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:
Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:
Ayrıca iki kök .
x1 = -3, x 2 = 3.
Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da basit transfer sayıları sağa doğru çevirin ve ardından kökü çıkarın.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...
Ayrımcı. Diskriminant formülü.
Sihirli kelime ayrımcı
! Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) Çözüm için en genel formülü hatırlatıyorum. herhangi ikinci dereceden denklemler:
Kök işaretinin altındaki ifadeye diskriminant denir. Tipik olarak ayrımcı harfle gösterilir D. Diskriminant formülü:
D = b 2 - 4ac
Peki bu ifadede bu kadar dikkat çekici olan ne? Neden özel bir ismi hak etti? Ne diskriminantın anlamı? Nihayet -B, veya 2a bu formülde ona özel olarak hiçbir şey demiyorlar... Harfler ve harfler.
İşte olay şu. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken mümkündür sadece üç vaka.
1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.
2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz olacak. Payda sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak basitleştirilmiş bir versiyonda, hakkında konuşmak gelenekseldir. tek çözüm.
3. Diskriminant negatiftir.İtibaren negatif sayı karekök alınmaz. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.
Dürüst olmak gerekirse, ne zaman basit çözümİkinci dereceden denklemlerde diskriminant kavramı özellikle gerekli değildir. Katsayıların değerlerini formülde yerine koyarız ve sayarız. Orada her şey kendi kendine oluyor, iki kök, bir ve yok. Ancak daha karmaşık görevleri bilgi olmadan çözerken diskriminantın anlamı ve formülü geçinemiyorum. Özellikle parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı için akrobasi niteliğindedir!)
Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığın ayrımcı aracılığıyla. Veya öğrendiniz ki bu da fena değil.) Nasıl doğru bir şekilde belirleyeceğinizi biliyorsunuz a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anlıyorsunuz: dikkatle mi?
Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...
İlk randevu
. İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:
Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:
Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:
Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin.
Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.
Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla
. Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde hata yaptığınız anlamına gelir. Hatayı arayın.
İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt
aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Tüm daha az hata irade.
Üçüncü resepsiyon
. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi şununla çarpın: ortak payda, "Denklemler nasıl çözülür? Özdeş dönüşümler" dersinde açıklandığı gibi. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...
Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.
Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:
İşte bu! Çözmek bir zevktir!
O halde konuyu özetleyelim.
Pratik tavsiyeler:
1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.
2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.
3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.
4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!
Artık karar verebiliriz.)
Denklemleri çözün:
8x2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Cevaplar (karışıklık içinde):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x2 = -0,5
x - herhangi bir sayı
x1 = -3
x 2 = 3
çözüm yok
x 1 = 0,25
x2 = 0,5
Her şey uyuyor mu? Harika! İkinci dereceden denklemler başınızı ağrıtmaz. İlk üçü işe yaradı ama geri kalanı işe yaramadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değil. Sorun denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir göz atın, işinize yarar.
Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç işe yaramıyor mu? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır. Tüm bu örnekler burada ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Gösterilen anaÇözümdeki hatalar. Elbette çeşitli denklemlerin çözümünde aynı dönüşümlerin kullanılmasından da bahsediyoruz. Çok yardımcı oluyor!
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
|
5x(x-4) = 0
5 x = 0 veya x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Birinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendikten sonra, elbette başkalarıyla, özellikle ikinci dereceden denklemlerle, aksi takdirde ikinci dereceden olarak adlandırılanlarla çalışmak istersiniz.
İkinci dereceden denklemler ax² + bx + c = 0 gibi değişkenin x olduğu, sayıların a, b, c olduğu, a'nın sıfıra eşit olmadığı denklemlerdir.
İkinci dereceden bir denklemde katsayılardan biri veya diğeri (c veya b) sıfıra eşitse, bu denklem tamamlanmamış ikinci dereceden denklem olarak sınıflandırılacaktır.
Öğrenciler şimdiye kadar yalnızca birinci dereceden denklemleri çözebilmişse, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri düşünün farklı türler ve bunları çözmenin basit yolları.
a) Eğer c katsayısı 0'a eşitse ve b katsayısı sıfıra eşit değilse, ax ² + bx + 0 = 0, ax ² + bx = 0 formundaki bir denkleme indirgenir.
Böyle bir denklemi çözmek için, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözme formülünü bilmeniz gerekir: sol tarafçarpanlara ayırın ve daha sonra ürünün sıfıra eşit olması koşulunu kullanın.
Örneğin, 5x² - 20x = 0. Alışılagelmiş işlemleri yaparken denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırıyoruz. matematiksel işlem: toplam faktörün parantez dışına çıkarılması
5x(x-4) = 0
Çarpımların sıfıra eşit olması koşulunu kullanıyoruz.
5 x = 0 veya x - 4 = 0
Cevap şu olacaktır: ilk kök 0'dır; ikinci kök 4'tür.
b) Eğer b = 0 ve serbest terim sıfıra eşit değilse, ax ² + 0x + c = 0 denklemi ax ² + c = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Denklemler iki şekilde çözülür. : a) Denklemin sol tarafındaki polinomunu çarpanlara ayırarak; b) aritmetiğin özelliklerini kullanmak karekök. Böyle bir denklem aşağıdaki yöntemlerden biri kullanılarak çözülebilir:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Cevap şu olacak: ilk kök 5/2; ikinci kök - 5/2'ye eşittir.
c) Eğer b 0'a ve c 0'a eşitse, ax ² + 0 + 0 = 0, ax ² = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Böyle bir denklemde x, 0'a eşit olacaktır.
Gördüğünüz gibi, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin ikiden fazla kökü olamaz.
İkinci dereceden denklemler genellikle fizik ve matematikteki çeşitli problemleri çözerken ortaya çıkar. Bu yazımızda bu eşitliklerin evrensel bir şekilde “ayrımcı yoluyla” nasıl çözülebileceğine bakacağız. Makalede edinilen bilgilerin kullanımına ilişkin örnekler de verilmektedir.
Hangi denklemlerden bahsedeceğiz?
Aşağıdaki şekilde x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ve Latince a, b, c sembollerinin bilinen bazı sayıları temsil ettiği bir formül gösterilmektedir.
Bu sembollerin her birine katsayı denir. Gördüğünüz gibi "a" sayısı x kare değişkeninin önünde görünüyor. Bu, temsil edilen ifadenin maksimum kuvvetidir, bu nedenle buna ikinci dereceden denklem denir. Diğer adı sıklıkla kullanılır: ikinci dereceden denklem. a değerinin kendisi bir kare katsayıdır (değişkenin karesi ile birlikte), b doğrusal bir katsayıdır (birinci kuvvete yükseltilen değişkenin yanındadır) ve son olarak c sayısı serbest terimdir.
Yukarıdaki şekilde gösterilen denklem türünün genel bir klasik ikinci dereceden ifade olduğuna dikkat edin. Buna ek olarak b ve c katsayılarının sıfır olabileceği başka ikinci dereceden denklemler de vardır.
Görev, söz konusu eşitliği çözmek için belirlendiğinde, bu, x değişkeninin onu tatmin edecek değerlerinin bulunması gerektiği anlamına gelir. Burada hatırlamanız gereken ilk şey şudur: X'in maksimum kuvveti 2 olduğundan bu tür ifadelerin 2'den fazla çözümü olamaz. Bu, bir denklemi çözerken onu karşılayan 2 x değeri bulunursa, o zaman x'in yerine geçen 3. sayının olmadığından emin olabileceğiniz anlamına gelir, eşitlik de doğru olacaktır. Matematikte bir denklemin çözümlerine kökleri denir.
İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri
Bu tür denklemleri çözmek, onlar hakkında bazı teorilerin bilinmesini gerektirir. İÇİNDE okul kursu cebirler 4'ü dikkate alır çeşitli yöntemlerçözümler. Bunları listeleyelim:
- çarpanlara ayırma kullanarak;
- tam kare formülünü kullanarak;
- karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini uygulayarak;
- diskriminant denklemini kullanarak.
İlk yöntemin avantajı basitliğidir ancak tüm denklemler için kullanılamaz. İkinci yöntem evrenseldir, ancak biraz hantaldır. Üçüncü yöntem, açıklığıyla ayırt edilir, ancak her zaman uygun ve uygulanabilir değildir. Ve son olarak, diskriminant denklemini kullanmak, herhangi bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmanın evrensel ve oldukça basit bir yoludur. Bu nedenle bu yazıda sadece onu ele alacağız.
Denklemin köklerini elde etmek için formül
Hadi dönelim genel görünüş ikinci dereceden denklem. Bunu yazalım: a*x²+ b*x + c =0. “Ayrımcı yoluyla” çözme yöntemini kullanmadan önce eşitliği her zaman yazılı şekline getirmelisiniz. Yani üç terimden oluşmalıdır (ya da b veya c 0 ise daha az).
Örneğin, eğer bir ifade varsa: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², o zaman önce tüm terimlerini eşitliğin bir tarafına taşımalı ve x değişkenini içeren terimleri aynı güçler.
İÇİNDE bu durumda bu işlem şu ifadeye yol açacaktır: -6*x²-4*x+8=0, bu da 6*x²+4*x-8=0 denklemine eşdeğerdir (burada denklemin sol ve sağ taraflarını çarptık) -1 ile eşitlik).
Yukarıdaki örnekte a = 6, b=4, c=-8. Söz konusu eşitliğin tüm terimlerinin her zaman birlikte toplandığına dikkat edin; dolayısıyla "-" işareti görünürse, bu, karşılık gelen katsayının, bu durumda c sayısı gibi, negatif olduğu anlamına gelir.
Bu noktayı inceledikten sonra şimdi ikinci dereceden bir denklemin köklerini elde etmeyi mümkün kılan formülün kendisine geçelim. Aşağıdaki fotoğrafta gösterilene benziyor.
Bu ifadeden de anlaşılacağı üzere iki kök almanızı sağlar (“±” işaretine dikkat edin). Bunu yapmak için b, c ve a katsayılarını yerine koymak yeterlidir.
Ayrımcı kavramı
Önceki paragrafta herhangi bir ikinci dereceden denklemi hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanıyan bir formül verildi. Burada radikal ifadeye diskriminant denir, yani D = b²-4*a*c.
Formülün bu kısmı neden vurgulanıyor ve hatta özel isim? Gerçek şu ki, diskriminant denklemin üç katsayısını da tek bir ifadede birleştiriyor. İkinci gerçek, kökler hakkında aşağıdaki listede ifade edilebilecek bilgileri tamamen taşıdığı anlamına gelir:
- D>0: Eşitliğin her ikisi de reel sayı olan 2 farklı çözümü vardır.
- D=0: Denklemin tek kökü vardır ve bu bir reel sayıdır.
Ayırt edici belirleme görevi
Diskriminantın nasıl bulunacağına dair basit bir örnek verelim. Şu eşitlik verilsin: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Bunu standart forma getirelim, şunu elde ederiz: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, buradan eşitliğe geliyoruz : -2*x² +2*x-11 = 0. Burada a=-2, b=2, c=-11.
Artık diskriminant için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ortaya çıkan sayı görevin cevabıdır. Örnekte diskriminant olduğundan sıfırdan az O zaman bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmadığını söyleyebiliriz. Çözümü yalnızca karmaşık türdeki sayılar olacaktır.
Bir ayrımcı yoluyla eşitsizliğe bir örnek
Biraz farklı türdeki problemleri çözelim: -3*x²-6*x+c = 0 eşitliği göz önüne alındığında. D>0 olan c değerlerini bulmak gerekir.
Bu durumda 3 katsayıdan sadece 2'si bilindiğinden diskriminantın kesin değerini hesaplamak mümkün değildir ancak pozitif olduğu bilinmektedir. Eşitsizliği oluştururken son gerçeği kullanıyoruz: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Ortaya çıkan eşitsizliğin çözülmesi şu sonuca yol açar: c>-3.
Ortaya çıkan sayıyı kontrol edelim. Bunu yapmak için 2 durum için D'yi hesaplıyoruz: c=-2 ve c=-4. -2 sayısı elde edilen sonucu (-2>-3) karşılıyorsa, karşılık gelen diskriminant değeri: D = 12>0 olacaktır. Buna karşılık -4 sayısı eşitsizliği (-4) sağlamaz. Dolayısıyla -3'ten büyük olan herhangi bir c sayısı koşulu karşılayacaktır.
Bir denklem çözme örneği
Sadece diskriminantı bulmayı değil aynı zamanda denklemi çözmeyi de içeren bir problem sunalım. -2*x²+7-9*x = 0 eşitliğinin köklerini bulmak gerekir.
Bu örnekte diskriminant sonraki değer: D = 81-4*(-2)*7= 137. O zaman denklemin kökleri şu şekilde belirlenecektir: x = (9±√137)/(-4). Bunlar köklerin tam değerleridir; kökü yaklaşık olarak hesaplarsanız şu sayıları elde edersiniz: x = -5,176 ve x = 0,676.
Geometrik problem
Sadece diskriminant hesaplama becerisini değil aynı zamanda soyut düşünme becerilerini ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl yazılacağına dair bilgiyi kullanmayı gerektiren bir problemi çözelim.
Bob'un 5 x 4 metrelik bir yorganı vardı. Çocuk kesintisiz bir şerit dikmek istedi. güzel kumaş. Bob'un 10 m² kumaşa sahip olduğunu bilirsek bu şerit ne kadar kalın olur?
Şeridin kalınlığı x m olsun, o zaman kumaşın alanı uzun kenar battaniye (5+2*x)*x olacaktır ve 2 uzun kenar olduğundan elimizde: 2*x*(5+2*x) olur. Kısa tarafta dikilen kumaşın alanı 4*x olacaktır, bu kenarlardan 2 adet olduğu için 8*x değerini elde ederiz. Battaniyenin uzunluğu bir o kadar arttığı için uzun tarafa 2*x değerinin eklendiğini unutmayın. Battaniyeye dikilen kumaşın toplam alanı 10 m²'dir. Dolayısıyla şu eşitliği elde ederiz: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Bu örnek için diskriminant şuna eşittir: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Kökü 22'dir. Formülü kullanarak gerekli kökleri buluruz: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Açıkçası iki kökten sadece 0,5 sayısı problemin koşullarına göre uygundur.
Böylece Bob'un battaniyesine diktiği kumaş şeridinin genişliği 50 cm olacaktır.
Tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem, faktörlerinin veya serbest teriminin sıfıra eşit olması nedeniyle klasik (tam) denklemlerden farklıdır. Bu tür fonksiyonların grafikleri parabollerdir. Genel görünümlerine göre 3 gruba ayrılırlar. Tüm denklem türlerinin çözüm ilkeleri aynıdır.
Tamamlanmamış bir polinomun tipini belirlemede karmaşık bir şey yoktur. Görsel örnekleri kullanarak temel farklılıkları dikkate almak en iyisidir:
- Eğer b = 0 ise denklem ax 2 + c = 0 olur.
- Eğer c = 0 ise ax 2 + bx = 0 ifadesinin çözülmesi gerekir.
- Eğer b = 0 ve c = 0 ise polinom ax 2 = 0 gibi bir eşitliğe dönüşür.
İkinci durum daha çok teorik bir olasılıktır ve ifadedeki x değişkeninin tek doğru değeri sıfır olduğundan bilgi testi görevlerinde asla gerçekleşmez. Gelecekte, 1) ve 2) tipindeki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri ve örnekleri ele alınacaktır.
Değişkenleri ve örnekleri çözümlerle aramak için genel algoritma
Denklemin türüne bakılmaksızın çözüm algoritması aşağıdaki adımlara indirgenir:
- İfadeyi kökleri bulmaya uygun bir forma indirgeyin.
- Hesaplamalar yapın.
- Cevabı yazın.
Eksik denklemleri çözmenin en kolay yolu sol tarafı çarpanlarına ayırmak ve sağ tarafa sıfır bırakmaktır. Böylece, kökleri bulmaya yönelik tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin formülü, her bir faktör için x'in değerinin hesaplanmasına indirgenir.
Bunu ancak pratikte nasıl çözeceğinizi öğrenebilirsiniz, o yüzden düşünelim somut örnek Tamamlanmamış bir denklemin köklerini bulma:
Gördüğünüz gibi bu durumda b = 0. Sol tarafı çarpanlarına ayıralım ve ifadeyi elde edelim:
4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Açıkçası, faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir. x1 = 0,5 ve (veya) x2 = -0,5 değişkeninin değerleri de benzer gereksinimleri karşılamaktadır.
Ayrıştırma göreviyle kolay ve hızlı bir şekilde baş edebilmek için ikinci dereceden üç terimli faktörlere ayırırken aşağıdaki formülü unutmayın:
İfadede serbest terim yoksa sorun büyük ölçüde basitleşir. Sadece ortak paydayı bulup parantez içine almanız yeterli olacaktır. Açıklık sağlamak için ax2 + bx = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine ilişkin bir örneği düşünün.
X değişkenini parantezlerden çıkaralım ve aşağıdaki ifadeyi elde edelim:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Mantık rehberliğinde x1 = 0 ve x2 = -3 olduğu sonucuna varıyoruz.
Geleneksel çözüm yöntemi ve tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler
Diskriminant formülünü uygularsanız ve katsayıları sıfıra eşit olan bir polinomun köklerini bulmaya çalışırsanız ne olur? Koleksiyondan bir örnek alalım tipik görevler Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2017 için bunu standart formüller ve çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözeceğiz.
7x2 – 3x = 0.
Diskriminant değerini hesaplayalım: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Polinomun iki kökü olduğu ortaya çıktı:
Şimdi denklemi çarpanlara ayırarak çözelim ve sonuçları karşılaştıralım.
X ⋅ (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Gördüğünüz gibi her iki yöntem de aynı sonucu veriyor ancak denklemi ikinci yöntemle çözmek çok daha kolay ve hızlıydı.
Vieta'nın teoremi
Peki Vieta'nın favori teoremiyle ne yapmalı? Trinomial eksik olduğunda bu yöntem kullanılabilir mi? Oyuncu seçiminin yönlerini anlamaya çalışalım tam denklemlerİle klasik görünüm ax2 + bx + c = 0.
Aslında bu durumda Vieta teoremini uygulamak mümkündür. Eksik terimleri sıfırla değiştirerek ifadeyi genel biçimine getirmek yeterlidir.
Örneğin b = 0 ve a = 1 iken, karışıklık olasılığını ortadan kaldırmak için görev ax2 + 0 + c = 0 şeklinde yazılmalıdır. Daha sonra köklerin toplamı ve çarpımı oranı ve Polinomun faktörleri şu şekilde ifade edilebilir:
Teorik hesaplamalar konunun özünü tanımaya yardımcı olur ve çözerken her zaman pratik beceriler gerektirir. belirli görevler. Birleşik Devlet Sınavı için standart görevlerin referans kitabına tekrar dönelim ve uygun bir örnek bulalım:
İfadeyi Vieta teoremini uygulamaya uygun bir biçimde yazalım:
x 2 + 0 – 16 = 0.
Bir sonraki adım bir koşullar sistemi oluşturmaktır:
Açıkçası, ikinci dereceden polinomun kökleri x 1 = 4 ve x 2 = -4 olacaktır.
Şimdi denklemi genel formuna getirmeye çalışalım. Şu örneği ele alalım: 1/4× x 2 – 1 = 0
Vieta teoremini bir ifadeye uygulayabilmek için kesirden kurtulmak gerekir. Sol ve sağ tarafları 4 ile çarpalım ve sonuca bakalım: x2– 4 = 0. Ortaya çıkan eşitlik Vieta teoremi ile çözülmeye hazır, ancak c = hareketiyle cevaba ulaşmak çok daha kolay ve hızlı. Denklemin sağ tarafına 4: x2 = 4.
Özetlemek gerekirse şunu söylemek gerekir. en iyi yolçözümler tamamlanmamış denklemlerçarpanlara ayırmadır, en basitidir ve hızlı yöntem. Kök arama sürecinde zorluklar ortaya çıkarsa iletişime geçebilirsiniz. geleneksel yöntem Bir diskriminant aracılığıyla köklerin bulunması.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller. Gerçek, çoklu ve karmaşık kök durumları dikkate alınır. İkinci dereceden bir trinomialın çarpanlara ayrılması. Geometrik yorumlama. Kök belirleme ve çarpanlara ayırma örnekleri.
Temel formüller
İkinci dereceden denklemi düşünün:
(1)
.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
;
.
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci dereceden bir polinom, faktörlerin (çarpanlarına alınmış) bir ürünü olarak temsil edilebilir:
.
Daha sonra bunların gerçek sayılar olduğunu varsayacağız.
düşünelim ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı:
.
Diskriminant pozitifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki farklı gerçek kökü vardır:
;
.
O zaman ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
Diskriminant sıfıra eşitse, ikinci dereceden denklemin (1) iki çoklu (eşit) gerçek kökü vardır:
.
Faktorizasyon:
.
Diskriminant negatifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki karmaşık eşlenik kökü vardır:
;
.
İşte sanal birim;
ve köklerin gerçek ve sanal kısımları:
;
.
Daha sonra
.
Grafik yorumlama
Eğer inşa edersen bir fonksiyonun grafiği
,
bu bir parabol ise, grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
noktasında grafik x eksenini (ekseni) iki noktada keser.
Grafik x eksenine bir noktada dokunduğunda.
Grafik x eksenini kesmediğinde.
Aşağıda bu tür grafiklerin örnekleri verilmiştir.
İkinci dereceden denklemle ilgili faydalı formüller
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi
Dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve (f.1) ve (f.3) formüllerini uyguluyoruz:
,
Nerede
;
.
Böylece ikinci dereceden bir polinomun formülünü şu şekilde elde ettik:
.
Bu, denklemin
gerçekleştirilen
Ve .
Yani ve ikinci dereceden denklemin kökleridir
.
İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri
Örnek 1
(1.1)
.
Çözüm
.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.
Buradan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.
y = fonksiyonunun grafiği 2 x 2 + 7 x + 3 x eksenini iki noktada keser.
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenini (ekseni) iki noktada keser:
Ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.
Cevap
;
;
.
Örnek 2
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1)
.
Çözüm
İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazalım:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant sıfır olduğundan denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.
O halde trinomiyalin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
y = x fonksiyonunun grafiği 2 - 4 x + 4 x eksenine bir noktada dokunuyor.
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenine (ekseni) bir noktada dokunuyor:
.
Bu nokta orijinal denklemin (2.1) köküdür. Bu kök iki kez çarpanlara ayrıldığından:
,
o zaman böyle bir köke genellikle kat denir. Yani iki eşit kök olduğuna inanıyorlar:
.
Cevap
;
.
Örnek 3
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1)
.
Çözüm
İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazalım:
(1)
.
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazalım:
.
(1) ile karşılaştırarak katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant negatiftir.
Bu nedenle gerçek kökler yoktur.
;
;
.
Karmaşık kökleri bulabilirsiniz:
.
Daha sonra
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Fonksiyonun grafiği x eksenini kesmez. Gerçek kökler yoktur.
Cevap
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenini (ekseni) kesmez. Bu nedenle gerçek kökler yoktur.
;
;
.
