Modul ini adalah salah satu perkara yang semua orang sepertinya mendengar, tetapi pada hakikatnya tidak ada yang biasa difahami. Oleh itu, hari ini akan ada pelajaran yang besar yang didedikasikan untuk penyelesaian persamaan dengan modul.

Saya akan katakan segera: pelajaran akan mudah. Dan secara umum, modul umumnya agak mudah. "Ya, sudah tentu, mudah! Saya mempunyai otak daripadanya! " - Ramai pelajar akan berkata, tetapi semua otak ini berlaku disebabkan oleh fakta bahawa kebanyakan orang tidak mempunyai pengetahuan di kepala, tetapi beberapa jenis omong kosong. Dan tujuan pelajaran ini adalah untuk mengubah omong kosong ke dalam pengetahuan. :)

Sedikit teori

Jadi, mari kita pergi. Mari kita mulakan dengan perkara yang paling penting: Apakah modul itu? Biar saya mengingatkan anda bahawa modul nombor itu hanya nombor yang sama, tetapi diambil tanpa tanda "tolak". Mereka., Sebagai contoh, $ \\ KIRI | -5 \\ betul | \u003d $ 5. Atau $ \\ kiri | -129.5 \\ Betul | \u003d $ 129.5.

Jadi semuanya mudah? Ya, hanya. Dan kemudian, modul nombor positif adalah sama? Ia lebih mudah: modul nombor positif adalah sama dengan nombor ini: $ \\ KIRI | 5 \\ kanan | \u003d $ 5; $ \\ Left | 129.5 \\ Right | \u003d $ 129.5, dll.

Ternyata perkara yang ingin tahu: nombor yang berbeza Mungkin mempunyai satu modul yang sama. Sebagai contoh: $ \\ LEFT | -5 \\ betul | \u003d \\ Kiri | 5 \\ kanan | \u003d $ 5; $ \\ Left | -129.5 \\ Right | \u003d \\ Left | 129.5 \\ Right | \u003d $ 129.5. Adalah mudah untuk melihat apa yang ada untuk nombor yang mempunyai modul yang sama: nombor-nombor ini bertentangan. Oleh itu, kita perhatikan untuk diri sendiri bahawa modul nombor bertentangan adalah sama:

\\ [ditinggalkan | -A \\ right | \u003d \\ left | A \\ right | \\]

Yang lain fakta penting.: modul ini tidak pernah negatif. Walau apa pun nombor yang kita ambil - sekurang-kurangnya positif, walaupun negatif - modulnya sentiasa ternyata positif (atau dalam kes yang melampau sifar). Itulah sebabnya modul sering dipanggil nilai mutlak nombor.

Di samping itu, jika anda menggabungkan definisi modul untuk positif dan nombor negatif, Saya akan mendapat definisi global modul untuk semua nombor. Iaitu: modul nombor adalah sama dengan nombor ini sendiri, jika nombor itu positif (atau sifar), atau sama dengan nombor yang bertentangan, jika nombor itu negatif. Anda boleh menulis sebagai formula:

Terdapat juga modul sifar, tetapi ia sentiasa sifar. Di samping itu, sifar adalah satu-satunya nombor yang tidak bertentangan.

Oleh itu, jika kita menganggap fungsi $ Y \u003d \\ LEFT | X \\ right | $ dan cuba untuk menarik jadualnya, maka ia akan menjadi "Dank":

Jadual modul dan contoh menyelesaikan persamaan

Dari gambar ini, ia segera dilihat bahawa $ \\ deff | -M \\ right | \u003d \\ left | M \\ right | $, dan jadual modul tidak pernah jatuh di bawah paksi abscissa. Tetapi ini bukan semua: garis merah ditandakan langsung $ y \u003d A $, yang, dengan $ A yang positif $, memberikan kita dua akar sekaligus: $ (((x) _ (1)) $ dan $ (((x) _ (1)) $ dan $ ((x) ) _ (2)) $, tetapi kita akan membincangkannya kemudian. :)

Sebagai tambahan kepada definisi algebra semata-mata, terdapat geometri. Katakan terdapat dua mata pada angka angka: $ ((x) _ (1)) $ dan $ ((x) _ (2)) $. Dalam kes ini, ungkapan $ \\ kiri | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ right | $ hanyalah jarak antara mata yang dinyatakan. Atau, jika anda sila, panjang segmen yang menghubungkan perkara-perkara ini:

Takrif ini juga mengikuti bahawa modul ini sentiasa tidak bersifat. Tetapi definisi dan teori yang mencukupi - kita akan beralih kepada persamaan sekarang. :)

Formula asas

Nah, dengan baik, dengan definisi digambarkan. Tetapi ia tidak menjadikannya lebih mudah. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi modul ini?

Tenang, hanya tenang. Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah. Pertimbangkan sesuatu seperti ini:

\\ [ditinggalkan | X \\ right | \u003d 3 \\]

Jadi, Modul $ X $ adalah 3. Apa yang boleh menjadi $ X $? Nah, berdasarkan definisi, kami mengatur sepenuhnya $ X \u003d $ 3. Benar:

\\ [ditinggalkan | 3 \\ betul | \u003d 3 \\]

Adakah terdapat nombor lain? Cap seolah-olah memberi petunjuk. Sebagai contoh, $ X \u003d -3 $ - untuk dia juga $ \\ LEFT | -3 \\ Right | \u003d $ 3, I.e. Kesamaan yang diperlukan dilakukan.

Jadi mungkin jika anda mencari, fikirkan, kami akan mencari lebih banyak nombor? Tetapi Scribble: Tiada nombor lagi. $ \\ Persamaan kiri | X \\ right | \u003d $ 3 hanya mempunyai dua akar: $ x \u003d $ 3 dan $ x \u003d -3 $.

Sekarang sedikit merumitkan tugas. Biarkan $ F \\ kiri (x \\ right) $ f \\ left (x \\ right) $ dilengkapi dengan tanda modul sewenang-wenangnya $ A $. Kami memperoleh persamaan:

\\ [ditinggalkan | F \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d a \\]

Nah, bagaimana untuk menyelesaikannya? Biar saya mengingatkan anda: $ F \\ Left (x \\ right) $ adalah fungsi sewenang-wenang, $ A $ - Sebarang nombor. Mereka. Secara amnya sesiapa pun! Sebagai contoh:

\\ [ditinggalkan | 2x + 1 \\ right | \u003d 5 \\]

\\ [ditinggalkan | 10x-5 \\ Right | \u003d -65 \\]

Beri perhatian kepada persamaan kedua. Anda boleh segera mengatakan tentang dia: dia tidak mempunyai akar. Kenapa? Betul: kerana ia memerlukan bahawa modul itu sama dengan nombor negatif, yang tidak pernah berlaku, kerana kita sudah tahu bahawa modul ini sentiasa positif atau sangat sifar.

Tetapi dengan persamaan pertama, semuanya lebih menyeronokkan. Terdapat dua pilihan: sama ada di bawah tanda modul terdapat ungkapan positif, dan kemudian $ \\ LEFT | 2x + 1 \\ right | \u003d 2x + $ 1, atau ungkapan ini namun negatif, dan kemudian $ \\ kiri | 2x + 1 \\ right | \u003d - \\ left (2x + 1 \\ right) \u003d - 2x-1 $. Dalam kes pertama, persamaan kami akan menulis semula:

\\ [ditinggalkan | 2x + 1 \\ right | \u003d 5 \\ trantarrow 2x + 1 \u003d 5 \\]

Dan tiba-tiba ternyata bahawa ungkapan submodulik $ 2x + 1 $ sangat positif - ia adalah sama dengan nombor 5. mereka. Kita boleh dengan tenang menyelesaikan persamaan ini - akar yang terhasil akan menjadi tindak balas:

Terutama yang tidak percaya boleh cuba menggantikan akar yang terdapat dalam persamaan asal dan memastikan bahawa nombor positif benar-benar di bawah modul.

Sekarang kita akan menganalisis kes submodulery negatif:

[ \\ Retarrow 2x + 1 \u003d -5 \\]

Opa! Sekali lagi semuanya jelas: kami mencadangkan bahawa $ 2x + 1 \\ lt 0 $, dan sebagai hasilnya kita mendapat itu $ 2x + 1 \u003d -5 $ - Sesungguhnya, ungkapan ini kurang sifar. Kami menyelesaikan persamaan yang diperoleh, sementara sudah mengetahui bahawa akar mendapati kami akan memuaskan:

Jumlah Kami sekali lagi mendapat dua jawapan: $ x \u003d 2 $ dan $ x \u003d $ 3. Ya, jumlah perhitungan ternyata sedikit lebih daripada dalam persamaan yang sangat mudah $ \\ kiri | X \\ right | \u003d $ 3, tetapi ia tidak berubah secara asasnya. Jadi mungkin ada sejenisnya algoritma sejagat?

Ya, apa-apa algoritma wujud. Dan sekarang kita akan membezakannya.

Pelepasan dari tanda modul

Marilah kita memberi persamaan $ \\ LEFT | F \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d A $, dan $ a \\ ge $ 0 (sebaliknya, seperti yang kita sudah tahu, tidak ada akar). Kemudian anda boleh menyingkirkan tanda modul mengikut peraturan berikut:

\\ [ditinggalkan | f \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d a \\ righterarrow f \\ left (x \\ right) \u003d \\ pm a \\]

Oleh itu, persamaan kita dengan modul merendahkan dua, tetapi sudah tanpa modul. Itulah semua teknologi! Mari kita cuba selesaikan beberapa persamaan. Mari bermula dengannya

\\ [ditinggalkan | 5x + 4 \\ right | \u003d 10 \\ righterarrow 5x + 4 \u003d \\ pm 10 \\]

Secara berasingan, kita menganggap apabila sedozen diletakkan di sebelah kanan, dan secara berasingan - apabila dengan tolak. Kami ada:

\\ [[\\ Mula (align) & 5x + 4 \u003d 10 \\ righterarrow 5x \u003d 6 \\ regarrow x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1.2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ righterarrow 5x \u003d -14 \\ regarrow x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\\\ End (Align) \\]

Itu sahaja! Menerima dua akar: $ x \u003d $ 1.2 dan $ x \u003d -2.8 $. Keseluruhan keputusan itu secara harfiah dua baris.

OK, bukan soalan, mari kita lihat sesuatu yang serius lebih serius:

\\ [ditinggalkan | 7-5x \\ betul | \u003d 13]

Sekali lagi mendedahkan modul dengan tambah dan minus:

\\ [[\\ Mula (align) & 7-5x \u003d 13 \\ retarrow -5x \u003d 6 \\ regarrow x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1.2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ retarrow -5x \u003d -20 \\ regarrow x \u003d 4. \\\\\\ End (Align) \\]

Sekali lagi beberapa baris - dan jawapannya sudah siap! Seperti yang saya katakan, tidak ada yang rumit dalam modul. Anda hanya perlu ingat beberapa peraturan. Oleh itu, kita pergi lebih jauh dan meneruskan tugas yang lebih rumit.

Pembolehubah Kes Hak

Sekarang pertimbangkan persamaan seperti itu:

\\ [ditinggalkan | 3x-2 \\ right | \u003d 2x \\]

Persamaan ini pada asasnya berbeza dari semua yang terdahulu. Daripada? Dan hakikat bahawa ungkapan $ 2x $ bernilai hak kesaksamaan - dan kita tidak boleh tahu terlebih dahulu, positif ia atau negatif.

Bagaimana untuk berada dalam kes ini? Pertama, adalah perlu untuk memahami sekali dan untuk semua itu jika bahagian kanan persamaan adalah negatif, persamaan tidak akan mempunyai akar - Kita sudah tahu bahawa modul tidak boleh sama dengan nombor negatif.

Dan kedua, jika hak bahagian masih positif (atau sama dengan sifar), maka anda boleh bertindak dengan cara yang sama seperti sebelum ini: hanya mendedahkan modul secara berasingan dengan tanda "ditambah" dan secara berasingan - dengan tanda "tolak" .

Oleh itu, kita merumuskan peraturan untuk fungsi sewenang-wenang $ F \\ Kiri (x \\ right) $ dan $ g \\ left (x \\ right) $:

\\ [ditinggalkan | F \\ kiri (x \\ right) \\ right | \u003d g \\ left (x \\ right) \\ trightarrow \\ left \\ (\\ Mula (align) & f \\ left (x \\ right) \u003d \\ pm g \\ left (x \\ right ), \\\\ & g \\ left (x \\ right) \\ ge 0. \\\\\\ End (Align) \\ Right. \\]

Dengan merujuk kepada persamaan kami, kami dapat:

\\ [ditinggalkan | 3x-2 \\ right | \u003d 2x \\ righterarrow \\ left \\ (\\ Mula (align) & 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ & 2x \\ g 0. \\\\ akhir (align) \\ right. \\]

Nah, menuntut $ 2x \\ \\ ge 0 $ kami entah bagaimana mengendalikannya. Pada akhirnya, anda boleh menggantikan akar yang kami dapat dari persamaan pertama, dan semak: ketidaksamaan dilakukan atau tidak.

Oleh itu, persamaan itu sendiri adalah penyelesaian:

\\ [[\\ Mula (align) & 3x-2 \u003d 2 \\ righterarrow 3x \u003d 4 \\ regarrow x \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ regarrow 3x \u003d 0 \\ regarrow x \u003d 0. \\\\\\ End (Align) \\]

Nah, apa jenis kedua-dua akar ini memenuhi kehendak $ 2x \\ ge 0 $? Ya, baik! Oleh itu, dua nombor akan menjadi tindak balas: $ x \u003d (4) / (3) \\; $ dan $ x \u003d 0 $. Itulah penyelesaiannya. :)

Saya mengesyaki bahawa seseorang dari murid-murid sudah mula terlepas? Nah, pertimbangkan persamaan yang lebih kompleks:

\\ [ditinggalkan | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ right | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Walaupun kelihatan dengan kejam, sebenarnya ini adalah persamaan yang sama jenis "modul adalah sama dengan":

\\ [ditinggalkan | f \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d g \\ left (x \\ right) \\]

Dan ia diselesaikan dengan cara yang sama:

\\ [ditinggalkan | ((x) ^ (3)) - 3 (((x) ^ (2)) + x \\ right | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ rightarrow \\ left \\ (\\ Mula (align) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ kiri (x - ((x) ^ (3)) \\ right), \\\\ & x - (( x) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\ End (Align) \\ Right. \\]

Dengan ketidaksamaan, kita akan tahu - ia adalah sejenis yang terlalu jahat (sebenarnya, mudah, tetapi kita tidak akan memutuskannya). Walaupun lebih baik untuk menangani persamaan yang diperolehi. Pertimbangkan kes pertama - ini adalah apabila modul diturunkan dengan tanda tambah:

\\ [(((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Nah, di sini tidak jelas bahawa setiap orang perlu mengumpul di sebelah kiri, membawa sama dan lihat apa yang berlaku. Dan ternyata bahawa:

\\ [[\\ Mula (Align) & (((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\\\ End (Align) \\]

Kami menanggung jumlah pengganda jumlah $ ((x) ^ (2)) $ per pendakap dan dapatkan persamaan yang sangat mudah:

\\ [(((x) ^ (2)) \\ left (2x-3 \\ right) \u003d 0 \\ righterarrow \\ kiri [\\ Mula (align) & (((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ & 2x-3 \u003d 0 \\\\\\ End (Align) \\ Right. \\]

\\ [(((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1.5. \\]

Di sini kita mengambil kesempatan daripada harta benda kerja yang penting, yang mana kita meletakkan polinomial asal kepada pengganda: kerja itu sama dengan sifar, apabila sekurang-kurangnya salah satu faktor adalah sifar.

Sekarang kita faham sama dengan persamaan kedua, yang diperoleh apabila modul didedahkan dengan tanda "tolak":

\\ [[\\ Mula (Align) ε ((x) ^ (3)) - 3 ((((x) \\ (2)) + x \u003d - \\ kiri (x - ((x) ^ (3)) \\ right) ; \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 (((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 (((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & x \\ left (-3x + 2 \\ right) \u003d 0. \\\\\\ End (Align) \\]

Sekali lagi perkara yang sama: kerja itu sama dengan sifar, apabila sama dengan sifar sekurang-kurangnya satu daripada pengganda. Kami ada:

\\ [[\\ Kiri [\\ Mula (Align) & x \u003d 0 \\\\ & -3x + 2 \u003d 0 \\\\\\ End (Align) \\ Right. \\]

Nah, kami mendapat tiga akar: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1.5 $ dan $ x \u003d (2) / (3) \\; $. Jadi apa yang akan pergi dari set ini dalam jawapan terakhir? Untuk melakukan ini, ingatlah bahawa kita mempunyai sekatan tambahan dalam bentuk ketidaksamaan:

Bagaimana untuk mengambil kira keperluan ini? Ya, kami hanya menggantikan akar yang dijumpai dan semak: ketidaksamaan dijalankan pada $ X $ atau tidak. Kami ada:

\\ [[\\ Mula (Align) & x \u003d 0 \\ regarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ £ 0; \\\\ & x \u003d 1.5 \\ regarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 1.5 - (((1.5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ retarrow x - (((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0; \\\\\\ End (Align) \\]

Oleh itu, akar $ x \u003d $ 1.5 tidak berpuas hati dengan kami. Dan sebagai tindak balas hanya dua akar akan pergi:

\\ [(((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

Seperti yang anda lihat, walaupun dalam kes ini, tidak ada yang rumit - persamaan dengan modul sentiasa diselesaikan mengikut algoritma. Ia hanya perlu berurusan dengan baik dalam polinomial dan ketidaksamaan. Oleh itu, kita berpaling ke tugas yang lebih kompleks - tidak akan ada, tetapi dua modul.

Persamaan dengan dua modul

Sehingga kini, kami hanya belajar yang paling banyak persamaan mudah. - Terdapat satu modul dan sesuatu yang lain. Ia adalah "sesuatu yang lain", kami dihantar ke bahagian lain ketidaksamaan, jauh dari modul, sehingga pada akhirnya segala-galanya dibuat kepada persamaan jenis $ \\ LEFT | F \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d g \\ left (x \\ right) $ or bahkan lebih mudah $ \\ deff | F \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d A $.

Tetapi tadika. Ia berakhir - sudah tiba masanya untuk mempertimbangkan sesuatu yang lebih serius. Mari kita mulakan dengan persamaan jenis ini:

\\ [ditinggalkan | F \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d \\ left | G \\ left (x \\ right) \\ right | \\]

Persamaan jenis "Modul adalah sama dengan modul". Prinsip satu perkara yang penting Adakah ketiadaan istilah dan pengganda lain: hanya satu modul di sebelah kiri, modul lain di sebelah kanan - dan tidak ada lagi.

Seseorang sekarang akan berfikir bahawa persamaan sedemikian lebih rumit daripada yang kita pelajari setakat ini. Tetapi tidak: Persamaan ini diselesaikan lebih mudah. Berikut adalah formula:

\\ [ditinggalkan | F \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d \\ left | G \\ Kiri (x \\ right) \\ right | \\ trantarrow f \\ left (x \\ right) \u003d \\ pm g \\ left (x \\ right) \\]

Segalanya! Kami hanya menyamakan ekspresi submoduli, meletakkan tanda tambah tolak sebelum salah seorang daripada mereka. Dan kemudian menyelesaikan kedua-dua persamaan yang diperoleh - dan akar sudah siap! Tiada sekatan tambahan, tiada ketidaksamaan, dsb. Segala-galanya sangat mudah.

Mari cuba untuk menentukan tugas ini:

\\ [ditinggalkan | 2x + 3 \\ Right | \u003d \\ Left | 2x-7 \\ right | \\]

Elementary Watson! Mendedahkan modul:

\\ [ditinggalkan | 2x + 3 \\ Right | \u003d \\ Left | 2x-7 \\ right | \\ trantarrow 2x + 3 \u003d \\ pm \\ left (2x-7 \\ right) \\]

Pertimbangkan secara berasingan setiap kes:

\\ [[\\ Mula (Align) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ righterarrow 3 \u003d -7 \\ righarrow \\ emptyset; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ Kiri (2x-7 \\ right) \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d -2X + 7. \\\\\\ End (Align) \\]

Tidak ada akar dalam persamaan pertama. Kerana bilakah $ 3 \u003d -7 $? Pada nilai apa $ x $? "Apa lagi Nafig $ X $? Adakah anda merokok? Tidak ada $ X $ ada di mana sahaja. "Anda akan berkata. Dan anda akan betul. Kami memperoleh kesaksamaan yang tidak bergantung kepada pembolehubah $ X $, dan pada masa yang sama persamaan itu sendiri tidak betul. Oleh itu tidak ada akar. :)

Dengan persamaan kedua, semuanya sedikit lebih menarik, tetapi juga sangat, sangat mudah:

Seperti yang dapat kita lihat, semuanya memutuskan secara harfiah dalam beberapa baris - kita tidak mengharapkan lain dari persamaan linear. :)

Akibatnya, jawapan terakhir ialah: $ X \u003d 1 $.

Bagaimana? Rumit? Sudah tentu tidak. Mari cuba apa-apa lagi:

\\ [ditinggalkan | X-1 \\ Right | \u003d \\ Left | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right | \\]

Sekali lagi kita mempunyai persamaan jenis $ \\ kiri | F \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d \\ left | G \\ left (x \\ right) \\ right | $. Oleh itu, segera tulis semula, membuka tanda modul:

\\ [(((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ Kiri (X-1 \\ Right) \\]

Mungkin seseorang akan bertanya: "Hei, apa untuk omong kosong? Kenapa "tambah-tolak" berdiri di ekspresi yang betul, dan bukan dari kiri? " Secara tenang, sekarang saya akan menerangkan segala-galanya. Sesungguhnya, dalam keadaan baik, kita perlu menulis semula persamaan kita seperti berikut:

Kemudian anda perlu mendedahkan kurungan, memindahkan semua komponen dalam satu arah dari tanda persamaan (kerana persamaan jelas dalam kedua-dua kes ia akan menjadi persegi), dengan baik, untuk mencari akar. Tetapi setuju: apabila "tambah-tolak" berdiri di hadapan tiga istilah (terutamanya apabila salah satu daripada istilah ini adalah ungkapan persegi), ia adalah lebih sukar yang lebih sukar, bukannya keadaan apabila "ditambah-tolak" hanya di hadapan kedua-duanya terma.

Tetapi tidak ada yang menghalang kita daripada menulis semula persamaan asal seperti berikut:

\\ [ditinggalkan | X-1 \\ Right | \u003d \\ Left | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right | \\ trantarrow \\ left | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right | \u003d \\ left | X-1 \\ Right | \\]

Apa yang berlaku? Ya, tidak ada yang istimewa: hanya menukar sebelah kiri dan kanan. Sebuah perkara kecil, yang akhirnya memudahkan kehidupan sedikit. :)

Secara umum, kami menyelesaikan persamaan ini, memandangkan pilihan dengan tambah dan dengan minus:

\\ [[\\ Mula (Align) & (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ righterarrow ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ Kiri (x - 1 \\ kanan) \\ Rahral ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\\\ End (Align) \\]

Persamaan pertama mempunyai akar $ x \u003d $ 3 dan $ x \u003d 1 $. Yang kedua umumnya adalah persegi yang tepat:

\\ [(((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ Kiri (X-1 \\ kanan)) ^ (2)) \\]

Oleh itu, dia mempunyai satu-satunya akar: $ x \u003d 1 $. Tetapi akar ini kita telah menerima lebih awal. Oleh itu, hanya dua nombor yang akan pergi ke tindak balas akhir:

\\ [(((x) _ (1)) \u003d 3; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

Misi selesai! Anda boleh mengambil dari rak dan merengek patah. Terdapat 2, purata anda. :)

Nota PENTING. Kehadiran akar yang sama apabila versi yang berbeza. Pembukaan modul ini bermakna bahawa polinomial awal ditolak kepada pengganda, dan di antara faktor-faktor ini semestinya mempunyai yang sama. Benar:

\\ [[\\ Mula (Align) & \\ Left | X-1 \\ Right | \u003d \\ Left | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ right |; \\\\ & \\ Kiri | X-1 \\ Right | \u003d \\ Left | \\ Kiri (X-1 \\ kanan) \\ Kiri (X-2 \\ kanan) \\ Kanan |. \\\\\\ End (Align) \\]

Salah satu sifat modul: $ \\ LEFT | A \\ cdot b \\ right | \u003d \\ left | A \\ Right | \\ CDOT \\ LEFT | B \\ right | $ (I.E., modul kerja adalah sama dengan produk modul), jadi persamaan awal dapat ditulis semula seperti berikut:

\\ [ditinggalkan | X-1 \\ Right | \u003d \\ Left | X-1 \\ Right | \\ CDOT \\ LEFT | X-2 \\ Right | \\]

Seperti yang anda lihat, kita benar-benar mempunyai faktor yang sama. Sekarang, jika anda mengumpul semua modul di satu pihak, anda boleh membuat pengganda ini untuk pendakap:

\\ [[\\ Mula (Align) & \\ Left | X-1 \\ Right | \u003d \\ Left | X-1 \\ Right | \\ CDOT \\ LEFT | X-2 \\ right |; \\\\ & \\ Kiri | X-1 \\ Right | - \\ Left | X-1 \\ Right | \\ CDOT \\ LEFT | X-2 \\ Right | \u003d 0; \\\\ & \\ Kiri | X - 1 \\ Right | \\ CDOT \\ KIRI (1- \\ KIRI | X-2 \\ Right | \\ Right) \u003d 0. \\\\\\ End (Align) \\]

Nah, sekarang saya ingat bahawa kerja itu sifar, apabila sekurang-kurangnya satu pengganda adalah sifar:

\\ [Dibiarkan [\\ Mula (Align) & \\ Kiri | X-1 \\ Right | \u003d 0, \\\\ & \\ Left | X-2 \\ Right | \u003d 1. \\\\\\ End (Align) \\ Right. \\]

Oleh itu, persamaan awal dengan dua modul dikurangkan kepada dua persamaan paling mudah yang kita bercakap pada permulaan pelajaran. Persamaan sedemikian diselesaikan secara harfiah dalam beberapa baris. :)

Kenyataan ini mungkin kelihatan tidak perlu rumit dan tidak dapat dielakkan dalam amalan. Walau bagaimanapun, pada hakikatnya anda boleh bertemu lebih banyak lagi tugas yang kompleksdaripada yang kita akan membongkar hari ini. Di dalamnya, modul boleh digabungkan dengan polinomial, akar aritmetik, logaritma, dll. Dan dalam situasi seperti itu, keupayaan untuk mengurangkan tahap persamaan umum dengan membuat sesuatu di belakang pendakap boleh menjadi sangat dan sangat, dengan cara. :)

Sekarang saya ingin membongkar persamaan lain, yang pada pandangan pertama mungkin kelihatan. Ia "melekat" oleh ramai pelajar - walaupun mereka yang percaya bahawa mereka memahami dengan baik dalam modul.

Walau bagaimanapun, persamaan ini lebih mudah daripada apa yang telah kita anggap sebelum ini. Dan jika anda faham mengapa, kemudian dapatkan resepsi lain untuk menyelesaikan persamaan dengan cepat dengan modul.

Jadi, persamaan:

\\ [ditinggalkan | x - ((x) ^ (3)) \\ betul | + \\ kiri | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ right | \u003d 0 \\]

Tidak, ini bukan typo: antara modul itu ditambah. Dan kita perlu mencari di mana $ X $ jumlah dari dua modul adalah sifar. :)

Apa masalahnya? Dan masalahnya ialah setiap modul adalah nombor positif, atau dalam kes-kes yang melampau sifar. Dan apa yang akan berlaku jika dilipat dua nombor positif? Jelas sekali, nombor positif sekali lagi:

\\ [[\\ Mula (Align) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ & 0.004 + 0.0001 \u003d 0.0041 \\ gt 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ GT 0. \\\\\\ End (Align) \\]

Garis terakhir boleh menolak idea: satu-satunya kes apabila jumlah modul adalah sifar - ini adalah jika setiap modul adalah sifar:

\\ [ditinggalkan | x - ((x) ^ (3)) \\ betul | + \\ kiri | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ right | \u003d 0 \\ trightarrow \\ left \\ (\\ Mula (align) \\ left | x - ((x) ^ (3)) \\ right | \u003d 0, \\ \\ \\ Left | ((x) ^ (2)) + X-2 \\ Right | \u003d 0. \\\\\\ End (Align) \\ Right. \\]

Dan apabila modul itu sifar? Hanya dalam satu kes - apabila ungkapan submodul adalah sifar:

\\ [((((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ righterarrow \\ left (x + 2 \\ right) \\ left (x-1 \\ right) \u003d 0 \\ trightarrow \\ left [\\ Mula (align) & X \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\\\ End (Align) \\ Right. \\]

Oleh itu, kita mempunyai tiga mata di mana modul pertama ditetapkan semula: 0, 1 dan -1; Serta dua mata di mana modul kedua ditetapkan semula: -2 dan 1. Walau bagaimanapun, kita memerlukan kedua-dua modul untuk menetapkan semula pada masa yang sama, oleh itu, antara nombor yang dijumpai, anda perlu memilih mereka yang dimasukkan dalam kedua-dua set . Jelas sekali, nombor sedemikian hanyalah satu perkara: $ x \u003d 1 $ adalah jawapan terakhir.

Kaedah pemisahan

Nah, kami telah mempertimbangkan banyak tugas dan telah mempelajari banyak teknik. Adakah anda fikir itu semua? Dan di sini tidak! Sekarang kita akan melihat penerimaan akhir - dan pada masa yang sama yang paling penting. Ia akan menjadi persamaan pemisahan dengan modul. Apa yang akan kita cakap? Mari kita kembali ke belakang dan pertimbangkan persamaan mudah. Sebagai contoh, ini adalah:

\\ [ditinggalkan | 3x-5 \\ Right | \u003d 5-3x \\]

Pada dasarnya, kita sudah tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sedemikian kerana ia adalah reka bentuk standard jenis $ \\ kiri | F \\ Kiri (x \\ right) \\ right | \u003d g \\ left (x \\ right) $. Tetapi mari kita cuba melihat persamaan ini sedikit di bawah sudut yang berbeza. Lebih tepat, pertimbangkan ungkapan di bawah tanda modul. Biar saya mengingatkan anda bahawa modul mana-mana nombor boleh sama dengan nombor, dan mungkin bertentangan dengan nombor ini:

\\ [ditinggalkan | A \\ Right | \u003d \\ Left \\ (\\ Mula (Align) & A, \\ quad a \\ ge 0, \\\\ \\ a, \\ quad a \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Sebenarnya, dalam kekaburan ini, keseluruhan masalah adalah: kerana nombor di bawah modul berubah (ia bergantung kepada pembolehubah), kita tidak jelas - ia positif atau negatif.

Tetapi bagaimana jika anda pada mulanya memerlukan nombor ini menjadi positif? Sebagai contoh, kami akan memerlukan $ 3x-5 \\ gt 0 $ - Dalam kes ini, kami dijamin untuk mendapatkan nombor positif di bawah tanda modul, dan anda boleh menyingkirkan sepenuhnya modul ini:

Oleh itu, persamaan kita akan berubah menjadi linear, yang mudah diselesaikan:

Benar, semua refleksi ini masuk akal hanya di bawah keadaan $ 3x-5 \\ gt 0 $ - Kami telah memperkenalkan keperluan ini, untuk mengungkapkan secara unik modul. Oleh itu, mari kita menggantikan $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ dalam keadaan ini dan semak:

Ternyata dengan nilai yang ditunjukkan $ X $ keperluan kami tidak dilakukan, kerana Ungkapan ternyata menjadi sifar, dan kita memerlukannya untuk menjadi lebih sifar. Kesedihan. :(

Tetapi tidak ada yang mengerikan! Lagipun, terdapat satu lagi $ 3x-5 \\ lt 0 $. Selain itu: Terdapat juga kes $ 3x-5 \u003d 0 $ - ia juga perlu dipertimbangkan, jika tidak, keputusan itu tidak lengkap. Jadi pertimbangkan kes $ 3x-5 \\ lt 0 $:

Jelas sekali, modul ini akan mendedahkan dengan tanda minus. Tetapi situasi yang pelik timbul: kedua-duanya di sebelah kiri, dan ungkapan yang sama akan dikesan di sebelah kanan dalam persamaan awal:

Menarik, pada apa itu $ x $ ekspresi $ 5-3x $ akan sama dengan ungkapan $ 5-3x $? Dari persamaan sedemikian, walaupun bukti kapten akan ditindas oleh air liur, tetapi kita tahu: persamaan ini adalah identiti, iaitu. Memang benar untuk sebarang nilai pembolehubah!

Dan ini bermakna kita akan menguruskan mana-mana $ x $. Walau bagaimanapun, kami mempunyai had:

Dalam erti kata lain, jawapannya tidak akan menjadi beberapa nombor berasingan, tetapi selang keseluruhan:

Akhirnya, ia tetap untuk mempertimbangkan satu lagi kes: $ 3x-5 \u003d 0 $. Segala-galanya mudah: ia akan menjadi sifar di bawah modul, dan modul sifar juga sifar (ia harus langsung dari definisi):

Tetapi kemudian persamaan awal $ \\ kiri | 3x-5 \\ Right | \u003d 5-3x $ akan ditulis semula seperti berikut:

Kami telah menerima akar ini lebih tinggi apabila kami menganggap kes $ 3x-5 \\ gt 0 $. Selain itu, akar ini adalah penyelesaian persamaan $ 3x-5 \u003d 0 $ adalah sekatan yang kita sendiri dan memasuki untuk menetapkan semula modul. :)

Oleh itu, sebagai tambahan kepada selang waktu, kami juga akan sesuai dengan kami dan nombor yang terletak pada akhir selang ini:

Jumlah Jawapan Final: $ x \\ in \\ Left (- \\ Infty; \\ FRAC (5) (3) \\ Right] $. Tidak terlalu biasa untuk melihat crap tersebut sebagai tindak balas kepada yang agak mudah (sebenarnya - linear) oleh persamaan modul Adakah benar? Nah, terbiasa dengan: Dalam kerumitan modul yang jawapan dalam persamaan tersebut mungkin tidak dapat diprediksi sepenuhnya.

Lebih penting lagi daripada yang lain: Kami baru sahaja membongkar algoritma sejagat yang menyelesaikan persamaan dengan modul! Dan algoritma ini terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1. Untuk menyamakan setiap modul yang ada dalam persamaan kepada sifar. Kami memperoleh beberapa persamaan;
2. Selesaikan semua persamaan ini dan tandakan akar pada baris angka. Akibatnya, garis lurus akan memecah masuk ke beberapa selang, di mana semua modul dinyatakan dengan jelas;
3. Selesaikan persamaan awal untuk setiap selang dan menggabungkan respons yang diterima.

Itu sahaja! Hanya ada satu soalan: di mana untuk memberi akar sendiri, yang diperolehi pada langkah pertama? Katakan kita mendapat dua akar: $ x \u003d 1 $ dan $ x \u003d $ 5. Mereka akan memecahkan garis angka untuk 3 keping:

Nah, apakah selang masa? Sudah jelas bahawa tiga mereka:

1. Yang paling kiri: $ x \\ lt 1 $ - unit itu sendiri ke dalam selang tidak termasuk;
2. Tengah: $ 1 \\ le x \\ lt $ 5 - Berikut adalah unit untuk selang waktu, tetapi tidak termasuk lima;
3. Yang paling kanan: $ x \\ ge $ 5 - lima kali masuk hanya di sini!

Saya fikir anda sudah memahami corak. Setiap selang termasuk hujung kiri dan tidak termasuk hak.

Pada pandangan pertama, rekod sedemikian mungkin kelihatan tidak selesa, tidak logik dan umumnya agak gila. Tetapi percaya saya: Selepas senaman kecil, anda akan mendapati bahawa pendekatan ini adalah yang paling dipercayai dan tidak mengganggu modul yang jelas. Adalah lebih baik untuk menggunakan skim sedemikian daripada berfikir setiap kali: Berikan hujung kiri / kanan ke selang semasa atau "menyeberang" pada masa akan datang.

Dalam artikel ini kita akan menganalisis secara terperinci nilai mutlak nombor. Kita dadim. definisi yang berbeza. Modul nombor, kami memperkenalkan notasi dan memberikan ilustrasi grafik. Pertimbangkan pelbagai contoh Memupuk modul nombor mengikut definisi. Selepas itu, kami akan menyenaraikan dan membenarkan sifat-sifat asas modul. Pada akhir artikel, mari kita bercakap tentang bagaimana modul nombor bersepadu ditentukan.

Menavigasi halaman.

Nombor Modul - Definisi, Jawatan dan Contoh

Pertama diperkenalkan jawatan Modul Nombor.. Modul nombor A akan direkodkan sebagai, iaitu, di sebelah kiri dan kanan nombor yang kita akan meletakkan garis menegak yang membentuk tanda modul. Kami memberikan beberapa contoh. Sebagai contoh, modul -7 boleh ditulis sebagai; Modul 4,125 ditulis sebagai, dan modul ini mempunyai pandangan pandangan.

Takrifan berikut modul merujuk kepada, dan akibatnya, dan kepada keseluruhan, dan rasional, dan kepada nombor yang tidak rasional, sebagai komponen banyak nombor yang sah. Kami akan membincangkan mengenai modul nombor bersepadu.

Definisi.

Nombor Modul A. - Ini sama ada nombor itu sendiri, jika A adalah nombor positif atau nombor -a, nombor yang bertentangan A, jika A adalah nombor negatif, atau 0, jika A \u003d 0.

Takrif yang disuarakan modul nombor ini sering ditulis dalam bentuk berikut , rekod ini bermaksud bahawa jika\u003e 0, jika a \u003d 0, dan, jika a<0 .

Rekod boleh dikemukakan dalam bentuk yang lebih padat. . Rekod ini bermaksud bahawa jika (A lebih besar daripada atau sama dengan 0), dan jika a<0 .

Juga mempunyai rekod . Di sini, perlu dijelaskan secara berasingan apabila A \u003d 0. Dalam kes ini, kita ada, tetapi -0 \u003d 0, kerana sifar dianggap nombor yang bertentangan dengan dirinya sendiri.

Di sini contoh mencari modul nombor Dengan bantuan definisi yang disuarakan. Sebagai contoh, kita akan mendapati modul nombor 15 dan. Mari kita mulakan dengan mencari. Oleh kerana nombor 15 adalah positif, modulnya adalah sama dengan jumlah yang sangat, iaitu,. Dan apakah modul nombor itu? Sejak nombor negatif, modulnya adalah sama dengan bilangan yang bertentangan dengan nombor, iaitu, nombor itu . Dengan cara ini ,.

Sebagai kesimpulan perenggan ini, kami membentangkan satu kesimpulan yang sangat mudah untuk digunakan dalam amalan apabila modul ditemui. Dari definisi nombor modul yang berikutnya modul nombor adalah sama dengan nombor di bawah tanda modul yang tidak termasuk tandanyaDan dari contoh-contoh yang dibincangkan di atas, ini sangat jelas kelihatan. Kenyataan yang disuarakan menjelaskan mengapa modul nombor itu dipanggil lagi bilangan nombor mutlak. Jadi modul nombor dan nilai mutlak nombor adalah sama.

Nombor modul sebagai jarak

Nombor modul geometri boleh ditafsirkan sebagai jarak jauh. Di sini definisi modul nombor melalui jarak.

Definisi.

Nombor Modul A. - Ini adalah jarak dari permulaan rujukan pada koordinat langsung ke titik yang sepadan dengan nombor a.

Takrif ini konsisten dengan definisi modul nombor yang diberikan dalam perenggan pertama. Marilah kita jelaskan masa ini. Jarak dari awal rujukan ke titik yang sepadan dengan nombor positif yang sama dengan nombor ini. Sifar sepadan dengan permulaan rujukan, jadi jarak dari awal rujukan ke titik dengan koordinat 0 adalah sifar (tidak perlu menangguhkan satu segmen unit dan satu segmen yang membentuk beberapa jenis segmen unit untuk mendapatkan ke titik dengan koordinat 0). Jarak dari awal rujukan ke titik dengan koordinat negatif adalah sama dengan koordinat yang bertentangan dengan titik ini, kerana sama dengan jarak dari asal ke titik ke titik yang koordinatnya adalah nombor yang bertentangan.

Sebagai contoh, modul nombor 9 adalah 9, kerana jarak dari awal rujukan ke titik dengan koordinat 9 adalah sama dengan sembilan. Marilah kita memberi contoh. Titik dengan koordinat -3.25 adalah dari titik O pada jarak 3.25, jadi .

Takrif yang disuarakan modul nombor itu adalah kes khas untuk menentukan modul perbezaan dua bernombor.

Definisi.

Modul perbezaan dua nombor A dan B adalah sama antara titik-titik koordinat langsung dengan koordinat A dan B.

Iaitu, jika terdapat mata pada koordinat mengarahkan A (A) dan B (B), maka jarak dari titik A ke titik B adalah sama dengan perbezaan perbezaan A dan B. Jika sebagai titik dalam mengambil titik O (permulaan rujukan), maka kami memperoleh definisi modul nombor yang diberikan pada permulaan item ini.

Definisi modul nombor melalui akar persegi aritmetik

Kadang-kadang bertemu definisi modul melalui akar persegi aritmetik.

Sebagai contoh, hitung nombor -30 modul dan atas dasar definisi ini. Kita ada. Begitu juga, hitung modul dua pertiga: .

Penentuan modul nombor melalui akar persegi aritmetik juga konsisten dengan definisi yang diberikan dalam perenggan pertama artikel ini. Tunjukkan. Biarkan menjadi nombor positif, dengan nombor -a - negatif. Kemudian dan Sekiranya a \u003d 0 maka .

Sifat modul

Modul ini wujud dalam beberapa hasil ciri - sifat modul. Sekarang kita akan memberikan yang utama dan paling kerap digunakan. Apabila membenarkan sifat-sifat ini, kita akan bergantung pada definisi modul nombor melalui jarak.

Mari kita mulakan dengan ciri-ciri yang paling jelas dari modul - modul nombor tidak boleh menjadi nombor negatif.. Dalam bentuk huruf, harta ini mempunyai pandangan spesies untuk mana-mana nombor a. Harta ini sangat mudah untuk membuktikan: modul nombor adalah jarak, dan jarak tidak dapat dinyatakan oleh nombor negatif.

Pergi ke harta seterusnya modul. Modul nombor adalah sifar jika dan hanya jika nombor ini sifar. Modul sifar adalah sifar dengan definisi. Zero sepadan dengan permulaan rujukan, tiada titik lain pada koordinat sifar langsung tidak sepadan, kerana setiap nombor sebenar diletakkan mengikut titik tunggal pada koordinat langsung. Atas alasan yang sama, mana-mana nombor selain daripada sifar sepadan dengan satu titik selain daripada permulaan rujukan. Dan jarak dari awal rujukan ke mana-mana titik selain dari titik O tidak sifar, kerana jarak antara dua titik adalah sifar jika dan hanya jika titik-titik ini bertepatan. Argumen di atas membuktikan bahawa hanya modul sifar adalah sifar.

Teruskan. Nombor yang bertentangan mempunyai modul yang sama, iaitu, untuk mana-mana nombor a. Sesungguhnya, dua mata pada koordinat koordinat langsung yang bertentangan dengan nombor, berada pada jarak yang sama dari awal rujukan, maka modul nombor bertentangan adalah sama.

Harta berikut modul adalah: modul kerja dua nombor adalah sama dengan produk modul nombor ini, i.e ,. Dengan definisi, modul produk nombor A dan B adalah sama ada A · B, jika, atau - (A · B), jika. Daripada peraturan pendaraban nombor sebenar ia mengikuti bahawa produk modul nombor A dan B adalah sama dengan sama ada A · B, atau - (A. B), jika itu membuktikan harta yang sedang dipertimbangkan.

Modul separa dari Bahagian A di B adalah sama dengan yang bersifat peribadi dari bahagian modul A ke modul nombor B, i.e ,. Justifikasi harta ini modul ini. Oleh kerana persendirian adalah sama dengan kerja, maka. Berdasarkan harta sebelumnya, kita ada . Ia tetap hanya untuk mengambil kesempatan daripada kesaksamaan yang sah untuk definisi modul nombor.

Harta berikut modul ditulis dalam bentuk ketidaksamaan: , A, B dan C - Nombor sah sewenang-wenangnya. Ketidaksamaan yang direkodkan tidak lebih daripada ketidaksamaan segitiga. Oleh itu, ia menjadi jelas, mengambil mata A (A), B (B), C (c) pada koordinat Direct, dan mempertimbangkan Segitiga Degenerate ABC, yang mempunyai titik yang terletak di satu garis lurus. Dengan definisi modul perbezaan adalah sama dengan panjang segmen AB, panjang segmen AU, dan panjang segmen St. Oleh kerana panjang mana-mana sisi segitiga tidak melebihi jumlah panjang kedua belah pihak, ia adalah ketidaksamaan yang adil Oleh itu, ketidaksamaan adalah benar.

Hanya terbukti ketidaksamaan adalah lebih biasa dalam bentuk . Ketidakseimbangan yang direkodkan biasanya dianggap sebagai harta yang berasingan dari modul dengan kata-kata: " Jumlah dua nombor tidak melebihi jumlah modul nombor ini." Tetapi ketidaksamaan harus secara langsung mengikuti dari ketidaksamaan, jika di dalamnya bukannya meletakkan, dan mengambil c \u003d 0.

Modul nombor yang kompleks

Dadim. definisi modul nombor bersepadu. Marilah kita memberi kita nombor yang kompleks, yang direkodkan dalam bentuk algebra, di mana X dan Y adalah beberapa nombor yang sah, yang masing-masing adalah bahagian sebenar dan khayalan yang kompleks nombor Z, dan - unit khayalan.

Salah satu topik yang paling sukar untuk pelajar adalah penyelesaian persamaan yang mengandungi pembolehubah di bawah tanda modul. Mari kita fikirkan untuk permulaan dengan apa yang disambungkan? Kenapa, sebagai contoh, persamaan persegi Kebanyakan kanak-kanak klik seperti kacang, dan dengan sejauh ini dari konsep yang paling kompleks sebagai modul mempunyai banyak masalah?

Pada pendapat saya, semua kesukaran ini dikaitkan dengan kekurangan peraturan yang jelas dirumuskan untuk menyelesaikan persamaan dengan modul. Jadi, menyelesaikannya persamaan kuadratik., pelajar tahu apa yang diperlukan untuk pertama kali menggunakan formula yang diskriminasi, dan kemudian formula akar persamaan persegi. Dan bagaimana jika modul bertemu dalam persamaan? Kami akan cuba dengan jelas menggambarkan pelan tindakan yang diperlukan sekiranya persamaan mengandungi tidak diketahui di bawah tanda modul. Untuk setiap kes, kami memberi beberapa contoh.

Tetapi mula-mula ingat definisi modul ini. Jadi, nombor modul a. memanggil dirinya nombor ini jika a. Nonnegative I. -A.Jika nombor a. Kurang sifar. Anda boleh menulisnya seperti ini:

| A | \u003d A Jika A ≥ 0 dan | A | \u003d -a jika a< 0

Bercakap tentang rasa geometrik modul, perlu diingati bahawa setiap nombor sebenar sepadan dengan titik tertentu pada paksi berangka - ia pewarna. Oleh itu, modul atau nilai mutlak nombor adalah jarak dari titik ini sebelum permulaan undur paksi berangka. Jarak sentiasa diberikan oleh nombor positif. Oleh itu, modul mana-mana nombor negatif adalah bilangan positif. Dengan cara ini, walaupun pada peringkat ini, ramai pelajar mula keliru. Modul ini mungkin merupakan nombor yang tidak lengkap, tetapi hasil daripada penggunaan modul selalu menjadi nombor positif.

Kami kini bergerak terus untuk menyelesaikan persamaan.

1. Pertimbangkan persamaan jenis | x | \u003d C, di mana C adalah nombor yang sah. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mendefinisikan modul.

Semua nombor sebenar akan memecah masuk ke dalam tiga kumpulan: mereka yang lebih sifar, yang kurang daripada sifar, dan kumpulan ketiga adalah nombor 0. Kami menulis penyelesaian dalam bentuk skim:

(± C, jika dengan\u003e 0

Jika | X | \u003d C, x \u003d (0, jika c \u003d 0

(tiada akar, jika dengan< 0

1) | x | \u003d 5, kerana 5\u003e 0, kemudian x \u003d ± 5;

2) | X | \u003d -5, kerana -five.< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, kemudian x \u003d 0.

2. Lihat Persamaan | F (x) | \u003d B, di mana B\u003e 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, adalah perlu untuk menyingkirkan modul. Kami melakukan ini: F (x) \u003d B atau F (x) \u003d -b. Sekarang adalah perlu untuk menyelesaikan setiap persamaan yang diperolehi. Jika dalam persamaan awal b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, kerana 4\u003e 0, kemudian

x + 2 \u003d 4 atau x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, kerana 11\u003e 0, kemudian

x 2 - 5 \u003d 11 atau x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 tiada akar

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, kerana -eight.< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Lihat Persamaan | F (x) | \u003d G (x). Dalam erti bentuk modul, persamaan sedemikian akan mempunyai penyelesaian jika sebelah kanannya lebih besar daripada atau sama dengan sifar, iaitu. G (x) ≥ 0. Kemudian kita akan mempunyai:

f (x) \u003d g (x)atau f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Persamaan ini akan mempunyai akar, jika 5x adalah 10 ≥ 0. Ia adalah dari ini bahawa persamaan sedemikian memohon.

1. Od. 5x - 10 ≥ 0

2. Penyelesaian:

2x - 1 \u003d 5x - 10 atau 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Menggabungkan OD. Dan keputusan itu, kita dapat:

Root X \u003d 11/7 tidak sesuai pada OD, ia adalah kurang daripada 2, dan X \u003d 3 memenuhi syarat ini.

Jawab: X \u003d 3

2) | X - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. Od. 1 - x 2 ≥ 0. Ketidaksamaan ini diselesaikan dengan kaedah selang:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Penyelesaian:

x - 1 \u003d 1 - x 2 atau x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 atau x \u003d 1 x \u003d 0 atau x \u003d 1

3. Kami menggabungkan keputusan dan OD:

Hanya akar x \u003d 1 dan x \u003d 0 sesuai.

Jawapan: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Lihat Persamaan | F (x) | \u003d | G (x) | Persamaan sedemikian adalah bersamaan dengan dua persamaan seterusnya f (x) \u003d g (x) atau f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Persamaan ini bersamaan dengan kedua-dua berikut:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 atau x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 atau x \u003d 4 x \u003d 2 atau x \u003d 1

Jawapan: X \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Persamaan yang diselesaikan dengan penggantian (penggantian pemboleh ubah). Penyelesaian ini adalah cara yang paling mudah untuk menjelaskan contoh khusus. Jadi, biarkan persamaan persegi dengan modul:

x 2 - 6 | X | + 5 \u003d 0. Dengan sifat modul X 2 \u003d | X | 2, jadi persamaan boleh ditulis semula jadi:

| X | 2 - 6 | X | + 5 \u003d 0. Kami akan menggantikan | x | \u003d T ≥ 0, maka kita akan mempunyai:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Menyelesaikan persamaan ini, kita memperoleh t \u003d 1 atau t \u003d 5. Mari kita kembali kepada pengganti:

| X | \u003d 1 atau | x | \u003d 5.

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Jawapan: X \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Pertimbangkan satu lagi contoh:

x 2 + | X | - 2 \u003d 0. Dengan sifat modul X 2 \u003d | X | Oleh itu, oleh itu

| X | 2 + | X | - 2 \u003d 0. Kami akan menggantikan | X | \u003d T ≥ 0, kemudian:

t 2 + T - 2 \u003d 0. Menyelesaikan persamaan ini, kami memperoleh, t \u003d -2 atau t \u003d 1. Marilah kita kembali kepada penggantian:

| X | \u003d -2 atau | x | \u003d 1.

Tiada akar x \u003d ± 1

Jawapan: X \u003d -1, x \u003d 1.

6. Satu lagi jenis persamaan - persamaan dengan modul "kompleks". Persamaan sedemikian termasuk persamaan di mana terdapat "modul dalam modul". Persamaan spesies ini dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat modul.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Kami akan bertindak serta dalam persamaan jenis kedua. Kerana. 4\u003e 0, maka kita mendapat dua persamaan:

3 - | x | \u003d 4 atau 3 - | x | \u003d -4.

Sekarang Express dalam setiap modul persamaan X, maka | X | \u003d -1 atau | x | \u003d 7.

Kami menyelesaikan setiap persamaan yang diperolehi. Dalam persamaan pertama tidak ada akar, kerana -< 0, а во втором x = ±7.

Jawapannya ialah x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Kami menyelesaikan persamaan ini dengan cara yang sama:

3 + | X + 1 | \u003d 5 atau 3 + | x + 1 | \u003d -5.

| x + 1 | \u003d 2 | X + 1 | \u003d -8.

x + 1 \u003d 2 atau x + 1 \u003d -2. Tiada akar.

Jawab: X \u003d -3, x \u003d 1.

Terdapat juga penyelesaian universal untuk menyelesaikan persamaan dengan modul. Ini adalah kaedah interval. Tetapi kita akan menganggapnya pada masa akan datang.

blog.set, dengan penyalinan penuh atau sebahagian daripada rujukan bahan kepada sumber asal diperlukan.

Nilai mutlak nombor a. - Ini adalah jarak dari permulaan koordinat ke titik Tetapi(a.).

Untuk memahami definisi ini, kami menggantikan bukan pembolehubah a. Mana-mana nombor, contohnya 3 dan cuba membacanya sekali lagi:

Nilai mutlak nombor 3 - Ini adalah jarak dari permulaan koordinat ke titik Tetapi(3 ).

Ia menjadi jelas bahawa modul itu tidak lebih daripada jarak biasa. Mari kita cuba melihat jarak dari permulaan koordinat ke titik A ( 3 )

Jarak dari permulaan koordinat ke titik a ( 3 ) Sama-sama 3 (tiga unit atau tiga langkah).

Modul nombor menunjukkan dua baris menegak, sebagai contoh:

Modul nombor 3 ditunjukkan seperti berikut: | 3 |

Modul nombor 4 ditunjukkan seperti berikut: | 4 |

Modul nombor 5 adalah seperti berikut: | 5 |

Kami sedang mencari modul nombor 3 dan mendapati bahawa ia adalah sama dengan 3. dan menuliskannya:

Berbunyi seperti: "Modul tiga kali adalah tiga"

Sekarang mari kita cuba mencari modul nombor -3. Sekali lagi, kami kembali ke definisi dan menggantikan nombor -3 di dalamnya. Hanya bukan satu titik A. Kami menggunakan titik baru B.. Titik A. Kami telah digunakan dalam contoh pertama.

Nombor Modul - 3 Panggil jarak dari permulaan koordinat ke titik B.(—3 ).

Jarak dari satu titik ke yang lain tidak boleh menjadi negatif. Oleh itu, modul mana-mana nombor negatif, yang menjadi jarak sama ada tidak akan negatif. Modul nombor -3 akan menjadi nombor 3. Jarak dari asal ke titik B (-3) juga tiga unit:

Berbunyi seperti: "Modul bilangan tolak tiga adalah tiga"

Modul nombor 0 adalah 0, yang merupakan titik dengan koordinat 0 bertepatan dengan permulaan koordinat, iaitu. Jarak dari permulaan koordinat ke titik O (0) Sama sifar:

"Modul sifar adalah sifar"

Kami membuat kesimpulan:

• Modul nombor tidak boleh menjadi negatif;
• Untuk nombor positif dan sifar, modul adalah sama dengan nombor, dan untuk negatif - nombor yang bertentangan;
• Nombor bertentangan mempunyai modul yang sama.

Nombor bertentangan

Nombor yang berbeza hanya dengan tanda-tanda yang dipanggil sebaliknya. Sebagai contoh, nombor -2 dan 2 bertentangan. Mereka hanya berbeza pada tanda-tanda. Dalam jumlah -2 tanda tolak, dan 2 adalah tanda tambah, tetapi kita tidak melihatnya, kerana ditambah, seperti yang kita katakan sebelum ini, tidak menulis mengikut tradisi.

Lebih banyak contoh nombor yang bertentangan:

Nombor bertentangan mempunyai modul yang sama. Sebagai contoh, cari modul untuk -2 dan 2

Rajah menunjukkan bahawa jarak dari awal koordinat ke titik-titik A (-2) dan B (2) Sama sama dengan dua langkah.

Adakah anda suka pelajaran?
Sertai kami kumpulan baru Vkontakte dan mula menerima pemberitahuan mengenai pelajaran baru

Dan dikira mengikut peraturan tersebut:

Untuk rakaman ringkas dikenakan | a |. Jadi, | 10 | \u003d 10; - 1/3 \u003d | 1/3 |; | -100 | \u003d 100, dsb.

Apa-apa magnitud h. Sepadan dengan nilai yang agak tepat | h.| Dan maksudnya identiti w.= |h.| Set. w. sebagai beberapa orang fungsi hujah h..

Jadualini fUNGSI Dibentangkan di bawah.

Untuk x. > 0 |x.| = x., dan untuk x.< 0 |x.|= -x.; Dalam hal ini, garis y \u003d | x.| untuk x.\u003e 0 digabungkan dengan lurus y \u003d x.(Bisector dari sudut koordinat pertama), dan bila h.< 0 - с прямой y \u003d -Kh.(Bisector sudut koordinat kedua).

Individu. persamaan termasuk tidak diketahui di bawah tanda modul.

Contoh sewenang-wenang persamaan sedemikian - | h.— 1| = 2, |6 — 2h.| =3h.+ 1, dsb.

Menyelesaikan persamaanyang mengandungi tidak diketahui di bawah tanda modul berdasarkan fakta bahawa jika nilai mutlak nombor yang tidak diketahui x adalah sama nombor positif A, maka nombor x ini sama atau A, atau -A.

sebagai contoh: Jika | h.| \u003d 10, kemudian atau h.\u003d 10, atau h. = -10.

Pertimbangkan penyelesaian persamaan individu.

Menganalisis penyelesaian persamaan | h.- 1| = 2.

Kami akan membuka modul itu Maka perbezaannya h.- 1 boleh sama dengan atau + 2, atau - 2. Jika x - 1 \u003d 2, maka h. \u003d 3; sekiranya h. - 1 \u003d - 2, kemudian h. \u003d - 1. Kami membuat pencawang dan kami memperoleh bahawa kedua-dua nilai ini memenuhi persamaan.

Jawab.Persamaan yang ditentukan mempunyai dua akar: x. 1 = 3, x. 2 = - 1.

Menganalisis persamaan penyelesaian | 6 — 2h.| = 3h.+ 1.

Selepasnya. pENDEDAHAN MODUL.kami mendapat: atau 6 - 2 h.= 3h.+ 1, atau 6 - 2 h.= - (3h.+ 1).

Dalam kes pertama h. \u003d 1, dan pada yang kedua h.= - 7.

Semak. Untuk h.= 1 |6 — 2h.| = |4| = 4, 3x. + 1 \u003d 4; Dari mahkamah berikut h. = 1 - koren B.ini persamaan.

Untuk x. = - 7 |6 — 2x.| = |20| = 20, 3x.+ 1 \u003d - 20; Sejak 20 ≠ -20, maka h. \u003d - 7 bukan akar persamaan ini.

Jawab. W.persamaan adalah satu-satunya akar: h. = 1.

Persamaan jenis ini boleh selesaikan dan graf.

Jadi tentukan eG, persamaan grafik | x- 1| = 2.

Pada mulanya melaksanakan pembinaan fungsi Grafik. w. = |x.- 1 |. Pertama melukis fungsi jadual w.=x- 1:

Bahagian itu grafik.yang terletak di atas paksi h. Kami tidak akan berubah. Untuk dia h. - 1\u003e 0 dan oleh itu | h.-1|=h.-1.

Sebahagian daripada graf yang terletak di bawah paksi h.menggambarkan simetris Mengenai paksi ini. Sejak untuk bahagian ini h. - 1 < 0 и соответственно |x - 1|= - (x - satu). Dibentuk sebagai hasilnya baris (garis pepejal) dan akan graf grafik y \u003d | h.—1|.

Garis ini bersilang dengan lurus w. \u003d 2 dalam dua titik: m 1 dengan abscissa -1 dan m 2 dengan abscissa 3. Dan, dengan itu, persamaan | h.- 1 | \u003d 2 akan menjadi dua akar: h. 1 = - 1, h. 2 = 3.