Chaque valeur individuelle est entièrement déterminée par sa fonction de distribution. Aussi, pour résoudre des problèmes pratiques, il suffit de connaître plusieurs caractéristiques numériques, grâce auxquelles il devient possible de présenter sous une forme courte les principales caractéristiques d'une variable aléatoire.

Ces quantités comprennent principalement valeur attendue Et dispersion .

Valeur attendue— la valeur moyenne d'une variable aléatoire en théorie des probabilités. Noté comme .

Le plus d'une manière simple espérance mathématique d'une variable aléatoire X(w), découvrez comment intégralLebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. original espace de probabilité

Vous pouvez également trouver l'espérance mathématique d'une valeur comme intégrale de Lebesgue depuis X par distribution de probabilité R X quantités X:

où est l'ensemble de toutes les valeurs possibles X.

Espérance mathématique des fonctions d'une variable aléatoire X trouvé grâce à la distribution R X. Par exemple, Si X- une variable aléatoire avec des valeurs dans et f(x)- sans ambiguïté de Borelfonction X , Que:

Si F(x)- fonction de distribution X, alors l'espérance mathématique est représentable intégralLebesgue - Stieltjes (ou Riemann - Stieltjes) :

dans ce cas, l'intégrabilité X En termes de ( * ) correspond à la finitude de l'intégrale

Dans des cas précis, si X a une distribution discrète avec des valeurs probables xk, k=1, 2, . , et les probabilités, alors

Si X a une distribution absolument continue avec une densité de probabilité p(x), Que

dans ce cas, l'existence d'une espérance mathématique équivaut à la convergence absolue de la série ou intégrale correspondante.

Propriétés de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.

• L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à cette valeur :

C- constante;

• M=C.M[X]

• L'espérance mathématique de la somme des valeurs prises au hasard est égale à la somme de leurs espérances mathématiques :

• L'espérance mathématique du produit de variables indépendantes prises au hasard = le produit de leurs espérances mathématiques :

M=M[X]+M[Y]

Si X Et Oui indépendant.

si la série converge :

Algorithme de calcul de l'espérance mathématique.

Propriétés des variables aléatoires discrètes : toutes leurs valeurs peuvent être renumérotées nombres naturels; attribuez à chaque valeur une probabilité non nulle.

1. Multipliez les paires une par une : x je sur p je.

2. Ajoutez le produit de chaque paire x je p je.

Par exemple, Pour n = 4 :

Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète par étapes, elle augmente brusquement aux points dont les probabilités ont un signe positif.

Exemple: Trouvez l'espérance mathématique à l'aide de la formule.

Dispersion La variable aléatoire continue X, dont les valeurs possibles appartiennent à tout l'axe Ox, est déterminée par l'égalité :

Objet de la prestation. Calculateur en ligne conçu pour résoudre des problèmes dans lesquels soit densité de distribution f(x) ou fonction de distribution F(x) (voir exemple). Habituellement, dans de telles tâches, vous devez trouver espérance mathématique, moyenne écart-type, tracez les fonctions f(x) et F(x).

Instructions. Sélectionnez le type de données source : densité de distribution f(x) ou fonction de distribution F(x).

La densité de distribution f(x) est donnée :

La fonction de distribution F(x) est donnée :

Une variable aléatoire continue est spécifiée par une densité de probabilité
(Loi de distribution de Rayleigh - utilisée en ingénierie radio). Trouvez M(x) , D(x) .

La variable aléatoire X est appelée continu , si sa fonction de distribution F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est utilisée pour calculer la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle donné :
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
De plus, pour une variable aléatoire continue, peu importe que ses limites soient incluses ou non dans cet intervalle :
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densité de distribution une variable aléatoire continue s'appelle une fonction
f(x)=F’(x) , dérivée de la fonction de distribution.

Propriétés de la densité de distribution