آژانس آموزش فدرال

مSTسسه توسعه آموزش

"روشهای گرافیکی برای حل معادلات و نابرابری ها با پارامترها"

تکمیل شده

معلم ریاضی

MOU SOSH №62

لیپتسک 2008

معرفی ................................................. .................................................. .3

ایکس;در) 4

1.1 انتقال موازی ................................................ ........................... پنج

1.2 دور زدن................................................. .................................................. 9

1.3 هموطنی فشرده سازی به راست ............................................... ................. سیزده

1.4. دو خط مستقیم در هواپیما ............................................ .. ....................... 15

2. تکنیک های گرافیکی. هواپیمای هماهنگ ( ایکس;و) 17

نتیجه ................................................. .......................................... 20

لیست کتابشناسی ................................................ ........ 22

معرفی

مشکلاتی که دانش آموزان هنگام حل معادلات و نابرابری های غیراستاندارد دارند ، هم به دلیل پیچیدگی نسبی این مسائل و هم به دلیل اینکه مرکز مدرسه ، به طور معمول ، در حل مسائل استاندارد متمرکز است ، ایجاد می شود.

بسیاری از دانشجویان پارامتر را به عنوان یک عدد "طبیعی" درک می کنند. در واقع ، در برخی از مشکلات می توان پارامتر را یک ثابت دانست ، اما این ثابت مقادیر ناشناخته ای به خود می گیرد! بنابراین ، لازم است که مسئله را برای تمام مقادیر ممکن این ثابت در نظر بگیریم. در سایر مشکلات ، به راحتی می توان یکی از موارد ناشناخته را به عنوان یک پارامتر اعلام کرد.

سایر دانش آموزان با پارامتر به عنوان یک مقدار ناشناخته رفتار می کنند و بدون خجالت می توانند پارامتر را در جواب از طریق متغیر بیان کنند ایکس.

در امتحانات نهایی و کنکور ، عمدتا دو نوع مشکل با پارامترها وجود دارد. شما بلافاصله آنها را با متن آنها متمایز خواهید کرد. اول: "برای هر مقدار از پارامتر ، تمام راه حل های برخی معادلات یا نابرابری را پیدا کنید." دوم: "تمام مقادیر پارامتر را پیدا کنید ، برای هر یک از آنها برخی شرایط برای یک معادله یا نابرابری مشخص برآورده می شوند." بر این اساس ، پاسخ در این دو نوع مسئله اساساً متفاوت است. در پاسخ به مسئله نوع اول ، تمام مقادیر ممکن پارامتر ذکر شده و برای هر یک از این مقادیر ، راه حل های معادله نوشته شده است. در پاسخ به مسئله نوع دوم ، تمام مقادیر پارامتر نشان داده می شود که شرایط مشخص شده در مسئله برای آنها برآورده شده است.

حل یک معادله با یک پارامتر برای یک مقدار ثابت داده شده از پارامتر ، چنین مقداری از مجهول است ، وقتی در معادله جایگزین می شود ، دومی به یک برابری عددی واقعی تبدیل می شود. حل نابرابری با یک پارامتر به همین ترتیب تعریف شده است. برای حل یک معادله (نابرابری) با یک پارامتر ، برای هر مقدار قابل قبول پارامتر ، یافتن مجموعه تمام راه حل های این معادله (نابرابری) است.

1. تکنیک های گرافیکی. هواپیمای هماهنگ ( ایکس;در)

همراه با تکنیک ها و روش های اساسی تحلیلی برای حل مشکلات پارامترها ، روش هایی برای مراجعه به تفاسیر تصویری - گرافیکی وجود دارد.

بسته به نقشی که پارامتر در کار تعیین می شود (نابرابر یا برابر با متغیر) ، دو روش اصلی گرافیکی را می توان به ترتیب تفکیک کرد: اول ساخت تصویر گرافیکی روی صفحه مختصات (ایکس; y) ،دوم - روشن (ایکس; و)

در صفحه (x؛ y) تابع y \u003df (ایکس; و)بسته به پارامتر خانواده ای از منحنی ها را تعریف می کند وواضح است که هر خانواده f دارای خواص خاصی است. اول از همه ، ما علاقه مند خواهیم بود که چه نوع تغییر شکل صفحه (ترجمه موازی ، چرخش و غیره) ممکن است از یک منحنی خانواده به دیگری منتقل شود. یک پاراگراف جداگانه به هر یک از این تحولات اختصاص داده خواهد شد. به نظر ما می رسد که چنین طبقه بندی یافتن تصویر گرافیکی لازم را برای تصمیم گیرنده آسان می کند. توجه داشته باشید که با این رویکرد ، قسمت مفهومی راه حل به این بستگی ندارد که کدام یک از شکل ها (خط ، دایره ، سهمی و غیره) از خانواده منحنی ها باشد.

البته ، همیشه تصویر گرافیکی خانواده نیست y \u003df (ایکس; و)با یک تحول ساده توصیف شده است. بنابراین ، در چنین شرایطی تمرکز بر روی منحنی های یک خانواده ، بلکه بر خود منحنی ها مفید است. به عبارت دیگر ، یک نوع دیگر از مشکلات را می توان تشخیص داد ، که در آن ایده راه حل اساساً براساس ویژگی های خاص است شکل های هندسیتا خانواده به عنوان یک کل. در وهله اول چه چهره هایی (یا بهتر بگوییم خانواده های این چهره ها) ما را مورد توجه قرار می دهند؟ اینها خطوط مستقیم و سهمی هستند. این انتخاب به دلیل موقعیت خاص (اساسی) خطی و توابع درجه دوم در ریاضیات مدرسه.

صحبت کردن در مورد روش های گرافیکی ، غیرممکن است که بتوان یک مسئله را "متولد" تمرین آزمون رقابتی دانست. ما به مسئله سختگیری و در نتیجه قانونی بودن تصمیم بر اساس ملاحظات گرافیکی اشاره می کنیم. بدون شک ، از دیدگاه رسمی ، نتیجه گرفته شده از "تصویر" ، که از نظر تحلیلی پشتیبانی نمی شود ، دقیقاً بدست نیامده است. با این حال ، توسط چه کسی ، چه زمانی و در کجا سطح شدت دانش آموز دبیرستانی باید به آن پایبند باشد؟ به نظر ما ، الزامات سطح سخت گیری ریاضی برای یک دانش آموز باید با عقل سلیم تعیین شود. ما درجه ذهنی بودن این دیدگاه را درک می کنیم. علاوه بر این ، روش گرافیکی فقط یکی از ابزارهای تجسم است. و قابلیت مشاهده می تواند فریبنده باشد. gif "width \u003d" 232 "height \u003d" 28 "\u003e فقط یک راه حل دارد.

تصمیم گیریبرای راحتی ، lg را نشان می دهیم b \u003d aبیایید معادله ای را بنویسیم که معادل معادل اصلی باشد: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif "width \u003d" 125 "height \u003d" 92 "\u003e

رسم یک تابع با دامنه تعریف و (شکل 1). نمودار حاصل یک خانواده از خطوط است y \u003d aفقط باید در یک نقطه عبور کند. شکل نشان می دهد که این شرط فقط برای انجام شده است a\u003e2 ، به عنوان مثال LG ب\u003e\u003e2, ب\u003e\u003e100.

پاسخ.https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif "width \u003d" 15 height \u003d 16 "height \u003d" 16 "\u003e تعداد راه حل های معادله را تعیین کنید .

تصمیم گیری... بیایید تابع 102 "height \u003d" 37 "style \u003d" vertical-align: top "\u003e را رسم کنیم

بیایید در نظر بگیریم. این خط موازی محور OX است.

پاسخ..gif "width \u003d" 41 "height \u003d" 20 "\u003e سپس 3 راه حل.

اگر ، پس 2 راه حل.

اگر ، 4 راه حل.

بیایید به سراغ یک سری جدید از مشکلات برویم..gif "width \u003d" 107 "height \u003d" 27 src \u003d "\u003e.

تصمیم گیریبیایید یک خط مستقیم بسازیم در= ایکس 1+ (شکل 3) .. gif "width \u003d" 92 "height \u003d" 57 "\u003e

یک راه حل داشته باشید که معادل معادله است ( ایکس+1)2 = x + ویک ریشه داشته باشید..gif "width \u003d" 44 height \u003d 47 "height \u003d" 47 "\u003e نابرابری اصلی هیچ راه حلی ندارد. توجه داشته باشید که کسانی که با مشتق آشنا هستند ممکن است این نتیجه را متفاوت بگیرند.

علاوه بر این ، با تغییر "نیمه پارابولا" به سمت چپ ، آخرین لحظه را هنگام نمودار ثابت می کنیم در = ایکس1 + و دو نقطه مشترک (موقعیت III). این ترتیب با توجه به نیاز ارائه می شود و= 1.

واضح است که برای بخش [ ایکس1; ایکس2] ، کجا ایکس1 و ایکس2 - abscissas از نقاط تلاقی نمودارها ، یک راه حل برای نابرابری اصلی خواهد بود..gif "width \u003d" 68 height \u003d 47 "height \u003d" 47 "\u003e ، سپس

هنگامی که "نیمه پارابولا" و خط مستقیم فقط در یک نقطه تلاقی می کنند (این مربوط به مورد است a\u003e1) ، سپس راه حل بخش است [- و; ایکس2 "] ، کجا ایکس2 "- بزرگترین ریشه ایکس1 و ایکس2 (موقعیت چهارم)

مثال 4..gif "width \u003d" 85 "height \u003d" 29 src \u003d "\u003e. gif" width \u003d "75" height \u003d "20 src \u003d"\u003e . از این رو دریافت می کنیم .

توابع را در نظر بگیرید و . در میان آنها ، فقط یک خانواده منحنی ها را تعریف می کند. اکنون می بینیم که جایگزینی انجام شده بدون شک سود می برد. به موازات این ، یادداشت می کنیم که در مشکل قبلی ، می توان یک جایگزین مشابه ایجاد کرد تا نه یک "نیمه پارابولا" ، بلکه یک خط مستقیم حرکت کند. بیایید به انجیر برگردیم. 4. بدیهی است ، اگر شکاف راس "نیمه پارابولا" بزرگتر از یک باشد ، یعنی -3 و > 1, , پس معادله ریشه ها هیچ..gif "width \u003d" 89 "height \u003d" 29 "\u003e ندارد و شخصیت یکنواختی متفاوتی دارد.

پاسخ.اگر آن معادله یک ریشه داشته باشد ؛ اگر https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif "width \u003d" 141 "height \u003d" 81 src \u003d "\u003e

راه حل دارد

تصمیم گیریواضح است که خانواده های مستقیم https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif "width \u003d" 61 "height \u003d" 52 "\u003e .. jpg" width \u003d "259" height \u003d "155 "\u003e

مقدار k1با جایگزینی جفت (0؛ 0) در اولین معادله سیستم پیدا کنید. از اینجا ک1 =-1/4. مقدار ک2 با درخواست از سیستم به دست می آوریم

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif "width \u003d" 151 "height \u003d" 47 "\u003e برای ک\u003e 0 یک ریشه دارد. از اینجا k2= 1/4.

پاسخ. .

بیایید یک اظهار نظر کنیم. در برخی از نمونه های این بخش ، ما باید یک مشکل استاندارد را حل کنیم: برای یک خانواده مستقیم ، شیب آن را متناسب با لحظه مماس بودن با منحنی پیدا کنید. بیایید نشان دهیم که چگونه این کار را انجام دهیم نمای کلی با استفاده از مشتق.

اگر یک (x0; y0) \u003d مرکز چرخش ، سپس مختصات (ایکس1; در1) نقاط مماس با منحنی y \u003df (x)با حل سیستم می توان یافت

شیب مورد نظر ک برابر است.

مثال 6... معادله برای چه مقادیری از پارامتر یک راه حل منحصر به فرد دارد؟

تصمیم گیری..gif "width \u003d" 160 "height \u003d" 29 src \u003d "\u003e .. gif" width \u003d "237" height \u003d "33"\u003e ، قوس AB.

تمام پرتوهای عبوری بین OA و OB در یک نقطه قوس AB را قطع می کنند و همچنین در یک نقطه قوس AB OB و OM را قطع می کنند (مماس) .. gif "width \u003d" 16 "height \u003d" 48 src \u003d "\u003e. شیب مماس برابر است با. به راحتی از سیستم خارج می شوید

بنابراین ، خانواده ها را مستقیم کنید https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif "width \u003d" 139 "height \u003d" 52 "\u003e.

پاسخ. .

مثال 7..gif "width \u003d" 160 "height \u003d" 25 src \u003d "\u003e راه حلی دارد؟

تصمیم گیری..gif "width \u003d" 61 "height \u003d" 24 src \u003d "\u003e و کاهش می یابد. نقطه - حداکثر نقطه است.

این تابع یک خانواده از خطوط مستقیم است که از نقطه عبور می کنند https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif "width \u003d" 153 "height \u003d" 28 "\u003e قوس AB است. راست خطوطی که بین خطوط مستقیم OA و OV قرار خواهند گرفت ، شرایط مسئله را برآورده می کنند .. gif "width \u003d" 17 "height \u003d" 47 src \u003d "\u003e.

پاسخ..gif "width \u003d" 15 "height \u003d" 20 "\u003e راه حل وجود ندارد.

1.3 هموطنی فشرده سازی به یک خط مستقیم.

مثال 8سیستم چند راه حل دارد

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif "width \u003d" 41 "height \u003d" 20 src \u003d "\u003e سیستم هیچ راه حلی ندارد. a\u003e0 نمودار معادله اول یک مربع با رئوس است ( و; 0), (0;-و), (-آ;0), (0;و)بنابراین ، اعضای خانواده مربعهای همدل هستند (مرکز همدلی نقطه O است (0؛ 0)).

بیایید به انجیر برگردیم. 8..gif "width \u003d" 80 "height \u003d" 25 "\u003e هر طرف مربع دارای دو نقطه مشترک با یک دایره است ، به این معنی که سیستم دارای هشت راه حل خواهد بود. اگر دایره در مربع نوشته شود ، این چهار راه حل وجود دارد ، بدیهی است که سیستم هیچ راه حلی ندارد.

پاسخ.اگر یک و< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, پس چهار راه حل وجود دارد. اگر ، پس هشت راه حل وجود دارد.

مثال 9... تمام مقادیر پارامتر را پیدا کنید ، برای هر یک از آنها معادله https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif "width \u003d" 181 "height \u003d" 29 src \u003d "\u003e پیدا کنید. در نظر بگیرید تابع ..jpg "width \u003d" 195 "height \u003d" 162 "\u003e

هنگامی که شعاع نیم دایره بزرگتر و کوچکتر باشد ، یعنی تعداد ریشه ها با عدد 8 مطابقت دارد. توجه داشته باشید که وجود دارد.

پاسخ. یا .

1.4. دو خط مستقیم در هواپیما

در اصل ، ایده حل مشکلات این پاراگراف بر اساس سوال مطالعه چیدمان متقابل دو خط مستقیم است: و ... نشان دادن راه حل کلی این مشکل کار دشواری نیست. ما مستقیماً به سراغ نمونه های خاص خاص می رویم ، که از نظر ما به جنبه عمومی موضوع آسیب نمی رساند.

مثال 10برای چه سیستم a و b

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif "width \u003d" 160 "height \u003d" 25 src \u003d "\u003e .. gif" width \u003d "67" height \u003d "24 src \u003d"\u003e ، t..gif "width \u003d" 116 "height \u003d" 55 "\u003e

نابرابری سیستم یک نیم صفحه را با یک مرز تعریف می کند در= 2 برابر- 1 (شکل 10) به راحتی می توان فهمید که سیستم نتیجه در صورت خط مستقیم راه حل دارد آه +توسط \u003d 5مرز نیم صفحه را قطع می کند یا موازی با آن است ، در نیم صفحه قرار دارد در– 2 برابر +1 < 0.

بیایید با پرونده شروع کنیم ب \u003d0. سپس ، به نظر می رسد ، معادله اوه+ توسط \u003d5 یک خط عمودی را مشخص می کند که به وضوح خط را قطع می کند y \u003d2ایکس -1. با این حال ، این جمله درست است فقط در صورتی که ..gif "width \u003d" 43 "height \u003d" 20 src \u003d "\u003e سیستم راه حل هایی داشته باشد..gif" width \u003d "99" height \u003d "48"\u003e. در این حالت ، شرایط تلاقی خطوط مستقیم زمانی حاصل می شود که ، به عنوان مثال. gif "width \u003d" 52 "height \u003d" 48 "\u003e. Gif" width \u003d "41" height \u003d "20"\u003e و ، یا ، و ، یا https: //pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif "width \u003d" 69 "height \u003d" 24 src \u003d "\u003e.

- که در صفحه مختصات xOa عملکرد را رسم می کند.

- خطوط مستقیم را در نظر بگیرید و فواصل محور Oa را انتخاب کنید که این خطوط مستقیم شرایط زیر را برآورده می کنند: الف) نمودار عملکرد https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 را قطع نمی کند. gif "width \u003d" 69 "height \u003d" 24 "\u003e در یک نقطه ، ج) در دو نقطه ، د) در سه نقطه و غیره.

- اگر قرار است مقادیر x را پیدا کنید ، پس x را از طریق a برای هر یک از بازه های یافت شده مقدار a جداگانه بیان می کنیم.

نمای یک پارامتر به عنوان یک متغیر مساوی در روش های گرافیکی منعکس می شود..jpg "width \u003d" 242 "height \u003d" 182 "\u003e

پاسخ. a \u003d 0 یا a \u003d 1.

نتیجه

ما امیدواریم که که مشکلات تجزیه و تحلیل شده به طور متقاعد کننده ای اثربخشی روشهای پیشنهادی را نشان دهند. با این حال ، متأسفانه ، دامنه این روش ها با مشکلاتی که می توان هنگام ساخت یک تصویر گرافیکی مواجه شد ، محدود می شود. آیا واقعاً اینقدر بد است؟ ظاهرا نه. در واقع ، با چنین رویکردی ، ارزش اصلی تعلیمی وظایف با پارامترها به عنوان یک مدل تحقیق مینیاتور تا حد زیادی از بین می رود. با این حال ، ملاحظات فوق خطاب به معلمان است ، و برای متقاضیان ، فرمول کاملاً قابل قبولی است: هدف ، وسایل را توجیه می کند. علاوه بر این ، بگذارید این آزادی را بیان کنیم که در تعداد قابل توجهی از دانشگاه ها ، کامپایلرهای مشکلات رقابتی با پارامترها مسیر را از یک تصویر به یک وضعیت دیگر دنبال می کنند.

در این مشکلات ، امکان حل مشکلات با یک پارامتر مورد بحث قرار گرفت ، که وقتی نمودارهای توابع موجود در دو طرف چپ و راست معادلات یا نابرابری ها بر روی یک صفحه کاغذ نمایش داده می شود ، به روی ما باز می شود. با توجه به اینکه پارامتر می تواند مقادیر دلخواهی را بدست آورد ، یکی یا هر دو نمودار نمایش داده شده به طریقی خاص در صفحه حرکت می کنند. می توان گفت که یک خانواده کامل از نمودارها مربوط به مقادیر مختلف پارامتر بدست می آید.

بر دو جزئیات تأکید شده است.

اول ، ما در مورد یک راه حل "گرافیکی" صحبت نمی کنیم. تمام مقادیر ، مختصات ، ریشه ها دقیقاً ، تحلیلی ، به عنوان راه حل های معادلات مربوطه ، سیستم ها محاسبه می شوند. همین مورد در مورد موارد لمس کردن یا عبور از نمودارها صدق می کند. آنها با چشم تعیین نمی شوند ، بلکه با استفاده از تمیزکننده ها ، مشتقات و سایر ابزارهای موجود در دسترس شما هستند. تصویر فقط یک راه حل ارائه می دهد.

ثانیا ، حتی اگر راهی برای حل مسئله مرتبط با نمودارهای نشان داده شده پیدا نکنید ، درک شما از مسئله به طور قابل توجهی گسترش می یابد ، شما اطلاعاتی را برای خودآزمایی دریافت خواهید کرد و شانس موفقیت به طور قابل توجهی افزایش می یابد. تصور اینکه دقیقاً چه اتفاقی در مسئله می افتد معانی مختلف پارامتر ، ممکن است الگوریتم حل صحیح را پیدا کنید.

بنابراین ، این کلمات را با یک جمله پافشاری پایان می دهیم: اگر در کوچکترین درجه ای باشد کار دشوار توابعی وجود دارد که می توانید نمودارهای آنها را ترسیم کنید ، حتماً این کار را انجام دهید ، پشیمان نخواهید شد.

لیست کتابشناسی

1. Cherkasov ،: کتابچه راهنمای دانش آموزان دبیرستانی و کسانی که وارد دانشگاه می شوند [متن] / ،. - م.: AST-PRESS ، 2001. - 576 ص

2. گورشتاین ، با پارامترهای [متن]: چاپ سوم ، تکمیل شده و اصلاح شده ، /. - م.: ایلکسا ، خارکوف: سالن ورزشی ، 1999. - 336 ص

بگذار f (x ، y) و g (x ، y) - دو عبارت با متغیرها ایکس و در و دامنه ایکس... سپس نابرابری های فرم f (x ، y) > g (x ، y)یا f (x ، y) < g (x ، y) نامیده می شود نابرابری با دو متغیر .

مقدار متغیر x ، y از جمعیت ایکس، که در آن نابرابری به نابرابری عددی واقعی تبدیل می شود ، آن را نامیده می شود تصمیم گیری و نشان داده شده است (x ، y). نابرابری را حل کنید - این به معنای یافتن بسیاری از این جفت ها است.

اگر هر جفت اعداد باشد (x ، y) از مجموعه راه حل ها برای نابرابری ، امتیاز را تعیین کنید M (x ، y)، ما مجموعه ای از نقاط را در صفحه ارائه شده توسط این نابرابری بدست می آوریم. او تماس گرفته شده است نمودار این نابرابری ... نمودار نابرابری معمولاً مساحت هواپیما است.

برای به تصویر کشیدن بسیاری از راه حل های نابرابری f (x ، y) > g (x ، y)، به شرح زیر عمل کنید. ابتدا علامت نابرابری را با علامت مساوی جایگزین کنید و یک خط با معادله پیدا کنید f (x ، y) = g (x ، y)... این خط هواپیما را به چند قسمت تقسیم می کند. پس از آن ، کافی است که در هر قسمت یک امتیاز بگیرید و بررسی کنید که آیا در این مرحله نابرابری وجود دارد f (x ، y) > g (x ، y)... اگر در این مرحله اجرا شود ، در کل بخشی که این نقطه قرار دارد اجرا می شود. با ترکیب چنین قطعاتی ، راه حل های بسیاری به دست ما می رسد.

یک وظیفه. y > ایکس.

تصمیم گیریابتدا علامت نابرابری را با علامت مساوی جایگزین می کنیم و در یک سیستم مختصات مستطیل شکل یک خط درست می کنیم که دارای معادله باشد y = ایکس.

این خط هواپیما را به دو قسمت تقسیم می کند. پس از آن ، در هر قسمت یک امتیاز بگیرید و بررسی کنید که آیا در این مرحله نابرابری وجود دارد y > ایکس.

یک وظیفه. نابرابری گرافیکی را حل کنید
ایکس2 + در2 £ 25

بگذارید دو نابرابری داده شود f1(x ، y) > g1(x ، y) و f2(x ، y) > g2(x ، y).

سیستم های مجموعه ای از نابرابری ها در دو متغیر

سیستم نابرابری ها است خودم پیوند این نابرابری ها راه حل سیستم هر معنایی (x ، y)که هر نابرابری را به نابرابری عددی واقعی تبدیل می کند. راه حل های زیادی سیستم های نابرابری تلاقی مجموعه راه حلهای نابرابری است که یک سیستم معین را تشکیل می دهد.

مجموعه ای از نابرابری ها است خودم تفکیک اینها نابرابری ها با تصمیم مجموع هر معنایی (x ، y)، که حداقل یکی از نابرابری های جمعیت را به یک نابرابری عددی واقعی تبدیل می کند. راه حل های زیادی کلیت اتحادیه مجموعه ای از راه حل ها برای نابرابری ها است که مجموعه ای را تشکیل می دهد.

یک وظیفه. سیستم نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید

تصمیم گیری y \u003d xو ایکس2 + در2 \u003d 25. هر نابرابری را در سیستم حل کنید.

نمودار سیستم مجموعه ای از نقاط صفحه خواهد بود که محل تلاقی (سایه دو برابر) مجموعه راه حل های نابرابری های اول و دوم است.

یک وظیفه. مجموعه ای از نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید

تمرینات خودآموزی

1. نابرابری های گرافیکی را حل کنید: الف) در> 2ایکس؛ ب) در< 2ایکس + 3;

که در) ایکس2 + y2\u003e 9 ؛ د) ایکس2 + y2 £ 4

2. سیستم نابرابری را به صورت گرافیکی حل کنید:

الف) ج)

دانش آموز کلاس 10 Kotovchikhin Yuri

دانش آموزان از کلاس 6 شروع به مطالعه معادلات با ماژول ها می کنند ، آنها روش استاندارد حل را با گسترش ماژول ها در فواصل ثابت بودن علائم عبارات زیر مدولار مطالعه می کنند. من این مبحث خاص را انتخاب کردم زیرا معتقدم که به تحقیق عمیق تر و دقیق تری نیاز دارد ، وظایف موجود در این ماژول مشکلات زیادی را برای دانشجویان ایجاد می کند. که در برنامه آموزشی مدرسه وظایفی وجود دارد که شامل یک ماژول به عنوان وظایف با افزایش پیچیدگی و امتحانات است ، بنابراین ، ما باید آماده دیدار با چنین کاری باشیم.

دانلود:

پیش نمایش:

م educationalسسه آموزشی شهرداری

میانگین مدرسه جامع №5

کارهای تحقیقاتی در مورد موضوع:

« حل جبری و گرافیکی معادلات و نابرابری های حاوی ماژول»

من کار را انجام داده ام:

دانش آموز کلاس 10

کوتوفچیخین یوری

رهبر:

معلم ریاضی

شانتا N.P.

یوریوپینسک

1. مقدمه ………………………………………………………… .3

2. مفاهیم و تعاریف 5 .5

3. اثبات قضایا ………………………………………… ..6

4. راه های حل معادلات حاوی ماژول ... ... ... ... ... 7

4.1 حل با استفاده از وابستگی بین اعداد a و b ، ماژول ها و مربع های آنها …………………………………………………………… 12

4.2 استفاده از تفسیر هندسی ماژول برای حل معادلات ………………………………………………………… ..14

4.3 نمودار ساده ترین توابع حاوی علامت مقدار مطلق.

………………………………………………………………………15

4.4. حل معادلات غیر استاندارد حاوی ماژول ... 16

5. نتیجه گیری .17

6. لیست ادبیات استفاده شده 18 پوند

هدف کار: دانش آموزان از کلاس 6 شروع به مطالعه معادلات با ماژول ها می کنند ، آنها روش استاندارد حل را با گسترش ماژول ها در فواصل ثابت عبارات زیر مدولار مطالعه می کنند. من این مبحث خاص را انتخاب کردم زیرا معتقدم که به تحقیق عمیق تر و دقیق تری نیاز دارد ، وظایف موجود در این ماژول مشکلات زیادی را برای دانشجویان ایجاد می کند. در برنامه درسی مدرسه ، وظایفی وجود دارد که شامل یک ماژول به عنوان وظایف دارای پیچیدگی بیشتر و در امتحانات است ، بنابراین ، ما باید آماده مقابله با چنین وظیفه ای باشیم.

1. مقدمه:

کلمه "ماژول" از کلمه لاتین "modulus" آمده است که به معنی "اندازه گیری" است. این یک کلمه چند معنایی (هم نام) است که معانی بسیاری دارد و نه تنها در ریاضیات ، بلکه در معماری ، فیزیک ، مهندسی ، برنامه نویسی و سایر علوم دقیق نیز کاربرد دارد.

در معماری ، این واحد اندازه گیری اولیه تعیین شده برای یک داده است ساختار معماری و در خدمت بیان چندین نسبت از عناصر تشکیل دهنده آن است.

در فناوری ، این اصطلاحی است که در زمینه های مختلف فناوری به کار می رود و معنای جهانی ندارد و برای نشان دادن ضرایب و مقادیر مختلف ، به عنوان مثال ، مدول درگیری ، مدول الاستیک و غیره استفاده می شود.

مدول حجیم (در فیزیک) نسبت تنش طبیعی ماده به کشیدگی نسبی است.

2. مفاهیم و تعاریف

مدول - مقدار مطلق - یک عدد واقعی A با | A | نشان داده می شود.

برای مطالعه عمیق این موضوع، شما باید با ساده ترین تعاریفی که نیاز دارم آشنا شوید:

معادله برابری حاوی متغیرها است.

معادله با مدول ، معادله ای است که شامل یک متغیر در زیر علامت مطلق (در زیر علامت مدول) است.

حل یک معادله به معنای یافتن همه ریشه های آن است ، یا اثبات اینکه هیچ ریشه ای وجود ندارد.

3 اثبات قضیه

قضیه 1 قدر مطلق عدد واقعی برابر است با بزرگتر از دو عدد a یا -a.

شواهد و مدارک

1. اگر عدد a مثبت باشد ، -a منفی است ، یعنی -a

به عنوان مثال ، عدد 5 مثبت است ، سپس -5 منفی و -5 است

در این حالت | a | \u003d a ، یعنی | a | بزرگتر از دو عدد a و - a مطابقت دارد.

2. اگر a منفی باشد ، -a مثبت است و a

نتیجه. از قضیه چنین برمی آید که | -a | \u003d | a |.

در واقع ، هر دو و برابر با بزرگتر از اعداد -a و a هستند ، به این معنی که آنها برابر با یکدیگر هستند.

قضیه 2. مقدار مطلق هر عدد واقعی a برابر است با حساب ریشه دوم از2 .

در واقع ، اگر پس از آن ، با تعریف مدول یک عدد ، lAl\u003e 0 داشته باشیم از طرف دیگر ، برای A\u003e 0 ، به معنی | a | \u003d √A2

اگر یک 2

این قضیه جایگزینی | a | را امکان پذیر می کند بر

از نظر هندسی | a | به معنای فاصله روی خط مختصات از نقطه نمایانگر عدد a تا مبدا است.

اگر در خط مختصات دو نقطه a و -a وجود داشته باشد ، از صفر با فاصله یکسان ، ماژول های آن برابر هستند.

اگر a \u003d 0 باشد ، در خط مختصات | a | نشان داده شده توسط نقطه 0

4. روش های حل معادلات حاوی یک ماژول.

برای حل معادلات حاوی علامت مقدار مطلق ، بر اساس تعریف مدول عدد و خصوصیات مقدار مطلق عدد خواهیم بود. ما چند نمونه را حل خواهیم کرد راه های مختلف و ببینید کدام یک از روش ها برای حل معادلات حاوی مدول آسان تر است.

مثال 1. بیایید به صورت تحلیلی و گرافیکی معادله | x + 2 |. را حل کنیم \u003d 1

تصمیم گیری

راه حل تحلیلی

راه 1

ما بر اساس تعریف ماژول بحث خواهیم کرد. اگر عبارت زیر مدول غیر منفی باشد ، یعنی x + 2 ≥ 0 ، آنگاه با علامت مثبت از علامت مدول "بیرون می آید" و معادله به شکل زیر در می آید: x + 2 \u003d 1 اگر مقادیر عبارت زیر علامت مدول منفی است ، بنابراین ، با تعریف ، برابر خواهد بود: یا x + 2 \u003d -1

بنابراین ، ما x + 2 \u003d 1 یا x + 2 \u003d -1 بدست می آوریم. با حل معادلات بدست آمده: X + 2 \u003d 1 یا X + 2 + -1

X \u003d -1 X \u003d 3

پاسخ: -3؛ -1.

حال می توان نتیجه گرفت: اگر مدول برخی از عبارات برابر با یک عدد مثبت واقعی a باشد ، عبارت زیر مدول یا a یا -a است.

راه حل گرافیکی

یکی از راه های حل معادلات حاوی ماژول ، روش گرافیکی است. ماهیت این روش ساخت نمودارهای این توابع است. در صورت تلاقی نمودارها ، نقاط تلاقی این نمودارها ریشه معادله ما خواهند بود. اگر نمودارها با هم تلاقی نداشته باشند ، می توان نتیجه گرفت که این معادله ریشه ندارد. این روش احتمالاً کمتر از بقیه برای حل معادلات حاوی یک ماژول استفاده می شود ، زیرا اولاً ، زمان زیادی طول می کشد و همیشه منطقی نیست ، و ثانیا ، نتایج بدست آمده هنگام ساخت نمودارها همیشه دقیق نیستند.

روش دیگر برای حل معادلات حاوی مدول تقسیم خط عدد به فواصل زمانی است. در این حالت ، ما باید خط اعداد را تقسیم کنیم تا طبق تعریف مدول ، علامت مقدار مطلق در این بازه ها برداشته شود. سپس ، برای هر یک از فواصل زمانی ، باید این معادله را حل کنیم و در مورد ریشه های حاصل شده نتیجه بگیریم (چه آنها با فاصله ما مطابقت داشته باشند یا خیر). ریشه ها شکاف ها را برآورده می کنند و پاسخ نهایی را می دهند.

راه 2

بگذارید برای چه مقادیر x تعیین کنیم ، مدول صفر است: | X + 2 | \u003d 0 ، X \u003d 2

دو بازه می گیریم که در هر کدام معادله را حل می کنیم:

ما دو سیستم مخلوط داریم:

(1) X + 2 0

X-2 \u003d 1 X + 2 \u003d 1

بیایید هر سیستم را حل کنیم:

X \u003d -3 X \u003d -1

پاسخ: -3؛ -1.

راه حل گرافیکی

y \u003d | X + 2 | ، y \u003d 1.

راه حل گرافیکی

برای حل معادله به صورت گرافیکی ، باید نمودار توابع و

برای رسم نمودار تابع ، نمودار توابع رسم خواهیم کرد - این تابعی است که محور OX و محور OY را در نقاط قطع می کند.

تجزیه نقاط تقاطع نمودارهای توابع به معادله راه حل می دهد.

نمودار مستقیم تابع y \u003d 1 با نمودار تابع y \u003d | x + 2 | در نقاط با مختصات (-3؛ 1) و (-1؛ 1) ، بنابراین ، راه حل های معادله عبارت از نقاط هستند:

x \u003d -3 ، x \u003d -1

پاسخ: -3؛ -1

مثال 2. از نظر تحلیلی و گرافیکی معادله 1 + | x | را حل کنید \u003d 0.5

تصمیم:

راه حل تحلیلی

ما معادله را تبدیل می کنیم: 1 + | x | \u003d 0.5

| x | \u003d 0.5-1

| x | \u003d -0.5

واضح است که در این حالت معادله هیچ راه حلی ندارد ، زیرا طبق تعریف ، مدول همیشه غیر منفی است.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

راه حل گرافیکی

بیایید معادله را تبدیل کنیم: 1 + | x | \u003d 0.5

| x | \u003d 0.5-1

| x | \u003d -0.5

نمودار عملکرد تابش ها است - نیمسازهای زاویه مختصات 1 و 2. نمودار تابع یک خط مستقیم به موازات محور OX و عبور از نقطه -0.5 روی محور OY است.

نمودارها با هم تلاقی ندارند ، به این معنی که معادله هیچ راه حلی ندارد.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

مثال 3. به صورت تحلیلی و گرافیکی معادله | -x + 2 |. را حل کنید \u003d 2x + 1.

تصمیم:

راه حل تحلیلی

راه 1

ابتدا باید دامنه مقادیر معتبر متغیر را تنظیم کنید. یک سوال طبیعی مطرح می شود که چرا در نمونه های قبلی نیازی به این کار نبود ، اما اکنون این مسئله بوجود آمده است.

واقعیت این است که در این مثال ، در سمت چپ معادله ، مدول برخی از عبارات و در سمت راست یک عدد نیست ، بلکه یک عبارت با یک متغیر است - این شرایط مهم است که این مثال را از قبلی ها

از آنجا که در سمت چپ یک ماژول وجود دارد ، و در سمت راست ، یک عبارت حاوی یک متغیر ، لازم است که این عبارت غیر منفی باشد ، به عنوان مثال ، دامنه قابل قبول

مقادیر ماژول

اکنون می توانیم همانند مثال 1 ، وقتی در سمت راست برابری وجود داشت ، استدلال کنیم عدد مثبت... ما دو سیستم مخلوط داریم:

(1) -X + 2≥0 و (2) -X + 2

X + 2 \u003d 2X + 1 ؛ X-2 \u003d 2X + 1

بیایید هر سیستم را حل کنیم:

(1) در این بازه گنجانده شده و ریشه معادله است.

X≤2

X \u003d

(2) X\u003e 2

X \u003d -3

X \u003d -3 در این بازه گنجانده نشده و ریشه معادله نیست.

پاسخ:

4.1 حل با استفاده از وابستگی بین اعداد a و b ، مدول های آنها و مربع های این اعداد.

علاوه بر روشهایی که در بالا ارائه کردم ، معادل معینی بین اعداد و واحدهای اعداد داده و همچنین بین مربعها و واحدهای اعداد داده وجود دارد:

| a | \u003d | b | a \u003d b یا a \u003d -b

A2 \u003d b2 a \u003d b یا a \u003d -b

به نوبه خود از این امر بدست می آوریم

| a | \u003d | b | a 2 \u003d b 2

مثال 4. معادله را حل کنید | x + 1 | \u003d | 2x - 5 | به دو روش مختلف

1. با در نظر گرفتن رابطه (1) ، به دست می آوریم:

X + 1 \u003d 2x - 5 یا x + 1 \u003d -2x + 5

x - 2x \u003d -5 - 1 x + 2x \u003d 5 - 1

X \u003d -6 | (: 1) 3x \u003d 4

X \u003d 6 x \u003d 11/3

ریشه معادله اول x \u003d 6 ، ریشه معادله دوم x \u003d 11/3 است

بنابراین ، ریشه های معادله اصلی x1 \u003d 6 ، x 2 \u003d 11/3

2. به موجب رابطه (2) ، به دست می آوریم

(x + 1) 2 \u003d (2x - 5) 2 یا x2 + 2x + 1 \u003d 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 \u003d 0

3x2 + 22x - 24 \u003d 0 | (: - 1)

3x2 - 22x + 24 \u003d 0

D / 4 \u003d 121 - 3 24 \u003d 121 - 72 \u003d 49\u003e 0 \u003d\u003d\u003e این معادله دارای 2 ریشه متفاوت است.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

همانطور که راه حل نشان می دهد ، ریشه های این معادله نیز اعداد 11/3 و 6 هستند

جواب: x 1 \u003d 6 ، x 2 \u003d 11/3

مثال 5. بیایید معادله (2x + 3) را حل کنیم2 \u003d (x - 1) 2

با در نظر گرفتن رابطه (2) ، به دست می آوریم که | 2x + 3 | \u003d | x - 1 | ، از آنجا ، با پیروی از مدل مثال قبلی (و با توجه به رابطه (1)):

2x + 3 \u003d x - 1 یا 2x + 3 \u003d -x + 1

2x - x \u003d -1 - 3 2x + x \u003d 1 - 3

X \u003d -4 x \u003d -0 ، (6)

بنابراین ، ریشه های معادله x1 \u003d -4 و x2 \u003d -0 ، (6)

پاسخ: x1 \u003d -4 ، x 2 \u003d 0 ، (6)

مثال 6. بیایید معادله | x - 6 | \u003d | x2 - 5x + 9 | را حل کنیم

با استفاده از نسبت ، به دست می آوریم:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 یا x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9 \u003d 0 | (-1) x - 6 \u003d -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 \u003d 0 x2 - 4x + 3 \u003d 0

D \u003d 36 - 4 15 \u003d 36 - 60 \u003d -24 D \u003d 16 - 4 3 \u003d 4\u003e 0 \u003d\u003d\u003e 2 p.c.

\u003d\u003d\u003e بدون ریشه است.

X 1 \u003d (4- 2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

بررسی کنید: | 1 - 6 | \u003d | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | \u003d | 32 - 5 3 + 9 |

5 \u003d 5 (من) 3 \u003d | 9 - 15 + 9 |

3 \u003d 3 (و)

پاسخ: x 1 \u003d 1؛ x 2 \u003d 3

4.2 استفاده از تفسیر هندسی ماژول برای حل معادلات.

معنای هندسی مدول تفاوت در مقادیر ، فاصله بین آنها است. به عنوان مثال ، معنای هندسی عبارت | x - a | - طول قطعه محور مختصاتاتصال نقاط با abscissas a و x. ترجمه یک مسئله جبری به یک زبان هندسی اغلب از راه حل های دست و پا گیر جلوگیری می کند.

مثال 7 بیایید معادله | x - 1 | را حل کنیم + | x - 2 | \u003d 1 با استفاده از تفسیر هندسی ماژول.

ما به شرح زیر بحث خواهیم کرد: بر اساس تفسیر هندسی ماژول ، سمت چپ این معادله مجموع فواصل از نقطه ای از abscissas x تا دو نقطه ثابت با abscissas 1 و 2 است. سپس واضح است که تمام نقاط دارای abscissas از یک بخش دارای ویژگی مورد نیاز هستند ، اما نقاط واقع در خارج از این بخش ندارند. از این رو پاسخ: مجموعه راه حل های معادله یک بخش است.

پاسخ:

مثال 8 بیایید معادله | x - 1 | را حل کنیم - | x - 2 | \u003d 1 1 با استفاده از تفسیر هندسی ماژول.

ما به طور مثال مشابه مثال قبلی استدلال خواهیم کرد ، در حالی که به دست می آوریم که تفاوت در فاصله نقاط با ابسیساس 1 و 2 فقط برای نقاط واقع در محور مختصات در سمت راست عدد 2 برابر است با یک ، بنابراین ، راه حل این معادله قطعه ای بین نقاط 1 و 2 نیست و یک پرتو از نقطه 2 خارج می شود و در جهت مثبت محور OX هدایت می شود.

پاسخ:)