5.1. Konsept ortalama boyut

Ortalama değer – Bu, olgunun tipik seviyesini karakterize eden genel bir göstergedir. Popülasyonun birimi başına bir özelliğin değerini ifade eder.

Ortalama her zaman bir özelliğin niceliksel değişimini genelleştirir; ortalama değerlerde popülasyondaki birimler arasında rastgele durumlardan kaynaklanan bireysel farklılıklar ortadan kaldırılır. Ortalamanın aksine mutlak değer Bir popülasyonun bireysel bir biriminin karakteristik düzeyini karakterize eden, farklı popülasyonlara ait birimler arasında bir özelliğin değerlerinin karşılaştırılmasına izin vermez. Dolayısıyla, iki işletmedeki işçilerin ücret düzeylerini karşılaştırmanız gerekiyorsa, farklı işletmelerin iki çalışanını bu temelde karşılaştıramazsınız. Karşılaştırma için seçilen çalışanların ücretleri bu işletmeler için tipik olmayabilir. Söz konusu işletmelerdeki ücret fonlarının büyüklüğünü karşılaştırırsak, çalışan sayısı dikkate alınmaz ve bu nedenle ücret düzeyinin nerede daha yüksek olduğunu belirlemek imkansızdır. Sonuçta yalnızca ortalama göstergeler karşılaştırılabilir; Her işletmede bir çalışan ortalama ne kadar kazanıyor? Bu nedenle popülasyonun genelleştirici bir özelliği olarak ortalama değerin hesaplanmasına ihtiyaç vardır.

Ortalamanın hesaplanması yaygın genelleme tekniklerinden biridir; ortalama gösterge, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak (tipik) olanı reddederken, aynı zamanda bireysel birimlerin farklılıklarını da göz ardı eder. Her olguda ve onun gelişiminde tesadüf ve zorunluluğun bir birleşimi vardır. Ortalamaları hesaplarken, büyük sayılar yasasının etkisi nedeniyle, rastgelelik iptal edilir ve dengelenir, böylece olgunun önemsiz özelliklerinden, her bir özel durumda karakteristiklerin niceliksel değerlerinden soyutlamak mümkündür. . Bireysel değerlerin ve dalgalanmaların rastgeleliğinden soyutlama yeteneği, toplamların genelleştirici özellikleri olarak ortalamaların bilimsel değerinde yatmaktadır.

Ortalamanın gerçek anlamda temsili olabilmesi için belirli ilkeler dikkate alınarak hesaplanması gerekir.

Bazılarına bakalım genel prensipler ortalama değerlerin uygulanması.
1. Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için ortalama belirlenmelidir.
2. Ortalama, yeterli sayıda nüfustan oluşan bir nüfus için hesaplanmalıdır. büyük sayı birimler.
3. Birimleri normal, doğal durumda olan bir nüfus için ortalama hesaplanmalıdır.
4. Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır.

5.2. Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Şimdi ortalama değer türlerini, hesaplamalarının özelliklerini ve uygulama alanlarını ele alalım. Ortalama değerler iki büyük sınıfa ayrılır: güç ortalamaları, yapısal ortalamalar.

İLE güç ortalaması Bunlar arasında geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve ikinci dereceden ortalama gibi en iyi bilinen ve sık kullanılan türler yer almaktadır.

Gibi yapısal ortalamalar mod ve medyan dikkate alınır.

Güç ortalamalarına odaklanalım. Kaynak verinin sunumuna bağlı olarak güç ortalamaları basit veya ağırlıklı olabilir. Basit ortalama Gruplandırılmamış verilere dayanarak hesaplanır ve aşağıdaki genel forma sahiptir:

burada Xi, ortalaması alınan özelliğin değişkenidir (değeri);

n – sayı seçeneği.

Ağırlıklı ortalama gruplandırılmış verilere göre hesaplanır ve genel bir görünüme sahiptir

,

burada Xi, ortalaması alınan özelliğin varyantı (değeri) veya varyantın ölçüldüğü aralığın orta değeridir;
m – ortalama derece indeksi;
f i – kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans i-e değeri ortalama özelliği.

Örnek olarak 20 kişilik bir gruptaki öğrencilerin yaş ortalamasının hesaplanmasını verelim:

Ortalama yaşı basit ortalama formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

Kaynak verileri gruplayalım. Aldık sonraki satır dağılımlar:

Gruplama sonucunda X yaşındaki öğrenci sayısını gösteren yeni bir gösterge frekansı elde ediyoruz. Bu nedenle gruptaki öğrencilerin yaş ortalaması, ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanacaktır:

Güç ortalamalarının hesaplanmasına yönelik genel formüllerde bir üs (m) bulunur. Aldığı değere bağlı olarak, aşağıdaki güç ortalama türleri ayırt edilir:
m = -1 ise harmonik ortalama;
geometrik ortalama, eğer m –> 0 ise;
aritmetik ortalama eğer m = 1 ise;
m = 2 ise ortalama kare;
m = 3 ise ortalama kübik.

Güç ortalamalarına ilişkin formüller Tablo'da verilmiştir. 4.4.

Aynı başlangıç ​​​​verileri için tüm ortalama türlerini hesaplarsanız, değerleri farklı olacaktır. Ortalamaların çoğunluğu kuralı burada geçerlidir: m üssü arttıkça karşılık gelen ortalama değer de artar:

İstatistiksel uygulamada, aritmetik ortalamalar ve harmonik ağırlıklı ortalamalar, diğer ağırlıklı ortalama türlerinden daha sık kullanılır.

Tablo 5.1

Güç türleri

Bir tür güç ortalama	Gösterge derece (m)	Hesaplama formülü
		Basit	Ağırlıklı
Harmonik	-1
Geometrik	0
Aritmetik	1
İkinci dereceden	2
kübik	3

Harmonik ortalamanın daha fazlası var karmaşık tasarım aritmetik ortalamadan daha fazladır. Harmonik ortalama, popülasyonun birimleri (karakteristiğin taşıyıcıları) ağırlık olarak kullanılmadığında, ancak bu birimlerin karakteristik değerlerine göre çarpımı (yani m = Xf) kullanıldığında hesaplamalar için kullanılır. Örneğin, üretimde çalışan iki (üç, dört vb.) işletme için bir parça başına ortalama işçilik, zaman, üretim birimi başına malzeme maliyetlerinin belirlenmesi durumunda ortalama harmonik basite başvurulmalıdır. aynı ürün türü, aynı parça, ürün.

Ortalama değerin hesaplanmasına yönelik formülün temel gereksinimi, hesaplamanın tüm aşamalarının gerçekten anlamlı bir gerekçeye sahip olmasıdır; ortaya çıkan ortalama değiştirilmelidir bireysel değerler Bireysel ve özet göstergeler arasındaki bağlantıyı bozmadan her nesne için karakteristik. Başka bir deyişle, ortalama değer, ortalama göstergenin her bir değeri kendi ortalama değeri ile değiştirildiğinde bazı nihai özet göstergeler değişmeden kalacak şekilde hesaplanmalıdır. ilgili konu veya ortalama ile başka bir şekilde. Bu toplam denir tanımlayan bireysel değerlerle olan ilişkisinin niteliği, ortalama değeri hesaplamak için özel formülü belirlediğinden. Geometrik ortalama örneğini kullanarak bu kuralı gösterelim.

Geometrik ortalama formülü

Bireysel göreceli dinamiklere dayalı ortalama değer hesaplanırken en sık kullanılır.

Geometrik ortalama, örneğin bir önceki yılın seviyesine göre üretimde bir artışı gösteren bir dizi göreceli zincir dinamiği verilirse kullanılır: i 1, i 2, i 3,..., i n. Üretim hacminin arttığı açıkça görülüyor. geçen sene başlangıç ​​seviyesi (q 0) ve yıllar içindeki müteakip artış ile belirlenir:

q n =q 0 × ben 1 × ben 2 ×...×i n .

Qn'yi belirleyici gösterge olarak alıp dinamik göstergelerin bireysel değerlerini ortalama değerlerle değiştirerek ilişkiye ulaşıyoruz

Buradan

5.3. Yapısal ortalamalar

Çalışmak için özel bir ortalama türü (yapısal ortalamalar) kullanılır iç yapı hesaplaması mevcut istatistiksel verilere göre gerçekleştirilemiyorsa (örneğin, ele alınan örnekte hem hacim hem de hacim hakkında veri yoksa), ortalama değerin (güç türü) tahmin edilmesinin yanı sıra, nitelik değerlerinin bir dizi dağılımı işletme grupları için üretim ve maliyet miktarı).

Göstergeler çoğunlukla yapısal ortalamalar olarak kullanılır moda -özelliğin en sık tekrarlanan değeri – ve medyanlar – değerlerinin sıralı sırasını iki eşit parçaya bölen bir özelliğin değeri. Sonuç olarak popülasyondaki birimlerin yarısı için niteliğin değeri medyan düzeyini aşmaz, diğer yarısı için de medyan düzeyini aşmaz.

İncelenen özelliğin ayrı değerleri varsa, mod ve medyanın hesaplanmasında özel bir zorluk yoktur. X özelliğinin değerlerine ilişkin veriler, değişimin sıralı aralıkları (aralık serisi) şeklinde sunulursa, mod ve medyanın hesaplanması biraz daha karmaşık hale gelir.

,

Medyan değer tüm popülasyonu iki eşit parçaya böldüğü için X karakteristiğinin aralıklarından birinde sona erer. Enterpolasyon kullanılarak medyan değeri bu medyan aralıkta bulunur:
burada X Me medyan aralığının alt sınırıdır;
h Ben – değeri; (Toplam m)/2 – yarısı toplam sayı
S Me-1 – medyan aralığın başlangıcından önce biriken gözlemlerin toplamı (veya ağırlıklandırma özelliğinin hacmi);
m Me – medyan aralıktaki gözlem sayısı veya ağırlıklandırma karakteristiğinin hacmi (aynı zamanda mutlak veya göreceli olarak).

Örneğimizde işletme sayısı, üretim hacmi ve özelliklerine bağlı olarak üç medyan değer bile elde edilebilir. toplam tutarüretim maliyeti:

Böylece işletmelerin yarısında birim üretim başına maliyet 125,19 bin rubleyi aşıyor, toplam ürün hacminin yarısı 124,79 bin rubleden fazla ürün başına maliyetle üretiliyor. Bir ürünün maliyeti 125,07 bin ruble'nin üzerinde olduğunda toplam maliyetlerin% 50'si oluşuyor. Ayrıca, Me 2 = 124,79 bin ruble ve ortalama seviyenin 123,15 bin ruble olması nedeniyle maliyette belirli bir artış eğilimi olduğunu da unutmayın.

Bir aralık serisinin verilerine dayanarak bir karakteristiğin modal değerini hesaplarken, X karakteristiğinin değerlerinin tekrarlanabilirlik göstergesi buna bağlı olduğundan aralıkların aynı olmasına dikkat etmek gerekir. eşit aralıklarla bir aralık serisi, modun büyüklüğü şu şekilde belirlenir:

burada X Mo modal aralığın alt değeridir;
m Mo – modal aralıktaki gözlem sayısı veya ağırlıklandırma karakteristiğinin hacmi (mutlak veya göreceli olarak);
m Mo -1 – modal olandan önceki aralık için aynı;
m Mo+1 – modal olanı takip eden aralık için aynı;
h – gruplardaki karakteristik değişim aralığının değeri.

Örneğimiz için üç tane hesaplayabiliriz. modal anlamları işletme sayısına, üretim hacmine ve maliyet miktarına göre. Her üç durumda da modal aralık aynıdır, çünkü aynı aralık için işletme sayısı, üretim hacmi ve toplam üretim maliyeti tutarı en büyüktür:

Bu nedenle, çoğu zaman maliyet düzeyi 126,75 bin ruble olan işletmeler vardır, çoğu zaman ürünler 126,69 bin ruble maliyet düzeyiyle üretilir ve çoğu zaman üretim maliyetleri 123,73 bin ruble maliyet düzeyiyle açıklanır.

5.4. Değişim göstergeleri

İncelenen nesnelerin her birinin bulunduğu özel koşullar ve özellikleri kendi gelişimi(sosyal, ekonomik vb.) istatistiksel göstergelerin karşılık gelen sayısal düzeyleriyle ifade edilir. Böylece, varyasyon, onlar. Aynı göstergenin seviyeleri arasındaki fark farklı nesneler, nesnel bir yapıya sahiptir ve incelenen olgunun özünü anlamaya yardımcı olur.

İstatistiklerdeki değişimi ölçmek için kullanılan çeşitli yöntemler vardır.

En basit olanı göstergeyi hesaplamaktır çeşitlilik aralığı Karakteristiğin gözlemlenen maksimum (X max) ve minimum (X min) değerleri arasındaki fark olarak H:

H=X maks - X min.

Ancak varyasyon aralığı, özelliğin yalnızca uç değerlerini gösterir. Ara değerlerin tekrarlanabilirliği burada dikkate alınmaz.

Daha katı özellikler, özelliğin ortalama düzeyine göre değişkenliğin göstergeleridir. Bu türün en basit göstergesi ortalama doğrusal sapma Ortalama olarak L aritmetik değer Bir özelliğin ortalama seviyesinden mutlak sapmaları:

X'in bireysel değerleri tekrarlanabilirse formülü kullanın aritmetik ortalama ağırlıklı:

(Unutma ki cebirsel toplam ortalama seviyeden sapmalar sıfırdır.)

Ortalama doğrusal sapma bulundu geniş uygulama pratikte. Onun yardımıyla, örneğin işçilerin bileşimi, üretim ritmi, malzeme tedarikinin tekdüzeliği analiz edilir ve maddi teşvik sistemleri geliştirilir. Ancak ne yazık ki bu gösterge olasılıksal hesaplamaları karmaşık hale getiriyor ve matematiksel istatistik yöntemlerinin kullanımını zorlaştırıyor. Bu nedenle istatistiksel olarak bilimsel araştırma Değişimi ölçmek için en sık kullanılan gösterge

farklılıklar.

.

Karakteristiğin (s 2) varyansı ikinci dereceden güç ortalamasına göre belirlenir: Gösterge eşittir denir

standart sapma.

Genel istatistik teorisinde dağılım göstergesi, aynı adı taşıyan olasılık teorisi göstergesinin bir tahminidir ve (sapmaların karelerinin toplamı olarak) matematiksel istatistiklerdeki dağılım tahminidir; bu, bunların hükümlerinin kullanılmasını mümkün kılar. Sosyo-ekonomik süreçlerin analizine yönelik teorik disiplinler.< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Sınırsız bir popülasyondan alınan az sayıda gözlemden varyasyon tahmin ediliyorsa, o zaman özelliğin ortalama değeri bir miktar hatayla belirlenir. Dağılımın hesaplanan değerinin azalmaya doğru kaydığı ortaya çıkıyor. Tarafsız bir tahmin elde etmek için, daha önce verilen formüller kullanılarak elde edilen örneklem varyansının n / (n - 1) değeriyle çarpılması gerekir. Sonuç olarak, az sayıda gözlemle (

Genel popülasyondan birkaç örnek alınırsa ve her defasında bir özelliğin ortalama değeri belirlenirse, ortalamaların değişkenliğinin değerlendirilmesinde sorun ortaya çıkar. Varyansı tahmin et ortalama değer formülü kullanarak yalnızca bir örnek gözleme dayanarak mümkündür

,

burada n örneklem büyüklüğüdür; s 2 – örnek verilerden hesaplanan özelliğin varyansı.

Büyüklük denir ortalama örnekleme hatası ve X özelliğinin örnek ortalama değerinin gerçek ortalama değerinden sapmasının bir özelliğidir. Ortalama hata göstergesi, örnek gözlem sonuçlarının güvenilirliğini değerlendirmek için kullanılır.

Göreceli dağılım göstergeleri.İncelenen özelliğin değişkenlik ölçüsünü karakterize etmek için değişkenlik göstergeleri göreceli değerlerde hesaplanır. Farklı dağılımlardaki (iki popülasyonda aynı özelliğin farklı gözlem birimleri) dağılımın doğasını karşılaştırmayı mümkün kılarlar. farklı anlamlar farklı popülasyonları karşılaştırırken ortalamalar). Göreceli dağılım ölçüsü göstergelerinin hesaplanması, mutlak dağılım göstergesinin aritmetik ortalamaya oranının %100 ile çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

1. Salınım katsayısı Karakteristiğin aşırı değerlerinin ortalama etrafındaki göreceli dalgalanmasını yansıtır

.

2. Göreceli doğrusal kapanma, ortalama değerden mutlak sapmaların işaretinin ortalama değerinin oranını karakterize eder

.

3. Değişim katsayısı:

ortalama değerlerin tipikliğini değerlendirmek için kullanılan en yaygın değişkenlik ölçüsüdür.

İstatistiklerde, varyasyon katsayısı %30-35'ten büyük olan popülasyonlar heterojen olarak kabul edilir.

Değişimi değerlendirmeye yönelik bu yöntemin aynı zamanda önemli bir dezavantajı vardır. Aslında, örneğin ortalama 15 yıllık deneyime sahip orijinal işçi popülasyonunun, standart sapması s = 10 yıl olan, bir 15 yıl daha "yaşlanacağını" varsayalım. Şimdi = 30 yıl ve ortalama standart sapma hala 10'a eşittir. Daha önce heterojen olan popülasyon (10/15 × 100 = %66,7, dolayısıyla zamanla oldukça homojen olduğu ortaya çıkıyor (10/30 × 100 = %33,3).

Boyarsky A.Ya. İstatistikte teorik çalışmalar: Sat. İlmi Trudov. – M.: İstatistikler, 1974. s. 19–57.

Ortalamanın en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır. Nüfusun bireysel birimlerinin karakteristik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olabilecek birçok faktörün etkisi altında değişir. Ortalamanın özü, rastgele faktörlerin eyleminin neden olduğu nitelik değerlerindeki sapmaları karşılıklı olarak telafi etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri biriktirmesi (dikkate alması) gerçeğinde yatmaktadır. . Bu, ortalamanın özelliğin tipik düzeyini yansıtmasına ve bireysel özellikler, bireysel birimlerin doğasında var.

Ortalamanın gerçek anlamda temsili olabilmesi için belirli ilkeler dikkate alınarak hesaplanması gerekir.

Ortalamaları kullanmanın temel ilkeleri.

1. Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için ortalama belirlenmelidir.

2. Yeterince fazla sayıda birimden oluşan bir popülasyon için ortalama hesaplanmalıdır.

3. Ortalama, sabit koşullardaki (etkileyen faktörlerin değişmediği veya önemli ölçüde değişmediği) nüfus için hesaplanmalıdır.

4. Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır.

En spesifik istatistiksel göstergelerin hesaplanması aşağıdakilerin kullanımına dayanmaktadır:

· ortalama toplam;

· ortalama güç (harmonik, geometrik, aritmetik, ikinci dereceden, kübik);

· ortalama kronolojik (bkz. bölüm).

Toplam ortalama dışındaki tüm ortalamalar, ağırlıklı ve ağırlıksız olmak üzere iki şekilde hesaplanabilir.

Ortalama agrega. Kullanılan formül şöyledir:

Nerede ben= x ben* ben;

x ben- i-inci seçenek ortalaması alınan karakteristik;

ben, - ağırlık Ben- seçenek.

Orta güç. İÇİNDE genel görünüm hesaplama formülü:

derece nerede k– orta güç tipi.

Aynı başlangıç ​​verileri için güç ortalamaları esas alınarak hesaplanan ortalamaların değerleri aynı değildir. k üssü arttıkça karşılık gelen ortalama değer de artar:

Ortalama kronolojik. Tarihler arasında eşit aralıklara sahip bir an zaman serisi için aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

,

Nerede x 1 Ve XN göstergenin başlangıç ​​ve bitiş tarihindeki değeri.

Güç ortalamalarını hesaplamak için formüller

Örnek. Tabloya göre. 2.1, bir bütün olarak üç işletme için ortalama maaşın hesaplanmasını gerektirir.

Tablo 2.1

JSC işletmelerinin ücretleri

Özel hesaplama formülü tablodaki hangi verilere bağlıdır. 7 tanesi orijinaldir. Buna göre aşağıdaki seçenekler mümkündür: 1. sütundan (çalışan sayısı) ve 2'den (aylık maaş bordrosu) veriler; veya - 1 (SAGP sayısı) ve 3 (ortalama maaş); veya 2 (aylık maaş bordrosu) ve 3 (ortalama maaş).

Yalnızca 1. ve 2. sütun verileri mevcutsa. Bu sütunların sonuçları, istenen ortalamanın hesaplanması için gerekli değerleri içerir. Ortalama agrega formülü kullanılır:

Yalnızca 1. ve 3. sütun verileri mevcutsa ise orijinal oranın paydası biliniyor ancak payı bilinmiyor. Ancak ortalama ücretin öğretim elemanı sayısıyla çarpılmasıyla ücret fonu elde edilebilir. Bu nedenle genel ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: aritmetik ortalama ağırlıklı:

Ağırlığın dikkate alınması gerekir ( ben) bazı durumlarda iki hatta üç değerin çarpımı olabilir.

Ayrıca ortalama istatistik uygulamalarında da kullanılır. aritmetik ağırlıksız:

burada n nüfusun hacmidir.

Bu ortalama ağırlıklar ( ben) yoktur (özelliğin her bir çeşidi yalnızca bir kez meydana gelir) veya birbirine eşittir.

Yalnızca 2. ve 3. sütunlardan veriler varsa. yani orijinal oranın payı biliniyor ancak paydası bilinmiyor. Her işletmenin çalışan sayısı bordronun ortalama maaşa bölünmesiyle elde edilebilir. Daha sonra bir bütün olarak üç işletmenin ortalama maaşı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: ağırlıklı harmonik ortalama:

Ağırlıklar eşitse ( ben) ortalamanın hesaplanması şu şekilde yapılabilir: harmonik ortalama ağırlıksız:

Örneğimizde kullandık farklı şekiller ortalama ama aynı cevabı aldım. Bunun nedeni, belirli veriler için her seferinde aynı başlangıç ​​ortalama oranının uygulanmasıdır.

Ortalama göstergeler ayrık ve aralıklı değişim serileri kullanılarak hesaplanabilir. Bu durumda hesaplama ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılarak yapılır. Ayrık bir seri için bu formül yukarıdaki örnekte olduğu gibi kullanılır. Aralık serisinde hesaplama için aralıkların orta noktaları belirlenir.

Örnek. Tabloya göre. 2.2 Koşullu bir bölgede aylık kişi başına düşen ortalama parasal gelir miktarını belirliyoruz.

Tablo 2.2

Başlangıç ​​verileri (varyasyon serisi)

Excel'de ortalama değeri bulmak için (sayısal, metin, yüzde veya başka bir değer olması fark etmez) birçok işlev vardır. Ve her birinin kendine has özellikleri ve avantajları var. Aslında bu görevde belirli koşullar belirlenebilir.

Örneğin Excel'deki bir sayı serisinin ortalama değerleri istatistiksel işlevler kullanılarak hesaplanır. Ayrıca kendi formülünüzü manuel olarak da girebilirsiniz. Çeşitli seçenekleri düşünelim.

Sayıların aritmetik ortalaması nasıl bulunur?

Aritmetik ortalamayı bulmak için kümedeki tüm sayıları toplamanız ve toplamı miktara bölmeniz gerekir. Örneğin bir öğrencinin bilgisayar bilimleri notları: 3, 4, 3, 5, 5. Çeyreğe neler dahil: 4. Aritmetik ortalamayı şu formülü kullanarak bulduk: =(3+4+3+5+5) /5.

Excel işlevlerini kullanarak bunu hızlı bir şekilde nasıl yapabilirim? Mesela diziyi ele alalım rastgele sayılar satırda:

Veya: aktif hücreyi oluşturun ve formülü manuel olarak girin: =ORTALAMA(A1:A8).

Şimdi ORTALAMA fonksiyonunun başka neler yapabileceğini görelim.

İlk iki ve son üç sayının aritmetik ortalamasını bulalım. Formül: =ORTALAMA(A1:B1;F1:H1). Sonuç:

Durum ortalaması

Aritmetik ortalamayı bulma koşulu sayısal bir kriter veya metin olabilir. =ORTALAMAEĞER() fonksiyonunu kullanacağız.

10'dan büyük veya ona eşit olan sayıların aritmetik ortalamasını bulun.

İşlev: =EĞERORTALAMA(A1:A8;">=10")

Üçüncü argüman – “Ortalama aralık” – atlanmıştır. Öncelikle buna gerek yok. İkinci olarak, program tarafından analiz edilen aralık SADECE içerir sayısal değerler. İlk argümanda belirtilen hücreler, ikinci argümanda belirtilen koşula göre aranacaktır.

Dikkat! Arama kriteri hücrede belirtilebilir. Ve formülde buna bir bağlantı yapın.

Metin kriterini kullanarak sayıların ortalama değerini bulalım. Örneğin “masa” ürününün ortalama satışları.

İşlev şu şekilde görünecektir: =ORTALAMAEĞER($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Aralık – ürün adlarını içeren bir sütun. Arama kriteri, "tablolar" kelimesini içeren bir hücreye bağlantıdır (A7 bağlantısı yerine "tablolar" kelimesini ekleyebilirsiniz). Ortalama aralığı – ortalama değeri hesaplamak için verilerin alınacağı hücreler.

Fonksiyonun hesaplanması sonucunda aşağıdaki değeri elde ederiz:

Dikkat! Bir metin kriteri (koşul) için ortalama aralığının belirtilmesi gerekir.

Excel'de ağırlıklı ortalama fiyat nasıl hesaplanır?

Ağırlıklı ortalama fiyatı nasıl öğrendik?

Formül: =TOPLAÇARP(C2:C12;B2:B12)/TOPLA(C2:C12).

SUMproduct formülünü kullanarak mal miktarının tamamını sattıktan sonra toplam geliri buluyoruz. SUM işlevi de malların miktarını özetler. Mal satışından elde edilen toplam geliri toplam mal adedine bölerek ağırlıklı ortalama fiyatı bulduk. Bu gösterge her fiyatın “ağırlığını” dikkate alır. Toplam değerler kütlesindeki payı.

Standart sapma: Excel'deki formül

Genel popülasyon ve örneklem için standart sapmalar vardır. İlk durumda, bu genel varyansın köküdür. İkincisinde ise örneklem varyansından.

Bu istatistiksel göstergeyi hesaplamak için bir dağılım formülü derlenir. Kök ondan çıkarılır. Ancak Excel'de standart sapmayı bulmak için hazır bir işlev vardır.

Standart sapma kaynak verinin ölçeğine bağlıdır. Bu, analiz edilen aralığın varyasyonunun mecazi bir temsili için yeterli değildir. Göreli veri dağılımı düzeyini elde etmek için değişim katsayısı hesaplanır:

standart sapma / aritmetik ortalama

Excel'deki formül şuna benzer:

STDSAPMA (değer aralığı) / ORTALAMA (değer aralığı).

Değişim katsayısı yüzde olarak hesaplanır. Bu nedenle hücredeki yüzde formatını ayarladık.

İstatistiksel toplam birimlerinin özellikleri anlam bakımından farklıdır; örneğin, bir işletmede aynı meslekte çalışan işçilerin ücretlerinin aynı zaman dilimi için aynı olmaması, aynı ürünlerin piyasa fiyatları, ilçedeki mahsul rekolteleri. çiftlikler vb. Bu nedenle, incelenen birimlerin tüm popülasyonunun karakteristiği olan bir özelliğin değerini belirlemek için ortalama değerler hesaplanır.
Ortalama değer – bu, bazı niceliksel özelliklere sahip bir dizi bireysel değerin genelleştirici bir özelliğidir.

Niceliksel olarak incelenen popülasyon bireysel değerlerden oluşur; onlar etkilenir ortak nedenler ve bireysel koşullar. Ortalama değerde, bireysel değerlerin karakteristik sapmaları iptal edilir. Bir dizi bireysel değerin bir fonksiyonu olan ortalama, tüm popülasyonu tek bir değerle temsil eder ve tüm birimlerde ortak olanı yansıtır.

Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için hesaplanan ortalamaya denir. tipik ortalama. Örneğin, belirli bir meslek grubundaki (madenci, doktor, kütüphaneci) bir çalışanın ortalama aylık maaşını hesaplayabilirsiniz. Elbette madencilerin aylık ücret düzeyleri, niteliklerindeki farklılıklar, hizmet süreleri, aylık çalışılan süre ve diğer birçok faktör nedeniyle birbirinden ve ortalama ücret düzeyinden farklılık göstermektedir. Ancak ortalama düzey, ücret düzeyini etkileyen temel faktörleri yansıtmakta ve çalışanın bireysel özelliklerinden kaynaklanan farklılıkları ortadan kaldırmaktadır. Ortalama maaş, belirli bir çalışan türü için tipik ücret düzeyini yansıtır. Tipik bir ortalamanın elde edilmesinden önce, belirli bir popülasyonun niteliksel olarak ne kadar homojen olduğunun bir analizi yapılmalıdır. Set bunlardan oluşuyorsa bireysel parçalar, tipik gruplara ayrılmalıdır (hastanedeki ortalama sıcaklık).

Heterojen popülasyonlar için özellik olarak kullanılan ortalama değerlere denir sistem ortalamaları. Örneğin kişi başına düşen ortalama gayri safi yurt içi hasıla (GSYH), ortalama tüketim çeşitli gruplar Birleşik bir ekonomik sistem olarak devletin genel özelliklerini temsil eden kişi başına mal ve diğer benzer değerler.

Yeterince fazla sayıda birimden oluşan popülasyonlar için ortalamanın hesaplanması gerekir. Büyük sayılar yasasının yürürlüğe girmesi için bu koşula uygunluk gereklidir, bunun sonucunda bireysel değerlerin genel eğilimden rastgele sapmaları karşılıklı olarak iptal edilir.

Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ve kaynak verilerin ekonomik içeriğine göre belirlenir. Bununla birlikte, herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, nihai, genelleştirici veya genel olarak adlandırıldığı gibi değişmeyecek şekilde hesaplanmalıdır. belirleyici gösterge ortalama göstergeyle ilişkilidir. Örneğin, yolun ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama hızlarla değiştirirken kat edilen toplam mesafe değişmemelidir. araç aynı zamanda; bir işletmenin bireysel çalışanlarının fiili ücretlerini ortalama ücretle değiştirirken ücret fonu değişmemelidir. Sonuç olarak, her özel durumda, mevcut verilerin niteliğine bağlı olarak, incelenen sosyo-ekonomik olgunun özelliklerine ve özüne uygun göstergenin yalnızca bir gerçek ortalama değeri vardır.
En sık kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, ikinci dereceden ortalama ve kübik ortalamadır.
Listelenen ortalamalar sınıfa aittir sakinleştirici ortalamalar ve genel formülle birleştirilir:
,
incelenen özelliğin ortalama değeri nerede;
m – ortalama derece indeksi;
– ortalaması alınan özelliğin mevcut değeri (varyant);
n – özellik sayısı.
Üs m'nin değerine bağlı olarak, aşağıdaki güç ortalama türleri ayırt edilir:
m = -1 olduğunda – harmonik ortalama;
m = 0'da – geometrik ortalama;
m = 1 için – aritmetik ortalama;
m = 2 için – ortalama karekök;
m = 3'te – ortalama kübik.
Aynı başlangıç ​​verilerini kullanırken, yukarıdaki formüldeki m üssü ne kadar büyük olursa, daha fazla değer ortalama boyut:
.
Güç ortalamalarının bu özelliğine, tanımlayıcı fonksiyonun artan üssüyle birlikte artış denir. ortalamaların çoğunluğu kuralı.
İşaretlenen ortalamaların her biri iki biçimde olabilir: basit Ve ağırlıklı.
Basit orta form ortalama birincil (gruplanmamış) verilerden hesaplandığında kullanılır. Ağırlıklı form– ikincil (gruplandırılmış) verilere dayalı ortalamayı hesaplarken.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, popülasyonun hacmi değişen bir karakteristiğin tüm bireysel değerlerinin toplamı olduğunda kullanılır. Ortalamanın türü belirtilmediği takdirde aritmetik ortalamanın varsayılacağına dikkat edilmelidir. Mantıksal formülü şuna benzer:

Basit aritmetik ortalama hesaplanmış gruplandırılmamış verilere dayalı formüle göre:
veya ,
özelliğin bireysel değerleri nerede;
j, değeri ile karakterize edilen gözlem ünitesinin seri numarasıdır;
N – gözlem birimlerinin sayısı (nüfusun hacmi).
Örnek.“İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi, 10 kişilik bir ekibin iş deneyimini gözlemlemenin sonuçlarını inceledi. Ekip çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplayalım. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak şunu da hesaplayabiliriz: kronolojik serideki ortalamalar karakteristik değerlerin sunulduğu zaman aralıkları eşitse.
Örnek.İlk çeyrekte satılan ürün hacmi 47 den'i buldu. ikinci 54, üçüncü 65 ve dördüncü 58 den için birimler. birimler Ortalama üç aylık ciro (47+54+65+58)/4 = 56 den. birimler
Anlık göstergeler kronolojik bir seri halinde verilirse, ortalama hesaplanırken bunlar, dönemin başındaki ve sonundaki değerlerin yarı toplamları ile değiştirilir.
İkiden fazla an varsa ve aralarındaki aralıklar eşitse, ortalama kronolojik formül kullanılarak ortalama hesaplanır.

,
burada n, zaman noktalarının sayısıdır
Verilerin karakteristik değerlere göre gruplanması durumunda (yani ayrı bir varyasyonel dağılım serisi oluşturulmuştur) ile aritmetik ortalama ağırlıklı sayısı (k) anlamlı olan, özelliğin belirli değerlerinin gözlem frekansları veya gözlem frekansları kullanılarak hesaplanır daha az sayı gözlemler (N) .
,
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır,
i – varyasyon serisinin grup numarası.
a olduğundan pratik hesaplamalar için kullanılan formülleri elde ederiz:
Ve
Örnek. Gruplandırılmış bir satırdaki çalışma ekiplerinin ortalama hizmet süresini hesaplayalım.
a) frekansların kullanılması:

b) frekansların kullanılması:

Verilerin aralıklara göre gruplandırılması durumunda yani aralık dağılım serileri şeklinde sunulur; aritmetik ortalama hesaplanırken aralığın ortası, aşağıdaki varsayıma dayanarak özelliğin değeri olarak alınır: düzgün dağılım belirli bir aralıktaki popülasyon birimleri. Hesaplama aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilir:
Ve
aralığın ortası nerede: ,
nerede ve aralıkların alt ve üst sınırlarıdır (belirli bir aralığın üst sınırının bir sonraki aralığın alt sınırıyla çakışması koşuluyla).

Örnek. 30 işçinin yıllık ücretleri üzerine yapılan bir çalışmanın sonuçlarına dayanarak oluşturulan aralık değişim serisinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım (bkz. “İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi).
Tablo 1 – Aralık değişim serisi dağılımı.

UAH veya UAH
Kaynak verilere ve aralık varyasyon serilerine dayanarak hesaplanan aritmetik ortalamalar, nitelik değerlerinin aralıklar içindeki eşit olmayan dağılımı nedeniyle çakışmayabilir. Bu durumda ağırlıklı aritmetik ortalamanın daha doğru hesaplanması için aralıkların ortaları değil, her grup için hesaplanan basit aritmetik ortalamalar kullanılmalıdır ( grup ortalamaları). Ağırlıklı hesaplama formülü kullanılarak grup ortalamalarından hesaplanan ortalamaya denir. genel ortalama.
Aritmetik ortalamanın birçok özelliği vardır.
1. Ortalama seçenekten sapmaların toplamı sıfırdır:
.
2. Opsiyonun tüm değerleri A miktarı kadar artar veya azalırsa, ortalama değer aynı A miktarı kadar artar veya azalır:

3. Her seçenek B katı artırılır veya azaltılırsa ortalama değer de aynı sayıda artacak veya azalacaktır:
veya
4. Seçeneğin çarpımlarının frekanslara göre toplamı, ortalama değerin frekansların toplamına göre çarpımına eşittir:

5. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa aritmetik ortalama değişmeyecektir:

6) tüm aralıklarda frekanslar birbirine eşitse, ağırlıklı aritmetik ortalama, basit aritmetik ortalamaya eşittir:
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır.

Ortalamanın özelliklerini kullanmak, hesaplamasını basitleştirmenize olanak tanır.
Tüm seçeneklerin (x) önce aynı A sayısı kadar, sonra da B faktörü kadar azaltıldığını varsayalım. En büyük sadeleştirme, en yüksek frekansa sahip aralığın ortasının değeri A olarak seçildiğinde ve aralığın değeri (aynı aralıklara sahip seriler için) B olarak seçildiğinde elde edilir. A miktarına orijin denir, dolayısıyla ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine denir. yol B koşullu sıfırdan ohm referansı veya anların yolu.
Böyle bir dönüşümün ardından varyantları eşit olan yeni bir varyasyonel dağılım serisi elde ederiz. Aritmetik ortalamalarına denir ilk sipariş anı, formülle ifade edilir ve ikinci ve üçüncü özelliklere göre aritmetik ortalama, orijinal versiyonun ortalamasına eşittir, önce A ve sonra B katıyla azaltılır, yani;
Almak için gerçek ortalama(orijinal serinin ortalaması) birinci dereceden momenti B ile çarpmanız ve A'yı eklemeniz gerekir:

Momentler yöntemi kullanılarak aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 2.
Tablo 2 – Fabrika atölyesi çalışanlarının hizmet süresine göre dağılımı

İlk sipariş anını bulma . Daha sonra A = 17,5 ve B = 5 olduğunu bilerek atölye çalışanlarının ortalama hizmet süresini hesaplıyoruz:
yıllar

Harmonik ortalama
Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik ortalama, bir özelliğin x varyantlarının ve f frekanslarının bilindiği durumlarda, bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için kullanılır.
İstatistiksel bilgi popülasyonun bireysel x seçenekleri için f frekanslarını içermiyor ancak bunların ürünü olarak sunuluyorsa formül uygulanır ağırlıklı harmonik ortalama. Ortalamayı hesaplamak için nerede olduğunu belirtelim. Bu ifadeleri aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde değiştirerek harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz:
,
i (i=1,2, …, k) numaralı aralıktaki gösterge nitelik değerlerinin hacmi (ağırlığı) nerededir.

Bu nedenle, harmonik ortalama, seçeneklerin kendisinin toplamaya tabi olmadığı, ancak bunların karşılıklı olduğu durumlarda kullanılır: .
Her seçeneğin ağırlığının bire eşit olduğu durumlarda; Ters karakteristiğin bireysel değerleri bir kez uygulanır, uygulanır harmonik basit demek:
,
ters özelliğin bireysel değişkenleri nerede bir kez meydana gelir;
N – sayı seçeneği.
Bir popülasyonun iki kısmı için harmonik ortalamalar varsa, o zaman tüm popülasyonun genel ortalaması aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

ve denir grup ortalamalarının ağırlıklı harmonik ortalaması.

Örnek. Döviz alım satımı sırasında operasyonun ilk saatinde üç işlem gerçekleştirildi. Grivna satış miktarı ve ABD doları karşısında Grivna döviz kuruna ilişkin veriler tabloda verilmektedir. 3 (sütun 2 ve 3). İşlemin ilk saati için Grivnanın ABD dolarına karşı ortalama döviz kurunu belirleyin.
Tablo 3 – Döviz ticaretinin ilerlemesine ilişkin veriler

Ortalama dolar kuru, tüm işlemler sırasında satılan Grivna miktarının, aynı işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarına oranıyla belirlenmektedir. Grivnanın nihai satış tutarı tablonun 2. sütunundan bilinmektedir ve her işlemde satın alınan dolar miktarı, Grivnanın satış tutarının döviz kuruna bölünmesiyle belirlenir (sütun 4). Üç işlemde toplam 22 milyon dolar satın alındı. Bu, Grivnanın bir dolar için ortalama döviz kurunun şu şekilde olduğu anlamına gelir:
.
Ortaya çıkan değer gerçektir çünkü İşlemlerdeki gerçek Grivna döviz kurları ile değiştirilmesi, Grivna satışlarının nihai tutarını değiştirmeyecektir. belirleyici gösterge: milyon UAH
Hesaplama için aritmetik ortalama kullanıldıysa; Grivnası, daha sonra 22 milyon dolarlık döviz kuruyla satın alındı. 110,66 milyon UAH harcamak gerekecek ki bu doğru değil.

Geometrik ortalama
Geometrik ortalama, olayların dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve ortalama büyüme katsayısının belirlenmesine olanak tanır. Geometrik ortalamayı hesaplarken, bir özelliğin bireysel değerleri, her seviyenin bir öncekine oranı olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan dinamiklerin göreceli göstergeleridir.
Basit geometrik ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
,
ürünün işareti nerede,
N – ortalama değerlerin sayısı.
Örnek. 4 yılda kayıtlı suç sayısı 1,57 kat arttı; 1'incide 1,08 kat, 2'de 1,1 kat, 3'te 1,18 ve 4'te 1,12 kat artış yaşandı. Bu durumda suç sayısının ortalama yıllık artış oranı: , yani. Kayıtlı suçların sayısı her yıl ortalama %12 arttı.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96