5.1. Concept taille moyenne

Valeur moyenne – Il s'agit d'un indicateur général caractérisant le niveau typique du phénomène. Il exprime la valeur d'une caractéristique par unité de population.

La moyenne généralise toujours la variation quantitative d'un trait, c'est-à-dire dans les valeurs moyennes, les différences individuelles entre les unités de la population dues à des circonstances aléatoires sont éliminées. Contrairement à la moyenne valeur absolue, qui caractérise le niveau d'une caractéristique d'une unité individuelle d'une population, ne permet pas de comparer les valeurs d'une caractéristique entre des unités appartenant à des populations différentes. Ainsi, si vous devez comparer les niveaux de rémunération des travailleurs de deux entreprises, vous ne pouvez pas comparer sur cette base deux salariés d'entreprises différentes. La rémunération des travailleurs sélectionnés pour comparaison peut ne pas être typique de ces entreprises. Si l'on compare le montant des fonds salariaux dans les entreprises considérées, le nombre d'employés n'est pas pris en compte et, par conséquent, il est impossible de déterminer où le niveau des salaires est plus élevé. En fin de compte, seuls les indicateurs moyens peuvent être comparés, c'est-à-dire Combien gagne en moyenne un employé dans chaque entreprise ? Il est donc nécessaire de calculer la valeur moyenne en tant que caractéristique généralisée de la population.

Le calcul de la moyenne est l’une des techniques de généralisation courantes ; l'indicateur moyen nie ce qui est commun (typique) à toutes les unités de la population étudiée, tout en ignorant les différences entre les unités individuelles. Dans chaque phénomène et dans son développement, il y a une combinaison de hasard et de nécessité. Lors du calcul des moyennes, sous l'action de la loi des grands nombres, le hasard s'annule et s'équilibre, il est donc possible de faire abstraction des caractéristiques sans importance du phénomène, des valeurs quantitatives de la caractéristique dans chaque cas spécifique. . La capacité de faire abstraction du caractère aléatoire des valeurs individuelles et des fluctuations réside dans la valeur scientifique des moyennes en tant que caractéristiques généralisantes des agrégats.

Pour que la moyenne soit véritablement représentative, elle doit être calculée en tenant compte de certains principes.

Regardons quelques-uns principes généraux application de valeurs moyennes.
1. La moyenne doit être déterminée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes.
2. La moyenne doit être calculée pour une population composée d'un nombre suffisant grand nombre unités.
3. La moyenne doit être calculée pour une population dont les unités sont dans un état normal et naturel.
4. La moyenne doit être calculée en tenant compte du contenu économique de l'indicateur étudié.

5.2. Types de moyennes et méthodes de calcul

Considérons maintenant les types de valeurs moyennes, les caractéristiques de leur calcul et les domaines d'application. Les valeurs moyennes sont divisées en deux grandes classes : les moyennes de puissance, les moyennes structurelles.

À puissance moyenne Ceux-ci incluent les types les plus connus et les plus fréquemment utilisés, tels que la moyenne géométrique, la moyenne arithmétique et la moyenne quadratique.

Comme moyennes structurelles le mode et la médiane sont pris en compte.

Concentrons-nous sur les moyennes de puissance. Les moyennes de puissance, selon la présentation des données sources, peuvent être simples ou pondérées. Moyenne simple Il est calculé sur la base de données non regroupées et a la forme générale suivante :

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ;

n – option numérique.

Moyenne pondérée est calculé sur la base de données groupées et a une apparence générale

,

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ou la valeur médiane de l'intervalle dans lequel la variante est mesurée ;
m – indice de diplôme moyen ;
f i – fréquence indiquant combien de fois cela se produit c'est-à-dire la valeur caractéristique de moyenne.

Donnons à titre d'exemple le calcul de l'âge moyen des étudiants dans un groupe de 20 personnes :

Nous calculons l'âge moyen à l'aide de la formule de moyenne simple :

Regroupons les données sources. Nous obtenons rangée suivante répartitions :

Grâce au regroupement, nous obtenons un nouvel indicateur - la fréquence, indiquant le nombre d'élèves âgés de X ans. Ainsi, l’âge moyen des élèves du groupe sera calculé selon la formule de moyenne pondérée :

Les formules générales de calcul des moyennes de puissance ont un exposant (m). En fonction de la valeur prise, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :
moyenne harmonique si m = -1 ;
moyenne géométrique, si m -> 0 ;
moyenne arithmétique si m = 1 ;
carré moyen si m = 2 ;
cube moyen si m = 3.

Les formules pour les moyennes de puissance sont données dans le tableau. 4.4.

Si vous calculez tous les types de moyennes pour les mêmes données initiales, leurs valeurs s'avéreront différentes. La règle de la majorité des moyennes s'applique ici : à mesure que l'exposant m augmente, la valeur moyenne correspondante augmente également :

Dans la pratique statistique, les moyennes arithmétiques et les moyennes pondérées harmoniques sont utilisées plus souvent que les autres types de moyennes pondérées.

Tableau 5.1

Types de moyens de puissance

Type de pouvoir moyenne	Indicateur diplôme (m)	Formule de calcul
		Simple	Pondéré
Harmonique	-1
Géométrique	0
Arithmétique	1
Quadratique	2
Cubique	3

La moyenne harmonique a plus conception complexe que la moyenne arithmétique. La moyenne harmonique est utilisée pour les calculs lorsque ce ne sont pas les unités de la population - les porteurs de la caractéristique - qui sont utilisées comme poids, mais le produit de ces unités par les valeurs de la caractéristique (c'est-à-dire m = Xf). L'harmonique simple moyenne doit être utilisée pour déterminer, par exemple, le coût moyen de la main-d'œuvre, du temps, des matériaux par unité de production, par pièce pour deux (trois, quatre, etc.) entreprises, travailleurs engagés dans la fabrication du même type de produit, la même pièce, le même produit.

La principale exigence de la formule de calcul de la valeur moyenne est que toutes les étapes du calcul aient une justification réelle et significative ; la moyenne résultante devrait remplacer valeurs individuelles caractéristique de chaque objet sans perturber le lien entre les indicateurs individuels et synthétiques. En d'autres termes, la valeur moyenne doit être calculée de telle sorte que lorsque chaque valeur individuelle de l'indicateur moyenné est remplacée par sa valeur moyenne, un indicateur récapitulatif final reste inchangé, sujet connexe ou d'une autre manière avec la moyenne. Ce total est appelé définition puisque la nature de sa relation avec les valeurs individuelles détermine la formule spécifique de calcul de la valeur moyenne. Démontrons cette règle en utilisant l'exemple de la moyenne géométrique.

Formule de moyenne géométrique

utilisé le plus souvent lors du calcul de la valeur moyenne basée sur la dynamique relative individuelle.

La moyenne géométrique est utilisée si une séquence de dynamiques relatives en chaîne est donnée, indiquant, par exemple, une augmentation de la production par rapport au niveau de l'année précédente : i 1, i 2, i 3,..., i n. Il est évident que le volume de production en l'année dernière est déterminé par son niveau initial (q 0) et son augmentation ultérieure au fil des années :

q n = q 0 × je 1 × je 2 ×... × je n .

En prenant q n comme indicateur déterminant et en remplaçant les valeurs individuelles des indicateurs de dynamique par des valeurs moyennes, on arrive à la relation

D'ici

5.3. Moyennes structurelles

Un type particulier de moyennes - les moyennes structurelles - est utilisé pour étudier structure interne série de distribution de valeurs d'attribut, ainsi que pour estimer la valeur moyenne (type de puissance), si son calcul ne peut être effectué en fonction des données statistiques disponibles (par exemple, si dans l'exemple considéré il n'y avait pas de données à la fois sur le volume de production et le montant des coûts pour les groupes d'entreprises) .

Les indicateurs sont le plus souvent utilisés comme moyennes structurelles mode - la valeur la plus fréquemment répétée de l’attribut – et médianes – la valeur d'une caractéristique qui divise la séquence ordonnée de ses valeurs en deux parties égales. En conséquence, pour la moitié des unités de la population, la valeur de l'attribut ne dépasse pas le niveau médian et pour l'autre moitié, elle n'y est pas inférieure.

Si la caractéristique étudiée a des valeurs discrètes, le calcul du mode et de la médiane ne pose pas de difficultés particulières. Si les données sur les valeurs de l'attribut X sont présentées sous la forme d'intervalles ordonnés de son changement (série d'intervalles), le calcul du mode et de la médiane devient un peu plus compliqué.

,

Puisque la valeur médiane divise l'ensemble de la population en deux parties égales, elle aboutit dans l'un des intervalles de caractéristique X. Par interpolation, la valeur de la médiane se retrouve dans cet intervalle médian :
où X Me est la limite inférieure de l'intervalle médian ;
h Moi – sa valeur ; (Somme m)/2 – la moitié de nombre total
S Me-1 – la somme des observations (ou le volume de l'attribut de pondération) accumulées avant le début de l'intervalle médian ;
m Me – le nombre d'observations ou le volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle médian (également en termes absolus ou relatifs).

Dans notre exemple, même trois valeurs médianes peuvent être obtenues - sur la base des caractéristiques du nombre d'entreprises, du volume de production et montant total coûts de production :

Ainsi, dans la moitié des entreprises, le coût par unité de production dépasse 125,19 mille roubles, la moitié du volume total des produits est produite avec un coût par produit supérieur à 124,79 mille roubles. et 50 % du coût total est constitué lorsque le coût d'un produit est supérieur à 125,07 mille roubles. Notez également qu'il existe une certaine tendance à l'augmentation des coûts, puisque Me 2 = 124,79 mille roubles et que le niveau moyen est de 123,15 mille roubles.

Lors du calcul de la valeur modale d'une caractéristique sur la base des données d'une série d'intervalles, il est nécessaire de faire attention au fait que les intervalles sont identiques, car l'indicateur de répétabilité des valeurs de la caractéristique X en dépend. une série d'intervalles avec des intervalles égaux, l'amplitude du mode est déterminée comme

où X Mo est la valeur inférieure de l'intervalle modal ;
m Mo – nombre d'observations ou volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle modal (en termes absolus ou relatifs) ;
m Mo -1 – le même pour l'intervalle précédant l'intervalle modal ;
m Mo+1 – de même pour l'intervalle suivant celui modal ;
h – la valeur de l'intervalle de changement de la caractéristique en groupes.

Pour notre exemple, nous pouvons calculer trois significations modales en fonction du nombre d'entreprises, du volume de production et du montant des coûts. Dans les trois cas, l'intervalle modal est le même, puisque pour le même intervalle le nombre d'entreprises, le volume de production et le montant total des coûts de production sont les plus élevés :

Ainsi, il existe le plus souvent des entreprises avec un niveau de coût de 126,75 mille roubles, le plus souvent des produits sont fabriqués avec un niveau de coût de 126,69 mille roubles et le plus souvent les coûts de production s'expliquent par un niveau de coût de 123,73 mille roubles.

5.4. Indicateurs de variations

Les conditions particulières dans lesquelles se trouve chacun des objets étudiés, ainsi que leurs caractéristiques propre développement(sociales, économiques, etc.) sont exprimées par les niveaux numériques correspondants d'indicateurs statistiques. Ainsi, variation, ceux. écart entre les niveaux d’un même indicateur différents objets, a un caractère objectif et permet de comprendre l'essence du phénomène étudié.

Il existe plusieurs méthodes utilisées pour mesurer la variation des statistiques.

Le plus simple est de calculer l'indicateur plage de variation H comme différence entre les valeurs maximales (X max) et minimales (X min) observées de la caractéristique :

H=X max - X min .

Cependant, la plage de variation ne montre que les valeurs extrêmes du trait. La répétabilité des valeurs intermédiaires n'est pas prise en compte ici.

Des caractéristiques plus strictes sont des indicateurs de variabilité par rapport au niveau moyen de l'attribut. L'indicateur le plus simple de ce type est écart linéaire moyen L comme moyenne valeur arithmétiqueécarts absolus d'une caractéristique par rapport à son niveau moyen :

Si les valeurs individuelles de X sont reproductibles, utilisez la formule moyenne arithmétique pondéré:

(Rappelez-vous que somme algébrique les écarts par rapport au niveau moyen sont nuls.)

L'écart linéaire moyen a été trouvé large application en pratique. Avec son aide, par exemple, la composition des travailleurs, le rythme de production, l'uniformité des approvisionnements en matériaux sont analysés et des systèmes d'incitations matérielles sont développés. Mais, malheureusement, cet indicateur complique les calculs probabilistes et complique l'utilisation de méthodes statistiques mathématiques. Par conséquent, en statistique recherche scientifique l’indicateur le plus souvent utilisé pour mesurer la variation est

écarts.

.

La variance de la caractéristique (s 2) est déterminée sur la base de la moyenne quadratique de la puissance : L'indicateur s égal à est appelé

écart type.

Dans la théorie générale des statistiques, l'indicateur de dispersion est une estimation de l'indicateur de la théorie des probabilités du même nom et (comme somme des écarts carrés) une estimation de la dispersion en statistique mathématique, ce qui permet d'utiliser les dispositions de ces disciplines théoriques pour l'analyse des processus socio-économiques.< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Si la variation est estimée à partir d'un petit nombre d'observations provenant d'une population illimitée, alors la valeur moyenne de la caractéristique est déterminée avec une certaine erreur. La valeur calculée de la dispersion s'avère décalée vers une diminution. Pour obtenir une estimation impartiale, la variance de l'échantillon obtenue à l'aide des formules données précédemment doit être multipliée par la valeur n / (n - 1). En conséquence, avec un petit nombre d'observations (

Si plusieurs échantillons sont prélevés dans la population générale et qu'à chaque fois la valeur moyenne d'une caractéristique est déterminée, se pose alors le problème de l'évaluation de la variabilité des moyennes. Écart d’estimation valeur moyenne c'est possible sur la base d'un seul échantillon d'observation en utilisant la formule

,

où n est la taille de l’échantillon ; s 2 – variance de la caractéristique calculée à partir des données d'échantillonnage.

Ampleur s'appelle erreur d'échantillonnage moyenne et est une caractéristique de l'écart de la valeur moyenne de l'échantillon de l'attribut X par rapport à sa véritable valeur moyenne. L'indicateur d'erreur moyenne est utilisé pour évaluer la fiabilité des résultats de l'observation de l'échantillon.

Indicateurs de dispersion relative. Pour caractériser la mesure de variabilité de la caractéristique étudiée, des indicateurs de variabilité sont calculés en valeurs relatives. Ils permettent de comparer la nature de la dispersion dans différentes distributions (différentes unités d'observation de même caractéristique dans deux populations, avec différentes significations moyennes en comparant différentes populations). Le calcul des indicateurs de la mesure de dispersion relative est effectué comme le rapport de l'indicateur de dispersion absolue à la moyenne arithmétique, multiplié par 100 %.

1. Coefficient d'oscillation reflète la fluctuation relative des valeurs extrêmes de la caractéristique autour de la moyenne

.

2. L'arrêt linéaire relatif caractérise la proportion de la valeur moyenne du signe des écarts absolus par rapport à la valeur moyenne

.

3. Coefficient de variation :

est la mesure de variabilité la plus couramment utilisée pour évaluer la typicité des valeurs moyennes.

En statistiques, les populations avec un coefficient de variation supérieur à 30-35 % sont considérées comme hétérogènes.

Cette méthode d'évaluation de la variation présente également un inconvénient important. En effet, supposons, par exemple, que la population initiale de travailleurs ayant une expérience moyenne de 15 ans, avec un écart type de s = 10 ans, « vieillisse » de 15 ans supplémentaires. Maintenant = 30 ans, et en moyenne écart type est toujours égal à 10. La population auparavant hétérogène (10/15 × 100 = 66,7%), se révélant ainsi assez homogène dans le temps (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Etudes théoriques en statistiques : Sat. Scientifique Troudov. – M. : Statistiques, 1974. pp. 19-57.

La propriété la plus importante de la moyenne est qu’elle reflète ce qui est commun à toutes les unités de la population étudiée. Les valeurs attributaires des unités individuelles d'une population varient sous l'influence de nombreux facteurs, parmi lesquels il peut y avoir à la fois basique et aléatoire. L'essence de la moyenne réside dans le fait qu'elle compense mutuellement les écarts dans les valeurs de l'attribut, provoqués par l'action de facteurs aléatoires, et accumule (prend en compte) les changements provoqués par l'action des principaux facteurs. . Cela permet à la moyenne de refléter le niveau typique du trait et de faire abstraction de caractéristiques individuelles, inhérent aux unités individuelles.

Pour que la moyenne soit véritablement représentative, elle doit être calculée en tenant compte de certains principes.

Principes de base de l'utilisation des moyennes.

1. La moyenne doit être déterminée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes.

2. La moyenne doit être calculée pour une population composée d'un nombre d'unités suffisamment important.

3. La moyenne doit être calculée pour la population dans des conditions stationnaires (lorsque les facteurs d'influence ne changent pas ou ne changent pas de manière significative).

4. La moyenne doit être calculée en tenant compte du contenu économique de l'indicateur étudié.

Le calcul des indicateurs statistiques les plus spécifiques repose sur l’utilisation de :

· agrégat moyen ;

· puissance moyenne (harmonique, géométrique, arithmétique, quadratique, cubique) ;

· moyenne chronologique (voir rubrique).

Toutes les moyennes, à l'exception de la moyenne globale, peuvent être calculées de deux manières : pondérées ou non pondérées.

Global moyen. La formule utilisée est :

Où avec moi= x je* f je;

x je- ième option la caractéristique étant moyennée ;

f je, - poids je- ème option.

Puissance moyenne. DANS vue générale formule de calcul :

où est le diplôme k– type de puissance moyenne.

Les valeurs de moyennes calculées à partir de moyennes de puissance pour une même donnée initiale ne sont pas les mêmes. À mesure que l'exposant k augmente, la valeur moyenne correspondante augmente également :

Chronologique moyen. Pour une série chronologique d'un instant avec des intervalles égaux entre les dates, elle est calculée à l'aide de la formule :

,

Où x1 Et Xn la valeur de l'indicateur à la date de début et de fin.

Formules de calcul des moyennes de puissance

Exemple. D'après le tableau. 2.1 nécessite de calculer le salaire moyen pour l'ensemble des trois entreprises.

Tableau 2.1

Salaires des entreprises JSC

Spécifique formule de calcul Cela dépend des données contenues dans le tableau. 7 sont les originaux. Ainsi, les options suivantes sont possibles : les données des colonnes 1 (nombre d'employés) et 2 (masse mensuelle) ; ou - 1 (nombre de PPP) et 3 (salaire moyen) ; ou 2 (masse mensuelle) et 3 (salaire moyen).

Si seules les données des colonnes 1 et 2 sont disponibles. Les résultats de ces colonnes contiennent les valeurs nécessaires au calcul de la moyenne souhaitée. La formule globale moyenne est utilisée :

Si seules les données des colonnes 1 et 3 sont disponibles, alors le dénominateur du rapport d'origine est connu, mais son numérateur n'est pas connu. Cependant, le fonds salarial peut être obtenu en multipliant le salaire moyen par le nombre d'enseignants. Par conséquent, la moyenne globale peut être calculée à l'aide de la formule moyenne arithmétique pondérée:

Il faut tenir compte du fait que le poids ( f je) peut dans certains cas être le produit de deux, voire trois valeurs.

De plus, la moyenne est également utilisée dans la pratique statistique. arithmétique non pondérée:

où n est le volume de la population.

Cette moyenne est utilisée lorsque les poids ( f je) sont absents (chaque variante de la caractéristique n'apparaît qu'une seule fois) ou sont égaux les uns aux autres.

S'il n'y a que des données des colonnes 2 et 3., c'est-à-dire que le numérateur du rapport d'origine est connu, mais son dénominateur n'est pas connu. Le nombre d'employés de chaque entreprise peut être obtenu en divisant la masse salariale par le salaire moyen. Ensuite, le salaire moyen pour l'ensemble des trois entreprises est calculé à l'aide de la formule moyenne harmonique pondérée:

Si les poids sont égaux ( f je) le calcul de la moyenne peut être effectué par moyenne harmonique non pondérée :

Dans notre exemple, nous avons utilisé différentes formes moyenne, mais a reçu la même réponse. Cela est dû au fait que pour des données spécifiques, le même rapport initial de la moyenne a été mis en œuvre à chaque fois.

Les indicateurs moyens peuvent être calculés à l'aide de séries de variations discrètes et par intervalles. Dans ce cas, le calcul est effectué en utilisant la moyenne arithmétique pondérée. Pour une série discrète, cette formule s'utilise de la même manière que dans l'exemple ci-dessus. Dans la série d'intervalles, les milieux des intervalles sont déterminés pour le calcul.

Exemple. D'après le tableau. 2.2, nous déterminons le montant du revenu monétaire moyen par habitant et par mois dans une région conditionnelle.

Tableau 2.2

Données initiales (séries de variations)

Afin de trouver la valeur moyenne dans Excel (qu'il s'agisse d'une valeur numérique, texte, pourcentage ou autre), il existe de nombreuses fonctions. Et chacun d’eux a ses propres caractéristiques et avantages. En effet, dans cette tâche, certaines conditions peuvent être posées.

Par exemple, les valeurs moyennes d'une série de nombres dans Excel sont calculées à l'aide de fonctions statistiques. Vous pouvez également saisir manuellement votre propre formule. Considérons différentes options.

Comment trouver la moyenne arithmétique des nombres ?

Pour trouver la moyenne arithmétique, vous devez additionner tous les nombres de l’ensemble et diviser la somme par la quantité. Par exemple, les notes d'un élève en informatique : 3, 4, 3, 5, 5. Ce qui est inclus dans le trimestre : 4. Nous avons trouvé la moyenne arithmétique en utilisant la formule : =(3+4+3+5+5) /5.

Comment faire cela rapidement à l'aide des fonctions Excel ? Prenons par exemple la série nombres aléatoires dans la ligne :

Ou : créez la cellule active et entrez simplement la formule manuellement : = MOYENNE (A1: A8).

Voyons maintenant ce que la fonction MOYENNE peut faire d'autre.

Trouvons la moyenne arithmétique des deux premiers et des trois derniers nombres. Formule : = MOYENNE (A1:B1,F1:H1). Résultat:

Etat moyen

La condition pour trouver la moyenne arithmétique peut être un critère numérique ou textuel. Nous utiliserons la fonction : =AVERAGEIF().

Trouvez la moyenne arithmétique des nombres supérieurs ou égaux à 10.

Fonction : =MOYENNEIF(A1:A8,">=10")

Le troisième argument – ​​« Plage moyenne » – est omis. Tout d’abord, ce n’est pas obligatoire. Deuxièmement, la plage analysée par le programme contient UNIQUEMENT valeurs numériques. Les cellules spécifiées dans le premier argument seront recherchées selon la condition spécifiée dans le deuxième argument.

Attention! Le critère de recherche peut être précisé dans la cellule. Et faites un lien vers celui-ci dans la formule.

Trouvons la valeur moyenne des nombres en utilisant le critère texte. Par exemple, les ventes moyennes du produit « tables ».

La fonction ressemblera à ceci : =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Gamme – une colonne avec les noms de produits. Le critère de recherche est un lien vers une cellule avec le mot « tableaux » (vous pouvez insérer le mot « tableaux » à la place du lien A7). Plage de moyenne – les cellules à partir desquelles les données seront extraites pour calculer la valeur moyenne.

Suite au calcul de la fonction, nous obtenons la valeur suivante :

Attention! Pour un critère textuel (condition), la plage de moyenne doit être spécifiée.

Comment calculer le prix moyen pondéré dans Excel ?

Comment avons-nous connu le prix moyen pondéré ?

Formule : =SOMMEPRODUIT(C2:C12,B2:B12)/SOMME(C2:C12).

En utilisant la formule SUMPRODUCT, nous connaissons le revenu total après avoir vendu la totalité de la quantité de marchandises. Et la fonction SOMME résume la quantité de marchandises. En divisant le revenu total de la vente de biens par le nombre total d'unités de biens, nous avons obtenu le prix moyen pondéré. Cet indicateur prend en compte le « poids » de chaque prix. Sa part dans la masse totale des valeurs.

Écart type : formule dans Excel

Il existe des écarts types pour la population générale et pour l’échantillon. Dans le premier cas, c’est la racine de la variance générale. Dans le second, à partir de la variance de l'échantillon.

Pour calculer cet indicateur statistique, une formule de dispersion est établie. La racine en est extraite. Mais dans Excel, il existe une fonction toute faite pour trouver l'écart type.

L'écart type est lié à l'échelle des données sources. Cela ne suffit pas pour une représentation figurative de la variation de la plage analysée. Pour obtenir le niveau relatif de dispersion des données, le coefficient de variation est calculé :

écart type / moyenne arithmétique

La formule dans Excel ressemble à ceci :

STDEV (plage de valeurs) / MOYENNE (plage de valeurs).

Le coefficient de variation est calculé en pourcentage. Par conséquent, nous définissons le format de pourcentage dans la cellule.

Les caractéristiques des unités d'agrégats statistiques ont une signification différente, par exemple, les salaires des travailleurs d'une même profession d'une entreprise ne sont pas les mêmes pour la même période de temps, les prix du marché pour les mêmes produits, les rendements des cultures dans le district fermes, etc Par conséquent, afin de déterminer la valeur d'une caractéristique caractéristique de l'ensemble de la population d'unités étudiées, des valeurs moyennes sont calculées.
Valeur moyenne – il s'agit d'une caractéristique généralisatrice d'un ensemble de valeurs individuelles d'une certaine caractéristique quantitative.

La population étudiée sur une base quantitative est constituée de valeurs individuelles ; ils sont influencés par raisons courantes, et les conditions individuelles. En valeur moyenne, les écarts caractéristiques des valeurs individuelles sont annulés. La moyenne, étant fonction d'un ensemble de valeurs individuelles, représente l'ensemble de l'ensemble avec une seule valeur et reflète ce qui est commun à toutes ses unités.

La moyenne calculée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes est appelée moyenne typique. Par exemple, vous pouvez calculer le salaire mensuel moyen d'un salarié d'un groupe professionnel particulier (mineur, médecin, bibliothécaire). Bien entendu, les niveaux de salaire mensuel des mineurs, en raison des différences dans leurs qualifications, leur ancienneté, la durée mensuelle travaillée et de nombreux autres facteurs, diffèrent les uns des autres ainsi que du niveau des salaires moyens. Cependant, le niveau moyen reflète les principaux facteurs qui influencent le niveau des salaires et annule les différences qui résultent des caractéristiques individuelles du salarié. Le salaire moyen reflète le niveau de rémunération typique pour un type de travailleur donné. L'obtention d'une moyenne typique doit être précédée d'une analyse de l'homogénéité qualitative de la population donnée. Si l'ensemble en est composé pièces détachées, il doit être divisé en groupes typiques (température moyenne à l'hôpital).

Les valeurs moyennes utilisées comme caractéristiques pour des populations hétérogènes sont appelées moyennes du système. Par exemple, le produit intérieur brut (PIB) moyen par habitant, la consommation moyenne divers groupes biens par personne et autres valeurs similaires, représentant les caractéristiques générales de l'État en tant que système économique unifié.

La moyenne doit être calculée pour des populations constituées d'un nombre d'unités suffisamment important. Le respect de cette condition est nécessaire pour que la loi des grands nombres entre en vigueur, de sorte que les écarts aléatoires des valeurs individuelles par rapport à la tendance générale s'annulent mutuellement.

Types de moyennes et méthodes de calcul

Le choix du type de moyenne est déterminé par le contenu économique d'un certain indicateur et des données sources. Cependant, toute valeur moyenne doit être calculée de manière à ce que lorsqu'elle remplace chaque variante de la caractéristique moyennée, la valeur finale, généralisatrice ou, comme on l'appelle communément, ne change pas. indicateur de définition, qui est associé à l'indicateur moyenné. Par exemple, lorsque vous remplacez les vitesses réelles sur des sections individuelles du chemin par leur vitesse moyenne, la distance totale parcourue ne doit pas changer. véhicule en même temps; lors du remplacement du salaire réel des employés individuels d'une entreprise par le salaire moyen, le fonds salarial ne devrait pas changer. Par conséquent, dans chaque cas particulier, selon la nature des données disponibles, il n'existe qu'une seule vraie valeur moyenne de l'indicateur, adéquate aux propriétés et à l'essence du phénomène socio-économique étudié.
Les plus couramment utilisées sont la moyenne arithmétique, la moyenne harmonique, la moyenne géométrique, la moyenne quadratique et la moyenne cubique.
Les moyennes indiquées appartiennent à la classe calme moyennes et sont combinés par la formule générale :
,
où est la valeur moyenne de la caractéristique étudiée ;
m – indice de diplôme moyen ;
– valeur actuelle (variante) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ;
n – nombre de fonctionnalités.
En fonction de la valeur de l'exposant m, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :
lorsque m = -1 – moyenne harmonique ;
à m = 0 – moyenne géométrique ;
pour m = 1 – moyenne arithmétique ;
pour m = 2 – moyenne quadratique ;
à m = 3 – cube moyen.
Lorsque vous utilisez les mêmes données initiales, plus l'exposant m dans la formule ci-dessus est grand, plus le plus de valeur taille moyenne :
.
Cette propriété de la puissance moyenne d'augmenter avec l'exposant croissant de la fonction de définition est appelée la règle de la majorité des moyennes.
Chacune des moyennes marquées peut prendre deux formes : simple Et pondéré.
Forme moyenne simple utilisé lorsque la moyenne est calculée à partir de données primaires (non regroupées). Forme pondérée– lors du calcul de la moyenne sur la base de données secondaires (regroupées).

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est utilisée lorsque le volume de la population est la somme de toutes les valeurs individuelles d'une caractéristique variable. Il convient de noter que si le type de moyenne n’est pas précisé, la moyenne arithmétique est utilisée. Sa formule logique ressemble à :

Moyenne arithmétique simple calculé basé sur des données non regroupées selon la formule :
ou ,
où sont les valeurs individuelles de la caractéristique ;
j est le numéro de série de l'unité d'observation, qui est caractérisé par la valeur ;
N – nombre d'unités d'observation (volume de la population).
Exemple. La conférence «Résumé et regroupement des données statistiques» a examiné les résultats de l'observation de l'expérience de travail d'une équipe de 10 personnes. Calculons l'expérience de travail moyenne des travailleurs de l'équipe. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

En utilisant la formule simple de la moyenne arithmétique, nous pouvons également calculer moyennes en séries chronologiques, si les intervalles de temps pour lesquels les valeurs caractéristiques sont présentées sont égaux.
Exemple. Le volume des produits vendus au premier trimestre s'élève à 47 deniers. unités, pour le deuxième 54, pour le troisième 65 et pour le quatrième 58 den. unités Le chiffre d'affaires trimestriel moyen est de (47+54+65+58)/4 = 56 den. unités
Si les indicateurs momentanés sont donnés dans une série chronologique, alors lors du calcul de la moyenne, ils sont remplacés par des demi-sommes des valeurs de début et de fin de période.
S'il y a plus de deux moments et que les intervalles entre eux sont égaux, alors la moyenne est calculée à l'aide de la formule de la moyenne chronologique

,
où n est le nombre de points dans le temps
Dans le cas où les données sont regroupées par valeurs caractéristiques (c'est-à-dire qu'une série de distribution variationnelle discrète a été construite) avec moyenne arithmétique pondérée calculé à partir soit de fréquences, soit de fréquences d'observation de valeurs spécifiques de la caractéristique, dont le nombre (k) est significatif moins de nombre observations (N) .
,
,
où k est le nombre de groupes de la série de variations,
je – numéro de groupe de la série de variations.
Puisque , a , on obtient les formules utilisées pour les calculs pratiques :
Et
Exemple. Calculons l'ancienneté moyenne des équipes de travail sur une ligne regroupée.
a) en utilisant des fréquences :

b) en utilisant des fréquences :

Dans le cas où les données sont regroupées par intervalles , c'est-à-dire sont présentés sous forme de séries de distributions d'intervalles lors du calcul de la moyenne arithmétique, le milieu de l'intervalle est pris comme valeur de la caractéristique, sur la base de l'hypothèse que répartition uniforme unités de la population sur un intervalle donné. Le calcul est effectué à l'aide des formules :
Et
où est le milieu de l'intervalle : ,
où et sont les limites inférieure et supérieure des intervalles (à condition que la limite supérieure d'un intervalle donné coïncide avec la limite inférieure de l'intervalle suivant).

Exemple. Calculons la moyenne arithmétique de la série de variations d'intervalles construite à partir des résultats d'une étude des salaires annuels de 30 travailleurs (voir cours « Résumé et regroupement des données statistiques »).
Tableau 1 – Distribution des séries de variations d’intervalle.

UAH ou UAH
Les moyennes arithmétiques calculées sur la base des données sources et des séries de variations d'intervalles peuvent ne pas coïncider en raison de la répartition inégale des valeurs d'attributs dans les intervalles. Dans ce cas, pour un calcul plus précis de la moyenne arithmétique pondérée, il ne faut pas utiliser les milieux des intervalles, mais les moyennes arithmétiques simples calculées pour chaque groupe ( moyennes de groupe). La moyenne calculée à partir des moyennes de groupe à l'aide d'une formule de calcul pondérée est appelée moyenne générale.
La moyenne arithmétique possède un certain nombre de propriétés.
1. La somme des écarts par rapport à l'option moyenne est nulle :
.
2. Si toutes les valeurs de l'option augmentent ou diminuent du montant A, alors la valeur moyenne augmente ou diminue du même montant A :

3. Si chaque option est augmentée ou diminuée de B fois, alors la valeur moyenne augmentera ou diminuera également du même nombre de fois :
ou
4. La somme des produits de l'option par les fréquences est égale au produit de la valeur moyenne par la somme des fréquences :

5. Si toutes les fréquences sont divisées ou multipliées par un nombre quelconque, alors la moyenne arithmétique ne changera pas :

6) si dans tous les intervalles les fréquences sont égales les unes aux autres, alors la moyenne arithmétique pondérée est égale à la moyenne arithmétique simple :
,
où k est le nombre de groupes de la série de variations.

Utiliser les propriétés de la moyenne permet de simplifier son calcul.
Supposons que toutes les options (x) soient d'abord réduites du même nombre A, puis réduites d'un facteur B. La plus grande simplification est obtenue lorsque la valeur du milieu de l'intervalle avec la fréquence la plus élevée est choisie comme A et que la valeur de l'intervalle (pour les séries avec des intervalles identiques) est sélectionnée comme B. La quantité A est appelée l'origine, donc cette méthode de calcul de la moyenne est appelée chemin b référence ohm à partir du zéro conditionnel ou façon de moments.
Après une telle transformation, on obtient une nouvelle série de distribution variationnelle dont les variantes sont égales à . Leur moyenne arithmétique, appelée moment du premier ordre, est exprimé par la formule et, selon les deuxième et troisième propriétés, la moyenne arithmétique est égale à la moyenne de la version originale, réduite d'abord de A, puis de B fois, c'est-à-dire
Pour recevoir moyenne réelle(moyenne de la série originale) vous devez multiplier le moment du premier ordre par B et ajouter A :

Le calcul de la moyenne arithmétique par la méthode des moments est illustré par les données du tableau. 2.
Tableau 2 – Répartition des ouvriers des ateliers d'usine selon l'ancienneté

Trouver le moment de la première commande . Puis, sachant que A = 17,5 et B = 5, on calcule l'ancienneté moyenne des ouvriers de l'atelier :
années

Moyenne harmonique
Comme indiqué ci-dessus, la moyenne arithmétique est utilisée pour calculer la valeur moyenne d'une caractéristique dans les cas où ses variantes x et leurs fréquences f sont connues.
Si les informations statistiques ne contiennent pas de fréquences f pour les options individuelles x de la population, mais sont présentées comme leur produit, la formule est appliquée moyenne harmonique pondérée. Pour calculer la moyenne, notons où . En substituant ces expressions dans la formule de la moyenne arithmétique pondérée, on obtient la formule de la moyenne pondérée harmonique :
,
où est le volume (poids) des valeurs d'attribut de l'indicateur dans l'intervalle numéroté i (i=1,2, …, k).

Ainsi, la moyenne harmonique est utilisée dans les cas où ce ne sont pas les options elles-mêmes qui font l'objet d'une sommation, mais leurs réciproques : .
Dans les cas où le poids de chaque option est égal à un, c'est-à-dire les valeurs individuelles de la caractéristique inverse se produisent une fois, appliquées moyenne harmonique simple:
,
où se trouvent les variantes individuelles de la caractéristique inverse, apparaissant une fois ;
N – option numérique.
S'il existe des moyennes harmoniques pour deux parties d'une population, alors la moyenne globale pour l'ensemble de la population est calculée à l'aide de la formule :

et s'appelle moyenne harmonique pondérée des moyennes de groupe.

Exemple. Lors des échanges sur le marché des changes, trois transactions ont été conclues au cours de la première heure de fonctionnement. Les données sur le montant des ventes de hryvnia et le taux de change de la hryvnia par rapport au dollar américain sont présentées dans le tableau. 3 (colonnes 2 et 3). Déterminez le taux de change moyen de la hryvnia par rapport au dollar américain pour la première heure de négociation.
Tableau 3 – Données sur l'évolution des échanges sur les marchés des changes

Le taux de change moyen du dollar est déterminé par le rapport entre le montant de la hryvnia vendu lors de toutes les transactions et le montant des dollars acquis à la suite des mêmes transactions. Le montant final de la vente de la hryvnia est connu à partir de la colonne 2 du tableau, et le nombre de dollars achetés dans chaque transaction est déterminé en divisant le montant de la vente de la hryvnia par son taux de change (colonne 4). Au total, 22 millions de dollars ont été achetés au cours de trois transactions. Cela signifie que le taux de change moyen de la hryvnia pour un dollar était
.
La valeur résultante est réelle, car le remplacement des taux de change réels de la hryvnia dans les transactions ne modifiera pas le montant final des ventes de la hryvnia, qui sert de indicateur de définition: millions d'UAH
Si la moyenne arithmétique était utilisée pour le calcul, c'est-à-dire hryvnia, puis au taux de change pour l'achat de 22 millions de dollars. il faudrait dépenser 110,66 millions d'UAH, ce qui n'est pas vrai.

Moyenne géométrique
La moyenne géométrique permet d'analyser la dynamique des phénomènes et permet de déterminer le coefficient de croissance moyen. Lors du calcul de la moyenne géométrique, les valeurs individuelles d'une caractéristique sont des indicateurs relatifs de dynamique, construits sous la forme de valeurs en chaîne, comme le rapport de chaque niveau au précédent.
La moyenne géométrique simple est calculée à l'aide de la formule :
,
où est le signe du produit,
N – nombre de valeurs moyennées.
Exemple. Le nombre de délits enregistrés sur 4 ans a augmenté de 1,57 fois, dont pour la 1ère – 1,08 fois, pour la 2ème – 1,1 fois, pour la 3ème – 1,18 et pour la 4ème – 1,12 fois. Alors le taux de croissance annuel moyen du nombre de délits est : , c'est-à-dire le nombre de délits enregistrés a augmenté chaque année de 12 % en moyenne.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96