Parallelogram نامیده می شود یک طرف مخالف چهار طرفه که موازی موازی است. همچنین، Parallelogram دارای چنین خواص است، به عنوان احزاب مخالف برابر هستند، زوایای مخالف برابر هستند، مجموع زاویه ها 360 درجه است.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش هندسه.

دستورالعمل

1. تصور کنید یکی از گوشه های همبستگی داده شده است و برابر با A است. مقادیر باقی مانده باقی مانده را تشخیص می دهد. با اموال parallelogram، زاویه های مخالف برابر هستند. بنابراین زاویه ای که در مقابل این قرار دارد برابر این است و ارزش آن برابر با A است.

2. دو زاویه باقی مانده را پیدا کنید. از آنجا که مجموع تمام زاویه ها در parallelogram 360 درجه است، و زاویه های مخالف برابر با یکدیگر هستند، به نظر می رسد که زاویه متعلق به یک طرف با داده ها برابر با (360 - 2a) / 2 است. خوب، یا بعدا، ما 180 - A به دست می آوریم. بنابراین، در parallelogram، دو زاویه برابر با یک، و دو زاویه دیگر 180 - A.

توجه داشته باشید!
مقدار یک زاویه نمی تواند بیش از 180 درجه باشد. مقادیر حاصل از گوشه ها به راحتی تایید می شوند. برای انجام این کار، آنها را بچرخانید و اگر مقدار 360 باشد، همه چیز به درستی محاسبه می شود.

مشاوره مفید
مستطیل و رمبوس یک مورد خصوصی از یک parallelogram هستند، خواص و روش های زیر برای محاسبه زوایا برای آنها قابل استفاده هستند.

وظیفه 1. یکی از گوشه های همبستگی 65 درجه است. گوشه های باقی مانده از parallelogram را پیدا کنید.

∠C \u003d ∠A \u003d 65 درجه به عنوان گوشه های متضاد parallelogram.

∠a + ∠b \u003d 180 درجه به عنوان زاویه مجاور به یک طرف parallelogram.

∠B \u003d 180 درجه - ∠a \u003d 180 درجه - 65 ° \u003d 115 درجه.

∠D \u003d ∠B \u003d 115 درجه به عنوان گوشه های متضاد parallelogram.

پاسخ: ∠a \u003d ∠∠ \u003d 65 درجه؛ ∠B \u003d ∠D \u003d 115 درجه.

وظیفه 2 مجموع دو زاویه همبستگی 220 درجه است. گوشه های parallelogram را پیدا کنید.

از آنجا که parallelogram دارای 2 زاویه تیز برابر و 2 زاویه احمقانه است، پس ما مجموع دو زاویه احمقانه، به عنوان مثال ∠v + ∠d \u003d 220 درجه. سپس ∠v \u003d ∠d \u003d 220 درجه : 2 \u003d 110 درجه.

∠a + ∠v \u003d 180 درجه به عنوان زاویه مجاور به یک طرف از همبستگی، بنابراین ∠A \u003d 180 ° - ∠v \u003d 180 ° - 110 ° \u003d 70 °. سپس ∠c \u003d ∠a \u003d 70 درجه.

پاسخ: ∠ \u003d ∠∠ \u003d 70 درجه؛ ∠B \u003d ∠D \u003d 110 درجه.

وظیفه 3 یکی از گوشه های همبستگی 3 برابر بیشتر از دیگری است. گوشه های parallelogram را پیدا کنید.

اجازه دهید ∠a \u003d x. سپس ∠v \u003d 3x. دانستن این که مجموع زاویه های همبستگی، مجاور به یک طرف 180 درجه، معادل خواهد بود.

x \u003d 180 : 4;

ما دریافت می کنیم: ∠a \u003d x \u003d 45 درجه، و ∠v \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 درجه.

زوایای متضاد همبستگی برابر است، بنابراین،

∠ \u003d ∠c \u003d 45 درجه؛ ∠B \u003d ∠D \u003d 135 درجه.

پاسخ: ∠A \u003d ∠∠ \u003d 45 درجه؛ ∠B \u003d ∠D \u003d 135 درجه.

وظیفه 4 ثابت کنید که اگر یک چهارگانه دارای دو طرف موازی و برابر باشد، این چهارگوشه یک همبرگر است.

شواهد و مدارک.

ما مورب BD را انجام می دهیم و δ ADB و Δ CBD را در نظر می گیریم.

ad \u003d bc با شرایط. طرف BD - رایج است. ∠1 \u003d ∠2 به عنوان داخلی نزدیکتر تحت موازی (تحت شرایط) مستقیم AD و BC و واحد BD. در نتیجه، δ ADB \u003d δ CBD در دو طرف و گوشه بین آنها (علامت اول از برابری مثلث). در مثلث مساوی، زاویه های مربوطه برابر هستند، به این معنی ∠3 \u003d ∠4 است. و این زاویه ها به کسانی که با مستقیم AB و CD و Singing BD هستند، نزدیک تر هستند. از این رو همبستگی مستقیم AB و Cd. بنابراین، در این ABCD چهار ضلعی، احزاب مخالف موازی موازی هستند، بنابراین با تعریف ABCD - parallelograms، که مورد نیاز برای اثبات بود.

وظیفه 5 دو طرف parallelogram به عنوان 2 اشاره دارد : 5، و محیط 3.5 متر است. سمت راست را پیدا کنید.

∙ (AB + AD).

یک قسمت از طریق x را نشان دهید. سپس AB \u003d 2X، ad \u003d 5x متر. دانستن اینکه محیط سالانه 3.5 متر است، برای معادله:

2 ∙ (2x + 5x) \u003d 3.5؛

2 ∙ 7x \u003d 3.5؛

x \u003d 3.5 : 14;

یک قسمت 0.25 متر است. سپس AB \u003d 2 ∙ 0.25 \u003d 0.5 متر؛ ad \u003d 5 ∙ 0.25 \u003d 1.25 متر

بررسی.

Parallement Parallemation P ABCD \u003d 2 ∙ (AB + AD) \u003d 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 \u003d 3.5 (متر).

از آنجا که طرف مقابل از همبستگی برابر است، سپس Cd \u003d AB \u003d 0.25 متر؛ bc \u003d ad \u003d 1.25 متر.

پاسخ: CD \u003d AB \u003d 0.25 متر؛ bc \u003d ad \u003d 1.25 متر.

همانطور که در هندسه اقلیدسی، نقطه و مستقیم - عناصر اصلی تئوری هواپیما و parallelogram یکی از ارقام کلیدی چهارگوشه محدب است. از آن، مانند یک تلنگر از مخزن، مفاهیم "مستطیل"، "مربع"، "رمبوس" و سایر مقادیر هندسی انجام می شود.

در تماس با

تعریف منظم

چهار گوشه محدب متشکل از بخش ها، هر جفت آن موازی است، در هندسه به عنوان parallelograms شناخته شده است.

آنچه شبیه سازی کلاسیک به نظر می رسد مانند ABCD چهار ضلعی است. احزاب به نام Bases (AB، BC، CD و AD)، عمود بر هر رأس به طرف مقابل این بالا از طرف، ارتفاع (BE و BF)، قطر AC و BD است.

توجه! مربع، رمبوس و مستطیل موارد خاصی از parallelogram هستند.

احزاب و زاویه: ویژگی های نسبت

خواص کلیدی، توسط و بزرگ، از پیش تعیین شده توسط خود تعیین شده است، آنها قضیه را اثبات می کنند. این ویژگی ها به شرح زیر است:

1. احزاب مخالف هستند، دو طرفه هستند.
2. گوشه ها در مقابل یکدیگر قرار دارند و هم برابر هستند.

اثبات: ΔABC و ΔADC را در نظر بگیرید، که به دلیل جداسازی FETRAGENT ACCD مستقیم ACCD به دست می آید. ∠BCA \u003d ∠CAD و ∠BAC \u003d ∠ACD، به عنوان AC برای آنها رایج است ( زاویه عمودی برای BC || AD و AB || CD به ترتیب). از این به شرح زیر است: Δabc \u003d ΔADC (علامت دوم از برابری مثلث).

برش های AB و BC در ΔABC جفت به خطوط CD و AD در ΔADC مربوط می شود، به این معنی هویت آنها: AB \u003d CD، BC \u003d AD. بنابراین، ∠B مربوط به ∠D است و آنها برابر هستند. از آنجا که ∠a \u003d ∠Bac + ∠CAD، ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD، که به عنوان دو طرفه یکسان هستند، سپس ∠a \u003d ∠c. اموال ثابت شده است

ویژگی های شکل قطر شکل

علامت پایهاین خطوط دارای صفحه اصلی هستند: نقطه تقاطع آنها را به نصف می رساند.

اثبات: اجازه دهید که E نقطه تقاطع قطر قطر AC و BD ABCD باشد. آنها دو مثلث متن را تشکیل می دهند - ΔBE و ΔCDE.

AB \u003d CD، همانطور که آنها مخالف هستند. با توجه به مستقیم و متوالی، ∠abe \u003d ∠CDE و ∠bae \u003d ∠DCE.

با توجه به نشانه دوم از برابری ΔAbe \u003d ΔCDE. این به این معنی است که عناصر Δabe و ΔCDE: AE \u003d CE، BE \u003d de و در عین حال آنها بخش های متناسب AC و BD هستند. اموال ثابت شده است

ویژگی های زاویه مجاور

در احزاب مجاور مجموع گوشه ها 180 درجه استهمانطور که آنها در یک طرف خطوط موازی و پیوسته دروغ می گویند. برای Quadrangle ABCD:

∠a + ∠b \u003d ∠c + ∠d \u003d ∠a + ∠d \u003d ∠b + ∠c \u003d 180 درجه

خواص Bisector:

1. ، حذف شده برای یک طرف عمود بر
2. رأس های مخالف موازی موازی هستند؛
3. مثلث به دست آمده توسط bisector به طور مساوی خواهد بود.

تعیین ویژگی های مشخصه Parallelogram توسط قضیه

نشانه های این شکل نشت از قضیه اصلی آن، که موارد زیر را بیان می کند: چهار ضلعی یکپارچه در نظر گرفته شده استدر صورتی که قطر آن تقاطع شود، و این نقطه آنها را در بخش های برابر به اشتراک می گذارد.

اثبات: اجازه دهید AC و BD مستقیم ABCD تقاطع چهار طرفه ABCD. از آنجا که ∠AED \u003d ∠BEC، و AE + CE \u003d AC + de \u003d bd، سپس ΔAED \u003d ΔBEC (بر اساس اول برابری مثلث). یعنی، ∠ead \u003d ∠ECB. آنها همچنین گوشه های داخلی متقابل AC برای AD مستقیم و BC هستند. بنابراین، با تعریف همبستگی - آگهی || قبل از میلاد مسیح. دارایی مشابهی از خطوط BC و CD نیز نمایش داده می شود. قضیه ثابت شده است.

محاسبه مربع شکل

مربع این رقم چند روش استیکی از ساده ترین: ضرب ارتفاع و پایه ای که آن را انجام می دهد.

اثبات: ما عمود بر BE و CF را از رأس B و CF انجام خواهیم داد. Δabe و ΔDCF - برابر، از AB \u003d CD و B \u003d cf. ABCD ایزومتریک با مستطیل EBCF، از آنجا که آنها تشکیل شده و متناسب با ارقام: S ABE و S EBCD، و همچنین S EBCD SBE. از این به دنبال آن است که منطقه این شکل هندسی این نیز مانند یک مستطیل است:

s abcd \u003d s ebcf \u003d be × bc \u003d be × AD.

برای تعیین فرمول کلی منطقه، Parallelogramage ارتفاع را نشان می دهد hB، و طرف - ب. به ترتیب:

راه های دیگر برای پیدا کردن منطقه

محاسبات مربع از طریق همبستگی جانبی و زاویهکه آنها تشکیل می دهند - دومین روش شناخته شده.

,

SPR-MA - مربع؛

a و B - احزاب او

α - زاویه بین بخش های A و B.

این روش عملا بر اساس اول است، اما در مورد ناشناخته است. همیشه قطع می شود راست گوشهپارامترهای آن هویت های مثلثاتی هستند، یعنی. تبدیل نسبت، ما دریافت می کنیم. در معادله روش اول، ما ارتفاع این کار را جایگزین می کنیم و شواهدی از عدالت این فرمول دریافت می کنیم.

از طریق مورب موبایل و زاویه، که آنها هنگام عبور از آنها ایجاد می کنند، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD تقاطع، چهار مثلث را تشکیل می دهند: ABE، BEC، CDE و AED. مقدار آنها برابر با منطقه این چهارگوش است.

منطقه هر یک از این Δ را می توان در عبارت یافت، که در آن a \u003d be، b \u003d ae، ∠γ \u003d ∠EB. از آنجا که محاسبات از یک مقدار سینوسی تک استفاده می کنند. من. از آنجا که AE + CE \u003d AC \u003d D 1 و + de \u003d bd \u003d d 2، فرمول منطقه به کاهش می یابد:

.

کاربرد در جبر بردار

ویژگی های اجزای قطعات این چهار ضلعی در جبر بردار استفاده شد، یعنی: اضافه کردن دو بردار. حاکمیت parallelogram استدلال می کند که اگر بردارها را تنظیم کنید و نه Collinearny، سپس مقدار آنها مورب این رقم، پایه های آن به این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از یک شروع به صورت خودسرانه - t. آه. - ساخت بردارها و. بعد، ما هماهنگی OSA را ساختیم، جایی که بخش های OA و OB - احزاب. بنابراین، سیستم عامل بر روی یک بردار یا مقدار قرار دارد.

فرمول ها برای محاسبه پارامترهای پارامترها

هویت ها تحت شرایط زیر ارائه می شوند:

1. a و B، α - احزاب و زاویه بین آنها؛
2. d 1 و D 2، γ - مورب و در نقطه تقاطع آنها؛
3. h A و H B - ارتفاع بر روی احزاب A و B کاهش یافته است؛

پارامتر	فرمول
یافته
بر روی قطر و زاویه کوزین بین آنها
بر روی قطر و طرف
از طریق ارتفاع و بالا مخالف
پیدا کردن طول قطر
در طرف و بزرگی از رأس ها بین آنها

parallelogram به نام یک چهار ضلعی نامیده می شود، که در آن طرف مقابل موازی موازی موازی هستند.

parallelogram دارای تمام خواص چهارگانه است، اما علاوه بر این خود را دارد ویژگی های متمایز کننده. دانستن آنها، ما به راحتی می توانیم هر دو طرف و گوشه های parallelogram را پیدا کنیم.

خواص parallelogram

1. مجموع زاویه ها در هر parallelogram، همانطور که در هر چهارگانه، 360 درجه است.
2. خطوط وسطی سالانه و مورب آن در یک نقطه تقسیم می شوند و به نصف تقسیم می شوند. این نقطه به عنوان یک مرکز تقارن parallelogram نامیده می شود.
3. طرف مقابل همبستگی همیشه برابر است.
4. همچنین ارقام همیشه برابر با زاویه های مخالف هستند.
5. مجموع زاویه هایی که مجاور هر یک از دو طرف از همبستگی همیشه 180 درجه است.
6. مجموع مربعات قطر موازی برابر با مجموع دو برابر مربعات دو طرف مجاور آن است. این فرمول بیان شده است:
   • d 1 2 + D 2 2 \u003d 2 (2 + B 2)، جایی که D 1 و D 2 مورب، A و B - طرف های مجاور هستند.
7. کوزین یک زاویه احمق همیشه کمتر از صفر است.

چگونه با استفاده از این خواص در عمل، زاویه های یکپارچه داده شده را پیدا کنید؟ و چه فرمول های دیگر می توانیم در این مورد کمک کنیم؟ وظایف خاصی را در نظر بگیرید که در آن شما نیاز دارید: مقادیر گوشه های همبستگی را پیدا کنید.

پیدا کردن گوشه های parallelogram

مورد 1. اندازه گیری زاویه ناراحتی شناخته شده است، لازم است یک زاویه تیز پیدا کنید.

به عنوان مثال: در زاویه ABCD Parallelogram 120 درجه است. اندازه بقیه گوشه ها را پیدا کنید.

تصمیم گیری: با استفاده از اموال شماره 5، ما می توانیم اندازه زاویه B را پیدا کنیم، مجاور به همان زاویه ای که در این کار داده می شود. این برابر خواهد بود:

• 180 ° -120 ° \u003d 60 درجه

و در حال حاضر، با استفاده از اموال شماره 4، ما تعریف می کنیم که دو زاویه باقی مانده C و D با آن گوشه هایی که قبلا پیدا کرده اند، مخالف هستند. زاویه C در مقابل زاویه A، زاویه D - گوشه ای از B است. بنابراین آنها در جفت برابر هستند.

• پاسخ: B \u003d 60 درجه، C \u003d 120 °، D \u003d 60 درجه

مورد 2. طول های شناخته شده دو طرف و مورب

در این مورد، ما باید از قضیه Cosine استفاده کنیم.

ابتدا می توانیم کوزین زاویه ای که ما نیاز داریم محاسبه کنیم، و سپس بر روی میز خاص برای پیدا کردن آنچه که زاویه خود برابر است.

برای گوشه حاد فرمول چنین است:

• cOSA \u003d (A2 + C² - d²) / (2 * a * c)، جایی که
• a گوشه تیز مورد نظر است
• A و B parallelogram
• d قطر کوچکتر است

برای یک زاویه احمقانه، فرمول کمی تغییر می کند:

• cosß \u003d (+ + c² - d²) / (2 * a * c)، که در آن
• ß یک زاویه احمقانه است
• و و در طرفین
• D - مورب بزرگ

به عنوان مثال: لازم است زاویه حاد حاملگرام را پیدا کنید، طرف هایی که 6 سانتی متر و 3 سانتیمتر هستند و مورب کوچکتر 5.2 سانتی متر است

ما مقادیر فرمول را برای پیدا کردن زاویه حاد جایگزین می کنیم:

• cOSA \u003d (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) \u003d (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) \u003d 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cOSA \u003d 1/2. بر روی میز، ما متوجه می شویم که زاویه مورد نظر 60 درجه است.

یک همبستگی یک چهارگوشه نامیده می شود، که در آن طرف مقابل موازی هستند، یعنی آنها بر روی خطوط مستقیم موازی دروغ می گویند (شکل 1).

تئوری 1. در اموال طرف و گوشه های parallelogram. در parallelogram، احزاب مخالف برابر هستند، زاویه های مخالف برابر با مجموع زاویه های مجاور به یک طرف سالانه، برابر با 180 درجه است.

شواهد و مدارک. در این parallelogram، ABCD یک قطر AC را انجام می دهد و دو مثلث ABC و ADC را به دست می آورد (شکل 2).

این مثلث برابر است، از آنجا که ∠ 1 \u003d ∠ 4، ∠ 2 \u003d ∠ 3 (تقریبا زاویه های زیرزمینی با مستقیم موازی)، و طرف AC به طور کلی است. از برابری Δ abc \u003d δ ADC آن را دنبال می کند که AV \u003d CD، Sun \u003d AD، ∠ B \u003d ∠ D. مجموع زاویه های مجاور به یک طرف، به عنوان مثال، زاویه A و D 180 درجه به عنوان یک طرفه با خطوط مستقیم موازی. قضیه ثابت شده است.

اظهار نظر. برابری طرف مقابل از همبستگی به این معنی است که بخش های موازی موازی برش برابر هستند.

CUROLLARY 1. اگر دو همسایه مستقیم، پس از آن تمام نقاط یک مستقیما در فاصله ای از یک خط مستقیم دیگر قرار دارند.

شواهد و مدارک. در واقع، اجازه دهید آن || ب (شکل 3).

ما از هر دو نقطه در و با یک خط مستقیم B عمود بر VA و CD به طور مستقیم هزینه می کنیم. از AV || CD، سپس شکل ABCD یک parallelogram است، و بنابراین، AV \u003d CD.

فاصله بین دو موازی مستقیم، فاصله ای از یک نقطه دلخواه یکی از مستقیم به یک خط مستقیم مستقیم است.

با توجه به اثبات شده، طول عمر عمود بر هر نقطه ای از هر یک از موازی مستقیم به طور مستقیم به طور مستقیم انجام می شود.

مثال 1 محیط سالانه 122 سانتی متر است. یکی از طرفهای آن به مدت 25 سانتی متر متفاوت است. سمت راست را پیدا کنید.

تصمیم گیری توسط قضیه 1، طرف مقابل parallelogram برابر است. یکی از طرفهای parallelogram را از طریق x، یکی دیگر از طریق Y نشان دهید. سپس، با توجه به شرایط $$ \\ left \\ (\\ begin (matrix) 2x + 2Y \u003d 122 \\\\ x - y \u003d 25 \\ end (ماتریکس) \\ right. $$ حل این سیستم، ما x \u003d 43، y را به دست می آوریم \u003d 18. بنابراین دو طرف parallelogram برابر با 18، 43، 18 و 43 سانتی متر است.

مثال 2

تصمیم گیری اجازه دهید شرایط کار مربوط به شکل 4 باشد.

توسط AB از طریق X و خورشید از طریق Y نشان داده شده است. با شرایط محیطی، parallemogram 10 سانتی متر است، یعنی 2 (x + y) \u003d 10 یا x + y \u003d 5. محدوده مثلث عبد 8 سانتی متر است. و از آنجا که AV + ad \u003d x + y \u003d 5 سپس BD \u003d 8 - 5 \u003d 3. بنابراین، BD \u003d 3 سانتی متر.

مثال 3 پیدا کردن گوشه های parallelogram، دانستن اینکه یکی از آنها بیش از 50 درجه است.

تصمیم گیری اجازه دهید شرایط کار مربوط به شکل 5 باشد.

درجه گوشه و از طریق X را نشان می دهد. سپس اندازه سیگید زاویه D x + 50 درجه است.

زاویه های بد و ADC یک طرفه داخلی یک طرفه داخلی با موازی مستقیم AV و DC و AD دوم هستند. سپس مجموع این زاویه های نامیده می شود 180 درجه، I.E.
x + x + 50 ° \u003d 180 درجه، یا x \u003d 65 درجه. بنابراین، ∠ a \u003d ∠ c \u003d 65 درجه، ∠ b \u003d ∠ d \u003d 115 درجه.

مثال 4 طرف سالانه برابر با 4.5 دسی بل و 1.2 دسی بل است. Bissectrix از بالای زاویه حاد انجام شد. کدام بخش تقسیم می شود بیشتر طرف متوازی الاضلاع؟

تصمیم گیری اجازه دهید شرایط کار مطابق با نقاشی 6 باشد.

AE - bisector از زاویه حاد از همبستگی. در نتیجه، ∠ 1 \u003d ∠ 2.