معادله مماس با نمودار تابع

P. Romanov ، T. Romanova ،
مگنیتوگورسک ،
منطقه چلیابینسک

معادله مماس با نمودار تابع

مقاله با حمایت مجموعه هتل + ITAKA منتشر شده است. با اقامت در شهر کشتی سازان Severodvinsk ، با مشکل یافتن مسکن موقت روبرو نخواهید شد. ، در سایت مجموعه هتل "ITAKA +" http://itakaplus.ru ، شما می توانید به راحتی و با پرداخت روزانه یک آپارتمان را برای هر دوره در شهر اجاره کنید.

بر مرحله فعلی توسعه آموزش به عنوان یکی از وظایف اصلی آن شکل گیری شخصیت متفکر خلاق است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان فقط در صورتی امکان پذیر است که آنها به طور سیستماتیک در مبانی فعالیت های پژوهشی نقش داشته باشند. پایه و اساس استفاده از قدرت ، توانایی ها و استعدادهای خلاقانه آنها توسط دانش ، دانش و مهارت های کامل شکل گرفته است. در این راستا ، مسئله تشکیل سیستم دانش و مهارت های اساسی در مورد هر مبحث دوره ریاضیات مدرسه از اهمیت کمی برخوردار نیست. در عین حال ، مهارتهای تمام عیار باید هدف تعلیمی نه وظایف فردی ، بلکه سیستم دقیق آنها باشد. به معنای گسترده تر ، یک سیستم به عنوان مجموعه ای از عناصر متقابل متصل به هم شناخته می شود که دارای یکپارچگی و ساختار پایدار هستند.

یک روش را برای آموزش نحوه ترسیم معادله مماس بر نمودار یک تابع در نظر بگیرید. در واقع ، تمام مشکلات یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب مجموعه ای (بسته نرم افزاری ، خانواده) از خطوط مستقیم کاهش می یابد ، آنهایی که یک نیاز خاص را برآورده می کنند - با نمودار برخی از عملکردها مماس هستند. علاوه بر این ، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود می تواند به دو روش مشخص شود:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (بسته نرم افزاری مرکزی)
ب) شیب (بسته نرم افزاری موازی خطوط مستقیم).

در این راستا ، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جدا کردن عناصر سیستم ، دو نوع وظیفه را شناسایی کردیم:

1) مشکلات مماس ، با توجه به نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) مشکلی که در شیب آن وجود دارد.

آموزش حل مسایل روی خط مماس با استفاده از الگوریتم پیشنهادی A.G انجام شد. موردکوویچ تفاوت اساسی آن با آنچه قبلاً شناخته شده است این است که انتزاع نقطه مماس با حرف a نشان داده می شود (به جای x0) ، و بنابراین معادله مماس شکل

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(مقایسه با y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). از نظر ما این روش متدی به دانش آموزان امکان می دهد سریعتر و راحتتر درک کنند که مختصات نقطه فعلی در کجا نوشته شده اند معادله عمومی خط مماس ، و نقاط تماس کجا هستند.

الگوریتم رسم معادله مماس به نمودار تابع y \u003d f (x)

1. ابسسیس نقطه مماس را با حرف a تعیین کنید.
2. f (a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f" (a) را پیدا کنید.
4- اعداد پیدا شده a ، f (a) ، f "(a) را در معادله عمومی خط مماس y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a) جایگزین کنید.

این الگوریتم می تواند بر اساس انتخاب خود دانش آموزان از عملیات و توالی اجرای آنها تدوین شود.

تمرین نشان داده است که حل متوالی هر یک از وظایف اصلی با استفاده از یک الگوریتم به شما امکان می دهد مهارت نوشتن معادله مماس بر نمودار یک تابع را در مراحل مختلف شکل دهید ، و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط مرجع اقدامات عمل می کنند . این رویکرد با نظریه شکل گیری تدریجی کنشهای ذهنی ایجاد شده توسط P.Ya مطابقت دارد گالپرین و N.F. تالیزینا

در نوع اول وظایف ، دو وظیفه اصلی مشخص شد:

• مماس از یک نقطه منحنی عبور می کند (وظیفه 1) ؛
• مماس از نقطه ای عبور می کند که روی منحنی قرار نگیرد (مسئله 2).

وظیفه 1. معادله مماس نمودار نمودار را بسازید در نقطه M (3 ؛ - 2).

تصمیم گیری از آنجا که نقطه M (3؛ - 2) نقطه مماس است

1.a \u003d 3 - ابسیسای نقطه مماس.
2.f (3) \u003d - 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4 ، f" (3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3) ، y \u003d 5x - 17 - معادله مماس.

مسئله 2. معادلات تمام مماس ها را در نمودار تابع y \u003d - x 2 - 4x + 2 بنویسید که از نقطه M عبور می کند (- 3؛ 6).

تصمیم گیری نقطه M (- 3؛ 6) نقطه مماس نیست ، زیرا f (- 3)6 (شکل 2)

2.f (a) \u003d - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4 ، f" (a) \u003d - 2a - 4.
4.y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - معادله مماس.

مماس از نقطه M عبور می کند (- 3؛ 6) ، بنابراین ، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a) ،
a 2 + 6a + 8 \u003d 0^ a 1 \u003d - 4 ، a 2 \u003d - 2.

اگر a \u003d - 4 باشد ، معادله مماس y \u003d 4x + 18 است.

اگر a \u003d - 2 باشد ، معادله مماس دارای فرم y \u003d 6 است.

در نوع دوم ، وظایف اصلی به شرح زیر است:

• مماس موازی با برخی از خطوط مستقیم است (مسئله 3) ؛
• مماس با یک زاویه مشخص به خط مستقیم داده می شود (وظیفه 4).

مسئله 3. معادلات تمام مماس ها را به نمودار تابع y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 ، به موازات خط مستقیم y \u003d 9x + 1 بنویسید.

تصمیم گیری

1.a - abscissa از نقطه مماس.
2.f (a) \u003d a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x، f" (a) \u003d 3a 2 - 6a.

اما ، از طرف دیگر ، f "(a) \u003d 9 (شرط موازی سازی). از این رو ، حل معادله 3a 2 - 6a \u003d 9 ضروری است. ریشه های آن a \u003d - 1 ، a \u003d 3 است (شکل 3 )

4.1) a \u003d - 1 ؛
2) f (- 1) \u003d - 1 ؛
3) f "(- 1) \u003d 9؛
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1) ؛

y \u003d 9x + 8 - معادله مماس ؛

1) a \u003d 3 ؛
2) f (3) \u003d 3 ؛
3) f "(3) \u003d 9؛
4) y \u003d 3 + 9 (x - 3) ؛

y \u003d 9x - 24 - معادله مماس.

مسئله 4. معادله مماس را به نمودار تابع y \u003d 0.5x 2 - 3x + 1 بنویسید ، با زاویه 45 درجه به خط مستقیم y \u003d 0 عبور کنید (شکل 4).

تصمیم گیری از شرط f "(a) \u003d tan 45 ° ، a: a - 3 \u003d 1 را پیدا می کنیم^ a \u003d 4.

1.a \u003d 4 - abscissa از نقطه مماس.
2.f (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4.y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که حل هر مسئله دیگری به حل یک یا چند مسئله اساسی برمی گردد. دو کار زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس را با سهمی y \u003d 2x 2 - 5x - 2 بنویسید ، اگر مماسها در زاویه راست قرار بگیرند و یکی از آنها در نقطه ای با ابسسیسا 3 پارابولا را لمس کند (شکل 5).

تصمیم گیری از آنجا که انتزاع نقطه مماس داده می شود ، قسمت اول راه حل به مسئله اصلی 1 تقلیل می یابد.

1.a \u003d 3 - ابسیسای نقطه لمس یکی از طرفین زاویه راست.
2.f (3) \u003d 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5 ، f" (3) \u003d 7.
4.y \u003d 1 + 7 (x - 3) ، y \u003d 7x - 20 - معادله اولین خط مماس.

اجازه دهید یک - زاویه تمایل مماس اول. از آنجا که مماس ها عمود هستند ، بنابراین زاویه تمایل مماس دوم نیز وجود دارد. از معادله y \u003d 7x - 20 از مماس اول ، ما tg داریمa \u003d 7. پیدا کنید

این بدان معنی است که شیب مماس دوم است.

راه حل بیشتر به کار اصلی 3 کاهش می یابد.

بگذارید B (c؛ f (c)) نقطه مماس خط مستقیم دوم باشد

1. - abscissa از نقطه تماس دوم.
2.
3.
4.
- معادله مماس دوم.

توجه داشته باشید. شیب یک خط مماس را می توان راحت تر یافت اگر دانش آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود را k 1 k 2 \u003d - 1 بدانند.

2. معادلات تمام مماس های متداول را بر نمودار توابع بنویسید

تصمیم گیری وظیفه به یافتن خلاصه های نقاط مماس مماس مشترک ، یعنی حل مسئله اصلی 1 به صورت کلی ، ترسیم سیستم معادلات و راه حل بعدی آن کاهش می یابد (شکل 6).

1. بگذارید a یک abscissa از نقطه مماس باشد که روی نمودار تابع y \u003d x 2 + x + 1 قرار دارد.
2.f (a) \u003d a 2 + a + 1.
3. f "(a) \u003d 2a + 1.
4.y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1- بگذارید c آبسیسای نقطه لمسی باشد که روی نمودار تابع قرار دارد
2.
3. f "(c) \u003d c.
4.

از آنجا که مماس مشترک است ، پس

بنابراین y \u003d x + 1 و y \u003d - 3x - 3 مماس مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده آماده سازی دانش آموزان برای شناخت خود از نوع وظیفه اصلی هنگام حل بیشتر است کارهای دشوارنیاز به مهارت های تحقیقاتی خاص (توانایی تجزیه و تحلیل ، مقایسه ، تعمیم ، فرضیه ، و غیره). چنین وظایفی می تواند شامل هر وظیفه ای باشد که در آن وظیفه اصلی به عنوان یک جز component لحاظ شده باشد. بیایید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) را برای یافتن عملکرد توسط خانواده مماس آن در نظر بگیریم.

3- برای کدام b و c خطوط y \u003d x و y \u003d - 2x مماس با نمودار تابع y \u003d x 2 + bx + c هستند؟

تصمیم گیری

بگذارید t abscissa از نقطه مماس خط y \u003d x با سهمیه y \u003d x 2 + bx + c باشد. p abscissa از نقطه مماس خط مستقیم y \u003d - 2x با parabola y \u003d x 2 + bx + c. سپس معادله مماس y \u003d x به شکل y \u003d (2t + b) x + c - t 2 و معادله مماس y \u003d - 2x به شکل y \u003d (2p + b) x + c - در می آید ص 2

بیایید سیستم معادلات را بسازیم و حل کنیم

پاسخ:

وظایف برای راه حل مستقل

1. معادلات مماس را که به نمودار تابع y \u003d 2x 2 - 4x + 3 در نقاط تقاطع نمودار با خط مستقیم y \u003d x + 3 رسم شده ، بنویسید.

پاسخ: y \u003d - 4x + 3 ، y \u003d 6x - 9.5.

2. در چه مقادیر a ، مماس رسم شده به نمودار تابع y \u003d x 2 - ax در نقطه نمودار با abscissa x 0 \u003d 1 از نقطه M عبور می کند (2؛ 3)؟

پاسخ: a \u003d 0.5.

3. برای چه مقادیر p خط y \u003d px - 5 منحنی y \u003d 3x 2 - 4x - 2 را لمس می کند؟

پاسخ: p 1 \u003d - 10 ، p 2 \u003d 2.

4. تمام نقاط مشترک نمودار تابع y \u003d 3x - x 3 و مماس رسم شده به این نمودار را از طریق نقطه P پیدا کنید (0؛ 16).

پاسخ: الف (2 ؛ - 2) ، ب (- 4 ؛ 52).

5- کمترین فاصله بین سهمی y \u003d x 2 + 6x + 10 و خط مستقیم را پیدا کنید

پاسخ:

6. روی منحنی y \u003d x 2 - x + 1 ، نقطه ای را پیدا کنید که در آن مماس نمودار با خط y موازی باشد - 3x + 1 \u003d 0.

پاسخ: م (2 ؛ 3).

7. معادله مماس را بر نمودار تابع y \u003d x 2 + 2x - بنویسید 4x | که آن را در دو نقطه لمس می کند. نقاشی بکشید

پاسخ: y \u003d 2x - 4.

8- ثابت کنید که خط y \u003d 2x - 1 منحنی y \u003d x 4 + 3x 2 + 2x را قطع نمی کند. فاصله بین نزدیکترین نقاط آنها را پیدا کنید.

پاسخ:

9. بر روی سهمیه y \u003d x 2 دو نقطه با ابریشس x 1 \u003d 1 ، x 2 \u003d 3 گرفته می شود. یک خط ثانیه از طریق این نقاط رسم می شود. در چه نقطه ای از سهمیه مماس آن می تواند موازی با ثبات ترسیم شده باشد؟ معادلات مستقل و مماس را بنویسید.

پاسخ: y \u003d 4x - 3 - معادله یکسان ؛ y \u003d 4x - 4 - معادله مماس.

10. زاویه q را پیدا کنید بین مماس ها به نمودار تابع y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1 ، که در نقاط دارای ابسیساس 0 و 1 رسم شده است.

پاسخ: q \u003d 45 درجه

11- در چه نقاطی مماس نمودار تابع با محور Ox زاویه 135 درجه ایجاد می کند؟

پاسخ: الف (0 ؛ - 1) ، ب (4 ؛ 3).

12. در نقطه A (1؛ 8) به منحنی مماس کشیده می شود. طول خط مماس را بین محورهای مختصات پیدا کنید.

پاسخ:

13. معادله تمام مماسهای متداول را بر نمودار توابع y \u003d x 2 - x + 1 و y \u003d 2x 2 - x + 0.5 بنویسید.

پاسخ: y \u003d - 3x و y \u003d x.

14. فاصله بین مماس ها را تا نمودار تابع موازی با محور ابسیسا پیدا کنید.

پاسخ:

15- تعیین کنید که در سه زاویه parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 محور ابسیسا را \u200b\u200bقطع می کند.

پاسخ: q 1 \u003d arctan 6 ، q 2 \u003d arctan (- 6).

16. روی نمودار تابع تمام نقاط را پیدا کنید ، مماس هر کدام از این نمودارها ، نیمه محورهای مختصات را قطع می کند و بخشهای مساوی را از آنها قطع می کند.

پاسخ: الف (- 3 ؛ 11).

17- خط y \u003d 2x + 7 و سهمی y \u003d x 2 - 1 در نقاط M و N. با هم ملاقات می کنند نقطه K تلاقی خطوط مماس با سهمی را در نقاط M و N پیدا کنید.

پاسخ: K (1؛ - 9).

18- برای کدام مقادیر b خط y \u003d 9x + b با نمودار تابع y \u003d x 3 - 3x + 15 مماس است؟

پاسخ 1؛ 31

19. برای چه مقادیر k خط y \u003d kx - 10 فقط یک نقطه مشترک با نمودار تابع y \u003d 2x 2 + 3x - 2 دارد؟ برای مقادیر یافت شده k ، مختصات نقطه را تعیین کنید.

پاسخ: k 1 \u003d - 5 ، A (- 2 ؛ 0) ؛ k 2 \u003d 11 ، B (2 ؛ 12).

20- در چه مقادیری از b مماس به نمودار تابع y \u003d bx 3 - 2x 2 - 4 در نقطه دارای ابسیسا x 0 \u003d 2 عبور می کند از نقطه M عبور می کند (1؛ 8)؟

پاسخ: b \u003d - 3.

21. یک سهمی با اوج در محور Ox خط مستقیم را که از نقاط A (1؛ 2) و B (2؛ 4) عبور می کند ، در نقطه B لمس می کند. معادله سهمی را پیدا کنید.

پاسخ:

22- در چه مقدار از ضریب k سهمیه y \u003d x 2 + kx + 1 محور Ox را لمس می کند؟

پاسخ: k \u003d q 2.

23- زاویه های بین خط y \u003d x + 2 و منحنی y \u003d 2x 2 + 4x - 3 را پیدا کنید.

29. فاصله بین مماس ژنراتورها تا نمودار تابع را با جهت مثبت محور Ox ، زاویه 45 درجه پیدا کنید.

پاسخ:

30. محل رئوس تمام سهموی فرم y \u003d x 2 + ax + b را پیدا کنید و خط y \u003d 4x - 1 را لمس کنید.

پاسخ: خط y \u003d 4x + 3.

ادبیات

1. Zvavich L.I. ، Hatter L.Ya. ، Chinkina M.V. جبر و شروع تحلیل: 3600 مشکل برای دانش آموزان مدارس و متقاضیان دانشگاه. - م. ، بوستارد ، 1999.
2. Mordkovich A. چهارمین سمینار برای معلمان جوان. موضوع "برنامه های مشتق شده" است. - م. ، "ریاضیات" ، شماره 21/94.
3. شکل گیری دانش و مهارت بر اساس نظریه جذب مرحله به مرحله اعمال ذهنی. / ویرایش P.Ya. گالپرین ، N.F. تالیزینا - م. ، دانشگاه دولتی مسکو ، 1968.

در مرحله فعلی توسعه آموزش ، یکی از وظایف اصلی آن شکل گیری شخصیت متفکر خلاق است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان فقط در صورتی امکان پذیر است که آنها به طور سیستماتیک در مبانی فعالیت های پژوهشی نقش داشته باشند. پایه و اساس استفاده از قدرت ، توانایی ها و استعدادهای خلاقانه آنها توسط دانش ، دانش و مهارت های کامل شکل گرفته است. در این راستا ، مشکل شکل گیری سیستم دانش و مهارت های اساسی در مورد هر موضوع وجود دارد دوره مدرسه ریاضیات از اهمیت کمی برخوردار نیست. در عین حال ، مهارتهای تمام عیار باید هدف تعلیمی نه وظایف فردی ، بلکه سیستم دقیق آنها باشد. به معنای گسترده تر ، یک سیستم به عنوان مجموعه ای از عناصر متقابل متصل به هم شناخته می شود که دارای یکپارچگی و ساختار پایدار هستند.

یک روش را برای آموزش نحوه ترسیم معادله مماس بر نمودار یک تابع در نظر بگیرید. در واقع ، تمام مشکلات یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب مجموعه ای (بسته نرم افزاری ، خانواده) از خطوط مستقیم کاهش می یابد ، آنهایی که یک نیاز خاص را برآورده می کنند - با نمودار برخی از عملکردها مماس هستند. علاوه بر این ، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود می تواند به دو روش مشخص شود:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (بسته نرم افزاری مرکزی)
ب) شیب (بسته نرم افزاری موازی خطوط مستقیم).

در این راستا ، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جدا کردن عناصر سیستم ، دو نوع وظیفه را شناسایی کردیم:

1) مشکلات مماس ، با توجه به نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) مشکلی که در شیب آن وجود دارد.

آموزش حل مسایل روی خط مماس با استفاده از الگوریتم پیشنهادی A.G انجام شد. موردکوویچ تفاوت اساسی آن با آنچه قبلاً شناخته شده است این است که انتزاع نقطه مماس با حرف a نشان داده می شود (به جای x0) ، و بنابراین معادله مماس شکل

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(مقایسه با y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). از نظر ما این روش متدی به دانش آموزان امکان می دهد سریعتر و راحتتر درک کنند که مختصات نقطه فعلی در کجا نوشته شده اند معادله عمومی خط مماس ، و نقاط تماس کجا هستند.

الگوریتم رسم معادله مماس به نمودار تابع y \u003d f (x)

1. ابسسیس نقطه مماس را با حرف a تعیین کنید.
2. f (a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f" (a) را پیدا کنید.
4- اعداد پیدا شده a ، f (a) ، f "(a) را در معادله عمومی خط مماس y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a) جایگزین کنید.

این الگوریتم می تواند بر اساس انتخاب خود دانش آموزان از عملیات و توالی اجرای آنها تدوین شود.

تمرین نشان داده است که حل متوالی هر یک از وظایف اصلی با استفاده از یک الگوریتم به شما امکان می دهد مهارت نوشتن معادله مماس بر نمودار یک تابع را در مراحل مختلف شکل دهید ، و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط مرجع اقدامات عمل می کنند . این رویکرد با نظریه شکل گیری تدریجی کنشهای ذهنی ایجاد شده توسط P.Ya مطابقت دارد گالپرین و N.F. تالیزینا

در نوع اول وظایف ، دو وظیفه اصلی مشخص شد:

• مماس از یک نقطه منحنی عبور می کند (وظیفه 1) ؛
• مماس از نقطه ای عبور می کند که روی منحنی قرار نگیرد (مسئله 2).

وظیفه 1. معادله مماس نمودار نمودار را بسازید در نقطه M (3 ؛ - 2).

تصمیم گیری از آنجا که نقطه M (3؛ - 2) نقطه مماس است

1.a \u003d 3 - ابسیسای نقطه مماس.
2.f (3) \u003d - 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4 ، f" (3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3) ، y \u003d 5x - 17 - معادله مماس.

مسئله 2. معادلات تمام مماس ها را در نمودار تابع y \u003d - x 2 - 4x + 2 بنویسید که از نقطه M عبور می کند (- 3؛ 6).

تصمیم گیری نقطه M (- 3؛ 6) از آنجا که f (- 3) 6 (شکل 2) یک نقطه مماس نیست.

2.f (a) \u003d - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4 ، f" (a) \u003d - 2a - 4.
4.y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - معادله مماس.

مماس از نقطه M عبور می کند (- 3؛ 6) ، بنابراین ، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a) ،
a 2 + 6a + 8 \u003d 0 ^ a 1 \u003d - 4 ، a 2 \u003d - 2.

اگر a \u003d - 4 باشد ، معادله مماس y \u003d 4x + 18 است.

اگر a \u003d - 2 باشد ، معادله مماس دارای فرم y \u003d 6 است.

در نوع دوم ، وظایف اصلی به شرح زیر است:

• مماس موازی با برخی از خطوط مستقیم است (مسئله 3) ؛
• مماس با یک زاویه مشخص به خط مستقیم داده می شود (وظیفه 4).

مسئله 3. معادلات تمام مماس ها را به نمودار تابع y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 ، به موازات خط مستقیم y \u003d 9x + 1 بنویسید.

1.a - abscissa از نقطه مماس.
2.f (a) \u003d a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x، f" (a) \u003d 3a 2 - 6a.

اما ، از طرف دیگر ، f "(a) \u003d 9 (شرط موازی سازی). از این رو ، حل معادله 3a 2 - 6a \u003d 9 ضروری است. ریشه های آن a \u003d - 1 ، a \u003d 3 است (شکل 3 )

4.1) a \u003d - 1 ؛
2) f (- 1) \u003d - 1 ؛
3) f "(- 1) \u003d 9؛
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1) ؛

y \u003d 9x + 8 - معادله مماس ؛

1) a \u003d 3 ؛
2) f (3) \u003d 3 ؛
3) f "(3) \u003d 9؛
4) y \u003d 3 + 9 (x - 3) ؛

y \u003d 9x - 24 - معادله مماس.

مسئله 4. معادله مماس را به نمودار تابع y \u003d 0.5x 2 - 3x + 1 بنویسید ، با زاویه 45 درجه به خط مستقیم y \u003d 0 عبور کنید (شکل 4).

تصمیم گیری از شرط f "(a) \u003d tan 45 ° ، a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4 را پیدا می کنیم.

1.a \u003d 4 - abscissa از نقطه مماس.
2.f (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4.y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که حل هر مسئله دیگری به حل یک یا چند مسئله اساسی برمی گردد. دو کار زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس را با سهمی y \u003d 2x 2 - 5x - 2 بنویسید ، اگر مماسها در زاویه راست قرار بگیرند و یکی از آنها در نقطه ای با ابسسیسا 3 پارابولا را لمس کند (شکل 5).

تصمیم گیری از آنجا که انتزاع نقطه مماس داده می شود ، قسمت اول راه حل به مسئله اصلی 1 تقلیل می یابد.

1.a \u003d 3 - ابسیسای نقطه مماس یکی از اضلاع زاویه راست.
2.f (3) \u003d 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5 ، f" (3) \u003d 7.
4.y \u003d 1 + 7 (x - 3) ، y \u003d 7x - 20 - معادله اولین خط مماس.

اجازه دهید یک زاویه تمایل مماس اول باشد. از آنجا که مماس ها عمود هستند ، بنابراین زاویه تمایل مماس دوم نیز وجود دارد. از معادله y \u003d 7x - 20 از مماس اول tg a \u003d 7 داریم. پیدا کنید

این بدان معنی است که شیب مماس دوم است.

راه حل بیشتر به کار اصلی 3 کاهش می یابد.

بگذارید B (c؛ f (c)) نقطه مماس خط مستقیم دوم باشد

1. - abscissa از نقطه تماس دوم.
2.
3.
4.
- معادله مماس دوم.

توجه داشته باشید. شیب یک خط مماس را می توان راحت تر یافت اگر دانش آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود را k 1 k 2 \u003d - 1 بدانند.

2. معادلات تمام مماس های متداول را بر نمودار توابع بنویسید

تصمیم گیری این کار به یافتن خلاصه نقاط مماس مماس مشترک ، یعنی حل مسئله اصلی 1 به صورت کلی ، تدوین یک سیستم معادلات و راه حل بعدی آن کاهش می یابد (شکل 6).

1. بگذارید a یک abscissa از نقطه مماس باشد که روی نمودار تابع y \u003d x 2 + x + 1 قرار دارد.
2.f (a) \u003d a 2 + a + 1.
3. f "(a) \u003d 2a + 1.
4.y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1- بگذارید c آبسیسای نقطه لمسی باشد که روی نمودار تابع قرار دارد
2.
3. f "(c) \u003d c.
4.

از آنجا که مماس مشترک است ، پس

بنابراین y \u003d x + 1 و y \u003d - 3x - 3 مماس مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده آماده سازی دانش آموزان برای شناخت خود از نوع کار کلیدی در هنگام حل وظایف پیچیده تری است که به مهارتهای تحقیق خاصی نیاز دارند (توانایی تجزیه و تحلیل ، مقایسه ، تعمیم ، طرح فرضیه و غیره). چنین وظایفی می تواند شامل هر وظیفه ای باشد که در آن وظیفه اصلی به عنوان یک جز component لحاظ شده باشد. بیایید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) را برای یافتن عملکرد توسط خانواده مماس آن در نظر بگیریم.

3- برای کدام b و c خطوط y \u003d x و y \u003d - 2x مماس با نمودار تابع y \u003d x 2 + bx + c هستند؟

بگذارید t abscissa از نقطه مماس خط مستقیم y \u003d x با سهمیه y \u003d x 2 + bx + c باشد. p abscissa از نقطه مماس خط مستقیم y \u003d - 2x با parabola y \u003d x 2 + bx + c. سپس معادله مماس y \u003d x به شکل y \u003d (2t + b) x + c - t 2 و معادله مماس y \u003d - 2x به شکل y \u003d (2p + b) x + c - در می آید ص 2

بیایید سیستم معادلات را بسازیم و حل کنیم

پاسخ:

مقاله توضیح مفصلی از تعاریف ، معنای هندسی مشتق با می دهد نمادهای گرافیکی... معادله خط مماس با مثالهایی در نظر گرفته می شود ، معادلات مماس به منحنی های مرتبه 2 پیدا می شوند.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

زاویه شیب خط مستقیم y \u003d k x + b را زاویه α می نامیم که از جهت مثبت محور x به راست Y \u003d k x + b در جهت مثبت اندازه گیری می شود.

در شکل ، جهت o x با یک پیکان سبز و یک قوس سبز ، و زاویه شیب با یک قوس قرمز نشان داده شده است. خط آبی به خط مستقیم اشاره دارد.

تعریف 2

شیب خط مستقیم y \u003d k x + b را ضریب عددی k می نامند.

شیب برابر است با مماس شیب خط مستقیم ، به عبارت دیگر k \u003d t g α.

• زاویه شیب خط مستقیم فقط 0 است اگر با x موازی باشد و شیب آن صفر باشد ، زیرا مماس صفر 0 است. از این رو ، فرم معادله y \u003d b خواهد بود.
• اگر شیب خط مستقیم y \u003d k x + b حاد باشد ، شرایط 0 است< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается عدد مثبت، زیرا مقدار مماس شرایط t g α\u003e 0 را برآورده می کند و در نمودار افزایش وجود دارد.
• اگر α \u003d π 2 ، پس مکان خط مستقیم بر x عمود است. برابري با استفاده از برابري x \u003d c با c كه عدد واقعي است تعيين مي شود.
• اگر زاویه شیب خط مستقیم y \u003d k x + b مبهم باشد ، پس از آن با شرایط π 2 مطابقت دارد< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

secant به خطی گفته می شود که از 2 نقطه از تابع f (x) عبور کند. به عبارت دیگر ، یک ثانیه یک خط مستقیم است که از طریق هر دو نقطه بر روی نمودار یک تابع مشخص رسم می شود.

شکل نشان می دهد که A B یک منفرد است ، و f (x) یک منحنی سیاه است ، α یک قوس قرمز است ، که به معنی زاویه تمایل ثانیه است.

وقتی شیب یک خط مستقیم با مماس زاویه شیب برابر باشد ، می توان مشاهده کرد که مماس از یک مثلث قائم الزاویه ABC را می توان در رابطه با پای مخالف با مجاور پیدا کرد.

تعریف 4

فرمولی برای یافتن خلوص فرم بدست می آوریم:

k \u003d tg α \u003d BCAC \u003d f (x B) - fx A x B - x A ، که در آن جمع نقاط A و B مقادیر x A ، x B ، و f (x A) ، f (x است ب) توابع مقادیر در این نقاط هستند.

بدیهی است که شیب ثانیه با استفاده از برابری k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A یا k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B تعیین می شود ، و معادله باید به صورت y \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) یا
y \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

سکانت نمودار را از نظر بصری به 3 قسمت تقسیم می کند: در سمت چپ نقطه A ، از A تا B ، در سمت راست B. شکل زیر نشان می دهد که سه ثانیه وجود دارد که تصادفی تلقی می شوند ، یعنی تنظیم شده اند با استفاده از یک معادله مشابه.

با تعریف ، واضح است که خط و جدا شده آن در است در این مورد همخوانی داشتن.

secant می تواند نمودار یک تابع داده شده را چندین بار قطع کند. اگر معادله ای از فرم y \u003d 0 برای ثانیه وجود داشته باشد ، پس تعداد نقاط تلاقی با سینوسی نامحدود است.

تعریف 5

مماس نمودار نمودار تابع f (x) در نقطه x 0 ؛ f (x 0) را خط مستقیمی می نامند که از یک نقطه مشخص x 0 عبور می کند. f (x 0) ، با حضور بخشی که مجموعه ای از مقادیر x نزدیک به x 0 دارد.

مثال 1

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم. سپس می توان دریافت که خط تعریف شده توسط تابع y \u003d x + 1 در نقطه دارای مختصات مماس با y \u003d 2 x در نظر گرفته می شود (1؛ 2). برای وضوح ، در نظر گرفتن نمودارهایی با مقادیر نزدیک به (1؛ 2) ضروری است. تابع y \u003d 2 x با رنگ سیاه مشخص شده است ، خط آبی خط مماس و نقطه قرمز نقطه تلاقی است.

بدیهی است که y \u003d 2 x با خط y \u003d x + 1 ادغام می شود.

برای تعیین مماس ، لازم است رفتار مماس A B را در هنگام نزدیک شدن نقطه B به نقطه A در نظر بگیرید ، برای وضوح ، یک شکل ارائه می دهیم.

AB ثابت ، که با خط آبی نشان داده شده است ، به سمت موقعیت مماس متمایل می شود و زاویه شیب α ثانیه شروع به تمایل به زاویه تمایل خود مماس α x می کند.

تعریف 6

مماس نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه A ، موقعیت محدود ثانیه A B است وقتی B به A متمایل می شود ، یعنی B → A.

اکنون به بررسی معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه می پردازیم.

بیایید به بررسی توابع А В برای تابع f (x) بپردازیم ، جایی که А و В با مختصات x 0 ، f (x 0) و x 0 + ∆ x ، f (x 0 + ∆ x) ، و ∆ x به عنوان افزایش آرگومان نشان داده می شود ... این تابع اکنون به شکل ∆ y \u003d ∆ f (x) \u003d f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) در می آید. برای شفافیت ، مثالی از تصویر را ارائه می دهیم.

دریافت شده را در نظر بگیرید راست گوشه A B C. ما از تعریف مماس برای محلول استفاده می کنیم ، یعنی نسبت ∆ y ∆ x \u003d t g α را بدست می آوریم. از تعریف مماس بر می آید که lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x \u003d t g α x. طبق قانون مشتق در نقطه ، ما باید مشتق f (x) را در نقطه x 0 حد نسبت های افزایش عملکرد به افزایش آرگومان نامیدیم ، جایی که ∆ x → 0 ، سپس f را نشان می دهیم (x 0) \u003d lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ...

به این ترتیب که f "(x 0) \u003d lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x \u003d t g α x \u003d k x ، جایی که k x به عنوان شیب مماس نشان داده می شود.

یعنی به دست می آوریم که f '(x) می تواند در نقطه x 0 وجود داشته باشد و مانند مماس نمودار مشخص شده از تابع در نقطه مماس برابر با x 0 ، f 0 (x 0) ، جایی که مقدار شیب مماس در نقطه برابر است با مشتق در نقطه x 0. سپس k x \u003d f "(x 0) بدست می آوریم.

معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه این است که مفهوم وجود مماس بر نمودار در همان نقطه داده می شود.

برای نوشتن معادله هر خط مستقیم در صفحه ، باید یک شیب داشته باشید که نقطه ای از آن عبور کند. تعیین آن به عنوان x 0 در تقاطع در نظر گرفته شده است.

معادله مماس به نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه x 0، f 0 (x 0) به شکل y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) شکل می گیرد .

این به آن معنا است ارزش نهایی مشتق f "(x 0) ، شما می توانید موقعیت مماس را تعیین کنید ، یعنی به صورت عمودی تحت شرایط lim x → x 0 + 0 f" (x) \u003d ∞ و lim x → x 0 - 0 f "(x ) \u003d ∞ یا اصلاً برای شرایط lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

محل مماس بستگی به مقدار شیب آن kx \u003d f "(x 0) دارد. وقتی موازی با محور گاو هستیم ، kk \u003d 0 را بدست می آوریم ، وقتی موازی با oy - kx \u003d ∞ ، و فرم معادله از مماس x \u003d x 0 در kx\u003e 0 افزایش می یابد ، برای kx کاهش می یابد< 0 .

مثال 2

معادله مماس را به نمودار تابع y \u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 در یک نقطه با مختصات (1؛ 3) با تعیین زاویه رسم کنید تمایل

تصمیم گیری

با فرضیه ، باید بگوییم که این تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است. دریافت می کنیم که نقطه با مختصات داده شده توسط شرط (1؛ 3) نقطه مماس است ، سپس x 0 \u003d - 1 ، f (x 0) \u003d - 3.

لازم است مشتق را در نقطه ای با مقدار پیدا کنید - 1. ما آن را دریافت می کنیم

y "\u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" \u003d \u003d ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" \u003d ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) \u003d y" (- 1) \u003d e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 \u003d 3 3

مقدار f '(x) در نقطه مماس شیب مماس است که برابر با شیب شیب است.

سپس k x \u003d t g α x \u003d y "(x 0) \u003d 3 3

از این رو نتیجه می شود که α x \u003d a r c t g 3 3 \u003d π 6

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

برای وضوح ، مثالی را در یک تصویر گرافیکی ارائه می دهیم.

رنگ سیاه برای نمودار عملکرد اصلی استفاده می شود ، رنگ آبی - تصویر مماس ، نقطه قرمز - نقطه مماس. شکل سمت راست یک نمای بزرگ را نشان می دهد.

مثال 3

وجود وجود مماس بر نمودار یک تابع مشخص را دریابید
y \u003d 3 x - 1 5 + 1 در نقطه با مختصات (1؛ 1). یک معادله تشکیل دهید و زاویه شیب را تعیین کنید.

تصمیم گیری

با فرضیه ، باید بگوییم که دامنه تعریف یک تابع معین مجموعه تمام اعداد واقعی است.

بیایید به یافتن مشتق برویم

y "\u003d 3 x - 1 5 + 1" \u003d 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 \u003d 3 5 1 (x - 1) 4 5

اگر x 0 \u003d 1 ، f '(x) تعریف نشده است ، اما محدودیت ها به صورت lim x written 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 1 (+ 0) 4 5 \u003d 3 5 1 + 0 \u003d + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 1 (- 0) 4 5 \u003d 3 5 1 + 0 \u003d + ∞ ، که به معنای وجود مماس عمودی در نقطه (1 ؛ 1).

پاسخ: معادله به شکل x \u003d 1 در می آید ، جایی که شیب برابر با π 2 خواهد بود.

برای شفافیت ، ما آن را به صورت گرافیکی به تصویر می کشیم.

مثال 4

نقاط موجود در نمودار تابع y \u003d 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 ، جایی که

1. مماس وجود ندارد.
2. خط مماس موازی با x است.
3. مماس موازی خط مستقیم y \u003d 8 5 x + 4 است.

تصمیم گیری

توجه به حوزه تعریف ضروری است. با فرضیه ، ما می توانیم این تابع را روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف کنیم. ماژول را گسترش دهید و سیستم را با فواصل x ∈ - solve حل کنید. 2 و [- 2؛ + ∞). ما آن را دریافت می کنیم

y \u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ، x ∈ - ∞ ؛ - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ، x ∈ [- 2؛ + ∞)

تفکیک عملکرد ضروری است. ما آن را داریم

y "\u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176" ، x ∈ - ∞ ؛ - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 "، x ∈ [- 2؛ + ∞) y" \u003d - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) ، x ∈ - ∞ ؛ - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 ، x ∈ [- 2؛ + ∞)

وقتی x \u003d - 2 ، پس مشتق وجود ندارد زیرا محدوده های یک طرفه در این نقطه برابر نیستند:

lim x → - 2 - 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 \u003d - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 \u003d - - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 \u003d 3

مقدار تابع را در نقطه x \u003d - 2 ، جایی که بدست می آوریم محاسبه می کنیم

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2 ، یعنی مماس در نقطه ( - 2 ؛ - 2) وجود نخواهد داشت.
2. وقتی شیب صفر باشد مماس با x موازی است. سپس kx \u003d tan α x \u003d f "(x 0). به این معنی است که لازم است مقادیر چنین x را پیدا کنید وقتی مشتق تابع آن را به صفر تبدیل کند. یعنی مقادیر f ' (x) و نقاط مماس خواهد بود ، جایی که مماس موازی با x باشد ...

وقتی x ∈ - ∞ ؛ - 2 ، سپس - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0 ، و برای x ∈ (- 2 ؛ + ∞) 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0 بدست می آوریم.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 35 \u003d 144 - 140 \u003d 4 x 1 \u003d - 12 + 4 2 \u003d - 5 ∈ - ∞ ؛ - 2 2 2 \u003d - 12 - 4 2 \u003d - 7 ∈ - ∞ ؛ - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 3 \u003d 4 x 3 \u003d 4 - 4 2 \u003d 1 ∈ - 2 ؛ + ∞ x 4 \u003d 4 + 4 2 \u003d 3 ∈ - 2 ؛ +

مقادیر تابع مربوطه را محاسبه کنید

y 1 \u003d y - 5 \u003d 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 \u003d 8 5 y 2 \u003d y (- 7) \u003d 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 \u003d 4 3 سال 3 \u003d سال (1) \u003d 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 \u003d 8 5 سال 4 \u003d سال (3) \u003d 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 \u003d 4 3

از این رو - 5؛ 8 5 ، - 4 ؛ 4 3 ، 1؛ 8 5 ، 3 ؛ 4 3 به عنوان نقاط مورد نیاز نمودار تابع در نظر گرفته شده است.

در نظر گرفتن تصویر گرافیکی راه حل ها

خط سیاه نمودار عملکرد است ، نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

1. وقتی خطوط موازی باشند ، شیب ها برابر هستند. سپس باید به دنبال نقاطی بر روی نمودار تابع باشید ، جایی که شیب برابر با مقدار 8 5 باشد. برای این کار ، ما باید یک معادله از فرم y "(x) \u003d 8 5 را حل کنیم. سپس ، اگر x ∈ - ∞ ؛ - 2 ، به دست می آوریم که - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 8 5 ، و اگر x ∈ (- 2؛ + ∞) ، سپس 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5.

معادله اول از آنجا که تبعیض آمیز است ، ریشه ندارد کمتر از صفر... بگذارید آن را بنویسیم

1 5 x 2 + 12 x + 35 \u003d 8 5 x 2 + 12 x + 43 \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 43 \u003d - 28< 0

بنابراین یک معادله دیگر دو ریشه واقعی دارد

1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5 x 2 - 4 x - 5 \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 · (- 5) \u003d 36 x 1 \u003d 4 - 36 2 \u003d - 1 ∈ - 2 ؛ + ∞ x 2 \u003d 4 + 36 2 \u003d 5 ∈ - 2 ؛ +

بیایید به پیدا کردن مقادیر تابع برویم. ما آن را دریافت می کنیم

y 1 \u003d y (- 1) \u003d 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 \u003d 4 15 y 2 \u003d y (5) \u003d 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 \u003d 8 3

نقاط با مقادیر - 1؛ 4 15.5 ؛ 8 3 نقاطی است که در آن مماس ها با خط y \u003d 8 5 x + 4 موازی هستند.

پاسخ:خط سیاه - نمودار عملکرد ، خط قرمز - نمودار y \u003d 8 5 x + 4 ، خط آبی - مماس در نقاط - 1؛ 4 15.5 ؛ 8 3

برای عملکردهای خاص می توان تعداد نامحدودی از مماسها را داشت.

مثال 5

معادلات تمام توابع مماس موجود y \u003d 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 را که عمود بر خط مستقیم y \u003d - 2 x + 1 2 قرار دارند ، بنویسید.

تصمیم گیری

برای ساخت معادله مماس ، لازم است ضریب و مختصات نقطه مماس را بر اساس شرایط عمود بودن خطوط مستقیم پیدا کنید. تعریف به شرح زیر است: حاصل ضرایب شیب که عمود بر خطوط مستقیم هستند برابر است با - 1 ، یعنی به صورت k x k x \u003d - 1 نوشته می شود. از شرطی که داریم این است که شیب عمود بر خط مستقیم است و برابر است با k ⊥ \u003d - 2 ، سپس k x \u003d - 1 k ⊥ \u003d - 1 - 2 \u003d 1 2.

اکنون شما باید مختصات نقاط مماس را پیدا کنید. شما باید x را پیدا کنید ، پس از آن مقدار آن برای یک تابع داده می شود. توجه داشته باشید که از معنای هندسی مشتق در نقطه
x 0 به دست می آوریم که k x \u003d y "(x 0). از این برابری مقادیر x را برای نقاط تماس پیدا می کنیم.

ما آن را دریافت می کنیم

y "(x 0) \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" \u003d 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "\u003d \u003d - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d - 1 9

آی تی معادله مثلثاتی برای محاسبه مختصات نقاط مماس استفاده خواهد شد.

3 2 x 0 - π 4 \u003d a r c sin - 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 \u003d π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 \u003d - a r c sin 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 \u003d π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 \u003d 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk یا x 0 \u003d 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk، k ∈ Z

Z مجموعه ای از اعداد صحیح است.

X نقطه مماس پیدا شده است. اکنون باید به جستجوی مقادیر y بروید:

y 0 \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 یا y 0 \u003d 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 یا y 0 \u003d 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 \u003d 4 5 - 1 3 یا y 0 \u003d - 4 5 + 1 3

از این رو به دست می آوریم که 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk. 4 5 - 1 3 ، 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk؛ - 4 5 + 1 3 نقاط لمسی هستند.

پاسخ: معادلات لازم به صورت زیر نوشته خواهد شد

y \u003d 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3، y \u003d 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، k ∈ Z

برای نمایش بصری ، یک تابع و یک خط مماس روی خط مختصات را در نظر بگیرید.

شکل نشان می دهد که محل عملکرد در بازه [- 10؛ 10] ، جایی که خط سیاه نمودار تابع است ، خطوط آبی مماس هستند ، که عمود بر خط داده شده از فرم y \u003d - 2 x + 1 2 قرار دارند. نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

معادلات متعارف منحنی های مرتبه 2 توابع یک ارزشی نیستند. معادلات مماس برای آنها با توجه به طرح های معروف ترسیم شده است.

مماس دایره

برای تعریف یک دایره که در نقطه x c e n t e r قرار دارد. y c e n t e r و شعاع R فرمول x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 \u003d R 2 اعمال می شود.

این برابری را می توان به عنوان اتحادیه ای از دو عملکرد نوشت:

y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

همانطور که در شکل نشان داده شده است ، اولین عملکرد در بالا و دیگری در پایین قرار دارد.

برای ایجاد معادله دایره در نقطه x 0 ؛ y 0 ، که در نیم دایره بالا یا پایین قرار دارد ، باید معادله نمودار عملکرد فرم y \u003d R 2 - x - xcenter 2 + ycenter یا y \u003d - R 2 - x - xcenter 2 + را پیدا کنید مرکز در نقطه مشخص شده

وقتی در نقاط x c e n t e r باشید ؛ y c e n t e r + R و x c e n t e r؛ y c e n t e r - R را می توان با معادلات y \u003d y c e n t e r + R و y \u003d y c e n t e r - R و در نقاط x c e n t e r + R بدست آورد. y c e n t e r و
x c e n t e r - R؛ y c e n t e r در مورد y موازی خواهد بود ، سپس معادلاتی از فرم x \u003d x c e n t e r + R و x \u003d x c e n t e r بدست می آوریم - R

مماس بیضی

وقتی بیضی در نقطه x یک مرکز باشد. y c e n t e r با semiaxes a و b ، سپس می توان آن را با استفاده از معادله x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1 مشخص کرد.

بیضی و دایره را می توان با ترکیب دو تابع ، یعنی نیمه بیضی بالا و پایین نشان داد. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y \u003d b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y \u003d - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

اگر مماس ها در رأس بیضوی قرار داشته باشند ، در این صورت در حدود x یا y تقریباً موازی هستند. در زیر ، برای وضوح ، شکل را در نظر بگیرید.

مثال 6

معادله مماس با بیضی x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 را در نقاط با مقادیر x برابر با x \u003d 2 بنویسید.

تصمیم گیری

یافتن نقاط تماس متناسب با مقدار x \u003d 2 ضروری است. ما معادله بیضی موجود را جایگزین می کنیم و آن را بدست می آوریم

x - 3 2 4 x \u003d 2 + y - 5 2 25 \u003d 1 1 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 ⇒ y - 5 2 \u003d 3 4 25 ⇒ y \u003d ± 5 3 2 + 5

سپس 2؛ 5 3 2 + 5 و 2؛ - 5 3 2 + 5 نقاط مماس هستند که به نیمه بیضی بالا و پایین تعلق دارند.

بیایید به یافتن و حل معادله بیضی با توجه به y روی بیاوریم. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 y - 5 2 25 \u003d 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 \u003d 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 \u003d ± 5 1 - x - 3 2 4 y \u003d 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

بدیهی است که نیمه بیضی فوقانی با استفاده از تابعی از فرم y \u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2 و پایین تر y \u003d 5 - 5 2 4 - x - 3 2 مشخص شده است.

بیایید الگوریتم استاندارد را برای شکل دادن معادله مماس به نمودار تابع در یک نقطه اعمال کنیم. می نویسیم که معادله برای مماس اول در نقطه 2 است. 5 3 2 + 5 فرم خواهد داشت

y "\u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2" \u003d 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d - 5 2 x - 3 4 - (x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

ما از معادله مماس دوم با مقدار در نقطه دریافت می کنیم
2 - 5 3 2 + 5 شکل می گیرد

y "\u003d 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" \u003d - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d - 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

از نظر گرافیکی ، مماس ها به شرح زیر نشان داده می شوند:

مماس با اغراق

وقتی که هذلولی در نقطه ای از مرکز قرار دارد. y c e n t e r و رئوس x c e n t e r + α؛ y c e n t e r و x c e n t e r - α؛ y c e n t e r ، نابرابری مشخص شده است x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1 ، اگر با رئوس x c e n t e r ؛ y c e n t e r + b و x c e n t e r؛ y c e n t e r - b ، سپس با نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d - 1 داده می شود.

هذلولی را می توان به عنوان دو عملکرد ترکیبی فرم نشان داد

y \u003d ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentery \u003d - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter یا y \u003d ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentery \u003d - ba (x - xcenter ) 2 + 2 + مرکز

در حالت اول ، باید بدانیم که مماس ها موازی با y و در حالت دوم ، موازی با x هستند.

از این رو نتیجه می شود که برای یافتن معادله مماس با هذلولی ، باید فهمید که نقطه مماس به کدام عملکرد تعلق دارد. برای تعیین این ، لازم است که معادلات را جایگزین کرده و از نظر هویت بررسی کنید.

مثال 7

معادله مماس با هذلولی را x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 در نقطه 7 بنویسید. - 3 3 - 3.

تصمیم گیری

لازم است که رکورد راه حل پیدا کردن هذلولی با استفاده از 2 عملکرد تغییر شکل یابد. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 ⇒ y + 3 2 9 \u003d x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 \u003d 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 \u003d 3 2 x - 3 2 - 4 و l و y + 3 \u003d - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y \u003d 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y \u003d - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

لازم است دریابید که نقطه داده شده با مختصات 7 مربوط به کدام تابع است. - 3 3 - 3.

بدیهی است که برای بررسی تابع اول ، شما به y (7) \u003d 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 نیاز دارید ، سپس نقطه به نمودار تعلق ندارد ، از آنجا که برابری برقرار نیست.

برای تابع دوم ، y (7) \u003d - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 داریم ، به این معنی که نقطه به نمودار داده شده تعلق دارد . از اینجا شیب را باید پیدا کرد.

ما آن را دریافت می کنیم

y "\u003d - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" \u003d - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) \u003d - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 \u003d 7 \u003d - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 \u003d - 3

پاسخ: معادله مماس را می توان به صورت زیر نشان داد

y \u003d - 3 x - 7 - 3 3 - 3 \u003d - 3 x + 4 3 - 3

این به وضوح به شرح زیر نشان داده شده است:

مماس سهموی

برای ساخت معادله مماس با سهمیه y \u003d ax 2 + bx + c در نقطه x 0، y (x 0) ، لازم است از الگوریتم استاندارد استفاده کنید ، سپس معادله به شکل y \u003d y در می آید " (x 0) x - x 0 + y (x 0). چنین مماسی در راس موازی x است.

سهموی x \u003d a y 2 + b y + c باید به عنوان اتحادیه دو تابع مشخص شود. بنابراین لازم است معادله y را حل کنید ما آن را دریافت می کنیم

x \u003d ay 2 + توسط + c ⇔ ay 2 + توسط + c - x \u003d 0 D \u003d b 2 - 4 a (c - x) y \u003d - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay \u003d - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

بیایید به صورت گرافیکی به صورت زیر تصویر کنیم:

برای فهمیدن اینکه آیا نقطه x 0، y (x 0) به تابعی تعلق دارد ، عملکرد مطابق الگوریتم استاندارد بسیار ملایم است. چنین خط مماس با توجه به سهمی موازی با y خواهد بود.

مثال 8

معادله مماس را به نمودار x - 2 y 2 - 5 y + 3 بنویسید ، درصورتی که زاویه شیب تانژانت 150 درجه داشته باشیم.

تصمیم گیری

ما راه حل را با نمایش سهمی به عنوان دو تابع شروع می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 y 2 - 5 y + 3 - x \u003d 0 D \u003d (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) \u003d 49 - 8 xy \u003d 5 + 49 - 8 x - 4 y \u003d 5 - 49 - 8 x - 4

مقدار شیب برابر است با مقدار مشتق در نقطه x 0 این تابع و برابر با شیب مماس است.

ما گرفتیم:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 درجه \u003d - 1 3

از اینجا مقدار x را برای نقاط مماس تعیین می کنیم.

اولین عملکرد به صورت نوشته خواهد شد

y "\u003d 5 + 49 - 8 x - 4" \u003d 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3

بدیهی است که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد ، زیرا ارزش منفی دارند. نتیجه می گیریم که برای چنین عملکردی مماس 150 درجه وجود ندارد.

تابع دوم به صورت نوشته خواهد شد

y "\u003d 5 - 49 - 8 x - 4" \u003d - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d - 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3 x 0 \u003d 23 4 ⇒ y (x 0) \u003d 5 - 49 - 8 23 4 - 4 \u003d - 5 + 3 4

ما باید بدانیم که نقاط تماس 23 4 است. - 5 + 3 4.

پاسخ: معادله مماس شکل می گیرد

y \u003d - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

بیایید آن را به صورت گرافیکی به این شکل نشان دهیم:

اگر در متن خطایی مشاهده کردید ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

مماس خط مستقیم است ، که نمودار تابع را در یک نقطه لمس می کند و تمام نقاط آن در کمترین فاصله از نمودار تابع هستند. بنابراین ، مماس با یک زاویه خاص به نمودار تابع مماس می شود و چندین مماس در زوایای مختلف نمی توانند از نقطه مماس عبور کنند. معادلات مماس و معادلات نرمال نمودار تابع با استفاده از مشتق ساخته شده اند.

معادله مماس از معادله خط مستقیم گرفته شده است .

ما معادله خط مماس و سپس معادله نرمال را به نمودار تابع استخراج می کنیم.

y = کیلوگرم + ب .

در او ک شیب است.

از اینجا ورودی زیر را دریافت می کنیم:

y - y0 = ک(ایکس - ایکس0 ) .

ارزش مشتق f "(ایکس0 ) تابع y = f(ایکس) در نقطه ایکس0 برابر شیب ک \u003d tg φ مماس با نمودار تابعی که از طریق یک نقطه رسم شده است م0 (ایکس0 , y0 ) جایی که y0 = f(ایکس0 ) ... این هست معنای هندسی مشتق شده .

بنابراین ، می توانیم جایگزین کنیم ک بر f "(ایکس0 ) و موارد زیر را دریافت کنید معادله مماس با نمودار یک تابع :

y - y0 = f "(ایکس0 )(ایکس - ایکس0 ) .

در مشکلات رسم معادله خط مماس به نمودار یک تابع (و ما به زودی به آنها خواهیم رفت) ، لازم است که معادله بدست آمده طبق فرمول فوق را به معادله خط مستقیم به شکل کلی ... برای انجام این کار ، باید تمام حروف و اعداد را به سمت چپ معادله ، و صفر را در سمت راست بگذارید.

حالا در مورد معادله عادی. طبیعی یک خط مستقیم است که از نقطه مماس به نمودار تابع عمود بر مماس می رود. معادله عادی :

(ایکس - ایکس0 ) + f "(ایکس0 )(y - y0 ) = 0

برای گرم کردن ، اولین مثال قرار است به طور مستقل حل شود و سپس راه حل را ببینیم. هر دلیلی وجود دارد که امیدوار باشیم این کار "دوش آب سرد" برای خوانندگان ما نباشد.

مثال 0 در نمودار یک تابع یک معادله مماس و یک معادله عادی بنویسید م (1, 1) .

مثال 1 یک معادله مماس و یک معادله معمولی را در نمودار یک تابع بنویسید اگر ابریسس مماس باشد.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

اکنون ما همه چیزهایی را داریم که باید در ورودی داده شده در مرجع نظری جایگزین شود تا معادله مماس را بدست آوریم. ما گرفتیم

در این مثال ، ما خوش شانس بودیم: شیب معادل صفر شد ، بنابراین جداگانه معادله را کاهش دهید به نمای کلی نیازی نبود اکنون می توانیم معادله طبیعی را بسازیم:

در تصویر زیر: نمودار عملکرد رنگ شرابی ، مماس رنگ سبز، حالت طبیعی نارنجی است.

مثال بعدی نیز پیچیده نیست: این تابع ، مانند مورد قبلی ، چند جمله ای است ، اما شیب برابر صفر نخواهد بود ، بنابراین یک مرحله دیگر اضافه می شود - معادله را به شکل کلی می آورد.

مثال 2

تصمیم گیری مختصات نقطه لمس را پیدا کنید:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

مقدار مشتق را در نقطه مماس ، یعنی شیب مماس پیدا کنید:

ما تمام داده های بدست آمده را در "فرمول خالی" جایگزین می کنیم و معادله مماس را بدست می آوریم:

ما معادله را به یک شکل کلی می آوریم (تمام حروف و اعداد را غیر از صفر در سمت چپ جمع می کنیم و صفر را در سمت راست می گذاریم):

ما معادله طبیعی را می سازیم:

مثال 3 معادله مماس و معادله نرمال را با نمودار تابع ، اگر ابسیسای نقطه مماس باشد ، بنویسید.

تصمیم گیری مختصات نقطه لمس را پیدا کنید:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

مقدار مشتق را در نقطه مماس ، یعنی شیب مماس پیدا کنید:

.

ما معادله خط مماس را پیدا می کنیم:

قبل از اینکه معادله را به یک فرم کلی بیاورید ، باید کمی آن را "شانه کنید": ضرب در 4 کنید.

ما معادله طبیعی را می سازیم:

مثال 4 معادله مماس و معادله نرمال را با نمودار تابع ، اگر ابسیسای نقطه مماس باشد ، بنویسید.

تصمیم گیری مختصات نقطه لمس را پیدا کنید:

.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

مقدار مشتق را در نقطه مماس ، یعنی شیب مماس پیدا کنید:

.

معادله خط مماس را بدست می آوریم:

ما معادله را به یک شکل کلی می آوریم:

ما معادله طبیعی را می سازیم:

یک اشتباه رایج هنگام ترسیم معادلات مماس و نرمال این است که متوجه پیچیده بودن تابعی که در مثال داده شده نیست و محاسبه مشتق آن به عنوان مشتق یک تابع ساده است. نمونه های زیر قبلاً از توابع پیچیده (درس مربوطه در پنجره جدیدی باز می شود).

مثال 5 معادله مماس و معادله نرمال را با نمودار تابع ، اگر ابسیسای نقطه مماس باشد ، بنویسید.

تصمیم گیری مختصات نقطه لمس را پیدا کنید:

توجه! این عملکرد - پیچیده ، از استدلال مماس (2 ایکس ) خود یک عملکرد است. بنابراین ، مشتق تابع را به عنوان مشتق یک تابع پیچیده خواهیم یافت.

مثال 1 تابع داده شده است f(ایکس) = 3ایکس 2 + 4ایکس - 5. بیایید معادله مماس را بر نمودار تابع بنویسیم f(ایکس) در نقطه نمودار با ابریسسا ایکس 0 = 1.

تصمیم گیری مشتق عملکرد f(ایکس) برای هر x وجود دارد R ... بیایید آن را پیدا کنیم:

= (3ایکس 2 + 4ایکس - 5) ′ \u003d 6 ایکس + 4.

سپس f(ایکس 0) = f(1) = 2; (ایکس 0) \u003d \u003d 10. معادله مماس:

y = (ایکس 0) (ایکس – ایکس 0) + f(ایکس 0),

y = 10(ایکس – 1) + 2,

y = 10ایکس – 8.

پاسخ. y = 10ایکس – 8.

مثال 2 تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس + 5. معادله مماس را بر نمودار تابع بنویسید f(ایکس) به موازات خط مستقیم y = 2ایکس – 11.

تصمیم گیری مشتق عملکرد f(ایکس) برای هر x وجود دارد R ... بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس + 5) ′ \u003d 3 ایکس 2 – 6ایکس + 2.

از آنجا که مماس نمودار نمودار است f(ایکس) در نقطه با ابریسسا ایکس 0 موازی با یک خط مستقیم y = 2ایکس - 11 ، سپس شیب آن 2 است ، به عنوان مثال ( ایکس 0) \u003d 2. بیایید این abscissa را از شرطی که 3 پیدا کنیم ایکس– 6ایکس 0 + 2 \u003d 2. این برابری فقط برای معتبر است ایکس 0 \u003d 0 و برای ایکس 0 \u003d 2. از آنجا که در هر دو مورد f(ایکس 0) \u003d 5 ، سپس خط مستقیم y = 2ایکس + ب نمودار تابع را یا در نقطه (0؛ 5) یا در نقطه (2؛ 5) لمس می کند.

در حالت اول ، برابری عددی درست است 5 \u003d 2 + 0 + باز جایی که ب \u003d 5 ، و در حالت دوم ، برابری عددی درست است 5 \u003d 2 × 2 + باز جایی که ب = 1.

بنابراین دو مماس وجود دارد y = 2ایکس + 5 و y = 2ایکس 1 + نمودار عملکرد f(ایکس) به موازات خط مستقیم y = 2ایکس – 11.

پاسخ. y = 2ایکس + 5, y = 2ایکس + 1.

مثال 3 تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 2 – 6ایکس + 7. معادله مماس را بر نمودار تابع بنویسید f(ایکس) عبور از نقطه آ (2; –5).

تصمیم گیری زیرا f(2) –5 ، سپس اشاره کنید آ به نمودار تابع تعلق ندارد f(ایکس) بگذار ایکس 0 ابسیسای نقطه لمس است.

مشتق عملکرد f(ایکس) برای هر x وجود دارد R ... بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 6ایکس + 1) ′ \u003d 2 ایکس – 6.

سپس f(ایکس 0) = ایکس– 6ایکس 0 + 7; (ایکس 0) = 2ایکس 0 - 6. معادله مماس:

y = (2ایکس 0 – 6)(ایکس – ایکس 0) + ایکس– 6ایکس+ 7,

y = (2ایکس 0 – 6)ایکس– ایکس+ 7.

از آنجا که نقطه آ متعلق به خط مماس و سپس برابری عددی است

–5 = (2ایکس 0 - 6) × 2– ایکس+ 7,

از جایی که ایکس 0 \u003d 0 یا ایکس 0 \u003d 4. این بدان معنی است که از طریق نقطه آمی توانید دو نمودار مماس به نمودار تابع رسم کنید f(ایکس).

اگر یک ایکس 0 \u003d 0 ، سپس معادله مماس فرم دارد y = –6ایکس + 7. اگر ایکس 0 \u003d 4 ، سپس معادله خط مماس فرم دارد y = 2ایکس – 9.

پاسخ. y = –6ایکس + 7, y = 2ایکس – 9.

مثال 4 توابع داده شده f(ایکس) = ایکس 2 – 2ایکس + 2 و g(ایکس) = –ایکس 2 - 3. بگذارید معادله خط مماس مشترک را روی نمودارهای این توابع بنویسیم.

تصمیم گیری بگذار ایکس 1 - abscissa از نقطه مماس خط مستقیم مورد نظر با نمودار تابع f(ایکس) ، و ایکس 2 - abscissa از نقطه مماس همان خط مستقیم با نمودار تابع g(ایکس).

مشتق عملکرد f(ایکس) برای هر x وجود دارد R ... بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 2ایکس + 2) ′ \u003d 2 ایکس – 2.

سپس f(ایکس 1) = ایکس– 2ایکس 1 + 2; (ایکس 1) = 2 ایکس 1 - 2. معادله مماس:

y = (2ایکس 1 – 2)(ایکس – ایکس 1) + ایکس– 2ایکس 1 + 2,

y = (2ایکس 1 – 2)ایکس – ایکس+ 2. (1)

مشتق تابع را پیدا کنید g(ایکس):

= (–ایکس 2 - 3) ′ \u003d –2 ایکس.