Une moyenne arithmétique simple est le terme moyen permettant de déterminer quel est le volume total d'une caractéristique donnée dans totalité les données sont réparties également entre toutes les unités incluses dans cette population. Ainsi, la production annuelle moyenne par employé est la quantité de production qui reviendrait à chaque employé si le volume total de la production était réparti également entre tous les employés de l'organisation. La moyenne arithmétique simple est calculée à l'aide de la formule :

Moyenne arithmétique simple- Égal au rapport de la somme des valeurs individuelles d'une caractéristique au nombre de caractéristiques dans l'ensemble

Exemple 1. Une équipe de 6 travailleurs reçoit 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mille roubles par mois.

Trouvez le salaire moyen Solution : (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mille roubles.

Moyenne arithmétique pondérée

Si le volume de l'ensemble de données est important et représente une série de distribution, la moyenne arithmétique pondérée est calculée. C'est ainsi qu'est déterminé le prix moyen pondéré par unité de production : le coût total de production (la somme des produits de sa quantité par le prix d'une unité de production) est divisé par la quantité totale de production.

Imaginons cela sous la forme de la formule suivante :

Moyenne arithmétique pondérée- est égal au rapport de (la somme des produits de la valeur d'une caractéristique par la fréquence de répétition de cette caractéristique) à (la somme des fréquences de toutes les caractéristiques). Il est utilisé lorsque des variantes de la population étudiée). se produisent un nombre inégal de fois.

Exemple 2. Trouver le salaire moyen des ouvriers d'atelier par mois

Le salaire moyen peut être obtenu en divisant montant total les salaires pour nombre total ouvriers:

Réponse : 3,35 mille roubles.

Moyenne arithmétique pour les séries d'intervalles

Lors du calcul de la moyenne arithmétique d'une série de variations d'intervalles, déterminez d'abord la moyenne de chaque intervalle comme la demi-somme des limites supérieure et inférieure, puis la moyenne de la série entière. Dans le cas d'intervalles ouverts, la valeur de l'intervalle inférieur ou supérieur est déterminée par la taille des intervalles qui leur sont adjacents.

Les moyennes calculées à partir de séries d'intervalles sont approximatives.

Exemple 3. Déterminez l’âge moyen des étudiants du soir.

Les moyennes calculées à partir de séries d'intervalles sont approximatives. Le degré de leur rapprochement dépend de la mesure dans laquelle la répartition réelle des unités de population au sein de l'intervalle se rapproche d'une distribution uniforme.

Lors du calcul des moyennes, non seulement des valeurs absolues mais également relatives (fréquence) peuvent être utilisées comme pondérations.

Chaque personne dans monde moderne Lorsque vous envisagez de contracter un emprunt ou de vous approvisionner en légumes pour l'hiver, vous tombez périodiquement sur un concept tel que « valeur moyenne ». Découvrons : de quoi s'agit-il, quels types et classes existent et pourquoi il est utilisé dans les statistiques et dans d'autres disciplines.

Valeur moyenne - qu'est-ce que c'est ?

Un nom similaire (SV) est une caractéristique généralisée d'un ensemble de phénomènes homogènes, déterminés par n'importe quelle caractéristique variable quantitative.

Cependant, les personnes qui sont loin de définitions aussi abstruses comprennent ce concept comme une quantité moyenne de quelque chose. Par exemple, avant de contracter un emprunt, un employé de banque demandera certainement client potentiel fournir des données sur le revenu moyen pour l'année, c'est-à-dire le montant total d'argent gagné par une personne. Il est calculé en additionnant les gains de l'année entière et en divisant par le nombre de mois. Ainsi, la banque pourra déterminer si son client sera en mesure de rembourser sa dette à temps.

Pourquoi est-il utilisé ?

En règle générale, les valeurs moyennes sont largement utilisées pour donner une description sommaire de certains phénomènes sociaux à caractère de masse. Ils peuvent également être utilisés pour des calculs à plus petite échelle, comme dans le cas d’un prêt dans l’exemple ci-dessus.

Cependant, le plus souvent, les valeurs moyennes sont encore utilisées à des fins globales. Un exemple d'entre eux est le calcul de la quantité d'électricité consommée par les citoyens au cours d'un mois civil. Sur la base des données obtenues, des normes maximales sont ensuite établies pour les catégories de population bénéficiant des prestations de l'État.

De plus, en utilisant des valeurs moyennes, la durée de vie sous garantie de certains appareils ménagers, voitures, bâtiments, etc. Sur la base des données ainsi collectées, des normes modernes de travail et de repos ont été autrefois élaborées.

En fait, tout phénomène de la vie moderne de nature massive est d'une manière ou d'une autre nécessairement lié au concept considéré.

Zones d'application

Ce phénomène est largement utilisé dans presque toutes les sciences exactes, notamment celles à caractère expérimental.

Trouver la moyenne est d'une grande importance en médecine, en ingénierie, en cuisine, en économie, en politique, etc.

Sur la base des données obtenues à partir de telles généralisations, ils développent des médicaments thérapeutiques, des programmes éducatifs et établissent un minimum salaire décent et les salaires, créer des horaires éducatifs, produire des meubles, des vêtements et des chaussures, des produits d'hygiène et bien plus encore.

En mathématiques, ce terme est appelé « valeur moyenne » et est utilisé pour prendre des décisions. divers exemples et les tâches. Les plus simples sont l'addition et la soustraction avec des fractions ordinaires. Après tout, comme on le sait, pour résoudre exemples similaires il faut réduire les deux fractions à dénominateur commun.

Également dans la reine des sciences exactes, le terme « valeur moyenne », dont le sens est similaire, est souvent utilisé Variable aléatoire" Elle est plus connue sous le nom d’« espérance mathématique », plus souvent considérée dans la théorie des probabilités. Il convient de noter qu’un phénomène similaire s’applique également lors de la réalisation de calculs statistiques.

Valeur moyenne dans les statistiques

Cependant, le concept étudié est le plus souvent utilisé en statistique. Comme vous le savez, cette science elle-même est spécialisée dans le calcul et l'analyse. caractéristiques quantitatives phénomènes sociaux de masse. Par conséquent, la valeur moyenne des statistiques est utilisée comme méthode spécialisée pour atteindre ses objectifs principaux : la collecte et l'analyse d'informations.

L'essence de cette méthode statistique est de remplacer les valeurs individuelles uniques de la caractéristique considérée par une certaine valeur moyenne équilibrée.

Un exemple est la célèbre blague culinaire. Ainsi, dans une certaine usine, le mardi, au déjeuner, les patrons mangent généralement de la viande en cocotte et les ouvriers ordinaires mangent du chou cuit. Sur la base de ces données, nous pouvons conclure qu'en moyenne, le personnel de l'usine dîne de rouleaux de chou le mardi.

Bien que cet exemple légèrement exagéré, mais cela illustre le principal inconvénient de la méthode de recherche de la valeur moyenne - le nivellement caractéristiques individuelles des objets ou des personnes.

En valeurs moyennes, ils sont utilisés non seulement pour analyser les informations collectées, mais également pour planifier et prédire d'autres actions.

Il sert également à évaluer les résultats obtenus (par exemple, la mise en œuvre du plan de culture et de récolte du blé pour la saison printemps-été).

Comment calculer correctement

Bien qu'en fonction du type de SV, il existe différentes formules pour le calculer, dans la théorie générale des statistiques, en règle générale, une seule méthode de calcul de la valeur moyenne d'une caractéristique est utilisée. Pour ce faire, vous devez d'abord additionner les valeurs de tous les phénomènes, puis diviser la somme obtenue par leur nombre.

Lors de tels calculs, il convient de rappeler que la valeur moyenne a toujours la même dimension (ou unités) que l’unité individuelle de la population.

Conditions pour un calcul correct

La formule discutée ci-dessus est très simple et universelle, il est donc presque impossible de se tromper. Cependant, il convient toujours de considérer deux aspects, sinon les données obtenues ne refléteront pas la situation réelle.

Cours SV

Après avoir trouvé des réponses aux questions fondamentales : « Quelle est la valeur moyenne ? », « Où est-elle utilisée ? et « Comment pouvez-vous le calculer ? », il vaut la peine de découvrir quelles classes et types de SV existent.

Tout d’abord, ce phénomène se divise en 2 classes. Ce sont des moyennes structurelles et de puissance.

Types de SV électriques

Chacune des classes ci-dessus est à son tour divisée en types. La classe calme en compte quatre.

• La moyenne arithmétique est le type de SV le plus courant. Il s'agit du terme moyen permettant de déterminer lequel le volume total de la caractéristique considérée dans un ensemble de données est également réparti entre toutes les unités de cet ensemble.

  Ce type est divisé en sous-types : SV arithmétique simple et pondéré.

• La moyenne harmonique est un indicateur qui est l'inverse de la moyenne arithmétique simple, calculée à partir des valeurs réciproques de la caractéristique considérée.

  Il est utilisé dans les cas où les valeurs individuelles de l'attribut et du produit sont connues, mais pas les données de fréquence.

• La moyenne géométrique est le plus souvent utilisée pour analyser les taux de croissance des phénomènes économiques. Il permet de conserver l'œuvre inchangée valeurs individuelles valeur donnée, pas le montant.

  Cela peut aussi être simple et équilibré.

• La valeur quadratique moyenne est utilisée lors du calcul d'indicateurs individuels, tels que le coefficient de variation, caractérisant le rythme de production du produit, etc.

  Il est également utilisé pour calculer les diamètres moyens des tuyaux, des roues, les côtés moyens d'un carré et des chiffres similaires.

  Comme tous les autres types de moyennes, la moyenne quadratique peut être simple et pondérée.

Types de grandeurs structurelles

En plus des SV moyennes, les types structurels sont souvent utilisés dans les statistiques. Ils sont mieux adaptés au calcul des caractéristiques relatives des valeurs d'une caractéristique variable et structure interne lignes de distribution.

Il existe deux de ces types.

Moyenne(en mathématiques et en statistiques) ensembles de nombres - la somme de tous les nombres divisée par leur nombre. C'est l'une des mesures de tendance centrale les plus courantes.

Elle a été proposée (avec la moyenne géométrique et la moyenne harmonique) par les Pythagoriciens.

Les cas particuliers de la moyenne arithmétique sont la moyenne (population générale) et la moyenne de l'échantillon (échantillon).

Introduction

Notons l'ensemble des données X = (X 1 , X 2 , …, X n), alors la moyenne de l'échantillon est généralement indiquée par une barre horizontale au-dessus de la variable (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), prononcée " X avec une ligne").

La lettre grecque μ est utilisée pour désigner la moyenne arithmétique de l’ensemble de la population. Pour une variable aléatoire dont la valeur moyenne est déterminée, μ est moyenne de probabilité ou l'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Si l'ensemble X est une collection nombres aléatoires avec une moyenne probabiliste μ, alors pour tout échantillon X je de cet ensemble μ = E( X je) est l'espérance mathématique de cet échantillon.

En pratique, la différence entre μ et x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) est que μ est une variable typique car vous pouvez voir un échantillon plutôt que la population entière. Par conséquent, si l'échantillon est représenté de manière aléatoire (en termes de théorie des probabilités), alors x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (mais pas μ) peut être traité comme une variable aléatoire ayant une distribution de probabilité sur l'échantillon ( la distribution de probabilité de la moyenne).

Ces deux quantités sont calculées de la même manière :

X ¯ = 1 n ∑ je = 1 n x je = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Si X est une variable aléatoire, alors l'espérance mathématique X peut être considéré comme la moyenne arithmétique des valeurs lors de mesures répétées d'une quantité X. C'est une manifestation de la loi des grands nombres. Par conséquent, la moyenne de l’échantillon est utilisée pour estimer la valeur attendue inconnue.

Il a été prouvé en algèbre élémentaire que la moyenne n+ 1 chiffres au dessus de la moyenne n nombres si et seulement si le nouveau nombre est supérieur à l'ancienne moyenne, moins si et seulement si le nouveau nombre est inférieur à la moyenne, et ne change pas si et seulement si le nouveau nombre est égal à la moyenne. Le plus n, plus la différence entre les nouvelles et anciennes moyennes est faible.

Notez qu'il existe plusieurs autres « moyennes » disponibles, notamment la moyenne de puissance, la moyenne de Kolmogorov, la moyenne harmonique, la moyenne arithmétique-géométrique et diverses moyennes pondérées (par exemple, moyenne arithmétique pondérée, moyenne géométrique pondérée, moyenne harmonique pondérée).

Exemples

• Pour trois nombres, il faut les additionner et diviser par 3 :

• Pour quatre nombres, il faut les additionner et diviser par 4 :

Ou plus simple 5+5=10, 10:2. Parce que nous ajoutions 2 nombres, ce qui signifie combien de nombres nous ajoutons, nous divisons par ce nombre.

Variable aléatoire continue

Pour une quantité distribuée continuellement f (x) (\displaystyle f(x)), la moyenne arithmétique sur l'intervalle [ a ; b ] (\displaystyle ) est déterminé par une intégrale définie :

F (x) ¯ [ une ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Quelques problèmes d'utilisation de la moyenne

Manque de robustesse

Bien que les moyennes arithmétiques soient souvent utilisées comme moyennes ou tendances centrales, ce concept ne s'applique pas aux statistiques robustes, ce qui signifie que la moyenne arithmétique est soumise à Forte influence"grandes déviations" Il est à noter que pour les distributions avec un coefficient d'asymétrie élevé, la moyenne arithmétique peut ne pas correspondre au concept de « moyenne », et les valeurs de la moyenne issues de statistiques robustes (par exemple, la médiane) peuvent mieux décrire la centrale tendance.

Un exemple classique est le calcul du revenu moyen. La moyenne arithmétique peut être interprétée à tort comme une médiane, ce qui peut conduire à la conclusion qu'il y a plus de personnes ayant des revenus plus élevés qu'il n'y en a réellement. Le revenu « moyen » est interprété comme signifiant que la plupart des gens ont des revenus autour de ce chiffre. Ce revenu « moyen » (au sens de moyenne arithmétique) est supérieur aux revenus de la plupart des gens, car un revenu élevé avec un écart important par rapport à la moyenne rend la moyenne arithmétique très asymétrique (en revanche, le revenu moyen au niveau médian « résiste » à un tel biais). Cependant, ce revenu « moyen » ne dit rien sur le nombre de personnes proches du revenu médian (ni sur le nombre de personnes proches du revenu modal). Cependant, si l’on prend à la légère les concepts de « moyenne » et de « plupart des gens », on peut tirer la conclusion erronée que la plupart des gens ont des revenus plus élevés qu’ils ne le sont en réalité. Par exemple, un rapport sur le revenu net « moyen » à Medina, Washington, calculé comme la moyenne arithmétique de tous les revenus nets annuels des résidents, donnera de manière surprenante grand nombreà cause de Bill Gates. Considérons l'échantillon (1, 2, 2, 2, 3, 9). La moyenne arithmétique est de 3,17, mais cinq valeurs sur six se situent en dessous de cette moyenne.

Intérêts composés

Si les chiffres multiplier, mais non pli, vous devez utiliser la moyenne géométrique et non la moyenne arithmétique. Le plus souvent, cet incident se produit lors du calcul du retour sur investissement en finance.

Par exemple, si un titre a chuté de 10 % la première année et a augmenté de 30 % la seconde, il est alors incorrect de calculer l'augmentation « moyenne » sur ces deux années comme la moyenne arithmétique (−10 % + 30 %) / 2 = 10 % ; la moyenne correcte dans ce cas est donnée par le taux de croissance annuel composé, qui donne un taux de croissance annuel d'environ 8,16653826392 % seulement ≈ 8,2 %.

La raison en est que les pourcentages ont à chaque fois un nouveau point de départ : 30 % est 30 % à partir d'un nombre inférieur au prix de début de première année : si une action démarre à 30 $ et chute de 10 %, elle vaut 27 $ au début de la deuxième année. Si le titre augmentait de 30 %, il vaudrait 35,1 $ à la fin de la deuxième année. La moyenne arithmétique de cette croissance est de 10%, mais comme le titre n'a augmenté que de 5,1$ sur 2 ans, la croissance moyenne de 8,2% donne un résultat final de 35,1$ :

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Si nous utilisons la moyenne arithmétique de 10 % de la même manière, nous n'obtiendrons pas la valeur réelle : [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Intérêts composés au bout de 2 ans : 90 % * 130 % = 117 %, soit l'augmentation totale est de 17 %, et l'intérêt composé annuel moyen est de 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\environ 108,2\%) , soit une augmentation annuelle moyenne de 8,2 %.

Directions

Lors du calcul de la moyenne arithmétique d'une variable qui change de manière cyclique (telle que la phase ou l'angle), une attention particulière doit être prise. Par exemple, la moyenne de 1° et 359° serait 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ce numéro est incorrect pour deux raisons.

• Premièrement, les mesures angulaires sont définies uniquement pour la plage de 0° à 360° (ou de 0 à 2π lorsqu'elles sont mesurées en radians). Ainsi, la même paire de nombres pourrait s’écrire (1° et −1°) ou (1° et 719°). Les valeurs moyennes de chaque paire seront différentes : 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )) .
• Deuxièmement, dans ce cas, une valeur de 0° (équivalent à 360°) sera une valeur moyenne géométriquement meilleure, puisque les nombres s'écartent moins de 0° que de toute autre valeur (la valeur 0° a la plus petite variance). Comparer:
  • le chiffre 1° ne s'écarte de 0° que de 1° ;
  • le chiffre 1° s'écarte de la moyenne calculée de 180° de 179°.

La valeur moyenne d'une variable cyclique calculée à l'aide de la formule ci-dessus sera artificiellement décalée par rapport à la moyenne réelle vers le milieu de la plage numérique. De ce fait, la moyenne est calculée d'une manière différente, à savoir le nombre avec le plus petit écart ( Point central). De plus, au lieu de la soustraction, la distance modulaire (c'est-à-dire la distance circonférentielle) est utilisée. Par exemple, la distance modulaire entre 1° et 359° est de 2° et non de 358° (sur le cercle entre 359° et 360°==0° - un degré, entre 0° et 1° - également 1°, au total - 2°).

4.3. Valeurs moyennes. L'essence et la signification des valeurs moyennes

Taille moyenne en statistique est un indicateur général qui caractérise le niveau typique d'un phénomène dans des conditions spécifiques de lieu et de temps, reflétant la valeur d'une caractéristique variable par unité d'une population qualitativement homogène. Dans la pratique économique, un large éventail d'indicateurs sont utilisés, calculés sous forme de valeurs moyennes.

Par exemple, un indicateur général du revenu des travailleurs d'une société par actions (JSC) est le revenu moyen d'un travailleur, déterminé par le ratio du fonds salaires et les paiements sociaux pour la période sous revue (année, trimestre, mois) en fonction du nombre de travailleurs de JSC.

Le calcul de la moyenne est l’une des techniques de généralisation courantes ; moyenne reflète ce qui est commun (typique) à toutes les unités de la population étudiée, tout en ignorant les différences entre les unités individuelles. Dans chaque phénomène et son développement, il y a une combinaison les accidents Et nécessaire. Lors du calcul des moyennes, sous l'action de la loi des grands nombres, le hasard s'annule et s'équilibre, il est donc possible de faire abstraction des caractéristiques sans importance du phénomène, des valeurs quantitatives de la caractéristique dans chaque cas spécifique. . La capacité de faire abstraction du caractère aléatoire des valeurs individuelles et des fluctuations réside dans la valeur scientifique des moyennes. généraliser caractéristiques des populations.

Lorsque le besoin de généralisation se fait sentir, le calcul de ces caractéristiques conduit au remplacement de nombreuses valeurs individuelles différentes de l'attribut. moyenne un indicateur qui caractérise l'ensemble des phénomènes, qui permet d'identifier des schémas inhérents aux phénomènes sociaux de masse invisibles dans les phénomènes individuels.

La moyenne reflète le niveau caractéristique, typique et réel des phénomènes étudiés, caractérise ces niveaux et leurs évolutions dans le temps et dans l'espace.

La moyenne est une caractéristique sommaire des lois du processus dans les conditions dans lesquelles il se déroule.

4.4. Types de moyennes et méthodes de calcul

Le choix du type de moyenne est déterminé par le contenu économique d'un certain indicateur et des données sources. Dans chaque cas particulier, l'une des valeurs moyennes est utilisée : arithmétique, garmonique, géométrique, quadratique, cubique etc. Les moyennes indiquées appartiennent à la classe calme moyenne.

En plus des moyennes de puissance, des moyennes structurelles sont utilisées dans la pratique statistique, qui sont considérées comme mode et médiane.

Arrêtons-nous plus en détail sur les moyennes de puissance.

Moyenne arithmétique

Le type de moyenne le plus courant est moyenne arithmétique. Il est utilisé dans les cas où le volume d'une caractéristique variable pour l'ensemble de la population est la somme des valeurs des caractéristiques de ses unités individuelles. Les phénomènes sociaux sont caractérisés par l'additivité (totalité) des volumes d'un attribut variable ; cela détermine le champ d'application de la moyenne arithmétique et explique sa prévalence comme indicateur général, par exemple : le fonds salarial total est la somme des salaires de tous les travailleurs, la récolte brute est la somme des produits fabriqués sur toute la superficie de la saison des semailles.

Pour calculer la moyenne arithmétique, vous devez diviser la somme de toutes les valeurs des caractéristiques par leur nombre.

La moyenne arithmétique est utilisée sous la forme moyenne simple et moyenne pondérée. La forme initiale déterminante est la moyenne simple.

Moyenne arithmétique simpleégal à la simple somme des valeurs individuelles de la caractéristique en cours de moyenne, divisée par le nombre total de ces valeurs (elle est utilisée dans les cas où il existe des valeurs individuelles non regroupées de la caractéristique) :

Où
- valeurs individuelles de la variable (variantes) ; m - le nombre d'unités dans la population.

De plus, les limites de sommation ne seront pas indiquées dans les formules. Par exemple, vous devez trouver la production moyenne d'un travailleur (mécanicien) si vous savez combien de pièces chacun des 15 travailleurs a produit, c'est-à-dire un certain nombre de valeurs individuelles de la caractéristique sont données, pcs. :

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

La moyenne arithmétique simple est calculée à l'aide de la formule (4.1), 1 pc. :

La moyenne des options qui sont répétées un nombre de fois différent ou, comme on dit, qui ont des poids différents, s'appelle pondéré. Les poids sont le nombre d'unités dans différents groupes agrégats (les options identiques sont combinées en un groupe).

Moyenne arithmétique pondérée- moyenne des valeurs regroupées, - est calculée selon la formule :

, (4.2)

Où
- le poids (fréquence de répétition de signes identiques) ;

- la somme des produits de l'ampleur des caractéristiques et de leurs fréquences ;

- le nombre total d’unités de population.

Nous illustrons la technique de calcul de la moyenne arithmétique pondérée à l’aide de l’exemple discuté ci-dessus. Pour ce faire, nous allons regrouper les données sources et les placer dans un tableau. 4.1.

Tableau 4.1

Répartition des travailleurs pour la production de pièces

D'après la formule (4.2), la moyenne arithmétique pondérée est égale à, pcs. :

Dans certains cas, les poids peuvent ne pas être présentés valeurs absolues, mais relatif (en pourcentage ou en fractions d'unité). Ensuite, la formule de la moyenne arithmétique pondérée ressemblera à :

Où
- particularité, c'est-à-dire la part de chaque fréquence dans la somme totale de toutes

Si les fréquences sont comptées en fractions (coefficients), alors
= 1, et la formule de la moyenne arithmétiquement pondérée a la forme :

Calcul de la moyenne arithmétique pondérée à partir des moyennes de groupe réalisé selon la formule :

,

Où F-nombre d'unités dans chaque groupe.

Les résultats du calcul de la moyenne arithmétique à partir des moyennes de groupe sont présentés dans le tableau. 4.2.

Tableau 4.2

Répartition des travailleurs selon l'ancienneté moyenne

Dans cet exemple, les options ne sont pas des données individuelles sur l'ancienneté de chaque travailleur, mais la moyenne de chaque atelier. Balance F c'est le nombre d'ouvriers dans les magasins. Par conséquent, l'expérience de travail moyenne des travailleurs dans l'ensemble de l'entreprise sera de plusieurs années :

.

Calcul de la moyenne arithmétique dans les séries de distribution

Si les valeurs de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne sont spécifiées sous forme d'intervalles (« de - à »), c'est-à-dire séries d'intervalles de la distribution, puis lors du calcul de la moyenne arithmétique, les milieux de ces intervalles sont pris comme valeurs des caractéristiques dans les groupes, ce qui entraîne la formation d'une série discrète. Prenons l'exemple suivant (tableau 4.3).

Passons d'une série d'intervalles à une série discrète en remplaçant les valeurs d'intervalle par leurs valeurs moyennes/(moyenne simple

Tableau 4.3

Répartition des travailleurs de JSC par niveau de salaire mensuel

les valeurs des intervalles ouverts (premier et dernier) sont conditionnellement assimilées aux intervalles qui leur sont adjacents (deuxième et avant-dernier).

Avec ce calcul de la moyenne, une certaine inexactitude est autorisée, puisqu'une hypothèse est faite sur la répartition uniforme des unités de la caractéristique au sein du groupe. Cependant, plus l’intervalle est étroit et plus il y a d’unités dans l’intervalle, plus l’erreur est faible.

Une fois les milieux des intervalles trouvés, les calculs sont effectués de la même manière que dans une série discrète : les options sont multipliées par les fréquences (poids) et la somme des produits est divisée par la somme des fréquences (poids). , mille roubles :

.

Ainsi, le niveau de salaire moyen des travailleurs de JSC est de 729 roubles. par mois.

Le calcul de la moyenne arithmétique demande souvent beaucoup de temps et de travail. Cependant, dans certains cas, la procédure de calcul de la moyenne peut être simplifiée et facilitée si vous utilisez ses propriétés. Présentons (sans preuve) quelques propriétés fondamentales de la moyenne arithmétique.

Propriété 1. Si toutes les valeurs individuelles d'une caractéristique (c'est-à-dire toutes les options) réduire ou augmenter jefois, alors la valeur moyenne la nouvelle caractéristique diminuera ou augmentera en conséquence jeune fois.

Propriété 2. Si toutes les variantes de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne sont réduitescoudre ou augmenter du nombre A, alors la moyenne arithmétique corresponddiminuera ou augmentera en fait du même nombre A.

Propriété 3. Si les pondérations de toutes les options moyennées sont réduites ou augmenter de À fois, alors la moyenne arithmétique ne changera pas.

Comme poids moyens, au lieu d'indicateurs absolus, vous pouvez utiliser densité spécifique dans le total global (parts ou pourcentages). Cela simplifie les calculs de la moyenne.

Pour simplifier les calculs de la moyenne, ils suivent la voie de la réduction des valeurs des options et des fréquences. La plus grande simplification est obtenue lorsque, comme UN la valeur de l'une des options centrales, qui a la fréquence la plus élevée, est sélectionnée comme / - la valeur de l'intervalle (pour les séries à intervalles égaux). La quantité A est appelée le point de référence, donc cette méthode de calcul de la moyenne est appelée « méthode de comptage à partir du zéro conditionnel » ou "en quelques instants."

Supposons que toutes les options X d'abord diminué du même nombre A, puis diminué de je une fois. On obtient une nouvelle série variationnelle de distribution de nouvelles options .

Alors nouvelles options s'exprimera :

,

et leur nouvelle moyenne arithmétique , -moment de première commande-formule:

.

Il est égal à la moyenne des options initiales, diminuée d'abord de UN, et puis dans je une fois.

Pour obtenir la moyenne réelle, il faut un moment du premier ordre m 1 , multiplier par je et ajouter UN:

.

Cette méthode de calcul de la moyenne arithmétique à partir d'une série de variations est appelée "en quelques instants." Cette méthode est utilisée en lignes à intervalles égaux.

Le calcul de la moyenne arithmétique par la méthode des moments est illustré par les données du tableau. 4.4.

Tableau 4.4

Répartition des petites entreprises de la région selon la valeur des actifs fixes de production (FPF) en 2000.

Trouver le moment de la première commande

.

Alors, en prenant A = 19 et sachant que je= 2, calculer X, mille roubles.:

Types de valeurs moyennes et méthodes de leur calcul

Au stade du traitement statistique, divers problèmes de recherche peuvent être posés, pour la solution desquels il est nécessaire de sélectionner la moyenne appropriée. Dans ce cas, il faut se laisser guider par la règle suivante : les quantités qui représentent le numérateur et le dénominateur de la moyenne doivent être logiquement liées les unes aux autres.

• moyennes de puissance;
• moyennes structurelles.

Introduisons les conventions suivantes :

Les quantités pour lesquelles la moyenne est calculée ;

Moyenne, où la barre ci-dessus indique qu'une moyenne des valeurs individuelles a lieu ;

Fréquence (répétabilité des valeurs caractéristiques individuelles).

Diverses moyennes sont dérivées de la formule générale de moyenne de puissance :

(5.1)

quand k = 1 - moyenne arithmétique ; k = -1 - moyenne harmonique ; k = 0 - moyenne géométrique ; k = -2 - racine carrée moyenne.

Les valeurs moyennes peuvent être simples ou pondérées. Moyennes pondérées Ce sont des valeurs qui tiennent compte du fait que certaines variantes de valeurs d'attribut peuvent avoir des nombres différents, et donc chaque option doit être multipliée par ce nombre. En d’autres termes, les « échelles » sont les nombres d’unités agrégées dans différents groupes, c’est-à-dire Chaque option est « pondérée » par sa fréquence. La fréquence f est appelée poids statistique ou poids moyen.

Moyenne arithmétique- le type de moyenne le plus courant. Il est utilisé lorsque le calcul est effectué sur des données statistiques non regroupées, où il faut obtenir la durée moyenne. La moyenne arithmétique est la valeur moyenne d'une caractéristique, à la suite de laquelle le volume total de la caractéristique dans l'ensemble reste inchangé.

Formule de moyenne arithmétique ( simple) a la forme

où n est la taille de la population.

Par exemple, le salaire moyen des salariés d’une entreprise est calculé comme la moyenne arithmétique :

Les indicateurs déterminants sont ici le salaire de chaque salarié et le nombre d'employés de l'entreprise. Lors du calcul de la moyenne, le montant total des salaires est resté le même, mais réparti également entre tous les salariés. Par exemple, vous devez calculer le salaire moyen des ouvriers d'une petite entreprise employant 8 personnes :

Lors du calcul des valeurs moyennes, les valeurs individuelles de la caractéristique moyennée peuvent être répétées, de sorte que la valeur moyenne est calculée à l'aide de données groupées. Dans ce cas nous parlons deà propos de l'utilisation moyenne arithmétique pondérée, qui a la forme

(5.3)

Nous devons donc calculer le prix moyen des actions d’une société par actions en bourse. On sait que les transactions ont été réalisées dans un délai de 5 jours (5 transactions), le nombre d'actions vendues au cours de vente s'est réparti comme suit :

1 à 800 kilos. - 1010 roubles.

2 - 650 kilos. - 990 roubles.

3 à 700 kilos. - 1015 roubles.

4 - 550 kilos. - 900 roubles.

5 - 850 kilos. - 1150 roubles.

Le ratio initial permettant de déterminer le prix moyen des actions est le rapport entre le montant total des transactions (TVA) et le nombre d'actions vendues (KPA).

Les valeurs moyennes sont largement utilisées en statistiques. Les valeurs moyennes caractérisent les indicateurs qualitatifs de l'activité commerciale : coûts de distribution, profit, rentabilité, etc.

Moyenne - C'est l'une des techniques de généralisation courantes. Une compréhension correcte de l'essence de la moyenne détermine son importance particulière dans une économie de marché, lorsque la moyenne, à travers l'individuel et le hasard, nous permet d'identifier le général et le nécessaire, d'identifier la tendance des modèles de développement économique.

valeur moyenne - ce sont des indicateurs généraux dans lesquels s'expriment les actions conditions générales, modèles du phénomène étudié.

Les moyennes statistiques sont calculées sur la base de données de masse issues d'observations de masse correctement organisées statistiquement (continues et sélectives). Cependant, la moyenne statistique sera objective et typique si elle est calculée à partir de données de masse pour une population qualitativement homogène (phénomènes de masse). Par exemple, si l’on calcule le salaire moyen dans les coopératives et les entreprises publiques et que l’on étend le résultat à l’ensemble de la population, alors la moyenne est fictive, puisqu’elle est calculée pour une population hétérogène, et une telle moyenne perd tout son sens.

À l'aide de la moyenne, les différences dans la valeur d'une caractéristique qui surviennent pour une raison ou une autre dans certaines unités d'observation sont atténuées.

Par exemple, la productivité moyenne d'un vendeur dépend de nombreuses raisons : qualification, ancienneté, âge, forme de service, santé, etc.

La production moyenne reflète la propriété générale de l’ensemble de la population.

La valeur moyenne est le reflet des valeurs de la caractéristique étudiée, elle est donc mesurée dans la même dimension que cette caractéristique.

Chaque valeur moyenne caractérise la population étudiée selon une caractéristique quelconque. Afin d'obtenir une compréhension complète et globale de la population étudiée selon un certain nombre de caractéristiques essentielles, il est généralement nécessaire de disposer d'un système de valeurs moyennes permettant de décrire le phénomène sous différents angles.

Il existe différentes moyennes :

moyenne arithmétique ;

Moyenne géométrique;

moyenne harmonique;

carré moyen;

chronologique moyen.

Examinons quelques types de moyennes les plus souvent utilisées dans les statistiques.

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique simple (non pondérée) est égale à la somme des valeurs individuelles de l'attribut divisée par le nombre de ces valeurs.

Les valeurs individuelles d'une caractéristique sont appelées variantes et sont désignées par x(); le nombre d'unités de population est noté n, la valeur moyenne de la caractéristique est notée . La moyenne arithmétique simple est donc égale à :

D'après les données des séries de distribution discrète, il est clair que les mêmes valeurs caractéristiques (variantes) sont répétées plusieurs fois. Ainsi, l'option x apparaît 2 fois au total, et l'option x 16 fois, etc.

Le nombre de valeurs identiques d'une caractéristique dans la série de distribution est appelé fréquence ou poids et est désigné par le symbole n.

Calculons le salaire moyen d'un travailleur en frotter.:

Le fonds salarial de chaque groupe de travailleurs est égal au produit des options et de la fréquence, et la somme de ces produits donne le fonds salarial total de tous les travailleurs.

Conformément à cela, les calculs peuvent être présentés sous forme générale :

La formule résultante est appelée moyenne arithmétique pondérée.

À la suite du traitement, le matériel statistique peut être présenté non seulement sous la forme de séries de distribution discrète, mais également sous la forme de séries de variations d'intervalles avec des intervalles fermés ou ouverts.

La moyenne des données groupées est calculée à l'aide de la formule de moyenne arithmétique pondérée :

Dans la pratique des statistiques économiques, il est parfois nécessaire de calculer la moyenne à l'aide de moyennes de groupe ou de moyennes de parties individuelles de la population (moyennes partielles). Dans de tels cas, les moyennes de groupe ou privées sont retenues comme options (x), sur la base desquelles la moyenne globale est calculée comme une moyenne arithmétique pondérée ordinaire.

Propriétés de base de la moyenne arithmétique .

La moyenne arithmétique a plusieurs propriétés :

1. La valeur de la moyenne arithmétique ne changera pas en diminuant ou en augmentant la fréquence de chaque valeur de la caractéristique x de n fois.

Si toutes les fréquences sont divisées ou multipliées par un nombre quelconque, la valeur moyenne ne changera pas.

2. Le multiplicateur commun des valeurs individuelles d'une caractéristique peut être pris au-delà du signe de la moyenne :

3. La moyenne de la somme (différence) de deux quantités ou plus est égale à la somme (différence) de leurs moyennes :

4. Si x = c, où c est une valeur constante, alors
.

5. La somme des écarts des valeurs de l'attribut X par rapport à la moyenne arithmétique x est égale à zéro :

Moyenne harmonique.

Parallèlement à la moyenne arithmétique, les statistiques utilisent la moyenne harmonique, l'inverse de la moyenne arithmétique des valeurs inverses de l'attribut. Comme la moyenne arithmétique, elle peut être simple et pondérée.

Les caractéristiques des séries de variations, ainsi que les moyennes, sont le mode et la médiane.

Mode - c'est la valeur d'une caractéristique (variante) qui se répète le plus souvent dans la population étudiée. Pour les séries à distribution discrète, le mode sera la valeur de la variante ayant la fréquence la plus élevée.

Pour les séries de distribution d'intervalles à intervalles égaux, le mode est déterminé par la formule :

Où
- valeur initiale de l'intervalle contenant le mode ;

- la valeur de l'intervalle modal ;

- fréquence de l'intervalle modal ;

- fréquence de l'intervalle précédant celui modal ;

- fréquence de l'intervalle suivant celui modal.

Médian - il s'agit d'une option située au milieu de la série de variations. Si la série de distribution est discrète et comporte un nombre impair de membres, alors la médiane sera l'option située au milieu de la série ordonnée (une série ordonnée est la disposition des unités de population par ordre croissant ou décroissant).

Cela se perd dans le calcul de la moyenne.

Moyenne signification l'ensemble des nombres est égal à la somme des nombres S divisée par le nombre de ces nombres. Autrement dit, il s'avère que moyenne signification est égal à : 19/4 = 4,75.

note

Si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de deux nombres seulement, vous n’avez pas besoin d’une calculatrice technique : prenez la racine deuxième ( Racine carrée) à partir de n’importe quel nombre peut être effectué à l’aide de la calculatrice la plus ordinaire.

Conseil utile

Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique n'est pas aussi fortement affectée par les écarts et fluctuations importants entre les valeurs individuelles de l'ensemble d'indicateurs étudiés.

Sources:

• Calculatrice en ligne qui calcule la moyenne géométrique
• moyenne formule géométrique

Moyenne la valeur est l’une des caractéristiques d’un ensemble de nombres. Représente un nombre qui ne peut pas sortir de la plage définie par les valeurs les plus grandes et les plus petites de cet ensemble de nombres. Moyenne la valeur arithmétique est le type de moyenne le plus couramment utilisé.

Instructions

Additionnez tous les nombres de l’ensemble et divisez-les par le nombre de termes pour obtenir la moyenne arithmétique. Selon les conditions particulières de calcul, il est parfois plus simple de diviser chacun des nombres par le nombre de valeurs de l'ensemble et d'additionner le résultat.

Utilisez, par exemple, inclus dans le système d'exploitation Windows s'il n'est pas possible de calculer la moyenne arithmétique dans votre tête. Vous pouvez l'ouvrir à l'aide de la boîte de dialogue de lancement du programme. Pour ce faire, appuyez sur les touches de raccourci WIN + R ou cliquez sur le bouton Démarrer et sélectionnez Exécuter dans le menu principal. Tapez ensuite calc dans le champ de saisie et appuyez sur Entrée ou cliquez sur le bouton OK. La même chose peut être faite via le menu principal - ouvrez-le, allez dans la section "Tous les programmes" et dans la section "Standard" et sélectionnez la ligne "Calculatrice".

Entrez tous les nombres de l'ensemble séquentiellement en appuyant sur la touche Plus après chacun d'eux (sauf le dernier) ou en cliquant sur le bouton correspondant dans l'interface de la calculatrice. Vous pouvez également saisir des chiffres soit à partir du clavier, soit en cliquant sur les boutons de l'interface correspondants.

Appuyez sur la touche barre oblique ou cliquez dessus dans l'interface de la calculatrice après avoir entré la dernière valeur définie et tapez le nombre de nombres dans la séquence. Appuyez ensuite sur le signe égal et la calculatrice calculera et affichera la moyenne arithmétique.

Vous pouvez utiliser l'éditeur de feuille de calcul Microsoft Excel dans le même but. Dans ce cas, lancez l'éditeur et saisissez toutes les valeurs de la séquence de nombres dans les cellules adjacentes. Si, après avoir saisi chaque numéro, vous appuyez sur Entrée ou sur la touche fléchée vers le bas ou vers la droite, l'éditeur lui-même déplacera le focus de saisie vers la cellule adjacente.

Cliquez sur la cellule à côté du dernier nombre saisi si vous ne souhaitez pas simplement voir la moyenne. Développez le menu déroulant Sigma grec (Σ) pour les commandes Modifier dans l'onglet Accueil. Sélectionnez la ligne " Moyenne"et l'éditeur insérera la formule nécessaire au calcul de la moyenne valeur arithmétique dans la cellule sélectionnée. Appuyez sur la touche Entrée et la valeur sera calculée.

La moyenne arithmétique est l'une des mesures de tendance centrale, largement utilisée en mathématiques et en calculs statistiques. Trouver la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs est très simple, mais chaque tâche a ses propres nuances, qu'il est simplement nécessaire de connaître pour effectuer des calculs corrects.

Qu'est-ce qu'une moyenne arithmétique

Comment trouver la moyenne arithmétique

Caractéristiques du travail avec des nombres négatifs

1. Trouver la moyenne arithmétique générale à l'aide de la méthode standard ;
2. Trouver la moyenne arithmétique de nombres négatifs.
3. Calcul de la moyenne arithmétique des nombres positifs.

Les réponses pour chaque action sont écrites séparées par des virgules.

Fractions naturelles et décimales

Lorsque vous travaillez avec fractions naturelles ils doivent être réduits à un dénominateur commun, qui est multiplié par le nombre de nombres dans le tableau. Le numérateur de la réponse sera la somme des numérateurs donnés des éléments fractionnaires d'origine.

• Calculatrice d'ingénierie.

Instructions

Veuillez noter que dans cas général moyenne nombres géométriques se trouve en multipliant ces nombres et en en retirant la racine de la puissance qui correspond au nombre de nombres. Par exemple, si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de cinq nombres, vous devrez alors extraire la racine de la puissance du produit.

Pour trouver la moyenne géométrique de deux nombres, utilisez la règle de base. Trouvez leur produit, puis prenez-en la racine carrée, puisque le nombre est deux, ce qui correspond à la puissance de la racine. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des nombres 16 et 4, trouvez leur produit 16 4=64. Du nombre obtenu, extrayez la racine carrée √64=8. C'est ce qui se passera quantité requise. Attention, la moyenne arithmétique de ces deux nombres est supérieure et égale à 10. Si la racine entière n'est pas extraite, arrondissez le résultat à l'ordre souhaité.

Pour trouver la moyenne géométrique de plus de deux nombres, utilisez également la règle de base. Pour ce faire, trouvez le produit de tous les nombres dont vous devez trouver la moyenne géométrique. Du produit obtenu, extrayez la racine de la puissance égale au nombre de nombres. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des nombres 2, 4 et 64, trouvez leur produit. 2 4 64=512. Puisque vous devez trouver le résultat de la moyenne géométrique de trois nombres, prenez la troisième racine du produit. Il est difficile de le faire verbalement, alors utilisez une calculatrice technique. Il dispose pour cela d'un bouton "x^y". Composez le numéro 512, appuyez sur le bouton "x^y", puis composez le numéro 3 et appuyez sur le bouton "1/x", pour trouver la valeur de 1/3, appuyez sur le bouton "=". On obtient le résultat en élevant 512 à la puissance 1/3, ce qui correspond à la troisième racine. Obtenez 512 ^ 1/3 = 8. C'est la moyenne géométrique des nombres 2,4 et 64.

À l'aide d'une calculatrice technique, vous pouvez trouver la moyenne géométrique d'une autre manière. Trouvez le bouton de journalisation sur votre clavier. Après cela, prenez le logarithme de chacun des nombres, trouvez leur somme et divisez-la par le nombre de nombres. Prenez l'antilogarithme du nombre obtenu. Ce sera la moyenne géométrique des nombres. Par exemple, afin de trouver la moyenne géométrique des mêmes nombres 2, 4 et 64, effectuez une série d'opérations sur la calculatrice. Composez le numéro 2, puis appuyez sur le bouton log, appuyez sur le bouton "+", composez le numéro 4 et appuyez à nouveau sur log et "+", composez le 64, appuyez sur log et "=". Le résultat sera un nombre égal à la somme des logarithmes décimaux des nombres 2, 4 et 64. Divisez le nombre obtenu par 3, puisqu'il s'agit du nombre de nombres dont on cherche la moyenne géométrique. À partir du résultat, prenez l'antilogarithme en basculant le bouton du boîtier et utilisez la même clé de journal. Le résultat sera le chiffre 8, c'est la moyenne géométrique souhaitée.