Excel'de ortalama değeri bulmak için (sayısal, metin, yüzde veya başka bir değer olması fark etmez) birçok işlev vardır. Ve her birinin kendine has özellikleri ve avantajları var. Aslında bu görevde belirli koşullar belirlenebilir.

Örneğin Excel'deki bir sayı serisinin ortalama değerleri istatistiksel işlevler kullanılarak hesaplanır. Ayrıca kendi formülünüzü manuel olarak da girebilirsiniz. Çeşitli seçenekleri ele alalım.

Sayıların aritmetik ortalaması nasıl bulunur?

Aritmetik ortalamayı bulmak için kümedeki tüm sayıları toplamanız ve toplamı miktara bölmeniz gerekir. Örneğin bir öğrencinin bilgisayar bilimleri notları: 3, 4, 3, 5, 5. Çeyreğe neler dahil: 4. Aritmetik ortalamayı şu formülü kullanarak bulduk: =(3+4+3+5+5) /5.

Excel işlevlerini kullanarak bunu hızlı bir şekilde nasıl yapabilirim? Mesela diziyi ele alalım rastgele numaralarÇizgide:

Veya: etkin hücreyi oluşturun ve formülü manuel olarak girin: =ORTALAMA(A1:A8).

Şimdi ORTALAMA fonksiyonunun başka neler yapabileceğini görelim.

İlk iki ve son üç sayının aritmetik ortalamasını bulalım. Formül: =ORTALAMA(A1:B1;F1:H1). Sonuç:

Durum ortalaması

Aritmetik ortalamayı bulma koşulu sayısal bir kriter veya metin olabilir. =ORTALAMAEĞER() fonksiyonunu kullanacağız.

Ortalamayı bulun aritmetik sayılar 10'dan büyük veya ona eşit olan.

İşlev: =EĞERORTALAMA(A1:A8;">=10")

Üçüncü argüman – “Ortalama aralık” – atlanmıştır. Öncelikle buna gerek yok. İkinci olarak, program tarafından analiz edilen aralık SADECE şunları içerir: sayısal değerler. İlk argümanda belirtilen hücreler, ikinci argümanda belirtilen koşula göre aranacaktır.

Dikkat! Arama kriteri hücrede belirtilebilir. Ve formülde buna bir bağlantı yapın.

Metin kriterini kullanarak sayıların ortalama değerini bulalım. Örneğin “masa” ürününün ortalama satışları.

İşlev şu şekilde görünecektir: =ORTALAMAEĞER($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Aralık – ürün adlarını içeren bir sütun. Arama kriteri, "tablolar" kelimesini içeren bir hücreye bağlantıdır (A7 bağlantısı yerine "tablolar" kelimesini ekleyebilirsiniz). Ortalama aralığı – ortalama değeri hesaplamak için verilerin alınacağı hücreler.

Fonksiyonun hesaplanması sonucunda aşağıdaki değeri elde ederiz:

Dikkat! Bir metin kriteri (koşul) için ortalama aralığının belirtilmesi gerekir.

Excel'de ağırlıklı ortalama fiyat nasıl hesaplanır?

Ağırlıklı ortalama fiyatı nasıl öğrendik?

Formül: =TOPLAÇARP(C2:C12;B2:B12)/TOPLA(C2:C12).

SUMproduct formülünü kullanarak mal miktarının tamamını sattıktan sonra toplam geliri buluyoruz. SUM işlevi de malların miktarını özetler. Mal satışlarından elde edilen toplam hasılatı, toplam mal adedine bölerek ağırlıklı ortalama fiyatı bulduk. Bu gösterge her fiyatın “ağırlığını” dikkate alır. Toplam değerler kütlesindeki payı.

Standart sapma: Excel'deki formül

Ortalamayı ayırt edin standart sapma genel nüfus ve örneklem için. İlk durumda, bu genel varyansın köküdür. İkincisinde ise örneklem varyansından.

Bu istatistiksel göstergeyi hesaplamak için bir dağılım formülü derlenir. Kök ondan çıkarılır. Ancak Excel'de standart sapmayı bulmak için hazır bir işlev vardır.

Standart sapma kaynak verinin ölçeğine bağlıdır. Bu, analiz edilen aralığın varyasyonunun mecazi bir temsili için yeterli değildir. Göreceli veri dağılımı düzeyini elde etmek için varyasyon katsayısı hesaplanır:

standart sapma / aritmetik ortalama

Excel'deki formül şuna benzer:

STDSAPMA (değer aralığı) / ORTALAMA (değer aralığı).

Değişim katsayısı yüzde olarak hesaplanır. Bu nedenle hücredeki yüzde formatını ayarladık.

Matematik ve istatistikte ortalama aritmetik (veya kolay ortalama Bir sayı kümesinin ) değeri, bu kümedeki tüm sayıların toplamının kendi sayılarına bölümüdür. Aritmetik ortalama özellikle evrensel ve en yaygın bir temsildir. ortalama boyut.

İhtiyacın olacak

• Matematik bilgisi.

Talimatlar

1. Dört sayıdan oluşan bir küme verilsin. Keşfedilmesi gerekiyor ortalama Anlam bu kit. Bunu yapmak için öncelikle bu sayıların toplamını buluyoruz. Olası sayılar 1, 3, 8, 7'dir. Toplamları S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19'dur. Sayı kümesi aynı işaretli sayılardan oluşmalıdır, aksi takdirde ortalama değeri hesaplamanın anlamı kaybolur.

2. Ortalama Anlam sayılar kümesi S sayılarının toplamının bu sayıların sayısına bölünmesine eşittir. Yani, öyle görünüyor ki ortalama Anlam eşittir: 19/4 = 4,75.

3. Bir dizi sayı için yalnızca tespit etmek de mümkündür. ortalama aritmetik ama aynı zamanda ortalama geometrik. Birkaç normal reel sayının geometrik ortalaması, çarpımları değişmeyecek şekilde bu sayıların herhangi birinin yerini alabilecek bir sayıdır. Geometrik ortalama G şu formül kullanılarak aranır: bir sayı kümesinin çarpımının N'inci kökü; burada N, kümedeki sayıdır. Aynı sayı kümesine bakalım: 1, 3, 8, 7. Bunları bulalım ortalama geometrik. Bunu yapmak için çarpımı hesaplayalım: 1*3*8*7 = 168. Şimdi 168 sayısından 4. kökü çıkarmanız gerekiyor: G = (168)^1/4 = 3,61. Böylece ortalama geometrik sayılar kümesi 3,61'dir.

Ortalama Geometrik ortalama genellikle aritmetik ortalamadan daha az kullanılır, ancak zaman içinde değişen göstergelerin (bireysel çalışanın maaşı, akademik performans göstergelerinin dinamikleri vb.) ortalama değerini hesaplarken yararlı olabilir.

İhtiyacın olacak

• Mühendislik hesaplayıcısı

Talimatlar

1. Bir sayı dizisinin geometrik ortalamasını bulmak için öncelikle bu sayıların hepsini çarpmanız gerekir. Diyelim ki size beş göstergeden oluşan bir set verildi: 12, 3, 6, 9 ve 4. Tüm bu sayıları çarpalım: 12x3x6x9x4=7776.

2. Şimdi elde edilen sayıdan derecenin kökünü çıkarmamız gerekiyor, sayıya eşit serinin unsurları. Bizim durumumuzda 7776 sayısından beşinci kökü bir mühendislik hesap makinesi kullanarak çıkarmak gerekli olacaktır. Bu işlemden sonra elde edilen sayı - bu durumda 6 sayısı - ilk sayı grubunun geometrik ortalaması olacaktır.

3. Elinizde bir mühendislik hesaplayıcınız yoksa, Excel'deki SRGEOM işlevini kullanarak veya geometrik ortalama değerleri hesaplamak için özel olarak tasarlanmış çevrimiçi hesap makinelerinden birini kullanarak bir dizi sayının geometrik ortalamasını hesaplayabilirsiniz.

Not!
2 sayının her birinin geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, mühendislik hesaplayıcısına ihtiyacınız yoktur: 2. kökü çıkarın ( Kare kök) en sıradan hesap makinesini kullanarak herhangi bir sayıdan izin verilir.

Yararlı tavsiye
Aritmetik ortalamanın aksine, geometrik ortalama, incelenen göstergeler kümesindeki bireysel değerler arasındaki büyük sapmalardan ve dalgalanmalardan o kadar güçlü bir şekilde etkilenmez.

Ortalama değer, bir sayı kümesinin harmanlamalarından biridir. O sayı kümesindeki en büyük ve en küçük değerlerle tanımlanan aralığın dışına çıkamayacak bir sayıyı temsil eder. Ortalama aritmetik değer özellikle yaygın olarak kullanılan bir ortalama türüdür.

Talimatlar

1. Aritmetik ortalamayı bulmak için kümedeki tüm sayıları toplayın ve terim sayısına bölün. Belirli hesaplama koşullarına bağlı olarak bazen sayıların her birini kümedeki değer sayısına bölüp toplamı toplamak daha kolaydır.

2. Örneğin, kafanızdaki aritmetik ortalamayı hesaplamak mümkün değilse, Windows işletim sistemindeki hesap makinesini kullanın. Program başlatma iletişim kutusundan destek alarak açabilirsiniz. Bunu yapmak için, WIN + R kısayol tuşlarına basın veya "Başlat" düğmesine tıklayın ve ana menüden "Çalıştır" komutunu seçin. Bundan sonra giriş alanına calc yazın ve klavyenizde Enter tuşuna basın veya “Tamam” düğmesine tıklayın. Aynısı ana menüden de yapılabilir - açın, "Tüm programlar" bölümüne ve "Tipik" bölümlere gidin ve "Hesap Makinesi" satırını seçin.

3. Ayarlanan sayıların tümünü, hepsinden sonra (sonuncusu hariç) klavyedeki Artı tuşuna basarak veya hesap makinesi arayüzünde ilgili düğmeye tıklayarak adım adım girin. Sayıları klavyeden veya ilgili arayüz düğmelerine tıklayarak da girebilirsiniz.

4. Kümenin son değerini girdikten sonra hesap makinesi arayüzünde eğik çizgi tuşuna basın veya bu simgeye tıklayın ve sıradaki sayıların sayısını yazın. Bundan sonra eşittir işaretine basın; hesap makinesi aritmetik ortalamayı hesaplayacak ve gösterecektir.

5. Microsoft Excel elektronik tablo düzenleyicisini de aynı amaçla kullanabilirsiniz. Bu durumda düzenleyiciyi başlatın ve sayı dizisinin tüm değerlerini bitişik hücrelere girin. Sayının tamamını girdikten sonra Enter'a veya aşağı veya sağ ok tuşuna basarsanız, düzenleyicinin kendisi giriş odağını bitişik hücreye taşıyacaktır.

6. Girilen tüm değerleri seçin ve editör penceresinin sol alt köşesinde (durum çubuğunda) seçilen hücrelerin aritmetik ortalama değerini göreceksiniz.

7. Yalnızca ortalamayı görmek istiyorsanız, girilen son sayının yanındaki hücreye tıklayın. Ana sekmedeki Düzenleme komut grubundaki Yunanca harf sigma (Σ) görüntüsünü içeren açılır listeyi genişletin. " satırını seçin Ortalama" ve editör aritmetik ortalamayı hesaplamak için gerekli formülü seçilen hücreye ekleyecektir. Enter tuşuna bastığınızda değer hesaplanacaktır.

Aritmetik ortalama, matematikte ve istatistiksel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan merkezi eğilim ölçülerinden biridir. Birkaç değerin aritmetik ortalamasını bulmak çok kolaydır, ancak her görevin kendi nüansları vardır ve bunları tamamlamak için bilmeniz gerekir doğru hesaplamalar ilkel olarak gerekli.

Aritmetik ortalama nedir

Aritmetik ortalama, her bir başlangıç ​​sayı dizisinin ortalama değerini tanımlar. Başka bir deyişle, belirli bir sayı kümesinden, tüm öğeler için evrensel olan ve tüm öğelerle matematiksel karşılaştırması yaklaşık olarak eşit olan bir değer seçilir. Aritmetik ortalama, tercihen finansal ve istatistiksel raporların hazırlanmasında veya benzer becerilerin niceliksel sonuçlarının hesaplanmasında kullanılır.

Aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Bir sayı dizisinin aritmetik ortalamasını bulmak, bu değerlerin cebirsel toplamını belirleyerek başlamalıdır. Örneğin, dizi 23, 43, 10, 74 ve 34 sayılarını içeriyorsa, bunların cebirsel toplamı 184'e eşit olacaktır. Yazarken aritmetik ortalama, harfle gösterilir? (mu) veya x (çizgili x). Daha öte cebirsel toplam dizideki sayı sayısına bölünmelidir. Söz konusu örnekte beş sayı vardı, bu nedenle aritmetik ortalama 184/5 ve 36,8 olacaktır.

Negatif sayılarla çalışmanın özellikleri

Dizi negatif sayılar içeriyorsa, benzer bir algoritma kullanılarak aritmetik ortalama bulunur. Fark yalnızca programlama ortamında hesaplama yapılırken veya sorun ek veriler içeriyorsa ortaya çıkar. Bu durumlarda sayıların aritmetik ortalamasını bulmak çeşitli işaretlerüç adıma iner: 1. Standart yöntemi kullanarak evrensel aritmetik ortalamanın bulunması;2. Negatif sayıların aritmetik ortalamasını bulma.3. Pozitif sayıların aritmetik ortalamasının hesaplanması Her işlemin sonuçları virgülle ayrılarak yazılır.

Doğal ve ondalık kesirler

Bir sayı dizisi sunuluyorsa ondalık sayılarÇözüm, tamsayıların aritmetik ortalamasını hesaplama yöntemine göre gerçekleştirilir, ancak sonucun doğruluğu için toplamın azaltılması problemin gereklerine göre yapılır. Doğal kesirlerle çalışırken bunlar olmalıdır. dizideki sayıların çarpımı olan ortak bir paydaya indirgenir. Sonucun payı, başlangıçtaki kesirli elemanların verilen paylarının toplamı olacaktır.

Sayıların geometrik ortalaması yalnızca sayıların mutlak değerine değil aynı zamanda sayılarına da bağlıdır. Sayıların geometrik ortalamasını ve aritmetik ortalamasını karıştırmak imkansızdır çünkü bunlar farklı metodolojiler kullanılarak bulunmuştur. Bu durumda geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan küçük veya ona eşittir.

İhtiyacın olacak

• Mühendislik hesaplayıcısı.

Talimatlar

1. Genel durumda sayıların geometrik ortalamasının, bu sayıların çarpılması ve sayı sayısına karşılık gelen kuvvetin kökünün alınmasıyla bulunduğunu düşünün. Örneğin, beş sayının geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, beşinci kökü çarpımdan çıkarmanız gerekecektir.

2. 2 sayının geometrik ortalamasını bulmak için temel kuralı kullanın. Çarpımlarını bulun, ardından kök derecesine karşılık gelen iki sayısının karekökünü alın. Diyelim ki 16 ve 4 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için çarpımları 16 4 = 64'ü bulun. Ortaya çıkan sayıdan karekökü?64=8'i alın. Bu istenilen değer olacaktır. Lütfen bu 2 sayının aritmetik ortalamasının 10'dan büyük ve 10'a eşit olduğunu unutmayın. Kökün tamamı çıkarılmazsa toplamı gereken sıraya yuvarlayın.

3. 2'den fazla sayının geometrik ortalamasını bulmak için temel kuralı da kullanın. Bunu yapmak için geometrik ortalamasını bulmanız gereken tüm sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan üründen sayıların sayısına eşit gücün kökünü çıkarın. Örneğin 2, 4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için çarpımlarını bulun. 2 4 64=512. 3 sayının geometrik ortalamasının sonucunu bulmak gerektiğinden, çarpımdan üçüncü kökü çıkarın. Bunu sözlü olarak yapmak zordur, bu nedenle bir mühendislik hesap makinesi kullanın. Bu amaçla “x^y” butonu bulunmaktadır. 512 numarasını çevirin, “x^y” tuşuna basın, ardından 3 sayısını çevirin ve “1/x” tuşuna basarak 1/3 değerini bulun, “=” tuşuna basın. Üçüncü köke karşılık gelen 512'yi 1/3'ün gücüne çıkardığımız sonucu elde ederiz. 512^1/3=8'i alın. Bu 2,4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasıdır.

4. Bir mühendislik hesap makinesinin desteğiyle geometrik ortalamayı başka bir yöntem kullanarak bulabilirsiniz. Klavyenizdeki günlük düğmesini bulun. Daha sonra tüm sayıların logaritmasını alıp toplamlarını bulup sayı sayısına bölün. Ortaya çıkan sayıdan antilogaritmayı alın. Bu sayıların geometrik ortalaması olacaktır. Diyelim ki aynı 2, 4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için hesap makinesinde bir dizi işlem gerçekleştirin. 2 numarayı çevirin, ardından log tuşuna basın, “+” tuşuna basın, 4 numarayı çevirin ve log ve tekrar “+” tuşuna basın, 64'ü tuşlayın, log ve “=” tuşuna basın. Sonuç, 2, 4 ve 64 sayılarının ondalık logaritmasının toplamına eşit bir sayı olacaktır. Ortaya çıkan sayıyı 3'e bölün çünkü bu, geometrik ortalamanın arandığı sayıların sayısıdır. Toplamdan, kayıt düğmesini değiştirerek antilogaritmayı alın ve aynı log anahtarını kullanın. Sonuç 8 sayısı olacaktır, bu istenen geometrik ortalamadır.

Not!
Ortalama değer, kümedeki en büyük sayıdan büyük, en küçüğünden küçük olamaz.

Yararlı tavsiye
Matematiksel istatistikte bir miktarın ortalama değerine matematiksel beklenti denir.

Disiplin: İstatistik

Seçenek No.2

İstatistiklerde kullanılan ortalama değerler

Giriş………………………………………………………………………………….3

Teorik görev

İstatistikte ortalama değer, özü ve uygulama koşulları.

1.1. Ortalama büyüklüğün özü ve kullanım koşulları………….4

1.2. Ortalama türleri………………………………………………………8

Pratik görev

Görev 1,2,3…………………………………………………………………………………14

Sonuç………………………………………………………………………………….21

Referans listesi………………………………………………………...23

giriiş

Bu Ölçek teorik ve pratik olmak üzere iki bölümden oluşur. Teorik kısımda, ortalama değer gibi önemli bir istatistiksel kategori, özünü ve uygulama koşullarını belirlemek, ayrıca ortalama türlerini ve bunların hesaplanmasına yönelik yöntemleri vurgulamak için ayrıntılı olarak incelenecektir.

İstatistikler, bildiğimiz gibi, devasa sosyo-ekonomik olayları inceliyor. Bu fenomenlerin her biri aynı özelliğin farklı niceliksel ifadesine sahip olabilir. Örneğin aynı meslekteki çalışanların ücretleri veya aynı ürünün piyasa fiyatları vb. Ortalama değerler ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Herhangi bir popülasyonu değişen (nicel olarak değişen) özelliklere göre incelemek için istatistikler ortalama değerleri kullanır.

Orta ölçekli varlık

Ortalama değer bir genellemedir niceliksel özellik değişen bir özelliğe dayanan benzer olayların bir koleksiyonu. Ekonomik uygulamada ortalama değerler olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

Ortalama değerin en önemli özelliği, popülasyonun bireysel birimlerindeki niceliksel farklılıklara rağmen, tüm popülasyondaki belirli bir özelliğin değerini tek bir sayı ile temsil etmesi ve incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı ifade etmesidir. . Böylece, bir popülasyon biriminin özellikleri aracılığıyla, tüm popülasyonu bir bütün olarak karakterize eder.

Ortalama değerler büyük sayılar kanunuyla ilgilidir. Bu bağlantının özü, ortalama alma sırasında, büyük sayılar yasasının etkisiyle bireysel değerlerdeki rastgele sapmaların birbirini iptal etmesi ve ortalamada ana gelişme eğiliminin, gerekliliğin ve kalıbın ortaya çıkmasıdır. Ortalama değerler, farklı birim sayılarına sahip popülasyonlara ilişkin göstergeleri karşılaştırmanıza olanak tanır.

Modern gelişme koşullarında pazar ilişkileri Ekonomide ortalamalar, sosyo-ekonomik olayların nesnel kalıplarını incelemek için bir araç görevi görür. Ancak, ekonomik analiz Genel olumlu ortalamalar, bireysel ekonomik varlıkların faaliyetlerindeki büyük ciddi eksiklikleri ve yeni, ilerici bir büyümenin filizlerini gizleyebileceğinden, kişi kendisini yalnızca ortalama göstergelerle sınırlayamaz. Örneğin nüfusun gelire göre dağılımı yeni nesillerin oluşumunu tespit etmeyi mümkün kılmaktadır. sosyal gruplar. Bu nedenle, ortalama istatistiksel verilerle birlikte nüfusun bireysel birimlerinin özelliklerini de hesaba katmak gerekir.

Ortalama değer, incelenen olguyu etkileyen tüm faktörlerin sonucudur. Yani, ortalama değerleri hesaplarken rastgele (pertürbasyon, bireysel) faktörlerin etkisi ortadan kalkar ve böylece incelenen olgunun doğasında bulunan modeli belirlemek mümkündür. Adolphe Quetelet, ortalamalar yönteminin öneminin bireyselden genele, rastgeleden düzenliye geçiş imkânı olduğunu, ortalamaların varlığının nesnel gerçekliğin bir kategorisi olduğunu vurguladı.

İstatistik kütle olaylarını ve süreçlerini inceler. Bu fenomenlerin her biri hem tüm küme için ortak hem de özel, bireysel özelliklere sahiptir. Bireysel olaylar arasındaki farka varyasyon denir. Kitlesel fenomenlerin bir başka özelliği de, bireysel fenomenlerin özelliklerinin içsel benzerliğidir. Dolayısıyla, bir kümenin elemanlarının etkileşimi, özelliklerinin en azından bir kısmındaki varyasyonun sınırlandırılmasına yol açar. Bu eğilim nesnel olarak mevcuttur. Bunun nedeni nesnelliğinde yatıyor en geniş uygulama pratikte ve teoride ortalama değerler.

İstatistiklerdeki ortalama değer, niteliksel olarak homojen bir nüfusun birimi başına değişen bir özelliğin değerini yansıtan, belirli yer ve zaman koşullarında bir olgunun tipik seviyesini karakterize eden genel bir göstergedir.

Ekonomik uygulamada ortalama değerler olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

İstatistikler ortalama yöntemini kullanarak birçok sorunu çözer.

Ortalamaların asıl önemi genelleme işlevi, yani birçok farklı değişkenin yerini almasıdır. bireysel değerler karakteristik, tüm fenomen setini karakterize eden ortalama bir değerdir.

Ortalama değer, bir özelliğin niteliksel olarak homojen değerlerini genelleştirirse, bu, belirli bir popülasyondaki özelliğin tipik bir özelliğidir.

Bununla birlikte, ortalama değerlerin rolünü yalnızca belirli bir özellik için homojen olan popülasyonlardaki karakteristiklerin tipik değerlerinin karakterizasyonuna indirgemek yanlıştır. Uygulamada, modern istatistikler çok daha sık olarak homojen olayları açıkça genelleştiren ortalama değerleri kullanır.

Kişi başına düşen ortalama milli gelir, ülke genelinde ortalama tahıl verimi, çeşitli gıda ürünlerinin ortalama tüketimi - bunlar tek bir ekonomik sistem olarak devletin özellikleridir, bunlar sözde sistem ortalamalarıdır.

Sistem ortalamaları, aynı anda var olan hem mekansal hem de nesne sistemlerini (devlet, endüstri, bölge, Dünya gezegeni vb.) karakterize edebilir ve dinamik sistemler, zaman içinde uzatılmış (yıl, on yıl, sezon vb.).

Ortalama değerin en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır. Bir popülasyonun bireysel birimlerinin nitelik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olabilecek birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin bir şirketin hisse senedi fiyatı bir bütün olarak onun tarafından belirlenir. Finansal durum. Aynı zamanda belirli günlerde ve belirli borsalarda bu paylar, içinde bulunulan şartlara bağlı olarak daha yüksek veya daha düşük bir fiyattan satılabilmektedir. Ortalamanın özü, nüfusun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinde rastgele faktörlerin etkisinden kaynaklanan sapmaları iptal etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri dikkate almasıdır. . Bu, ortalamanın özelliğin tipik düzeyini yansıtmasına ve bireysel özellikler, bireysel birimlerin doğasında var.

Ortalamanın hesaplanması en yaygın genelleme tekniklerinden biridir; ortalama incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak (tipik) olanı yansıtırken aynı zamanda bireysel birimlerin farklılıklarını da göz ardı eder. Her olguda ve onun gelişiminde tesadüf ve zorunluluğun bir birleşimi vardır.

Ortalama, gerçekleştiği koşullardaki süreç yasalarının özet bir özelliğidir.

Her ortalama, incelenen popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder, ancak herhangi bir popülasyonu karakterize etmek, tipik özelliklerini ve niteliksel özelliklerini tanımlamak için bir ortalama göstergeler sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle, yerel istatistik uygulamasında sosyo-ekonomik olayları incelemek için kural olarak bir ortalama göstergeler sistemi hesaplanır. Örneğin, ortalama ücret göstergesi, ortalama çıktı, sermaye-emek oranı ve enerji-emek oranı, işin mekanizasyon derecesi ve otomasyonu vb. göstergelerle birlikte değerlendirilir.

Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır. Bu nedenle özel gösterge Sosyo-ekonomik analizde kullanıldığında, ortalamanın yalnızca bir gerçek değeri hesaplanabilir. bilimsel yol hesaplama.

Ortalama değer, niceliksel olarak değişen bazı özelliklere göre bir dizi benzer olguyu karakterize eden en önemli genelleştirici istatistiksel göstergelerden biridir. İstatistiklerdeki ortalamalar genel göstergelerdir; niceliksel olarak değişen bir niteliğe göre sosyal olayların tipik karakteristik boyutlarını ifade eden sayılardır.

Ortalama türleri

Ortalama değer türleri öncelikle hangi özelliğe göre farklılık gösterir, özelliğin bireysel değerlerinin başlangıçta değişen kütlesinin hangi parametresinin değişmeden tutulması gerekir.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, hesaplama sırasında özelliğin toplam hacminin değişmeden kaldığı, özelliğin ortalama değeridir. Aksi takdirde aritmetik ortalamanın ortalama terim olduğunu söyleyebiliriz. Bunu hesaplarken, özelliğin toplam hacmi zihinsel olarak nüfusun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılır.

Aritmetik ortalama, ortalaması alınan özelliğin değerleri (x) ve belirli bir karakteristik değere (f) sahip popülasyon birimlerinin sayısı biliniyorsa kullanılır.

Aritmetik ortalama basit veya ağırlıklı olabilir.

Basit aritmetik ortalama

Basit, x özelliğinin her değeri bir kez ortaya çıkıyorsa kullanılır; her x için özelliğin değeri f = 1 veya kaynak veri sıralanmamışsa ve kaç birimin olduğu bilinmiyorsa belirli değerler imza.

Formül aritmetik ortalama basit bir görünüme sahiptir.

İstatistiksel toplam birimlerinin özellikleri anlam bakımından farklıdır; örneğin, bir işletmede aynı meslekte çalışan işçilerin ücretlerinin aynı zaman dilimi için aynı olmaması, aynı ürünlerin piyasa fiyatları, ilçedeki mahsul rekolteleri. çiftlikler vb. Bu nedenle, incelenen birimlerin tüm popülasyonunun karakteristiği olan bir özelliğin değerini belirlemek için ortalama değerler hesaplanır.
ortalama değer – bu, bazı niceliksel özelliklere sahip bir dizi bireysel değerin genelleştirici bir özelliğidir.

Niceliksel olarak incelenen popülasyon bireysel değerlerden oluşur; onlar etkilenir ortak nedenler ve bireysel koşullar. Ortalama değerde, bireysel değerlerin karakteristik sapmaları iptal edilir. Bir dizi bireysel değerin bir fonksiyonu olan ortalama, tek bir değere sahip toplamın tamamını temsil eder ve tüm birimlerinde ortak olanı yansıtır.

Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için hesaplanan ortalamaya denir. tipik ortalama. Örneğin aylık ortalamayı hesaplayabilirsiniz. ücretler bir veya başka bir meslek grubunun çalışanı (madenci, doktor, kütüphaneci). Elbette madencilerin aylık ücret düzeyleri, niteliklerindeki farklılıklar, hizmet süreleri, aylık çalışılan süre ve diğer birçok faktör nedeniyle birbirinden ve ortalama ücret düzeyinden farklılık göstermektedir. Ancak ortalama düzey, ücret düzeyini etkileyen temel faktörleri yansıtmakta ve çalışanın bireysel özelliklerinden kaynaklanan farklılıklar ortadan kaldırılmaktadır. Ortalama maaş, belirli bir çalışan türü için tipik ücret düzeyini yansıtır. Tipik bir ortalamanın elde edilmesinden önce, belirli bir popülasyonun niteliksel olarak ne kadar homojen olduğunun bir analizi yapılmalıdır. Set bunlardan oluşuyorsa bireysel parçalar, tipik gruplara ayrılmalıdır (hastanedeki ortalama sıcaklık).

Heterojen popülasyonlar için özellik olarak kullanılan ortalama değerlere denir sistem ortalamaları. Örneğin kişi başına düşen ortalama gayri safi yurt içi hasıla (GSYH), ortalama tüketim çeşitli gruplar Birleşik bir ekonomik sistem olarak devletin genel özelliklerini temsil eden kişi başına mal ve diğer benzer değerler.

Yeterince fazla sayıda birimden oluşan popülasyonlar için ortalamanın hesaplanması gerekir. Büyük sayılar yasasının yürürlüğe girmesi için bu koşula uygunluk gereklidir, bunun sonucunda bireysel değerlerin genel eğilimden rastgele sapmaları karşılıklı olarak iptal edilir.

Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ve kaynak verilerin ekonomik içeriğine göre belirlenir. Bununla birlikte, herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, nihai, genelleştirici veya genel olarak adlandırıldığı gibi değişmeyecek şekilde hesaplanmalıdır. belirleyici gösterge ortalama göstergeyle ilişkilidir. Örneğin, yolun ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama hızlarla değiştirirken kat edilen toplam mesafe değişmemelidir. araç aynı zamanda; bir işletmenin bireysel çalışanlarının fiili ücretlerini ortalama ücretle değiştirirken ücret fonu değişmemelidir. Sonuç olarak, her özel durumda, mevcut verilerin niteliğine bağlı olarak, incelenen sosyo-ekonomik olgunun özelliklerine ve özüne uygun olan göstergenin yalnızca bir gerçek ortalama değeri vardır.
En sık kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, ikinci dereceden ortalama ve kübik ortalamadır.
Listelenen ortalamalar sınıfa aittir sakinleştirici ortalamalar ve genel formülle birleştirilir:
,
incelenen özelliğin ortalama değeri nerede;
m – ortalama derece indeksi;
– ortalaması alınan özelliğin mevcut değeri (varyant);
n – özelliklerin sayısı.
Üs m'nin değerine bağlı olarak, aşağıdaki güç ortalama türleri ayırt edilir:
m = -1 olduğunda – harmonik ortalama;
m = 0'da – geometrik ortalama;
m = 1 için – aritmetik ortalama;
m = 2 için – ortalama karekök;
m = 3'te – ortalama kübik.
Aynı başlangıç ​​verilerini kullanırken, yukarıdaki formüldeki m üssü ne kadar büyük olursa, daha fazla değer ortalama boyut:
.
Güç ortalamalarının bu özelliğine, tanımlayıcı fonksiyonun artan üssüyle birlikte artış denir. ortalamaların çoğunluğu kuralı.
İşaretlenen ortalamaların her biri iki biçimde olabilir: basit Ve ağırlıklı.
Basit orta form ortalama birincil (gruplanmamış) verilerden hesaplandığında kullanılır. Ağırlıklı form– ikincil (gruplandırılmış) verilere dayalı ortalamayı hesaplarken.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, popülasyonun hacmi değişen bir karakteristiğin tüm bireysel değerlerinin toplamı olduğunda kullanılır. Ortalamanın türü belirtilmediği takdirde aritmetik ortalamanın varsayılacağına dikkat edilmelidir. Mantıksal formülü şuna benzer:

Basit aritmetik ortalama hesaplanmış gruplandırılmamış verilere dayalı formüle göre:
veya ,
özelliğin bireysel değerleri nerede;
j, değeri ile karakterize edilen gözlem ünitesinin seri numarasıdır;
N – gözlem birimlerinin sayısı (nüfusun hacmi).
Örnek.“İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi, 10 kişilik bir ekibin iş deneyimini gözlemlemenin sonuçlarını inceledi. Ekip çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplayalım. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak şunu da hesaplayabiliriz: kronolojik serideki ortalamalar karakteristik değerlerin sunulduğu zaman aralıkları eşitse.
Örnek.İlk çeyrekte satılan ürün hacmi 47 den'i buldu. ikinci 54, üçüncü 65 ve dördüncü 58 den için birimler. birimler Ortalama üç aylık ciro (47+54+65+58)/4 = 56 den. birimler
Anlık göstergeler kronolojik bir seri halinde verilirse, ortalama hesaplanırken bunlar, dönemin başındaki ve sonundaki değerlerin yarı toplamları ile değiştirilir.
İkiden fazla an varsa ve aralarındaki aralıklar eşitse, ortalama kronolojik formül kullanılarak ortalama hesaplanır.

,
burada n, zaman noktalarının sayısıdır
Verilerin karakteristik değerlere göre gruplanması durumunda (yani ayrı bir varyasyonel dağılım serisi oluşturulmuştur) ile aritmetik ortalama ağırlıklı sayısı (k) anlamlı olan bir özelliğin belirli değerlerinin gözlem frekansları veya gözlem frekansları kullanılarak hesaplanır daha az sayı gözlemler (N) .
,
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır,
i – varyasyon serisinin grup numarası.
a olduğundan pratik hesaplamalar için kullanılan formülleri elde ederiz:
Ve
Örnek. Gruplandırılmış bir satırdaki çalışma ekiplerinin ortalama hizmet süresini hesaplayalım.
a) frekansların kullanılması:

b) frekansların kullanılması:

Verilerin aralıklara göre gruplandırılması durumunda , yani aralık dağılım serileri şeklinde sunulur; aritmetik ortalama hesaplanırken aralığın ortası, aşağıdaki varsayıma dayanarak özelliğin değeri olarak alınır: üniforma dağıtımı belirli bir aralıktaki popülasyon birimleri. Hesaplama aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilir:
Ve
aralığın ortası nerede: ,
nerede ve aralıkların alt ve üst sınırlarıdır (belirli bir aralığın üst sınırının bir sonraki aralığın alt sınırıyla çakışması koşuluyla).

Örnek. 30 işçinin yıllık ücretleri üzerine yapılan bir çalışmanın sonuçlarına dayanarak oluşturulan aralık değişim serisinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım (bkz. “İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi).
Tablo 1 – Aralık değişim serisi dağılımı.

UAH veya UAH
Kaynak verileri ve aralık varyasyon serileri temel alınarak hesaplanan aritmetik ortalamalar, nitelik değerlerinin aralıklar içindeki eşit olmayan dağılımı nedeniyle çakışmayabilir. Bu durumda ağırlıklı aritmetik ortalamanın daha doğru hesaplanması için aralıkların ortaları değil, her grup için hesaplanan basit aritmetik ortalamalar kullanılmalıdır ( grup ortalamaları). Ağırlıklı hesaplama formülü kullanılarak grup ortalamalarından hesaplanan ortalamaya denir. genel ortalama.
Aritmetik ortalamanın birçok özelliği vardır.
1. Ortalama seçenekten sapmaların toplamı sıfırdır:
.
2. Opsiyonun tüm değerleri A miktarı kadar artar veya azalırsa, ortalama değer aynı A miktarı kadar artar veya azalır:

3. Her seçenek B katı artırılır veya azaltılırsa ortalama değer de aynı sayıda artacak veya azalacaktır:
veya
4. Seçeneğin çarpımlarının frekanslara göre toplamı, ortalama değerin frekansların toplamına göre çarpımına eşittir:

5. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa aritmetik ortalama değişmeyecektir:

6) tüm aralıklarda frekanslar birbirine eşitse, ağırlıklı aritmetik ortalama, basit aritmetik ortalamaya eşittir:
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır.

Ortalamanın özelliklerini kullanmak, hesaplamasını basitleştirmenize olanak tanır.
Tüm seçeneklerin (x) önce aynı A sayısı kadar, sonra da B faktörü kadar azaltıldığını varsayalım. En büyük sadeleştirme, en yüksek frekansa sahip aralığın ortasının değeri A olarak seçildiğinde ve aralığın değeri (aynı aralıklara sahip seriler için) B olarak seçildiğinde elde edilir. A miktarına orijin denir, dolayısıyla ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine denir. yol B koşullu sıfırdan ohm referansı veya anların yolu.
Böyle bir dönüşümün ardından varyantları eşit olan yeni bir varyasyonel dağılım serisi elde ederiz. Aritmetik ortalamalarına denir ilk sipariş anı, formülle ifade edilir ve ikinci ve üçüncü özelliklere göre aritmetik ortalama, orijinal versiyonun ortalamasına eşittir, önce A, sonra B katı ile azaltılır, yani;
Almak için gerçek ortalama(orijinal serinin ortalaması) birinci dereceden momenti B ile çarpmanız ve A'yı eklemeniz gerekir:

Momentler yöntemi kullanılarak aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 2.
Tablo 2 – Fabrika atölyesi çalışanlarının hizmet süresine göre dağılımı

İlk sipariş anını bulma . Daha sonra A = 17,5 ve B = 5 olduğunu bilerek atölye çalışanlarının ortalama hizmet süresini hesaplıyoruz:
yıllar

Harmonik ortalama
Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik ortalama, bir özelliğin x varyantlarının ve f frekanslarının bilindiği durumlarda, bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için kullanılır.
İstatistiksel bilgi popülasyonun bireysel x seçenekleri için f frekanslarını içermiyor ancak bunların ürünü olarak sunuluyorsa formül uygulanır ağırlıklı harmonik ortalama. Ortalamayı hesaplamak için nerede olduğunu belirtelim. Bu ifadeleri aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde değiştirerek harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz:
,
i (i=1,2, …, k) numaralı aralıktaki gösterge nitelik değerlerinin hacmi (ağırlığı) nerededir.

Bu nedenle, harmonik ortalama, seçeneklerin kendisinin toplamaya tabi olmadığı, ancak bunların karşılıklı olduğu durumlarda kullanılır: .
Her seçeneğin ağırlığının bire eşit olduğu durumlarda; Ters karakteristiğin bireysel değerleri bir kez uygulanır, uygulanır harmonik basit demek:
,
ters özelliğin bireysel değişkenleri nerede bir kez meydana gelir;
N – sayı seçeneği.
Bir popülasyonun iki kısmı için harmonik ortalamalar varsa, o zaman tüm popülasyonun genel ortalaması aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

ve denir grup ortalamalarının ağırlıklı harmonik ortalaması.

Örnek. Döviz alım satımı sırasında operasyonun ilk saatinde üç işlem gerçekleştirildi. Grivna satış miktarı ve ABD doları karşısında Grivna döviz kuruna ilişkin veriler tabloda verilmektedir. 3 (sütun 2 ve 3). İşlemin ilk saati için Grivnanın ABD dolarına karşı ortalama döviz kurunu belirleyin.
Tablo 3 – Döviz ticaretinin ilerlemesine ilişkin veriler

Ortalama dolar kuru, tüm işlemler sırasında satılan Grivna miktarının, aynı işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarına oranıyla belirlenir. Grivnanın nihai satış tutarı tablonun 2. sütunundan bilinmektedir ve her işlemde satın alınan dolar miktarı, Grivnanın satış tutarının döviz kuruna bölünmesiyle belirlenir (sütun 4). Üç işlem sırasında toplam 22 milyon dolar satın alındı. Bu, bir dolar için Grivnanın ortalama döviz kurunun şu şekilde olduğu anlamına gelir:
.
Ortaya çıkan değer gerçektir çünkü İşlemlerdeki gerçek Grivna döviz kurları ile değiştirilmesi, Grivna satışlarının nihai tutarını değiştirmeyecektir. belirleyici gösterge: milyon UAH
Hesaplama için aritmetik ortalama kullanıldıysa; Grivnası, daha sonra 22 milyon dolarlık döviz kuruyla satın alındı. 110,66 milyon UAH harcamak gerekecek ki bu doğru değil.

Geometrik ortalama
Geometrik ortalama, olayların dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve ortalama büyüme katsayısının belirlenmesine olanak tanır. Geometrik ortalamayı hesaplarken, bir özelliğin bireysel değerleri, her seviyenin bir öncekine oranı olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan dinamiklerin göreceli göstergeleridir.
Basit geometrik ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
,
ürünün işareti nerede,
N – ortalama değerlerin sayısı.
Örnek. 4 yılda kayıtlı suç sayısı 1,57 kat arttı; 1'incide 1,08 kat, 2'de 1,1 kat, 3'te 1,18 ve 4'te 1,12 kat artış yaşandı. Bu durumda suç sayısının ortalama yıllık artış oranı: , yani. Kayıtlı suçların sayısı her yıl ortalama %12 arttı.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96