محور جهت است. از این رو ، برآمدگی روی یک محور یا یک خط مستقیم یکسان تلقی می شود. طرح ریزی می تواند جبری و هندسی باشد. از لحاظ هندسی ، فرافکنی بردار به یک محور به عنوان بردار و از نظر جبری ، یک عدد قابل درک است. یعنی مفاهیم برآمدگی بردار بر روی یک محور و برآورد عددی بردار بر روی محور اعمال می شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1

اگر یک محور L و یک بردار غیر صفر A B have داشته باشیم ، می توانیم یک بردار A 1 B 1 ⇀ بسازیم ، که پیش بینی های نقاط A 1 و B 1 آن را نشان می دهد.

A 1 B → 1 برآمدگی بردار A B → به L خواهد بود.

تعریف 1

برآمدگی بردار بر روی محور بردار نامیده می شود ، ابتدا و انتهای آن برآمدگی آغاز و انتهای بردار داده شده است. n p L A B → custom معمول است که برآمدگی A B → را به L نشان می دهد. برای ساخت یک طرح ریزی روی L ، عمودها به L کاهش می یابد.

مثال 1

نمونه ای از برآمدگی بر روی یک محور.

بر صفحه مختصات در مورد x y نقطه M 1 (x 1 ، y 1) آورده شده است. برای تصویر برداری از شعاع بردار از نقطه M 1 ، لازم است پیش بینی هایی روی O x و O y ساخته شود. مختصات بردارها (x 1 ، 0) و (0، y 1) را بدست می آوریم.

اگر یک در سوال در مورد طرح ریزی a → به غیر صفر b → یا طرح ریزی a a به جهت b → ، سپس منظور ما برآمدگی → به محوری است که جهت b which با آن منطبق است. برآورد a → بر روی خط تعریف شده توسط b → دارای علامت n p b → a → است. شناخته شده است که وقتی زاویه بین a → و b is باشد ، می توانیم n p b → a → → و b → را جهت دار بدانیم. در حالتی که زاویه مبهم باشد ، n p b → a → → و b → به طور مخالف کارگردانی می شوند. در وضعیت عمود a → و b → ، و a zero صفر است ، طرح ریزی a a در جهت b a یک بردار صفر است.

ویژگی عددی برآمدگی بردار بر روی محور ، برآورد عددی بردار بر روی محور مشخص شده است.

تعریف 2

فرافکنی عددی بردار بر روی یک محور عددی است که برابر است با حاصلضرب طول یک بردار داده شده توسط کسینوس زاویه بین این بردار و بردار که جهت محور را تعیین می کند.

طرح عددی A B → روی L n p L A B → و a → روی b → - n p b → a den نشان داده می شود.

بر اساس فرمول ، npb → a → \u003d a → cos a → ، b → ^ بدست می آوریم ، از آنجا a → طول بردار a → ، a ⇀ ، b → ^ زاویه بین بردارهای a → و b است →.

فرمول محاسبه فرافکنی عددی را بدست می آوریم: n p b → a → \u003d a → · cos a →، b → ^. برای طول های شناخته شده a → و b → و زاویه بین آنها قابل استفاده است. فرمول برای مختصات شناخته شده a → و b applicable قابل استفاده است ، اما یک فرم ساده وجود دارد.

مثال 2

برآورد عددی a → را در یک خط مستقیم در جهت b → به طول a → برابر با 8 و یک زاویه 60 درجه بین آنها پیدا کنید. با فرضیه ، ما ⇀ \u003d 8 ، a ⇀ ، b → ^ \u003d 60 ° داریم. از این رو ، ما جایگزین می کنیم مقادیر عددی به فرمول n p b ⇀ a → \u003d a → cos a → ، b → ^ \u003d 8 cos 60 ° \u003d 8 1 2 \u003d 4.

پاسخ: 4.

با توجه به cos (a →، b → ^) \u003d a ⇀، b → a → b → ، ما → ، b → را به عنوان محصول مقیاسی a → و b have داریم. به دنبال فرمول n p b → a → \u003d a → cos a ⇀، b → ^ ، می توانیم پیش بینی عددی a → را که در امتداد بردار b → قرار دارد پیدا کنیم و n p b → a → \u003d a → ، b → b get بدست آوریم. فرمول معادل تعریفی است که در ابتدای پاراگراف نشان داده شده است.

تعریف 3

فرافکنی عددی بردار a → به محور همزمان در جهت با b the نسبت محصول مقیاسی بردارهای a → و b → به طول b است. فرمول n p b → a → \u003d a → ، b → b → برای یافتن فرافکنی عددی a → در یک خط مستقیم که در جهت با b iding منطبق است ، با مختصات → و b applicable قابل استفاده است.

مثال 3

B → \u003d (- 3 ، 4) آورده شده است. طرح عددی a → \u003d (1 ، 7) را روی L پیدا کنید.

تصمیم گیری

در صفحه مختصات npb → a → \u003d a → ، b → b → دارای فرم npb → a → \u003d a → ، b → b → \u003d ax bx + ay bybx 2 + توسط 2 ، برای a → \u003d (ax، ay ) و b → \u003d bx ، توسط. برای یافتن برآورد عددی بردار a → بر روی محور L ، شما نیاز دارید: np L a → \u003d npb → a → \u003d a → ، b → b → \u003d ax bx + ay bybx 2 + by 2 \u003d 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 \u003d 5.

پاسخ:5.

مثال 4

پیش بینی a → را روی L پیدا کنید ، همزمان با جهت b → ، جایی که → \u003d - 2 ، 3 ، 1 و b → \u003d وجود دارد (3 ، - 2 ، 6). یک فضای سه بعدی داده می شود.

تصمیم گیری

با توجه به a → \u003d a x، a y، a z و b → \u003d b x، b y، b z ، ما محصول اسکالر را محاسبه می کنیم: a ⇀، b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z. طول b by با فرمول b → \u003d b x 2 + b y 2 + b z 2 پیدا می شود. نتیجه این است که فرمول تعیین عدد عددی a → خواهد بود: n p b → a ⇀ \u003d a →، b → b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.

مقادیر عددی را جایگزین کنید: np L a → \u003d npb → a → \u003d (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 \u003d - 6 49 \u003d - 6 7 ...

پاسخ: - 6 7.

ارتباط بین → در L و طول برآمدگی a در L را در نظر بگیرید. محور L را بکشید ، یک → و b → را از یک نقطه به L اضافه کنید ، پس از آن یک خط عمود از انتهای a → به L و طرح ریزی به L رسم می کنیم. 5 تغییر تصویر وجود دارد:

اولینموردی که a → \u003d npb → a → → به معنی a → \u003d npb → a → → است ، بنابراین npb a → \u003d a → cos (a، → b → ^) \u003d a → cos 0 ° \u003d a → \u003d npb → a → →.

دومینمورد به معنای استفاده از n p b → a → ⇀ \u003d a → cos a → ، b → است ، بنابراین ، n p b → a → \u003d a → cos (a → ، b →) ^ \u003d n p b → a → →.

سومینمورد توضیح می دهد که برای npb → a → → \u003d 0 → npb دریافت می کنیم ⇀ a → \u003d a → cos (a →، b → ^) \u003d a → cos 90 ° \u003d 0 ، سپس npb → a → → \u003d 0 و npb → a → \u003d 0 \u003d npb → a →.

چهارممورد نشان می دهد npb → a → → \u003d a → cos (180 درجه - a → ، b → ^) \u003d - a → cos (a → ، b → ^) ، آن را به دنبال npb → a → \u003d a → cos (a → ، b → ^) \u003d - npb → a →.

پنجممورد نشان می دهد → \u003d npb → a → → ، که به معنی a → \u003d npb → a → → است ، از این رو npb → a → \u003d a → cos a → ، b → ^ \u003d a → cos 180 ° \u003d - a → \u003d - npb → a.

تعریف 4

برآورد عددی بردار a → به محور L ، که مانند b directed کارگردانی می شود ، معنای زیر را دارد:

• طول بردار a a روی L به شرطی که زاویه بین a → و b less کمتر از 90 درجه یا برابر 0 باشد: npb → a → \u003d npb → a → → با شرط 0 ≤ (a → ، ب) ^< 90 ° ;
• در شرایط عمود a → و b zero صفر است: n p b → a → \u003d 0 ، زمانی که (a → ، b → ^) \u003d 90 درجه ؛
• طول برآمدگی a → در L ، ضرب در -1 ، هنگامی که یک زاویه مبهم یا باز شده بردار a → و b is وجود دارد: n p b → a → \u003d - n p b → a → → با شرایط 90 درجه< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

مثال 5

با توجه به طول برآورد a → به L ، برابر با 2. پیش بینی عددی را پیدا کنید → با فرض اینکه زاویه 5 π 6 رادیان باشد.

تصمیم گیری

شرط نشان می دهد که این زاویه مبهم است: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

پاسخ: - 2.

مثال 6

یک صفحه O x y z با طول بردار a → برابر با 6 3 ، b → (- 2 ، 1 ، 2) با زاویه 30 درجه داده می شود. مختصات فرافکنی a → را در محور L پیدا کنید.

تصمیم گیری

ابتدا ، برآورد عددی بردار a → را محاسبه می کنیم: n p L a → \u003d n p b → a → \u003d a → cos (a →، b →) ^ \u003d 6 3 cos 30 ° \u003d 6 3 3 2 \u003d 9.

با توجه به شرایط ، زاویه حاد است ، سپس طرح عددی a → \u003d طول برآمدگی بردار a →: n p L a → \u003d n p L a → → \u003d 9. این مورد نشان می دهد که بردارهای n p L a → → و b c جهت دار هستند ، بنابراین یک عدد t وجود دارد که برابری برای آنها درست است: n p L a → → \u003d t · b. از این رو می بینیم که np L a → → \u003d tb → ، به این معنی که می توانیم مقدار پارامتر t را پیدا کنیم: t \u003d np L a → → b → \u003d 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 \u003d 9 9 \u003d 3

سپس np L a → → \u003d 3 b → با مختصات فرافکنی بردار a → در محور L برابر با b → \u003d (- 2 ، 1 ، 2) ، جایی که لازم است مقادیر را ضرب کنید توسط 3. ما np L a → → \u003d (- 6 ، 3 ، 6) داریم. پاسخ: (- 6 ، 3 ، 6).

لازم است اطلاعات قبلی که قبلاً در مورد وضعیت هم خویی ناقلین مطالعه شده است ، تکرار شود.

اگر در متن خطایی مشاهده کردید ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

بگذارید دو بردار در فضا داده شود. از یک نقطه خودسرانه کنار بگذارید ای بردارها و. گوشه بین بردارها است و کوچکترین زاویه نامیده می شود. مشخص شده .

محور را در نظر بگیرید من و یک بردار واحد بر روی آن قرار دهید (یعنی برشی که طول آن برابر با یک است).

زاویه بین بردار و محور من زاویه بین بردارها و.

پس بگذار من - برخی از محورها و - بردار.

بگذارید با مشخص کنیم A 1 و ب 1 پیش بینی محور منبه ترتیب امتیاز آ و ب... بیایید اینگونه وانمود کنیم A 1 مختصاتی دارد x 1، و ب 1 - هماهنگ كردن x 2 در محور من.

سپس فرافکنی بردارها در هر محور من تفاوت نامیده می شود x 1 – x 2 بین مختصات پیش بینی پایان و ابتدای بردار در این محور.

طرح برداری بر روی محور من نشان خواهد داد

واضح است که اگر زاویه بین بردار و محور باشد من تیز پس x 2> x 1، و فرافکنی x 2 – x 1\u003e 0 اگر این زاویه مبهم باشد ، پس x 2< x 1 و فرافکنی x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси منسپس x 2= x 1 و x 2– x 1=0.

بنابراین ، برآمدگی بردار بر روی محور من طول قطعه است A 1 B 1، با علامت خاصی گرفته شده است. بنابراین ، برآمدگی بردار بر روی یک محور یک عدد یا مقیاس است.

فرافکنی یک بردار به دیگری به همین ترتیب تعریف شده است. در این حالت ، پیش بینی انتهای بردار داده شده روی خطی که بردار دوم بر روی آن قرار دارد ، پیدا می شود.

بیایید برخی از موارد اصلی را در نظر بگیریم خواص فرافکنی.

سیستم های بردار مستقل خطی و مستقل خطی

بیایید چندین بردار را در نظر بگیریم.

ترکیب خطی از این بردارها به هر بردار فرم گفته می شود ، جایی که تعدادی از آنها وجود دارد. اعداد را ضرایب ترکیب خطی می نامند. آنها همچنین می گویند که در این حالت به صورت خطی از نظر این بردارها بیان می شود ، یعنی با استفاده از اعمال خطی از آنها به دست می آید.

به عنوان مثال ، اگر سه بردار داده شود ، می توان بردارها را به عنوان ترکیب خطی آنها در نظر گرفت:

اگر بردار به عنوان ترکیبی خطی از برخی بردارها ارائه شود ، آنها می گویند که آن را تجزیه شده در امتداد این بردارها

بردارها نامیده می شوند وابسته خطیاگر اعدادی وجود داشته باشد ، همه برابر با صفر نیستند ، به طوری که ... واضح است که بردارهای داده شده به صورت خطی وابسته خواهند بود اگر هر یک از این بردارها به صورت بقیه به صورت خطی بیان شود.

در غیر این صورت ، یعنی وقتی که نسبت فقط وقتی انجام می شود ، به این بردارها گفته می شود خطی مستقل.

قضیه 1 هر دو بردار به صورت خطی وابسته هستند و فقط در صورت خطی بودن.

شواهد و مدارک:

قضیه زیر را می توان به طور مشابه اثبات کرد.

قضیه 2 سه بردار به صورت خطی وابسته هستند و فقط در صورت همسطح بودن.

شواهد و مدارک.

اساس

مبانی مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی غیر صفر نامیده می شود. عناصر مبنا مشخص می شوند.

در بخش قبلی ، دیدیم که دو بردار غیر هم خط در صفحه به طور خطی مستقل هستند. بنابراین ، طبق قضیه 1 ، از بخش قبلی ، هر دو بردار غیرخطی در این صفحه یک اساس در یک صفحه هستند.

به طور مشابه ، هر سه بردار غیر مسطح به طور خطی در فضا مستقل هستند. در نتیجه ، یک مبنا در فضا سه بردار غیرهمسطح است.

جمله زیر درست است.

قضیه بگذارید مبانی در فضا ارائه شود. سپس هر بردار می تواند به عنوان یک ترکیب خطی نشان داده شود جایی که ایکس, y, z - برخی از اعداد. این تجزیه بی نظیر است.

شواهد و مدارک.

بنابراین ، مبنا این امکان را فراهم می آورد که به طور صریح هر بردار را با یک سه گانه اعداد مرتبط کنیم - ضرایب گسترش این بردار از نظر بردارهای پایه:. مکالمه نیز برای هر سه گانه اعداد درست است x ، y ، z با استفاده از مبنا ، اگر ترکیبی خطی درست کنید می توانید با یک بردار مطابقت داشته باشید .

اگر اساس و ، سپس اعداد x ، y ، z نامیده می شوند مختصات بردار در مبنای داده شده مختصات برداری نشان می دهد.

سیستم هماهنگ دکارتین

بگذارید یک امتیاز در فضا داده شود ای و سه بردار غیرهمسطح.

سیستم مختصات دکارتی در فضا (در هواپیما) به مجموعه ای از یک نقطه و اساس گفته می شود ، یعنی مجموعه ای از یک نقطه و سه بردار غیر همسطح (2 بردار غیر هم خطی) خارج شده از این نقطه.

نقطه ای مبدا نامیده می شود؛ خطوط مستقیمی که از مبدا در جهت بردارهای پایه عبور می کنند ، محور مختصات نامیده می شوند - محورهای ابسیسا ، مختصات و کاربردی. هواپیماهایی که از محورهای مختصات عبور می کنند صفحات مختصات نامیده می شوند.

یک نقطه دلخواه را در سیستم مختصات انتخاب شده در نظر بگیرید م... بیایید مفهوم مختصات نقطه را معرفی کنیم م... بردار اتصال مبدا به نقطه م... نامیده می شود بردار شعاع نکته ها م.

یک بردار در مبنای انتخاب شده می تواند با سه عدد همراه باشد - مختصات آن: .

مختصات بردار شعاع نقطه ای م... نامیده می شوند مختصات نقطه M... در سیستم مختصات در نظر گرفته شده M (x ، y ، z)... مختصات اول ابسیسا نامیده می شود ، دوم مختصات و سومین مورد اعمال شده است.

مختصات دکارتی در هواپیما به روشی مشابه تعیین می شود. در اینجا نقطه فقط دو مختصات دارد - ابسسیسا و مختصات.

به راحتی می توان فهمید که برای یک سیستم مختصات معین ، هر نقطه مختصات خاصی دارد. از طرف دیگر ، برای هر سه گانه اعداد ، یک نقطه واحد وجود دارد که این اعداد را مختصات دارد.

اگر بردارهایی که در سیستم مختصات انتخاب شده به عنوان پایه در نظر گرفته می شوند دارای طول واحد و به صورت جفتی عمود هستند ، سپس سیستم مختصات نامیده می شود مستطیل دکارتی.

نشان دادن آن آسان است.

کسینوس های جهت یک بردار جهت آن را کاملاً مشخص می کنند ، اما در مورد طول آن چیزی نمی گویند.

و بر روی یک محور یا بردار دیگر مفاهیمی از طرح هندسی و طرح عددی (یا جبری) آن وجود دارد. نتیجه یک برآورد هندسی یک بردار خواهد بود ، و نتیجه یک طرح جبری یک عدد واقعی غیر منفی است. اما قبل از رفتن به این مفاهیم ، بیایید اطلاعات لازم را بخاطر بسپاریم.

اطلاعات اولیه

مفهوم اساسی مفهوم خود بردار است. به منظور معرفی تعریف بردار هندسی ، بیایید به یاد بیاوریم که یک بخش چیست. اجازه دهید تعریف زیر را معرفی کنیم.

تعریف 1

قطعه بخشی از یک خط مستقیم است که دارای دو مرز به شکل نقاط است.

یک بخش می تواند 2 جهت داشته باشد. برای نشان دادن جهت ، یکی از مرزهای قطعه را ابتدا و مرز دیگر را - انتهای آن می نامیم. جهت از ابتدا تا انتهای قسمت مشخص شده است.

تعریف 2

بردار یا قطعه کارگردانی قطعه ای است که مشخص می شود کدام یک از مرزهای قطعه آغاز و کدام یک پایان آن است.

تعیین: دو حرف: $ \\ overline (AB) $ - (جایی که $ A $ شروع آن و $ B $ پایان آن است).

یک حرف کوچک: $ \\ overline (الف) $ (شکل 1).

بیایید چند مفهوم دیگر مربوط به مفهوم بردار معرفی کنیم.

تعریف 3

اگر دو بردار غیر صفر روی یک خط مستقیم یا روی خطوط مستقیم به موازات یکدیگر قرار بگیرند ، خطی نامیده می شوند (شکل 2).

تعریف 4

اگر دو بردار غیر صفر را بردارند ، اگر دو شرط را برآورده کنند:

1. این بردارها خطی هستند.
2. اگر آنها در یک جهت قرار بگیرند (شکل 3).

تعیین: $ \\ overline (a) \\ overline (b) $

تعریف 5

اگر دو بردار غیر صفر را برطرف کنند ، اگر دو شرط را برآورده کنند ، نامیده می شوند:

1. این بردارها خطی هستند.
2. اگر آنها به جهات مختلف هدایت شوند (شکل 4).

تعیین: $ \\ overline (a) \\ overline (d) $

تعریف 6

طول بردار $ \\ overline (a) $ طول بخش $ a $ است.

علامت گذاری: $ | \\ overline (الف) | $

اجازه دهید به تعریف برابری دو بردار بپردازیم

تعریف 7

اگر دو بردار راضی باشند اگر دو شرط را داشته باشند برابر می شوند:

1. آنها به طور مشترک کارگردانی می شوند.
2. طول آنها برابر است (شکل 5).

فرافکنی هندسی

همانطور که قبلاً گفتیم ، نتیجه یک برآمد هندسی یک بردار خواهد بود.

تعریف 8

برآورد هندسی بردار $ \\ overline (AB) $ بر روی یک محور برشی است که به صورت زیر بدست می آید: مبدأ بردار $ A $ بر روی این محور پیش بینی می شود. ما نقطه $ A "$ - ابتدای بردار مورد نظر را بدست می آوریم. نقطه انتهایی بردار $ B $ روی این محور قرار می گیرد. نقطه $ B" $ - انتهای بردار مورد نظر را می گیریم. بردار $ \\ overline (A "B") $ بردار مورد نظر خواهد بود.

مشکل را در نظر بگیرید:

مثال 1

یک طرح هندسی $ \\ overline (AB) $ روی محور $ l $ بسازید ، که در شکل 6 نشان داده شده است.

از نقطه $ A $ عمود بر محور $ l $ رسم کنید ، نقطه $ A "$ را روی آن بگیرید. بعد ، از نقطه $ B $ عمود بر محور $ l $ رسم کنید ، نقطه $ B را بدست آورید" دلار روی آن (شکل 7).

طراحی خطوط و سطوح مختلف در صفحه به شما امکان می دهد نمایشی تصویری از اشیا را به صورت نقاشی ایجاد کنید. ما طرح ریزی مستطیل شکل را در نظر خواهیم گرفت ، که در آن پرتوهای طرح ریزی عمود بر صفحه طرح ریزی هستند. پروژه بردار در هواپیما بردار را در نظر بگیرید (شکل 3.22) ، محصور شده بین عمودها ، از ابتدا و انتهای آن حذف شده است.

شکل: 3.23 طرح برداری از بردار بر روی محور.

در جبر برداري ، اغلب لازم است كه برداري بر روي AXIS ، يعني روي يك خط مستقيم با \u200b\u200bجهت گيري مشخص ، طراحي شود. اگر بردار و محور L در یک صفحه قرار بگیرند ، این طراحی آسان است (شکل 3.23). با این وجود ، در صورت عدم تحقق این شرایط ، کار دشوارتر می شود. بیایید یک بردار بر روی یک محور بسازیم وقتی که بردار و محور در یک صفحه قرار نگیرند (شکل 3.24).

شکل: 3.24 طرح برداری از یک محور
به طور کلی

از طریق انتهای بردار ، صفحاتی را عمود بر خط مستقیم رسم می کنیم. در تقاطع با این خط مستقیم ، این صفحات دو نقطه A1 و B1 را تعریف می کنند - بردار ، که ما آن را بردار فراوانی این بردار می نامیم. اگر بردار در همان صفحه با محور قرار گیرد ، مسئله یافتن برآمدگی بردار راحت تر قابل حل است ، زیرا بردارهای آزاد در جبر برداری در نظر گرفته شده اند.

همراه با طرح برداری بردار ، پروژه SCALAR نیز وجود دارد ، که برابر است با مدول طرح برداری برداری در صورت همزمانی برآمدگی برداری با جهت گیری محور L ، و برابر است با مقدار مخالف اگر طرح برداری برداری و L محورها دارای جهت گیری های مخالف هستند. طرح ریزی اسکالر با این موارد مشخص می شود:

پیش بینی های برداری و اسکالر در عمل همیشه از نظر اصطلاحات کاملاً جدا نیستند. معمولاً از اصطلاح "برآمدگی بردار" استفاده می شود ، به معنای برآمدگی بردار مقیاسی. هنگام تصمیم گیری ، لازم است که به وضوح بین این مفاهیم تمایز قائل شوید. طبق سنت مستقر ، ما از اصطلاحات "برآمدگی بردار" ، دلالت بر طرح ریزی مقیاس ، و "برآمدگی بردار" - مطابق با معنی ثابت استفاده خواهیم کرد.

بگذارید قضیه ای را اثبات کنیم که امکان محاسبه برآمدگی مقیاسی بردار داده شده را فراهم می کند.

تئوری 5. برآمدگی یک بردار به محور L برابر است با حاصلضرب مدول آن توسط کسینوس زاویه بین بردار و محور ، یعنی

(3.5)

شکل: 3.25 پیدا کردن بردار و مقیاس
پیش بینی های برداری در محور L
(و محور L به طور مساوی است).

شواهد و مدارک. بیایید برای پیدا کردن زاویه از پیش ساخت استفاده کنیم Gبین بردار و محور L. برای این کار ، یک خط مستقیم MN ، موازی با محور L و عبور از نقطه O - ابتدای بردار (شکل 3.25) درست کنید. زاویه زاویه مورد نظر خواهد بود. بیایید دو صفحه را از طریق نقاط A و O عمود بر محور L رسم کنیم.

از آنجا که محور L و خط MN موازی هستند.

بگذارید دو مورد از موقعیت متقابل بردار و محور L را جدا کنیم.

1. اجازه دهید برآمدگی بردار و محور L یکسان باشند (شکل 3.25). سپس طرح ریزی مربوط به اسکالر .

2. Let و L در جهات مختلفی قرار دارند (شکل 3.26).

شکل: 26/3 یافتن بردارها و برآمدگی های اسکالر یک بردار بر روی محور L (و محور L در جهت مخالف قرار دارند).

بنابراین ، در هر دو حالت گزاره قضیه درست است.

نظریه 6. اگر منشا of بردار به نقطه ای از محور L کاهش یابد ، و این محور در صفحه s واقع شده باشد ، بردار با طرح بردار بر روی صفحه s یک زاویه و با طرح بردار یک زاویه تشکیل می دهد بر روی محور L ؛ علاوه بر این ، برآمدگی های بردار خود زاویه ای بین خود ایجاد می کنند