"عظمت انسان در توانایی تفکر اوست."
بلیز پاسکال.

اهداف درس:

1) آموزشی - برای آشنایی دانش آموزان با معادلات همگن ، در نظر گرفتن روشهایی برای حل آنها ، در شکل گیری مهارت در حل انواع معادلات مثلثاتی که قبلاً مطالعه شده بود ، کمک می کند.

2) در حال توسعه - برای توسعه فعالیتهای خلاقانه دانش آموزان ، فعالیتهای شناختی ، تفکر منطقی ، حافظه ، توانایی کار در شرایط مشکل ، دستیابی به توانایی بیان صحیح ، مداوم ، منطقی افکار خود ، گسترش افق دید دانش آموزان و بالا بردن سطح فرهنگ ریاضی آنها.

3) آموزشی - پرورش میل به خودسازی ، سخت کوشی ، شکل گیری توانایی انجام صحیح و دقیق یادداشت های ریاضی ، تقویت فعالیت ، ترویج علاقه به ریاضیات.

نوع درس:ترکیب شده.

تجهیزات:

1. کارت های پانچ برای شش دانش آموز.
2. کارت هایی برای کار مستقل و فردی دانشجویان.
3. "حل معادلات مثلثاتی" ، "دایره واحد عددی" ایستاده است.
4. جداول مثلثات برقی.
5. ارائه درس (پیوست 1).

در طول کلاسها

1. مرحله سازمانی (2 دقیقه)

سلام متقابل بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس ( محل کار, ظاهر) سازمان توجه.

معلم دانش آموزان را در مورد موضوع درس ، اهداف آگاه می کند (اسلاید 2) و توضیح می دهد که در طول درس از جزواتی که روی میز است استفاده خواهد شد.

2. بررسی مطالب نظری (15 دقیقه)

وظایف کارت پانچ(6 نفر) . زمان کار با کارتهای مشت شده - 10 دقیقه (پیوست 2)

دانش آموزان پس از اتمام تکالیف ، محل استفاده از محاسبات مثلثاتی را فرا می گیرند. پاسخ های زیر بدست می آید: مثلث سازی (تکنیکی برای اندازه گیری فاصله تا ستاره های مجاور در نجوم) ، صوتی ، سونوگرافی ، توموگرافی ، ژئودزی ، رمزنگاری.

(اسلاید 5)

نظرسنجی فرونتال.

1. به چه معادلاتی مثلثاتی گفته می شود؟
2. چه نوع معادلات مثلثاتی را می شناسید؟
3. به چه معادلاتی ساده ترین معادلات مثلثاتی گفته می شود؟
4. به چه معادلاتی معادلات مثلثاتی مربع گفته می شود؟
5. تعریف مقبره یک عدد را فرموله کنید.
6. تعریف arccosine عدد a را فرموله کنید.
7. تعریف محاوره عدد a را فرموله کنید.
8. تعریف قوام لعاب قوس عدد a را فرموله کنید.

بازی "حدس بزن کلمه رمز"

بلیز پاسکال یک بار گفت که ریاضیات علمی است آنقدر جدی که نباید فرصتی را برای سرگرمی آن از دست داد. بنابراین پیشنهاد می کنم بازی کنیم. با حل مثالها ، توالی اعدادی را که کلمه رمز ایجاد می کند تعیین کنید. در لاتین ، این کلمه به معنی "سینوس" است. (اسلاید 3)

2) قوس الکتریکی (-√3)

4) tg (arc cos (1/2))

5) tg (قوس ctg √3)

پاسخ: "خم"

بازی ریاضی دان غایب»

وظایف مربوط به کارهای شفاهی بر روی صفحه نمایش داده می شود:

بررسی کنید آیا معادلات به درستی حل شده است. (پاسخ صحیح پس از پاسخ دانش آموز در اسلاید ظاهر می شود). (اسلاید 4)

بررسی تکالیف.

معلم صحت و آگاهی از اتمام تکالیف توسط همه دانش آموزان را تعیین می کند. خلا knowledge دانش را مشخص می کند. دانش ، مهارت و توانایی دانش آموزان را در زمینه حل ساده ترین معادلات مثلثاتی بهبود می بخشد.

1 معادله دانشجو درباره راه حل معادله نظر می دهد ، خطوط آن به ترتیب نظر در اسلاید ظاهر می شود.) (اسلاید 6)

√3tg2x \u003d 1 ؛

tg2x \u003d 1 / √3;

2x \u003d arctan 1 / -3 + πn، n ∈ز

2x \u003d π / 6 + πn ، n ∈ز

x \u003d π / 12+ π / 2 n ، n ∈ز.

معادله 2. تصمیم گیری sنوشته شده توسط دانش آموزان بر روی تخته سیاه.

2 sin 2 x + 3 cosx \u003d 0.

3. به روزرسانی دانش جدید (3 دقیقه)

دانش آموزان ، به درخواست معلم ، روش های حل معادلات مثلثاتی را به یاد می آورند. آنها معادلاتی را که از قبل می دانند چگونه حل می کنند ، انتخاب می کنند ، راه حل معادله و نتیجه را نام می برند . پاسخ ها در اسلاید نشان داده می شود. (اسلاید 7) .

معرفی یک متغیر جدید:

شماره 1 2sin 2 x - 7sinx + 3 \u003d 0.

بگذارید sinx \u003d t باشد ، پس:

2t 2 - 7t + 3 \u003d 0.

فاکتورسازی:

№2. 3sinx cos4x - cos4x \u003d 0 ؛

cos4x (3sinx - 1) \u003d 0 ؛

cos4x \u003d 0 یا 3 sinx - 1 \u003d 0 ؛ ...

شماره 3 2 sinx - 3 cosx \u003d 0 ،

شماره 4 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

معلم: هنوز نمی توانید دو نوع معادله آخر را حل کنید. هر دو از یک نوع هستند. نمی توان آنها را به یک معادله برای توابع sinx یا cosx تقلیل داد. نامیده می شوند معادلات مثلثاتی همگن. اما فقط اولین - معادله همگن درجه اول و دوم معادله همگن درجه دوم است. امروز در این درس با چنین معادلاتی آشنا خواهید شد و نحوه حل آنها را یاد خواهید گرفت.

4. توضیح مطالب جدید (25 دقیقه)

معلم تعاریف معادلات مثلثاتی همگن را به دانش آموزان ارائه می دهد ، راه حل های آنها را معرفی می کند.

تعریف. معادله ای از فرم sinx + b cosx \u003d 0 ، که در آن a ≠ 0، b ≠ 0 فراخوانی می شود معادله مثلثاتی همگن درجه اول. (اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 3 است. بیایید بنویسیم فرم کلی معادله و آن را تجزیه و تحلیل کنید.

و sinx + b cosx \u003d 0.

اگر cosx \u003d 0 باشد ، sinx \u003d 0 است.

- آیا چنین وضعیتی می تواند رقم بخورد؟

- نه ما با هویت مثلثاتی اساسی تناقض داریم.

از این رو ، cosx ≠ 0. بیایید تقسیم بر اصطلاح بر cosx کنیم:

a tgx + b \u003d 0

tgx \u003d –b / a- ساده ترین معادله مثلثاتی.

خروجی:همگن معادلات مثلثاتی درجه اول با تقسیم هر دو طرف معادله بر روی cosx (sinx) حل می شود.

برای مثال:2 sinx - 3 cosx \u003d 0 ،

زیرا cosx ≠ 0 ، پس

tgx \u003d 3/2 ;

x \u003d ارکان (3/2) + πn ، n ∈Z.

تعریف.معادله ای از فرم sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x \u003d 0 ، جایی که ≠ 0 ، b ≠ 0 ، c ≠ 0 نامیده می شود معادله مثلثاتی درجه دو. (اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 4 است. بیایید شکل کلی معادله را بنویسیم و آن را تجزیه و تحلیل کنیم.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x \u003d 0.

اگر cosx \u003d 0 باشد ، sinx \u003d 0 است.

بازهم ما با هویت مثلثاتی اساسی تناقض داریم.

از این رو ، cosx ≠ 0. بیایید با اصطلاح بر cos 2 x تقسیم کنیم:

و tg 2 x + b tgx + c \u003d 0 معادله ای است که به یک مربع کاهش می یابد.

نتیجه گیری: دربارهمعادلات مثلثاتی همگن درجه دوم با تقسیم هر دو طرف معادله بر cos 2 x (sin 2 x) حل می شود.

برای مثال:3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0 ، پس

3tg 2 x - 4 tgx + 1 \u003d 0 (از دانش آموز دعوت کنید که به تخته برود و معادله را به تنهایی کامل کند).

جایگزینی: tgx \u003d y. 3y 2 - 4 y + 1 \u003d 0

D \u003d 16 - 12 \u003d 4

y 1 \u003d 1 یا y 2 \u003d 1/3

tgx \u003d 1 یا tgx \u003d 1/3

x \u003d آرکتان (1/3) + πn ، n ∈Z.

x \u003d arctg1 + πn ، n ∈Z.

x \u003d π / 4 + πn ، n ∈Z.

5. مرحله بررسی درک دانش آموزان از مطالب جدید (1 دقیقه)

معادله زائد را انتخاب کنید:

sinx \u003d 2cosx ؛ 2sinx + cosx \u003d 2 ؛

s3sinx + cosx \u003d 0 ؛ sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0؛

4cosx + 5sinx \u003d 0 ؛ s3sinx - cosx \u003d 0.

(اسلاید 9)

6. ایمن سازی مواد جدید (24 دقیقه).

دانش آموزان به همراه پاسخ دهندگان در تخته سیاه معادلات موجود را حل می کنند مواد جدید... وظایف در یک اسلاید به شکل جدول نوشته می شوند. هنگام حل یک معادله ، قسمت مربوط به تصویر روی اسلاید باز می شود. در نتیجه تحقق 4 معادله ، تصویری از یک ریاضیدان پیش روی دانش آموزان باز می شود ، که تأثیر بسزایی در پیشرفت مثلثات داشت. (دانش آموزان پرتره فرانسوا ویتا - ریاضی دان بزرگی را که در مثلثات سهم بزرگی داشته ، خاصیت ریشه های معادله درجه دوم را کاهش داده و به رمزنگاری مشغول بوده است) تشخیص خواهند داد. ... (اسلاید 10)

1) s3sinx + cosx \u003d 0 ،

زیرا cosx ≠ 0 ، پس

t3tgx + 1 \u003d 0 ؛

tgx \u003d –1 / -3؛

x \u003d آرکتان (–1 / -3) + πn، n ∈Z.

x \u003d –π / 6 + πn، n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0 ، سپس tg 2 x - 10 tgx + 21 \u003d 0

جایگزینی: tgx \u003d سال

y 2 - 10 y + 21 \u003d 0

y 1 \u003d 7 یا y 2 \u003d 3

tgx \u003d 7 یا tgx \u003d 3

x \u003d arctg7 + πn ، n ∈Z

x \u003d arctg3 + πn ، n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x \u003d 0.

زیرا cos 2 2x ≠ 0 ، سپس 3tg 2 2x - 6tg2x +5 \u003d 0

جایگزینی: tg2x \u003d سال

3y 2 - 6y + 5 \u003d 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 \u003d 5 یا y 2 \u003d 1

tg2x \u003d 5 یا tg2x \u003d 1

2x \u003d arctg5 + πn ، n ∈Z

x \u003d 1/2 arctg5 + π / 2 n ، n ∈Z

2х \u003d arctg1 + πn ، n ∈Z

х \u003d π / 8 + π / 2 n ، n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin (π-x) cos (2π-x) \u003d 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx \u003d 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0 ، سپس 5tg 2 x + 4 tgx –1 \u003d 0

جایگزینی: tg x \u003d سال

5y 2 + 4y - 1 \u003d 0

D \u003d 16 + 20 \u003d 36

y 1 \u003d 1/5 یا y 2 \u003d –1

tg x \u003d 1/5 یا tg x \u003d –1

x \u003d arctg1 / 5 + πn ، n ∈Z

х \u003d ارکان (–1) + πn، n ∈Z

х \u003d –π / 4 + πn ، n ∈Z

علاوه بر این (روی کارت):

معادله را حل کنید و با انتخاب یکی از چهار گزینه پیشنهادی ، نام ریاضیدانی را که فرمول های تقلیل را استخراج کرده حدس بزنید:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x \u003d 0.

گزینه های پاسخ:

х \u003d arctg2 + 2πn ، n ∈Z х \u003d –π / 2 + πn ، n ∈Z - P. چبیشف

х \u003d ارکان 12،5 + 2πn ، n ∈Z х \u003d –3π / 4 + πn ، n ∈Z - اقلیدس

х \u003d آرکتان 5 + πn ، n ∈Z х \u003d –π / 3 + πn ، n ∈Z - Sofya Kovalevskaya

х \u003d arctg2،5 + πn ، n ∈Z х \u003d –π / 4 + πn ، n ∈Z - لئونارد اویلر

پاسخ صحیح: لئونارد اولر.

7. کار مستقل متمایز (8 دقیقه)

ریاضیدان و فیلسوف بزرگ بیش از 2500 سال پیش راهی برای رشد توانایی های تفکر پیشنهاد کرد. وی گفت: "تفكر با تعجب آغاز می شود." ما امروز به درستی این کلمات اطمینان پیدا کرده ایم. پس از اتمام کار مستقل در مورد 2 گزینه ، می توانید نحوه یادگیری مطالب را نشان دهید و نام این ریاضیدان را دریابید. برای کار مستقل از برگه های موجود روی میز خود استفاده کنید. می توانید یکی از سه معادله پیشنهادی را انتخاب کنید. اما به یاد داشته باشید که حل معادله مربوط به رنگ زرد، فقط با حل معادله مربوط به سبز می توانید "3" بدست آورید - "4" ، قرمز - "5". (پیوست 3)

بعد از هر سطح دشواری دانش آموزان را انتخاب کنید تصمیم درست از این معادله ، نسخه اول کلمه "ARIST" را دریافت می کند ، نسخه دوم - "HOTEL". در اسلاید این کلمه را می گیرید: "ARIST-HOTEL". (اسلاید 11)

جزوه هایی با کار مستقل برای تأیید ارسال می شوند. (پیوست 4)

8. ضبط تکالیف (1 دقیقه)

D / z: 7.17 2 معادله همگن درجه اول و 1 معادله همگن درجه دوم ایجاد و حل کنید (برای تدوین از قضیه ویتا استفاده کنید). (اسلاید 12)

9. جمع بندی درس ، اختصاص نمره (2 دقیقه)

معلم یک بار دیگر توجه خود را به آن نوع معادلات جلب می کند و آن واقعیت های نظری که در درس یادآوری می شود ، از لزوم یادگیری آنها می گوید.

دانش آموزان به س questionsالات پاسخ می دهند:

1. چه نوع معادلات مثلثاتی را مشاهده کرده ایم؟
2. چگونه این معادلات حل شده است؟

معلم بیشترین یادداشت را دارد کار موفق در درس تک تک دانش آموزان ، نمره می دهد.

معادلات غیرخطی در دو مجهول

تعریف 1 بگذارید A مقداری باشد مجموعه ای از جفت اعداد (ایکس; y) آنها می گویند که در مجموعه A تابع عددی z روی دو متغیر x و y ، اگر قانونی مشخص شود که به موجب آن یک عدد مشخص به هر جفت عدد از مجموعه A اختصاص یابد.

تعیین یک تابع عددی z در دو متغیر x و y اغلب است مشخص کن بنابراین:

جایی که f (ایکس , y) - هر عملکردی غیر از یک تابع

f (ایکس , y) = تبر + توسط + ج ,

که در آن a ، b ، c اعداد داده می شود.

تعریف 3 با حل معادله (2) با یک جفت شماره تماس بگیرید ( ایکس; y) که فرمول (2) برابر است.

مثال 1 معادله را حل کنید

از آنجا که مربع هر عدد غیر منفی است ، از فرمول (4) نتیجه می شود که مجهولات x و y سیستم معادلات را برآورده می کنند

حل آن یک جفت عدد است (6؛ 3).

پاسخ: (6؛ 3)

مثال 2 معادله را حل کنید

بنابراین ، راه حل معادله (6) است تعداد بی نهایت جفت اعداد نوع

(1 + y ; y) ,

y هر عددی است.

خطی

تعریف 4 با حل سیستم معادلات

با یک جفت شماره تماس بگیرید ( ایکس; y) ، وقتی در هر یک از معادلات این سیستم جایگزین شود ، برابری صحیح بدست می آید.

سیستم های دو معادله ، که یکی از آنها خطی است ، شکل دارند

g(ایکس , y)

مثال 4 حل سیستم معادلات

تصمیم گیری اجازه دهید y ناشناخته را از اولین معادله سیستم (7) از طریق x ناشناخته بیان کنیم و عبارت حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنیم:

حل معادله

ایکس 1 = - 1 , ایکس 2 = 9 .

در نتیجه،

y 1 = 8 - ایکس 1 = 9 ,
y 2 = 8 - ایکس 2 = - 1 .

سیستم های دو معادله ، یکی از آنها همگن است

سیستم های دو معادله که یکی از آنها همگن است ، شکل دارند

که در آن a ، b ، c اعداد داده می شود ، و g(ایکس , y) تابعی از دو متغیر x و y است.

مثال 6 حل سیستم معادلات

تصمیم گیری معادله همگن را حل کنید

3ایکس 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3ایکس 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

در نظر گرفتن آن به عنوان یک معادله درجه دوم برای x ناشناخته:

.

در مورد وقتی ایکس = - 5y ، از معادله دوم سیستم (11) معادله را بدست می آوریم

5y 2 = - 20 ,

که ریشه ندارد.

در مورد وقتی

از معادله دوم سیستم (11) معادله را بدست می آوریم

,

ریشه های آن اعداد است y 1 = 3 , y 2 = - 3 . با یافتن مقدار x مربوطه برای هر یک از این مقادیر y ، دو راه حل برای سیستم بدست می آوریم: (- 2؛ 3) ، (2؛ - 3).

پاسخ: (- 2 ؛ 3) ، (2 ؛ - 3)

نمونه هایی از حل سیستم معادلات از انواع دیگر

مثال 8 حل سیستم معادلات (MIPT)

تصمیم گیری ما ناشناخته های جدید u و v را معرفی می کنیم که با فرمول های x و y بیان می شوند:

به منظور بازنویسی سیستم (12) از نظر مجهولات جدید ، ابتدا مجهولات x و y را با توجه به u و v بیان می کنیم. از سیستم (13) نتیجه می شود که

اجازه دهید سیستم خطی (14) را حل کنیم ، متغیر x را از معادله دوم این سیستم مستثنی کنیم. برای این منظور ، ما تغییرات زیر را بر روی سیستم انجام می دهیم (14):

• معادله اول سیستم را بدون تغییر بگذارید.
• از معادله دوم معادله اول را کم می کنیم و معادله دوم سیستم را با اختلاف بدست آمده جایگزین می کنیم.

در نتیجه ، سیستم (14) به یک سیستم معادل تبدیل می شود

که از آن می یابیم

با استفاده از فرمول های (13) و (15) ، سیستم اصلی (12) را در فرم بازنویسی می کنیم

برای سیستم (16) ، اولین معادله خطی است ، بنابراین ما می توانیم از طریق آن ناشناخته v را از طریق آن بیان کنیم و این عبارت را در معادله دوم سیستم جایگزین کنیم.

امروز ما معادلات مثلثاتی همگن را حل خواهیم کرد. ابتدا بیایید اصطلاحات را کشف کنیم: معادله مثلثاتی همگن چیست. این ویژگی های زیر را دارد:

1. باید چندین اصطلاح داشته باشد.
2. همه اصطلاحات باید از یک درجه برخوردار باشند.
3. همه توابع موجود در یک هویت مثلثاتی همگن لزوماً باید استدلال یکسانی داشته باشند.

الگوریتم راه حل

بگذارید اصطلاحات را جدا کنیم

و اگر همه چیز با نکته اول روشن است ، لازم است با جزئیات بیشتری در مورد مورد دوم صحبت کنید. معنی همان درجه اصطلاحات چیست؟ بیایید به اولین کار نگاه کنیم:

3cosx + 5sinx \u003d 0

3 \\ cos x + 5 \\ sin x \u003d 0

اولین اصطلاح در این معادله است 3cosx3 \\ cos x لطفا توجه داشته باشید که در اینجا فقط یک تابع مثلثاتی وجود دارد - کیهان\\ cos x - و هیچ کس دیگر توابع مثلثاتی در اینجا وجود ندارد ، بنابراین درجه این اصطلاح 1 است. همان مورد دوم - 5 سینکس5 \\ sin x - فقط سینوس در اینجا وجود دارد ، یعنی درجه این اصطلاح نیز برابر با یک است. بنابراین ، ما یک هویت داریم که از دو عنصر تشکیل شده است ، هر یک از آنها دارای یک تابع مثلثاتی و در عین حال تنها یک عنصر هستند. این یک معادله درجه اول است.

رفتن به عبارت دوم:

4گناه کردن2 x + sin2x - 3 \u003d 0

4 ((\\ sin) ^ (2)) x + \\ sin 2x-3 \u003d 0

اولین عضو این سازه است 4گناه کردن2 ایکس4 ((\\ sin) ^ (2)) x.

اکنون می توانیم راه حل زیر را بنویسیم:

گناه کردن2 x \u003d sinx⋅sinx

((\\ sin) ^ (2)) x \u003d \\ sin x \\ cdot \\ sin x

به عبارت دیگر ، ترم اول شامل دو تابع مثلثاتی است ، یعنی درجه آن دو است. بیایید با عنصر دوم مقابله کنیم - sin2x\\ گناه 2 برابر بیایید این فرمول را به یاد بیاوریم - فرمول دو زاویه:

sin2x \u003d 2sinx⋅cosx

\\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cdot \\ cos x

و دوباره ، در فرمول حاصل ، ما دو تابش مثلثاتی داریم - سینوس و کسینوس. بنابراین ، ارزش نمایی این اصطلاح نیز دو است.

ما به عنصر سوم می رسیم - 3. از دوره ریاضیات دبیرستان ، به یاد می آوریم که هر عددی را می توان در 1 ضرب کرد ، و می نویسیم:

˜ 3=3⋅1

و واحد با استفاده از هویت مثلثاتی اساسی را می توان به شکل زیر نوشت:

1=گناه کردن2 x⋅ کوس2 ایکس

1 \u003d ((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x

بنابراین ، می توانیم 3 را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

3=3(گناه کردن2 x⋅ کوس2 ایکس)=3گناه کردن2 x + 3 کوس2 ایکس

3 \u003d 3 \\ چپ (((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x \\ right) \u003d 3 ((\\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \\ cos) ^ (2)) x

بنابراین ، اصطلاح 3 ما به دو عنصر تقسیم شد که هر یک از آنها همگن است و درجه دوم دارد. سینوس در اصطلاح اول دو بار اتفاق می افتد ، کسینوس در دوم نیز دو بار. بنابراین ، 3 همچنین می تواند به عنوان یک اصطلاح با نمایشگر قدرت دو نشان داده شود.

عبارت سوم نیز همین است:

گناه کردن3 x + گناه کردن2 xcosx \u003d 2 کوس3 ایکس

بیایید نگاهی بیندازیم. اصطلاح اول است گناه کردن3 ایکس((\\ sin) ^ (3)) x یک تابع مثلثاتی درجه سوم است. عنصر دوم است گناه کردن2 xcosx((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x.

گناه کردن2 ((\\ sin) ^ (2)) پیوندی است با مقدار توان دو ضرب در کیهان\\ cos x اولین اصطلاح است. در کل ، ترم سوم نیز دارای مقدار قدرت سه است. سرانجام ، یک لینک دیگر در سمت راست وجود دارد - 2کوس3 ایکس2 ((\\ cos) ^ (3)) x عنصر درجه سوم است. بنابراین ، ما در برابر خود یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم داریم.

ما سه هویت درجات مختلف را یادداشت کرده ایم. به عبارت دوم دوباره توجه کنید. در یادداشت اصلی ، یکی از اعضا بحث می کند 2 برابر2 برابر ما مجبور می شویم با تبدیل آن مطابق با فرمول سینوسی دو زاویه از شر این استدلال خلاص شویم ، زیرا همه توابع موجود در هویت ما لزوماً باید یک استدلال یکسان داشته باشند. و این یک الزام برای معادلات مثلثاتی همگن است.

ما از فرمول هویت مثلثاتی اصلی استفاده می کنیم و راه حل نهایی را یادداشت می کنیم

ما شرایط را فهمیدیم ، بیایید به راه حل برویم. صرف نظر از نماد نمایی ، حل معادلات این نوع همیشه در دو مرحله انجام می شود:

1) ثابت کنید که

cosx ≠ 0

\\ cos x \\ ne 0. برای این ، کافی است فرمول هویت مثلثاتی اصلی را به یاد بیاورید (گناه کردن2 x⋅ کوس2 x \u003d 1)\\ left (((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 1 \\ right) و جایگزین این فرمول شوید cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 ما عبارت زیر را دریافت می کنیم:

گناه کردن2 x \u003d 1sinx \u003d 1 پوند

\\ start (align) & ((\\ sin) ^ (2)) x \u003d 1 \\\\ & \\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\\\ end (تراز کردن)

جایگزینی مقادیر بدست آمده ، یعنی به جای کیهان\\ cos x صفر است و به جای آن سینکس\\ sin x - 1 یا -1 ، در عبارت اصلی ، برابری عددی نامعتبر داریم. این دلیل منطقی این واقعیت است که

cosx ≠ 0

2) مرحله دوم منطقی از مرحله اول دنبال می شود. تا آنجا که

cosx ≠ 0

\\ cos x \\ ne 0 ، ما هر دو طرف ساخت خود را بر تقسیم می کنیم کوسnایکس((\\ cos) ^ (n)) x ، کجا nn خود قدرت توان معادله مثلثاتی همگن است. چه چیزی به ما می دهد:

\\ [\\ start (آرایه) ((35) (l))

سینکسکیهان\u003d tgxکیهانکیهان=1

\\ start (align) & \\ frac (\\ sin x) (\\ cos x) \u003d tgx \\\\ & \\ frac (\\ cos x) (\\ cos x) \u003d 1 \\\\\\ end (align) \\\\ () \\\\ \\ end (آرایه) \\]

به همین دلیل ، ساخت اولیه دست و پا گیر ما به معادله کاهش می یابد nn- قدرت با توجه به مماس ، که حل آن را می توان به راحتی با استفاده از تغییر متغیر نوشت. این کل الگوریتم است. بیایید ببینیم که در عمل چگونه کار می کند.

ما مشکلات واقعی را حل می کنیم

مسئله شماره 1

3cosx + 5sinx \u003d 0

3 \\ cos x + 5 \\ sin x \u003d 0

ما قبلاً فهمیدیم که این یک معادله مثلثاتی همگن با توان توان برابر با یک است. بنابراین ، اول از همه ، اجازه دهید که آن را دریابیم cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. برعکس فرض کنید ، که

cosx \u003d 0 → sinx \u003d ± 1

\\ cos x \u003d 0 \\ تا \\ sin x \u003d \\ pm 1.

با جایگزینی مقدار حاصل در عبارت ما ، بدست می آوریم:

3⋅0+5⋅(1 پوند) \u003d 05 پوند \u003d 0

\\ start (align) & 3 \\ cdot 0 + 5 \\ cdot \\ left (\\ pm 1 \\ right) \u003d 0 \\\\ & \\ pm 5 \u003d 0 \\\\\\ end (تراز کردن)

بر این اساس می توان گفت که cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. معادله خود را بر تقسیم کنید کیهان\\ cos x ، زیرا کل عبارت ما دارای مقدار قدرت یک است. ما گرفتیم:

3(کیهانکیهان) +5(سینکسکیهان) =0 3 + 5tgx \u003d 0tgx \u003d - 3 5

\\ start (align) & 3 \\ left (\\ frac (\\ cos x) (\\ cos x) \\ right) +5 \\ left (\\ frac (\\ sin x) (\\ cos x) \\ right) \u003d 0 \\\\ & 3 + 5tgx \u003d 0 \\\\ & tgx \u003d - \\ frac (3) (5) \\\\\\ پایان (تراز کردن)

این یک مقدار جدولی نیست ، بنابراین پاسخ شامل خواهد شد arctgxarctgx:

x \u003d arctg (−3 5 ) + π n ، n∈Z

x \u003d arctg \\ چپ (- \\ frac (3) (5) \\ راست) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () n ، n \\ in Z

تا آنجا که arctgarctg arctg یک تابع عجیب است ، ما می توانیم "منهای" را از آرگومان خارج کرده و آن را قبل از arctg قرار دهیم. جواب نهایی را می گیریم:

x \u003d − arctg 3 5 + π n ، n∈Z

x \u003d -arctg \\ frac (3) (5) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () n ، n \\ in Z

مسئله شماره 2

4گناه کردن2 x + sin2x - 3 \u003d 0

4 ((\\ sin) ^ (2)) x + \\ sin 2x-3 \u003d 0

همانطور که به یاد دارید ، قبل از شروع به حل آن ، باید تغییرات را انجام دهید. ما تحولات را انجام می دهیم:

4گناه کردن2 x + 2sinxcosx - 3 (گناه کردن2 x + کوس2 ایکس)=0 4گناه کردن2 x + 2sinxcosx - 3 گناه کردن2 x - 3 کوس2 x \u003d 0گناه کردن2 x + 2sinxcosx - 3 کوس2 x \u003d 0

\\ start (align) & 4 ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 \\ سمت چپ (((\\ sin) ^ (2)) x + ((\\ cos) ^ ( 2)) x \\ right) \u003d 0 \\\\ & 4 ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 ((\\ sin) ^ (2)) x-3 ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 0 \\\\ & ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 0 \\\\\\ پایان (تراز کردن)

ساختاری متشکل از سه عنصر به دست ما رسید. در ترم اول می بینیم گناه کردن2 ((\\ sin) ^ (2)) ، یعنی مقدار قدرت آن دو است. در دوره دوم می بینیم سینکس\\ sin x و کیهان\\ cos x - دوباره دو عملکرد وجود دارد ، آنها ضرب می شوند ، بنابراین کل قدرت دوباره دو است. در لینک سوم می بینیم کوس2 ایکس((\\ cos) ^ (2)) x - همان مقدار اول است.

بگذارید این را ثابت کنیم cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 راه حلی برای این ساختار نیست. برای انجام این کار ، عکس این را فرض کنید:

\\ [\\ start (آرایه) ((35) (l))

\\ cos x \u003d 0 \\\\\\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\ 1 + 2 \\ cdot \\ چپ (\\ بعد از ظهر 1 \\ راست) \\ cdot 0-3 \\ cdot 0 \u003d 0 \\\\ 1 + 0-0 \u003d 0 \\ \\ 1 \u003d 0 \\\\\\ پایان (آرایه) \\]

ما این را ثابت کرده ایم cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 نمی تواند یک راه حل باشد. ما به مرحله دوم می رسیم - کل بیان خود را به تقسیم می کنیم کوس2 ایکس((\\ cos) ^ (2)) x چرا مربع؟ زیرا بیانگر این معادله همگن دو است:

گناه کردن2 ایکسکوس2 ایکس+2sinxcosxکوس2 ایکس−3=0 تی g2 x + 2tgx - 3 \u003d 0

\\ start (align) & \\ frac (((\\ sin) ^ (2)) x) (((\\ cos) ^ (2)) x) +2 \\ frac (\\ sin x \\ cos x) ((((\\) cos) ^ (2)) x) -3 \u003d 0 \\\\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 \u003d 0 \\\\\\ پایان (تراز کردن)

آیا با استفاده از متمایز می توان این عبارت را حل کرد؟ البته. اما من پیشنهاد می کنم قضیه را بخاطر بسپارم ، قضیه مکالمه Vieta ، و ما دریافتیم که این چند جمله ای را می توان در قالب دو چند جمله ای ساده نشان داد ، یعنی:

(tgx + 3) (tgx - 1) \u003d 0tgx \u003d -3 → x \u003d −arctg3 + π n ، n∈Ztgx \u003d 1 → x \u003d π 4 + π k ، k∈Z

\\ start (align) & \\ left (tgx + 3 \\ right) \\ left (tgx-1 \\ right) \u003d 0 \\\\ & tgx \u003d -3 \\ تا x \u003d -arctg3 + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () n ، n \\ in Z \\\\ & tgx \u003d 1 \\ به x \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) (4) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () k، k \\ در Z \\\\\\ پایان (تراز کردن)

بسیاری از دانشجویان می پرسند که آیا ارزش نوشتن ضرایب جداگانه برای هر گروه از راه حلهای هویت را دارد یا اینکه همه جا را به زحمت نیاندازید و آنرا نوشتید. من شخصاً فکر می کنم استفاده از حروف مختلف بهتر و قابل اطمینان تر است ، بنابراین در مورد ورود به دانشگاه فنی جدی با آزمون های اضافی در ریاضیات ، ارزیاب ها عیب و نقصی در جواب پیدا نمی کنند.

مسئله شماره 3

گناه کردن3 x + گناه کردن2 xcosx \u003d 2 کوس3 ایکس

((\\ sin) ^ (3)) x + ((\\ sin) ^ (2) x x cos x \u003d 2 ((\\ cos) ^ (3)) x

ما قبلاً می دانیم که این یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم است ، هیچ فرمول خاصی لازم نیست و تمام آنچه که از ما لازم است انتقال اصطلاح است 2کوس3 ایکس2 ((\\ cos) ^ (3)) x باقی مانده است. بازنویسی می کنیم:

گناه کردن3 x + گناه کردن2 xcosx - 2 کوس3 x \u003d 0

((\\ sin) ^ (3)) x + ((\\ sin) ^ (2) x \\ cos x-2 ((\\ cos) ^ (3)) x \u003d 0

می بینیم که هر عنصر شامل سه توابع مثلثاتی است ، بنابراین این معادله دارای مقدار قدرت برابر با سه است. ما آن را حل می کنیم. اول از همه ، ما باید این را ثابت کنیم cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 یک ریشه نیست:

\\ [\\ start (آرایه) ((35) (l))

\\ cos x \u003d 0 \\\\\\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\\\ پایان (آرایه) \\]

بیایید این اعداد را به ساختار اصلی خود وصل کنیم:

(1 پوند)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 \u003d 0± 1 \u003d 0

\\ start (align) & ((\\ چپ (\\ pm 1 \\ right)) ^ (3)) + 1 \\ cdot 0-2 \\ cdot 0 \u003d 0 \\\\ & \\ pm 1 + 0-0 \u003d 0 \\\\ & \\ بعد از ظهر 1 \u003d 0 \\\\\\ پایان (تراز کردن)

در نتیجه، cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 یک راه حل نیست. ما این را ثابت کرده ایم cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. اکنون که این را ثابت کردیم ، معادله اصلی خود را بر تقسیم می کنیم کوس3 ایکس((\\ cos) ^ (3)) x چرا مکعبی؟ زیرا ما تازه ثابت کردیم که معادله اصلی ما درجه سوم است:

گناه کردن3 ایکسکوس3 ایکس+گناه کردن2 xcosxکوس3 ایکس−2=0 تی g3 x + t g2 x - 2 \u003d 0

\\ start (align) & \\ frac (((\\ sin) ^ (3)) x) (((\\ cos) ^ (3)) x) + \\ frac (((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x) (((\\ cos) ^ (3)) x) -2 \u003d 0 \\\\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 \u003d 0 \\\\\\ پایان (تراز کردن)

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

tgx \u003d t

ما ساخت را دوباره می نویسیم:

تی3 +تی2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 \u003d 0

قبل از ما معادله مکعب... چگونه آن را حل کنیم؟ در ابتدا ، وقتی تازه داشتم این آموزش ویدئویی را تدوین می کردم ، قصد داشتم درمورد مقدماتی درمورد فاکتورهای چند جمله ای و سایر تکنیک ها صحبت کنم. اما در این حالت همه چیز بسیار ساده تر است. ببینید ، هویت کاهش یافته ما ، با اصطلاحی با بالاترین درجه ، 1 است. علاوه بر این ، تمام ضرایب عدد صحیح هستند. و این بدان معنی است که ما می توانیم از نتیجه قضیه Bezout استفاده کنیم که بیان می کند همه ریشه ها تقسیم کننده عدد -2 ، یعنی اصطلاح آزاد هستند.

این سوال پیش می آید: تقسیم -2 چیست؟ از آنجا که 2 عدد اول است ، گزینه های زیادی وجود ندارد. این می تواند اعداد زیر باشد: 1؛ 2 -یک -2 ریشه های منفی بلافاصله از بین می روند. چرا؟ از آنجا که هر دو آنها از مدول بزرگتر از 0 هستند ، بنابراین ، تی3 ((t) ^ (3)) در مدول بیشتر از خواهد بود تی2 ((t) ^ (2)). و از آنجا که مکعب یک تابع فرد است ، بنابراین تعداد مکعب منفی خواهد بود ، و تی2 ((t) ^ (2)) - مثبت ، و کل ساختار ، برای t \u003d −1t \u003d -1 و t \u003d −2t \u003d -2 ، بیش از 0 نخواهد بود. -2 را از آن کم کنید و عددی بدست آورید که مطمئناً کمتر از 0. فقط 1 و 2 باقی مانده است. بیایید هر یک از این اعداد را جایگزین کنیم:

˜ t \u003d 1 → 1 + 1−2 \u003d 0 0 \u003d 0

˜t \u003d 1 \\ به \\ text () 1 + 1-2 \u003d 0 \\ تا 0 \u003d 0

ما برابری عددی صحیح را بدست آوردیم. در نتیجه، t \u003d 1t \u003d 1 یک ریشه است.

t \u003d 2 → 8 + 4−2 \u003d 0 10 ≠ 0

t \u003d 2 \\ به 8 + 4-2 \u003d 0 \\ به 10 \\ n 0

t \u003d 2t \u003d 2 یک ریشه نیست.

با توجه به نتیجه گیری و همان قضیه Bezout ، هر چند جمله ای که ریشه آن باشد ایکس0 ((x) _ (0)) ، به صورت زیر نمایش داده می شود:

Q (x) \u003d (x \u003d ایکس0 ) P (x)

Q (x) \u003d (x \u003d ((x) _ (0))) P (x)

در مورد ما ، در نقش ایکسx یک متغیر است تیt ، و در نقش ایکس0 ((x) _ (0)) - ریشه برابر 1. ما بدست می آوریم:

تی3 +تی2 −2 \u003d (t - 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 \u003d (t-1) \\ cdot P (t)

چگونه یک چند جمله ای پیدا کنیم پ (تی)P \\ چپ (t \\ راست)؟ بدیهی است که شما باید موارد زیر را انجام دهید:

P (t) \u003d تی3 +تی2 −2 t - 1

P (t) \u003d \\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

ما جایگزین می کنیم:

تی3 +تی2 + 0⋅t - 2t - 1=تی2 + 2t + 2

\\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \\ cdot t-2) (t-1) \u003d ((t) ^ (2)) + 2t + 2

بنابراین ، چند جمله ای اصلی ما بدون باقیمانده تقسیم شده است. بنابراین ، ما می توانیم برابری اصلی خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(t - 1) ( تی2 + 2t + 2) \u003d 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) \u003d 0

محصول حداقل زمانی است که حداقل یکی از فاکتورها صفر باشد. ما در حال حاضر اولین عامل را در نظر گرفتیم. بیایید به مورد دوم نگاه کنیم:

تی2 + 2t + 2 \u003d 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 \u003d 0

دانشجویان باتجربه احتمالاً قبلاً متوجه این موضوع شده اند این طرح ریشه ندارد ، اما بیایید باز هم تبعیض آمیز را محاسبه کنیم.

D \u003d 4−4⋅2 \u003d 4−8 \u003d −4

D \u003d 4-4 \\ cdot 2 \u003d 4-8 \u003d -4

تفکیک کننده کمتر از 0 است ، بنابراین ، این عبارت ریشه ندارد. در کل ، ساخت و ساز عظیم به برابری معمول کاهش یافته است:

\\ [\\ start (آرایه) ((35) (l))

t \u003d \\ text () 1 \\\\ tgx \u003d \\ text () 1 \\\\ x \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) (4) + \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () k، k \\ در Z \\\\\\ end (آرایه) \\]

در پایان ، می خواهم در مورد آخرین کار چند نظر اضافه کنم:

1. آیا شرط همیشه راضی خواهد بود cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0 ، و آیا اصلا ارزش بررسی دارد. البته نه همیشه. در مواردی که cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 راه حلی برای برابری ماست ، شما باید آن را از براکت ها خارج کنید ، و سپس یک معادله همگن تمام عیار در براکت ها باقی می ماند.
2. تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای چیست؟ در واقع ، در اکثر مدارس این مطالعه مورد مطالعه قرار نمی گیرد و هنگامی که دانش آموزان برای اولین بار چنین ساختاری را می بینند ، یک شوک جزئی را تجربه می کنند. اما ، در واقع ، آن ساده است و استقبال زیبا، که حل معادلات را بسیار تسهیل می کند درجات بالاتر... البته یک آموزش تصویری جداگانه به وی اختصاص داده خواهد شد که در آینده نزدیک منتشر خواهم کرد.

امتیاز کلیدی

معادلات مثلثاتی همگن یک موضوع مورد علاقه در انواع مختلف است کنترل کار می کند... آنها خیلی ساده حل می شوند - کافی است یکبار تمرین کنید. برای اینکه روشن شود در مورد چه چیزی صحبت می کنیم ، تعریف جدیدی را معرفی خواهیم کرد.

معادله مثلثاتی همگن معادله ای است که در آن هر اصطلاح غیر صفر از همان تعداد فاکتورهای مثلثاتی تشکیل شده است. این می تواند سینوس ها ، کسینوس ها یا ترکیبات آنها باشد - روش راه حل همیشه یکسان است.

درجه معادله مثلثاتی همگن تعداد عوامل مثلثاتی است که در اصطلاحات غیر صفر گنجانده شده است. مثالها:

sinx + 15 cos x \u003d 0

\\ sin x + 15 \\ text (cos) x \u003d 0 - هویت درجه 1 ؛

2 sin2x + 5sinxcosx - 8cos2x \u003d 0

2 \\ text (sin) 2x + 5 \\ sin xcosx-8 \\ cos 2x \u003d 0 - درجه 2 ؛

sin3x + 2sinxcos2x \u003d 0

\\ sin 3x + 2 \\ sin x \\ cos 2x \u003d 0 - درجه 3 ؛

sinx + cosx \u003d 1

\\ sin x + \\ cos x \u003d 1 - و این معادله همگن نیست ، زیرا یکی در سمت راست وجود دارد - یک اصطلاح غیر صفر ، که در آن هیچ فاکتور مثلثاتی وجود ندارد.

sin2x + 2sinx - 3 \u003d 0

\\ sin 2x + 2 \\ sin x-3 \u003d 0 نیز یک معادله ناهمگن است. عنصر sin2x\\ sin 2x - درجه دوم (از آنجا که می توانید نمایندگی کنید

sin2x \u003d 2sinxcosx

\\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cos x) ، 2 سینکس2 \\ sin x اولین است و اصطلاح 3 به طور کلی صفر است ، زیرا هیچ سینوس یا کسینوس در آن وجود ندارد.

طرح راه حل عمومی

طرح راه حل همیشه یکسان است:

بیایید اینگونه وانمود کنیم cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 سپس sinx \u003d 1 پوند\\ sin x \u003d \\ pm 1 - این از هویت اصلی ناشی می شود. جایگزین سینکس\\ sin x و کیهان\\ cos x به عبارت اصلی ، و اگر نتیجه بی معنی است (به عنوان مثال ، عبارت 5=0 5 \u003d 0) ، به نقطه دوم بروید ؛

همه چیز را با قدرت کسینوس تقسیم می کنیم: cosx ، cos2x ، cos3x ... - به مقدار قانون-قدرت معادله بستگی دارد. ما برابری معمول را با مماس بدست می آوریم ، که پس از جایگزینی tgx \u003d t با موفقیت برطرف می شود.

tgx \u003d t ریشه های یافت شده پاسخ اصطلاح اصلی خواهد بود.

در این مقاله ، ما به دنبال راهی برای حل معادلات مثلثاتی همگن خواهیم بود.

معادلات مثلثاتی همگن همان ساختار معادلات همگن از هر نوع دیگر را دارد. بگذارید من راهی برای حل معادلات همگن درجه دوم به شما یادآوری کنم:

معادلات همگن فرم را در نظر بگیرید

ویژگی های متمایز معادلات همگن:

الف) همه تک صداها دارای یک درجه هستند ،

ب) مدت آزاد صفر است ،

ج) این معادله شامل درجاتی با دو پایه متفاوت است.

معادلات همگن با استفاده از الگوریتمی مشابه حل می شوند.

برای حل یک معادله از این نوع ، هر دو طرف معادله را بر (تقسیم بر یا تقسیم) تقسیم کنید

توجه! هنگام تقسیم دو طرف راست و چپ معادله با عبارتی حاوی مجهول ، می توانید ریشه های خود را از دست دهید. بنابراین ، لازم است بررسی شود که آیا ریشه های عبارتی که به وسیله آن هر دو طرف معادله را تقسیم می کنیم ، ریشه های معادله اصلی نیستند.

اگر اینگونه باشد ، ما این ریشه را می نویسیم تا بعداً آن را فراموش نکنیم و سپس بر این عبارت تقسیم می کنیم.

به طور کلی ، اول از همه ، هنگام حل هر معادله ای که در سمت راست آن صفر باشد ، باید سعی کنید گسترش دهید سمت چپ معادلات ضرب به روشی در دسترس... و سپس هر عامل را برابر با صفر کنید. در این صورت قطعاً ریشه های خود را از دست نخواهیم داد.

بنابراین ، سمت چپ معادله را با دقت به یک اصطلاح به ترم تقسیم کنید. ما گرفتیم:

عدد و مخرج کسر دوم و سوم را کاهش دهید:

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم:

ما گرفتیم معادله ی درجه دو:

بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم ، مقادیر را پیدا کنیم و سپس به حالت ناشناخته اصلی برگردیم.

هنگام حل معادلات مثلثاتی همگن ، چند نکته مهم را باید به خاطر بسپارید:

1. اصطلاح آزاد را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی اساسی به مربع سینوس و کسینوس تبدیل کرد:

2. سینوس و کسینوس یک استدلال مضاعف مونوم های درجه دوم هستند - سینوس استدلال دو برابر می تواند به راحتی به محصول یک سینوس و کسینوس و کسینوس یک استدلال دوگانه تبدیل شود - به مربع a سینوس یا کسینوس:

بیایید چندین نمونه از حل معادلات مثلثاتی همگن را در نظر بگیریم.

یکی بیایید معادله را حل کنیم:

آی تی مثال کلاسیک معادله مثلثاتی همگن درجه اول: درجه هر مونوم برابر با یک است ، اصطلاح آزاد صفر است.

قبل از تقسیم هر دو طرف معادله بر ، باید بررسی کنید که ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند. بررسی کنید: اگر ، پس عنوان \u003d "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنید.

ما گرفتیم:

جایی که

جایی که

پاسخ: جایی که

2 بیایید معادله را حل کنیم:

این نمونه ای از یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است. ما به یاد می آوریم که اگر بتوانیم سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم ، انجام چنین کاری مطلوب است. در این معادله می توان براکت ها را بیرون آورد. بیایید این کار را انجام دهیم:

حل معادله اول: ، کجا

معادله دوم معادله مثلثاتی همگن درجه اول است. برای حل آن ، هر دو طرف معادله را بر تقسیم می کنیم. ما گرفتیم:

پاسخ: کجا ،

3 بیایید معادله را حل کنیم:

برای "همگن" ساختن این معادله ، آن را به یک محصول تبدیل کنید و عدد 3 را به عنوان مجموع مربع های سینوس و کسینوس نشان دهید:

همه اصطلاحات را به سمت چپ حرکت دهید ، براکت ها را گسترش دهید و اصطلاحات مشابهی را بیان کنید. ما گرفتیم:

ضلع سمت چپ را ضریب کرده و هر فاکتور را برابر با صفر قرار دهید:

پاسخ: کجا ،

چهار بیایید معادله را حل کنیم:

ما می بینیم که چه چیزهایی را می توانیم از براکت خارج کنیم. بیایید این کار را انجام دهیم:

بیایید هر عامل را برابر با صفر کنیم:

راه حل معادله اول:

معادله دوم جمعیت معادله همگن کلاسیک درجه دو است. ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند ، بنابراین ما هر دو طرف معادله را بر اساس تقسیم می کنیم:

راه حل معادله اول:

حل معادله دوم.

موضوع درس: "معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف: معرفی مفهوم معادلات مثلثاتی همگن از درجه I و II ؛ برای تنظیم و کار کردن یک الگوریتم برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II ؛ برای یادگیری دانش آموزان برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II ؛ توانایی شناسایی الگوها ، تعمیم تحریک علاقه به موضوع ، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس: درس شکل گیری دانش جدید.

شکل انجام: کار گروهی.

تجهیزات: رایانه ، نصب چندرسانه ای

در طول کلاسها

سازماندهی زمان

سلام به دانش آموزان ، تحریک توجه.

در درس ، سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد ، ورق ارزیابی را توسط یک متخصص مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب شده است ، پر می کند). این درس با ارائه همراه است. .

به روزرسانی دانش پایه

قبل از اتمام درس و تکمیل برگه نمره ، تکالیف توسط یک متخصص مستقل و مشاوران بررسی و ارزیابی می شود.

معلم تکالیف را خلاصه می کند.

معلم: ما همچنان به مطالعه مبحث "معادلات مثلثاتی" می پردازیم. امروز در این درس ما با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها شما را خواهیم شناخت و بنابراین آنچه را که آموخته ایم تکرار خواهیم کرد. انواع معادلات مثلثاتی هنگام حل به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می یابد.

تکالیف فردی که به صورت گروهی انجام می شود بررسی می شود. دفاع از ارائه "راه حل های ساده ترین معادلات مثلثاتی"

(کار گروه توسط یک متخصص مستقل ارزیابی می شود)

انگیزه یادگیری.

معلم: ما باید روی حل جدول کلمات متقاطع کار کنیم. با حل آن ، نام نوع جدیدی از معادلات را یاد خواهیم گرفت که امروز در درس حل خواهیم کرد.

سوالات بر روی صفحه نمایش قرار می گیرد. دانش آموزان حدس می زنند ، امتحان كننده مستقل نكاتی را در برگه ارزیابی دانش آموزان پاسخ دهنده وارد می كند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع ، بچه ها کلمه "همگن" را می خوانند.

جذب دانش جدید.

معلم: موضوع درس "معادلات مثلثاتی همگن" است.

بگذارید موضوع درس را در یک دفترچه بنویسیم. معادلات مثلثاتی همگن از درجه اول و دوم است.

اجازه دهید تعریف معادله همگن درجه اول را بنویسیم. با استفاده از یک مثال ، من حل این نوع معادله را نشان می دهم ، شما یک الگوریتم برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک می سازید.

معادله فرم وsinx + بcosx \u003d 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

راه حل معادله را هنگام ضرایب در نظر بگیرید و و که در متفاوت از 0.

مثال: sinx + cosx \u003d 0

R با تقسیم هر دو طرف اصطلاح معادله با cosx ، بدست می آوریم

توجه! تقسیم بر 0 فقط در صورتی امکان پذیر است که این عبارت در جایی به 0 تبدیل نشود. بیایید تجزیه و تحلیل کنیم. اگر کسینوس 0 باشد ، با توجه به اینکه ضرایب با 0 متفاوت هستند ، سینوس برابر 0 خواهد بود ، اما می دانیم که سینوس و کسینوس در نقاط مختلف از بین می روند. بنابراین ، هنگام حل این نوع معادله می توان این عملیات را انجام داد.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول: تقسیم هر دو طرف معادله به cosx ، cosx 0

معادله فرم و sin mx +ب cos mx \u003d 0همچنین یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود و تقسیم هر دو طرف معادله توسط کسینوس mh نیز حل شده است.

معادله فرم آ گناه کردن 2 x +ب سینکس کونکس +ج cos2x \u003d 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال : گناه کردن 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x \u003d 0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین ، مانند معادله قبلی ، cosx برابر 0 نیست و بنابراین می توانید از روش تقسیم هر دو طرف معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

tg 2 x + 2tgx بدست می آوریم - 3 \u003d 0

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx \u003d a حل کنیم ، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 + 2a - 3 \u003d 0

D \u003d 4 - 4 (–3) \u003d 16

a 1 \u003d 1 a 2 \u003d –3

بازگشت به جایگزینی

پاسخ:

اگر ضریب a \u003d 0 باشد ، معادله به صورت 2sinx cosx در می آید - 3cos2x \u003d 0 که با استفاده از فاکتور مشترک cosx در خارج از براکت ها حل می کنیم. اگر ضریب c \u003d 0 باشد ، معادله به شکل sin2x + 2sinx cosx \u003d 0 در می آید که با قرار دادن فاکتور مشترک sinx در خارج از براکت ها حل می کنیم. الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول:

ببینید آیا معادله asin2 x دارد.

اگر اصطلاح asin2 x در معادله باشد (یعنی a 0) ، پس با تقسیم هر دو طرف معادله به cos2x و سپس معرفی یک متغیر جدید معادله حل می شود.

اگر اصطلاح asin2 x در معادله موجود نباشد (به عنوان مثال a \u003d 0) ، معادله با روش فاکتورسازی حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود. معادلات همگن فرم sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx \u003d 0 به همین ترتیب حل می شوند

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی همگن در کتاب درسی صفحه 102 نوشته شده است.

تربیت بدنی

شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

افتتاح کتابهای مشکل صفحه 53

گروه های 1 و 2 شماره 361-v را تعیین می کنند

گروه های 3 و 4 شماره 363-v را تعیین می کنند

آنها راه حل را روی صفحه نشان می دهند ، توضیح می دهند ، تکمیل می کنند. یک متخصص مستقل ارزیابی می کند.

حل نمونه هایی از کتاب مسئله شماره 361-v
sinx - 3cosx \u003d 0
ما هر دو طرف معادله را با cosx 0 تقسیم می کنیم ، به دست می آوریم

شماره 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x \u003d 0
هر دو طرف معادله را با cos2x تقسیم کنید ، tg2x + tgx بدست می آوریم - 2 \u003d 0

ما با معرفی یک متغیر جدید حل می کنیم
بگذارید tanx \u003d a باشد ، سپس معادله را بدست می آوریم
a2 + a - 2 \u003d 0
D \u003d 9
a1 \u003d 1 a2 \u003d –2
بازگشت به جایگزینی

کار مستقل.

معادلات را حل کنید.

2 cosx - 2 \u003d 0

2cos2x - 3cosx +1 \u003d 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x \u003d 0

در پایان کار مستقل ، کار و بررسی متقابل تغییر می کند. پاسخ های صحیح روی صفحه نمایش داده می شود.

سپس اجاره می دهند کارشناس مستقل.

راه حل خودکار

خلاصه درس.

چه نوع معادلات مثلثاتی را در درس مشاهده کردیم؟

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی درجه اول و دوم.

تکلیف خانه: § 20.3 را بخوانید. شماره 361 (د) ، 363 (ب) ، دشواری اضافی شماره 380 (الف).

جدول کلمات متقاطع

اگر کلمات صحیح را وارد کنید ، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی را می گیرید.

مقدار متغیری که معادله را درست کند؟ (ریشه)

واحد زاویه ای؟ (رادیان)

یک عامل عددی در یک محصول؟ (ضریب)

شاخه ای از ریاضیات که توابع مثلثاتی را مطالعه می کند؟ (مثلثات)

برای معرفی توابع مثلثاتی به چه مدل ریاضی نیاز است؟ (دایره)

کدام یک از توابع مثلثاتی یکنواخت است؟ (کسینوس)

برابری صحیح چیست؟ (هویت)

برابری با یک متغیر؟ (معادله)

معادلاتی با ریشه های یکسان؟ (معادل)

مجموعه ریشه های معادله ؟ (تصمیم)

مقاله ارزیابی

№
n \\ n

نام خانوادگی ، نام معلم

مشق شب

ارائه

فعالیت شناختی
مطالعه

حل معادلات

خود
کار

مشق شب - 12 امتیاز (3 معادله 4 3 3 \u003d 12 به خانه اختصاص داده شد)

ارائه - 1 امتیاز

فعالیت دانشجویی - 1 پاسخ - 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

ارزیابی برای گروه:

"5" - 22 امتیاز یا بیشتر
"4" - 18 - 21 امتیاز
"3" - 12 - 17 امتیاز