Agensi Persekutuan Pendidikan

Institut Institut Pendidikan

"Kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dan ketidaksamaan dengan parameter"

Dilakukan

guru matematik

MOU SOSH №62.

Lipetsk 2008.

Pengenalan ................................................. .. ................................................ ... 3.

h.;w.) 4

1.1. Pindahan selari ................................................ ........................... lima.

1.2. Hidupkan ................................................. .................................................. sembilan.

1.3. Homotetik. Mampatan ke garis lurus ............................................. .. ................. 13.

1.4. Dua lurus di atas kapal ............................................. . ....................... lima belas.

2. Grafik. Menyelaras Plane ( h.;tetapi) 17

Kesimpulan ................................................. .............. .................................... ...... dua puluh

Senarai Bibliografi ................................................ ........ 22.

Pengenalan

Masalah yang timbul daripada anak-anak sekolah dalam menyelesaikan persamaan dan ketidaksamaan yang tidak standard disebabkan oleh kedua-dua kerumitan relatif tugas-tugas ini dan hakikat bahawa di sekolah, sebagai peraturan, memberi tumpuan kepada menyelesaikan tugas-tugas standard.

Banyak anak sekolah melihat parameter sebagai nombor "biasa". Sesungguhnya, dalam beberapa tugas, parameter boleh dianggap sebagai nilai tetap, tetapi nilai tetap ini memerlukan nilai yang tidak diketahui! Oleh itu, adalah perlu untuk mempertimbangkan masalah dengan semua nilai yang mungkin nilai yang berterusan ini. Dalam tugas lain, ia adalah mudah untuk mengisytiharkan secara buatan salah satu daripada parameter yang tidak diketahui.

Anak-anak sekolah lain merujuk kepada parameter sebagai nilai yang tidak diketahui dan, tidak malu, boleh dinyatakan dalam parameter tindak balas melalui pembolehubah x.

Dalam ujian tamat pengajian dan masuk, terdapat terutamanya dua jenis tugas dengan parameter. Anda segera berbeza dalam kata-kata. Yang pertama: "Untuk setiap nilai parameter untuk mencari semua penyelesaian beberapa persamaan atau ketidaksamaan." Yang kedua: "Cari semua nilai parameter, dengan setiap yang ada beberapa syarat dilakukan untuk persamaan atau ketidaksamaan ini." Oleh itu, jawapan dalam tugas kedua-dua jenis ini berbeza dengan asasnya. Sebagai tindak balas kepada tugas jenis pertama, semua kemungkinan nilai parameter disenaraikan dan penyelesaian persamaan direkodkan untuk setiap nilai ini. Sebagai tindak balas kepada tugas jenis kedua, semua nilai parameter dinyatakan di mana syarat-syarat yang dinyatakan dalam tugas dilakukan.

Dengan menyelesaikan persamaan dengan parameter untuk nilai tetap parameter ini, nilai sedemikian tidak diketahui, apabila menggantikan yang kepada persamaan, yang terakhir merayu kepada kesetaraan berangka yang betul. Begitu juga, penyelesaian ketidaksamaan dengan parameter ditentukan. Menyelesaikan persamaan (ketidaksamaan) dengan parameter - ini bermakna untuk setiap nilai yang dibenarkan parameter untuk mencari satu set semua penyelesaian persamaan ini (ketidaksamaan).

1. Grafik. Menyelaras Plane ( h.;w.)

Bersama dengan teknik analisis asas dan kaedah menyelesaikan masalah dengan parameter, ada cara untuk merayu kepada tafsiran visual-grafik.

Bergantung kepada apa peranan yang diberikan kepada parameter dalam masalah (tidak sama atau sama dengan pembolehubah), anda boleh, dengan itu, memperuntukkan dua majlis grafik utama: yang pertama - membina imej grafik pada satah koordinat (H.; y)kedua - on. (H.; tetapi).

Pada Fungsi Plane (X; Y) y \u003d.f. (H.; tetapi)menetapkan keluarga lengkung bergantung kepada parameter tetapi.Sudah jelas bahawa setiap keluarga f. Ia mempunyai sifat-sifat tertentu. Kami akan terlebih dahulu berminat, menggunakan penukaran pesawat (pemindahan selari, putaran, dan sebagainya) boleh dipindahkan dari satu keluk keluarga ke mana-mana yang lain. Setiap transformasi ini akan dikhaskan untuk item yang berasingan. Seperti yang sepertinya, klasifikasi yang sama menjadikannya lebih mudah untuk mencari pencarian imej grafik yang diperlukan. Perhatikan bahawa dengan pendekatan ini, bahagian ideologi penyelesaian itu tidak bergantung kepada angka yang mana (langsung, bulatan, parabola, dan sebagainya) akan menjadi ahli keluarga lengkung.

Sudah tentu, tidak selalu imej grafik keluarga y \u003d.f. (H.; tetapi)menggambarkan penukaran yang mudah. Oleh itu, dalam situasi sedemikian berguna untuk memberi tumpuan kepada bagaimana lengkung satu keluarga dikaitkan, tetapi pada lengkung itu sendiri. Dalam erti kata lain, satu lagi jenis tugas boleh dibezakan di mana idea keputusan itu berdasarkan kepada sifat konkrit angka Geometri., bukan keluarga secara keseluruhan. Apakah jenis angka (lebih tepat, keluarga angka-angka ini) akan berminat di tempat pertama? Ini lurus dan parabola. Pilihan sedemikian adalah disebabkan oleh penyediaan khas (utama) linear dan fungsi kuadratik Dalam matematik sekolah.

Bercakap tentang kaedah grafik, adalah mustahil untuk memintas satu masalah, "dilahirkan" amalan peperiksaan yang kompetitif. Kami bermaksud persoalan rigor, dan oleh itu, kesahihan pertimbangan berdasarkan keputusan berasaskan keputusan. Tidak dinafikan, dari sudut pandangan rasmi, hasilnya, yang difilemkan dari "gambar", tidak disokong analitik, diperoleh Nestry. Walau bagaimanapun, oleh siapa bila dan di manakah tahap ketat, yang harus mematuhi pelajar sekolah menengah? Pada pendapat kami, keperluan untuk tahap ketegasan matematik untuk pelajar sekolah mesti ditentukan dengan akal sehat. Kami memahami tahap subjek dari sudut pandangan sedemikian. Selain itu, kaedah grafik adalah salah satu cara penglihatan. Kejelasan boleh menipu ..gif "lebar \u003d" 232 "Ketinggian \u003d" 28 "\u003e Mempunyai penyelesaian tunggal.

Keputusan.Untuk kemudahan, LG LG b \u003d a.Kami menulis persamaan, bersamaan dengan sumber: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif "lebar \u003d" 125 "ketinggian \u003d" 92 "\u003e

Membina jadual fungsi dengan bidang definisi dan (Rajah 1). Menerima Jadual Keluarga Direct y \u003d a.mesti menyeberang hanya pada satu ketika. Daripada angka, jelas bahawa keperluan ini dilakukan hanya di a\u003e.2, i.e. lg b\u003e2, b\u003e100.

Jawab.https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif "lebar \u003d" 15 ketinggian \u003d 16 "ketinggian \u003d" 16 "\u003e Tentukan bilangan penyelesaian persamaan .

Keputusan. Kami Membina Graf Fungsi 102 "Ketinggian \u003d" 37 "Gaya \u003d" Vertical-Align: Top "\u003e

Pertimbangkan. Ini adalah paksi selari lurus oh.

Jawapan..gif "lebar \u003d" 41 "ketinggian \u003d" 20 "\u003e, kemudian 3 penyelesaian;

jika, kemudian 2 penyelesaian;

jika, 4 penyelesaian.

Kami beralih kepada siri baru tugas ..gif "lebar \u003d" 107 "Ketinggian \u003d" 27 SRC \u003d "\u003e.

Keputusan.Membina lurus w.= h. +1 (Rajah 3) .. GIF "WIDTH \u003d" 92 "Ketinggian \u003d" 57 "\u003e

mempunyai satu penyelesaian yang bersamaan dengan persamaan ( h.+1)2 = x +. tetapimempunyai satu akar ..gif "lebar \u003d" 44 ketinggian \u003d 47 "ketinggian \u003d" 47 "\u003e Ketidaksamaan awal penyelesaian tidak ada. Perhatikan bahawa orang yang biasa dengan derivatif boleh mendapatkan hasil ini sebaliknya.

Seterusnya, peralihan "Half-Poarlaz" ke kiri, tetapkan masa lalu apabila grafik w. = h.+ 1 dan mempunyai dua perkara biasa (kedudukan iii). Lokasi sedemikian disediakan oleh keperluan tetapi= 1.

Sudah jelas bahawa apabila segmen [ h.1; h.2] Di mana h.1 I. h.2 - Abscissions of The Counting Points of the grafs akan menjadi penyelesaian ketidaksamaan asal ..gif "lebar \u003d" 68 ketinggian \u003d 47 "ketinggian \u003d" 47 "\u003e

Apabila "separa berani" dan langsung bersilang hanya pada satu titik (ini sepadan dengan kes itu a\u003e.1), maka keputusan itu akan menjadi segmen [- tetapi; h.2 "], di mana h.2 "- Lebih dari akar h.1 I. h.2 (Kedudukan IV).

Contoh 4...gif "lebar \u003d" 85 "ketinggian \u003d" 29 src \u003d "\u003e gif" width \u003d "75" Height \u003d "20 src \u003d"\u003e . Dari sini kita dapat .

Pertimbangkan fungsi I. . Antaranya, hanya satu yang menetapkan keluarga lengkung. Sekarang kita melihat bahawa penggantian yang dihasilkan membawa faedah yang tidak diragukan. Secara selari, kita perhatikan bahawa dalam masalah sebelumnya, pengganti yang sama boleh dibuat untuk tidak memindahkan "Half-Poarlaz", tetapi secara langsung. Beralih kepada Rajah. 4. Jelas sekali, jika abscissa puncak "separa senjata" adalah lebih besar daripada unit, iaitu.E. -3 tetapi > 1, , persamaan akar tidak mempunyai ..gif "lebar \u003d" 89 "Ketinggian \u003d" 29 "\u003e Dan mempunyai watak yang berbeza dari monotoni.

Jawab.Jika persamaan mempunyai satu akar; Jika https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif "Width \u003d" 141 "Ketinggian \u003d" 81 SRC \u003d "\u003e

mempunyai penyelesaian.

Keputusan.Sudah jelas bahawa keluarga langsung https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif "lebar \u003d" 61 "ketinggian \u003d" 52 "\u003e .. jpg" lebar \u003d "259" ketinggian \u003d "155 "\u003e

Nilai k1.kami mendapati, menggantikan dalam persamaan pertama sistem sistem (0; 0). Dari sini k.1 =-1/4. Nilai k.2 kita mendapat, menuntut dari sistem

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif "Width \u003d" 151 "Ketinggian \u003d" 47 "\u003e k.\u003e 0 untuk mempunyai satu akar. Dari sini k2.= 1/4.

Jawab. .

Buat satu kenyataan. Dalam beberapa contoh item ini, kita perlu menyelesaikan tugas yang standard: untuk keluarga langsung untuk mencari pekali sudut yang sama dengan titik sentuhan dengan lengkung. Mari kita tunjukkan bagaimana untuk melakukannya am Dengan bantuan derivatif.

Sekiranya (x0.; y.0) \u003d pusat putaran, kemudian koordinat (H.1; w.1) touch Points With Curve y \u003d.f (x)boleh didapati dengan menyelesaikan sistem

Pekali sudut yang dikehendaki k. sama.

Contoh 6.. Di bawah apa nilai persamaan parameter mempunyai penyelesaian tunggal?

Keputusan..gif "lebar \u003d" 160 "ketinggian \u003d" 29 src \u003d "\u003e .. gif" lebar \u003d "237" Ketinggian \u003d "33"\u003e, Arc Av.

Semua sinar yang berlalu antara OA dan OS melintasi arka AB pada satu ketika, juga bersilang arka AV dan OM (tangen) .. gif "lebar \u003d" 16 "ketinggian \u003d" 48 src \u003d "\u003e. Pekali sudut tangential sama. Mudah terletak dari sistem

Jadi, keluarga langsung https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif "lebar \u003d" 139 "Ketinggian \u003d" 52 "\u003e.

Jawapan. .

Contoh 7...gif "lebar \u003d" 160 "ketinggian \u003d" 25 src \u003d "\u003e mempunyai penyelesaian?

Keputusan..gif "lebar \u003d" 61 "ketinggian \u003d" 24 src \u003d "\u003e dan berkurangan pada titik adalah titik maksimum.

Fungsi ini adalah keluarga yang langsung melalui titik https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif "lebar \u003d" 153 "ketinggian \u003d" 28 "\u003e adalah arka Av. Terus ke Terletak di antara Langsung OA dan OV, Puaskan keadaan tugas ..gif "lebar \u003d" 17 "ketinggian \u003d" 47 src \u003d "\u003e.

Jawapan..gif "lebar \u003d" 15 "ketinggian \u003d" 20 "\u003e Tiada penyelesaian.

1.3. Homotetik. Mampatan kepada lurus.

Contoh 8.Berapa banyak penyelesaian yang mempunyai sistem

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif "lebar \u003d" 41 "Ketinggian \u003d" 20 SRC \u003d "\u003e Sistem Penyelesaian tidak mempunyai. pada yang tetap a\u003e.0 graf persamaan pertama adalah persegi dengan titik ( tetapi; 0), (0;-tetapi), (-a.;0), (0;tetapi).Oleh itu, ahli keluarga adalah dataran homotetik (pusat homothetics - titik O (0; 0)).

Beralih kepada Rajah. 8..gif "lebar \u003d" 80 "ketinggian \u003d" 25 "\u003e Setiap sisi persegi mempunyai dua perkara biasa dengan bulatan, dan oleh itu sistem itu akan mempunyai lapan penyelesaian. Lingkaran akan dimasukkan ke dalam persegi, iaitu penyelesaiannya akan menjadi empat lagi. Jelas sekali, sistem penyelesaian tidak ada.

Jawab.Sekiranya tetapi< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, kemudian empat penyelesaian; Jika, maka keputusan lapan.

Contoh 9.. Cari semua nilai parameter, masing-masing dari mana persamaan https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif "lebar \u003d" 181 "Ketinggian \u003d" 29 src \u003d "\u003e. Pertimbangkan Fungsi ..jpg "lebar \u003d" 195 "ketinggian \u003d" 162 "\u003e

Bilangan akar akan sesuai dengan nombor 8 apabila radius separuh bulatan lebih besar dan kurang, iaitu. Perhatikan bahawa ada.

Jawapan. atau.

1.4. Dua lurus di atas kapal terbang

Pada asasnya, idea untuk menyelesaikan tugas-tugas klausa ini adalah isu mengkaji lokasi bersama dua langsung: dan . Adalah mudah untuk menunjukkan penyelesaian kepada tugas ini secara umum. Kami bertukar terus kepada contoh ciri khusus yang, pada pendapat kami, tidak akan merosakkan sisi umum isu ini.

Contoh 10.Pada sistem A dan B

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif "lebar \u003d" 160 "ketinggian \u003d" 25 src \u003d "\u003e .. gif" lebar \u003d "67" ketinggian \u003d "24 src \u003d"\u003e , T..gif "lebar \u003d" 116 "ketinggian \u003d" 55 "\u003e

Ketidaksamaan sistem menetapkan separuh pesawat dengan sempadan w.= 2x.- 1 (Rajah 10). Mudah untuk mengetahui bahawa sistem yang dihasilkan mempunyai penyelesaian jika lurus ah +.oleh \u003d 5.melintasi sempadan pesawat separuh atau, selari dengannya, terletak pada pesawat separuh w.– 2x +.1 < 0.

Mari kita mulakan dengan kes itu b \u003d.0. Kemudian ia kelihatan persamaan oh+ oleh \u003d.5 Menentukan langsung menegak, yang jelas melintasi garis lurus y \u003d.2x -1. Walau bagaimanapun, pernyataan ini benar hanya apabila ..gif "lebar \u003d" 43 "ketinggian \u003d" 20 src \u003d "\u003e sistem mempunyai penyelesaian .." lebar \u003d "99" ketinggian \u003d "48"\u003e. Dalam kes ini, keadaan persimpangan dicapai pada, iaitu, ..gif "lebar \u003d" 52 "ketinggian \u003d" 48 "\u003e. GIF" lebar \u003d "41" Ketinggian \u003d "20"\u003e dan, atau, atau dan https : //pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif "Width \u003d" 69 "Ketinggian \u003d" 24 SRC \u003d "\u003e.

- B. menyelaras kapal terbang XOA membina graf fungsi.

- Pertimbangkan garis lurus dan menyerlahkan jurang paksi OA, di mana ini mengarahkan memenuhi syarat-syarat berikut: a) tidak menyeberangi jadual fungsi https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif "lebar \u003d" 69 "ketinggian \u003d" 24 "\u003e pada satu titik, c) pada dua mata, D) pada tiga mata dan sebagainya.

- Jika tugasnya adalah untuk mencari nilai-nilai x, kemudian menyatakan x melalui a untuk setiap asas nilai yang berasingan.

Lihatlah parameter sebagai pemboleh ubah yang sama dicerminkan dalam kaedah grafik..jpg "lebar \u003d" 242 "ketinggian \u003d" 182 "\u003e

Jawab. a \u003d 0 atau a \u003d 1.

Kesimpulannya

Kami berharap bahawa tugas yang disassembled meyakinkan menunjukkan keberkesanan kaedah yang dicadangkan. Walau bagaimanapun, malangnya, skop penggunaan kaedah ini adalah terhad oleh kesukaran yang boleh anda hadapi ketika membina imej grafik. Adakah ia buruk? Nampaknya, tidak. Lagipun, dengan pendekatan ini, nilai didaktik utama tugas dengan parameter sebagai model kajian miniatur yang sebahagian besarnya hilang. Walau bagaimanapun, pertimbangan yang dibentangkan ditangani kepada guru, dan bagi pemohon, ia cukup diterima untuk Formula: matlamat membenarkan dana. Lebih-lebih lagi, kami mengambil alih keberanian untuk mengatakan bahawa dalam jumlah besar universiti, penyusun tugas kompetitif diikuti di sepanjang jalan dari gambar dengan keadaan.

Tugas-tugas ini membincangkan kemungkinan menyelesaikan masalah dengan parameter yang terbuka kepada kami sebagai imej pada sekeping graf kertas fungsi yang dimasukkan ke bahagian kiri dan kanan persamaan atau ketidaksamaan. Oleh kerana parameter itu boleh menerima nilai sewenang-wenangnya, satu atau kedua-dua graf yang digambarkan bergerak dengan cara tertentu di atas kapal terbang. Ia boleh dikatakan bahawa seluruh keluarga graf yang sesuai dengan nilai-nilai yang berbeza dari parameter diperolehi.

Kami sangat menggariskan dua butiran.

Pertama, kita tidak bercakap tentang penyelesaian "grafik". Semua nilai, koordinat, akar dikira dengan ketat, secara analitis, sebagai penyelesaian persamaan, sistem masing-masing. Begitu juga dengan kes-kes sentuhan atau persimpangan graf. Mereka tidak ditentukan oleh mata, tetapi dengan bantuan diskriminasi, derivatif dan alat lain yang tersedia untuk anda. Gambar hanya memberikan cara untuk menyelesaikannya.

Kedua, walaupun anda tidak akan menemui apa-apa cara untuk menyelesaikan cabaran yang berkaitan dengan cabaran, pandangan tugas anda akan berkembang dengan ketara, anda akan menerima maklumat untuk ujian diri dan peluang kejayaan akan meningkat dengan ketara. Dengan tepat membayangkan apa yang berlaku dalam tugas ketika nilai yang berbeza Parameter, anda mungkin mendapati algoritma penyelesaian yang tepat.

Oleh itu, kata-kata ini menyelesaikan cadangan muktamad: jika sekurang-kurangnya sedikit tugas yang kompleks Terdapat fungsi yang grafnya boleh anda buat, pastikan untuk melakukannya, anda tidak akan menyesal.

Senarai bibliografi

1. Cherkasov,: Buku Panduan untuk pelajar sekolah menengah dan memasuki universiti [teks] / ,. - m .: AST-Press, 2001. - 576 p.

2. Gorostein, dengan parameter [Teks]: Edisi ke-3, ditambah dan diproses / ,. - m.: Ilex, Kharkov: Gimnasia, 1999. - 336 p.

Biarkan f (x, y) dan g (x, y) - Dua ungkapan dengan pembolehubah h. dan w. dan definisi kawasan H.. Kemudian ketidaksamaan spesies f (x, y) > g (x, y)atau f (x, y) < g (x, y) dipanggil ketidaksamaan dengan dua pembolehubah .

Nilai pembolehubah x, W. Dari set H.di mana ketidaksamaan merayu kepada ketidaksamaan berangka benar dipanggilnya oleh keputusan dan menandakan (x, y). Menyelesaikan ketidaksamaan. - Ini bermakna mencari banyak pasangan sedemikian.

Jika setiap pasangan nombor (x, y) Dari satu set ketidaksamaan penyelesaian untuk diletakkan mengikut titik M (x, y), Kami memperoleh banyak mata di pesawat yang ditetapkan oleh ketidaksamaan ini. Dia dipanggil grafik ketidaksamaan ini . Carta ketidaksamaan biasanya kawasan di atas kapal terbang.

Untuk menggambarkan banyak penyelesaian ketidaksamaan f (x, y) > g (x, y)Berbanding seperti berikut. Pertama menggantikan tanda ketidaksamaan dengan tanda kesamarataan dan mencari garis yang mempunyai persamaan f (x, y) = g (x, y). Barisan ini membahagikan pesawat ke beberapa bahagian. Selepas itu, sudah cukup untuk mengambil setiap bahagian pada satu ketika dan periksa sama ada ketidaksamaan dilakukan pada ketika ini f (x, y) > g (x, y). Sekiranya ia dilakukan pada ketika ini, ia akan dilakukan di seluruh bahagian di mana titik ini terletak. Menggabungkan bahagian sedemikian, kami memperoleh banyak penyelesaian.

Tugas. y. > x..

Keputusan.Pertama, ganti tanda ketidaksamaan dengan tanda kesamarataan dan membina garis dalam sistem koordinat segi empat tepat yang mempunyai persamaan y. = x..

Barisan ini membahagikan pesawat menjadi dua bahagian. Selepas itu, ambil di setiap bahagian pada satu ketika dan periksa sama ada ketidaksamaan dilakukan pada ketika ini y. > x..

Tugas. Menyelesaikan ketidaksamaan grafik.
h.2 + w.2 £ 25.

Biarkan dua ketidaksamaan diberikan f.1(x, y) > g.1(x, y) dan F.2(x, y) > g.2(x, y).

Sistem ketidaksamaan agregat dengan dua pembolehubah

Sistem ketidaksamaan hadiah dengan sendiri konjungsi ketidaksamaan ini. Penyelesaian sistem adalah apa-apa makna (x, y)yang menarik setiap ketidaksamaan menjadi ketidaksamaan berangka yang benar. Banyak keputusan sistem Ketidakseimbangan Terdapat persimpangan set ketidaksamaan yang membentuk sistem ini.

Gabungan ketidaksamaan hadiah dengan sendiri disjunction of this ketidaksamaan. Dengan menyelesaikan kombinasi adalah apa-apa makna (x, y)yang menarik kepada ketidaksamaan berangka sebenar sekurang-kurangnya salah satu ketidaksamaan keseluruhannya. Banyak keputusan jumlahnya Terdapat kesatuan set penyelesaian ketidaksamaan yang membentuk satu set.

Tugas. Menyelesaikan sistem ketidaksamaan grafik

Keputusan. y \u003d x.dan H.2 + w.2 \u003d 25. Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan sistem.

Grafik sistem akan menjadi banyak mata pesawat persimpangan (teduhan berganda) set penyelesaian ketidaksamaan yang pertama dan kedua.

Tugas. Menentukan ketidaksamaan agregat secara grafik

Latihan untuk kerja bebas

1. Memutuskan ketidaksamaan grafik: a) w.> 2x.; b) w.< 2x. + 3;

dalam) x.2 + y.2\u003e 9; d) x.2 + y.2 £ 4.

2. Memutuskan sistem ketidaksamaan grafik:

a) c)

pelajar 10 Kelas Kotovchikhin Yuri

Persamaan dengan modul pelajar mula belajar dari gred ke-6, mereka mengkaji kaedah penyelesaian standard dengan mendedahkan modul pada selang alternatif ekspresi submodul. Saya memilih topik ini, kerana saya fikir ia memerlukan kajian yang mendalam dan menyeluruh, tugas-tugas dengan modul menyebabkan kesukaran yang besar dari pelajar. Di dalam program sekolah Terdapat tugas yang mengandungi modul sebagai tugas peningkatan kerumitan dan pada peperiksaan, oleh itu, kita mesti bersedia untuk mengadakan pertemuan dengan tugas sedemikian.

Muat turun:

Pratonton:

Institusi pendidikan perbandaran

Purata sekolah komprehensif №5

Penyelidikan mengenai topik:

« Algebra dan penyelesaian grafik persamaan dan ketidaksamaan yang mengandungi modul»

Saya telah melakukan kerja:

pelajar 10 kelas

Kotovchikhin yuri.

Ketua:

Pensyarah Matematik

Shannta N.P.

Uryupinsk.

1. Pendidikan ............................................... ....................3.

2.inters dan definisi ............................................. ....5.

3. Bunyi teorem .............................................. .. ..6.

4. Penyelesaian kepada persamaan yang mengandungi modul ............ ... 7

4.1. Hiasan dengan bantuan kebergantungan antara nombor A dan B, modul dan dataran mereka ............................... ................................... 12.

4.2. Menggunakan tafsiran geometri modul untuk menyelesaikan persamaan ...................................... ............................ ..14.

4.3.Russies fungsi yang paling mudah yang mengandungi tanda nilai mutlak.

………………………………………………………………………15

4.4. Menyediakan persamaan bukan standard yang mengandungi modul .... 16

5. letakkan ............................................... ............................... 17.

6. Senarai Rujukan yang Digunakan ................................. 18

Matlamat kerja adalah: Persamaan dengan murid mula belajar dari gred ke-6, mereka mengkaji kaedah penyelesaian standard dengan mendedahkan modul pada selang dari alternatif ekspresi submodul. Saya memilih topik ini, kerana saya fikir ia memerlukan kajian yang mendalam dan menyeluruh, tugas-tugas dengan modul menyebabkan kesukaran yang besar dari pelajar. Program sekolah memenuhi tugas yang mengandungi modul sebagai tugas yang meningkat kerumitan dan pada peperiksaan, oleh itu, kita mesti bersedia untuk mengadakan pertemuan dengan tugas sedemikian.

1. Pengenalan:

Perkataan "modul" berlaku dari perkataan Latin "modulus", yang bermaksud "mengukur". Ini adalah perkataan berbilang nilai (tanpa ketenangan), yang mempunyai banyak nilai dan digunakan bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam seni bina, fizik, teknologi, pengaturcaraan dan lain-lain sains yang tepat.

Dalam seni bina, ia adalah unit sumber pengukuran, dipasang untuk ini pembinaan seni bina. dan berkhidmat untuk menyatakan pelbagai nisbah elemen konstituennya.

Teknik ini adalah istilah yang digunakan dalam pelbagai bidang peralatan yang tidak mempunyai nilai sejagat dan pekerja untuk penetapan pelbagai pekali dan nilai, sebagai contoh, modul penglibatan, modul elastik i.t.p.

Modul pemampatan volum (dalam fizik) - nisbah voltan biasa dalam bahan kepada pemanjangan relatif.

2. Konsep dan definisi

Modul ini adalah nilai mutlak - nombor sebenar yang ditunjukkan | A |.

Untuk belajar mendalam mendalam topik ini, anda perlu berkenalan dengan definisi yang paling mudah yang saya perlukan:

Persamaan adalah kesaksamaan yang mengandungi pembolehubah.

Persamaan dengan modul ialah persamaan yang mengandungi pembolehubah di bawah tanda nilai mutlak (di bawah tanda modul).

Menyelesaikan persamaan adalah bahawa ia bermakna mencari semua akarnya, atau membuktikan bahawa tidak ada akar.

3. Bunyi Teorem.

Teorem 1. Nilai mutlak Nombor sebenar adalah sama dengan lebih daripada dua nombor A atau -A.

Bukti

1. Jika nombor A positif, maka -A adalah negatif, i.e. -a

Sebagai contoh, nombor 5 adalah positif, kemudian -5 - negatif dan -5

Dalam kes ini | | | \u003d a, i.e. | a | Bertepatan dengan yang besar dari dua nombor A dan - a.

2. Jika negatif, maka -a positif dan a

Corollary. Dari teorem ia mengikuti itu | -a | \u003d | | | |

Malah, kedua-duanya sama dengan lebih dari kalangan -A dan A, dan oleh itu sama dengan satu sama lain.

Teorem 2. Nilai mutlak mana-mana nombor sebenar A adalah sama dengan aritmetik punca kuasa dua dari.2 .

Malah, jika kemudian, dengan mendefinisikan modul nombor, kita akan mempunyai Lal\u003e 0 sebaliknya, apabila\u003e 0 bermakna | | | | \u003d √a.2

Sekiranya. 2

Teorem ini memungkinkan apabila menyelesaikan beberapa tugas untuk menggantikan | | | pada

Geometrically | a | Bermaksud jarak pada koordinat langsung dari titik yang menggambarkan nombor A, sebelum permulaan rujukan.

Jika kemudian pada koordinat langsung, terdapat dua mata a dan -a sama dengan sifar, modul yang sama.

Jika a \u003d 0, maka pada baris koordinat | | | Titik yang digambarkan 0.

4. Pelbagai penyelesaian persamaan yang mengandungi modul.

Untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi tanda nilai mutlak, kami akan berdasarkan definisi modul nombor dan sifat nilai mutlak nombor tersebut. Kami akan menyelesaikan beberapa contoh. cara yang berbeza Dan mari kita lihat kaedah mana yang lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi modul.

Contoh 1. Saya menyelesaikan persamaan analitik dan grafik | X + 2 | \u003d 1.

Keputusan

Penyelesaian analitik

Way 1st.

Kami akan berhujah, berdasarkan definisi modul. Jika ungkapan di bawah modul adalah bukannegatif, iaitu, x + 2 ≥0, maka ia akan "keluar" dari bawah tanda modul dengan tanda "tambah" dan persamaan akan mengambil bentuk: x + 2 \u003d 1. Jika nilai-nilai ungkapan di bawah tanda modul adalah negatif, maka, mengikut definisi, ia akan sama: atau x + 2 \u003d -1

Oleh itu, kami memperoleh, atau X + 2 \u003d 1, atau X + 2 \u003d -1. Menyelesaikan persamaan yang diperolehi, cari: x + 2 \u003d 1 atau x + 2 + -1

X \u003d -1 x \u003d 3

Jawab: -3; -1.

Sekarang kita dapat membuat kesimpulan: jika modul beberapa ungkapan adalah sama dengan nombor positif yang sah, maka ungkapan di bawah modul adalah sama dengan sama ada A atau -A.

Penyelesaian grafik

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi modul adalah kaedah grafik. Intipati kaedah ini adalah untuk membina graf fungsi-fungsi ini. Sekiranya graf itu bersilang, titik persimpangan graf akan menjadi akar persamaan kita. Sekiranya graf tidak bersilang, kita dapat menyimpulkan bahawa persamaan akar tidak ada. Kaedah ini mungkin kurang biasa untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi modul, kerana, pertama, ia memerlukan banyak masa dan tidak selalu rasional, dan, kedua, hasil yang diperoleh semasa pembinaan graf tidak selalu tepat.

Satu lagi cara untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi modul adalah cara untuk memecah angka secara berturut-turut ke selang waktu. Dalam kes ini, kita perlu memecahkan langsung angka supaya dengan definisi modul, tanda nilai mutlak pada selang masa ini boleh dikeluarkan. Kemudian, untuk setiap jurang, kita mesti menyelesaikan persamaan ini dan membuat kesimpulan berbanding dengan akar yang dihasilkan (mereka memenuhi jurang kita atau tidak). Akar yang memenuhi jurang dan memberikan jawapan terakhir.

Cara ke-2.

Tetapkan, di bawah nilai apa x, modul adalah sifar: | x + 2 | \u003d 0, x \u003d 2

Kami memperoleh dua jurang, masing-masing yang menyelesaikan persamaan:

Kami akan menerima dua sistem campuran:

(1) x + 2 0

X-2 \u003d 1 x + 2 \u003d 1

Biarkan setiap sistem:

X \u003d -3 x \u003d -1

Jawab: -3; -1.

Penyelesaian grafik

y \u003d | x + 2 |, y \u003d 1.

Penyelesaian grafik

Untuk menyelesaikan persamaan secara grafik, adalah perlu untuk membina graf fungsi dan

Untuk membina graf fungsi, kami membina graf fungsi - ini adalah fungsi yang merentasi paksi ox dan Axis OY di mata.

Abscissions of persimpangan graf fungsi akan memberikan penyelesaian persamaan.

Grafik langsung fungsi Y \u003d 1 melintasi dengan graf fungsi Y \u003d | X + 2 | Di mata dengan koordinat (-3; 1) dan (-1; 1), oleh itu, penyelesaian persamaan itu akan menjadi giliran dari perkara-perkara:

x \u003d -3, x \u003d -1

Jawab: -3; -1

Contoh 2. Menyelesaikan persamaan analitik dan grafik 1 + | X | \u003d 0.5.

Keputusan:

Penyelesaian analitik

Kami menukar persamaan: 1 + | x | \u003d 0.5.

| X | \u003d 0.5-1.

| x | \u003d -0.5

Sudah jelas bahawa dalam kes ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian, kerana, mengikut definisi, modul ini sentiasa bukan negatif.

Jawapan: Tiada penyelesaian.

Penyelesaian grafik

Kami menukar persamaan :: 1 + | x | \u003d 0.5.

| X | \u003d 0.5-1.

| x | \u003d -0.5

Grafik fungsi adalah sinar - Bisector dari sudut koordinat pertama dan ke-2. Grafik fungsi adalah OX Axis Langsung, selari dan melewati titik -0.5 pada paksi OY.

Grafik tidak bersilang, yang bermaksud persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: Tiada penyelesaian.

Contoh 3. Tentukan persamaan analitik dan grafik | -X + 2 | \u003d 2x + 1.

Keputusan:

Penyelesaian analitik

Way 1st.

Sebelum ini, tetapkan kawasan nilai pembolehubah yang dibenarkan. Terdapat soalan semula jadi, mengapa dalam contoh terdahulu tidak perlu melakukan ini, dan sekarang ia timbul.

Faktanya adalah bahawa dalam contoh ini, di bahagian kiri persamaan, modul beberapa ungkapan, dan di bahagian kanan bukan nombor, tetapi ungkapan dengan pembolehubah, ia adalah tepat keadaan penting yang membezakan contoh ini dari yang terdahulu.

Sejak di sebelah kiri adalah modul, dan di bahagian yang betul, ungkapan yang mengandungi pembolehubah mestilah diperlukan bahawa ungkapan ini tidak bersifat nonnegatif, iaitu Oleh itu, kawasan yang dibenarkan

nilai modul.

Sekarang anda juga boleh berdebat, seperti dalam Contoh 1, apabila di bahagian kanan persamaannya adalah nombor positif. Kami akan menerima dua sistem campuran:

(1) -x + 2≥0 dan (2) -x + 2

X + 2 \u003d 2x + 1; X-2 \u003d 2x + 1

Biarkan setiap sistem:

(1) Termasuk dalam selang dan merupakan akar persamaan.

X≤2.

X \u003d ⅓.

(2) x\u003e 2

X \u003d -3.

X \u003d -3 tidak termasuk dalam selang waktu dan bukan akar persamaan.

Jawab: ⅓.

4.1. Hiasan dengan bantuan kebergantungan antara nombor A dan B, modul mereka dan dataran nombor-nombor ini.

Sebagai tambahan kepada kaedah di atas, terdapat kesaksamaan yang pasti, antara nombor dan modul data, serta antara dataran dan modul data nombor:

| A | \u003d | b | a \u003d b atau a \u003d -b

A2 \u003d B2 A \u003d B atau A \u003d -B

Dari sini, pada gilirannya, kita mendapatnya

| A | \u003d | b | A 2 \u003d B 2

Contoh 4. Menyelesaikan persamaan | X + 1 | \u003d | 2x - 5 | Dua cara yang berbeza.

1. Mengingat nisbah (1), kita dapat:

X + 1 \u003d 2x - 5 atau x + 1 \u003d -2x + 5

x - 2x \u003d -5 - 1 x + 2x \u003d 5 - 1

X \u003d -6 | (: 1) 3x \u003d 4

X \u003d 6 x \u003d 11/3

Akar persamaan pertama x \u003d 6, akar persamaan kedua x \u003d 11/3

Oleh itu, akar persamaan awal x1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

2. Mengikut hubungan (2), kita dapat

(x + 1) 2 \u003d (2x - 5) 2, atau x2 + 2x + 1 \u003d 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 \u003d 0

3x2 + 22x - 24 \u003d 0 | (: - 1)

3x2 - 22x + 24 \u003d 0

D / 4 \u003d 121-3 24 \u003d 121 - 72 \u003d 49\u003e 0 \u003d\u003d\u003e Persamaan mempunyai 2 akar yang berbeza.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

Sebagai penyelesaian yang ditunjukkan, akar persamaan ini juga nombor 11/3 dan 6

Jawapan: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

Contoh 5. Menyelesaikan persamaan (2x + 3)2 \u003d (X - 1) 2.

Memandangkan hubungan (2), kita memperoleh | 2x + 3 | \u003d | X - 1 |, dari mana sampel contoh sebelumnya (dan dengan hubungan (1)):

2x + 3 \u003d x - 1 atau 2x + 3 \u003d -Kh + 1

2x - x \u003d -1 - 3 2x + x \u003d 1 - 3

X \u003d -4 x \u003d -0, (6)

Oleh itu, akar persamaan adalah x1 \u003d -4, dan x2 \u003d -0, (6)

Jawapan: X1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

Contoh 6. Menyelesaikan persamaan | X - 6 | \u003d | X2 - 5x + 9 |

Mengambil kesempatan daripada nisbah, kita dapat:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 atau x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5X + X - 6 - 9 \u003d 0 | (-1) X - 6 \u003d -X + 5x - 9

x2 - 6x + 15 \u003d 0 x2 - 4x + 3 \u003d 0

D \u003d 36 - 4 15 \u003d 36 - 60 \u003d -22 d \u003d 16 - 4 3 \u003d 4\u003e 0 \u003d\u003d\u003e 2 rk

\u003d\u003d\u003e tiada akar.

X 1 \u003d (4-2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

Semak: | 1 - 6 | \u003d | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | \u003d | 32 - 5 3 + 9 |

5 \u003d 5 (s) 3 \u003d | 9 - 15 + 9 |

3 \u003d 3 (s)

Jawab: X 1 \u003d 1; x 2 \u003d 3

4.2. Gunakan tafsiran geometri modul untuk menyelesaikan persamaan.

Makna geometri nilai modul perbezaan adalah jarak antara mereka. Sebagai contoh, makna geometri ungkapan | X - A | -Tlin potong menyelaras paksi.Menghubungkan mata dengan Abscissions A dan X. Terjemahan tugas algebra untuk bahasa geometri sering membolehkan anda mengelakkan penyelesaian yang besar.

Contoh7. Menyelesaikan persamaan | X - 1 | + | X - 2 | \u003d 1 menggunakan tafsiran geometri modul.

Kami akan berhujah seperti berikut: Berdasarkan tafsiran geometri modul, bahagian kiri. Persamaan mewakili jumlah jarak dari titik tertentu abscissa kepada dua titik tetap dengan abscissions 1 dan 2. Kemudian jelas bahawa semua mata dengan abscissions dari segmen mempunyai harta yang dikehendaki, dan titik-titik yang terletak di luar segmen ini tidak . Oleh itu, jawapannya: set penyelesaian persamaan adalah segmen.

Jawab:

Contohnya. Menyelesaikan persamaan | X - 1 | - | x - 2 | \u003d 1 1 Menggunakan tafsiran geometri modul.

Kami akan membantah sama dengan contoh yang terdahulu, sementara kami memperoleh perbezaan jarak kepada abscissions 1 dan 2 mata adalah sama dengan unit hanya untuk mata yang terletak pada paksi koordinat hak nombor 2. Akibatnya, penyelesaiannya Persamaan ini tidak akan menjadi segmen yang disimpulkan antara mata 1 dan 2, dan rasuk yang keluar dari titik 2, dan diarahkan ke arah positif paksi Oh.

Jawab :)