برای تعیین مساحت یک مثلث می توان از فرمول های مختلف استفاده کرد. از بین همه روش ها ، ساده ترین و اغلب مورد استفاده ضرب ارتفاع در طول پایه و سپس تقسیم نتیجه به دو است. با این حال ، این روش از تنها روش دور است. در زیر می توانید نحوه پیدا کردن مساحت یک مثلث را با استفاده از فرمول های مختلف بخوانید.

به طور جداگانه ، روشهایی را برای محاسبه مساحت انواع خاصی از یک مثلث - مستطیل ، متساوی و متساوی الاضلاع در نظر خواهیم گرفت. ما هر فرمول را با یک توضیح کوتاه همراه می کنیم که به شما کمک می کند ماهیت آن را درک کنید.

روش های جهانی برای پیدا کردن مساحت یک مثلث

در فرمول های زیر از علامت گذاری ویژه استفاده می شود. ما هر یک از آنها را رمزگشایی خواهیم کرد:

• a، b، c - طول سه ضلع شکل که در نظر داریم
• r شعاع دایره ای است که می تواند در مثلث ما ثبت شود.
• R شعاع دایره ای است که می توان در اطراف آن توصیف کرد.
• α - مقدار زاویه تشکیل شده توسط دو طرف b و c ؛
• β زاویه بین a و c است.
• γ - مقدار زاویه تشکیل شده توسط اضلاع a و b ؛
• h - ارتفاع مثلث ما ، از زاویه α به ضلع a پایین می آید ؛
• p - نصف مجموع اضلاع a ، b و c.

منطقی است که چرا می توان مساحت یک مثلث را از این طریق پیدا کرد. مثلث را می توان به راحتی به صورت متوازی الاضلاع تکمیل کرد که در آن یک طرف مثلث به عنوان یک مورب عمل می کند. مساحت یک متوازی الاضلاع با ضرب طول یکی از اضلاع آن در مقدار ارتفاع کشیده شده به آن پیدا می شود. مورب این متوازی الاضلاع معمولی را به 2 مثلث یکسان تقسیم می کند. بنابراین ، کاملاً واضح است که مساحت مثلث اصلی ما باید برابر با نیمی از مساحت این متوازی الاضلاع کمکی باشد.

S \u003d ½ a b sin γ

براساس این فرمول ، مساحت یک مثلث با ضرب طول دو ضلع آن ، یعنی a و b ، در سینوس زاویه تشکیل شده توسط آنها پیدا می شود. این فرمول به طور منطقی از فرمول قبلی گرفته شده است. اگر ارتفاع را از زاویه β به ضلع b کاهش دهیم ، با توجه به خصوصیات راست گوشه، هنگام ضرب طول ضلع a در سینوس زاویه γ ، ارتفاع مثلث یعنی h را بدست می آوریم.

مساحت شکل مورد نظر با ضرب نیمی از شعاع دایره ، که می تواند در آن حک شود ، در محیط آن پیدا می شود. به عبارت دیگر ، ما محصول نیمه نیم متر و شعاع دایره ذکر شده را پیدا می کنیم.

S \u003d a b s / 4R

طبق این فرمول ، با تقسیم حاصلضلع اضلاع شکل به 4 شعاع دایره توصیف شده در اطراف ، مقداری که به آن نیاز داریم را می توان یافت.

این فرمول ها جهانی هستند ، زیرا تعیین سطح هر مثلث (چند منظوره ، متساوی الاضلاع ، متساوی الاضلاع ، مستطیل شکل) را ممکن می سازد. این کار را می توان با کمک محاسبات پیچیده تری انجام داد ، که ما جزئیات آن را بررسی نمی کنیم.

مناطقی از مثلث با خصوصیات خاص

چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کنم؟ ویژگی این رقم این است که دو طرف آن به طور همزمان ارتفاع آن است. اگر a و b پاها باشند و c به هیپوتنوز تبدیل شود ، منطقه به صورت زیر پیدا می شود:

چگونه مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنیم؟ دارای دو ضلع به طول a و یک ضلع به طول b است. بنابراین ، مساحت آن را می توان با تقسیم بر 2 حاصلضرب مربع ضلع a به سینوس زاویه γ تعیین کرد.

چگونه مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنیم؟ در آن طول همه ضلع ها برابر با a است و اندازه تمام زوایا α است. ارتفاع آن برابر با نصف حاصل از ضلع a در ریشه مربع 3 است. برای یافتن مساحت یک مثلث منظم ، باید مربع ضلع a را در ریشه مربع 3 ضرب کنید و تقسیم بر 4

مفهوم مربع

مفهوم مساحت هر شکل هندسی ، به ویژه یک مثلث ، با شکل مانند مربع مرتبط خواهد شد. برای مساحت واحد هر شکل هندسی ، مساحت یک مربع را می گیریم ، ضلع آن برابر با یک است. برای کامل بودن ، دو ویژگی اصلی را برای مفهوم مناطق به یاد بیاورید شکل های هندسی.

ویژگی 1:اگر اشکال هندسی برابر باشند ، مقادیر مناطق آنها نیز برابر است.

ویژگی 2: هر شکلی را می توان به چندین شکل تقسیم کرد. علاوه بر این ، مساحت شکل اصلی برابر است با مجموع مقادیر مساحت تمام ارقام تشکیل دهنده آن.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1

بدیهی است که یکی از اضلاع مثلث مورب است مستطیل ، که در آن یک طرف 5 $ طول دارد (از آنجا که سلول های 5 $ وجود دارد) ، و طرف دیگر 6 $ (از آنجا که سلول های $ 6 وجود دارد). در نتیجه ، مساحت این مثلث برابر با نیمی از این مستطیل خواهد بود. مساحت مستطیل است

سپس مساحت مثلث است

پاسخ: 15 دلار

بعد ، ما چندین روش برای پیدا کردن مناطق مثلث ، یعنی استفاده از ارتفاع و پایه ، در نظر خواهیم گرفت فرمول های حواصیل و مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع.

چگونه مساحت یک مثلث را از نظر ارتفاع و پایه پیدا کنیم

قضیه 1

مساحت یک مثلث را می توان نصف حاصل از طول یک ضلع با ارتفاع کشیده شده به آن ضلع یافت.

از نظر ریاضی ، اینطور به نظر می رسد

$ S \u003d \\ frac (1) (2) αh $

جایی که $ a $ طول ضلع است ، $ h $ ارتفاع کشیده شده به آن است.

شواهد و مدارک.

یک مثلث $ ABC $ با $ AC \u003d α $ در نظر بگیرید. ارتفاع $ BH $ به این سمت کشیده می شود ، که برابر است با $ h $. بیایید آن را تا مربع $ AXYC $ مانند شکل 2 به پایان برسانیم.

مساحت مستطیل $ AXBH $ $ h \\ cdot AH $ است و مساحت مستطیل $ HBYC $ $ h \\ cdot HC $ است. سپس

$ S_ABH \u003d \\ frac (1) (2) ساعت \\ cdot AH $ ، $ S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot HC $

در نتیجه ، مساحت مورد نیاز مثلث ، با ویژگی 2 ، برابر است

$ S \u003d S_ABH + S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot AH + \\ frac (1) (2) h \\ cdot HC \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot (AH + HC) \u003d \\ frac (1) (2) αh $

قضیه اثبات شده است.

مثال 2

اگر مساحت سلول برابر است ، مساحت مثلث را در شکل زیر پیدا کنید

پایه این مثلث 9 دلار است (از آنجا که سلول های 9 دلار 9 دلار است). ارتفاع آن نیز 9 دلار است. سپس ، با قضیه 1 ، به دست می آوریم

$ S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 9 \\ cdot 9 \u003d 40.5 $

پاسخ: 40.5 دلار

فرمول حواصیل

قضیه 2

با توجه به سه ضلع مثلث $ α $، $ β $ و $ γ $ ، در این صورت می توان مساحت آن را به صورت زیر پیدا کرد

$ S \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

در اینجا $ ρ $ به معنای نیمکره این مثلث است.

شواهد و مدارک.

شکل زیر را در نظر بگیرید:

با قضیه فیثاغورث ، از مثلث $ ABH $ به دست می آوریم

از مثلث $ CBH $ ، با قضیه فیثاغورث ، داریم

$ h ^ 2 \u003d α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

از این دو رابطه برابری را بدست می آوریم

$ γ ^ 2-x ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x \u003d \\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 \u003d γ ^ 2 - (\\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

از آنجا که $ ρ \u003d \\ frac (α + β + γ) (2) $ ، سپس $ α + β + γ \u003d 2ρ $ ، بنابراین

$ h ^ 2 \u003d \\ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h \u003d \\ sqrt (\\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h \u003d \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

با قضیه 1 ، به دست می آوریم

$ S \u003d \\ frac (1) (2) βh \u003d \\ frac (β) (2) \\ cdot \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

چگونه می توانید از برنامه آموزشی مدرسه در هندسه ، مثلث شکل است که از سه بخش متصل شده توسط سه نقطه تشکیل شده است که روی یک خط مستقیم قرار ندارند. مثلث سه گوشه را تشکیل می دهد ، از این رو نام شکل است. ممکن است تعریف متفاوت باشد. یک مثلث را می توان چند ضلعی دارای سه گوشه نیز نامید ، پاسخ نیز درست است. مثلث ها بر اساس تعداد اضلاع مساوی و زاویه های شکل تقسیم می شوند. بنابراین چنین مثلث هایی به ترتیب متساوی متقابل ، متساوی الاضلاع و چند منظوره و همچنین مستطیلی ، حاد زاویه دار و مبهم زاویه دار متمایز می شوند.

فرمولهای زیادی برای محاسبه مساحت مثلث وجود دارد. نحوه پیدا کردن مساحت یک مثلث را انتخاب کنید ، یعنی از فرمول استفاده کنید ، فقط شما. اما فقط باید به برخی از نت هایی که در بسیاری از فرمول ها برای محاسبه مساحت یک مثلث استفاده می شود ، توجه داشت. بنابراین به یاد داشته باشید:

S مساحت مثلث است ،

a ، b ، c اضلاع مثلث هستند ،

h ارتفاع مثلث است ،

R شعاع دایره محدود شده است ،

p یک نیمه محیط است.

در اینجا چند نکته اساسی آورده شده است که اگر دوره هندسه خود را کاملا فراموش کنید ممکن است به درد شما بخورد. در زیر قابل فهم ترین و پیچیده ترین گزینه ها برای محاسبه مساحت ناشناخته و مرموز یک مثلث است. این کار دشواری نیست و هم برای شما در خانه و هم برای کمک به فرزندانتان مفید خواهد بود. بیایید به یاد داشته باشیم که چگونه می توان مساحت یک مثلث را به آسانی گلوله های گلابی محاسبه کرد:

در مورد ما ، مساحت مثلث عبارت است از: S \u003d ½ * 2.2 سانتی متر. * 2.5 سانتی متر \u003d 2.75 مربع مربع سانتی متر. به یاد داشته باشید که این منطقه با سانتی متر مربع (cm2) اندازه گیری می شود.

مثلث مستطیل و مساحت آن.

مثلث قائم الزاویه مثلثی با یک زاویه برابر با 90 درجه است (بنابراین به آن زاویه قائم گفته می شود). یک زاویه قائم توسط دو خط عمود شکل می گیرد (در مورد مثلث ، دو قسمت عمود). در یک مثلث قائم الزاویه ، فقط یک زاویه قائم وجود دارد ، زیرا مجموع تمام زاویه های هر مثلث 180 درجه است. به نظر می رسد که 2 زاویه دیگر باید 90 درجه باقی مانده را تقسیم کنند ، به عنوان مثال 70 و 20 ، 45 و 45 و غیره. بنابراین ، شما چیز اصلی را به یاد آوردید ، باید کشف کنید که چگونه مساحت یک مثلث قائم الزاویه را پیدا کنید. تصور کنید که چنین مثلث قائم الزاویه در پیش رو داریم و باید مساحت S آن را پیدا کنیم.

1. ساده ترین راه برای تعیین مساحت یک مثلث قائم الزاویه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

در مورد ما ، مساحت یک مثلث قائم الزاویه: S \u003d 2.5 سانتی متر * 3 سانتی متر / 2 \u003d 3.75 متر مربع سانتی متر است.

در اصل ، دیگر لازم نیست مساحت مثلث را به روش های دیگر آشتی دهیم ، از آنجا در زندگی روزمره ، فقط این یکی مفید خواهد بود و کمک می کند. اما گزینه هایی برای اندازه گیری مساحت یک مثلث از طریق زاویه های حاد نیز وجود دارد.

2. برای سایر روشهای محاسبه ، باید جدول کسینوس ، سینوس و مماس داشته باشید. خودتان قضاوت کنید ، در اینجا چند گزینه برای محاسبه مساحت یک مثلث قائم الزاویه وجود دارد که هنوز می توانید استفاده کنید:

ما تصمیم گرفتیم از فرمول اول و با استفاده از لکه های کوچک استفاده کنیم (در یک دفترچه رسم کردیم و از خط کش و برش دهنده قدیمی استفاده کردیم) ، اما محاسبه درست را بدست آوردیم:

S \u003d (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1.2). ما نتایج زیر 3.6 \u003d 3.7 را بدست آوردیم ، اما با در نظر گرفتن تغییر سلول ها ، می توانیم این تفاوت را ببخشیم.

مثلث متساویل و مساحت آن.

اگر با کار محاسبه فرمول یک مثلث متساوی الاضلاع روبرو هستید ، ساده ترین راه استفاده از اصلی و همانطور که در نظر گرفته شده است ، فرمول کلاسیک مساحت یک مثلث است.

اما ابتدا ، قبل از پیدا کردن مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع ، خواهیم فهمید که این نوع شکل چگونه است. مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که طول آن دو ضلع است. این دو طرف را اضلاع جانبی ، طرف سوم را پایه می نامند. مثلث متساویب را با یک مثلث اشتباه نگیرید ، یعنی یک مثلث منظم با هر سه ضلع برابر. در چنین مثلثی ، هیچ تمایل خاصی برای زاویه ، دقیق تر ، برای اندازه آنها وجود ندارد. با این حال ، زاویه های قاعده در یک مثلث متساوی الساقین برابر هستند ، اما متفاوت از زاویه بین اضلاع مساوی هستند. بنابراین ، شما فرمول اول و اصلی را می دانید ، باید کشف کنید که فرمول های دیگر برای تعیین مساحت یک مثلث متساویل شناخته شده است:

مثلث یکی از رایج ترین اشکال هندسی است که قبلاً با آن آشنا می شویم دبستان... هر دانش آموزی با این س facesال روبروست که چگونه می توان مساحت یک مثلث را در دروس هندسه پیدا کرد. بنابراین ، چه ویژگی های یافتن مساحت یک شکل مشخص را می توان تشخیص داد؟ در این مقاله ، ما فرمول های اساسی مورد نیاز برای انجام چنین کاری را بررسی خواهیم کرد ، و همچنین انواع مثلث را تجزیه و تحلیل می کنیم.

انواع مثلث ها

مساحت یک مثلث را کاملا می توانید پیدا کنید راه های مختلفزیرا بیش از یک نوع شکل حاوی سه گوشه در هندسه برجسته شده است. این انواع عبارتند از:

• دیر فهم.
• متساوی الاضلاع (صحیح).
• راست گوشه.
• ایسوسل

بیایید نگاهی دقیق تر به هرکدام بیندازیم انواع موجود مثلثها.

این شکل هندسی رایج ترین در حل مسائل هندسی در نظر گرفته شده است. وقتی ترسیم یک مثلث دلخواه ضروری شد ، این گزینه به کمک شما می آید.

در یک مثلث حاد زاویه دار ، همانطور که از نامش پیداست ، همه زاویه ها حاد هستند و تا 180 درجه جمع می شوند.

چنین مثلثی نیز بسیار رایج است ، اما تقریباً کمتر از یک مثلث حاد زاویه دار پیدا می شود. به عنوان مثال ، هنگام حل مثلث (یعنی چندین ضلع و زاویه آن را می شناسید و باید عناصر باقیمانده را پیدا کنید) ، گاهی اوقات باید زاویه را منقبض یا خیر تشخیص دهید. کسینوس یک عدد منفی است.

در مقدار یکی از زاویه ها بیش از 90 درجه است ، بنابراین دو زاویه باقیمانده می توانند مقادیر کمی بگیرند (به عنوان مثال 15 درجه یا حتی 3 درجه).

برای یافتن مساحت یک مثلث از این نوع ، باید برخی از تفاوت های ظریف را بدانید ، که در مورد آنها بیشتر صحبت خواهیم کرد.

مثلث های منظم و یکنواخت

چند ضلعی منظم تصویری است که شامل n گوشه باشد ، در آن همه اضلاع و زاویه ها برابر هستند. این یک مثلث منظم است. از آنجا که مجموع تمام زاویه های مثلث 180 درجه است ، هر سه زاویه 60 درجه است.

یک مثلث منظم ، به دلیل خاصیتش ، یک شکل متساویلی نیز نامیده می شود.

همچنین لازم به ذکر است که فقط یک دایره را می توان در یک مثلث منظم نوشت و فقط یک دایره را می توان در اطراف آن توصیف کرد ، و مراکز آنها در یک نقطه قرار دارند.

علاوه بر نوع متساوی الاضلاع ، یک مثلث متساوی الاضلاع نیز قابل تشخیص است که کمی متفاوت از آن است. در چنین مثلثی ، دو ضلع و دو زاویه با یکدیگر برابر هستند و ضلع سوم (که به آن می پیوندند) زاویه برابر) اساس است.

شکل یک مثلث متساویل DEF را نشان می دهد ، زاویه های D و F برابر هستند و DF پایه است.

راست گوشه

مثلث قائم الزاویه به این دلیل نامگذاری شده است که یکی از گوشه های آن مستقیم است ، یعنی برابر با 90 درجه است. دو زاویه دیگر تا 90 درجه جمع می شوند.

بیشترین طرف بزرگ از چنین مثلثی ، در مقابل زاویه 90 درجه خوابیده است ، در حالی که دو طرف دیگر آن پاها است. برای این نوع مثلث ها ، قضیه فیثاغورث قابل اجرا است:

مجموع مربع های طول پاها برابر است با مربع طول هایپوتنوز.

در شکل یک مثلث BAC با زاویه راست با هیپوتنوز AC و پاهای AB و BC نشان داده شده است.

برای یافتن مساحت یک مثلث با زاویه قائم ، باید بدانید مقادیر عددی پاهای او

بیایید به فرمول های پیدا کردن مساحت این شکل برویم.

فرمول های اساسی برای یافتن منطقه

در هندسه ، دو فرمول را می توان تشخیص داد که برای یافتن مساحت اکثر انواع مثلث ها مناسب است ، یعنی برای مثلث حاد زاویه دار ، زاویه دار مایل به زاویه ، منظم و یکسو. بیایید هر یک از آنها را تجزیه و تحلیل کنیم.

کنار و قد

این فرمول برای یافتن مساحت شکل مورد نظر ما جهانی است. برای این کار کافی است که طول ضلع و طول بلندی کشیده شده به آن را بدانید. فرمول خود (نیمی از محصول پایه و ارتفاع) به شرح زیر است:

جایی که A ضلع این مثلث و H ارتفاع مثلث است.

به عنوان مثال ، برای یافتن مساحت یک مثلث ACB با زاویه زاویه ، ضلع AB آن را در CD ارتفاع ضرب کرده و مقدار حاصله را بر دو تقسیم می کنیم.

با این حال ، یافتن مساحت یک مثلث از این طریق همیشه آسان نیست. به عنوان مثال ، برای استفاده از این فرمول برای یک مثلث مبهم ، باید یکی از اضلاع آن را ادامه دهید و فقط پس از آن ارتفاع را به سمت آن بکشید.

در عمل ، این فرمول بیشتر از بقیه استفاده می شود.

در دو طرف و یک گوشه

این فرمول ، مانند فرم قبلی ، برای بیشتر مثلث ها مناسب است و در معنای آن نتیجه فرمول یافتن مساحت در کنار و ارتفاع مثلث است. یعنی فرمول در نظر گرفته شده به راحتی می تواند از فرمول قبلی استخراج شود. متن آن به این شکل است:

S \u003d ½ * sinO * A * B ،

که در آن A و B اضلاع مثلث و O زاویه بین اضلاع A و B است.

به یاد بیاورید که سینوس یک زاویه را می توان در یک جدول خاص به نام ریاضیدان برجسته شوروی V.M. Bradis مشاهده کرد.

حال بیایید به سراغ فرمول های دیگری برویم که فقط برای انواع استثنایی مثلث مناسب هستند.

مساحت مثلث قائم الزاویه

علاوه بر فرمول جهانی ، که شامل نیاز به رسم ارتفاع در یک مثلث است ، مساحت یک مثلث حاوی یک زاویه راست را می توان توسط پاهای آن پیدا کرد.

بنابراین ، مساحت یک مثلث حاوی یک زاویه راست نصف حاصل از پاهای آن است ، یا:

که در آن a و b پاهای مثلث قائم الزاویه هستند.

مثلث منظم

این نوع ارقام هندسی از این نظر متفاوت هستند که مساحت آن را می توان در مقدار مشخص شده فقط یکی از اضلاع آن یافت (از آنجا که تمام اضلاع یک مثلث منظم برابر هستند). بنابراین ، با مشکل "پیدا کردن مساحت یک مثلث در هنگام برابر بودن اضلاع" ، باید از فرمول زیر استفاده کنید:

S \u003d A 2 * √3 / 4 ،

که در آن A ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.

فرمول حواصیل

آخرین گزینه برای یافتن مساحت یک مثلث فرمول Heron است. برای استفاده از آن ، باید طول سه ضلع شکل را بدانید. فرمول هرون به این شکل است:

S \u003d √p (p - a) (p - b) (p - c) ،

که در آن a ، b و c اضلاع این مثلث هستند.

گاهی اوقات این مسئله مطرح می شود: "مساحت یک مثلث منظم - طول ضلع آن را پیدا کنید." که در در این مورد ما باید از فرمولی که قبلاً برای ما شناخته شده است برای یافتن مساحت یک مثلث منظم استفاده کنیم و از آن مقدار ضلع (یا مربع آن) را بدست آوریم:

A 2 \u003d 4S / √3.

وظایف امتحان

در مشکلات GIA در ریاضیات ، فرمول های زیادی وجود دارد. علاوه بر این ، معمولاً یافتن مساحت یک مثلث روی کاغذ چهارخانه ضروری است.

در این حالت ، راحت تر است که ارتفاع را به یکی از اضلاع شکل بکشید ، طول آن را توسط سلول ها تعیین کنید و از فرمول جهانی برای پیدا کردن منطقه استفاده کنید:

بنابراین ، پس از مطالعه فرمول های ارائه شده در مقاله ، در پیدا کردن مساحت یک مثلث از هر نوع دیگر مشکلی نخواهید داشت.