Çoğu durumda veriler belirli bir alanın etrafında yoğunlaşır. Merkez noktası. Bu nedenle herhangi bir veri kümesini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için kullanılan üç sayısal özelliği sırasıyla ele alalım: aritmetik ortalama, medyan ve mod.

Ortalama

Aritmetik ortalama (genellikle basitçe ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesi sonucudur. Sayılardan oluşan bir örnek için X 1, X 2, …, XN, örnek ortalama (ile gösterilir) ) eşittir = (X 1 + X 2 + … + XN) / N, veya

örnek ortalaması nerede, N- örnek boyut, XBen – i'inci elemanörnekler.

Notu veya formatında indirin, formattaki örnekler

15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirilerinin aritmetik ortalamasını çok yüksek bir değerle hesaplamayı düşünün. yüksek seviye risk (Şekil 1).

Pirinç. 1. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi

Örnek ortalaması şu şekilde hesaplanır:

Bu iyi gelirözellikle banka veya kredi birliği mevduat sahiplerinin aynı dönemde aldıkları %3-4'lük getiriyle karşılaştırıldığında. Getirileri sıraladığımızda sekiz fonun ortalamanın üzerinde, yedi fonun ise ortalamanın altında getiri sağladığını görmek kolay. Aritmetik ortalama denge noktası görevi görür, böylece düşük getirili fonlar yüksek getirili fonları dengeler. Ortalamanın hesaplanmasında numunenin tüm unsurları yer alır. Bir dağılımın ortalamasına ilişkin diğer tahminlerin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.

Aritmetik ortalamayı ne zaman hesaplamanız gerekir? Aritmetik ortalama örnekteki tüm elemanlara bağlı olduğundan uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri seti açıklanırken medyanın veya aritmetik ortalamanın ve medyanın belirtilmesi gerekir. Örneğin RS Gelişen Büyüme fonunun getirilerini örneklemden çıkarırsak, 14 fonun örnek ortalaması neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşüyor.

Medyan

Medyan, sıralı bir sayı dizisinin orta değerini temsil eder. Dizi tekrarlayan sayılar içermiyorsa, elemanlarının yarısı ortancadan küçük, yarısı da büyük olacaktır. Örnek aşırı değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine ortancayı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce sıralanması gerekir.

Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift veya tek olmasına bağlıdır N:

• Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n+1)/2-'inci eleman.
• Örnek çift sayıda öğe içeriyorsa, medyan, örneğin ortadaki iki öğesi arasında yer alır ve bu iki öğe üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerini içeren bir örneğin medyanını hesaplamak için öncelikle ham verileri sıralamanız gerekir (Şekil 2). Daha sonra medyan, numunenin ortadaki elemanının sayısının karşısında olacaktır; 8 numaralı örneğimizde. Excel'de var özel fonksiyon=MEDIAN(), sırasız dizilerle de çalışır.

Pirinç. 2. Ortalama 15 fon

Dolayısıyla medyan 6,5'tir. Bu, çok yüksek riskli fonların bir yarısının getirisinin 6,5'i geçmediği, diğer yarısının getirisinin ise onu aştığı anlamına geliyor. 6,5'lik medyanın 6,08'lik ortalamadan çok da büyük olmadığını unutmayın.

Örneklemden RS Emerging Growth fonunun getirisini çıkarırsak kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşüyor, yani aritmetik ortalama kadar anlamlı değil (Şekil 3).

Pirinç. 3. Ortalama 14 fon

Moda

Terim ilk kez 1894'te Pearson tarafından icat edildi. Moda, bir örnekte en sık görülen (en moda olan) sayıdır. Moda, örneğin sürücülerin trafik ışığı sinyaline hareket etmeyi bırakma yönündeki tipik tepkisini çok iyi tanımlıyor. Klasik örnek moda kullanımı - bir ayakkabı partisinin boyutunu veya duvar kağıdının rengini seçmek. Bir dağıtımın birden fazla modu varsa, bu durumda multimodal veya multimodal (iki veya daha fazla "zirveye" sahip) olduğu söylenir. Çok modlu dağıtım şunları sağlar önemli bilgi incelenen değişkenin doğası hakkında. Örneğin sosyolojik araştırmalarda, eğer bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, bu durumda çok modluluk birbirinden tamamen farklı birkaç görüşün olduğu anlamına gelebilir. Çok modluluk aynı zamanda numunenin homojen olmadığının ve gözlemlerin iki veya daha fazla "örtüşen" dağılım tarafından üretilebileceğinin bir göstergesi olarak da hizmet eder. Aritmetik ortalamanın aksine aykırı değerler modu etkilemez. Yatırım fonlarının ortalama yıllık getirisi gibi sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için bu mod bazen mevcut olmayabilir (veya hiçbir anlam ifade etmeyebilir). Bu göstergeler çok farklı değerler alabildiğinden tekrarlanan değerler son derece nadirdir.

Çeyrekler

Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini açıklarken veri dağılımını değerlendirmek için en sık kullanılan metriklerdir. Medyan, sıralı diziyi ikiye bölerken (dizinin öğelerinin %50'si medyandan küçük ve %50'si büyüktür), çeyrekler sıralı veri kümesini dört parçaya böler. Q 1 , medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. İlk çeyrek Q1, numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: öğelerin %25'i ilk çeyrekten küçüktür ve %75'i büyüktür.

Üçüncü çeyrek Q3 aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Öğelerin %75'i üçüncü çeyrekten küçüktür ve %25'i büyüktür.

Excel'in 2007'den önceki sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için =QUARTILE(array,part) işlevini kullanın. Excel 2010'dan itibaren iki işlev kullanılmaktadır:

• =QUARTILE.ON(dizi, parça)
• =QUARTILE.HRC(dizi, parça)

Bu iki işlev çok az şey verir Farklı anlamlar(Şekil 4). Örneğin, çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneğin çeyrekleri hesaplanırken, QUARTILE.IN ve QUARTILE.EX için sırasıyla Q 1 = 1,8 veya –0,7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi şuna karşılık gelir: modern fonksiyon DÖRTTEBİRLİK.DAHİL Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisinin sıralanmasına gerek yoktur.

Pirinç. 4. Excel'de çeyrekleri hesaplamak

Tekrar vurgulayalım. Excel, tek değişkenli bir değişken için çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri değerleri içeren rastgele değişken. Frekans bazlı bir dağılım için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.

Geometrik ortalama

Aritmetik ortalamanın aksine geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içindeki değişim derecesini tahmin etmenize olanak tanır. Geometrik ortalama köktür N işten elde edilen derece N miktarlar (Excel'de =SRGEOM işlevi kullanılır):

G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Benzer bir parametre - kâr oranının geometrik ortalama değeri - aşağıdaki formülle belirlenir:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Nerede Ri- kar oranı Ben zaman dilimi.

Örneğin ilk yatırımın 100.000$ olduğunu varsayalım. İlk yılın sonunda 50.000$'a düşüyor, ikinci yılın sonunda ise başlangıç ​​seviyesi olan 100.000$'a geri dönüyor. -yıllık dönem, başlangıç ​​ve son fon tutarları birbirine eşit olduğundan 0'a eşittir. Ancak yıllık kâr oranlarının aritmetik ortalaması = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 veya %25 olur, çünkü ilk yıldaki kâr oranı R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = –0,5 ve ikinci R 2 = (100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda, kâr oranının iki yıllık geometrik ortalama değeri şuna eşittir: G = [(1–0,5) * (1+1 ) ] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Bu nedenle geometrik ortalama, iki yıllık bir süre boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha kesin olarak değişiklik yokluğunu) aritmetikten daha doğru bir şekilde yansıtır. Anlam.

İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durum hariç. İkincisi, özellikleri dikkate alarak dik üçgen ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığı anlaşılabilir. Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki (uzunluk) parçanın geometrik ortalamasını oluşturmak için geometrik bir yol sağlar: çap olarak bu iki parçanın toplamı üzerine bir daire oluşturmanız, ardından daire ile kesişme noktasına bağlantı noktasından yüksekliği geri yüklemeniz gerekir. istenen değeri verecektir:

Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan şekil)

Sayısal verilerin ikinci önemli özelliği ise varyasyon, veri dağılım derecesini karakterize eder. İki farklı örnek hem ortalama hem de varyans açısından farklı olabilir. Ancak Şekil 2'de gösterildiği gibi. Şekil 6 ve 7'de, iki numune aynı varyasyonlara ancak farklı ortalamalara veya aynı ortalamaya ve tamamen farklı varyasyonlara sahip olabilir. Şekil 2'deki B poligonuna karşılık gelen veriler. Şekil 7'deki gibi, A poligonunun oluşturulduğu verilere göre çok daha az değişiklik olur.

Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı spreadlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Veri değişimine ilişkin beş tahmin vardır:

• kapsam,
• çeyrekler arası aralık,
• dağılım,
• standart sapma,
• varyasyon katsayısı.

Kapsam

Aralık, numunenin en büyük ve en küçük elemanları arasındaki farktır:

Aralık = XMaksimum – XMin.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneğin aralığı, sıralı dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): Aralık = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Bu da çok yüksek riskli fonların en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getirileri arasındaki farkın %24,6 olduğu anlamına geliyor.

Aralık, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek aralığı, verilerin genel yayılımına ilişkin çok basit bir tahmin olmasına rağmen zayıflığı, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında nasıl dağıldığını tam olarak hesaba katmamasıdır. Bu etki Şekil 2'de açıkça görülmektedir. Şekil 8, aynı aralığa sahip numuneleri göstermektedir. Ölçek B, bir numunenin en az bir uç değer içermesi halinde, numune aralığının verilerin yayılmasına ilişkin oldukça kesin olmayan bir tahmin olduğunu göstermektedir.

Pirinç. 8. Aynı aralığa sahip üç numunenin karşılaştırılması; üçgen ölçeğin desteğini sembolize eder ve konumu örnek ortalamaya karşılık gelir

Çeyrekler arası aralık

Çeyrekler arası veya ortalama aralık, numunenin üçüncü ve birinci çeyrekleri arasındaki farktır:

Çeyrekler arası aralık = Q 3 – Q 1

Bu değer, aşırı elementlerin etkisini hesaba katmadan elementlerin %50'sinin dağılımını tahmin etmemizi sağlar. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun yıllık ortalama getirilerini içeren bir örneklemin çeyrekler arası aralığı, Şekil 1'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, QUARTILE.EXC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 – (–0,7) = 10,5. 9,8 ve -0,7 sayılarıyla sınırlanan aralığa genellikle orta yarı denir.

Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın, aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya daha büyük herhangi bir değeri hesaba katmaz. Q 3'ten daha. Toplam niceliksel özellikler Ortanca, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi aykırı değerlerden etkilenmeyen değerlere sağlam ölçüler denir.

Aralık ve çeyrekler arası aralık sırasıyla bir numunenin genel ve ortalama yayılımına ilişkin tahminler sağlasa da, bu tahminlerin hiçbiri verilerin tam olarak nasıl dağıtıldığını hesaba katmaz. Varyans ve standart sapma bu dezavantajdan yoksundur. Bu göstergeler, verilerin ortalama değer etrafında ne ölçüde dalgalandığını değerlendirmenize olanak tanır. Örnek varyans her bir örnek öğe ile örnek ortalaması arasındaki farkların karelerinden hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. Bir X 1, X 2, ... X n örneği için örnek varyansı (S2 sembolüyle gösterilir) aşağıdaki formülle verilir:

İÇİNDE Genel davaörnek varyansı, örnek öğeler ile örnek ortalaması arasındaki farkların karelerinin toplamının, örneklem büyüklüğü eksi bire eşit bir değere bölünmesiyle elde edilir:

Nerede - aritmetik ortalama, N- örnek boyut, X ben - Ben seçimin inci unsuru X. Hesaplamalar için Excel 2007 sürümüne kadar örnek varyans=DISP() işlevi 2010 sürümünden beri kullanılmaktadır; =DISP.V() işlevi kullanılmaktadır.

Verilerin yayılmasına ilişkin en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmin şu şekildedir: Numune standart sapması. Bu gösterge S sembolüyle gösterilir ve şuna eşittir: kare kökörnek varyansından:

Excel'de sürüm 2007'den önce standart örnek sapmayı hesaplamak için =STDEV.() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =STDEV.V() işlevi kullanılıyor. Bu işlevleri hesaplamak için veri dizisi sırasız olabilir.

Ne örneklem varyansı ne de örneklem standart sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, numunenin tüm elemanlarının birbirine eşit olmasıdır. Bu kesinlikle inanılmaz durum aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.

Sayısal veriler doğası gereği değişkendir. Herhangi bir değişken birçok şey alabilir Farklı anlamlar. Örneğin, farklı yatırım fonlarının farklı getiri ve zarar oranları vardır. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği özet olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin yayılmasını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.

Dağılım ve standart sapma, verilerin ortalama değer etrafındaki yayılımını değerlendirmenize, başka bir deyişle kaç örnek öğenin ortalamadan küçük, kaçının büyük olduğunu belirlemenize olanak tanır. Dispersiyonun bazı değerli matematiksel özellikleri vardır. Ancak değeri ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, dağılımın doğal bir ölçüsü, ortak gelir birimleri yüzdesi, dolar veya inç cinsinden ifade edilen standart sapmadır.

Standart sapma, örnek öğelerin ortalama değer etrafındaki değişim miktarını tahmin etmenize olanak tanır. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğunluğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma aralığında yer alır. Sonuç olarak, örnek elemanların aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, veri yığınının ait olduğu aralığı belirlemek mümkündür.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük kısmının karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklılık göstermediği anlamına gelir (yani, - S= 6,2 – 6,6 = –0,4 ila +S= 12.8). Aslında fonların beş yıllık ortalama yıllık getirisi %53,3 (15 üzerinden 8) bu aralıkta yer alıyor.

Pirinç. 9. Örnek standart sapma

Kareleri alınmış farklar toplanırken, ortalamadan uzak olan örnek öğelere, ortalamaya yakın olan öğelere göre daha fazla ağırlık verildiğini unutmayın. Bu özellik, bir dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için ortalamanın en sık kullanılmasının ana nedenidir. aritmetik değer.

Değişim katsayısı

Önceki dağılım tahminlerinin aksine, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Orijinal verinin birimlerinde değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV simgeleriyle gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. Değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesi ve %100 ile çarpılmasına eşittir:

Nerede S- standart numune sapması, - örnek ortalaması.

Değişim katsayısı, elemanları farklı ölçü birimleriyle ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım hizmetinin yöneticisi, kamyon filosunu yenilemeyi planlıyor. Paketleri yüklerken dikkate alınması gereken iki kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound cinsinden) ve hacmi (fit küp cinsinden). 200 torba içeren bir numunede ortalama ağırlığın 26,0 pound, ağırlığın standart sapmasının 3,9 pound, ortalama torba hacminin 8,8 fit küp ve hacmin standart sapmasının 2,2 fit küp olduğunu varsayalım. Paketlerin ağırlık ve hacmindeki farklılıklar nasıl karşılaştırılır?

Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğundan, yöneticinin bu miktarların göreceli yayılımını karşılaştırması gerekir. Ağırlık değişim katsayısı CV W = 3,9 / 26,0 * %100 = %15 ve hacim değişim katsayısı CV V = 2,2 / 8,8 * %100 = %25'tir. Dolayısıyla paketlerin hacmindeki göreceli değişiklik, ağırlıklarındaki göreceli değişiklikten çok daha fazladır.

Dağıtım formu

Bir numunenin üçüncü önemli özelliği dağılımının şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Bir dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. İkisi aynıysa değişkenin simetrik olarak dağıldığı kabul edilir. Bir değişkenin ortalama değeri ortancadan büyükse dağılımı pozitif çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Ortalama olağandışı yüksek değerlere yükseldiğinde pozitif çarpıklık meydana gelir. Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık ortaya çıkar. Bir değişken her iki yönde de uç değerler almıyorsa simetrik olarak dağılmıştır, böylece değişkenin büyük ve küçük değerleri birbirini iptal eder.

Pirinç. 10. Üç tür dağıtım

A ölçeğinde gösterilen veriler negatif çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede küçük değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sola doğru bir eğimi göstermektedir. Bu son derece küçük değerler ortalama değeri sola kaydırarak medyandan daha küçük hale getirir. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılmıştır. Dağılımın sol ve sağ yarıları kendilerinin ayna görüntüleridir. Büyük ve küçük değerler birbirini dengeler ve ortalama ile medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif olarak çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sağa doğru bir eğimi göstermektedir. Bu çok büyük değerler ortalamayı sağa kaydırarak medyandan daha büyük hale getirir.

Excel'de bir eklenti kullanılarak tanımlayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi. Menüde gezinme Veri → Veri analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı istatistikler ve tıklayın Tamam. Pencerede Tanımlayıcı istatistikler mutlaka belirtin Giriş aralığı(Şekil 11). Açıklayıcı istatistikleri orijinal verilerle aynı sayfada görmek istiyorsanız radyo düğmesini seçin. Çıkış aralığı ve görüntülenen istatistiklerin sol üst köşesinin yerleştirileceği hücreyi belirtin (örneğimizde $C$1). Veri çıktısını almak istiyorsanız yeni yaprak veya içinde yeni kitap, sadece uygun anahtarı seçin. yanındaki kutuyu işaretleyin Özet istatistikler. İstenirse siz de seçebilirsiniz Zorluk seviyesi,en küçük veen büyük k..

Eğer depozito varsa Veri bölgede Analiz simgeyi görmüyorsun Veri analizi, önce eklentiyi yüklemeniz gerekiyor Analiz paketi(örneğin bkz.).

Pirinç. 11. Çok yüksek risk seviyesine sahip fonların eklenti kullanılarak hesaplanan beş yıllık ortalama yıllık getirilerine ilişkin tanımlayıcı istatistikler Veri analizi Excel programları

Excel yukarıda tartışılan bir dizi istatistiği hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( aralık), minimum, maksimum ve örneklem büyüklüğü ( kontrol etmek). Excel ayrıca bizim için yeni olan bazı istatistikleri de hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. Standart hata standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesine eşittir. Asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve örnek öğeler ile ortalama değer arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına kıyasla ortalama etrafındaki göreceli veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek öğeler ile dördüncü kuvvete yükseltilen ortalama arasındaki farklara bağlıdır.

Bir popülasyon için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması

Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, yayılımı ve şekli örneklemden belirlenen özelliklerdir. Ancak veri seti tüm popülasyonun sayısal ölçümlerini içeriyorsa parametreleri hesaplanabilir. Bu parametreler popülasyonun beklenen değerini, dağılımını ve standart sapmasını içerir.

Beklenen değer popülasyondaki tüm değerlerin toplamının popülasyon büyüklüğüne bölünmesine eşittir:

Nerede µ - beklenen değer, XBen- Ben bir değişkenin gözlemlenmesi X, N- genel nüfusun hacmi. Excel'de matematiksel beklentiyi hesaplamak için aritmetik ortalamayla aynı işlev kullanılır: =ORTALAMA().

Nüfus değişimi genel popülasyonun unsurları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. beklentinin nüfus büyüklüğüne bölümü:

Nerede σ2– genel nüfusun dağılımı. Sürüm 2007'den önceki Excel'de, sürüm 2010 =VARP()'dan başlayarak, bir popülasyonun varyansını hesaplamak için =VARP() işlevi kullanılıyordu.

Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:

2007 sürümünden önceki Excel'de, =STDEV() işlevi, 2010 =STDEV.Y() sürümünden başlayarak bir popülasyonun standart sapmasını hesaplamak için kullanılıyordu. Popülasyon varyansı ve standart sapmaya ilişkin formüllerin, örneklem varyansı ve standart sapmayı hesaplamaya yönelik formüllerden farklı olduğunu unutmayın. Örnek istatistikleri hesaplarken S2 Ve S kesrin paydası n – 1 ve parametreleri hesaplarken σ2 Ve σ - genel nüfusun hacmi N.

Temel kural

Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan çevresinde yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklık içeren veri setlerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani altında), negatif çarpıklık bulunan kümelerde ise bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani üstünde) yer alır. Simetrik veriler için ortalama ve medyan aynıdır ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım açıkça çarpık değilse ve veriler bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşmışsa, değişkenliği tahmin etmek için kullanılabilecek genel kural şudur: Veriler çan şeklinde bir dağılıma sahipse, gözlemlerin yaklaşık %68'i bu aralıktadır. beklenen değerin bir standart sapması, gözlemlerin yaklaşık %95'i matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla uzakta değildir ve gözlemlerin %99,7'si matematiksel beklentiden en fazla üç standart sapma uzaktadır.

Böylece, beklenen değer etrafındaki ortalama değişimin bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel kural, çan şeklindeki dağılımlarda yalnızca yirmi değerden birinin matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla farklı olduğudur. Bu nedenle aralığın dışındaki değerler u ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ayrıca 1000 gözlemden yalnızca üçü matematiksel beklentiden üç standart sapmadan fazla farklılık göstermektedir. Böylece aralığın dışındaki değerler u ± 3σ neredeyse her zaman aykırıdır. Oldukça çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Bienamay-Chebyshev temel kuralı uygulanabilir.

Yüz yıldan fazla bir süre önce matematikçiler Bienamay ve Chebyshev birbirlerinden bağımsız olarak şunu keşfettiler: kullanışlı özellik standart sapma. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekline bakılmaksızın, belirli bir mesafede bulunan gözlemlerin yüzdesinin, k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ k 2)*100%.

Örneğin, eğer k= 2, Bienname-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 – (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta yer alması gerektiğini belirtir u ± 2σ. Bu kural her şey için geçerlidir k, birini aşıyor. Bienamay-Chebyshev kuralı çok geneldir ve her tür dağılım için geçerlidir. Minimum gözlem sayısını, matematiksel beklentiye olan mesafenin belirli bir değeri aşmadığını belirtir. Bununla birlikte, eğer dağılım çan şeklindeyse, temel kural, verilerin beklenen değer etrafındaki konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.

Frekans Tabanlı Bir Dağılım için Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması

Orijinal veriler mevcut değilse frekans dağılımı tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama, standart sapma ve çeyrekler gibi dağılımın niceliksel göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplamak mümkündür.

Örnek veriler bir frekans dağılımı olarak temsil edilirse, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın bir tahmini hesaplanabilir:

Nerede - örnek ortalaması, N- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, İle- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, mj- orta nokta J sınıf, FJ- karşılık gelen frekans J-inci sınıf.

Bir frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı da varsayılır.

Bir serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyreğin hesaplanmasını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Kişi başına düşen ortalama gelire göre Rusya nüfusunun payı nakit geliri aylık ortalama, ruble

Bir aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

burada Q1, birinci çeyreğin değeridir, xQ1, birinci çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, ilk olarak %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir); i – aralık değeri; Σf – tüm numunenin frekanslarının toplamı; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1–1 – alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın birikmiş frekansı; fQ1 – alt çeyreği içeren aralığın frekansı. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve ¼ yerine ¾ kullanmanız gerektiği açısından farklılık gösterir.

Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek 7000,1 – 10.000 aralığındadır ve bunun toplam frekansı %26,4'tür. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın toplam frekansı %13,4, alt çeyreği içeren aralığın frekansı %13,0'dır. Böylece: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 ovma.

Tanımlayıcı İstatistiklerle İlişkili Tuzaklar

Bu yazıda, bir veri kümesinin ortalamasını, yayılmasını ve dağılımını değerlendiren çeşitli istatistikleri kullanarak nasıl tanımlanabileceğine baktık. Bir sonraki adım veri analizi ve yorumlamadır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi öznel yorumlarına geçiyoruz. Araştırmacı iki hatayla karşı karşıyadır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen nesnel sonuçlara varmıştır: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri vardır, fon getirilerinin dağılımı -6,1 ile 18,5 arasında değişmektedir ve ortalama getiri 6,08'dir. Veri analizinin objektifliği sağlanır doğru seçim dağılımın toplam niceliksel göstergeleri. Verilerin ortalamasını ve dağılımını tahmin etmek için çeşitli yöntemler dikkate alındı ​​ve bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlamak için doğru istatistikleri nasıl seçersiniz? Veri dağılımı biraz çarpıksa ortalama yerine medyanı mı seçmelisiniz? Hangi gösterge verinin yayılmasını daha doğru şekilde karakterize eder: standart sapma mı yoksa aralık mı? Dağılımın pozitif çarpık olduğunu belirtmeli miyiz?

Öte yandan veri yorumlama subjektif bir süreçtir. Farklı insanlar Aynı sonuçları yorumlarken farklı sonuçlara varmak. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Birisi çok yüksek risk seviyesine sahip 15 fonun toplam ortalama yıllık getirisinin iyi olduğunu düşünüyor ve elde edilen gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların getirisinin çok düşük olduğunu düşünebilir. Bu nedenle öznellik, dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.

Etik konular

Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyo, televizyon ve internet aracılığıyla yayılan bilgileri eleştirmelisiniz. Zamanla yalnızca sonuçlara değil, aynı zamanda araştırmanın hedeflerine, konusuna ve nesnelliğine de şüpheyle yaklaşmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz siyasetçi Benjamin Disraeli bunu en iyi şekilde ifade etmiştir: "Üç tür yalan vardır: yalanlar, kahrolası yalanlar ve istatistikler."

Notta belirtildiği gibi, raporda sunulması gereken sonuçların seçiminde etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem de olumsuz sonuçlar yayınlanmalıdır. Ayrıca bir rapor veya yazılı rapor hazırlarken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Başarısız ve dürüst olmayan sunumlar arasında yapılması gereken bir ayrım vardır. Bunu yapmak için konuşmacının niyetinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı önemli bilgileri bilgisizliğinden dolayı atlar ve bazen de bunu kasıtlı olarak yapar (örneğin, istenen sonucu elde etmek amacıyla açıkça çarpık verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçların gizlenmesi de dürüstlüktür.

Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 178–209

DÖRTTEBİRLİK işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle uyumluluk amacıyla korunmuştur.

En önemlisi denklemde. Uygulamada basit ve ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplanabilen aritmetik ortalamayı kullanmak zorundayız.

Aritmetik ortalama (SA)-N En yaygın ortalama türü. Tüm popülasyon için değişen bir özelliğin hacminin, bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. Sosyal olgular, değişen karakteristik hacimlerin toplanabilirliği (toplamlığı) ile karakterize edilir; bu, SA'nın uygulama kapsamını belirler ve genel bir gösterge olarak yaygınlığını açıklar. örneğin: genel maaş fonu tüm çalışanların maaşlarının toplamıdır.

SA'yı hesaplamak için tüm özellik değerlerinin toplamını sayılarına bölmeniz gerekir. SA 2 biçimde kullanılır.

Öncelikle basit bir aritmetik ortalamayı ele alalım.

1-CA basit (başlangıç, tanımlayıcı form), ortalaması alınan özelliğin bireysel değerlerinin basit toplamının, bu değerlerin toplam sayısına bölünmesine eşittir (özelliğin gruplanmamış indeks değerleri olduğunda kullanılır):

Yapılan hesaplamalar aşağıdaki formüle genelleştirilebilir:

(1)

Nerede - değişen özelliğin ortalama değeri, yani basit aritmetik ortalama;

toplama, yani bireysel özelliklerin eklenmesi anlamına gelir;

X- değişken adı verilen değişken bir özelliğin bireysel değerleri;

N - nüfusun birim sayısı

Örnek 1, 15 işçinin her birinin kaç parça ürettiği biliniyorsa, bir işçinin (tamircinin) ortalama çıktısını bulmak gerekir; bir dizi ind verildi. nitelik değerleri, adet: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Basit SA, formül (1) kullanılarak hesaplanır, adet:

Örnek2. Ticaret şirketine dahil olan 20 mağazanın koşullu verilerine dayanarak SA'yı hesaplayalım (Tablo 1). tablo 1

"Vesna" ticaret şirketinin mağazalarının satış alanına göre dağılımı, metrekare M

Ortalama mağaza alanını hesaplamak için ( ) tüm mağazaların alanlarını toplamak ve elde edilen sonucu mağaza sayısına bölmek gerekir:

Dolayısıyla bu perakende işletme grubu için ortalama mağaza alanı 71 m2'dir.

Bu nedenle, basit bir SA belirlemek için, belirli bir özelliğin tüm değerlerinin toplamını, bu özelliğe sahip birimlerin sayısına bölmeniz gerekir.

2

Nerede F 1 , F 2 , … ,F N – ağırlık (aynı işaretlerin tekrarlanma sıklığı);

- özelliklerin büyüklüğü ve frekanslarının çarpımlarının toplamı;

– nüfus birimlerinin toplam sayısı.

Nerede X- seçenekler;

F- frekans (ağırlık).

Ağırlıklı SA, seçeneklerin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen frekansların toplamının tüm frekansların toplamına bölünmesiyle elde edilen bölümdür. Frekanslar ( F SA formülünde görünen ) genellikle denir terazi Bunun sonucunda ağırlıklar dikkate alınarak hesaplanan SA'ya ağırlıklı denir.

Yukarıda tartışılan örnek 1'i kullanarak ağırlıklı SA hesaplama tekniğini göstereceğiz. Bunu yapmak için başlangıç ​​verilerini gruplandıracağız ve bunları tabloya yerleştireceğiz.

Gruplandırılan verilerin ortalaması şu şekilde belirlenir: Önce seçenekler frekanslarla çarpılır, ardından ürünler toplanır ve elde edilen toplam, frekansların toplamına bölünür.

Formül (2)'ye göre, ağırlıklı SA eşittir, adet:

P

Vesna mağazalarının satış alanlarına göre dağılımı, m2 M

Böylece sonuç aynı oldu. Ancak bu zaten ağırlıklı bir aritmetik ortalama değeri olacaktır.

Önceki örnekte mutlak frekansların (depo sayısının) bilinmesi şartıyla aritmetik ortalamayı hesapladık. Bununla birlikte, bazı durumlarda mutlak frekanslar mevcut değildir ancak bağıl frekanslar bilinmektedir veya genel olarak adlandırıldığı gibi, oranı gösteren frekanslar veya tüm setteki frekansların oranı.

SA ağırlıklı kullanımı hesaplarken frekanslar Frekans büyük, çok basamaklı sayılarla ifade edildiğinde hesaplamaları basitleştirmenize olanak tanır. Hesaplama aynı şekilde yapılır ancak ortalama değer 100 kat arttığından sonucun 100'e bölünmesi gerekir.

O zaman aritmetik ağırlıklı ortalamanın formülü şöyle görünecektir:

Nerede D- sıklık, yani her frekansın tüm frekansların toplamındaki payı.

Örneğimiz 2'de ilk olarak tanımlıyoruz spesifik yer çekimi Toplam Vesna mağaza sayısındaki mağazalar gruplara göre sıralanmıştır. Yani birinci grup için özgül ağırlık %10'a karşılık gelir.
. Aşağıdaki verileri alıyoruz Tablo 3

İle çalışırken sayısal ifadeler bazen ortalama değerlerini hesaplamaya ihtiyaç duyulur. aritmetik ortalama denir. Microsoft'un bir elektronik tablo düzenleyicisi olan Excel'de, bunu manuel olarak hesaplamak değil, özel araçlar kullanmak mümkündür. Bu makale, aritmetik ortalamanın sayısını bulmanızı ve türetmenizi sağlayan yöntemler sunacaktır.

Yöntem 1: standart

Her şeyden önce, bunun için standart bir araç kullanmayı içeren Excel'de aritmetik ortalamayı hesaplamanın yoluna bakalım. Yöntem en basit ve kullanımı en uygun olanıdır ancak bazı dezavantajları da vardır. Ancak bunlar hakkında daha sonra daha fazla bilgi vereceğiz ve şimdi elimizdeki görevi tamamlamaya geçelim.

1. Hesaplanacak sayısal değerleri içeren sütun veya satırdaki hücreleri seçin.
2. "Ana Sayfa" sekmesine gidin.
3. "Düzenleme" kategorisindeki araç çubuğunda "Otomatik Toplam" düğmesine tıklayın, ancak açılır listenin görünmesi için yanındaki oka tıklamanız gerekir.
4. İçinde “Ortalama” öğesine tıklamanız gerekiyor.

Bunu yaptığınız anda seçilen değerlerin aritmetik ortalamasının hesaplanmasının sonucu yanındaki hücrede görünecektir. Konumu veri bloğuna bağlı olacaktır; bir satır seçtiyseniz sonuç seçimin sağında yer alacak, sütun ise aşağıda olacaktır.

Ancak daha önce de belirtildiği gibi bu yöntemin dezavantajları da vardır. Dolayısıyla, bir hücre aralığından veya içinde bulunan hücrelerden bir değer hesaplayamazsınız. farklı yerler. Örneğin, tablonuz sayısal değerlere sahip iki bitişik sütun içeriyorsa, bunları seçip yukarıda açıklanan adımları uygulayarak her sütun için ayrı ayrı sonuç elde edersiniz.

Yöntem 2: İşlev Sihirbazını Kullanma

Excel'de aritmetik ortalamayı bulmanın birçok yolu vardır ve doğal olarak onların yardımıyla önceki yöntemin sınırlamalarını aşmak mümkündür. Şimdi Fonksiyon Sihirbazını kullanarak hesaplamalar yapmaktan bahsedeceğiz. İşte yapmanız gerekenler.

1. Farenin sol tuşuna tıklayarak hesaplama sonucunu görmek istediğiniz hücreyi seçin.
2. Formül çubuğunun solunda bulunan “İşlev Ekle” düğmesine tıklayarak veya Shift+F3 kısayol tuşlarını kullanarak İşlev Sihirbazı penceresini açın.
3. Açılan pencerede listede “ORTALAMA” satırını bulun, vurgulayın ve “Tamam” düğmesine tıklayın.
4. İşlev bağımsız değişkenlerini girmek için yeni bir pencere açılacaktır. İçinde iki alan göreceksiniz: “Sayı1” ve “Sayı2”.
5. İlk alana hesaplama için sayısal değerlerin bulunduğu hücrelerin adreslerini girin. Bu, manuel olarak veya kullanılarak yapılabilir. Özel alet. İkinci durumda, giriş alanının sağ tarafında bulunan butona tıklayın. Sihirbaz penceresi çökecek ve hesaplama için hücreleri fareyle seçmeniz gerekecektir.
6. Sayfanın başka bir yerinde veri içeren başka bir hücre aralığı bulunuyorsa, bunu "Sayı2" alanında belirtin.
7. Gerekli tüm bilgileri sağlayana kadar verileri girmeye devam edin.
8. Tamam'ı tıklayın.

Girişi tamamladığınızda Sihirbaz penceresi kapanacak ve hesaplamanın sonucu en başta seçtiğiniz hücrede görünecektir. Artık Excel'de aritmetik ortalamayı hesaplamanın ikinci yolunu biliyorsunuz. Ama sonuncu olmaktan çok uzak, o yüzden devam edelim.

Yöntem 3: Formül Çubuğu Aracılığıyla

Excel'de aritmetik ortalamanın nasıl hesaplanacağına ilişkin bu yöntem öncekinden çok farklı değildir, ancak bazı durumlarda daha uygun görünebilir, bu yüzden araştırmaya değer. Çoğunlukla, Bu method yalnızca teklifler Alternatif seçenekİşlev Sihirbazı'nı çağırarak.

Listedeki tüm eylemler tamamlanır tamamlanmaz, önünüzde argümanları girmeniz gereken İşlev Sihirbazı penceresi görünecektir. Bunu nasıl yapacağınızı önceki yöntemden zaten biliyorsunuz; sonraki eylemlerin hiçbiri farklı değil.

Yöntem 4: Bir işlevi manuel olarak girme

Dilerseniz Excel'deki aritmetik ortalama formülünü biliyorsanız İşlev Sihirbazı ile etkileşime girmekten kaçınabilirsiniz. Bazı durumlarda manuel olarak girilmesi hesaplama sürecini birçok kez hızlandıracaktır.

Tüm nüansları anlamak için formülün sözdizimine bakmanız gerekir, şöyle görünür:

ORTALAMA(hücre_adresi(sayı); hücre_adresi(sayı))

Sözdiziminden, işlev argümanlarında, hesaplanacak sayıların bulunduğu hücre aralığının adresini veya hesaplanacak sayıların kendilerini belirtmenin gerekli olduğu anlaşılmaktadır. Pratikte bu yöntemin kullanımı şuna benzer:

ORTALAMA(C4:D6,C8:D9)

Yöntem 5: koşula göre hesaplama

• hesaplamanın gerçekleştirileceği hücreyi seçin;
• “işlev ekle” düğmesine tıklayın;
• beliren sihirbaz penceresinde listeden "ortalama" satırını seçin;
• Tamam'ı tıklayın.

Bundan sonra fonksiyon argümanlarını girmek için bir pencere açılacaktır. Daha önce gösterilene çok benziyor, ancak şimdi ortaya çıktı ek alan- "Durum". Koşulun girilmesi gereken yer burasıdır. Böylece “>1500” girilerek sadece belirtilen değerden büyük olan değerler dikkate alınacaktır.

Ortalama kavramı altında aritmetik sayılarönceden belirlenen bir dizi sayının ortalama değerinin basit bir hesaplama dizisinin sonucu anlamına gelir. Bu değerin şu anda birçok sektördeki uzmanlar tarafından yaygın olarak kullanıldığı unutulmamalıdır. Örneğin, bu tür bir değerin gerekli olduğu ekonomistler veya istatistik endüstrisindeki çalışanlar tarafından yapılan hesaplamalar için formüller bilinmektedir. Ek olarak, bu gösterge yukarıdakilerle ilgili diğer birçok sektörde aktif olarak kullanılmaktadır.

Bu değeri hesaplamanın özelliklerinden biri de prosedürün basitliğidir. Hesaplamaları gerçekleştirin Herkes yapabilir. Bunu yapmak için özel bir eğitime ihtiyacınız yok. Çoğu zaman bilgisayar teknolojisini kullanmaya gerek yoktur.

Aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağı sorusunu yanıtlamak için birkaç durumu göz önünde bulundurun.

En çok basit seçenek Belirli bir değeri hesaplamak, onu iki sayı için hesaplamaktır. Bu durumda hesaplama prosedürü çok basittir:

1. Başlangıçta seçilen sayıları ekleme işlemini gerçekleştirmeniz gerekir. Bu genellikle, dedikleri gibi, elektronik ekipman kullanılmadan manuel olarak yapılabilir.
2. Toplama işlemi yapılıp sonucu elde edildikten sonra bölme işlemi yapılmalıdır. Bu işlem, eklenen iki sayının toplamının ikiye, yani eklenen sayıların sayısına bölünmesini içerir. Gerekli değeri elde etmenizi sağlayacak olan bu eylemdir.

Formül

Böylece, iki durumda gerekli değeri hesaplama formülü şöyle görünecektir:

(A+B)/2

Bu formül aşağıdaki gösterimi kullanır:

A ve B, bir değer bulmanız gereken önceden seçilmiş sayılardır.

3'ün değerini bulma

Üç sayının seçildiği bir durumda bu değeri hesaplamak, önceki seçenekten pek farklı olmayacaktır:

1. Bunu yapmak için hesaplamada gereken sayıları seçin ve bunları toplayın. toplam tutar.
2. Bu üçün toplamı bulunduktan sonra bölme işleminin tekrar yapılması gerekir. Bu durumda, ortaya çıkan tutarın seçilen sayıların sayısına karşılık gelen üçe bölünmesi gerekir.

Formül

Böylece aritmetik üçü hesaplamak için gerekli formül şöyle görünecektir:

(A+B+C)/3

Bu formülde Aşağıdaki notasyon kabul edilir:

A, B ve C, aritmetik ortalamasını bulmanız gereken sayılardır.

Dördün aritmetik ortalamasını hesaplamak

Önceki seçeneklere benzetilerek görülebileceği gibi, bu değerin dörde eşit bir miktar için hesaplanması aşağıdaki sırayla olacaktır:

1. Aritmetik ortalamanın hesaplanması gereken dört rakam seçilir. Daha sonra toplama yapılır ve bu prosedürün nihai sonucu bulunur.
2. Şimdi nihai sonucu elde etmek için elde edilen dördün toplamını alıp dörde bölmelisiniz. Alınan veriler gerekli değer olacaktır.

Formül

Dördün aritmetik ortalamasını bulmak için yukarıda açıklanan eylem dizisinden aşağıdaki formülü elde edebilirsiniz:

(A+B+C+E)/4

Bu formülde değişkenler var sonraki değer:

A, B, C ve E, aritmetik ortalamanın değerini bulmanın gerekli olduğu değerlerdir.

Bu formülü kullanarak belirli sayıda sayı için gerekli değeri hesaplamak her zaman mümkün olacaktır.

Beşin aritmetik ortalamasını hesaplamak

Bu işlemi gerçekleştirmek belirli bir eylem algoritması gerektirecektir.

1. Öncelikle aritmetik ortalamasının hesaplanacağı beş sayıyı seçmeniz gerekiyor. Bu seçimden sonra, önceki seçeneklerde olduğu gibi bu sayıların eklenmesi ve son miktarın alınması yeterlidir.
2. Ortaya çıkan miktarın sayılarına beşe bölünmesi gerekecek, bu da gerekli değeri elde etmenizi sağlayacaktır.

Formül

Böylece, daha önce dikkate alınan seçeneklere benzer şekilde, aritmetik ortalamayı hesaplamak için aşağıdaki formülü elde ederiz:

(A+B+C+E+P)/5

Bu formülde değişkenler şu şekilde tanımlanır:

A, B, C, E ve P aritmetik ortalamanın alınması gereken sayılardır.

Evrensel hesaplama formülü

İnceleme yapmak Çeşitli seçenekler formüller aritmetik ortalamayı hesaplamak için ortak bir yapıya sahip olmalarına dikkat edebilirsiniz.

Bu nedenle aritmetik ortalamayı bulmak için genel bir formül kullanmak daha pratik olacaktır. Sonuçta hesaplamaların sayısının ve büyüklüğünün çok büyük olabildiği durumlar vardır. Bu nedenle evrensel bir formül kullanmak ve bunu her seferinde yayınlamamak daha akıllıca olacaktır. bireysel teknoloji Bu değeri hesaplamak için

Formülü belirlerken asıl önemli olan aritmetik ortalamayı hesaplama ilkesiÖ.

Verilen örneklerden de görülebileceği gibi bu prensip şuna benzer:

1. Gerekli değeri elde etmek için belirtilen sayıların sayısı sayılır. Bu işlem ya az sayıda sayıyla manuel olarak ya da bilgisayar teknolojisi kullanılarak gerçekleştirilebilir.
2. Seçilen sayılar toplanır. Sayılar iki, üç veya daha fazla rakamdan oluşabildiğinden, çoğu durumda bu işlem bilgisayar teknolojisi kullanılarak gerçekleştirilir.
3. Seçilen sayıların eklenmesiyle elde edilen tutar, sayılarına bölünmelidir. Bu değer, aritmetik ortalamanın hesaplanmasının ilk aşamasında belirlenir.

Böylece, seçilen bir dizi sayının aritmetik ortalamasını hesaplamak için genel formül şöyle görünecektir:

(A+B+…+N)/N

Bu formül şunları içerir: aşağıdaki değişkenler:

A ve B, aritmetik ortalamalarını hesaplamak için önceden seçilen sayılardır.

N, gerekli değeri hesaplamak için alınan sayıların sayısıdır.

Seçilen sayıları her seferinde bu formülde yerine koyarak, her zaman gerekli aritmetik ortalama değerini elde edebiliriz.

Görüldüğü gibi, aritmetik ortalamayı bulma basit bir prosedürdür. Ancak yapılan hesaplamalara dikkat etmeli ve elde edilen sonuçları kontrol etmelisiniz. Bu yaklaşım, en basit durumlarda bile, daha sonraki hesaplamaları etkileyebilecek bir hata alma olasılığının bulunmasıyla açıklanmaktadır. Bu bağlamda, her türlü karmaşıklıktaki hesaplamaları yapabilen bilgisayar teknolojisinin kullanılması tavsiye edilir.

Excel'de aritmetik ortalama. Excel tabloları her türlü hesaplama için idealdir. Excel eğitimi alarak kimya, fizik, matematik, geometri, biyoloji, istatistik, ekonomi ve daha birçok alandaki problemleri çözebileceksiniz. Bilgisayarlarımızda ne kadar güçlü bir araç olduğunu düşünmüyoruz bile, bu da onu tam potansiyeliyle kullanmadığımız anlamına geliyor. Birçok ebeveyn bilgisayarın sadece pahalı bir oyuncak olduğunu düşünüyor. Ama boşuna! Elbette, bir çocuğun bu konuda gerçekten pratik yapabilmesi için, sizin de bunun üzerinde nasıl çalışacağınızı öğrenmeniz ve ardından çocuğa öğretmeniz gerekir. Bu başka bir konu ama bugün sizinle Excel'de aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağından bahsetmek istiyorum.

Excel'de aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Zaten Excel'de hızlı olmaktan bahsetmiştik ve bugün aritmetik ortalamadan bahsedeceğiz.

Bir hücre seçin C12 ve yardımıyla İşlev Sihirbazları Aritmetik ortalamayı hesaplamak için formülü yazalım. Bunu yapmak için Standart araç çubuğunda düğmeye tıklayın - Bir işlev ekleme -döviz (Yukarıdaki resimde üstte kırmızı bir ok var). Bir iletişim kutusu açılacaktır İşlev Yöneticisi .

• Alanda seçin Kategoriler — İstatistiksel ;
• Tarlada İşlev seç: ORTALAMA ;
• Düğmeye bas TAMAM .

Açılacak sonraki pencere Argümanlar ve İşlevler .

Tarlada 1 numara bir kayıt göreceksiniz C2:C11– programın kendisi gerekli olan hücre aralığını belirlemiştir aritmetik ortalamasını bulun.

Düğmeye bas TAMAM ve hücrede C12 Puanların aritmetik ortalaması görünecektir.

Excel'de aritmetik ortalamayı hesaplamanın hiç de zor olmadığı ortaya çıktı. Ve her zaman her türlü formülden korktum. Ah, yanlış zamanda çalışıyorduk.