Il est logique de parler de opérations avec des fractions algébriques. Avec les fractions algébriques sont définies les actions suivantes: addition, soustraction, multiplication, division et élévation à degré naturel. De plus, toutes ces actions sont fermées, en ce sens qu'à la suite de leur exécution, une fraction algébrique est obtenue. Analysons chacun d'eux dans l'ordre.

Oui, il convient de noter immédiatement que les opérations avec des fractions algébriques sont des généralisations des opérations correspondantes avec des fractions ordinaires. Par conséquent, les règles correspondantes coïncident presque textuellement avec les règles pour effectuer l'addition et la soustraction, la multiplication, la division et l'exponentiation. fractions ordinaires.

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Addition de fractions algébriques

L'addition de fractions algébriques quelconques correspond à l'un des deux cas suivants : dans le premier, les fractions avec mêmes dénominateurs, dans le second - avec différents. Commençons par la règle d'addition des fractions avec les mêmes dénominateurs.

Pour ajouter des fractions algébriques avec les mêmes dénominateurs, vous devez ajouter les numérateurs et laisser le même dénominateur.

La règle vocale vous permet de passer de l'ajout de fractions algébriques à l'ajout de polynômes qui sont en numérateurs. Par exemple, .

Pour additionner des fractions algébriques avec différents dénominateurs vous devez agir selon la règle suivante : amenez-les à dénominateur commun, puis additionnez les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs.

Par exemple, lors de l'addition de fractions algébriques et qu'elles doivent d'abord être ramenées à un dénominateur commun, elles prendront par conséquent la forme et respectivement, après quoi l'addition de ces fractions avec les mêmes dénominateurs est effectuée : .

Soustraction

L'étape suivante, la soustraction de fractions algébriques, s'effectue de la même manière que l'addition. Si les dénominateurs des fractions algébriques d'origine sont les mêmes, il vous suffit de soustraire les polynômes des numérateurs et de laisser le même dénominateur. Si les dénominateurs sont différents, la réduction à un dénominateur commun est effectuée en premier, après quoi les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs sont soustraites.

Donnons des exemples.

Soustrayons des fractions algébriques et , leurs dénominateurs sont les mêmes, donc . La fraction algébrique résultante peut encore être réduite : .

Soustrayez maintenant la fraction de la fraction. Ce sont des fractions algébriques avec des dénominateurs différents, par conséquent, nous les amenons d'abord à un dénominateur commun, qui dans ce cas est 5 x (x-1) , nous avons et . Il reste à faire la soustraction :

Multiplication de fractions algébriques

Les fractions algébriques peuvent être multipliées. Cette action est effectuée de la même manière que la multiplication de fractions ordinaires selon la règle suivante: pour multiplier des fractions algébriques, vous devez multiplier les numérateurs séparément et séparément les dénominateurs.

Prenons un exemple. Multiplier une fraction algébrique par une fraction. Selon la règle énoncée, nous avons . Il reste à convertir la fraction résultante en fraction algébrique, pour cela, dans ce cas, il faut effectuer la multiplication d'un monôme et d'un polynôme (et dans cas général- multiplication de polynômes) au numérateur et au dénominateur : .

Il est à noter qu'avant de multiplier des fractions algébriques, il est souhaitable de factoriser les polynômes qui se trouvent dans leurs numérateurs et dénominateurs. Cela est dû à la possibilité de réduire la fraction résultante. Par exemple,
.

Cette action est décrite plus en détail dans l'article.

Division

Passons aux actions avec des fractions algébriques. Vient ensuite la division des fractions algébriques. La règle suivante réduit la division des fractions algébriques à la multiplication : pour diviser une fraction algébrique par une autre, il faut multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde.

Une fraction algébrique inverse d'une fraction donnée est comprise comme une fraction avec le numérateur et le dénominateur réarrangés. En d'autres termes, deux fractions algébriques sont considérées comme inverses l'une de l'autre si leur produit est identiquement égal à un (par analogie avec).

Prenons un exemple. Faisons la division . L'inverse du diviseur est . De cette façon, .

Pour des informations plus détaillées, reportez-vous à l'article mentionné au paragraphe précédent multiplication et division de fractions algébriques.

Élever une fraction algébrique à une puissance

Enfin, nous passons à la dernière action avec des fractions algébriques - élever à une puissance naturelle. , ainsi que la façon dont nous avons défini la multiplication des fractions algébriques, nous permet d'écrire la règle pour élever une fraction algébrique à une puissance : vous devez élever séparément le numérateur à cette puissance, et séparément le dénominateur.

Montrons un exemple de cette action. Élevons une fraction algébrique à la puissance seconde. D'après la règle ci-dessus, on a . Il reste à élever le monôme au numérateur à une puissance, et aussi à élever le polynôme au dénominateur à une puissance, ce qui donnera une fraction algébrique de la forme .

La solution d'autres exemples caractéristiques est montrée dans l'article élevant une fraction algébrique à une puissance.

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour 8 cellules. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; éd. S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. A 14h Partie 1. Cahier de l'élève les établissements d'enseignement/ A. G. Mordkovitch. - 11e éd., effacé. - M. : Mnemozina, 2009. - 215 p. : ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques): Proc. indemnité.- M.; Plus haut scolaire, 1984.-351 p., ill.

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Objectifs : répéter la règle de multiplication des fractions ordinaires et apprendre à appliquer cette règle pour multiplier n'importe quelles fractions ; consolider les compétences de réduction des fractions et les propriétés des degrés avec les mêmes bases au cours des exercices.

Pendant les cours

I. Analyse des travaux de contrôle.

1. Indiquez les erreurs commises par les élèves dans le travail de contrôle.

2. Résoudre des tâches qui ont causé des difficultés aux élèves.

II. travail oral.

1. Répétez les propriétés des degrés avec les mêmes bases :

2. Présenter comme un diplôme avec une base

Répétez la propriété de base d'une fraction et utilisez cette propriété pour réduire les fractions.

III. Explications du nouveau matériel.

1. Montrons que l'égalité

est vrai pour toutes les valeurs admissibles des variables, c'est-à-dire pour b≠0 et d≠0.

2. Règle: Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier leurs numérateurs et multiplier leurs dénominateurs et écrire le premier produit comme numérateur, et le second comme dénominateur de la fraction.

3. Considérez la solution des exemples 1, 2, 3 et 4 aux pages 26-27 du manuel.

4. La règle de multiplication des fractions s'applique au produit de trois facteurs ou plus.

Par exemple:

1. Résolvez le n° 108 (oralement).

2. Résolvez le n° 109 (a, c, e) au tableau et dans des cahiers.

Les élèves décident par eux-mêmes, puis la solution est vérifiée.

3. Résoudre n° 112 (c ; d ; f).

Devoirs: élément d'étude 5 (1-4); résoudre n ° 109 (b; d; f),

n° 112 (a ; b ; e), n° 118 (a ; c ; e), n° 119 (b ; d), n° 120 (a ; c).

Leçon 2

Objectifs : dériver la règle pour élever une fraction à une puissance et apprendre aux élèves à appliquer cette règle lors des exercices ; consolider la règle de multiplication des fractions et les compétences de réduction des fractions, développer la pensée logique des élèves.

Pendant les cours

I. Travail oral.

4. Vérifiez devoirs sur les cahiers de manière sélective.

II. Apprendre du nouveau matériel.

1. Considérez la question d'élever une fraction à une puissance. Prouvons que

2. Règle. Pour élever une fraction à une puissance, vous devez élever le numérateur et le dénominateur à cette puissance et écrire le premier résultat au numérateur et le second au dénominateur de la fraction.

3. Analysez la solution de l'exemple 5 à la page 28 du manuel :

III. Faire des exercices.

1. Résolvez le numéro 115 oralement.

2. Résolvez le numéro 116 par vous-même avec vérification ou commentaire sur place.

IV. Travail indépendant (10 min).

V. Résumé de la leçon.

1. Formez une règle pour multiplier des fractions.

2. Formez une règle pour élever une fraction à une puissance.

Devoirs: apprendre les règles du paragraphe 5 ; résoudre n° 117, n° 121 (a ; d), n° 122 (a ; c), n° 123 (a), n° 124, n° 130 (a ; b).

Évidemment, les nombres avec des puissances peuvent être additionnés comme d'autres quantités , en les ajoutant un à un avec leurs signes.

Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2 .
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Chances les mêmes puissances des mêmes variables peuvent être ajoutés ou soustraits.

Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est 5a 2 .

Il est également évident que si l'on prend deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.

Mais des degrés diverses variables et divers degrés variables identiques, doivent être ajoutés en les ajoutant à leurs signes.

Ainsi, la somme de a 2 et a 3 est la somme de a 2 + a 3 .

Il est évident que le carré de a, et le cube de a, n'est pas deux fois le carré de a, mais le double du cube de a.

La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Soustraction les puissances sont effectuées de la même manière que l'addition, sauf que les signes du sous-traitant doivent être modifiés en conséquence.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplication de puissance

Les nombres avec des puissances peuvent être multipliés comme les autres quantités en les écrivant les uns après les autres, avec ou sans le signe de multiplication entre eux.

Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
X -3 ⋅ une m = une m X -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
une 2 b 3 y 2 ⋅ une 3 b 2 y = une 2 b 3 y 2 une 3 b 2 y

Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant les mêmes variables.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3 .

En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, alors le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à somme degrés de termes.

Donc, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.

Donc, a n .a m = a m+n .

Pour a n , a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n l'est ;

Et a m , est pris comme facteur autant de fois que le degré m est égal à ;

C'est pourquoi, les puissances avec les mêmes bases peuvent être multipliées en ajoutant les exposants.

Donc, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Et x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliez (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multipliez (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont - négatif.

1. Donc, a -2 .a -3 = a -5 . Cela peut être écrit comme (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. une -n ​​.une m = une m-n .

Si a + b sont multipliés par a - b, le résultat sera a 2 - b 2 : c'est-à-dire

Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.

Si la somme et la différence de deux nombres élevés à carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans Quatrième diplôme.

Donc, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(une 2 - y 2)⋅(une 2 + y 2) = une 4 - y 4 .
(une 4 - y 4)⋅(une 4 + y 4) = une 8 - y 8 .

Répartition des pouvoirs

Les nombres avec des puissances peuvent être divisés comme les autres nombres en soustrayant du diviseur, ou en les plaçant sous la forme d'une fraction.

Donc a 3 b 2 divisé par b 2 est a 3 .

Ou:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Écrire un 5 divisé par un 3 ressemble à $\frac(a^5)(a^3)$. Mais ceci est égal à a 2 . Dans une série de chiffres
une +4 , une +3 , une +2 , une +1 , une 0 , une -1 , une -2 , une -3 , une -4 .
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence indicateurs de nombres divisibles.

Lors de la division de puissances avec la même base, leurs exposants sont soustraits..

Donc, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Autrement dit, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Et un n+1 :a = un n+1-1 = un n . Autrement dit, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ou:
y2m : ym = ym
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

La règle est également valable pour les nombres avec négatif valeurs des degrés.
Le résultat de la division de a -5 par a -3 est a -2 .
Aussi, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Il faut très bien maîtriser la multiplication et la division des puissances, car de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.

Exemples de résolution d'exemples avec des fractions contenant des nombres avec des puissances

1. Réduire les exposants dans $\frac(5a^4)(3a^2)$ Réponse : $\frac(5a^2)(3)$.

2. Réduisez les exposants dans $\frac(6x^6)(3x^5)$. Réponse : $\frac(2x)(1)$ ou 2x.

3. Réduire les exposants a 2 / a 3 et a -3 / a -4 et ramener à un dénominateur commun.
a 2 .a -4 est un -2 premier numérateur.
a 3 .a -3 est a 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est a -1 , le numérateur commun.
Après simplification : a -2 /a -1 et 1/a -1 .

4. Réduire les exposants 2a 4 /5a 3 et 2 /a 4 et ramener à un dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 / 5a 7 et 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 et 5/5a 2.

5. Multipliez (a 3 + b)/b 4 par (a - b)/3.

6. Multipliez (a 5 + 1)/x 2 par (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliez b 4 /a -2 par h -3 /x et a n /y -3 .

8. Diviser un 4 /y 3 par un 3 /y 2 . Réponse : a/y.

9. Divisez (h 3 - 1)/d 4 par (d n + 1)/h.

Formules de puissance utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.

Numéro c est n-ième puissance d'un nombre un lorsque:

Opérations avec degrés.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'additionnent :

suisune n = une m + n .

2. Dans la division des degrés avec la même base, leurs indicateurs sont soustraits:

3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :

(abc…) n = une n b n c n …

4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :

(a/b) n = une n / b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(une m) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est correcte dans les directions de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec les racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine du rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lors de l'élévation d'une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre racine à cette puissance :

4. Si nous augmentons le degré de la racine dans n une fois et en même temps monter à nème puissance est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si nous diminuons le degré de la racine dans n racine en même temps nème degré du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Degré avec un exposant négatif. Le degré d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est défini comme un divisé par le degré du même nombre avec un exposant égal à valeur absolue indicateur non positif :

Formule suis:une n = une m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi à m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formuler suis:une n = une m - n est devenu juste à m=n, vous avez besoin de la présence du degré zéro.

Degré avec exposant zéro. La puissance de tout nombre non nul avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un degré avec un exposant fractionnaire. Pour élever un nombre réel un au degré m/n, vous devez extraire la racine nème degré de mème puissance de ce nombre un.

Leçon sur le sujet: "Règles de multiplication et de division des puissances avec des exposants identiques et différents. Exemples"

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Manuel pour le manuel Yu.N. Manuel Makarycheva pour le manuel A.G. Mordkovitch

Le but de la leçon : apprendre à effectuer des opérations avec des puissances d'un nombre.

Pour commencer, rappelons le concept de "puissance d'un nombre". Une expression telle que $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ peut être représentée par $a^n$.

L'inverse est également vrai : $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Cette égalité s'appelle "enregistrer le degré comme un produit". Cela nous aidera à déterminer comment multiplier et diviser les pouvoirs.
Rappelles toi:
un- la base du diplôme.
n- exposant.
Si un n=1, c'est-à-dire le nombre un pris une fois et respectivement : $a^n= 1$.
Si un n=0, alors $a^0= 1$.

Pourquoi cela se produit, nous pouvons le découvrir lorsque nous nous familiarisons avec les règles de multiplication et de division des pouvoirs.

règles de multiplication

Exemple.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Cette propriété est pratique à utiliser pour simplifier le travail lors de l'élévation d'un nombre à une grande puissance.
Exemple.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Si les puissances sont multipliées avec une base différente, mais le même exposant.
À $a^n * b^n$, on écrit les puissances sous la forme d'un produit : $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Si nous échangeons les facteurs et comptons les paires résultantes, nous obtenons : $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Donc $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemple.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

règles de division

Il est donc nécessaire $\frac(a^n)(a^m)$, où n>m.

On écrit les degrés sous forme de fraction :

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Réduisons maintenant la fraction.

Il s'avère : $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Moyens, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Cette propriété aidera à expliquer la situation d'élever un nombre à une puissance de zéro. Supposons que n=m, alors $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Exemples.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Les bases du diplôme sont différentes, les indicateurs sont les mêmes.
Disons que vous avez besoin de $\frac(a^n)( b^n)$. Nous écrivons les puissances des nombres sous forme de fraction :

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Exemple.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.