Paksi adalah arah. Ini bermaksud bahawa unjuran ke sumbu atau ke garis yang diarahkan dianggap sama. Unjuran boleh berbentuk algebra dan geometri. Secara geometri, unjuran vektor ke paksi difahami sebagai vektor, dan secara aljabar, nombor. Artinya, konsep unjuran vektor ke paksi dan unjuran berangka vektor ke paksi diterapkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sekiranya kita mempunyai paksi L dan vektor bukan sifar A B →, maka kita boleh membina vektor A 1 B 1 ⇀, yang menunjukkan unjuran titik-titiknya A 1 dan B 1.

A 1 B → 1 akan menjadi unjuran vektor A B → ke L.

Definisi 1

Unjuran vektor ke paksi disebut vektor, permulaan dan akhirnya adalah unjuran awal dan akhir vektor tertentu. n p L A B → → adalah kebiasaan untuk menunjukkan unjuran A B → ke L. Untuk membina unjuran ke L, tegak lurus ke L dijatuhkan.

Contoh 1

Contoh unjuran vektor ke paksi.

Dihidupkan satah koordinat Lebih kurang x y titik M 1 (x 1, y 1) diberikan. Adalah perlu untuk membuat unjuran pada O x dan O y untuk imej vektor jejari titik M 1. Kami mendapat koordinat vektor (x 1, 0) dan (0, y 1).

Sekiranya dalam soalan mengenai unjuran a → ke bukan sifar b → atau unjuran a → ke arah b →, maka kita bermaksud unjuran a → ke paksi di mana arah b → bertepatan. Unjuran a → ke garis yang ditentukan oleh b → dilambangkan oleh n p b → a → →. Telah diketahui bahawa apabila sudut antara a → dan b →, kita dapat menganggap bahawa n p b → a → → dan b → kod arah. Sekiranya sudut tidak jelas, n p b → a → → dan b → diarahkan secara berlawanan. Dalam keadaan tegak lurus a → dan b →, dan a → adalah sifar, unjuran a → dalam arah b → adalah vektor sifar.

Ciri numerik unjuran vektor ke paksi adalah unjuran berangka vektor ke paksi yang ditentukan.

Definisi 2

Unjuran berangka vektor ke paksi adalah nombor yang sama dengan produk panjang vektor yang diberikan oleh kosinus sudut antara vektor ini dan vektor yang menentukan arah paksi.

Unjuran berangka A B → ke L dilambangkan n p L A B →, dan a → ke b → - n p b → a →.

Berdasarkan formula, kami memperoleh npb → a → = a → cos a →, b → ^, di mana a → adalah panjang vektor a →, a ⇀, b → ^ adalah sudut antara vektor a → dan b →.

Kami memperoleh formula untuk mengira unjuran berangka: n p b → a → = a → · cos a →, b → ^. Ini berlaku untuk panjang a → dan b → yang diketahui dan sudut di antara keduanya. Rumus ini digunakan untuk koordinat yang dikenali a → dan b →, tetapi ada bentuk yang dipermudahkan.

Contoh 2

Ketahui unjuran berangka a → pada garis lurus ke arah b → dengan panjang → sama dengan 8 dan sudut di antara mereka 60 darjah. Dengan hipotesis, kita mempunyai ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Oleh itu, kita menggantikan nilai berangka ke dalam formula n p b ⇀ a → = a → cos a →, b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4.

Jawapan: 4.

Diberi cos (a →, b → ^) = a ⇀, b → a → b →, kami mempunyai →, b → sebagai produk skalar a → dan b →. Mengikuti formula n p b → a → = a → cos a ⇀, b → ^, kita dapat mencari unjuran berangka a → yang diarahkan sepanjang vektor b → dan mendapatkan n p b → a → = a →, b → b →. Rumusnya setara dengan definisi yang ditunjukkan pada awal perenggan.

Definisi 3

Unjuran berangka vektor a → ke paksi bertepatan dalam arah dengan b → adalah nisbah produk skalar vektor a → dan b → ke panjang b →. Rumus n p b → a → = a →, b → b → berlaku untuk mencari unjuran berangka a → ke garis lurus yang bertepatan pada arah dengan b →, dengan koordinat a → dan b → yang diketahui.

Contoh 3

B → = (- 3, 4) diberikan. Cari unjuran berangka a → = (1, 7) ke L.

Penyelesaian

Pada satah koordinat npb → a → = a →, b → b → mempunyai bentuk npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2, untuk a → = (ax, ay ) dan b → = bx, oleh. Untuk mencari unjuran berangka vektor a → ke paksi L, anda memerlukan: np L a → = npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Jawapan: 5.

Contoh 4

Cari unjuran a → pada L bertepatan dengan arah b →, di mana terdapat → = - 2, 3, 1 dan b → = (3, - 2, 6). Ruang tiga dimensi diberikan.

Penyelesaian

Diberi a → = a x, a y, a z dan b → = b x, b y, b z, kami mengira produk skalar: a ⇀, b → = a x b x + a y b y + a z b z. Panjang b → dijumpai dengan formula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Ini menunjukkan bahawa formula untuk menentukan unjuran berangka a → akan: n p b → a ⇀ = a →, b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.

Nilai angka pengganti: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 ...

Jawapan: - 6 7.

Pertimbangkan hubungan antara a → pada L dan panjang unjuran a → pada L. Lukiskan paksi L dengan menambahkan a → dan b → dari titik ke L, selepas itu kita melukis garis tegak lurus dari hujung a → ke L dan unjuran ke L. Terdapat 5 variasi gambar:

Pertama kes untuk → = npb → a → → bermaksud a → = npb → a → →, oleh itu ia mengikuti npb → a → = a → cos (a, → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → a → →.

Kedua kes tersebut menyiratkan penerapan n p b → a → ⇀ = a → cos a →, b →, oleh itu, n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = n p b → a → →.

Ketiga case menjelaskan bahawa untuk npb → a → → = 0 → kita mendapat npb ⇀ a → = a → cos (a →, b → ^) = a → cos 90 ° = 0, kemudian npb → a → → = 0 dan npb → a → = 0 = npb → a → →.

Keempat kes menunjukkan npb → a → → = a → cos (180 ° - a →, b → ^) = - a → cos (a →, b → ^), ia mengikuti npb → a → = a → cos (a →, b → ^) = - npb → a → →.

Kelima case menunjukkan a → = npb → a → →, yang bermaksud a → = npb → a → →, oleh itu kita mempunyai npb → a → = a → cos a →, b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - npb → a →.

Definisi 4

Unjuran berangka vektor a → ke sumbu L, yang diarahkan seperti b →, mempunyai makna berikut:

• panjang unjuran vektor a → pada L dengan syarat bahawa sudut antara a → dan b → kurang dari 90 darjah atau sama dengan 0: npb → a → = npb → a → → dengan keadaan 0 ≤ (a →, b →) ^< 90 ° ;
• sifar di bawah keadaan tegak lurus a → dan b →: n p b → a → = 0, apabila (a →, b → ^) = 90 °;
• panjang unjuran a → on L, didarabkan dengan -1, apabila terdapat sudut vektor yang tidak jelas atau terungkap a → dan b →: n p b → a → = - n p b → a → → dengan keadaan 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Contoh 5

Dengan panjang unjuran a → ke L, sama dengan 2. Cari unjuran berangka a → dengan anggapan sudut ialah 5 π 6 radian.

Penyelesaian

Ini dapat dilihat dari keadaan bahawa sudut ini tidak jelas: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Jawapan: - 2.

Contoh 6

Diberi satah O x y z dengan panjang vektor a → sama dengan 6 3, b → (- 2, 1, 2) dengan sudut 30 darjah. Cari koordinat unjuran a → ke paksi L.

Penyelesaian

Pertama, kita mengira unjuran berangka vektor a →: n p L a → = n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9.

Dengan hipotesis, sudut adalah akut, maka unjuran berangka a = = panjang unjuran vektor a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Kes ini menunjukkan bahawa vektor n p L a → → dan b → adalah kod arah, jadi ada nombor t yang persamaannya benar: n p L a → → = t b →. Oleh itu kita melihat bahawa np L a → → = tb →, yang bermaksud kita dapat mencari nilai parameter t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Kemudian np L a → → = 3 b → dengan koordinat unjuran vektor a → pada paksi L sama dengan b → = (- 2, 1, 2), di mana perlu untuk mengalikan nilai oleh 3. Kami mempunyai np L a → → = (- 6, 3, 6). Jawapan: (- 6, 3, 6).

Adalah perlu untuk mengulangi maklumat yang telah dikaji sebelumnya mengenai keadaan collinearity vektor.

Sekiranya anda melihat kesalahan dalam teks, pilih dan tekan Ctrl + Enter

Biarkan dua vektor dan diberi ruang. Ketepikan dari sudut sewenang-wenangnya O vektor dan. Sudut antara vektor dan disebut sudut terkecil. Dilambangkan .

Pertimbangkan paksi l dan letakkan unit vektor di atasnya (iaitu vektor yang panjangnya sama dengan satu).

Sudut antara vektor dan paksi l memahami sudut antara vektor dan.

Jadi biarkan l- beberapa paksi dan - vektor.

Mari kita tandakan oleh A 1 dan B 1 unjuran paksi l mata masing-masing A dan B... Mari kita berpura-pura A 1 mempunyai koordinat x 1, a B 1- menyelaras x 2 pada paksi l.

Kemudian unjuran vektor setiap paksi l disebut perbezaan x 1 – x 2 antara koordinat unjuran akhir dan permulaan vektor pada paksi ini.

Unjuran vektor ke paksi l akan menunjukkan.

Jelas bahawa jika sudut antara vektor dan paksi l tajam ketika itu x 2> x 1, dan unjuran x 2 – x 1> 0; jika sudut ini tidak jelas, maka x 2< x 1 dan unjuran x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, kemudian x 2= x 1 dan x 2– x 1=0.

Oleh itu, unjuran vektor ke paksi l Adakah panjang segmen A 1 B 1, diambil dengan tanda tertentu. Oleh itu, unjuran vektor ke paksi adalah nombor atau skalar.

Unjuran satu vektor ke yang lain ditentukan dengan cara yang serupa. Dalam kes ini, unjuran hujung vektor yang diberikan ke garis di mana vektor kedua terletak.

Mari lihat beberapa perkara utama sifat unjuran.

SISTEM VEKTOR INDEPENDEN LINEAR DAN LINEAR

Mari kita pertimbangkan beberapa vektor.

Gabungan linear vektor ini dipanggil sebarang vektor bentuk, di mana terdapat beberapa nombor. Nombor disebut pekali gabungan linear. Mereka juga mengatakan bahawa dalam hal ini dinyatakan secara linear dari segi vektor ini, iaitu diperoleh daripada mereka menggunakan tindakan linear.

Sebagai contoh, jika tiga vektor diberikan, maka vektor boleh dianggap sebagai gabungan linearnya:

Sekiranya vektor diwakili sebagai gabungan linear beberapa vektor, maka mereka mengatakan bahawa ia terurai sepanjang vektor ini.

Vektor dipanggil bergantung secara linear jika ada nombor, tidak semua sama dengan sifar, sehingga ... Jelas bahawa vektor yang diberikan akan bergantung secara linear sekiranya ada vektor yang dinyatakan secara linear dari segi yang lain.

Jika tidak, i.e. apabila nisbah dilakukan hanya apabila , vektor ini dipanggil bebas secara linear.

Teorema 1. Mana-mana dua vektor bergantung secara linear jika dan hanya jika ia adalah collinear.

Bukti:

Teorema berikut dapat dibuktikan sama.

Teorem 2. Tiga vektor bergantung secara linear jika dan hanya jika koplanar.

Bukti.

ASAS

Asas dipanggil sekumpulan vektor bebas linear sifar. Unsur-unsur asas akan dilambangkan oleh.

Pada bahagian sebelumnya, kita melihat bahawa dua vektor bukan kolinear dalam satah bebas secara linear. Oleh itu, menurut Teorem 1, dari bahagian sebelumnya, mana-mana dua vektor bukan-koline pada satah ini adalah asas pada satah.

Begitu juga, tiga vektor bukan koplanar bebas secara linear di ruang angkasa. Akibatnya, tiga vektor bukan koplanar disebut dasar di angkasa.

Pernyataan berikut adalah benar.

Teorem. Biarkan asas diberikan di ruang angkasa. Kemudian mana-mana vektor dapat diwakili sebagai gabungan linear , di mana x, y, z- beberapa nombor. Penguraian ini unik.

Bukti.

Oleh itu, asasnya membolehkan seseorang mengaitkan setiap vektor dengan tiga nombor secara unik - pekali pengembangan vektor ini dari segi vektor asas:. Pembalikannya juga berlaku, untuk setiap nombor tiga rangkap x, y, z menggunakan asas, anda boleh memadankan vektor jika anda menyusun gabungan linear .

Sekiranya asas dan , maka nombor x, y, z dipanggil koordinat vektor mengikut asas yang diberikan. Koordinat vektor menunjukkan.

SISTEM KOORDINAT DECARTIAN

Biarkan satu titik diberi ruang O dan tiga vektor bukan koplanar.

Sistem koordinat Cartesian di angkasa (di atas kapal terbang) disebut satu set titik dan asas, iaitu satu set titik dan tiga vektor bukan koplanar (2 vektor bukan kolinear) keluar dari titik ini.

Titik O dipanggil asal; garis lurus yang melalui asal dalam arah vektor dasar disebut paksi koordinat - paksi absis, ordinat dan mengaplikasi paksi. Pesawat yang melalui paksi koordinat disebut satah koordinat.

Pertimbangkan titik sewenang-wenang dalam sistem koordinat yang dipilih M... Mari memperkenalkan konsep koordinat titik M... Vektor yang menghubungkan asal ke titik M... dipanggil vektor jejari mata M.

Vektor dalam asas yang dipilih boleh dikaitkan dengan tiga nombor - koordinatnya: .

Koordinat vektor jejari titik M... dipanggil koordinat titik M... dalam sistem koordinat yang dipertimbangkan. M (x, y, z)... Koordinat pertama disebut abses, yang kedua adalah koordinat, dan yang ketiga adalah aplikasinya.

Koordinat Cartesian pada satah ditentukan dengan cara yang serupa. Di sini intinya hanya mempunyai dua koordinat - abses dan ordinat.

Sangat mudah untuk melihat bahawa untuk sistem koordinat tertentu, setiap titik mempunyai koordinat tertentu. Sebaliknya, untuk setiap tiga nombor, terdapat satu titik yang mempunyai nombor ini sebagai koordinat.

Sekiranya vektor yang diambil sebagai asas dalam sistem koordinat yang dipilih mempunyai panjang unit dan berpasangan tegak lurus, maka sistem koordinat disebut Segi empat tepat Cartesian.

Sangat mudah untuk menunjukkannya.

Garis kosinus vektor sepenuhnya menentukan arahnya, tetapi tidak mengatakan apa-apa tentang panjangnya.

dan pada paksi atau vektor lain terdapat konsep unjuran geometri dan unjuran berangka (atau algebra). Hasil unjuran geometri adalah vektor, dan hasil unjuran algebra adalah nombor nyata bukan negatif. Tetapi sebelum beralih ke konsep ini, mari kita ingat maklumat yang diperlukan.

Maklumat awal

Konsep utama adalah konsep vektor itu sendiri. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometri, mari kita ingat apa itu segmen. Marilah kita memperkenalkan definisi berikut.

Definisi 1

Segmen adalah bahagian garis lurus yang mempunyai dua sempadan dalam bentuk titik.

Segmen boleh mempunyai 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kita akan memanggil salah satu sempadan segmen sebagai permulaan, dan batas yang lain - hujungnya. Arah ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.

Definisi 2

Vektor atau segmen terarah adalah segmen yang mana ia diketahui batas mana dari segmen yang dianggap sebagai permulaan dan yang akhir.

Penunjukan: Dua huruf: $ \ overline (AB) $ - (di mana $ A $ adalah permulaannya dan $ B $ adalah akhir).

Satu huruf kecil: $ \ overline (a) $ (rajah 1).

Mari kita memperkenalkan beberapa lagi konsep yang berkaitan dengan konsep vektor.

Definisi 3

Dua vektor bukan nol akan dipanggil collinear jika terletak pada garis lurus yang sama atau pada garis lurus yang selari antara satu sama lain (Gamb. 2).

Definisi 4

Dua vektor bukan sifar akan dipanggil kod arah jika memenuhi dua syarat:

1. Vektor ini adalah collinear.
2. Sekiranya mereka diarahkan ke satu arah (rajah 3).

Penunjukan: $ \ overline (a) \ overline (b) $

Definisi 5

Dua vektor bukan sifar akan dipanggil berlawanan arah jika memenuhi dua syarat:

1. Vektor ini adalah collinear.
2. Sekiranya mereka diarahkan ke arah yang berbeza (rajah 4).

Penunjukan: $ \ overline (a) ↓ \ overline (d) $

Definisi 6

Panjang vektor $ \ overline (a) $ ialah panjang segmen $ a $.

Notasi: $ | \ garis atas (a) | $

Mari kita beralih kepada definisi persamaan dua vektor

Definisi 7

Dua vektor akan dipanggil sama jika memenuhi dua syarat:

1. Mereka diarahkan bersama;
2. Panjangnya sama (Gambar 5).

Unjuran geometri

Seperti yang kita katakan sebelumnya, hasil unjuran geometri akan menjadi vektor.

Definisi 8

Unjuran geometri vektor $ \ overline (AB) $ ke paksi adalah vektor yang diperoleh seperti berikut: Asal vektor $ A $ diunjurkan ke paksi ini. Kami mendapat titik $ A "$ - permulaan vektor yang diinginkan. Titik akhir vektor $ B $ diunjurkan ke paksi ini. Kami mendapat titik $ B" $ - akhir vektor yang diinginkan. Vektor $ \ overline (A "B") $ akan menjadi vektor yang dikehendaki.

Pertimbangkan masalahnya:

Contoh 1

Bina unjuran geometri $ \ overline (AB) $ ke paksi $ l $, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6.

Lukis dari titik $ A $ tegak lurus dengan paksi $ l $, kita mendapat titik $ A "$ di atasnya. Seterusnya, lukis dari titik $ B $ tegak lurus ke paksi $ l $, kita mendapat titik $ B" $ di atasnya (Gamb. 7).

Merancang pelbagai garis dan permukaan pada satah membolehkan anda membina representasi visual objek dalam bentuk lukisan. Kami akan mempertimbangkan unjuran segi empat tepat, di mana sinar unjuran adalah tegak lurus dengan satah unjuran. PROJEK VEKTOR DI TEMPAT pertimbangkan vektor = (Gamb. 3.22), tertutup di antara tegak lurus, dihilangkan dari awal dan akhir.

Nasi. 3.23. Unjuran vektor vektor ke paksi.

Dalam aljabar vektor, selalunya diperlukan untuk memproyeksikan vektor ke AXIS, iaitu, ke garis lurus dengan orientasi tertentu. Reka bentuk ini mudah jika vektor dan paksi-L terletak pada satah yang sama (Rajah 3.23). Walau bagaimanapun, tugas menjadi lebih sukar apabila keadaan ini tidak dipenuhi. Mari membina unjuran vektor ke paksi apabila vektor dan paksi tidak terletak pada satah yang sama (Gamb. 3.24).

Nasi. 3.24. Mengunjurkan vektor ke paksi
secara umum.

Melalui hujung vektor kita menarik satah yang berserenjang dengan garis lurus L. Di persimpangan dengan garis lurus ini, satah ini menentukan dua titik A1 dan B1 - vektor, yang akan kita panggil vektor unjuran vektor ini. Masalah mencari unjuran vektor dapat diselesaikan dengan lebih mudah jika vektor dibawa ke satah yang sama dengan sumbu, yang dapat dilakukan, kerana vektor bebas dipertimbangkan dalam aljabar vektor.

Bersamaan dengan unjuran vektor, terdapat juga PROJEKSI SCALAR, yang sama dengan modulus unjuran vektor jika unjuran vektor bertepatan dengan orientasi paksi L, dan sama dengan nilai sebaliknya jika unjuran vektor dan L paksi mempunyai orientasi yang berlawanan. Unjuran skalar akan dilambangkan oleh:

Unjuran vektor dan skalar tidak selalu dipisahkan secara praktikal secara terminologi. Biasanya istilah "unjuran vektor" digunakan, yang bermaksud unjuran vektor skalar. Semasa membuat keputusan, adalah perlu untuk membezakan dengan jelas antara konsep-konsep ini. Mengikut tradisi yang telah ditetapkan, kami akan menggunakan istilah "unjuran vektor", yang bermaksud unjuran skalar, dan "unjuran vektor" - sesuai dengan makna yang telah ditetapkan.

Marilah kita membuktikan teorema yang membolehkan mengira unjuran skalar vektor tertentu.

THEOREM 5. Unjuran vektor ke paksi L sama dengan produk modulus oleh kosinus sudut antara vektor dan paksi, iaitu

(3.5)

Nasi. 3.25. Mencari vektor dan skalar
Unjuran vektor pada paksi L
(dan paksi L sama berorientasikan).

BUKTI. Mari buat pra-konstruksi untuk mencari sudut G Di antara vektor dan paksi-L, kita akan membina garis lurus MN selari dengan paksi-L dan melewati titik O - permulaan vektor (Gamb. 3.25). Sudut akan menjadi sudut yang dikehendaki. Mari kita lukis titik A dan O dua satah tegak lurus dengan paksi L. Kami mendapat:

Oleh kerana paksi-L dan garis MN adalah selari.

Mari kita tentukan dua kes saling kedudukan vektor dan paksi L.

1. Biarkan unjuran vektor dan paksi-L berorientasikan identik (Gamb. 3.25). Kemudian unjuran skalar yang sesuai .

2. Let dan L berorientasi ke arah yang berbeza (Gamb. 3.26).

Nasi. 3.26. Mencari unjuran vektor dan skalar vektor ke paksi-L (dan paksi-L berorientasikan pada arah yang bertentangan).

Oleh itu, penegasan teorema adalah benar dalam kedua-dua kes tersebut.

TEOREM 6. Sekiranya asal vektor dikurangkan ke beberapa titik pada paksi L, dan paksi ini terletak di satah s, vektor membentuk sudut dengan unjuran vektor ke satah s, dan sudut dengan unjuran vektor ke paksi L. di samping itu, unjuran vektor itu sendiri membentuk sudut antara mereka, kemudian