Persamaan tangen kepada fungsi grafik

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Rantau Chelyabinsk

Persamaan tangen kepada fungsi grafik

Artikel itu diterbitkan dengan sokongan kompleks hotel "Itaka +". Menginap di bandar Shipbuilders Severodvinsk, anda tidak akan menemui masalah mencari perumahan sementara. , Dalam talian hotel kompleks Itaka + »http://itakaplus.ru, anda boleh dengan mudah dan cepat menyewa sebuah apartmen di bandar, untuk apa-apa tempoh, dengan gaji harian.

Pada peringkat moden. Pembangunan pendidikan sebagai salah satu tugas utamanya ialah pembentukan keperibadian pemikiran yang kreatif. Keupayaan untuk kreativiti dalam pelajar boleh dibangunkan hanya di bawah keadaan penglibatan sistematik mereka kepada asas-asas aktiviti penyelidikan. Yayasan untuk memohon pelajar pasukan kreatifnya, kebolehan dan kereta kebalnya adalah pengetahuan dan kemahiran yang dibentuk sepenuhnya. Dalam hal ini, masalah pembentukan sistem pengetahuan asas dan kemahiran pada setiap topik kursus matematik sekolah mempunyai makna yang penting. Pada masa yang sama, kemahiran penuh harus menjadi matlamat didaktik bagi tugas bukan individu, tetapi dengan teliti pemikiran sistem mereka. Dalam erti kata yang paling luas, sistem ini bermakna gabungan unsur-unsur berinteraksi yang saling berinteraksi dengan integriti dan struktur yang mampan.

Pertimbangkan metodologi untuk mempelajari pelajar untuk menyusun persamaan tangen kepada fungsi fungsi. Pada asasnya, semua tugas mencari persamaan tangen dikurangkan kepada keperluan untuk memilih dari set (rasuk, keluarga) yang mengarahkan mereka yang memenuhi keperluan tertentu - adalah tangen kepada grafik beberapa fungsi. Pada masa yang sama, suatu pluraliti langsung, dari mana pemilihan dijalankan boleh ditetapkan dalam dua cara:

a) titik berbaring di atas kapal terbang xoy (pukulan pusat langsung);
b) Pekali sudut (sekumpulan selari langsung).

Dalam hal ini, apabila mengkaji topik "Tangential kepada graf fungsi" untuk memotong unsur-unsur sistem, kami menyerlahkan dua jenis tugas:

1) Tugas untuk titik tangen yang ditentukan di mana ia berlalu;
2) Tugas untuk tangen yang ditentukan oleh pekali sudutnya.

Latihan untuk menyelesaikan tugas-tugas untuk tangen telah dijalankan dengan bantuan algoritma yang dicadangkan oleh A.g. Mordkovich. Perbezaan asasnya dari yang sudah diketahui ialah abscissa titik sentuh ditunjukkan oleh huruf A (bukannya x0), dan oleh itu persamaan tangen memperoleh pandangan

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(Bandingkan dengan Y \u003d F (x 0) + F "(x 0) (X - X 0)). Teknik metodologi ini, pada pendapat kami, membolehkan pelajar lebih cepat dan lebih mudah untuk merealisasikan di mana dalam persamaan keseluruhan rekod tangen Koordinat titik semasa, dan di mana titik sentuhan.

Algoritma memaksa persamaan tangen untuk grafik fungsi y \u003d f (x)

1. Memandangkan huruf A ke abscissa titik sentuhan.
2. Cari f (a).
3. Cari f "(x) dan f" (a).
4. Gantikan nombor yang dijumpai A, F (A), F "(a) dalam persamaan umum tangen y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a).

Algoritma ini boleh disusun berdasarkan peruntukan operasi bebas dan urutan pelaksanaannya.

Amalan telah menunjukkan bahawa penyelesaian yang konsisten bagi setiap tugas utama yang menggunakan algoritma membolehkan anda membentuk kemahiran menulis persamaan tangen kepada grafik fungsi secara berperingkat, dan langkah-langkah algoritma berfungsi sebagai titik sokongan tindakan. Pendekatan ini mematuhi teori pembentukan tindakan mental yang dibangunkan oleh P.Yya. Halperin dan N.F. Talisina.

Dalam jenis tugas pertama, dua tugas utama diperuntukkan:

• tangen melewati satu titik yang terletak di dalam kurva (Tugas 1);
• tangen melewati titik yang tidak berbaring di lengkung (tugas 2).

Tugas 1. Buat persamaan tangen untuk fungsi grafik Pada titik m (3; - 2).

Keputusan. Titik m (3; - 2) adalah titik sentuhan, kerana

1. A \u003d 3 - titik sentuhan abscissa.
2. F (3) \u003d - 2.
3. F "(x) \u003d x 2 - 4, f" (3) \u003d 5.
Y \u003d - 2 + 5 (X - 3), Y \u003d 5x - 17 - Persamaan Tangential.

Tugas 2. Tulis persamaan semua tangen ke graf fungsi Y \u003d - x 2 - 4x + 2, melalui titik M (- 3; 6).

Keputusan. Titik m (- 3; 6) bukan titik sentuhan, kerana f (- 3)6 (Rajah 2).

2. F (A) \u003d - A 2 - 4A + 2.
3. F "(x) \u003d - 2x - 4, f" (a) \u003d - 2A - 4.
4. Y \u003d - A 2 - 4A + 2 - 2 (A + 2) (X - A) - Persamaan tangen.

Oleh itu, tangen melalui titik m (- 3; 6), oleh itu, koordinatnya memenuhi persamaan tangen.

6 \u003d - A 2 - 4A + 2 - 2 (A + 2) (- 3 - A),
A 2 + 6A + 8 \u003d 0^ a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 2.

Jika A \u003d - 4, persamaan tangen mempunyai bentuk y \u003d 4x + 18.

Jika A \u003d - 2, persamaan tangen mempunyai bentuk y \u003d 6.

Dalam jenis kedua, tugas utama akan menjadi yang berikut:

• tangential selari dengan garis lurus (tugas 3);
• tangen melepasi pada sudut tertentu untuk langsung (tugas 4).

Tugas 3. Tulis persamaan semua tangen ke fungsi fungsi Y \u003d X 3 - 3x 2 + 3, selari dengan Y \u003d 9X + 1 langsung.

Keputusan.

1. A adalah titik sentuhan abscissa.
2. F (A) \u003d A 3 - 3A 2 + 3.
3. F "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \u003d 3A 2 - 6A.

Tetapi, sebaliknya, F "(a) \u003d 9 (keadaan paralelisme). Oleh itu, perlu untuk menyelesaikan persamaan 3A 2 - 6A \u003d 9. akarnya a \u003d - 1, a \u003d 3 (Rajah 3) .

4. 1) a \u003d - 1;
2) f (- 1) \u003d - 1;
3) f "(- 1) \u003d 9;
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1);

y \u003d 9x + 8 - persamaan tangen;

1) a \u003d 3;
2) f (3) \u003d 3;
3) f "(3) \u003d 9;
4) Y \u003d 3 + 9 (X - 3);

y \u003d 9x - 24 - persamaan tangen.

Tugas 4. Tulis persamaan tangen ke graf fungsi Y \u003d 0.5x 2 - 3x + 1, lulus pada sudut 45 ° ke lurus Y \u003d 0 (Rajah 4).

Keputusan. Dari keadaan f "(a) \u003d TG 45 ° Cari A: A - 3 \u003d 1^ a \u003d 4.

1. A \u003d 4 - titik sentuhan abscissa.
2. F (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. F "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. Y \u003d - 3 + 1 (X - 4).

y \u003d X - 7 - Persamaan Tangential.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penyelesaian apa-apa tugas lain dikurangkan untuk menyelesaikan satu atau lebih tugas utama. Pertimbangkan dua tugas berikut sebagai contoh.

1. Tulis persamaan tangen ke parabole y \u003d 2x 2 - 5x - 2, jika tangen berpotongan pada sudut yang betul dan salah satunya yang berkaitan dengan parabola pada titik dengan abscissa 3 (Rajah 5).

Keputusan. Oleh kerana abscissa titik sentuhan diberikan, maka bahagian pertama penyelesaian dikurangkan kepada tugas utama 1.

1. A \u003d 3 - Titik Absissance salah satu pihak sudut langsung.
2. f (3) \u003d 1.
3. F "(x) \u003d 4x - 5, f" (3) \u003d 7.
4. Y \u003d 1 + 7 (X - 3), Y \u003d 7x - 20 - Persamaan Tangenecy Pertama.

Biarkan A. - sudut kecenderungan tangen pertama. Oleh kerana tangen berserenjang, maka sudut kecenderungan tangen kedua. Dari persamaan y \u003d 7x - 20 tangen pertama yang kita ada tga \u003d 7. kita akan dapati

Ini bermakna bahawa pekali sudut tangen kedua adalah sama.

Penyelesaian selanjutnya dikurangkan kepada tugas utama 3.

Biarkan b (c; f (c)) terdapat titik sentuhan yang kedua, maka

1. - Abscissa titik sentuhan kedua.
2.
3.
4.
- Persamaan tangen kedua.

Nota. Pekali sudut tangen dapat dijumpai lebih mudah jika pelajar dikenali sebagai nisbah koefisien secara serenjang langsung k 1 k 2 \u003d - 1.

2. Tulis persamaan semua tangen biasa ke jadual fungsi.

Keputusan. Tugas dikurangkan untuk mencari abscissa titik dail jumlah tangen, iaitu, untuk menyelesaikan masalah utama 1 secara umum, penyediaan sistem persamaan dan penyelesaian berikutnya (Rajah 6).

1. Biarkan A menjadi abscissa titik sentuhan yang terletak pada graf fungsi Y \u003d X 2 + X + 1.
2. F (A) \u003d A 2 + A + 1.
3. F "(A) \u003d 2A + 1.
4. Y \u003d A 2 + A + 1 + (2A + 1) (X - A) \u003d (2A + 1) X + 1 - A 2.

1. Biarkan C menjadi abscissa titik sentuhan yang terletak pada graf fungsi
2.
3. F "(c) \u003d C.
4.

Sebagai tangen biasa, maka

Jadi, y \u003d x + 1 dan y \u003d - 3x - 3 adalah tangen biasa.

Tujuan utama tugas-tugas yang dipertimbangkan adalah untuk menyediakan pelajar untuk mengiktiraf jenis tugas utama secara bebas apabila menyelesaikan lebih banyak tugas yang kompleksMemerlukan kemahiran penyelidikan tertentu (keupayaan untuk menganalisis, membandingkan, umum, mengemukakan hipotesis, dll.). Tugas sedemikian termasuk apa-apa tugas di mana tugas utama dimasukkan sebagai komponen. Pertimbangkan sebagai contoh, tugas (masalah songsang 1) untuk mencari fungsi oleh keluarga tangen.

3. Pada apa B dan C lurus y \u003d x dan y \u003d - 2x adalah tangen kepada grafik fungsi Y \u003d x 2 + bx + c?

Keputusan.

Biarkan t menjadi - abscissa titik sentuhan lurus y \u003d x dengan parabola y \u003d x 2 + bx + c; P adalah titik abscissa sentuhan langsung y \u003d - 2x dengan parabola y \u003d x 2 + bx + c. Kemudian persamaan tangen y \u003d x akan mengambil bentuk y \u003d (2t + b) x + c - t 2, dan persamaan tangen y \u003d - 2x akan mengambil bentuk y \u003d (2p + b) x + c - P 2.

Kami juga akan menentukan sistem persamaan

Jawab:

Tugas untuk penyelesaian diri

1. Tulis persamaan tangen, fungsi fungsi Y \u003d 2x 2 - 4x + 3 pada titik persimpangan graf dengan y \u003d x + 3 lurus.

Jawapan: Y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5.

2. Di bawah apa nilai tangen, yang dijalankan ke graf fungsi y \u003d x 2 - kapak pada titik graf dengan abscissa x 0 \u003d 1, melewati titik m (2; 3)?

Jawab: A \u003d 0.5.

3. Pada apa nilai p lurus y \u003d px - 5 kebimbangan curve y \u003d 3x 2 - 4x - 2?

Jawab: P 1 \u003d - 10, P 2 \u003d 2.

4. Cari semua perkara biasa fungsi fungsi Y \u003d 3x - x 3 dan tangen, yang dijalankan untuk grafik ini melalui P (0; 16).

Jawapan: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. Cari jarak terpendek antara parabola y \u003d x 2 + 6x + 10 dan langsung

Jawab:

6. Pada Curve Y \u003d X 2 - X + 1, cari titik di mana tangen grafik selari dengan y - 3x + 1 \u003d 0.

Jawab: m (2; 3).

7. Tulis persamaan tangen ke graf fungsi Y \u003d X 2 + 2X - | 4x |, yang membimbangkannya dalam dua mata. Buat lukisan.

Jawab: Y \u003d 2x - 4.

8. Buktikan bahawa lurus y \u003d 2x - 1 tidak menyeberangi lengkung y \u003d x 4 + 3x 2 + 2x. Cari jarak antara titik terdekat mereka.

Jawab:

9. Pada parabola y \u003d x 2, dua mata diambil dengan abscissions x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Titik selamat telah dijalankan melalui titik-titik ini. Pada apa gunanya parabola tangen kepadanya akan selari dengan urutan yang dibelanjakan? Tulis persamaan secant dan tangen.

Jawab: Y \u003d 4x - 3 - bahagian bahagian; Y \u003d 4x - 4 - Persamaan tangen.

10. Cari sudut Q Terdapat fungsi fungsi y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, dibelanjakan pada abscissions 0 dan 1.

Jawab: Q \u003d 45 °.

11. Di mana titik tangen kepada grafik fungsi membentuk sudut 135 ° dengan paksi lembu?

Jawab: A (0; - 1), B (4; 3).

12. Pada titik A (1; 8) ke lengkung Dipanggil tangen. Cari panjang segmen tangen yang disimpulkan di antara paksi koordinat.

Jawab:

13. Tulis persamaan semua tangen biasa kepada fungsi fungsi Y \u003d x 2 - x + 1 dan y \u003d 2x 2 - x + 0.5.

Jawab: Y \u003d - 3x dan y \u003d x.

14. Cari jarak antara tangen fungsi paksi abscissa selari.

Jawab:

15. Tentukan apa jenis parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 melintasi paksi abscissa.

Jawapan: Q 1 \u003d Arctg 6, Q 2 \u003d Arctg (- 6).

16. Pada graf fungsi Cari semua perkara yang tangen di mana-mana untuk grafik ini melintasi separa paksi positif koordinat, yang dipotong dari segmen yang sama.

Jawapan: A (- 3; 11).

17. Direct Y \u003d 2x + 7 dan parabola y \u003d x 2 - 1 bersilang di mata M dan N. Cari titik K Persimpangan langsung berkaitan dengan parabola di mata M dan N.

Jawab: K (1; - 9).

18. Di bawah apa nilai B lurus Y \u003d 9x + B adalah tangen kepada graf fungsi Y \u003d x 3 - 3x + 15?

Jawab: - 1; 31.

19. Pada nilai-nilai apa yang lurus y \u003d kx - 10 hanya mempunyai satu titik biasa dengan graf fungsi Y \u003d 2x 2 + 3x - 2? Untuk mendapati nilai K Tentukan koordinat titik.

Jawapan: K 1 \u003d - 5, a (- 2; 0); K 2 \u003d 11, B (2; 12).

20. Di bawah apa nilai-nilai B Tangen, yang dijalankan ke graf fungsi Y \u003d BX 3 - 2x 2 - 4 pada titik dengan abscissa x 0 \u003d 2, melewati titik m (1; 8)?

Jawab: B \u003d - 3.

21. Parabola dengan puncak pada Axis Ox berkaitan dengan garis lurus melalui mata A (1; 2) dan B (2; 4), di Point B. Cari persamaan Parabola.

Jawab:

22. Dengan apa nilai pekali k parabol y \u003d x 2 + kx + 1 kebimbangan paksi ox?

Jawab: K \u003d D 2.

23. Cari sudut antara garis lurus y \u003d x + 2 dan lengkung y \u003d 2x 2 + 4x - 3.

29. Cari jarak antara rujukan kepada fungsi grafik untuk membentuk dengan arah positif sudut paksi ox 45 °.

Jawab:

30. Cari kawasan vertex geometri semua jenis parabola y \u003d x 2 + ax + b mengenai langsung y \u003d 4x - 1.

Jawab: lurus y \u003d 4x + 3.

Kesusasteraan

1. Zvavich L.I., Hatchman L.Ya., Chinkina M.V. Algebra dan Mula Analisis: 3,600 Tugas untuk anak-anak sekolah dan memasuki universiti. - M., Drop, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar keempat untuk guru muda. Tema "aplikasi derivatif". - M., "Matematik", No. 21/94.
3. Pembentukan pengetahuan dan kemahiran berdasarkan teori asimilasi berperingkat tindakan mental. / Ed. P.ya. Galperina, N.F. Talisina. - M., Moscow State University, 1968.

Pada peringkat sekarang pembangunan pendidikan sebagai salah satu tugas utamanya, pembentukan keperibadian pemikiran kreatif. Keupayaan untuk kreativiti dalam pelajar boleh dibangunkan hanya di bawah keadaan penglibatan sistematik mereka kepada asas-asas aktiviti penyelidikan. Yayasan untuk memohon pelajar pasukan kreatifnya, kebolehan dan kereta kebalnya adalah pengetahuan dan kemahiran yang dibentuk sepenuhnya. Dalam hal ini, masalah membentuk sistem pengetahuan asas dan kemahiran untuk setiap topik kursus sekolah. Matematik mempunyai makna yang penting. Pada masa yang sama, kemahiran penuh harus menjadi matlamat didaktik bagi tugas bukan individu, tetapi dengan teliti pemikiran sistem mereka. Dalam erti kata yang paling luas, sistem ini bermakna gabungan unsur-unsur berinteraksi yang saling berinteraksi dengan integriti dan struktur yang mampan.

Pertimbangkan metodologi untuk mempelajari pelajar untuk menyusun persamaan tangen kepada fungsi fungsi. Pada asasnya, semua tugas mencari persamaan tangen dikurangkan kepada keperluan untuk memilih dari set (rasuk, keluarga) yang mengarahkan mereka yang memenuhi keperluan tertentu - adalah tangen kepada grafik beberapa fungsi. Pada masa yang sama, suatu pluraliti langsung, dari mana pemilihan dijalankan boleh ditetapkan dalam dua cara:

a) titik berbaring di atas kapal terbang xoy (pukulan pusat langsung);
b) Pekali sudut (sekumpulan selari langsung).

Dalam hal ini, apabila mengkaji topik "Tangential kepada graf fungsi" untuk memotong unsur-unsur sistem, kami menyerlahkan dua jenis tugas:

1) Tugas untuk titik tangen yang ditentukan di mana ia berlalu;
2) Tugas untuk tangen yang ditentukan oleh pekali sudutnya.

Latihan untuk menyelesaikan tugas-tugas untuk tangen telah dijalankan dengan bantuan algoritma yang dicadangkan oleh A.g. Mordkovich. Perbezaan asasnya dari yang sudah diketahui ialah abscissa titik sentuh ditunjukkan oleh huruf A (bukannya x0), dan oleh itu persamaan tangen memperoleh pandangan

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(Bandingkan dengan Y \u003d F (x 0) + F "(x 0) (X - X 0)). Teknik metodologi ini, pada pendapat kami, membolehkan pelajar lebih cepat dan lebih mudah untuk merealisasikan di mana dalam persamaan keseluruhan rekod tangen Koordinat titik semasa, dan di mana titik sentuhan.

Algoritma memaksa persamaan tangen untuk grafik fungsi y \u003d f (x)

1. Memandangkan huruf A ke abscissa titik sentuhan.
2. Cari f (a).
3. Cari f "(x) dan f" (a).
4. Gantikan nombor yang dijumpai A, F (A), F "(a) dalam persamaan umum tangen y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a).

Algoritma ini boleh disusun berdasarkan peruntukan operasi bebas dan urutan pelaksanaannya.

Amalan telah menunjukkan bahawa penyelesaian yang konsisten bagi setiap tugas utama yang menggunakan algoritma membolehkan anda membentuk kemahiran menulis persamaan tangen kepada grafik fungsi secara berperingkat, dan langkah-langkah algoritma berfungsi sebagai titik sokongan tindakan. Pendekatan ini mematuhi teori pembentukan tindakan mental yang dibangunkan oleh P.Yya. Halperin dan N.F. Talisina.

Dalam jenis tugas pertama, dua tugas utama diperuntukkan:

• tangen melewati satu titik yang terletak di dalam kurva (Tugas 1);
• tangen melewati titik yang tidak berbaring di lengkung (tugas 2).

Tugas 1. Buat persamaan tangen untuk fungsi grafik Pada titik m (3; - 2).

Keputusan. Titik m (3; - 2) adalah titik sentuhan, kerana

1. A \u003d 3 - titik sentuhan abscissa.
2. F (3) \u003d - 2.
3. F "(x) \u003d x 2 - 4, f" (3) \u003d 5.
Y \u003d - 2 + 5 (X - 3), Y \u003d 5x - 17 - Persamaan Tangential.

Tugas 2. Tulis persamaan semua tangen ke graf fungsi Y \u003d - x 2 - 4x + 2, melalui titik M (- 3; 6).

Keputusan. Titik m (- 3; 6) bukan titik sentuhan, kerana f (- 3) 6 (Rajah 2).

2. F (A) \u003d - A 2 - 4A + 2.
3. F "(x) \u003d - 2x - 4, f" (a) \u003d - 2A - 4.
4. Y \u003d - A 2 - 4A + 2 - 2 (A + 2) (X - A) - Persamaan tangen.

Oleh itu, tangen melalui titik m (- 3; 6), oleh itu, koordinatnya memenuhi persamaan tangen.

6 \u003d - A 2 - 4A + 2 - 2 (A + 2) (- 3 - A),
A 2 + 6A + 8 \u003d 0 ^ a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 2.

Jika A \u003d - 4, persamaan tangen mempunyai bentuk y \u003d 4x + 18.

Jika A \u003d - 2, persamaan tangen mempunyai bentuk y \u003d 6.

Dalam jenis kedua, tugas utama akan menjadi yang berikut:

• tangential selari dengan garis lurus (tugas 3);
• tangen melepasi pada sudut tertentu untuk langsung (tugas 4).

Tugas 3. Tulis persamaan semua tangen ke fungsi fungsi Y \u003d X 3 - 3x 2 + 3, selari dengan Y \u003d 9X + 1 langsung.

1. A adalah titik sentuhan abscissa.
2. F (A) \u003d A 3 - 3A 2 + 3.
3. F "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \u003d 3A 2 - 6A.

Tetapi, sebaliknya, F "(a) \u003d 9 (keadaan paralelisme). Oleh itu, perlu untuk menyelesaikan persamaan 3A 2 - 6A \u003d 9. akarnya a \u003d - 1, a \u003d 3 (Rajah 3) .

4. 1) a \u003d - 1;
2) f (- 1) \u003d - 1;
3) f "(- 1) \u003d 9;
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1);

y \u003d 9x + 8 - persamaan tangen;

1) a \u003d 3;
2) f (3) \u003d 3;
3) f "(3) \u003d 9;
4) Y \u003d 3 + 9 (X - 3);

y \u003d 9x - 24 - persamaan tangen.

Tugas 4. Tulis persamaan tangen ke graf fungsi Y \u003d 0.5x 2 - 3x + 1, lulus pada sudut 45 ° ke lurus Y \u003d 0 (Rajah 4).

Keputusan. Dari keadaan F "(A) \u003d TG 45 ° kita dapati A: A - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. A \u003d 4 - titik sentuhan abscissa.
2. F (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. F "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. Y \u003d - 3 + 1 (X - 4).

y \u003d X - 7 - Persamaan Tangential.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penyelesaian apa-apa tugas lain dikurangkan untuk menyelesaikan satu atau lebih tugas utama. Pertimbangkan dua tugas berikut sebagai contoh.

1. Tulis persamaan tangen ke parabole y \u003d 2x 2 - 5x - 2, jika tangen berpotongan pada sudut yang betul dan salah satunya yang berkaitan dengan parabola pada titik dengan abscissa 3 (Rajah 5).

Keputusan. Oleh kerana abscissa titik sentuhan diberikan, maka bahagian pertama penyelesaian dikurangkan kepada tugas utama 1.

1. A \u003d 3 - titik abscissa sentuhan satu sisi sudut langsung.
2. f (3) \u003d 1.
3. F "(x) \u003d 4x - 5, F" (3) \u003d 7.
4. Y \u003d 1 + 7 (X - 3), Y \u003d 7x - 20 - Persamaan Tangenecy Pertama.

Biarkan menjadi sudut kecenderungan tangen pertama. Oleh kerana tangen berserenjang, maka sudut kecenderungan tangen kedua. Dari y \u003d 7x - 20 persamaan, kita mempunyai tg a \u003d 7. kita akan dapati

Ini bermakna bahawa pekali sudut tangen kedua adalah sama.

Penyelesaian selanjutnya dikurangkan kepada tugas utama 3.

Biarkan b (c; f (c)) terdapat titik sentuhan yang kedua, maka

1. - Abscissa titik sentuhan kedua.
2.
3.
4.
- Persamaan tangen kedua.

Nota. Pekali sudut tangen dapat dijumpai lebih mudah jika pelajar dikenali sebagai nisbah koefisien secara serenjang langsung k 1 k 2 \u003d - 1.

2. Tulis persamaan semua tangen biasa ke jadual fungsi.

Keputusan. Tugas dikurangkan untuk mencari abscissa titik dail jumlah tangen, iaitu, untuk menyelesaikan masalah utama 1 secara umum, penyediaan sistem persamaan dan penyelesaian berikutnya (Rajah 6).

1. Biarkan A menjadi abscissa titik sentuhan yang terletak pada graf fungsi Y \u003d X 2 + X + 1.
2. F (A) \u003d A 2 + A + 1.
3. F "(A) \u003d 2A + 1.
4. Y \u003d A 2 + A + 1 + (2A + 1) (X - A) \u003d (2A + 1) X + 1 - A 2.

1. Biarkan C menjadi abscissa titik sentuhan yang terletak pada graf fungsi
2.
3. F "(c) \u003d C.
4.

Sebagai tangen biasa, maka

Jadi, y \u003d x + 1 dan y \u003d - 3x - 3 adalah tangen biasa.

Objektif utama tugas-tugas yang dipertimbangkan adalah untuk menyediakan pelajar untuk mengiktiraf secara bebas jenis tugas utama semasa menyelesaikan tugas yang lebih kompleks yang memerlukan kemahiran penyelidikan tertentu (keupayaan untuk menganalisis, membandingkan, merumuskan, mengemukakan hipotesis, dll.). Tugas sedemikian termasuk apa-apa tugas di mana tugas utama dimasukkan sebagai komponen. Pertimbangkan sebagai contoh, tugas (masalah songsang 1) untuk mencari fungsi oleh keluarga tangen.

3. Pada apa B dan C lurus y \u003d x dan y \u003d - 2x adalah tangen kepada grafik fungsi y \u003d x 2 + bx + c?

Biarkan t menjadi - abscissa titik sentuhan lurus y \u003d x dengan parabola y \u003d x 2 + bx + c; P adalah titik abscissa sentuhan langsung y \u003d - 2x dengan parabola y \u003d x 2 + bx + c. Kemudian persamaan tangen y \u003d x akan mengambil bentuk y \u003d (2t + b) x + c - t 2, dan persamaan tangen y \u003d - 2x akan mengambil bentuk y \u003d (2p + b) x + c - P 2.

Kami juga akan menentukan sistem persamaan

Jawab:

Artikel ini memberikan penjelasan terperinci mengenai definisi, makna geometri dari terbitan dengan notasi Grafik.. Persamaan Tangent Direct akan dipertimbangkan dengan penukaran contoh, persamaan tangen untuk lengkung 2 dijumpai.

Yandex.rtb R-A-339285-1 Definisi 1

Sudut kecenderungan langsung Y \u003d K x + B dipanggil sudut α, yang dikira dari arah positif paksi tentang x ke lurus y \u003d k x + b dalam arah yang positif.

Dalam gambar itu, arah x dilambangkan oleh anak panah hijau dan dalam bentuk arka hijau, dan sudut kecenderungan dengan bantuan arka merah. Garis biru merujuk kepada garis lurus.

Definisi 2.

Pekali sudut langsung Y \u003d K x + B dipanggil koefisien berangka k.

Pekali sudut adalah sama dengan kecondongan tilt lurus, dengan kata lain k \u003d t g α.

• Sudut kecenderungan adalah sama dengan 0 hanya dengan paralelisme x dan pekali sudut sama dengan sifar, kerana sifar tangen adalah 0. Jadi, jenis persamaan akan y \u003d b.
• Jika sudut garis lurus y \u003d k x + B adalah tajam, maka syarat berpuas hati 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается nombor positifKerana nilai tangen memenuhi syarat T g α\u003e 0, dan terdapat peningkatan dalam jadual.
• Jika α \u003d π 2, maka lokasi berserenjang lurus tentang x. Kesaksamaan ditetapkan menggunakan kesamatan X \u003d C dengan nilai nombor yang sah.
• Jika sudut kecenderungan adalah lurus y \u003d k x + b bodoh, maka sepadan dengan keadaan π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Suruhan itu dipanggil langsung, yang melepasi 2 mata fungsi F (x). Dalam erti kata lain, urutan itu langsung, yang dijalankan melalui mana-mana dua titik graf fungsi yang diberikan.

Rajah menunjukkan bahawa dalam adalah unit, dan F (x) adalah lengkung hitam, α - arka merah, yang bermaksud sudut kecenderungan seksyen.

Apabila pekali sudut adalah sama dengan tangen sudut kecenderungan, dapat dilihat bahawa tangen dari segitiga segi empat tepat di C boleh didapati berhubung dengan kategori yang bertentangan dengan yang bersebelahan.

Definisi 4.

Kami mendapat formula untuk mencari pandangan yang selamat:

k \u003d tg α \u003d bcac \u003d f (x b) - FX a x b - x a, di mana abscissions of points a dan b adalah nilai x a, x b, dan f (x a), f (x b) adalah nilai-nilai fungsi pada titik-titik ini .

Jelas sekali, pekali sudut seksyen ditentukan oleh kesamaan k \u003d f (x b) - f (x a) x b - x a atau k \u003d f (x a) - f (x b) x a - x b, dan persamaan yang diperlukan untuk Tulis sebagai Y \u003d F (XB) - F (XA) XB - XA · X - XA + F (XA) atau
y \u003d f (x a) - f (x b) x a - x b · x - x b + f (x b).

The urquential membahagikan graf secara visual ke 3 bahagian: ke kiri titik A, dari A ke B, ke kanan V. Pada angka di bawah, angka menunjukkan bahawa terdapat tiga jujukan yang dianggap bertepatan, itu adalah, mereka ditetapkan menggunakan persamaan yang sama.

Dengan definisi, ia dapat dilihat bahawa langsung dan berurutannya dalam kes ini perlawanan.

The urutan boleh menghancurkan graf fungsi fungsi yang ditetapkan. Sekiranya terdapat persamaan bentuk y \u003d 0 untuk unit, maka bilangan titik persimpangan dengan sinusoid adalah tidak terhingga.

Definisi 5.

Tangen ke fungsi grafik f (x) pada titik x 0; f (x 0) dipanggil lurus, lulus melalui titik tertentu x 0; F (x 0), dengan kehadiran segmen yang mempunyai pluraliti x, dekat dengan x 0.

Contoh 1.

Pertimbangkan secara terperinci di bawah contoh di atas. Kemudian ia dapat dilihat bahawa garis lurus, yang diberikan oleh fungsi y \u003d x + 1, dianggap tangen kepada y \u003d 2 x pada titik dengan koordinat (1; 2). Untuk kejelasan, adalah perlu untuk mempertimbangkan graf dengan anggaran untuk (1; 2) nilai. Fungsi Y \u003d 2 x ditandakan dengan hitam, garis biru adalah tangen, titik merah adalah titik persimpangan.

Jelas, y \u003d 2 x menggabungkan dengan garis lurus y \u003d x + 1.

Untuk menentukan orang tangen harus mempertimbangkan tingkah laku tangen A b dengan penghampiran yang tidak terhingga dari titik ke titik A. Untuk kejelasan, kami memberikan lukisan itu.

The Secant dan B, yang ditetapkan dengan bantuan garis biru, cenderung kepada kedudukan tangen itu sendiri, dan sudut kecenderungan α akan berusaha untuk berusaha untuk sudut kecondongan tangen α x.

Definisi 6.

Tangential kepada grafik fungsi Y \u003d F (x) pada titik A dianggap sebagai kedudukan had yang berurutan dan apabila dalam tender kepada A, iaitu, B → a.

Kami kini berpaling kepada pertimbangan makna geometri fungsi derivatif pada ketika itu.

Kami berpaling kepada pertimbangan AB yang berurutan untuk fungsi F (X), di mana A dan B dengan koordinat X 0, F (x 0) dan X 0 + δ X, F (X 0 + δ X), dan δ X Kami menunjukkan sebagai kenaikan hujah. Sekarang fungsi akan mengambil bentuk δ y \u003d δ f (x) \u003d f (x 0 + δ x) - f (δ x). Untuk kejelasan, kami memberi lukisan contoh.

Pertimbangkan yang diterima segitiga yang betul Dan di C. Kami menggunakan definisi tangen untuk menyelesaikan, iaitu, kami memperoleh nisbah δ y δ x \u003d t g α. Dari penentuan tangen, ia mengikuti lim δ x → 0 δ y δ x \u003d t g α x. Menurut peraturan derivatif pada ketika itu, kita mempunyai bahawa derivatif F (X) pada titik x 0 dipanggil had hubungan fungsi untuk kenaikan hujah, di mana δ x → 0, kemudian menunjukkan sebagai f (x 0) \u003d lim δ x → 0 δ y δ x.

Ia mengikuti F "(x 0) \u003d lim δ x → 0 δ y δ x \u003d t g α x \u003d k x, di mana k x dilambangkan sebagai pekali sudut tangential.

Iaitu, kita memperoleh bahawa f '(x) boleh wujud pada titik x 0 dan sebagai tangen kepada grafik yang ditentukan fungsi di titik sentuhan x 0, f 0 (x 0), di mana nilai pekali sudut tangen pada titik ini diperoleh pada titik x 0. Kemudian kita dapatkan bahawa k x \u003d f "(x 0).

Makna geometri fungsi derivatif pada ketika ini ialah konsep kewujudan tangen ke jadual diberikan pada titik yang sama.

Untuk merakam persamaan apa-apa langsung di atas kapal terbang, anda mesti mempunyai pekali sudut dengan satu titik di mana ia berlalu. Penamaannya diterima sebagai x 0 apabila menyeberang.

Persamaan tangen ke graf fungsi Y \u003d F (x) pada titik x 0, f 0 (x 0) mengambil bentuk y \u003d f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0).

Bermakna itu makna akhir The Derivative F "(x 0) boleh menentukan kedudukan tangen, iaitu, menegak, di bawah keadaan Lim x → x 0 + 0 f" (x) \u003d ∞ dan lim x → x 0 - 0 f "(x) \u003d ∞ atau ketiadaan pada semua keadaan Lim x → x 0 + 0 F "(X) ≠ Lim x → X 0 - 0 F" (x).

Lokasi tangen bergantung kepada nilai pekali sudutnya kx \u003d f "(x 0). Apabila berpendapat dengan paksi, kami memperoleh KK \u003d 0, dengan paralelisme kepada O - KX \u003d ∞, dan jenis persamaan tangen x \u003d x 0 kenaikan kx\u003e 0, berkurangan di kx< 0 .

Contoh 2.

Untuk menyusun persamaan tangen ke graf fungsi Y \u003d E x + 1 + X 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 pada titik dengan koordinat (1; 3) dengan definisi sudut kecenderungan.

Keputusan

Dengan syarat, kami mempunyai fungsi itu ditentukan untuk semua nombor yang sah. Kami memperoleh bahawa titik dengan koordinat yang ditentukan oleh keadaan (1; 3) adalah titik sentuhan, maka x 0 \u003d - 1, f (x 0) \u003d - 3.

Ia adalah perlu untuk mencari derivatif pada titik dengan nilai - 1. Kami mendapatnya

y "\u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" \u003d \u003d Ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" \u003d Ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) \u003d y" (- 1) \u003d E - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 \u003d 3 3

Nilai F '(x) di titik sentuhan adalah pekali tangen tangen, yang sama dengan titt tangen.

Maka k x \u003d t g α x \u003d y "(x 0) \u003d 3 3

Ia mengikuti bahawa α x \u003d a r c t g 3 3 \u003d π 6

Jawab:persamaan tangen memperoleh pandangan

y \u003d f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Untuk kejelasan, kami memberi contoh dalam ilustrasi grafik.

Warna hitam digunakan untuk graf fungsi sumber, warna biru - Imej Tangent, Dot Merah - Touch Point. Lukisan, yang terletak di sebelah kanan, menunjukkan dalam bentuk yang diperbesarkan.

Contoh 3.

Ketahui kewujudan tangen ke jadual fungsi yang diberikan.
Y \u003d 3 · X - 1 5 + 1 pada titik dengan koordinat (1; 1). Buat persamaan dan tentukan sudut kecenderungan.

Keputusan

Dengan syarat, kami mempunyai kawasan definisi fungsi yang diberikan dianggap sebagai set semua nombor yang sah.

Marilah kita beralih untuk mencari derivatif

y "\u003d 3 · X - 1 5 + 1" \u003d 3 · 1 5 · (X - 1) 1 5 - 1 \u003d 3 5 · 1 (X - 1) 4 5

Jika x 0 \u003d 1, maka f '(x) tidak ditakrifkan, tetapi had dicatatkan sebagai Lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (X - 1) 4 5 \u003d 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 \u003d 3 5 · 1 + 0 \u003d + ∞ dan Lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (X - 1) 4 5 \u003d 3 5 · 1 (- 0) 4 5 \u003d 3 5 · 1 + 0 \u003d + ∞, yang bermaksud kewujudan tangen menegak pada titik (1; 1).

Jawab: Persamaan akan mengambil bentuk X \u003d 1, di mana sudut kecenderungan akan sama dengan π 2.

Untuk kejelasan, menggambarkan secara grafik.

Contoh 4.

Cari titik jadual fungsi Y \u003d 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, di mana

1. Tangency tidak wujud;
2. Tangency terletak di selari dengan X;
3. Tanner selari langsung Y \u003d 8 5 x + 4.

Keputusan

Ia perlu memberi perhatian kepada kawasan definisi. Dengan syarat, kami mempunyai fungsi itu ditentukan pada set semua nombor yang sah. Mendedahkan modul dan menyelesaikan sistem dengan jurang X ∈ - ∞; 2 dan [- 2; + ∞). Kami mendapatnya

y \u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Ia adalah perlu untuk terus memadam fungsi tersebut. Kami ada itu

y "\u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) ⇔ y" \u003d - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Apabila x \u003d - 2, maka derivatif tidak wujud, kerana had satu sisi tidak sama pada ketika ini:

lim x → - 2 - 0 y "(x) \u003d Lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 \u003d - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 \u003d - - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 \u003d 3

Kirakan nilai fungsi pada titik x \u003d - 2, di mana kita dapatkan itu

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, iaitu, tangen pada titik (- 2 ; - 2) tidak akan wujud.
2. Tanner selari dengan X, apabila pekali sudut adalah sifar. Maka kx \u003d tg α x \u003d f "(x 0). Itulah, adalah perlu untuk mencari nilai-nilai X itu, apabila terbitan fungsi mengubahnya menjadi sifar. Itulah, nilai-nilai F ' (x) dan akan menjadi titik sentuhan di mana tangen selari dengan x.

Apabila x ∈ - ∞; - 2, kemudian - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0, dan pada x ∈ (- 2; + ∞) Kami memperoleh 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 · 35 \u003d 144 - 140 \u003d 4 x 1 \u003d - 12 + 4 2 \u003d - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 \u003d - 12 - 4 2 \u003d - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0 d \u003d 4 2 - 4 · 3 \u003d 4 x 3 \u003d 4 - 4 2 \u003d 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 \u003d 4 + 4 2 \u003d 3 ∈ - 2; + ∞.

Kirakan nilai yang sepadan dengan fungsi tersebut

y 1 \u003d Y - 5 \u003d 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 \u003d 8 5 Y 2 \u003d Y (- 7) \u003d 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 \u003d 4 3 Y 3 \u003d Y (1) \u003d 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 \u003d 8 5 Y 4 \u003d Y (3) \u003d 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 \u003d 4 3

Oleh itu - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 dianggap sebagai titik yang dikehendaki dari grafik fungsi.

Pertimbangkan imej grafik. penyelesaian.

Black Line - Graf Fungsi, Titik Merah - Touch Points.

1. Apabila garisan lurus selari, maka pekali sudut adalah sama. Kemudian ia adalah perlu untuk mencari mata graf fungsi, di mana pekali sudut akan sama dengan nilai 8 5. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan bentuk Y "(x) \u003d 8 5. Kemudian, jika x ∈ - ∞; - 2, kita memperolehnya - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 8 5, dan jika x ∈ (- 2; + ∞), kemudian 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5.

Persamaan pertama tidak mempunyai akar, sebagai diskriminasi kurang sifar. Kami menulis apa

1 5 x 2 + 12 x + 35 \u003d 8 5 x 2 + 12 x + 43 \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 · 43 \u003d - 28< 0

Persamaan lain mempunyai dua akar yang sah, maka

1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5 x 2 - 4 x - 5 \u003d 0 d \u003d 4 2 - 4 · (- 5) \u003d 36 x 1 \u003d 4 - 36 2 \u003d - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 \u003d 4 + 36 2 \u003d 5 ∈ - 2; + ∞.

Marilah kita beralih untuk mencari nilai-nilai fungsi. Kami mendapatnya

y 1 \u003d Y (- 1) \u003d 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 \u003d 4 15 Y 2 \u003d Y (5) 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 \u003d 8 3

Mata dengan nilai - 1; 4 15, 5; 8 3 adalah titik di mana tangen selari lurus y \u003d 8 5 x + 4.

Jawab:garis hitam - graf fungsi, garis merah - graf y \u003d 8 5 x + 4, garis biru - tangen di mata - 1; 4 15, 5; 8 3.

Kewujudan bilangan tangen yang tidak terhingga untuk fungsi tertentu adalah mungkin.

Contoh 5.

Tulis persamaan semua fungsi tangen yang ada y \u003d 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, yang berserenjang dengan garis lurus Y \u003d - 2 x + 1 2.

Keputusan

Untuk menyusun persamaan tangen, adalah perlu untuk mencari pekali dan koordinat titik sentuhan, berdasarkan keadaan penendalian langsung. Definisi ini berbunyi seperti ini: produk koefisien sudut yang berserenjang dengan langsung, sama dengan 1, iaitu, ditulis sebagai k x · k ⊥ \u003d - 1. Dari keadaan ini, kita mempunyai bahawa pekali sudut berserenjang dengan garis dan sama dengan k ⊥ \u003d - 2, kemudian k x \u003d - 1 k ⊥ \u003d - 1 - 2 \u003d 1 2.

Sekarang anda perlu mencari koordinat titik sentuhan. Ia perlu mencari x, selepas itu nilainya adalah untuk fungsi yang diberikan. Perhatikan bahawa dari makna geometri derivatif pada titik itu
x 0 Kami memperoleh bahawa K x \u003d Y "(x 0). Dari kesetaraan ini, kami akan mendapati nilai-nilai X untuk titik sentuhan.

Kami mendapatnya

y "(x 0) \u003d 3 cos 3 2 x 0 - 4 - 1 3" \u003d 3 · - DIN 3 2 x 0 - 4 · 3 2 x 0 - π 4 "\u003d \u003d - 3 · Dosa 3 2 x 0 - 4 · 3 2 \u003d - 9 2 · Dosa 3 2 x 0 - π 4 ⇒ KX \u003d Y "(X 0) ⇔ - 9 2 · Dosa 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ SIN 3 2 X 0 - π 4 \u003d - 1 9

ia persamaan trigonometri. Ia akan digunakan untuk mengira jumlah titik sentuhan.

3 2 x 0 - π 4 \u003d A R C SIN - 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 \u003d π - A R C SIN - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 \u003d - A R C SIN 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 \u003d π + A R C SIN 1 9 + 2 πK

x 0 \u003d 2 3 π 4 - A R C SIN 1 9 + 2 πk atau x 0 \u003d 2 3 5 π 4 + A R C SIN 1 9 + 2 πk, k ∈ z

Z - Banyak bilangan bulat.

Mendapati titik x sentuhan. Sekarang anda perlu pergi mencari nilai dari:

y 0 \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 · 1 - SIN 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 atau y 0 \u003d 3 · - 1 - SIN 2 3 2 x 0 - 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 \u003d 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 \u003d 4 5 - 1 3 atau y 0 \u003d - 4 5 + 1 3

Dari sini kita memperolehnya 2 3 π 4 - A R C SIN 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + A R C SIN 1 9 + 2 πK; - 4 5 + 1 3 adalah titik sentuh.

Jawab: Persamaan yang diperlukan akan direkodkan sebagai

y \u003d 1 2 X - 2 3 π 4 - Arc Sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, Y \u003d 1 2 x - 2 3 5 π 4 + Arc Sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ z

Untuk imej visual, kami menganggap fungsi dan tangen pada koordinat langsung.

Lukisan menunjukkan bahawa lokasi fungsi berjalan pada selang [- 10; 10], di mana tali hitam adalah graf fungsi, garis biru - tangen, yang terletak berserenjang dengan bentuk langsung yang diberikan y \u003d 2 x + 1 2. Titik merah adalah titik sentuh.

Persamaan kanonik keluk 2 Pesanan tidak jelas. Persamaan tangen untuk mereka disusun oleh skim yang diketahui.

Tangen bulatan

Untuk menentukan bulatan dengan pusat di titik x c e n t e r; Y c e n t e r dan r radius digunakan oleh formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 \u003d r 2.

Kesaksamaan ini boleh direkodkan sebagai gabungan dua fungsi:

y \u003d r 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y \u003d r 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Fungsi pertama terletak di bahagian atas, dan yang kedua di bawah, seperti yang ditunjukkan dalam gambar.

Untuk menyusun persamaan bulatan pada titik x 0; Y 0, yang terletak di separuh bulatan atas atau bawah, ia harus dijumpai persamaan graf fungsi bentuk Y \u003d R 2 - X - X CENTER 2 + YCENTER atau Y \u003d - R 2 - X - XCENTER 2 + YCenter pada titik yang ditentukan.

Apabila di mata x c e n t e r; y c e n t e r + r dan x c e n t e r; y c e n t e r - r tangen boleh ditetapkan oleh persamaan y \u003d y c e n t e r + r dan y \u003d y c e n t e r - r, dan di mata x c e n t e r + r; y c e n t e r dan
X c e n t e r - r; Y c e n t e r akan selari dengan y, maka kita memperoleh persamaan bentuk x \u003d x c e n t e r + r dan x \u003d x c e n t e r - r.

Tangen ke elips.

Apabila elips mempunyai pusat pada titik x c e n t e r; Y c e n t e r dengan separa axles a dan b, maka ia boleh ditetapkan menggunakan x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1.

Ellipse dan bulatan boleh dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi, iaitu: bahagian atas dan bawah Elix. Kemudian kita dapatkannya

y \u003d b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y \u003d b a · a 2 - (x - x c e n t e r

Jika tangen terletak di simpang elips, maka mereka selari dengan x atau o. Di bawah untuk kejelasan, pertimbangkan lukisan itu.

Contoh 6.

Tulis persamaan tangen ke Ellipse X - 3 2 4 + Y - 5 2 25 \u003d 1 pada mata dengan nilai x sama dengan x \u003d 2.

Keputusan

Ia adalah perlu untuk mencari titik sentuh yang sesuai dengan nilai x \u003d 2. Kami menghasilkan penggantian kepada persamaan elipse yang sedia ada dan mendapatkannya

x - 3 2 4 x \u003d 2 + Y - 5 2 25 \u003d 1 1 4 + Y - 5 2 25 \u003d 1 ⇒ Y - 5 2 \u003d 3 4 · 25 ⇒ Y \u003d ± 5 3 2 + 5

Kemudian 2; 5 3 2 + 5 dan 2; - 5 3 2 + 5 adalah titik sentuhan yang tergolong dalam separa elips atas dan bawah.

Mari kita beralih untuk mencari dan menyelesaikan persamaan elips mengenai Y. Kami mendapatnya

x - 3 2 4 + Y - 5 2 25 \u003d 1 Y - 5 2 25 \u003d 1 - X - 3 2 4 (Y - 5) 2 \u003d 25 · 1 - X - 3 2 4 Y - 5 \u003d ± 5 · 1 - X - 3 2 4 Y \u003d 5 ± 5 2 4 - X - 3 2

Adalah jelas bahawa bahagian atas elix-elix ditetapkan menggunakan fungsi bentuk Y \u003d 5 + 5 2 4 - X - 3 2, dan bahagian bawah Y \u003d 5 - 5 2 4 - X - 3 2.

Memohon algoritma standard untuk membuat persamaan tangen kepada grafik fungsi pada titik. Kami menulis bahawa persamaan adalah untuk tangen pertama pada titik 2; 5 3 2 + 5 akan dilihat

y "\u003d 5 + 5 2 4 - X - 3 2" \u003d 5 2 · 1 2 - (X - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d - 5 2 · X - 3 4 - ( x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d 5 2 3 (X - 2) + 5 3 2 + 5

Kami memperoleh persamaan tangen kedua dengan nilai pada titik itu
2; - 5 3 2 + 5 Membawa

y "\u003d 5 - 5 2 4 - (X - 3) 2" \u003d - 5 2 · 1 2 - (X - 3) 2 "\u003d 5 2 · X - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d - 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) · X - X 0 + Y 0 ⇔ Y \u003d - 5 2 3 (X - 2) - 5 3 2 + 5

Tangen grafik dirujuk sebagai:

Tangen ke hyperbole.

Apabila hyperbole mempunyai pusat pada titik x c e n t e r; y c e n t e r dan simpang x c e n t e r + α; y c e n t e r dan x c e n t e r - α; y c e n t e r, ada penetapan ketidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1, jika dengan simpang x c e n t e r; y c e n t e r + b dan x c e n t e r; Y c e n t e r - b, kemudian ia ditetapkan menggunakan ketidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d - 1.

Hyperbole boleh diwakili sebagai dua fungsi gabungan bentuk.

y \u003d ba · (x - xcenter) 2 - a 2 + ycertion \u003d - BA · (X - XCENTER) 2 - A 2 + YCENTER atau Y \u003d BA · (X - XCENTER) 2 + A 2 + YCENTERY \u003d - BA ( X - XCENTER) 2 + A 2 + YCENTER

Dalam kes pertama, kami mempunyai tangen itu selari dengan y, dan pada selari kedua dengan x.

Ia mengikuti bahawa untuk mencari persamaan tangen Hyperbola, adalah perlu untuk mengetahui fungsi mana yang dimiliki oleh titik sentuhan. Untuk menentukan ini, adalah perlu untuk membuat penggantian dalam persamaan dan memeriksa mereka untuk identiti.

Contoh 7.

Buat persamaan tangen ke hyperbole x - 3 2 4 - Y + 3 2 9 \u003d 1 pada titik 7; - 3 3 - 3.

Keputusan

Ia adalah perlu untuk mengubah rakaman penyelesaian untuk mencari hiperbol menggunakan 2 fungsi. Kami mendapatnya

x - 3 2 4 - Y + 3 2 9 \u003d 1 ⇒ Y + 3 2 9 \u003d X - 3 2 4 - 1 ⇒ Y + 3 2 \u003d 9 · X - 3 2 4 - 1 ⇒ Y + 3 \u003d 3 2 · X - 3 2 - 4 dan L dan Y + 3 \u003d - 3 2 · X - 3 2 - 4 ⇒ Y \u003d 3 2 · X - 3 2 - 4 - 3 y \u003d - 3 2 · X - 3 2 - 4 - 3.

Ia adalah perlu untuk mengenal pasti fungsi apa titik yang ditentukan dengan koordinat 7; - 3 3 - 3.

Jelas sekali, untuk menguji fungsi pertama, adalah perlu Y (7) \u003d 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, maka titik itu tidak tergolong dalam graf , kerana kesamaan tidak dilakukan.

Untuk fungsi kedua, kita mempunyai Y (7) \u003d - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ini bermakna bahawa titik tergolong dalam graf yang ditentukan. Dari sini anda perlu mencari pekali sudut.

Kami mendapatnya

y "\u003d - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3" \u003d - 3 2 · x - 3 (X - 3) 2 - 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) \u003d - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 \u003d 7 \u003d - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 \u003d - 3

Jawab: Persamaan tangen boleh diwakili sebagai

y \u003d - 3 · X - 7 - 3 3 - 3 \u003d - 3 · X + 4 3 - 3

Jelas digambarkan seperti ini:

Tangen ke parabole.

Untuk membuat persamaan tangen ke parabole y \u003d kapak 2 + bx + c pada titik x 0, y (x 0), adalah perlu untuk menggunakan algoritma standard, maka persamaan akan mengambil bentuk y \u003d y "(x 0) · X - X 0 + Y (x 0). Seperti tangen di bahagian atas selari dengan x.

Anda harus menentukan parabola x \u003d a y 2 + b y + c sebagai gabungan dua fungsi. Oleh itu, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan berbanding dengan y. Kami mendapatnya

x \u003d AY 2 + By + C ⇔ AY 2 + By + C - X \u003d 0 D \u003d B 2 - 4 A (C - X) Y \u003d - B + B 2 - 4 A (C - X) 2 AY \u003d - B - B 2 - 4 A (C - X) 2 a

Grafik ditunjukkan seperti:

Untuk menjelaskan aksesori titik X 0, Y (x 0) fungsi, dengan perlahan bertindak mengikut algoritma standard. Tangen sedemikian akan selari dengan parabola yang agak relatif.

Contoh 8.

Tulis persamaan tangen untuk grafik X - 2 y 2 - 5 y + 3, apabila kita mempunyai sudut kecenderungan 150 °.

Keputusan

Kami memulakan penyelesaian dari pandangan parabola sebagai dua fungsi. Kami mendapatnya

2 y 2 - 5 y + 3 - x \u003d 0 d \u003d (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) \u003d 49 - 8 xy \u003d 5 + 49 - 8 x - 4 y \u003d 5 - 49 - 8 X - 4

Nilai pekali sudut adalah sama dengan nilai derivatif pada titik x 0 dari fungsi ini dan sama dengan tangen sudut kecenderungan.

Kita mendapatkan:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Dari sini kita menentukan nilai X untuk titik sentuhan.

Fungsi pertama akan direkodkan sebagai

y "\u003d 5 + 49 - 8 x - 4" \u003d 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3

Jelas sekali, tidak ada akar yang sah, kerana mereka mendapat nilai negatif. Kami menyimpulkan bahawa tidak ada tangen dengan sudut 150 ° untuk fungsi sedemikian.

Fungsi kedua akan direkodkan sebagai

y "\u003d 5 - 49 - 8 x - 4" \u003d - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d - 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3 x 0 \u003d 23 4 ⇒ Y (x 0) \u003d 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 \u003d - 5 + 3 4

Kami mempunyai titik sentuhan itu ialah 23 4; - 5 + 3 4.

Jawab: Persamaan tangen mengambil bentuk

y \u003d - 1 3 · X - 23 4 + - 5 + 3 4

Secara grafik akan menunjukkannya dengan cara ini:

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + ENTER

Tangency adalah lurus Yang membimbangkan graf fungsi pada satu titik dan semua titik yang berada pada jarak yang paling rendah dari graf fungsi. Oleh itu, lulus tangen mengenai graf fungsi pada sudut tertentu dan tidak boleh melalui titik sentuhan agak tangen pada sudut yang berbeza. Persamaan tangen dan persamaan yang normal kepada graf fungsi yang dikumpulkan menggunakan derivatif.

Persamaan tangen diperoleh dari persamaan langsung .

Kami memperoleh persamaan tangential, dan kemudian persamaan normal kepada graf fungsi.

y. = kX. + b. .

Di dalamnya k. - Pekali sudut.

Dari sini kita mendapat entri berikut:

y. - y.0 = k.(x. - x.0 ) .

Nilai derivatif f. "(x.0 ) FUNGSI y. = f.(x.) Pada titik x.0 sama dengan pekali sudut k. \u003d Tg. φ tangen kepada fungsi grafik yang dihabiskan melalui satu titik M.0 (x.0 , y.0 ) di mana sahaja y.0 = f.(x.0 ) . Ini terdiri makna geometri derivatif .

Oleh itu, kita boleh menggantikannya k. pada f. "(x.0 ) dan dapatkan yang berikut persamaan tangen kepada fungsi grafik :

y. - y.0 = f. "(x.0 )(x. - x.0 ) .

Dalam tugas-tugas untuk penyusunan persamaan tangen kepada graf fungsi (dan kita akan beralih kepada mereka tidak lama lagi) persamaan yang diperoleh mengikut formula di atas persamaan secara langsung dalam bentuk umum . Untuk melakukan ini, semua huruf dan nombor bergerak ke bahagian kiri. Persamaan, dan meninggalkan sifar di sebelah kanan.

Sekarang mengenai persamaan normal. Normal - Ini adalah langsung, melalui titik sentuhan ke graf fungsi serenjang dengan tangen. Persamaan normal :

(x. - x.0 ) + f. "(x.0 )(y. - y.0 ) = 0

Untuk pemanasan, contoh pertama diselesaikan dengan bebas, dan kemudian melihat penyelesaiannya. Terdapat setiap sebab untuk berharap bahawa untuk pembaca kami tugas ini tidak akan menjadi "mandi sejuk".

Contoh 0. Membuat persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi pada titik itu M. (1, 1) .

Contoh 1. Membuat persamaan tangen dan persamaan fungsi normal kepada grafik Jika titik abscissa sentuhan.

Cari fungsi derivatif:

Sekarang kita mempunyai semua yang anda perlukan untuk menggantikan kemasukan dalam bantuan teoritis untuk mendapatkan persamaan tangen. Menerima

Dalam contoh ini, kami bernasib baik: pekali sudut ternyata sama dengan sifar, jadi persamaan ke arah pandangan umum Saya tidak perlu. Sekarang kita boleh mengkompilasi persamaan Normal:

Rajah di bawah: Carta Warna Burgundy, Tangen warna hijau, Oren biasa.

Contoh berikut juga tidak rumit: fungsi, seperti yang sebelumnya, juga merupakan polinomial, tetapi pekali sudut tidak akan sifar, jadi satu lagi langkah akan ditambah - membawa persamaan kepada jenis umum.

Contoh 2.

Keputusan. Cari King Point Ordinate:

Cari fungsi derivatif:

.

Cari nilai derivatif pada titik sentuhan, iaitu, pekali sudut tangen:

Kami menggantikan semua data yang diperolehi dalam Formula-Kerdil dan kami memperoleh persamaan tangen:

Kami membentangkan persamaan kepada jenis umum (semua huruf dan nombor selain daripada sifar, kami mengumpul di sebelah kiri, dan di sebelah kanan cuti sifar):

Buat persamaan normal:

Contoh 3. Buat persamaan tangential dan persamaan normal kepada graf fungsi, jika titik abscissa sentuhan.

Keputusan. Cari King Point Ordinate:

Cari fungsi derivatif:

.

Cari nilai derivatif pada titik sentuhan, iaitu, pekali sudut tangen:

.

Cari persamaan tangen:

Sebelum membawa persamaan ke minda umum, adalah perlu untuk "memerangi" sedikit: Multiply oleh 4. Kami melakukan ini dan memberikan persamaan kepada minda umum:

Buat persamaan normal:

Contoh 4. Buat persamaan tangential dan persamaan normal kepada graf fungsi, jika titik abscissa sentuhan.

Keputusan. Cari King Point Ordinate:

.

Cari fungsi derivatif:

Cari nilai derivatif pada titik sentuhan, iaitu, pekali sudut tangen:

.

Kami memperoleh persamaan tangen:

Berikan persamaan kepada minda umum:

Buat persamaan normal:

Kesilapan yang biasa dalam penyediaan persamaan tangen dan normal tidak dapat melihat bahawa fungsi yang diberikan dalam contoh adalah rumit dan mengira derivatifnya sebagai derivatif fungsi yang berbeza. Contoh berikut sudah ada dengan fungsi yang kompleks (Pelajaran yang sepadan dibuka dalam tetingkap baru).

Contoh 5. Buat persamaan tangential dan persamaan normal kepada graf fungsi, jika titik abscissa sentuhan.

Keputusan. Cari King Point Ordinate:

PERHATIAN! Ciri ini - rumit, kerana hujah tangen (2 x. ) Ia adalah fungsi itu sendiri. Oleh itu, kita dapati fungsi derivatif sebagai derivatif fungsi yang kompleks.

Contoh 1. Dana menampilkan f.(x.) = 3x. 2 + 4x. - 5. Tulis persamaan tangen kepada graf f.(x.) Pada titik jadual dengan abscissa x. 0 = 1.

Keputusan. Fungsi yang diperolehi f.(x.) wujud untuk mana-mana x R. . Cari dia:

= (3x. 2 + 4x. - 5) '\u003d 6 x. + 4.

Kemudian f.(x. 0) = f.(1) = 2; (x. 0) \u003d \u003d 10. Persamaan tangen mempunyai bentuk:

y. = (x. 0) (x. – x. 0) + f.(x. 0),

y. = 10(x. – 1) + 2,

y. = 10x. – 8.

Jawab. y. = 10x. – 8.

Contoh 2. Dana menampilkan f.(x.) = x. 3 – 3x. 2 + 2x. + 5. Tulis persamaan tangen kepada fungsi grafik f.(x.), selari langsung Y. = 2x. – 11.

Keputusan. Fungsi yang diperolehi f.(x.) wujud untuk mana-mana x R. . Cari dia:

= (x. 3 – 3x. 2 + 2x. + 5) '\u003d 3 x. 2 – 6x. + 2.

Sebagai tangen kepada fungsi grafik f.(x.) pada titik dengan abscissa x. 0 selari secara langsung Y. = 2x. - 11, maka pekali sudutnya adalah 2, iaitu. ( x. 0) \u003d 2. Kami akan mendapati abscissa ini dari keadaan yang 3 x.– 6x. 0 + 2 \u003d 2. Kesamaan ini hanya sah apabila x. 0 \u003d 0 dan bila x. 0 \u003d 2. Sejak dalam itu dan dalam kes lain f.(x. 0) \u003d 5, kemudian lurus y. = 2x. + b. Menganggap graf fungsi atau pada titik (0; 5), atau pada titik (2; 5).

Dalam kes pertama, kesaksamaan angka adalah 5 \u003d 2 × 0 + b.Dari! b. \u003d 5, dan dalam kes kedua, kesaksamaan berangka 5 \u003d 2 × 2 + b.Dari! b. = 1.

Jadi ada dua tangen y. = 2x. + 5 I. y. = 2x. + 1 ke fungsi grafik f.(x.), selari langsung Y. = 2x. – 11.

Jawab. y. = 2x. + 5, y. = 2x. + 1.

Contoh 3. Dana menampilkan f.(x.) = x. 2 – 6x. + 7. Tulis persamaan tangen untuk fungsi grafik f.(x.) melewati titik A. (2; –5).

Keputusan. - f.(2) -5, maka titik itu A. tidak tergolong dalam fungsi grafik f.(x.). Biarkan x. 0 - ABSCISSA POINT OF TOUCH.

Fungsi yang diperolehi f.(x.) wujud untuk mana-mana x R. . Cari dia:

= (x. 2 – 6x. + 1) '\u003d 2 x. – 6.

Kemudian f.(x. 0) = x.– 6x. 0 + 7; (x. 0) = 2x. 0 - 6. Persamaan tangen mempunyai bentuk:

y. = (2x. 0 – 6)(x. – x. 0) + x.– 6x.+ 7,

y. = (2x. 0 – 6)x.– x.+ 7.

Sejak titik A. kepunyaan tangen, maka kesamaan berangka adalah benar

–5 = (2x. 0 - 6) × 2- x.+ 7,

dari x. 0 \u003d 0 atau x. 0 \u003d 4. Ini bermakna bahawa melalui titik A.anda boleh menghabiskan dua tangen untuk fungsi grafik f.(x.).

Sekiranya x. 0 \u003d 0, persamaan tangen adalah y. = –6x. + 7. Jika x. 0 \u003d 4, persamaan tangen mempunyai bentuk y. = 2x. – 9.

Jawab. y. = –6x. + 7, y. = 2x. – 9.

Contoh 4. Fungsi diberikan f.(x.) = x. 2 – 2x. + 2 I. g.(x.) = –x. 2 - 3. Tulis persamaan kepada total tangen kepada graf fungsi ini.

Keputusan. Biarkan x. 1 - Titik Absissance Touch Sceeping Direct dengan Jadual Fungsi f.(x.), tetapi x. 2 - Titik Absissance menyentuh langsung yang sama dengan jadual fungsi g.(x.).

Fungsi yang diperolehi f.(x.) wujud untuk mana-mana x R. . Cari dia:

= (x. 2 – 2x. + 2) '\u003d 2 x. – 2.

Kemudian f.(x. 1) = x.– 2x. 1 + 2; (x. 1) = 2 X. 1 - 2. Persamaan tangen mempunyai bentuk:

y. = (2x. 1 – 2)(x. – x. 1) + x.– 2x. 1 + 2,

Y. = (2x. 1 – 2)x. – x.+ 2. (1)

Cari fungsi derivatif g.(x.):

= (–x. 2 - 3) '\u003d -2 x..