Dans cet article, nous examinerons une telle action en tant que fractions décimales multipliées. Commençons par le libellé des principes généraux, puis nous montrons comment multiplier une fraction décimale à une autre et envisager la méthode de multiplication par la colonne. Toutes les définitions seront illustrées par des exemples. Ensuite, nous analyserons comment multiplier correctement les fractions décimales sur l'ordinaire, ainsi que sur des nombres mixtes et naturels (y compris 100, 10, etc.).

Dans le cadre de ce matériau, nous ne toucherons que les règles de multiplication de fractions positives. Les cas ayant un désassemblage négatif séparément dans des articles sur la multiplication des nombres rationnels et valides.

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Formuler principes générauxqui doit être adhéré lors de la résolution des problèmes de multiplication des fractions décimales.

Rappelez-vous à commencer par cette fraction décimale ne constitue qu'une forme particulière de l'enregistrement des fractions ordinaires, par conséquent, le processus de leur multiplication peut être réduit à la même manière que les fractions ordinaires. Cette règle fonctionne également pour les fractions ultimes et sans fin: après leur transfert à l'ordinaire avec eux, il est facile d'effectuer une multiplication des règles déjà étudiée par nous.

Voyons comment ces tâches sont résolues.

Exemple 1.

Calculez le travail 1, 5 et 0, 75.

Solution: Pour commencer, remplacez les fractions décimales à l'ordinaire. Nous savons que 0, 75 est 75/100 et 1, 5 est 15 10. Nous pouvons réduire la fraction et produire la partie entière. Le résultat résultant de 125 1000 écrirons comme 1, 125.

Répondre: 1 , 125 .

Nous pouvons utiliser une méthode de comptage de colonnes comme pour les nombres naturels.

Exemple 2.

Multiplier une fraction périodique 0, (3) à une autre 2, (36).

Pour commencer, nous présentons les fractions originales à l'ordinaire. Nous aurons:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Par conséquent, 0, (3) · 2, (36) \u003d 1 3 · 26 11 \u003d 26 33.

Obtenu à la fin fraction ordinaire Vous pouvez conduire à une forme décimale en divisant le numérateur vers le dénominateur dans la colonne:

Répondre: 0, (3) · 2, (36) \u003d 0, (78).

Si nous avons des fractions non périodiques infinies dans la condition du problème, vous devez effectuer leur arrondi préliminaire (voir l'article sur les numéros d'arrondi si vous avez oublié comment cela se fait). Après cela, il est possible d'effectuer une multiplication avec des fractions décimales déjà arrondies. Donnons un exemple.

Exemple 3.

Calculez le travail 5, 382 ... et 0, 2.

Décision

Dans notre tâche, il y a une fraction infinie que vous devez d'abord aller jusqu'au centième. Il s'avère que 5, 382 ... ≈ 5, 38. Le deuxième facteur est arrondi aux centièmes de sens. Maintenant, vous pouvez compter le travail souhaité et écrire la réponse: 5, 38 · 0, 2 \u003d 538 100 · 2 10 \u003d 1 076 1000 \u003d 1, 076.

Répondre: 5, 382 ... · 0, 2 ≈ 1, 076.

La méthode de comptage de la colonne peut être appliquée non seulement pour les nombres naturels. Si nous avons des fractions décimales, nous pouvons les multiplier de la même manière. Nous apportons la règle:

Définition 1.

La multiplication des fractions décimales par la colonne est effectuée en 2 étapes:

1. Nous effectuons une multiplication par une colonne, sans payer les virgules.

2. Nous avons mis le dernier numéro de la virgule décimale, la séparant tant de chiffres sur le côté droit, à quel point les deux facteurs contiennent des signes décimaux. Si le résultat ne suffit pas pour ces chiffres, ajoutez la gauche des zéros.

Nous analyserons des exemples de tels calculs dans la pratique.

Exemple 4.

Multiplier les fractions décimales 63, 37 et 0, 12 colonnes.

Décision

Tout d'abord, vous effectuerez une multiplication de nombres en ignorant les virgules décimales.

Maintenant, nous devons mettre une virgule pour le bon endroit. Il séparera quatre chiffres sur le côté droit, car la somme des signes décimaux dans les deux multiplicateurs est de 4. Déposer les zéros ne doivent pas faire, car Signes assez:

Répondre: 3, 37 · 0, 12 \u003d 7, 6044.

Exemple 5.

Calculez combien il sera 3, 2601 multiplier par 0, 0254.

Décision

Nous considérons sans enregistrer des virgules. Nous obtenons ce qui suit:

Nous mettrons une virgule séparant 8 chiffres sur le côté droit, car les fractions initiales ont ensemble 8 signes après la virgule. Mais dans notre résultat, seuls sept chiffres, et nous ne pouvons pas faire sans zéros supplémentaires:

Répondre: 3, 2601 · 0, 0254 \u003d 0, 08280654.

Comment multiplier la fraction décimale 0,001, 0,01, 01 ,, etc.

La multiplication des fractions décimales sur ces nombres est souvent, il est donc important de pouvoir le faire rapidement et avec précision. Nous écrivons une règle spéciale que nous utiliserons avec une telle multiplication:

Définition 2.

Si nous multiplions la fraction décimale sur 0, 1, 0, 01, etc., il allait donc le nombre similaire à la fraction d'origine, dont la virgule est transférée à gauche le bon montant panneaux. Lorsque cela manque de chiffres pour le transfert, vous devez ajouter des zéros à gauche.

Ainsi, pour la multiplication 45, 34 à 0, 1 doit être transférée dans la fraction décimale d'origine avec un signe de virgule. Nous aboutirons à 4, 534.

Exemple 6.

Multipliez 9, 4 à 0, 0001.

Décision

Nous devrons supporter la virgule pour quatre signes par le nombre de zéros dans le deuxième multiplicateur, mais les chiffres de la première ne suffiront pas à cela. Nous attribuons les zéros nécessaires et nous obtenons que 9, 4 · 0, 0001 \u003d 0, 00094.

Répondre: 0 , 00094 .

Pour les fractions décimales infinies, nous utilisons la même règle. Donc, par exemple, 0, (18) · 0, 01 \u003d 0, 00 (18) ou 94, 938 ... · 0, 1 \u003d 9, 4938 .... et etc.

Le processus de cette multiplication n'est pas un effet différent de la multiplication de deux fractions décimales. Il est pratique d'utiliser la méthode de multiplication dans la colonne, si la fraction décimale ultime vaut la peine de tâche. Dans le même temps, nous devons tenir compte de toutes ces règles sur lesquelles nous avons raconté lors du paragraphe précédent.

Exemple 7.

Calculez combien il sera 15 · 2, 27.

Décision

Multipliez les numéros de source de colonne et séparables deux sezte.

Répondre: 15 · 2, 27 \u003d 34, 05.

Si nous multiplions une fraction décimale périodique sur un nombre naturel, vous devez d'abord modifier la fraction décimale sur l'ordinaire.

Exemple 8.

Calculez le produit 0, (42) et 22.

Donnons une fraction périodique à la forme d'ordinaire.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 · 22 \u003d 14 33 · 22 \u003d 14 · 22 3 \u003d 28 3 \u003d 9 1 3

Le résultat final peut être écrit sous la forme d'une fraction décimale périodique comme 9, (3).

Répondre: 0, (42) · 22 \u003d 9, (3).

Les fractions infinies avant le comptage doivent être pré-arrondies.

Exemple 9.

Calculez combien 4 · 2, 145 ....

Décision

Arrondi aux centièmes de la fraction décimale d'origine infinie. Après cela, nous arriverons à la multiplication d'un nombre naturel et de la fraction décimale ultime:

4 · 2, 145 ... ≈ 4 · 2, 15 \u003d 8, 60.

Répondre: 4 · 2, 145 ... ≈ 8, 60.

Comment multiplier la fraction décimale par 1000, 100, 10, etc.

Multiplier la fraction décimale 10, 100, etc. Il est souvent trouvé dans les tâches, donc nous analyserons ce cas séparément. La règle principale de la multiplication sonne comme ceci:

Définition 3

Pour multiplier la fraction décimale par 1000, 100, 10, etc., vous devez le transférer vers la virgule sur 3, 2, 1 chiffres en fonction du multiplicateur et défaussez la gauche des zéros supplémentaires. Si les chiffres du transfert de la virgule ne suffisent pas, nous ajoutons tant de zéros, combien nous avons besoin.

Montrons sur l'exemple de la façon de le faire.

Exemple 10.

Effectuer la multiplication 100 et 0, 0783.

Décision

Pour ce faire, nous devons vous déplacer dans une fraction décimale avec une virgule sur 2 chiffres sur le côté droit. Nous obtenons à la fin 007, 83 zéros, debout à gauche, peuvent être jetés et enregistrer le résultat comme 7, 38.

Répondre: 0, 0783 · 100 \u003d 7, 83.

Exemple 11.

Multipliez 0, 02 sur 10 mille.

Solution: Nous allons porter la virgule pour quatre chiffres à droite. Dans la fraction décimale originale, nous ne serons pas suffisants pour ces signes. Vous devez donc ajouter des zéros. Dans ce cas, il suffira de trois 0. En conséquence, il s'est avéré 0, 02000, nous déplaçons la virgule et obtenez 00200, 0. Ignorer les zéros à gauche, nous pouvons écrire la réponse à 200.

Répondre: 0, 02 · 10 000 \u003d 200.

La règle donnée par nous travaillera aussi bien que dans le cas des fractions décimales sans fin, mais ici, vous devriez être très attentif à la période de la fraction finale, car il est facile de faire une erreur.

Exemple 12.

Calculez le travail 5, 32 (672) pour 1 000.

Solution: Tout d'abord, nous écrirons une fraction périodique comme 5, 32672672672 ... La probabilité sera donc confondue moins. Après cela, nous pouvons porter la virgule pour le nombre de signes souhaité (pour trois). En conséquence, il s'avère 5326, 726726 ... Nous concluons la période entre parenthèses et écris la réponse comme 5 326, (726).

Répondre: 5, 32 (672) · 1 000 \u003d 5 326, (726).

Si dans les conditions du problème, il existe des fractions non périodiques sans fin, qui doivent être multipliées par dix, cent mille, etc., n'oubliez pas de les arrondir avant de multiplier.

Pour multiplier ce type, vous devez soumettre une fraction décimale sous la forme d'un ordinaire et continuer à agir sur les règles déjà familières.

Exemple 13.

Multiplier 0, 4 à 3 5 6

Décision

Au début, nous transférerons la fraction décimale dans l'ordinaire. Nous avons: 0, 4 \u003d 4 10 \u003d 2 5.

Nous avons reçu une réponse sous la forme d'un nombre mixte. Vous pouvez l'écrire comme une fraction périodique 1, 5 (3).

Répondre: 1 , 5 (3) .

Si une fraction non périodique infinie est impliquée dans le calcul, il est nécessaire de l'arrondir à des chiffres, puis de multiplier.

Exemple 14.

Calculez le travail 3, 5678. . . · 2 3.

Décision

Nous pouvons imaginer le deuxième facteur que 2 3 \u003d 0, 6666 .... Ensuite, arrondi au millième déchargement des deux facteurs. Après cela, nous devons calculer le produit des deux fractions décimales finies 3, 568 et 0, 667. Calculez la colonne et obtenez la réponse:

Le résultat final devrait être arrondi à des milliers de piquets, car il est avant cette sortie, nous avons arrondi les chiffres initiaux. Nous obtenons ce 2, 379856 ≈ 2, 380.

Répondre: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380

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Pour comprendre comment multiplier les fractions décimales, envisagez des exemples spécifiques.

La règle de multiplication des fractions décimales

1) Multipliez, ne prêtant pas attention à la virgule.

2) En conséquence, nous séparons après les points-virgules autant de chiffres que possible après les virgules des multiplicateurs ensemble.

Exemples.

Trouver un produit de fractions décimales:

Multiplier les fractions décimales, multiplier, ne prêtant pas attention aux virgules. C'est-à-dire que nous ne nous multiplions pas 6.8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous nous séparons après les semi-fils autant de chiffres que ceux après les virgules des deux facteurs. Dans la première usine après les points-virgules, une figure, dans la seconde, est également seule. Au total, nous séparons les deux chiffres après la virgule. Dans la voie, la réponse finale a été obtenue: 6,8 ∙ 3,4 \u003d 23.12.

Nous multiplions des fractions décimales, sans prendre en compte la virgule. En fait, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplierons 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, il est nécessaire de séparer les points-virgules autant de chiffres que dans les deux multiplicateurs. Dans le premier nombre après la virgule, deux chiffres, dans le second. Total, séparant les semi-sols trois chiffres. Depuis à la fin de l'enregistrement après la virgule, il y a zéro, en réponse, nous ne l'écrivons pas: 36.85 ∙ 1,4 \u003d 51.59.

Pour multiplier ces fractions décimales, multiplier les nombres, ne prêtant pas attention aux virgules. C'est-à-dire que nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, il est nécessaire de séparer quatre chiffres après la virgule - autant qu'ils sont dans les deux multiplicateurs ensemble (dans chacun - deux). Réponse ultime: 23,15 ∙ 0,07 \u003d 1 6205.

La multiplication de la fraction décimale sur le nombre naturel est réalisée de la même manière. Nous multiplions les chiffres, qui ne prêtaient pas attention à la virgule, c'est-à-dire 75 multiplier sur 16. En conséquence, résultant après la virgule, il devrait y avoir autant de signes que dans les deux multipliers ensemble - un. Ainsi, 75 ∙ 1,6 \u003d 120.0 \u003d 120.

La multiplication des fractions décimales commence par le fait que nous multiplions des nombres naturels, car ils ne font pas attention aux virgules. Après cela, nous nous séparons après les semi-collées autant de chiffres que dans les deux multipliers ensemble. Dans le premier nombre après la virgule, deux signes, dans la seconde - également deux. Total, à la suite de la virgule, quatre chiffres devraient supporter: 4,72 ∙ 5.04 \u003d 23 7888.

Allez à l'étude de l'action suivante avec des fractions décimales, nous considérons maintenant de manière exhaustive multiplier des fractions décimales. Premièrement, nous discuterons des principes généraux de la multiplication des fractions décimales. Après cela, nous nous tournons vers la multiplication de la fraction décimale pour une fraction décimale, nous montrerons comment la multiplication des fractions décimales est effectuée, envisagez de résoudre des exemples. Ensuite, nous analyserons la multiplication des fractions décimales sur les nombres naturels, notamment 10, 100, etc. En conclusion, parlons de multiplication des fractions décimales sur les fractions ordinaires et les nombres mixtes.

Immédiatement, disons que dans cet article, nous ne parlerons que de multiplier des fractions décimales positives (voir nombre positif et négatif). Les cas restants sont désassemblés dans la multiplication des articles de nombres rationnels et multiplier des nombres valides.

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Principes généraux de la multiplication des fractions décimales

Discutons des principes généraux qui devraient être adhérents à la multiplication avec des fractions décimales.

Étant donné que les fractions décimales finales et les fractions périodiques sans fin sont une forme décimale d'enregistrement des fractions ordinaires, la multiplication de telles fractions décimales multiplie essentiellement des fractions ordinaires. Autrement dit, multiplier des fractions décimales finies, multiplier des fractions décimales finies et périodiques, aussi bien que multiplication des fractions décimales périodiques Cela revient à la multiplication des fractions ordinaires après la traduction des fractions décimales en ordinaire.

Pensez à des exemples de l'application du principe de la multiplication exprimé des fractions décimales.

Exemple.

Effectuer la multiplication des fractions décimales 1.5 et 0,75.

Décision.

Remplacez les fractions décimales multiples avec des fractions ordinaires appropriées. Depuis 1.5 \u003d 15/10 et 0,75 \u003d 75/100, alors. Il est possible de réduire la fraction, après quoi il est possible de séparer toute la partie de la fraction incorrecte et qu'il est plus pratique d'enregistrer la fraction ordinaire résultante 1 125/1 000 sous la forme d'une fraction décimale 1 125.

Répondre:

1.5 · 0,75 \u003d 1 125.

Il convient de noter que les fractions décimales finales sont facilement multipliées par la scène, nous allons parler de cette méthode de multiplication des fractions décimales.

Considérons un exemple de multiplication des fractions décimales périodiques périodiques.

Exemple.

Calculez le produit des fractions décimales périodiques 0, (3) et 2, (36).

Décision.

Effectuer la traduction de fractions décimales périodiques dans des fractions ordinaires:

Puis. Vous pouvez obtenir une fraction ordinaire pour traduire en une fraction décimale:

Répondre:

0, (3) · 2, (36) \u003d 0, (78).

S'il existe des fractions infinies non périodiques entre les fractions multiples décimales, toutes les fractions multipliées, y compris la finition et la périodique, doivent être arrondies à une certaine décharge (voir numéros d'arrondi), Après cela, pour effectuer la multiplication des dernières frisons décimales obtenues après l'arrondi.

Exemple.

Effectuer la multiplication des fractions décimales 5 382 ... et 0,2.

Décision.

Au début, la fraction décimale non périodique infinie, l'arrondi peut être effectué aux centièmes, nous avons 5,382 ... ≈5.38. La fraction décimale finale 0.2 arrondie aux centièmes n'est pas nécessaire. Ainsi, 5,382 ... · 0,25,38 · 0.2. Il reste à calculer le produit des fractions décimales finies: 5.38 · 0,2 \u003d 538/100 · 2/10 \u003d 1 076/1 000 \u003d 1.076.

Répondre:

5.382 ... · 0.2≈1.076.

Multiplier des fractions décimales

La multiplication des fractions décimales finies peut être effectuée par une colonne similaire à la multiplication d'une colonne de nombres naturels.

Formuler la règle de multiplication des fractions décimales de la colonne. Pour multiplier les strabs décimales, il est nécessaire:

• ne prêtant pas attention aux virgules pour effectuer une multiplication par toutes les règles de multiplication de la colonne de nombres naturels;
• dans le nombre résultant, pour séparer les points-virgules décimaux autant de chiffres à droite, combien de signes décimaux dans les deux facteurs, tandis que s'il n'ya pas suffisamment de chiffres dans le travail, la gauche doit être adressée au nombre de zéros souhaité.

Considérons des exemples de multiplication des fractions décimales de la colonne.

Exemple.

Effectuer la multiplication des fractions décimales 63,37 et 0.12.

Décision.

Donnons la multiplication des fractions décimales par la colonne. Premièrement, multipliez les chiffres, sans faire attention aux virgules:

Il reste dans le produit résultant de mettre une virgule. Elle doit séparer 4 chiffres à droite, comme dans les multiplicateurs de quatre signes décimaux (deux fractions 3.37 et deux dans les fractions 0.12). Il y a suffisamment de chiffres là-bas, de sorte que les zéros ne vont pas ajouter à gauche. Nous allons finir le record:

En conséquence, nous avons 3,37 · 0,12 \u003d 7,6044.

Répondre:

3.37 · 0.12 \u003d 7.6044.

Exemple.

Calculez le produit des fractions décimales 3 2601 et 0,0254.

Décision.

Après avoir effectué une multiplication par une colonne à l'exclusion des virgules, nous obtenons la photo suivante:

Maintenant, dans le travail, il est nécessaire de séparer les semi-sols 8 chiffres à droite, car le nombre total de signes décimaux de fractions multipliées est égal à huit. Mais dans le travail seulement 7 chiffres, vous devez donc mettre autant de zéros à gauche afin que vous puissiez séparer les semi-solons 8 chiffres. Dans notre cas, vous devez attribuer deux zéro:

Sur cette multiplication des fractions décimales, la colonne est terminée.

Répondre:

3 2601 · 0.0254 \u003d 0.08280654.

Multiplication des fractions décimales de 0,1, 0,01, etc.

Il faut souvent multiplier des fractions décimales de 0,1, 0,01 et ainsi de suite. Par conséquent, il est conseillé de formuler une règle de multiplication de fraction décimale pour ces chiffres, ce qui découle des principes de la multiplication des fractions décimales discutées ci-dessus.

Donc, multiplication de cette fraction décimale 0,1, 0,01, 0,001 et ainsi de suite Il donne une fraction obtenue à partir de l'original si vous transférez la virgule à gauche à 1, 2, 3 et ainsi de suite, s'il n'a pas suffisamment de chiffres pour transférer le point-virgule, vous devez terminer le nombre requis. des zéros à gauche.

Par exemple, pour multiplier la fraction décimale 54.34 de 0,1, il est nécessaire de transférer la virgule vers la gauche à 1 chiffre pour déplacer la virgule vers la gauche et s'avère le tir de 5 434, c'est-à-dire 54,34 · 0,1. \u003d 5 434. Nous donnons un autre exemple. Multiplier la fraction décimale de 9,3 à 0,0001. Pour ce faire, nous avons besoin d'une fraction décimale multipliée 9.3 pour déplacer la virgule sur 4 chiffres à gauche, mais l'entrée de la fraction 9.3 ne contient pas de tel caractères. Par conséquent, nous devons enregistrer la fraction 9.3 à gauche pour attribuer autant de zéros afin que vous puissiez facilement effectuer un transfert de virgule de 4 chiffres, nous avons 9,3 · 0,0001 \u003d 0,00093.

Notez que la règle annoncée de multiplication de fraction décimale 0,1, 0,01, ... à juste titre pour les fractions décimales infinies. Par exemple, 0, (18) · 0,01 \u003d 0,00 (18) ou 93,938 ... · 0,1 \u003d 9 3938 ....

Multiplication de la fraction décimale sur un nombre naturel

Dans son essence multiplier des fractions décimales sur des nombres naturels Il ne diffère pas de la multiplication de la fraction décimale pour une fraction décimale.

La fraction décimale finale est multipliée par un nombre naturel plus pratique que la colonne, tandis que les règles de multiplication de la fraction décimale, abordées dans l'un des paragraphes précédents.

Exemple.

Calculez le produit 15 · 2.27.

Décision.

Nous allons dépenser la multiplication d'un nombre naturel pour une fraction décimale d'une colonne:

Répondre:

15 · 2.27 \u003d 34.05.

Lors de la multiplication d'une fraction décimale périodique sur un nombre naturel, une fraction périodique doit être remplacée par une fraction ordinaire.

Exemple.

Multiplier la fraction décimale 0, (42) à un nombre naturel 22.

Décision.

Premièrement, nous transférerons une fraction décimale périodique dans une fraction ordinaire:

Maintenant effectuer la multiplication :. Cela résulte de la forme d'une fraction décimale a une forme 9, (3).

Répondre:

0, (42) · 22 \u003d 9, (3).

Et lors de la multiplication d'une décimale infinie non périodique, la fraction sur un nombre naturel doit être arrondie.

Exemple.

Effectuer la multiplication 4 · 2.145 ....

Décision.

En arrondissant au centième la fraction décimale infinie initiale, nous arriverons à la multiplication du nombre naturel et de la fraction décimale finale. Nous avons 4 · 2 145 ... ≈4 · 2.15 \u003d 8.60.

Répondre:

4 · 2 145 ... ≈8.60.

Multiplier la fraction décimale 10, 100, ...

Il faut souvent multiplier des fractions décimales de 10, 100, ... Par conséquent, il est conseillé de rester en détail dans ces cas.

Sonner la règle de multiplication de la fraction décimale 10, 100, 1 000, etc. Lors de la multiplication des fractions décimales 10, 100, ... Dans ses disques, vous devez transférer la virgule vers la droite à 1, 2, 3, ... numéros, respectivement et jetez les zéros supplémentaires à gauche; S'il n'y a pas assez de chiffres dans l'enregistrement d'une fraction de multiplication, vous devez ajouter le nombre requis de zéros à droite.

Exemple.

Multipliez la fraction décimale 0,0783 par 100.

Décision.

Nous transférons dans des enregistrements de la fraction de 0,0783 en deux chiffres à droite, tandis que nous obtenons 007.83. Jetant deux zéro à gauche, nous obtenons une fraction décimale 7.38. Ainsi, 0,0783 · 100 \u003d 7,83.

Répondre:

0,0783 · 100 \u003d 7,83.

Exemple.

Effectuer la multiplication de la fraction décimale de 0,02 à 10 000.

Décision.

Pour multiplier 0,02 de 10 000, nous devons déplacer la virgule à 4 chiffres à droite. Évidemment, dans l'entrée de la fraction de 0,02, il n'ya pas assez de chiffres pour transférer une virgule à 4 chiffres, donc j'ajoute quelques zéros à droite afin que vous puissiez transférer la virgule. Dans notre exemple, il suffit d'ajouter trois rayures, nous avons 0.02000. Après avoir transféré la virgule, nous obtenons l'enregistrement 00200.0. En lançant les zéros à gauche, nous avons un numéro 200.0, ce qui est égal à un nombre naturel 200, c'est le résultat de la multiplication de la fraction décimale de 0,02 à 10 000.

Au cours des écoles intermédiaires et âgés, ont passé le sujet "Frui". Cependant, ce concept est beaucoup plus large que celui du processus d'apprentissage. Aujourd'hui, le concept de fraction est trouvé assez souvent, et tout le monde ne peut pas calculer aucune expression, par exemple, la multiplication des fractions.

Qu'est-ce qu'une fraction?

Donc, historiquement, cela s'est passé que des chiffres fractionnaires sont apparus en raison de la nécessité de mesurer. Comme montre la pratique, il existe souvent des exemples pour déterminer la longueur du segment, le volume du rectangle rectangulaire.

Initialement, les étudiants se familiarisent avec un tel concept en tant que part. Par exemple, si vous fractionnez la pastèque sur 8 parties, chacun obtiendra chaque huitième pastèque. Celui-ci est l'un des huit et s'appelle une fraction.

Une fraction de ½ de toute valeur est appelée la moitié; - tiers; ¼ - trimestre. Les enregistrements du formulaire 5/8, 4/5, 2/4 sont appelés fractions ordinaires. La fraction ordinaire est divisée en numérateur et dénominateur. Entre eux est la caractéristique d'une fraction ou d'un trait fractionné. La caractéristique fractionnée peut être tirée sous forme de ligne horizontale et inclinée. Dans ce cas, il désigne un signe de fission.

Le dénominateur représente la manière dont les mêmes actions sont séparées par la valeur; Et le numérateur est de combien de fractions identiques prises. Le numérateur est écrit au-dessus d'une caractéristique fractionnée, dénominateur - sous elle.

Il est le plus pratique de montrer des fractions ordinaires sur le faisceau de coordonnées. Si un seul segment est divisé en 4 actions égales, désignez chaque action lettre latinaireEn conséquence, vous pouvez obtenir une excellente allocation visuelle. Ainsi, le point A montre une part égale à 1/4 de l'ensemble du segment unitaire et le point B notes 2/8 de ce segment.

Variétés de fractions

Les fruits sont ordinaires, décimaux, ainsi que des nombres mixtes. De plus, la fraction peut être divisée en correct et incorrect. Cette classification est plus adaptée aux fractions ordinaires.

Sous la fraction correcte, le nombre qui a un numérateur moins de dénominateur. En conséquence, la mauvaise fraction est le nombre dont le numérateur est supérieur au dénominateur. La deuxième forme est généralement écrite sous la forme d'un nombre mixte. Une telle expression se compose d'une partie entière et de fraction. Par exemple, 1½. une - partie intégrante, ½ - fractionnaire. Toutefois, si vous devez effectuer des manipulations avec l'expression (division ou multiplication des fractions, leur abréviation ou leur transformation), le nombre mixte est traduit en une mauvaise fraction.

Une expression fractionnaire correcte est toujours inférieure à une unité et incorrecte - plus égale à 1.

En ce qui concerne cette expression, ils comprennent l'enregistrement dans lequel n'importe quel nombre est représenté par le dénominateur de l'expression fractionnée qui peut être exprimé par une unité avec plusieurs zéros. Si la fraction est correcte, la partie entière de l'enregistrement décimal sera nulle.

Pour enregistrer une fraction décimale, vous devez d'abord écrire une partie entière, la séparer de fraction avec une virgule, puis écrivez une expression fractionnaire. Il faut se rappeler qu'après les points-virgules, le numérateur doit contenir autant de caractères numériques que les zéros dans le dénominateur.

Exemple. Fraction actuelle 7 21/1000 dans un enregistrement décimal.

Algorithme pour le transfert de fraction incorrecte dans un nombre mixte et vice versa

Pour enregistrer la tâche en réponse, la mauvaise fraction incorrecte de manière incorrecte, elle doit donc être traduite dans un nombre mixte:

• diviser le numérateur sur le dénominateur existant;
• dans exemple spécifique Incomplet privé - tout;
• et le résidu est le numérateur de la partie fractionnée et le dénominateur reste inchangé.

Exemple. Traduisez la mauvaise fraction en nombre mixte: 47/5.

Décision. 47: 5. Equals privés incomplets 9, le résidu \u003d 2. Donc, 47/5 \u003d 9 2/5.

Parfois, il est nécessaire de présenter un nombre mixte comme une fraction incorrecte. Ensuite, vous devez utiliser l'algorithme suivant:

• la partie entière est multipliée par le dénominateur de l'expression fractionnaire;
• le produit résultant est ajouté au numérateur;
• le résultat est écrit dans un numérateur, le dénominateur reste inchangé.

Exemple. Présentez une forme mixte comme une fraction incorrecte: 9 8/10.

Décision. 9 x 10 + 8 \u003d 90 + 8 \u003d 98 - Numérateur.

Répondre: 98 / 10.

Multiplication des fractions ordinaires

Sur les fractions ordinaires, diverses opérations algébriques peuvent être effectuées. Pour multiplier deux nombres, vous devez multiplier le numérateur avec un numérateur et le dénominateur avec le dénominateur. De plus, la multiplication des fractions avec différents dénominateurs est différente de celle du travail. nombres fractionnaires avec les mêmes dénominateurs.

Il arrive qu'après avoir trouvé le résultat, vous devez réduire la fraction. En obligatoire, vous devez simplifier l'expression résultante. Bien sûr, il est impossible de dire que la mauvaise fraction de la réponse est une erreur, mais aussi de l'appeler la bonne réponse est également difficile.

Exemple. Trouvez un produit de deux fractions ordinaires: ½ et 20/18.

Comme on peut le voir à partir de l'exemple, après avoir trouvé le travail, il a révélé une entrée fractionnelle réduite. Et le numérateur, et le dénominateur dans ce cas est divisé en 4, et le résultat est la réponse 5/9.

Multiplication des fractions décimales

Le produit des fractions décimales est assez différent de l'œuvre d'ordinaire sur son principe. Donc, la multiplication des fractions est la suivante:

• deux fractions décimales doivent être écrites les unes dans les autres afin que les plus extrêmes ne soient un à l'autre;
• il est nécessaire de multiplier les nombres enregistrés, malgré les virgules, c'est-à-dire naturel;
• calculer le nombre de nombres après le point-virgule dans chacun des chiffres;
• dans l'étape résultante après avoir multiplié le résultat, il est nécessaire de compter tant de caractères numériques qu'il est contenu dans le montant dans les deux facteurs après la virgule, et mettez le signe de séparation;
• si les chiffres de l'œuvre se sont avérés moins, alors avant qu'ils ne doivent pas écrire autant de zéros pour couvrir ce montant, mettre la virgule et attribuer une partie entière égale à zéro.

Exemple. Calculez le travail de deux fractions décimales: 2.25 et 3.6.

Décision.

Multiplier des fractions mixtes

Calculer le travail de deux fractions mixtes, Vous devez utiliser la règle de multiplication de fraction:

• traduire les nombres mélangés en fractions incorrectes;
• trouver un produit de chiffres;
• trouver un produit de dénominateurs;
• enregistrer le résultat résultant;
• simplifier le maximum d'expression.

Exemple. Trouver un produit 41 et 6 2/5.

Multiplication du nombre de fractions (fractions par numéro)

En plus de trouver un travail de deux fractions, nombres mixtesIl y a des tâches où vous devez multiplier par fraction.

Donc, pour trouver un produit d'une fraction décimale et d'un nombre naturel, vous avez besoin de:

• enregistrer un numéro sous la fraction de sorte que les chiffres extrêmes de droite se sont avérés comme un au-dessus de l'autre;
• trouver un travail, malgré la virgule;
• dans le résultat résultant, il est possible de séparer la partie intégrante de la fraction à l'aide d'un point-virgule, de compter à droite, puis du nombre de caractères après la virgule de la fraction.

Pour multiplier la fraction ordinaire au nombre, vous devez trouver un produit d'un numérateur et un multiplicateur naturel. Si la réponse est une fraction réduite, elle devrait être convertie.

Exemple. Calculez le travail de 5/8 et 12.

Décision. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Répondre: 7 1 / 2.

Comme on peut le voir à partir de l'exemple précédent, il était nécessaire de réduire le résultat résultant et de convertir une expression fractionnelle incorrecte en nombre mixte.

La multiplication des fractions concerne également et trouver un produit d'une forme mixte et un multiplicateur naturel. Pour multiplier ces deux nombres, vous suivez la partie entière du multiplicateur mixte pour se multiplier par le nombre, multiplier le numérateur à la même valeur et le dénominateur est laissé inchangé. Si nécessaire, vous devez facilement simplifier le résultat.

Exemple. Trouvez un produit 9 5/6 et 9.

Décision. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

Répondre: 88 1 / 2.

Multiplication des multiplicateurs 10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0.001.

De l'élément précédent suit la règle suivante. Pour la multiplication de la fraction décimale, 10, 100, 1000, 10 000, etc., vous devez déplacer la virgule vers la droite à de nombreux caractères de nombres, combien de zéros dans le multiplicateur après une unité.

Exemple 1.. Trouver un produit 0,065 et 1000.

Décision. 0.065 x 1000 \u003d 0065 \u003d 65.

Répondre: 65.

Exemple 2.. Trouver un produit 3.9 et 1000.

Décision. 3.9 x 1000 \u003d 3 900 x 1000 \u003d 3900.

Répondre: 3900.

Si vous avez besoin de multiplier un nombre naturel et 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, etc., vous devez déplacer la virgule gauche dans le produit résultant à de nombreux caractères de nombres, combien de zéros sont à la hauteur d'une. Si nécessaire, les zéros sont enregistrés en quantité suffisante dans un nombre naturel.

Exemple 1.. Trouver un produit 56 et 0,01.

Décision. 56 x 0,01 \u003d 0056 \u003d 0.56.

Répondre: 0,56.

Exemple 2.. Trouver un produit 4 et 0,001.

Décision. 4 x 0,001 \u003d 0004 \u003d 0,004.

Répondre: 0,004.

Donc, la recherche du travail de différentes fractions ne devrait pas causer de difficultés, à l'exception de la comptage du résultat; Dans ce cas, sans calculatrice, il ne s'agit que de ne pas faire.

Dans la dernière leçon, nous avons appris à plier et à soustraire des fractions décimales (voir la leçon «Ajout et soustraction des fractions décimales»). Dans le même temps, ils ont apprécié comment simplifier les calculs par rapport aux fractions habituelles de "de deux étages".

Malheureusement, avec la multiplication et la division des fractions décimales de cet effet ne se produisent pas. Dans certains cas, l'enregistrement décimal du nombre complique même ces opérations.

Pour commencer, nous introduisons une nouvelle définition. Nous le rencontrerons assez souvent et non seulement dans cette leçon.

La partie significative du nombre est tout ce qui se situe entre le premier et dernier chiffre non zéro, y compris les extrémités. Nous parlons Seuls les chiffres, le point décimal n'est pas pris en compte.

Les chiffres inclus dans la partie significative du nombre sont appelés numéros significatifs. Ils peuvent être répétés et même être zéro.

Par exemple, envisagez plusieurs fractions décimales et décourager les parties les plus importantes:

1. 91.25 → 9125 (numéros significatifs: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (numéros de signification: 8; 2; 4; 1);
3. 15 0075 → 150075 (numéros significatifs: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (numéros significatifs: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (significatif numéro un: 3).

Veuillez noter que les zéros, debout dans la partie significative du nombre, n'allez nulle part. Nous avons déjà rencontré quelque chose de similaire quand ils ont appris à traduire des fractions décimales à l'ordinaire (voir la leçon «fractions décimales»).

Ce moment est si important et les erreurs ici sont autorisées si souvent que, dans un proche avenir, je publierai un test sur ce sujet. Assurez-vous de pratiquer! Et nous, armé du concept d'une partie significative, procédez, en fait, au sujet de la leçon.

Multiplier des fractions décimales

L'opération de multiplication est composée de trois étapes consécutives:

1. Pour chaque fraction, écrivez une partie significative. Il ira à deux entiers ordinaires - sans dénominateurs et points décimaux;
2. Multipliez ces chiffres de toute manière commode. Directement, si les chiffres sont petits ou une colonne. Nous obtenons une partie importante de la fraction souhaitée;
3. Découvrez où et combien de chiffres sont déplacés par un point décimal dans les fractions d'origine pour obtenir la partie importante appropriée. Exécutez les changements inverse pour une partie importante obtenue à l'étape précédente.

Une fois encore, je vous rappelle que les zéros, debout sur les côtés de la partie significative, ne sont jamais pris en compte. Ignorer cette règle conduit à des erreurs.

1. 0,28 · 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600.5;
5. 5.25 · 10 000.

Nous travaillons avec la première expression: 0,28 · 12.5.

1. Nous repoussons les parties les plus importantes pour les chiffres de cette expression: 28 et 125;
2. Leur travail: 28 · 125 \u003d 3500;
3. Dans le premier multiplicateur, le point décimal est décalé sur 2 chiffres à droite (0,28 → 28) et dans le second - un autre chiffre. Il s'agit d'un passage à gauche de trois chiffres: 3500 → 3 500 \u003d 3.5.

Maintenant, nous traiterons de l'expression 6.3 · 1.08.

1. Nous repoussons les parties du sens: 63 et 108;
2. Leur travail: 63 · 108 \u003d 6804;
3. Encore une fois deux changements à droite: 2 et 1 chiffre, respectivement. Total - à nouveau 3 chiffres à droite, donc le décalage inverse sera de 3 chiffres à gauche: 6804 → 6.804. Cette fois, les zéros à la fin ne sont pas.

Atteint à la troisième expression: 132,5 · 0,0034.

1. Parties significatives: 1325 et 34;
2. Leur travail: 1325 · 34 \u003d 45 050;
3. Dans la première fraction, le point décimal va à droite à 1 chiffre et dans la seconde - autant que 4. Total: 5 à droite. Nous effectuons un décalage à 5 à gauche: 45 050 →, 45050 \u003d 0,4505. À la fin enlevé zéro et à l'avant - ajoute de ne pas laisser un point décimal "nu".

L'expression suivante: 0.0108 · 1600.5.

1. Nous écrivons des parties significatives: 108 et 16 005;
2. Multiplier: 108 · 16 005 \u003d 1 728 540;
3. Nous considérons les chiffres après le point décimal: dans le premier numéro, il y en a 4, dans la seconde - 1. Total - encore 5. Nous avons: 1 728 540 → 17 28540 \u003d 17 2854 \u003d 17.2854. À la fin enlevé le zéro "extra".

Enfin, la dernière expression: 5.25 · 10 000.

1. Parties significatives: 525 et 1;
2. Multipliez-les: 525 · 1 \u003d 525;
3. Dans la première fraction, un décalage est effectué sur 2 chiffres à droite et dans la seconde sur 4 chiffres à gauche (10 000 → 1,0000 \u003d 1). Total 4 - 2 \u003d 2 chiffres à gauche. Nous effectuons le passage de retour à 2 chiffres à droite: 525, → 52 500 (je devais ajouter des zéros).

Faites attention au dernier exemple: puisque le point décimal se déplace dans différentes directions, le changement total est via la différence. C'est très moment important! Voici un exemple:

Considérons les chiffres 1.5 et 12 500. Nous avons: 1.5 → 15 (passer à 1 à droite); 12 500 → 125 (décalage 2 à gauche). Nous "marchons" par 1 catégorie à droite, puis - 2 à gauche. En conséquence, nous sommes passés à une catégorie de 2 à 1 \u003d 1.

Division des fractions décimales

La division est peut-être l'opération la plus difficile. Bien sûr, ici, vous pouvez agir par analogie avec multiplication: diviser les parties du sens, puis "déplacer" le point décimal. Mais dans ce cas, de nombreuses subtilités sont réduites à aucune économie potentielle.

Alors considérons algorithme universelCe qui est un peu plus long, mais beaucoup plus fiable:

1. Traduisez toutes les fractions décimales en ordinaire. Si vous pratiquez un peu, vous aurez quelques secondes pour cette étape;
2. Diviser de manière rarématique par la manière classique. En d'autres termes, multiplier la première fraction sur la seconde "inversée" (voir la multiplication de la leçon "et la division des fractions numériques");
3. Si possible, le résultat est à nouveau soumis sous la forme d'une fraction décimale. Cette étape est également effectuée rapidement, car elle est souvent une douzaine de degrés dans le dénominateur.

Une tâche. Trouvez la valeur de l'expression:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Nous considérons la première expression. Pour commencer, nous transférerons obproba à la décimale:

De même, adopté avec la deuxième expression. Le numérateur de la première fraction se décomposer à nouveau sur les multiplicateurs:

Dans les troisième et quatrième exemples, il y a un point important: après avoir été débarrassé des enregistrements décimaux, il existe des fractions de courte durée. Cependant, nous ne remplirons pas cette réduction.

Le dernier exemple est intéressant en ce que la deuxième fraction a un nombre simple. Il n'y a tout simplement rien à décomposer sur les multiplicateurs, nous considérons donc "Alprint":

Parfois, à la suite de la division, un entier est obtenu (c'est ce que je suis sur le dernier exemple). Dans ce cas, la troisième étape n'est pas réalisée du tout.

De plus, la division se produit souvent des fractions «laides», qui ne peuvent pas être traduites en décimale. Cette division diffère de la multiplication, où les résultats sont toujours représentables sous forme décimale. Bien sûr, dans ce cas, la dernière étape n'est plus réalisée.

Faites attention aux 3ème et 4ème exemples. En eux, nous ne réduisons intentionnellement pas les fractions habituelles dérivées de décimales. Sinon, cela compliquera la tâche inverse - la représentation de la réponse finale est à nouveau sous forme décimale.

Rappelez-vous: la propriété principale de la fraction (comme toute autre règle en mathématiques) en soi ne signifie pas qu'elle doit être appliquée partout et toujours, avec chaque cas pratique.