Persamaan pembezaan biasa Ia dipanggil persamaan yang menghubungkan pembolehubah bebas, fungsi yang tidak diketahui pemboleh ubah ini dan derivatifnya (atau perbezaan) dari pelbagai pesanan.

Perintah persamaan pembezaan Perintah derivatif yang lebih tua yang terkandung di dalamnya dipanggil.

Sebagai tambahan kepada persamaan biasa, pembezaan dengan derivatif persendirian juga dikaji. Ini adalah persamaan yang menghubungkan pembolehubah bebas, fungsi yang tidak diketahui dari pembolehubah ini dan derivatif persendiriannya mengikut pembolehubah yang sama. Tetapi kita akan mempertimbangkan sahaja persamaan pembezaan biasa. Dan oleh itu akan menjadi keringkasan untuk menurunkan perkataan "biasa".

Contoh persamaan pembezaan:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Persamaan (1) - Perintah Keempat, Persamaan (2) - Perintah Ketiga, Persamaan (3) dan (4) - Perintah Kedua, Persamaan (5) - Perintah Pertama.

Persamaan pembezaan. n.- perintah tidak semestinya mempunyai fungsi yang jelas, semua derivatifnya dari yang pertama ke n.-O perintah dan pembolehubah bebas. Ia mungkin tidak mengandungi derivatif yang jelas dari beberapa pesanan, fungsi, pembolehubah bebas.

Sebagai contoh, dalam persamaan (1) jelas tidak ada derivatif perintah ketiga dan kedua, serta fungsi; dalam persamaan (2) - perintah kedua dan fungsi derivatif; dalam persamaan (4) - pemboleh ubah bebas; Dalam persamaan (5) - fungsi. Hanya dalam persamaan (3) dengan jelas mengandungi semua derivatif, fungsi dan pemboleh ubah bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan pembezaan dipanggil apa-apa fungsi y \u003d f (x)Apabila menggantikan yang ia menangani identiti ke dalam persamaan.

Proses mencari penyelesaian persamaan pembezaan dipanggilnya integrasi.

Contoh 1. Cari penyelesaian persamaan pembezaan.

Keputusan. Kami menulis persamaan ini dalam bentuk. Penyelesaiannya terdiri daripada mencari fungsi dengan derivatifnya. Fungsi awal diketahui dari kalkulus penting, terdapat primitif untuk, iaitu,.

Itulah yang berlaku penyelesaian persamaan pembezaan ini . Menukar di dalamnya C.Kami akan menerima pelbagai penyelesaian. Kami mendapati bahawa terdapat satu set penyelesaian yang tidak terhingga dari persamaan pembezaan pertama.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan n.-O pesanan dipanggil penyelesaiannya, dinyatakan secara eksplisit berbanding fungsi yang tidak diketahui dan mengandungi n. Pemalar sewenang-wenangnya yang berterusan, iaitu.

Penyelesaian persamaan pembezaan dalam contoh 1 adalah perkara biasa.

Penyelesaian khas persamaan pembezaan Penyelesaian ini dipanggil, di mana nilai-nilai berangka tertentu dilampirkan kepada pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh 2. Cari penyelesaian umum persamaan pembezaan dan penyelesaian tertentu untuk .

Keputusan. Kami mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan seperti beberapa kali sama dengan perintah persamaan pembezaan.

,

.

Akibatnya, kami mendapat penyelesaian umum -

persamaan pembezaan ini dari perintah ketiga.

Sekarang cari penyelesaian peribadi di bawah syarat yang ditetapkan. Untuk melakukan ini, kami akan menggantikan bukan koefisien yang sewenang-wenangnya dan dapatkan

.

Jika, sebagai tambahan kepada persamaan pembezaan, keadaan awal dalam bentuk ditentukan, maka tugas sedemikian dipanggil tugas Cauchy. . Secara umum, penyelesaian persamaan menggantikan nilai-nilai dan dan mencari nilai pemalar sewenang-wenangnya C.dan kemudian penyelesaian khusus persamaan dengan nilai yang dijumpai C.. Ini adalah penyelesaian masalah Cauchy.

Contoh 3. Selesaikan masalah Cauchy untuk persamaan pembezaan dari Contoh 1 di bawah keadaan.

Keputusan. Menggantikan penyelesaian kepada nilai dari keadaan awal y. = 3, x. \u003d 1. Terima

Kami menulis penyelesaian masalah Cauchy untuk persamaan pembezaan pertama ini:

Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan, walaupun kemahiran integrasi yang paling mudah, baik dan derivatif diperlukan, termasuk fungsi yang kompleks. Ini boleh dilihat dalam contoh berikut.

Contoh 4. Cari penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Keputusan. Persamaan dicatatkan dalam bentuk sedemikian yang anda boleh segera mengintegrasikan kedua-dua bahagiannya.

.

Memohon kaedah mengintegrasikan penggantian pembolehubah (penggantian). Biarkan, kemudian.

Dikehendaki mengambil dX. Dan sekarang - PERHATIAN - Kami melakukan ini mengikut peraturan pembezaan fungsi yang kompleks, sejak x. Dan terdapat fungsi yang kompleks ("Apple" - pengekstrakan akar persegi atau, yang sama adalah pembinaan "satu saat", dan "cincang" adalah ungkapan yang paling di bawah akar):

Cari yang penting:

Kembali ke pembolehubah x.Kita mendapatkan:

.

Ini adalah penyelesaian keseluruhan persamaan pembezaan ini dari ijazah pertama.

Bukan sahaja kemahiran dari bahagian sebelumnya dari matematik tertinggi akan diperlukan dalam menyelesaikan persamaan pembezaan, tetapi juga kemahiran dari asas, iaitu, matematik sekolah. Seperti yang disebutkan, dalam persamaan pembezaan apa-apa perintah mungkin tidak menjadi pemboleh ubah bebas, iaitu, berubah-ubah x.. Mereka akan membantu menyelesaikan masalah ini tidak dilupakan (Walau bagaimanapun, sesiapa sahaja) dengan pengetahuan bangku sekolah terhadap perkadaran. Ini adalah contoh berikut.

Persamaan pembezaan (du). Kedua-dua kata ini biasanya membawa kepada kengerian lelaki purata purata. Persamaan pembezaan kelihatan sesuatu yang teladan dan sukar untuk menguasai dan ramai pelajar. Uuuuuu ... Persamaan pembezaan, bagaimana saya akan melalui semua ini?!

Pendapat sedemikian dan mood sedemikian tidak betul, kerana sebenarnya Persamaan pembezaan adalah mudah dan bahkan menarik. Apa yang anda perlu ketahui dan dapat belajar untuk menyelesaikan persamaan pembezaan? Untuk berjaya mengkaji sedih, anda mesti dapat mengintegrasikan dengan baik dan membezakan. Lebih baik topik yang dikaji Fungsi derivatif satu pembolehubah dan Tidak menentuCara ia akan menjadi lebih mudah untuk memahami persamaan pembezaan. Saya akan mengatakan lebih lanjut jika anda mempunyai kemahiran integrasi yang lebih baik atau kurang, maka topik itu hampir dikuasai! Lebih banyak integral pelbagai jenis yang boleh anda pilih - lebih baik. Kenapa? Kerana anda perlu mengintegrasikan banyak. Dan membezakan. Juga sangat mengesyorkan Belajar untuk mencari berasal dari fungsi yang dinyatakan secara tersirat.

Dalam 95% kes, 3 jenis persamaan pembezaan pertama yang dijumpai: persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan yang kita anggap dalam pelajaran ini; persamaan seragam dan persamaan yang tidak sesuai dengan linear. Bermula untuk mempelajari penyimpangan saya menasihati anda untuk mengenali pelajaran dalam perintah ini. Terdapat lebih banyak jenis persamaan pembezaan yang lebih jarang: persamaan dalam pembezaan penuh, persamaan Bernoulli. dan beberapa yang lain. Yang paling penting dari dua spesies terakhir adalah persamaan dalam pembezaan penuh, kerana sebagai tambahan kepada du saya menganggap bahan baru - integrasi swasta.

Pertama mengingatkan persamaan biasa. Mereka mengandungi pembolehubah dan nombor. Contoh yang paling mudah :. Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan biasa? Ia bermakna untuk mencari banyak nomboryang memenuhi persamaan ini. Adalah mudah untuk melihat bahawa persamaan kanak-kanak mempunyai satu-satunya akar :. Untuk sentuhan, buat cek, kami menggantikan root yang terdapat dalam persamaan kami:

- Kesamaan yang betul diperolehi, ini bermakna penyelesaiannya dijumpai dengan betul.

Susapan disusun dengan cara yang sama!

Persamaan pembezaan. susunan pertama, mengandungi:
1) pembolehubah bebas;
2) pembolehubah bergantung (fungsi);
3) fungsi derivatif pertama :.

Dalam sesetengah kes, "ix" atau (dan) "igrek" mungkin hilang dalam persamaan pesanan pertama penting untuk melakukan di du adalah derivatif pertama, dan tidak mempunyai Derivatif pesanan yang lebih tinggi -, dsb.

Apa maksudnya?Menyelesaikan persamaan kebezaan - ia bermakna untuk mencari banyak fungsi yang memenuhi persamaan ini. Banyak fungsi dipanggil penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Contoh 1.

Menyelesaikan persamaan pembezaan

Amunisi lengkap. Mengapa mula menyelesaikan sebarang persamaan pembezaan pesanan pertama?

Pertama sekali, anda perlu menulis semula derivatif yang berbeza dalam bentuk lain. Kami ingat derivatif penamaan rumit :. Seperti sebilangan derivatif kepada ramai daripada anda mungkin kelihatan tidak masuk akal dan tidak perlu, tetapi ia akan memandu tepat dalam penyebaran!

Jadi, pada peringkat pertama, tulis semula derivatif dalam bentuk yang kita perlukan:

Di peringkat kedua sentiasa Kami kelihatan sama ada mustahil pembolehubah berpecah? Apakah maksudnya untuk membahagikan pembolehubah? Kira-kira bercakap, di sebelah kiri Kita perlu pergi hanya "igrek", tetapi di sebelah kanan menyusun hanya "IKERS". Pemisahan pembolehubah dilakukan dengan bantuan manipulasi "sekolah": penyerahan kepada kurungan, pemindahan komponen dari pihak ke bahagian dengan perubahan tanda, pemindahan pengganda dari pihak ke bahagian mengikut peraturan peraturan, dsb.

Perbezaan dan faktor penuh dan peserta aktif dalam permusuhan. Dalam contoh contohnya, pembolehubah mudah dibahagikan dengan pengilangan pengganda dengan peraturan perkadaran:

Pembolehubah dipisahkan. Di sebelah kiri - hanya "kejahilan", di sebelah kanan - hanya "Xers".

Tahap seterusnya - integrasi Persamaan Pembezaan. Segala-galanya mudah, diilhamkan oleh integral di kedua-dua bahagian:

Sudah tentu, integral perlu diambil. Dalam kes ini, mereka adalah Tabular:

Seperti yang kita ingat, pemalar adalah dikaitkan dengan mana-mana primitif. Berikut adalah dua integral, tetapi pemalar sudah cukup untuk menulis sekali. Hampir selalu, ia dikaitkan dengan bahagian yang betul.

Secara tegas, selepas integral diambil, persamaan pembezaan dianggap diselesaikan. Satu-satunya perkara, kita "igrek" tidak dinyatakan melalui "X", iaitu keputusan itu dibentangkan dalam tersirat bentuk. Penyelesaian persamaan pembezaan dalam bentuk tersirat dipanggil integral Bersama Persamaan Berbeza. Iaitu, ia adalah penting.

Sekarang anda perlu cuba mencari penyelesaian umum, iaitu, cuba untuk membentangkan fungsi secara eksplisit.

Sila ingat teknik teknikal pertama, ia sangat biasa dan sering digunakan dalam tugas praktikal. Apabila logaritma muncul di sebelah kanan selepas integrasi, maka pemalar hampir selalu dianjurkan untuk merakam juga di bawah logaritma.

I.e, sebaliknyarekod biasanya ditulis .

Berikut adalah pemalar sepenuhnya yang sama seperti. Mengapa anda memerlukannya? Dan untuk menjadikannya lebih mudah untuk menyatakan "Igarek". Kami menggunakan harta sekolah logaritma: . Dalam kes ini:

Sekarang logaritma dan modul boleh dikeluarkan dengan hati nurani yang bersih dari kedua-dua bahagian:

Fungsi ini ditunjukkan dengan jelas. Ini adalah penyelesaian umum.

Banyak ciri Ia adalah penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Memberi pelbagai nilai yang berterusan, anda boleh mendapat banyak penyelesaian persendirian Persamaan pembezaan. Mana-mana fungsi ,,, dsb. akan memenuhi persamaan pembezaan.

Kadang-kadang keputusan umum dipanggil fungsi keluarga. Dalam contoh ini, penyelesaian umum - Ini adalah keluarga fungsi linear, atau sebaliknya, keluarga yang mengarahkan secara langsung.

Banyak persamaan pembezaan cukup mudah untuk diperiksa. Ini dilakukan dengan sangat mudah, ambil penyelesaian yang dijumpai dan cari derivatif:

Kami menggantikan penyelesaian kami dan derivatif yang dijumpai yang terdapat dalam persamaan asal:

- Kesamaan yang betul diperolehi, ini bermakna penyelesaiannya dijumpai dengan betul. Dalam erti kata lain, penyelesaian umum memenuhi persamaan.

Selepas mengunyah contoh contoh yang terperinci, adalah wajar untuk bertindak balas terhadap beberapa soalan naif mengenai persamaan pembezaan.

1) Dalam contoh ini, kami berjaya membahagikan pembolehubah :. Adakah ia selalu mungkin untuk melakukan ini? Tidak semestinya. Dan lebih kerap, pembolehubah tidak boleh dibahagikan. Sebagai contoh, dalam persamaan pesanan pertama homogen, anda mesti menggantikan terlebih dahulu. Dalam jenis persamaan lain, sebagai contoh, dalam persamaan perintah pertama yang tidak bersuara linearAnda perlu menggunakan pelbagai teknik dan kaedah untuk mencari penyelesaian umum. Persamaan dengan pembolehubah pemisahan, yang kita anggap dalam pelajaran pertama - jenis persamaan pembezaan yang paling mudah.

2) Adakah ia selalu mungkin untuk mengintegrasikan persamaan pembezaan? Tidak semestinya. Sangat mudah untuk menghasilkan persamaan "dipangkas" yang tidak dapat diintegrasikan, di samping itu, terdapat integral yang tidak berkesudahan. Tetapi du itu boleh diselesaikan kira-kira dengan bantuan kaedah khas. Daember dan Jaminan Cauchi. ... UGH, Lurkmore.ru Davecha telah membaca.

3) Dalam contoh ini, kami mendapat penyelesaian dalam bentuk integral yang sama . Adakah ia selalu mungkin dari integral umum untuk mencari penyelesaian umum, iaitu, untuk menyatakan "Igarek" secara eksplisit? Tidak semestinya. Sebagai contoh: . Nah, bagaimana untuk menyatakan "igrek"?! Dalam kes sedemikian, jawapannya harus ditulis sebagai integral bersama. Di samping itu, kadang-kadang anda boleh mencari keputusan umum, tetapi ia ditulis begitu rumit dan kekok, yang lebih baik untuk meninggalkan jawapan dalam bentuk integral yang sama

Kita tidak akan tergesa-gesa. Satu lagi keputusan mudah dan satu lagi keputusan sampel.

Contoh 2.

Cari penyelesaian persendirian persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal

Di bawah keadaan yang anda perlukan untuk mencari penyelesaian persendirian Jangan memenuhi keadaan awal. Soalan ini juga dipanggil tugas Cauchy..

Pertama kita dapati penyelesaian umum. Tidak ada pembolehubah "X" dalam persamaan, tetapi ia tidak boleh malu, perkara utama adalah derivatif pertama di dalamnya.

Rewind the derivative dalam bentuk yang betul:

Jelas, pembolehubah boleh dibahagikan, lelaki - kiri, perempuan - betul:

Kami mengintegrasikan persamaan:

Integral bersama diperolehi. Di sini saya melukis yang tetap dengan asterisk tiba-tiba, hakikatnya adalah bahawa ia akan menjadi tidak lama lagi menjadi pemalar yang lain.

Sekarang cuba integral keseluruhan untuk menukar kepada penyelesaian umum (Express "igrek" dengan jelas). Kita ingat yang lama, baik, sekolah: . Dalam kes ini:

Pemalar dalam penunjuk kelihatan entah bagaimana ketara, jadi ia biasanya turun dari syurga ke bumi. Sekiranya terperinci, ia berlaku begitu. Menggunakan hartanah ijazah, tulis semula fungsi seperti berikut:

Sekiranya ia tetap, maka - juga beberapa malar, yang dilambangkan melalui surat itu:

Ingat perobohan yang berterusan, ini adalah teknik teknikal kedua, yang sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan pembezaan.

Jadi, penyelesaian umum :. Ini adalah keluarga yang cantik dari fungsi eksponen.

Di peringkat akhir, anda perlu mencari penyelesaian peribadi yang memenuhi syarat awal yang dinyatakan. Ini juga mudah.

Apakah tugasnya? Perlu mengambil itu Nilai tetap kepada keadaan awal yang ditentukan.

Anda boleh menguruskan secara berbeza, tetapi mungkin, mungkin, akan menjadi begitu. Secara umum, penyelesaiannya bukan "IKSA" kami menggantikan sifar, dan bukannya "permainan" dua:



I.e,

Versi standard reka bentuk:

Dalam penyelesaian umum, kami menggantikan nilai yang dijumpai tetap:
- Ini adalah keputusan khas yang anda perlukan.

Melakukan cek. Memeriksa penyelesaian peribadi termasuk dua peringkat.

Mula-mula anda perlu menyemak, dan sama ada penyelesaian khusus yang terdapat dalam keadaan awal? Daripada "IKSA" kami menggantikan sifar dan melihat apa yang berlaku:
- Ya, deuce benar-benar diperoleh, yang bermaksud bahawa keadaan awal dilakukan.

Tahap kedua sudah biasa. Kami mengambil penyelesaian peribadi yang diterima dan mencari derivatif:

Kami menggantikan dalam persamaan asal:

- Kesaksamaan yang boleh dipercayai diperolehi.

Kesimpulan: Penyelesaian peribadi dijumpai betul.

Pergi ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 3.

Menyelesaikan persamaan pembezaan

Keputusan: Tulis semula derivatif dalam bentuk yang kita perlukan:

Kami menganggarkan sama ada ia mungkin untuk membahagikan pembolehubah? Boleh. Kami membawa istilah kedua ke sebelah kanan dengan perubahan tanda:

Dan membuang pengganda dengan peraturan perkadaran:

Pembolehubah dipisahkan, mengintegrasikan kedua-dua bahagian:

Mesti memberi amaran, hari sedang menghampiri. Jika anda telah belajar dengan buruk tidak menentu, Terdapat beberapa contoh, mereka tidak mempunyai tempat untuk pergi - anda perlu menguasai mereka sekarang.

Integral dari sebelah kiri mudah dicari, dengan integral dari Kothannse, kami ditangani dengan teknik standard yang kami pertimbangkan dalam pelajaran Mengintegrasikan fungsi trigonometri Tahun lepas:

Di sebelah kanan, kami ternyata logaritma, menurut cadangan teknikal pertama saya, dalam hal ini, pemalar juga harus direkodkan di bawah logaritma.

Sekarang kita cuba mempermudah integral keseluruhan. Oleh kerana kita mempunyai beberapa logaritma, ia agak mungkin (dan perlu) untuk menghilangkannya. Logaritma maksimum "pek". Pembungkusan dijalankan dengan bantuan tiga hartanah:

Sila tulis semula tiga formula ini kepada diri anda ke dalam buku kerja, semasa menyelesaikannya, ia digunakan dengan kerap.

Penyelesaian Sakit sangat terperinci:

Pembungkusan selesai, alih keluar logaritma:

Adakah mungkin untuk menyatakan "igrek"? Boleh. Kita mesti membina kedua-dua bahagian ke dalam persegi. Tetapi tidak perlu untuk melakukan ini.

Majlis Teknikal Ketiga: Jika untuk mendapatkan penyelesaian umum, anda perlu menaikkan atau mengekstrak akar, maka dalam kebanyakan kes Anda harus menahan diri dari tindakan ini dan meninggalkan tindak balas dalam bentuk integral bersama. Hakikatnya ialah keputusan umum akan kelihatan cantik dan dahsyat - dengan akar besar, tanda-tanda.

Oleh itu, jawapan akan menulis dalam bentuk integral bersama. Nada yang baik dianggap mengemukakan integral bersama dalam bentuk, iaitu, di sebelah kanan, jika boleh, tinggalkan hanya tetap. Ia tidak perlu untuk melakukan ini, tetapi sentiasa bermanfaat untuk menggembirakan Profesor ;-)

Jawab: Integral Am:

Nota: Keseluruhan integral mana-mana persamaan boleh ditulis bukan sahaja satu-satunya cara. Oleh itu, jika anda tidak bertepatan dengan hasilnya dengan jawapan yang terdahulu, maka itu tidak bermakna anda salah menyelesaikan persamaan.

Integral umum juga diperiksa dengan mudah, perkara utama adalah untuk dapat mencari derivatif dari fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Membezakan jawapannya:

Kami melipatgandakan kedua-dua istilah pada:

Dan bahagikan:

Persamaan pembezaan awal diperoleh dengan tepat, ia bermakna bahawa integral umum dijumpai dengan betul.

Contoh 4.

Cari penyelesaian peribadi persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal. Melakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Saya mengingatkan anda bahawa tugas Cauchy terdiri daripada dua peringkat:
1) Mencari penyelesaian umum.
2) Mencari penyelesaian peribadi.

Pemeriksaan juga dijalankan dalam dua peringkat (lihat juga contoh contoh 2), anda perlukan:
1) Pastikan penyelesaian peribadi yang dijumpai benar-benar memuaskan keadaan awal.
2) Semak bahawa penyelesaian peribadi sama sekali memenuhi persamaan pembezaan.

Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Contoh 5.

Cari penyelesaian peribadi persamaan pembezaan memuaskan keadaan awal. Melakukan pemeriksaan.

Keputusan:Kami akan terlebih dahulu mencari penyelesaian umum. Persamaan sudah mengandungi perbezaan yang siap dan, yang bermaksud bahawa penyelesaiannya dipermudahkan. Kami berkongsi pembolehubah:

Kami mengintegrasikan persamaan:

Kiri Tertentu - Tabular, Integral Hak - Ambil dengan merumuskan fungsi di bawah tanda perbezaan:

Integral umum menerima sama ada mustahil untuk berjaya menyatakan penyelesaian umum? Boleh. Logaritma ujian:

(Saya harap semua orang memahami transformasi, perkara-perkara seperti itu perlu diketahui)

Jadi, penyelesaian umum:

Kami akan mencari penyelesaian peribadi yang memenuhi syarat permulaan yang ditentukan. Secara umum, penyelesaiannya bukan "IKSA" kami menggantikan sifar, dan bukannya logaritma "permainan" dua:

Reka bentuk yang lebih biasa:

Kami menggantikan nilai yang dijumpai berterusan dalam penyelesaian umum.

Jawab: Penyelesaian persendirian:

Semak: Pertama, periksa sama ada keadaan awal dibuat:
- segala-galanya adalah baik.

Sekarang semak, dan sama ada penyelesaian tertentu memuaskan secara umum persamaan pembezaan. Cari derivatif:

Kami melihat persamaan awal: - Ia diwakili dalam perbezaan. Terdapat dua cara untuk memeriksa. Anda boleh menyatakan perbezaan dari derivatif yang dijumpai:

Kami menggantikan penyelesaian peribadi yang dijumpai dan pembezaan yang diperolehi dalam persamaan asal :

Kami menggunakan identiti logaritma utama:

Kesamaan yang betul diperolehi, ini bermakna bahawa penyelesaian peribadi ditemui dengan betul.

Cara kedua untuk memeriksa cermin dan lebih biasa: dari persamaan Ekspresikan derivatif, untuk ini kita membahagikan segala perkara:

Dan di DU yang ditukar kami menggantikan penyelesaian peribadi yang diterima dan derivatif yang dijumpai. Hasil daripada penyederhanaan, ia juga harus menjadi kesaksamaan yang benar.

Contoh 6.

Menyelesaikan persamaan kebezaan. Perwakilan dalam bentuk integral bersama.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, penyelesaian lengkap dan tindak balas pada akhir pelajaran.

Apakah kesukaran berbohong semasa menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang memisahkan?

1) Tidak selalu jelas (terutamanya, teko) yang pembolehubah boleh dibahagikan. Pertimbangkan contoh bersyarat :. Di sini anda perlu membuat pengganda untuk kurungan: dan memisahkan akar :. Bagaimana untuk bertindak lebih jauh - difahami.

2) Kesukaran dalam integrasi itu sendiri. Integral sering timbul bukan yang paling mudah, dan jika terdapat kelemahan dalam kemahiran mencari tidak menentu, dengan banyak penyebar perlu ketat. Di samping itu, kompilasi koleksi dan kaedah popular dengan "Sekali persamaan pembezaan adalah mudah, maka biarkan integral menjadi lebih rumit."

3) Penukaran dengan malar. Seperti yang dinyatakan oleh semua orang, dengan persamaan pembezaan yang berterusan, anda boleh melakukan apa sahaja. Dan tidak semestinya transformasi sedemikian jelas menjadi pendatang baru. Pertimbangkan satu lagi contoh bersyarat: . Adalah dinasihatkan untuk membiak semua syarat 2: . Pemalar yang terhasil juga beberapa pemalar yang boleh dilambangkan oleh: . Ya, dan sejak logaritma itu betul, maka adalah dinasihatkan untuk menulis semula yang berterusan dalam bentuk yang lain: .

Kemalangan adalah bahawa ia sering tidak bosan dengan indeks, dan menggunakan huruf yang sama. Dan sebagai hasilnya, rakaman keputusan mengambil bentuk berikut:

Apakah jenis sampah? Segera kesilapan. Secara rasmi ya. Dan secara tidak rasmi - tiada kesilapan, difahami bahawa apabila menukar pemalar masih ternyata pemalar yang lain.

Atau contoh seperti itu, anggap bahawa semasa penyelesaian persamaan, integral bersama diperolehi. Jawapan seperti itu kelihatan hodoh, jadi adalah dinasihatkan untuk mengubah tanda-tanda dari semua pengganda: . Secara rasmi, pada rekod di sini sekali lagi, ralat perlu direkodkan. Tetapi secara tidak rasmi tersirat bahawa - ia masih ada yang lain yang tetap (lebih-lebih lagi ia boleh mengambil apa-apa makna), jadi perubahan tanda tanda tidak masuk akal dan satu dan huruf yang sama boleh digunakan.

Saya akan cuba untuk mengelakkan pendekatan yang cuai, dan masih meletakkan indeks yang berbeza dari pemalar ketika menukarnya.

Contoh 7.

Menyelesaikan persamaan kebezaan. Melakukan pemeriksaan.

Keputusan: Persamaan ini membolehkan pemisahan pembolehubah. Kami berkongsi pembolehubah:

Kami mengintegrasikan:

Pemalar di sini tidak perlu ditentukan di bawah logaritma, kerana tiada apa yang mungkin dari ini tidak akan berfungsi.

Jawab: Integral Am:

Semak: Membezakan jawapan (fungsi tersirat):

Kami menghilangkan pecahan, kerana ini kami melipatgandakan kedua-dua istilah pada:

Persamaan pembezaan awal diperolehi, yang bermaksud bahawa integral umum dijumpai dengan betul.

Contoh 8.

Cari keputusan peribadi DU.
,

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Satu-satunya komen di sini adalah integral bersama, dan, lebih tepat, anda perlu mencari keputusan khas, tetapi integral Swasta.. Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Seperti yang dinyatakan, dalam penyebar dengan pembolehubah yang memisahkan, tidak penting integral sering dikenalpasti. Dan kini beberapa contoh seperti penyelesaian bebas. Saya cadangkan kepada semua orang.

Contoh 9.

Menyelesaikan persamaan pembezaan

Contoh 10.

Menyelesaikan persamaan pembezaan

Ingat bahawa integral biasa tidak boleh ditulis dengan satu-satunya cara, dan penampilan jawapan anda mungkin berbeza dari penampilan jawapan saya. Kursus penyelesaian dan jawapan yang ringkas pada akhir pelajaran.

Promosi yang berjaya!

Contoh 4:Keputusan: Cari penyelesaian umum. Kami berkongsi pembolehubah:


Kami mengintegrasikan:



Integral bersama diperolehi, cuba memudahkannya. Kami bungkus logaritma dan menyingkirkan mereka:

I. Persamaan pembezaan biasa

1.1. Konsep dan definisi asas

Persamaan pembezaan dipanggil persamaan yang menghubungkan pemboleh ubah bebas x., fungsi yang dikehendaki y. dan derivatif atau perbezaannya.

Persamaan perbezaan secara simbolik ditulis seperti berikut:

F (x, y, y ") \u003d 0, f (x, y, y") \u003d 0, f (x, y, y, y, y, .., y (n)) \u003d 0

Persamaan pembezaan dipanggil biasa jika fungsi yang dikehendaki bergantung kepada satu pemboleh ubah bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan pembezaan Ciri ini dipanggil yang menarik persamaan ini kepada identiti.

Perintah persamaan pembezaan dipanggil perintah yang mendalam yang lebih tua masuk dalam persamaan ini

Contoh.

1. Pertimbangkan persamaan pembezaan pertama

Dengan penyelesaian persamaan ini, fungsi y \u003d 5 ln x. Benar, menggantikannya y " Dalam persamaan, kita memperoleh - identiti.

Dan ini bermakna bahawa fungsi y \u003d 5 ln x adalah penyelesaian persamaan pembezaan ini.

2. Pertimbangkan persamaan pembezaan pesanan kedua y "- 5Y" + 6Y \u003d 0. Fungsi ini adalah penyelesaian persamaan ini.

Sesungguhnya.

Menggantikan ungkapan-ungkapan ini kepada persamaan, kita mendapat:, - identiti.

Dan ini bermakna fungsi itu adalah penyelesaian persamaan pembezaan ini.

Mengintegrasikan persamaan pembezaan Proses mencari penyelesaian persamaan pembezaan dipanggil.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan dipanggil jenis jenis yang merangkumi begitu banyak pemalar sewenang-wenangnya, apakah perintah persamaan.

Penyelesaian khas persamaan pembezaan Penyelesaian yang diperoleh daripada penyelesaian keseluruhan dipanggil dengan pelbagai nilai berangka pemalar sewenang-wenangnya. Nilai-nilai pemalar sewenang-wenang adalah di bawah nilai awal tertentu hujah dan fungsi.

Carta penyelesaian persendirian persamaan pembezaan dipanggil lengkung penting.

Contoh

1.iti penyelesaian persendirian persamaan pembezaan pertama

xdx + ydy \u003d 0, sekiranya y.\u003d 4. x. = 3.

Keputusan. Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan, kita dapat

Komen. Pemalar sewenang-wenangnya dengan integrasi yang terhasil boleh diwakili dalam apa-apa bentuk yang mudah untuk transformasi selanjutnya. Dalam kes ini, dengan mengambil kira Persamaan Bulatan Canonical sebagai pemalar sewenang-wenang dengan mudah hadir dalam bentuk.

- Penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Persamaan penyelesaian persendirian yang memuaskan keadaan awal y. \u003d 4. x. \u003d 3 adalah dari jumlah penggantian keadaan awal dalam Penyelesaian Umum: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Menggantikan c \u003d 5 dalam penyelesaian umum, kita dapat x 2 + y 2 = 5 2 .

Ini adalah penyelesaian tertentu untuk persamaan pembezaan yang diperoleh dari penyelesaian umum di bawah keadaan awal yang ditentukan.

2. Cari penyelesaian umum persamaan pembezaan

Dengan penyelesaian persamaan ini adalah fungsi spesies di mana C adalah pemalar sewenang-wenangnya. Sesungguhnya penggantian dalam persamaan, kita dapat :,.

Oleh itu, persamaan pembezaan ini mempunyai satu set penyelesaian yang tidak terhingga, kerana pada nilai-nilai yang berlainan yang berterusan dengan kesamaan menentukan pelbagai penyelesaian persamaan.

Sebagai contoh, anda boleh memastikan bahawa fungsi boleh disahkan. adalah penyelesaian persamaan.

Tugas di mana ia dikehendaki untuk mencari penyelesaian tertentu persamaan y "\u003d f (x, y) memuaskan keadaan utama y (x 0) \u003d y 0, dipanggil tugas Cauchy.

Persamaan penyelesaian y "\u003d f (x, y)memuaskan keadaan awal y (x 0) \u003d y 0dipanggil penyelesaian masalah Cauchy.

Penyelesaian masalah Cauchy mempunyai makna geometri yang mudah. Sesungguhnya, mengikut definisi ini, untuk menyelesaikan tugas Cauchy y "\u003d f (x, y) Memandangkan itu y (x 0) \u003d y 0bermaksud mencari lengkung persamaan penting y "\u003d f (x, y) yang melewati titik yang ditentukan M 0 (x 0,y 0.).

Ii. Persamaan pembezaan pesanan pertama

2.1. Konsep asas

Persamaan pembezaan pesanan pertama dipanggil persamaan spesies F (x, y, y ") \u003d 0.

Persamaan pembezaan pertama-pesanan termasuk derivatif pertama dan tidak termasuk derivatif pesanan yang lebih tinggi.

Persamaan itu y "\u003d f (x, y) Ia dipanggil persamaan pesanan pertama, yang dibenarkan relatif kepada derivatif.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan pesanan pertama dipanggil fungsi bentuk yang mengandungi satu pemalar sewenang-wenangnya.

Contohnya.Pertimbangkan persamaan pembezaan pesanan pertama.

Dengan menyelesaikan persamaan ini adalah fungsi.

Sesungguhnya, menggantikan persamaan ini, maknanya, kita dapat

I.E. 3x \u003d 3x.

Akibatnya, fungsi ini adalah penyelesaian umum persamaan untuk mana-mana yang berterusan C.

Cari penyelesaian peribadi persamaan ini yang memenuhi syarat awal y (1) \u003d 1 Menggantikan keadaan awal x \u003d 1, y \u003d 1 Dalam penyelesaian umum persamaan, kita dapat dari mana C \u003d 0..

Oleh itu, penyelesaian tertentu untuk mendapatkan dari penggantian umum kepada persamaan ini yang diperolehi C \u003d 0. - Penyelesaian persendirian.

2.2. Persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang memisahkan

Persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang memisahkan dipanggil persamaan bentuk: y "\u003d f (x) g (y) atau melalui perbezaan di mana f (x) dan g (y)- Fungsi yang ditentukan.

Bagi mereka y.yang persamaannya y "\u003d f (x) g (y) bersamaan dengan persamaan di mana pemboleh ubah itu y. Ia hanya terdapat di sebelah kiri, dan pembolehubah X hanya di bahagian yang betul. Mereka berkata "dalam persamaan y "\u003d f (x) g (y Kami berpecah pembolehubah. "

Lihat persamaan dipanggil persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan.

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan oleh x., Get. G (y) \u003d f (x) + c- Penyelesaian umum persamaan di mana G (y) dan F (x) - beberapa fungsi primitif dan f (x), C. malengan sewenang-wenangnya.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan pembezaan pesanan pertama dengan pemisahan pembolehubah

Contoh 1.

Menyelesaikan persamaan y "\u003d xy

Keputusan. Fungsi yang diperolehi y " Gantikan pada

kami berpecah pembolehubah

kami mengintegrasikan kedua-dua bahagian kesaksamaan:

Contoh 2.

2yy "\u003d 1- 3x 2, sekiranya y 0 \u003d 3 untuk x 0 \u003d 1

Persamaan ini dengan pembolehubah yang dipisahkan. Bayangkan dalam perbezaan. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan ini dalam bentuk Dari sini

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian kesamaan terakhir, kita akan dapati

Menggantikan nilai-nilai awal x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3cari Dari 9=1-1+C.. C \u003d 9.

Akibatnya, integral peribadi yang dikehendaki akan menjadi atau

Contoh 3.

Membuat persamaan lengkung yang melewati titik M (2; -3) dan mempunyai tangen dengan pekali sudut

Keputusan. Mengikut keadaan

Ini adalah persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan. Berkongsi pembolehubah, dapatkan:

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan, kami mendapat:

Menggunakan keadaan awal x \u003d 2. dan y \u003d - 3 Cari C.:

Akibatnya, persamaan yang dikehendaki adalah

2.3. Persamaan Pembezaan Linear Perintah Pertama

Persamaan pembezaan linear dari pesanan pertama dipanggil persamaan pandangan y "\u003d f (x) y + g (x)

di mana sahaja f (x) dan g (x) - Beberapa fungsi yang ditentukan.

Sekiranya g (x) \u003d 0persamaan pembezaan linear dipanggil homogen dan mempunyai bentuk: y "\u003d f (x) y

Sekiranya persamaan itu y "\u003d f (x) y + g (x) dipanggil tidak berperikemanusiaan.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen linear y "\u003d f (x) y Ditakrifkan oleh Formula: Di mana Dari - Pemalar sewenang-wenangnya.

Khususnya, jika C \u003d 0,kemudian penyelesaiannya adalah y \u003d 0. Sekiranya persamaan homogen linear mempunyai bentuk y "\u003d ky Di mana sahaja k. - Sesetengah tetap, penyelesaian amnya mempunyai bentuk :.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan linear linear y "\u003d f (x) y + g (x) Formula yang ditakrifkan ,

mereka. Sama-sama jumlah penyelesaian keseluruhan persamaan homogen linear yang sama dan penyelesaian khusus persamaan ini.

Untuk persamaan pandangan yang tidak diingini linear y "\u003d kx + b,

di mana sahaja k. dan b.- Sesetengah nombor dan penyelesaian peribadi akan menjadi fungsi yang berterusan. Oleh itu, penyelesaian umum mempunyai bentuk.

Contohnya. Menyelesaikan persamaan y "+ 2y +3 \u003d 0

Keputusan. Bayangkan persamaan dalam bentuk y "\u003d -2y - 3 Di mana sahaja k \u003d -2, b \u003d -3 Penyelesaian umum diberikan oleh formula.

Akibatnya, di mana C adalah pemalar sewenang-wenangnya.

2.4. Penyelesaian persamaan pembezaan linear dari pesanan pertama oleh Bernoulli

Mencari penyelesaian umum persamaan pembezaan linear perintah pertama y "\u003d f (x) y + g (x) Ia datang untuk menyelesaikan dua persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan dengan penggantian y \u003d uv.di mana sahaja u. dan v. - Fungsi tidak diketahui dari x.. Kaedah penyelesaian ini dipanggil kaedah Bernoulli.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan pembezaan linier dari pesanan pertama

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Masukkan penggantian y \u003d uv..

2. Membezakan kesaksamaan ini y "\u003d u" v + uv "

3. Pengganti y. dan y " Dalam persamaan ini: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)atau u "V + UV" + F (X) UV \u003d G (X).

4. Ganjil ahli-ahli persamaan supaya itu u. Ambil untuk pendakap:

5. Dari kurungan, menyamakannya kepada sifar, mencari ciri

Ini adalah persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan:

Kami membahagikan pembolehubah dan dapatkan:

Dari . .

6. Gantikan nilai v.dalam persamaan (dari tuntutan 4):

dan cari fungsi persamaan pembolehubah yang berpisah:

7. Rekod penyelesaian umum dalam bentuk: . .

Contoh 1.

Cari penyelesaian persendirian persamaan y "\u003d -2y +3 \u003d 0 sekiranya y \u003d 1. untuk x \u003d 0.

Keputusan. Saya menyelesaikannya dengan penggantian y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Menggantikannya y.dan y " Dalam persamaan ini, kita dapat

Grumping istilah kedua dan ketiga bahagian kiri persamaan, saya akan meringkaskan kilang itu u. untuk penyokong gigi

Ungkapan dalam kurungan sama dengan sifar dan, setelah menyelesaikan persamaan yang diperoleh, kita dapati fungsi v \u003d v (x)

Menerima persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan. Kami mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan ini: Cari fungsi v.:

Kami menggantikan nilai v. Kami akan mendapat persamaan:

Ini adalah persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan. Kami mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan: Cari ciri u \u003d u (x, c) Cari penyelesaian umum: Cari penyelesaian peribadi yang memenuhi syarat-syarat awal y \u003d 1. untuk x \u003d 0.:

Iii. Persamaan pembezaan pesanan yang lebih tinggi

3.1. Konsep dan definisi asas

Persamaan pembezaan pesanan kedua dipanggil persamaan yang mengandungi derivatif yang tidak lebih tinggi daripada pesanan kedua. Dalam kes umum, persamaan pembezaan pesanan kedua ditulis dalam bentuk: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Penyelesaian umum persamaan pembezaan pesanan kedua dipanggil fungsi bentuk di mana dua pemalar sewenang-wenangnya C 1. dan C 2..

Penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan perintah kedua dipanggil penyelesaian yang diperoleh dari umum dengan beberapa nilai yang berterusan sewenang-wenangnya C 1. dan C 2..

3.2. Persamaan pembezaan kedua-dua homogen linear dengan pekali kekal.

Persamaan pembezaan kedua-dua homogen secara linear dengan pekali yang berterusan Dipanggil Persamaan Paparan y "+ py" + qy \u003d 0di mana sahaja p.dan t.- Nilai tetap.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan pembezaan kedua-dua homogen dengan koefisien yang berterusan

1. Rekod persamaan pembezaan dalam bentuk: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Buat persamaan ciri, menunjukkan y " melalui r 2., y " melalui r., y.dalam 1: r 2 + PR + Q \u003d 0

Kandungan artikel itu

Persamaan pembezaan.Banyak undang-undang fizikal yang tertakluk kepada fenomena tertentu direkodkan dalam bentuk persamaan matematik yang menyatakan pergantungan tertentu antara beberapa jenis nilai. Selalunya kita bercakap tentang nisbah antara nilai-nilai yang berbeza dari masa ke masa, sebagai contoh, kecekapan enjin, diukur oleh jarak, yang mana kereta boleh memandu pada satu sampah bahan api bergantung kepada kelajuan kenderaan. Persamaan yang sama mengandungi satu atau lebih fungsi dan derivatif mereka dan dipanggil persamaan pembezaan. (Kadar perubahan jarak dari masa yang ditentukan oleh kelajuan; Oleh itu, kelajuan diperoleh dari jarak; Begitu juga, pecutan diperoleh dari kelajuan, kerana pecutan menetapkan kadar perubahan kelajuan dari masa ke masa.) Itu mempunyai persamaan pembezaan untuk matematik dan terutamanya untuk aplikasinya. dijelaskan oleh fakta bahawa penyelesaian persamaan tersebut dikurangkan kepada kajian banyak tugas fizikal dan teknikal. Persamaan pembezaan memainkan peranan penting dalam sains lain, seperti biologi, ekonomi dan kejuruteraan elektrik; Malah, mereka berlaku di mana-mana di mana terdapat keperluan untuk kuantitatif (berangka) penerangan fenomena (sejak dunia sekitar berubah dari masa ke masa, dan keadaan berubah dari satu tempat ke tempat lain).

Contoh.

Contoh-contoh berikut menjadikannya lebih baik untuk memahami bagaimana tugas yang berbeza dirumuskan dalam bahasa persamaan pembezaan.

1) Undang-undang kerosakan beberapa bahan radioaktif adalah bahawa kadar kerosakan adalah berkadar dengan jumlah tunai bahan ini. Sekiranya x. - jumlah bahan pada satu ketika dalam masa t.Undang-undang ini boleh direkodkan seperti ini:

di mana sahaja dX./dt. - kadar kerosakan, dan k. - Sesetengah pemalar positif mencirikan bahan ini. (Tolak tanda di bahagian kanan menunjukkan bahawa x. berkurangan dengan masa; Tanda ditambah, tersirat selalu apabila tanda jelas tidak ditentukan, bermakna itu x. meningkat dengan masa.)

2) Kapasiti pada mulanya mengandungi 10 kg garam yang dibubarkan dalam 100 m 3 air. Sekiranya air bersih dicurahkan ke dalam kapasiti pada kadar 1 m 3 seminit dan sama rata bercampur dengan penyelesaian, dan penyelesaian yang dihasilkan mengikuti dari bekas pada kelajuan yang sama, maka berapa banyak garam yang akan berada di dalam bekas pada mana-mana berikutnya titik dalam masa? Sekiranya x. - jumlah garam (dalam kg) dalam tangki pada masa masa t.Kemudian pada bila-bila masa t. Dalam 1 m 3 penyelesaian dalam bekas mengandungi x./ 100 kg garam; Oleh itu, jumlah garam berkurangan pada kelajuan x./ 100 kg / min, atau

3) Biarkan jisim m., Digantung pada akhir musim bunga, pasukan yang kembali bertindak berkadar dengan springs regangan. Biarkan x. - Magnitud penyimpangan badan dari kedudukan keseimbangan. Kemudian, menurut undang-undang kedua Newton, yang mendakwa bahawa pecutan (derivatif kedua x. dalam masa, dilambangkan d. 2 x./dt. 2) Kekuatan proporsional:

Bahagian kanan adalah dengan tanda tolak kerana daya yang kembali mengurangkan springs regangan.

4) Undang-undang Badan Penyejuk berpendapat bahawa jumlah haba dalam badan berkurangan mengikut perkadaran dalam suhu badan dan alam sekitar. Jika secawan kopi yang dipanaskan hingga suhu 90 ° ° adalah di dalam rumah, suhu yang sama dengan 20 ° C, maka

di mana sahaja T. - Suhu kopi pada masa t..

5) Menteri Luar Negeri Bler Fouffus menyatakan bahawa program senjata yang diterima pakai oleh Lilliputia memaksa negaranya untuk meningkatkan perbelanjaan ketenteraan sebanyak mungkin. Menteri Luar Negeri Lilliputia juga difasilitasi dengan kenyataan yang sama. Keadaan yang timbul daripada hasil (dalam tafsiran yang paling mudah) boleh diterangkan dengan tepat oleh dua persamaan pembezaan. Biarkan x. dan y. - Perbelanjaan untuk persenjataan Lilliputia dan Blerofus. Dengan mengandaikan bahawa Lillipathy meningkatkan kos sentimennya pada kelajuan, berkadar dengan kelajuan meningkatkan kos bersenjata dengan fupus yang bler, dan sebaliknya, kita dapat:

di mana ahli-ahli adalah kapak. dan - oleh Terangkan perbelanjaan ketenteraan setiap negara k. dan l. - Pemalar positif. (Tugas ini buat kali pertama diformulasikan pada tahun 1939 L. Ryrhardson.)

Selepas tugas itu direkodkan dalam bahasa persamaan pembezaan, anda harus cuba menyelesaikannya, iaitu. Cari kuantiti yang halaju dimasukkan ke dalam persamaan. Kadang-kadang penyelesaian adalah dalam bentuk formula yang jelas, tetapi lebih kerap mereka boleh dikemukakan hanya dalam bentuk anggaran atau untuk mendapatkan maklumat yang berkualiti tentang mereka. Sering sukar untuk menentukan sama ada terdapat keputusan sama sekali, belum lagi mencarinya. Satu bahagian penting teori persamaan pembezaan adalah apa yang dipanggil "kewujudan teorem", di mana kehadiran penyelesaian dalam satu atau lain-lain jenis persamaan pembezaan dibuktikan.

Perumusan matematik awal masalah fizikal biasanya mengandungi andaian memudahkan; Kriteria kecerdasan mereka boleh berfungsi sebagai tahap koheren penyelesaian matematik dengan pemerhatian yang ada.

Penyelesaian persamaan pembezaan.

Persamaan pembezaan, sebagai contoh dy./dX. = x./y.Ia memenuhi nombor itu, tetapi fungsi, dalam hal ini seperti jadwalnya pada mana-mana titik, sebagai contoh, pada satu titik dengan koordinat (2,3), mempunyai tangen dengan pekali sudut yang sama dengan nisbah koordinat ( Dalam contoh kami 2/3). Adalah mudah untuk memastikan bahawa jika anda membina sejumlah besar mata dan menangguhkan potongan pendek dengan cerun yang sesuai. Penyelesaiannya akan menjadi fungsi, graf yang melibatkan setiap titik dari segmen yang sepadan. Sekiranya mata dan segmen agak banyak, maka kita boleh menggariskan kemajuan penyelesaian (tiga lengkung sedemikian ditunjukkan dalam Rajah 1). Terdapat tepat satu kurva yang melewati setiap titik dengan y. № 0. Setiap penyelesaian berasingan dipanggil penyelesaian persendirian persamaan pembezaan; Sekiranya mungkin untuk mencari formula yang mengandungi semua penyelesaian peribadi (kecuali, mungkin, beberapa khas), maka mereka mengatakan bahawa penyelesaian umum diperolehi. Penyelesaian peribadi adalah satu fungsi, sementara jumlahnya adalah seluruh keluarga. Menyelesaikan persamaan pembezaan - ia bermakna untuk mencari sama ada penyelesaian peribadi atau umumnya. Dalam contoh kami, penyelesaian umum mempunyai bentuk y. 2 – x. 2 = c.di mana sahaja c. - sebarang nombor; Penyelesaian persendirian yang melalui titik (1.1), mempunyai bentuk y. = x. Dan ternyata c. \u003d 0; Penyelesaian persendirian yang melalui titik (2.1), mempunyai bentuk y. 2 – x. 2 \u003d 3. Keadaan yang memerlukan penyelesaian yang menangis berlaku, sebagai contoh, melalui titik (2.1), dipanggil keadaan awal (kerana ia menentukan titik permulaan pada keputusan lengkung).

Ia boleh ditunjukkan bahawa dalam contoh (1) penyelesaian umum mempunyai pandangan x. = ce. –kT. di mana sahaja c. - malar, yang boleh ditentukan, sebagai contoh, menunjukkan jumlah bahan di t. \u003d 0. Persamaan dari contoh (2) adalah kes khas persamaan dari contoh (1), sesuai k. \u003d 1/100. Keadaan utama x. \u003d 10 O. t. \u003d 0 memberikan penyelesaian peribadi x. = 10e. –t./ 100. Persamaan dari contoh (4) mempunyai penyelesaian umum. T. = 70 + ce. –kT. dan Keputusan Persendirian 70 + 130 - kT. ; Untuk menentukan nilai k., Data tambahan diperlukan.

Persamaan pembezaan. dy./dX. = x./y. Ia dipanggil persamaan pesanan pertama, kerana ia mengandungi derivatif pertama (prosedur untuk persamaan pembezaan dianggap mempertimbangkan perintah derivatif yang lebih tua dari derivatif yang lebih tua. Kebanyakan (walaupun tidak semua) dalam amalan jenis persamaan pembezaan pertama dari jenis pertama melalui setiap titik hanya melengkapkan satu kurva-keputusan.

Terdapat beberapa jenis penting persamaan pembezaan pertama yang membolehkan penyelesaian dalam formula yang mengandungi hanya fungsi asas - darjah, peserta pameran, logaritma, sines dan kosines, dan sebagainya. Persamaan berikut termasuk yang berikut.

Persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan.

Lihat persamaan dy./dX. = f.(x.)/g.(y.) boleh diselesaikan dengan menulis dalam perbezaan g.(y.)dy. = f.(x.)dX. Dan menyuntik kedua-dua bahagian. Dalam kes yang paling teruk, keputusan itu dibentangkan dalam bentuk integral dari fungsi yang diketahui. Sebagai contoh, dalam kes persamaan dy./dX. = x./y. telah f.(x.) = x., g.(y.) = y.. Menulis dalam bentuk yDY. = xDX dan menyuntik, kita dapat y. 2 = x. 2 + c.. Persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan termasuk persamaan dari contoh (1), (2), (4) (mereka boleh diselesaikan dengan kaedah yang dinyatakan di atas).

Persamaan dalam pembezaan lengkap.

Sekiranya persamaan pembezaan mempunyai bentuk dy./dX. = M.(x.,y.)/N.(x.,y.), di mana sahaja M. dan N. - Dua fungsi yang ditentukan, ia boleh diwakili sebagai M.(x.,y.)dX. – N.(x.,y.)dy. \u003d 0. Jika sebelah kiri adalah perbezaan beberapa fungsi F.(x.,y.), maka persamaan pembezaan boleh ditulis sebagai df.(x.,y.) \u003d 0, yang bersamaan dengan persamaan F.(x.,y.) \u003d Const. Oleh itu, lengkung penyelesaian persamaan adalah "garis tahap kekal" fungsi, atau titik geometri mata yang memuaskan persamaan F.(x.,y.) = c.. Persamaan itu yDY. = xDX (Rajah 1) - Dengan pembolehubah yang memisahkan, dan ia adalah dalam pembezaan penuh: untuk memastikan pada yang terakhir, tulis sebagai yDY. – xDX \u003d 0, iaitu. d.(y. 2 – x. 2) \u003d 0. Fungsi F.(x.,y.) Dalam kes ini, sama dengan (1/2) ( y. 2 – x. 2); Beberapa garis tahap yang berterusan dibentangkan dalam Rajah. satu.

Persamaan linear.

Persamaan linear adalah persamaan "ijazah pertama" - fungsi yang tidak diketahui dan derivatifnya dimasukkan dalam persamaan tersebut hanya dalam ijazah pertama. Oleh itu, persamaan pembezaan linear dari urutan pertama mempunyai bentuk dy./dX. + p.(x.) = t.(x.), di mana sahaja p.(x.) I. t.(x.- Fungsi bergantung hanya dari x.. Penyelesaiannya sentiasa boleh ditulis dengan menggunakan integral dari fungsi yang diketahui. Banyak jenis persamaan pembezaan pertama yang diselesaikan menggunakan teknik khas.

Persamaan pesanan yang lebih tua.

Banyak persamaan pembezaan yang dihadapi oleh fizik adalah persamaan perintah kedua (iaitu persamaan yang mengandungi derivatif kedua) adalah seperti, sebagai contoh, persamaan gerakan harmonik yang mudah dari Contoh (3), md. 2 x./dt. 2 = –kX.. Secara umumnya, seseorang boleh mengharapkan persamaan perintah kedua mempunyai penyelesaian peribadi yang memenuhi dua syarat; Sebagai contoh, anda boleh menghendaki bahawa keputusan kurva berlaku melalui titik ini ke arah ini. Dalam kes-kes di mana persamaan pembezaan mengandungi parameter tertentu (nombor, nilai yang bergantung kepada keadaan), menyelesaikan jenis yang diperlukan hanya pada nilai-nilai tertentu parameter ini. Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan md. 2 x./dt. 2 = –kX. Dan kita akan memerlukannya y.(0) = y.(1) \u003d 0. Fungsi y. є 0 jelas merupakan penyelesaian, tetapi jika terdapat beberapa nombor p.. k. = m. 2 n. 2 p.2, di mana sahaja n. - Integer, dan pada hakikatnya hanya dalam kes ini, terdapat penyelesaian lain, iaitu: y. \u003d Dosa nPX.. Nilai parameter di mana persamaan mempunyai penyelesaian khas dipanggil ciri atau eigen; Mereka memainkan peranan penting dalam banyak tugas.

Persamaan pergerakan harmonik yang mudah berfungsi sebagai contoh kelas persamaan yang penting, iaitu: persamaan pembezaan linear dengan pekali yang berterusan. Contoh yang lebih umum (juga perintah kedua) - persamaan

di mana sahaja a. dan b. - Tetapkan kekal, f.(x.) - Fungsi yang ditentukan. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan dalam pelbagai cara, contohnya, menggunakan transformasi Integral Laplace. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai persamaan linear pesanan yang lebih tinggi dengan pekali yang berterusan. Persamaan linear dengan pekali berubah juga dimainkan bukan peranan kecil.

Persamaan pembezaan bukan linear.

Persamaan yang mengandungi fungsi yang tidak diketahui dan derivatif mereka kepada tahap di atas cara pertama atau lebih kompleks dipanggil nonlinear. Dalam tahun-tahun kebelakangan ini, mereka menarik lebih banyak perhatian. Hakikatnya ialah persamaan fizikal biasanya linear hanya dalam penghampiran pertama; Satu lagi kajian yang lebih tepat, sebagai peraturan, memerlukan penggunaan persamaan bukan linear. Di samping itu, banyak tugas tidak kelihatan pada dasarnya. Oleh kerana penyelesaian persamaan bukan linear sering sangat rumit dan sukar untuk hadir dengan formula mudah, sebahagian besar teori moden yang ditumpukan kepada analisis kualitatif terhadap tingkah laku mereka, iaitu. Pembangunan kaedah yang membolehkan, tanpa menyelesaikan persamaan, untuk mengatakan sesuatu yang penting tentang sifat keputusan secara keseluruhannya: Sebagai contoh, bahawa mereka semua adalah terhad, atau mempunyai watak berkala, atau secara sememangnya bergantung kepada koefisien.

Penyelesaian anggaran persamaan pembezaan boleh didapati secara numerik, tetapi memerlukan banyak masa. Dengan kemunculan komputer berkelajuan tinggi, kali ini telah banyak menurun, yang telah membuka kemungkinan baru penyelesaian berangka banyak, sebelum ini tidak biasa untuk keputusan, tugas.

Teorem kewujudan.

Kewujudan Teorem dipanggil Theorem yang meluluskan bahawa di bawah keadaan tertentu, persamaan pembezaan ini mempunyai penyelesaian. Terdapat persamaan pembezaan yang tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai mereka lebih daripada yang diharapkan. Pelantikan kewujudan teorem adalah untuk meyakinkan kita bahawa persamaan ini benar-benar mempunyai penyelesaian, dan paling sering terjamin bahawa ia mempunyai satu penyelesaian dari jenis yang diperlukan. Sebagai contoh, persamaan sudah berlaku kepada kami dy./dX. = –2y. Ia mempunyai satu penyelesaian yang melewati setiap titik pesawat ( x.,y.), Dan sejak satu keputusan yang kami dapati, dengan itu menyelesaikan sepenuhnya persamaan ini. Sebaliknya, persamaan ( dy./dX.) 2 = 1 – y. 2 mempunyai banyak penyelesaian. Antaranya langsung y. = 1, y. \u003d -1 dan lengkung y. \u003d dosa ( x. + c.). Penyelesaian ini mungkin terdiri daripada beberapa segmen langsung dan lengkung ini, melewati satu sama lain di titik sentuhan (Rajah 2).

Persamaan pembezaan dalam derivatif persendirian.

Persamaan pembezaan biasa adalah beberapa pernyataan mengenai fungsi tidak diketahui derivatif satu pembolehubah. Persamaan pembezaan dalam derivatif persendirian mengandungi fungsi dua atau lebih pembolehubah dan derivatif dari fungsi ini sekurang-kurangnya dua pembolehubah yang berbeza.

Dalam fizik, contoh persamaan sedemikian adalah persamaan Laplace

X. y.) Di dalam bulatan jika nilai u. Mereka ditentukan pada setiap titik bulatan yang mengehadkan. Oleh kerana masalah dengan lebih daripada satu pembolehubah dalam fizik adalah sebaliknya peraturan daripada pengecualian, mudah untuk membayangkan bagaimana subjek teori persamaan pembezaan dalam derivatif persendirian dengan mudah.

Kalkulator dalam talian ini membolehkan anda menyelesaikan persamaan kebezaan dalam talian. Cukup dalam bidang yang sepadan, masukkan persamaan anda, yang dinamakan melalui apostrophe "yang berasal dari fungsi dan klik pada butang" Selesaikan Persamaan ". Dan sistem yang dilaksanakan berdasarkan laman web Wolframalpha yang popular akan mengeluarkan terperinci keputusan persamaan pembezaan benar-benar percuma. Anda juga boleh menetapkan tugas Cauchy untuk memilih keseluruhan set penyelesaian yang mungkin untuk memilih keadaan awal yang sesuai. Tugas Cauchy dimasukkan dalam medan yang berasingan.

Persamaan pembezaan.

Secara lalai, persamaan ciri y. adalah fungsi dari pembolehubah x.. Walau bagaimanapun, anda boleh menetapkan penamaan anda sendiri pemboleh ubah jika anda menulis, sebagai contoh, Y (t) dalam persamaan, maka kalkulator secara automatik mengenali itu y. Terdapat fungsi dari pembolehubah t.. Dengan bantuan kalkulator yang anda boleh persamaan pembezaan Mana-mana kerumitan dan spesies: homogen dan tidak berdaya, linear atau bukan linear, pesanan pertama atau pesanan kedua dan yang lebih tinggi, persamaan dengan pembolehubah yang berpisah atau tidak berkaitan, dll. DIF Keputusan. Persamaan diberikan dalam bentuk analisis, mempunyai penerangan terperinci. Persamaan pembezaan sering dijumpai dalam fizik dan matematik. Tanpa pengiraan mereka, adalah mustahil untuk menyelesaikan banyak tugas (terutamanya dalam fizik matematik).

Salah satu peringkat penyelesaian persamaan pembezaan adalah integrasi fungsi. Terdapat kaedah standard untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Ia adalah perlu untuk membawa persamaan dengan bentuk dengan memisahkan pembolehubah Y dan X dan secara berasingan mengintegrasikan fungsi yang dipisahkan. Untuk melakukan ini kadang-kadang perlu dilakukan untuk menggantikan.