“Denklemleri Çözme” konusuna devam ederek bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden denklemin özü ve kaydı, ilgili terimleri tanımlayın, eksik ve çözüm şemasını analiz edin tam denklemler Köklerin ve diskriminantın formülünü tanıyacağız, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kuracağız ve elbette pratik örneklerle görsel bir çözüm sunacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dereceden denklem, türleri

İkinci dereceden denklemşu şekilde yazılan bir denklemdir a x 2 + b x + c = 0, Nerede X– değişken, a , b ve C– bazı sayılar, ancak A sıfır değil.

Sıklıkla ikinci dereceden denklemlerİkinci dereceden denklemler özünde ikinci dereceden cebirsel bir denklem olduğu için ikinci dereceden denklemler olarak da adlandırılırlar.

Açıklamak için bir örnek verelim verilen tanım: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 vb. Bunlar ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

a, b ve sayıları C ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır a x 2 + b x + c = 0, katsayı ise A birinci veya kıdemli veya x 2'deki katsayı, b - ikinci katsayı veya katsayı denir X, A Cücretsiz üye denir.

Örneğin ikinci dereceden denklemde 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 baş katsayı 6, ikinci katsayı ise − 2 ve serbest terim eşittir − 11 . Katsayılar yapılırken şuna dikkat edelim. B ve/veya c negatifse, o zaman şunu kullanın: kısa biçim gibi kayıtlar 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, Olumsuz 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Bu hususu da açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar A ve/veya B eşit 1 veya − 1 , o zaman belirtilen sayısal katsayıları yazmanın özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin yazılmasında açık bir rol alamayabilirler. Örneğin ikinci dereceden denklemde y 2 - y + 7 = 0 baş katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

İlk katsayının değerine göre ikinci dereceden denklemler azaltılmış ve azaltılmamış olarak ayrılır.

Tanım 3

Azaltılmış ikinci dereceden denklem baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Baş katsayının diğer değerleri için ikinci dereceden denklem azaltılmaz.

Örnekler verelim: Her birinin baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden denklemler x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 azaltılır.

9 x 2 - x - 2 = 0- birinci katsayının farklı olduğu indirgenmemiş ikinci dereceden denklem 1 .

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki tarafı da birinci katsayıya bölerek (eşdeğer dönüşüm) indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülen denklem, verilen indirgenmemiş denklemle aynı köklere sahip olacak veya hiç kökü olmayacaktır.

Belirli bir örneğin dikkate alınması, indirgenmemiş ikinci dereceden denklemden indirgenmiş denkleme geçişi açıkça göstermemize olanak sağlayacaktır.

Örnek 1

Denklem verildiğinde 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki tarafını da baş katsayı 6'ya bölüyoruz. Sonra şunu elde ederiz: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3 ve bu şununla aynıdır: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 ve ayrıca: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemin tanımına dönelim. İçinde şunu belirttik bir ≠ 0. Denklem için benzer bir koşul gereklidir a x 2 + b x + c = 0 tam olarak kareydi, çünkü bir = 0 esasen şuna dönüşür: doğrusal denklem b x + c = 0.

Katsayıların olduğu durumda B Ve C sıfıra eşitse (ki bu hem bireysel hem de ortaklaşa mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- böyle ikinci dereceden bir denklem a x 2 + b x + c = 0, burada katsayılardan en az biri B Ve C(veya her ikisi de) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem– tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklem.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu isimlerin verildiğini tartışalım.

b = 0 olduğunda ikinci dereceden denklem şu şekli alır: a x 2 + 0 x + c = 0, aynı olan a x 2 + c = 0. Şu tarihte: c = 0İkinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: a x 2 + b x + 0 = 0, eşdeğerdir a x 2 + b x = 0. Şu tarihte: b = 0 Ve c = 0 denklem şu şekli alacaktır a x 2 = 0. Elde ettiğimiz denklemler ikinci dereceden denklemin tamamından farklıdır çünkü sol tarafları x değişkenli bir terim, bir serbest terim veya her ikisini birden içermez. Aslında bu gerçek, bu tür bir denklemin eksik adını vermiştir.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 = 0 ve − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıda verilen tanım, aşağıdaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

• a x 2 = 0, bu denklem katsayılara karşılık gelir b = 0 ve c = 0;
• a · x 2 + c = 0, b = 0'da;
• c = 0'da a · x 2 + b · x = 0.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin her türünün çözümünü sırayla ele alalım.

Denklemin çözümü a x 2 =0

Yukarıda belirtildiği gibi bu denklem katsayılara karşılık gelir. B Ve C, sıfıra eşit. Denklem a x 2 = 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir x2 = 0 orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ederiz A, sıfıra eşit değil. Açık olan gerçek şu ki, denklemin kökü x2 = 0 bu sıfır çünkü 0 2 = 0 . Bu denklemin derecenin özellikleriyle açıklanabilecek başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için P, sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p 2 > 0, bundan şu sonuç çıkıyor: p ≠ 0 eşitlik p2 = 0 asla ulaşılamayacak.

Tanım 5

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 = 0 için benzersiz bir kök vardır x = 0.

Örnek 2

Örneğin tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözelim − 3 x 2 = 0. Denklemin eşdeğeridir x2 = 0, onun tek kökü x = 0, bu durumda orijinal denklemin tek bir kökü vardır - sıfır.

Kısaca çözüm şu şekilde yazılır:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 denklemini çözme

Sırada b = 0, c ≠ 0 olan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü yer alır, yani formdaki denklemler a x 2 + c = 0. Bir terimi denklemin bir tarafından diğer tarafına taşıyarak, işaretini diğer tarafa geçirerek ve denklemin her iki tarafını da sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek bu denklemi dönüştürelim:

• aktarma C denklemi veren sağ tarafa a x 2 = − c;
• Denklemin her iki tarafını da şuna böl: A x = - c a elde ederiz.

Dönüşümlerimiz eşdeğerdir; buna göre ortaya çıkan denklem de orijinaline eşdeğerdir ve bu durum denklemin kökleri hakkında sonuçlar çıkarmayı mümkün kılar. Değerlerin ne olduğundan A Ve C- c a ifadesinin değeri şunlara bağlıdır: eksi işaretine sahip olabilir (örneğin, eğer bir = 1 Ve c = 2, o zaman - c a = - 2 1 = - 2) veya artı işareti (örneğin, eğer a = − 2 Ve c = 6, o zaman - ca = - 6 - 2 = 3); sıfır değil çünkü c ≠ 0. Durumlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

Bu durumda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P p 2 = - c a eşitliği doğru olamaz.

- c a > 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 = - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı açık hale gelecektir, çünkü - c a 2 = - c a. - - c a sayısının aynı zamanda x 2 = - c a denkleminin de kökü olduğunu anlamak zor değil: gerçekten de - - c a 2 = - c a.

Denklemin başka kökleri olmayacak. Bunu çelişki yöntemini kullanarak gösterebiliriz. Başlangıç ​​olarak yukarıda bulunan kök notasyonlarını şu şekilde tanımlayalım: x 1 Ve - x 1. x 2 = - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım. x 2 köklerden farklı olan x 1 Ve - x 1. Bunu denklemde yerine koyarak biliyoruz X köklerini kullanarak denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürüyoruz.

İçin x 1 Ve - x 1şunu yazıyoruz: x 1 2 = - c a ve için x 2- x 2 2 = - c a . Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir doğru eşitlik terimini diğerinden terim bazında çıkarırız, bu bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 = 0. Son eşitliği şu şekilde yeniden yazmak için sayılarla yapılan işlemlerin özelliklerini kullanırız: (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. İki sayının çarpımının sıfır olduğu ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olduğu bilinmektedir. Yukarıdakilerden şu sonuç çıkıyor x 1 - x 2 = 0 ve/veya x 1 + x 2 = 0, bu aynı x 2 = x 1 ve/veya x 2 = - x 1. Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün şu şekilde olduğu kabul edildi: x 2 farklı x 1 Ve - x 1. Böylece denklemin x = - c a ve x = - - c a dışında kökleri olmadığını kanıtlamış olduk.

Yukarıdaki tüm argümanları özetleyelim.

Tanım 6

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + c = 0 x 2 = - c a denklemine eşdeğerdir, bu:

• - c a'da kökleri olmayacak< 0 ;
• - c a > 0 için x = - c a ve x = - - c a olmak üzere iki kökü olacaktır.

Denklemlerin çözümüne örnekler verelim a x 2 + c = 0.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklem verildiğinde 9 x 2 + 7 = 0. Bir çözüm bulmak gerekiyor.

Çözüm

Serbest terimi denklemin sağ tarafına taşıyalım, o zaman denklem şu şekli alacaktır: 9 x 2 = − 7.
Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: 9 x 2 = - 7 9'a ulaşırız. Sağ tarafta eksi işaretli bir sayı görüyoruz, bu şu anlama geliyor: verilen denklemin kökleri yoktur. Daha sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri olmayacak.

Cevap: denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemin çözülmesi gerekiyor − x 2 + 36 = 0.

Çözüm

36'yı sağ tarafa taşıyalım: − x 2 = − 36.
Her iki parçayı da ikiye bölelim − 1 , alıyoruz x 2 = 36. Sağ tarafta - pozitif sayı buradan şu sonuca varabiliriz x = 36 veya x = -36 .
Kökü çıkaralım ve son sonucu yazalım: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem − x 2 + 36 = 0 iki kökü var x = 6 veya x = − 6.

Cevap: x = 6 veya x = − 6.

Denklemin çözümü a x 2 +b x=0

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri analiz edelim: c = 0. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için a x 2 + b x = 0çarpanlara ayırma yöntemini kullanacağız. Denklemin sol tarafındaki polinomu parantezlerin ortak çarpanını çıkararak çarpanlarına ayıralım. X. Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin eşdeğerine dönüştürülmesini mümkün kılacaktır. x (a x + b) = 0. Ve bu denklem de bir dizi denkleme eşdeğerdir x = 0 Ve a x + b = 0. Denklem a x + b = 0 doğrusal ve kökü: x = − b bir.

Tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + b x = 0 iki kökü olacak x = 0 Ve x = − b bir.

Bir örnekle konuyu pekiştirelim.

Örnek 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 denklemine bir çözüm bulmak gerekiyor.

Çözüm

Onu çıkaracağız X parantezlerin dışında x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 denklemini elde ederiz. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x = 0 ve 2 3 x - 2 2 7 = 0. Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmelisiniz: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Denklemin çözümünü kısaca aşağıdaki gibi yazın:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya x = 3 3 7

Cevap: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemlere çözüm bulmak için bir kök formül vardır:

Tanım 8

x = - b ± D 2 · a, burada D = b 2 − 4 a c– İkinci dereceden bir denklemin sözde diskriminantı.

x = - b ± D 2 · a yazmak aslında x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a anlamına gelir.

Bu formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklem çözme göreviyle karşı karşıya kalalım a x 2 + b x + c = 0. Birkaç eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

• Denklemin her iki tarafını bir sayıya bölelim A sıfırdan farklı olarak aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki karenin tamamını seçelim:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
  Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Artık son iki terimi sağ tarafa aktarmak, işareti ters yönde değiştirmek mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Son olarak son eşitliğin sağ tarafında yazan ifadeyi dönüştürüyoruz:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Böylece orijinal denklemin eşdeğeri olan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denklemine ulaşırız. a x 2 + b x + c = 0.

Bu tür denklemlerin çözümünü önceki paragraflarda inceledik (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Halihazırda kazanılan deneyim, x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denkleminin köklerine ilişkin bir sonuç çıkarmayı mümkün kılmaktadır:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 ile< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 olduğunda denklem x + b 2 · a 2 = 0 olur, bu durumda x + b 2 · a = 0 olur.

Buradan tek kök x = - b 2 · a açıktır;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 için aşağıdakiler doğru olacaktır: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 veya x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 veya x = - b 2 · a - b 2 - 4 ile aynıdır · a · c 4 · a 2 , yani. Denklemin iki kökü vardır.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denkleminin köklerinin varlığının veya yokluğunun (ve dolayısıyla orijinal denklemin) b ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. Sağ tarafta 2 - 4 · a · c 4 · a 2 yazılı. Ve bu ifadenin işareti payın (payda) işareti ile verilmektedir. 4 a 2 her zaman pozitif olacaktır), yani ifadenin işareti b 2 − 4 a c. Bu ifade b 2 − 4 a c isim verilir - ikinci dereceden denklemin diskriminantı ve D harfi onun tanımı olarak tanımlanır. Burada diskriminantın özünü yazabilirsiniz - değerine ve işaretine göre, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kök sayısının ne olduğu - bir veya iki - sonucuna varabilirler.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denklemine dönelim. Diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sonuçlarımızı tekrar formüle edelim:

Tanım 9

• en D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
• en D=0 denklemin tek bir kökü var x = - b 2 · a ;
• en D > 0 denklemin iki kökü vardır: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 veya x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x = - b 2 · a + D 2 · a veya - b 2 · a - D 2 · a. Ve modülleri açıp kesirleri ortak bir paydaya getirdiğimizde şunu elde ederiz: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dolayısıyla, akıl yürütmemizin sonucu, ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formülün türetilmesiydi:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D formülle hesaplanır D = b 2 − 4 a c.

Bu formüller, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda her iki gerçek kökün belirlenmesini mümkün kılar. Diskriminant sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması aynı kökü verecektir: tek çözüm ikinci dereceden denklem. Diskriminantın negatif olması durumunda ikinci dereceden bir denklemin kökü için formülü kullanmaya çalışırsak, çıkarma ihtiyacıyla karşı karşıya kalacağız. karekök itibaren negatif sayı Bu da bizi gerçek sayıların ötesine taşıyacak. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formülleriyle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

İkinci dereceden bir denklemi hemen kök formülünü kullanarak çözmek mümkündür, ancak bu genellikle karmaşık köklerin bulunması gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, bu genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerini aramak anlamına gelir. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk olarak diskriminantı belirlemek ve bunun negatif olmadığından emin olmak (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varırız) ve ardından hesaplamaya devam etmek en uygunudur. köklerin değeri.

Yukarıdaki mantık, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için a x 2 + b x + c = 0, gerekli:

• formüle göre D = b 2 − 4 a c ayırt edici değeri bulun;
• D'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 için, x = - b 2 · a formülünü kullanarak denklemin tek kökünü bulun;
• D > 0 için, x = - b ± D 2 · a formülünü kullanarak ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü belirleyin.

Diskriminant sıfır olduğunda x = - b ± D 2 · a formülünü kullanabileceğinizi, bunun x = - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Örneklere bakalım.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Örneklere çözüm verelim farklı anlamlar ayrımcı.

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmamız gerekiyor x 2 + 2 x - 6 = 0.

Çözüm

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazalım: a = 1, b = 2 ve c = - 6. Daha sonra algoritmaya göre ilerliyoruz, yani. A, b katsayılarını değiştireceğimiz diskriminantı hesaplamaya başlayalım. Ve C diskriminant formülüne göre: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Böylece D > 0 elde ederiz, bu da orijinal denklemin iki gerçek kökü olacağı anlamına gelir.
Bunları bulmak için x = - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve karşılık gelen değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ortaya çıkan ifadeyi kök işaretinden çarpanı çıkarıp kesri azaltarak basitleştirelim:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 veya x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 veya x = - 1 - 7

Cevap: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Örnek 7

İkinci dereceden bir denklemi çözmeniz gerekiyor − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Çözüm

Diskriminantı tanımlayalım: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu değeriyle, orijinal denklemin x = - b 2 · a formülüyle belirlenen tek bir kökü olacaktır.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Cevap: x = 3,5.

Örnek 8

Denklemin çözülmesi gerekiyor 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Çözüm

Bu denklemin sayısal katsayıları: a = 5, b = 6 ve c = 2 olacaktır. Diskriminantı bulmak için bu değerleri kullanırız: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesaplanan diskriminant negatif olduğundan orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri belirtmek olması durumunda, karmaşık sayılarla eylemler gerçekleştirerek kök formülünü uygularız:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 veya x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i veya x = - 3 5 - 1 5 · i.

Cevap: gerçek kökler yok; karmaşık kökler aşağıdaki gibidir: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

İÇİNDE okul müfredatı Karmaşık köklerin aranması için standart bir gereklilik yoktur, bu nedenle çözüm sırasında diskriminantın negatif olduğu belirlenirse, gerçek köklerin olmadığı cevabı hemen yazılır.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

Kök formül x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c), daha kompakt başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve ikinci dereceden denklemlere x için çift katsayılı çözümler bulmayı mümkün kılar ( veya 2 · n formunda bir katsayı ile, örneğin, 2 3 veya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

İkinci dereceden a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 denklemine bir çözüm bulma göreviyle karşı karşıya kalalım. Algoritmaya göre ilerliyoruz: diskriminantı D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) belirliyoruz ve ardından kök formülü kullanıyoruz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ca .

N 2 − a · c ifadesinin D 1 (bazen D " ile gösterilir) olarak gösterilmesine izin verin. Daha sonra, ikinci katsayı 2 · n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x = - n ± D 1 a, burada D 1 = n 2 − a · c.

D = 4 · D 1 veya D 1 = D 4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dörtte biridir. Açıkçası, D 1'in işareti D'nin işaretiyle aynıdır; bu, D 1'in işaretinin aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da görev yapabileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için şunlar gereklidir:

• D 1 = n 2 − a · c'yi bulun;
• D 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 olduğunda, x = - n a formülünü kullanarak denklemin tek kökünü belirleyin;
• D 1 > 0 için x = - n ± D 1 a formülünü kullanarak iki gerçek kökü belirleyin.

Örnek 9

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ikinci dereceden denklemi çözmek gerekir.

Çözüm

Verilen denklemin ikinci katsayısını 2 · (− 3) olarak gösterebiliriz. Daha sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 olarak yeniden yazıyoruz; burada a = 5, n = − 3 ve c = − 32.

Diskriminantın dördüncü kısmını hesaplayalım: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülünü kullanarak belirleyelim:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 veya x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 veya x = - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için alışılagelmiş formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olabilir, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x = 3 1 5 veya x = - 2 .

İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi

Bazen orijinal denklemin biçimini optimize etmek mümkündür, bu da köklerin hesaplanması sürecini basitleştirir.

Örneğin, ikinci dereceden denklem 12 x 2 − 4 x − 7 = 0'ın çözümü, 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0'a göre açıkça daha uygundur.

Daha sıklıkla, ikinci dereceden bir denklemin biçiminin basitleştirilmesi, her iki tarafının da belirli bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle gerçekleştirilir. Örneğin yukarıda, her iki tarafın da 100'e bölünmesiyle elde edilen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 denkleminin basitleştirilmiş bir temsilini gösterdik.

İkinci dereceden denklemin katsayıları karşılıklı olmadığında böyle bir dönüşüm mümkündür. asal sayılar. Daha sonra genellikle denklemin her iki tarafını da en büyüğüne böleriz. ortak bölen mutlak değerler katsayıları.

Örnek olarak ikinci dereceden denklem olan 12 x 2 − 42 x + 48 = 0'ı kullanıyoruz. Katsayılarının mutlak değerlerinin GCD'sini belirleyelim: OBEB (12, 42, 48) = OBEB(12, 42), 48) = OBEB (6, 48) = 6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölelim ve eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 − 7 x + 8 = 0'ı elde edelim.

İkinci dereceden bir denklemin her iki tarafını çarparak genellikle kesirli katsayılardan kurtulursunuz. Bu durumda katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıyla çarpılırlar. Örneğin, ikinci dereceden denklem 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0'un her bir kısmı LCM (6, 3, 1) = 6 ile çarpılırsa, daha fazla olarak yazılacaktır. basit biçimde x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Son olarak, ikinci dereceden bir denklemin ilk katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman, denklemin her bir teriminin işaretini değiştirerek kurtulduğumuzu not ediyoruz; bu, her iki tarafı da -1 ile çarparak (veya bölerek) elde edilir. Örneğin, ikinci dereceden denklem − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0'dan, onun basitleştirilmiş versiyonu olan 2 x 2 + 3 x − 7 = 0'a gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için zaten bildiğimiz formül, x = - b ± D 2 · a, denklemin köklerini sayısal katsayıları aracılığıyla ifade eder. Bu formüle dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer bağımlılıkları belirleme olanağına sahibiz.

En ünlü ve uygulanabilir formüller Vieta teoremidir:

x 1 + x 2 = - b a ve x 2 = c a.

Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ikinci katsayıdır. karşıt işaret ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 ikinci dereceden denklemin formuna bakarak, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı da bulabilirsiniz. Örneğin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem, faktörlerinin veya serbest teriminin sıfıra eşit olması nedeniyle klasik (tam) denklemlerden farklıdır. Bu tür fonksiyonların grafikleri parabollerdir. Genel görünümlerine göre 3 gruba ayrılırlar. Tüm denklem türlerinin çözüm ilkeleri aynıdır.

Tamamlanmamış bir polinomun tipini belirlemede karmaşık bir şey yoktur. Görsel örnekleri kullanarak temel farklılıkları dikkate almak en iyisidir:

1. Eğer b = 0 ise denklem ax 2 + c = 0 olur.
2. Eğer c = 0 ise ax 2 + bx = 0 ifadesinin çözülmesi gerekir.
3. Eğer b = 0 ve c = 0 ise polinom ax 2 = 0 gibi bir eşitliğe dönüşür.

İkinci durum daha çok teorik bir olasılıktır ve ifadedeki x değişkeninin tek doğru değeri sıfır olduğundan bilgi testi görevlerinde asla gerçekleşmez. Gelecekte, 1) ve 2) tipindeki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri ve örnekleri ele alınacaktır.

Değişkenleri ve örnekleri çözümlerle aramak için genel algoritma

Denklemin türüne bakılmaksızın çözüm algoritması aşağıdaki adımlara indirgenir:

1. İfadeyi kökleri bulmaya uygun bir forma indirgeyin.
2. Hesaplamalar yapın.
3. Cevabı yazın.

Eksik denklemleri çözmenin en kolay yolu onları çarpanlarına ayırmaktır sol taraf ve sağda bir sıfır bırakarak. Böylece, kökleri bulmaya yönelik tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin formülü, her bir faktör için x'in değerinin hesaplanmasına indirgenir.

Bunu ancak pratikte nasıl çözeceğinizi öğrenebilirsiniz, o yüzden düşünelim somut örnek Tamamlanmamış bir denklemin köklerini bulma:

Görüldüğü gibi, bu durumda b = 0. Sol tarafı çarpanlarına ayıralım ve ifadeyi elde edelim:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Açıkçası, faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir. x1 = 0,5 ve (veya) x2 = -0,5 değişkeninin değerleri de benzer gereksinimleri karşılamaktadır.

Ayrıştırma göreviyle kolay ve hızlı bir şekilde baş edebilmek için ikinci dereceden üç terimli faktörlere ayırırken aşağıdaki formülü unutmayın:

İfadede serbest terim yoksa sorun büyük ölçüde basitleşir. Sadece bulup parantez içine almanız yeterli olacaktır ortak payda. Açıklık sağlamak için ax2 + bx = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine ilişkin bir örneği düşünün.

X değişkenini parantezlerden çıkaralım ve aşağıdaki ifadeyi elde edelim:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Mantık rehberliğinde x1 = 0 ve x2 = -3 olduğu sonucuna varıyoruz.

Geleneksel çözüm yöntemi ve tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Diskriminant formülünü uygularsanız ve katsayıları sıfıra eşit olan bir polinomun köklerini bulmaya çalışırsanız ne olur? Koleksiyondan bir örnek alalım tipik görevler Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2017 için bunu standart formüller ve çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözeceğiz.

7x2 – 3x = 0.

Diskriminant değerini hesaplayalım: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Polinomun iki kökü olduğu ortaya çıktı:

Şimdi denklemi çarpanlara ayırarak çözelim ve sonuçları karşılaştıralım.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Gördüğünüz gibi her iki yöntem de aynı sonucu veriyor ancak denklemi ikinci yöntemle çözmek çok daha kolay ve hızlıydı.

Vieta'nın teoremi

Peki Vieta'nın favori teoremiyle ne yapmalı? Trinomial eksik olduğunda bu yöntem kullanılabilir mi? Tamamlanmamış denklemleri getirmenin yönlerini anlamaya çalışalım. klasik görünüm ax2 + bx + c = 0.

Aslında bu durumda Vieta teoremini uygulamak mümkündür. Eksik terimleri sıfırla değiştirerek ifadeyi genel biçimine getirmek yeterlidir.

Örneğin b = 0 ve a = 1 iken, karışıklık olasılığını ortadan kaldırmak için görev ax2 + 0 + c = 0 şeklinde yazılmalıdır. Daha sonra köklerin toplamı ve çarpımı oranı ve Polinomun faktörleri şu şekilde ifade edilebilir:

Teorik hesaplamalar konunun özünü tanımaya yardımcı olur ve çözerken her zaman pratik beceriler gerektirir. belirli görevler. Birleşik Devlet Sınavı için standart görevlerin referans kitabına tekrar dönelim ve uygun bir örnek bulalım:

İfadeyi Vieta teoremini uygulamaya uygun bir biçimde yazalım:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Bir sonraki adım bir koşullar sistemi oluşturmaktır:

Açıkçası, ikinci dereceden polinomun kökleri x 1 = 4 ve x 2 = -4 olacaktır.

Şimdi denklemi genel formuna getirmeye çalışalım. Şu örneği ele alalım: 1/4× x 2 – 1 = 0

Vieta teoremini bir ifadeye uygulayabilmek için kesirden kurtulmak gerekir. Sol ve sağ tarafları 4 ile çarpalım ve sonuca bakalım: x2– 4 = 0. Ortaya çıkan eşitlik Vieta teoremi ile çözülmeye hazır, ancak c = hareketiyle cevaba ulaşmak çok daha kolay ve hızlı. Denklemin sağ tarafına 4: x2 = 4.

Özetlemek gerekirse şunu söylemek gerekir. en iyi yol Eksik denklemleri çözmek çarpanlara ayırmadır, en basit ve hızlı yöntem. Kök arama sürecinde zorluklar ortaya çıkarsa iletişime geçebilirsiniz. geleneksel yöntem Bir diskriminant aracılığıyla köklerin bulunması.

Hadi birlikte çalışalım ikinci dereceden denklemler. Bunlar çok popüler denklemler! tam olarak genel görünüm ikinci dereceden denklem şuna benzer:

Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür?Önünüzde bu formda ikinci dereceden bir denklem varsa, o zaman her şey basittir. Haydi hatırlayalım sihirli kelime ayrımcı . Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur. Yani ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işaretinin altındaki ifade ayrımcı. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Hesapladığımız formül bu. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin, ilk denklem için A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

İşte bu.

Bu formülü kullanırken hangi durumlar mümkündür? Sadece üç vaka var.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak bu, konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz eşitsizliklerde rol oynuyor.

3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayının karekökü alınamaz. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada bir = -6; b = -5; c = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır ve hata sayısı yazmak yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle kullanıyorsanız pratik teknikler Aşağıda açıklananlar. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığımız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrendiler ki bu da iyi. Nasıl doğru bir şekilde belirleneceğini biliyorsun a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anlıyorsunuz: dikkatle mi?

Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler . Ayrıca diskriminantla da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. a, b ve c.

Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! İşte bu. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Hiçbir ayrım yapmadan. İlkini ele alalım tamamlanmamış denklem. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x = 0, veya x = 4

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, diskriminant kullanmaktan çok daha basittir.

İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:

Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:

Ayrıca iki kök . x = +3 ve x = -3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da basit transfer sayıları sağa doğru çevirin ve ardından kökü çıkarın.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...

İlk randevu. İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla . Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde hata yaptığınız anlamına gelir. Hatayı arayın. İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Tüm daha az hata irade.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi önceki bölümde anlatıldığı gibi ortak bir paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...

Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

İşte bu! Çözmek bir zevktir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik tavsiyeler:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!

Kesirli denklemler. ODZ.

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler . Aynı şey.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

Öğretildiği gibi genç sınıfları? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Nasıl olduğunu unut kötü rüya! Kesirleri eklerken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor. Bu da denklemin ile çarpılması gerektiği anlamına geliyor. 2(x+2). Çarp:

Bu, kesirlerin yaygın bir çarpımıdır, ancak bunu ayrıntılı olarak açıklayacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü sağ taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Klasik ikinci dereceden denklem. Ancak önümüzdeki eksi iyi değil. Her zaman -1 ile çarparak veya bölerek bundan kurtulabilirsiniz. Ancak örneğe yakından bakarsanız, bu denklemi -2'ye bölmenin en iyisi olduğunu fark edeceksiniz! Bir anda eksi ortadan kaybolacak ve oranlar daha cazip hale gelecek! -2'ye bölün. Sol tarafta - terim terim ve sağda - sıfırı -2'ye (sıfır) bölerseniz şunu elde ederiz:

Diskriminant aracılığıyla çözüyoruz ve Vieta teoremini kullanarak kontrol ediyoruz. Aldık x = 1 ve x = 3. İki kök.

Gördüğünüz gibi ilk durumda dönüşümden sonra denklem doğrusal hale geldi, ancak burada ikinci dereceden hale geliyor. Kesirlerden kurtulduktan sonra tüm X'ler azalır. Geriye 5=5 gibi bir şey kalıyor. Bu şu anlama geliyor x herhangi bir şey olabilir. Ne olursa olsun yine de azalacak. Ve bunun saf gerçek olduğu ortaya çıkıyor: 5=5. Ancak kesirlerden kurtulduktan sonra 2=7 gibi tamamen yanlış olduğu ortaya çıkabilir. Ve bu şu anlama geliyor çözüm yok! Herhangi bir X'in doğru olmadığı ortaya çıkıyor.

Ana çözümü gerçekleştirdik kesirli denklemler ? Basit ve mantıklıdır. Hoşumuza gitmeyen her şeyin kaybolması için orijinal ifadeyi değiştiriyoruz. Veya müdahale ediyor. Bu durumda bunlar kesirlerdir. Aynısını logaritmalar, sinüsler ve diğer dehşetlerle her türlü karmaşık örnekle yapacağız. Biz Her zaman Bütün bunlardan kurtulalım.

Ancak orijinal ifadeyi ihtiyacımız olan yönde değiştirmemiz gerekiyor. kurallara göre, evet... Ustalığı matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlıktır. Yani bunda ustalaşıyoruz.

Şimdi bunlardan birini nasıl atlayacağımızı öğreneceğiz. Birleşik Devlet Sınavında ana pusu! Ama önce bakalım bu duruma düşecek misiniz, düşmeyecek misiniz?

Basit bir örneğe bakalım:

Konu zaten tanıdık, her iki tarafı da çarpıyoruz (x – 2), şunu elde ederiz:

Parantezle hatırlatırım (x – 2) Sanki tek bir bütünsel ifadeyle çalışıyoruz!

Burada artık paydalara bir tane yazmadım, onursuz... Ve paydalara parantez çizmedim, hariç x – 2 hiçbir şey yok, çizmene gerek yok. Kısaltalım:

Parantezleri açın, her şeyi sola taşıyın ve benzerlerini verin:

Çözüyoruz, kontrol ediyoruz, iki kök alıyoruz. x = 2 Ve x = 3. Harika.

Ödevin kökü veya birden fazla kök varsa bunların toplamını yazmanız gerektiğini varsayalım. Ne yazacağız?

Cevabın 5 olduğuna karar verirseniz, pusuya düşürüldü. Ve görev size verilmeyecektir. Boşuna çalıştılar... Doğru cevap 3.

Sorun ne?! Ve bir kontrol yapmaya çalışıyorsun. Bilinmeyenlerin değerlerini yerine koyun orijinalörnek. Ve eğer x = 3 her şey harika bir şekilde birlikte büyüyecek, 9 = 9 elde edeceğiz, o zaman x = 2 Sıfıra bölünme olacak! Kesinlikle yapamayacağınız şey. Araç x = 2 bir çözüm değildir ve cevapta dikkate alınmaz. Bu sözde yabancı veya ekstra köktür. Sadece onu atıyoruz. Son kök birdir. x = 3.

Nasıl yani?! – Öfkeli ünlemler duyuyorum. Bize bir denklemin bir ifadeyle çarpılabileceği öğretildi! Bu aynı dönüşüm!

Evet, aynı. Küçük bir koşul altında - çarptığımız (böldüğümüz) ifade - sıfırdan farklı. A x – 2 en x = 2 sıfıra eşittir! Yani her şey adil.

Peki şimdi ne yapmalıyız? İfadeyle çarpmıyor musunuz? Her seferinde kontrol etmeli miyim? Yine belirsiz!

Sakin ol! Panik yapma!

Bu zor durumda üç sihirli harf bizi kurtaracak. Ne düşündüğünü biliyorum. Sağ! Bu ODZ . Kabul Edilebilir Değerler Alanı.

Umarım bu makaleyi inceledikten sonra ikinci dereceden tam bir denklemin köklerini nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Diskriminant negatif bir sayı ise (D< 0),то корней нет.

Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Diskriminant pozitif bir sayı olduğunda (D > 0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çöz x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmıştır

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve bu durumda denklemin iki kökü vardır. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A x 2 , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.

İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimdeki katsayı çift ise (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki diyagramda verilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşittir ve denklem şu şekli alır: x 2 + piksel + q = 0. Böyle bir denklem çözüm için verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çöz

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x'in katsayısının çift sayı olduğunu fark edebilirsiniz, yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekil D'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün
denklemler şekil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüğünüz gibi bu denklemi farklı formüller kullanarak çözdüğümüzde aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İkinci dereceden denklem - çözülmesi kolay! *Bundan sonra “KU” olarak anılacaktır. Arkadaşlar öyle görünüyor ki matematikte böyle bir denklemi çözmekten daha basit bir şey olamaz. Ama içimden bir ses birçok insanın onunla sorunları olduğunu söyledi. Yandex'in ayda kaç tane isteğe bağlı gösterim verdiğini görmeye karar verdim. İşte ne oldu, bakın:

Bu ne anlama geliyor? Bu, ayda yaklaşık 70.000 kişinin aradığı anlamına gelir bu bilgi, bu yazın bununla ne ilgisi var ve aralarında neler olacak? akademik yıl— iki kat daha fazla talep olacak. Bu şaşırtıcı değil, çünkü okuldan uzun zaman önce mezun olan ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan kız ve erkekler bu bilgiyi arıyorlar ve okul çocukları da hafızalarını tazelemeye çalışıyorlar.

Bu denklemin nasıl çözüleceğini anlatan birçok site olmasına rağmen ben de katkıda bulunup materyali yayınlamaya karar verdim. Öncelikle bu isteğe göre ziyaretçilerin siteme gelmesini istiyorum; ikinci olarak diğer yazılarımda “KU” konusu açıldığında bu yazının linkini vereceğim; üçüncü olarak, size çözümü hakkında diğer sitelerde genellikle belirtilenden biraz daha fazlasını anlatacağım. Hadi başlayalım! Makalenin içeriği:

İkinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:

burada katsayılar a,Bve ile keyfi sayılar, burada a≠0.

İÇİNDE okul kursu materyal aşağıdaki biçimde verilmiştir - denklemler geleneksel olarak üç sınıfa ayrılır:

1. İki kökleri vardır.

2. *Tek bir kökü vardır.

3. Kökleri yoktur. Burada gerçek köklerinin olmadığını özellikle belirtmekte fayda var.

Kökler nasıl hesaplanır? Sadece!

Diskriminant'ı hesaplıyoruz. Bu “korkunç” kelimenin altında çok basit bir formül yatıyor:

Kök formülleri aşağıdaki gibidir:

*Bu formülleri ezbere bilmeniz gerekiyor.

Hemen yazıp çözebilirsiniz:

Örnek:

1. Eğer D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.

2. Eğer D = 0 ise denklemin bir kökü vardır.

3. Eğer D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Denkleme bakalım:

İle bu vesileyle Diskriminant sıfır olduğunda okul kursu sonucun bir kök olduğunu söylüyor, burada dokuza eşit. Her şey doğru, öyle ama...

Bu fikir biraz yanlıştır. Aslında iki kök var. Evet, evet, şaşırmayın, iki eşit kök elde edersiniz ve matematiksel olarak kesin olmak gerekirse, cevabın iki kök yazması gerekir:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ama bu böyle - küçük bir ara söz. Okulda bunu yazıp tek bir kök olduğunu söyleyebilirsin.

Şimdi bir sonraki örnek:

Bildiğimiz gibi negatif bir sayının kökü alınamadığından bu durumda bir çözüm yoktur.

Bütün karar süreci bundan ibaret.

İkinci dereceden fonksiyon.

Bu, çözümün geometrik olarak neye benzediğini gösterir. Bunu anlamak son derece önemlidir (gelecekte makalelerden birinde ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz).

Bu formun bir fonksiyonudur:

burada x ve y değişkenlerdir

a, b, c – a ≠ 0 ile verilen sayılar

Grafik bir paraboldür:

Yani, “y” sıfıra eşit olan ikinci dereceden bir denklemi çözerek parabolün x ekseni ile kesişme noktalarını bulduğumuz ortaya çıkıyor. Bu noktalardan ikisi (ayırıcı pozitiftir), biri (ayırıcı sıfırdır) ve hiçbiri (ayırıcı negatiftir) olabilir. Hakkında ayrıntılar ikinci dereceden fonksiyon bakabilirsin Inna Feldman'ın makalesi.

Örneklere bakalım:

Örnek 1: Çöz 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Cevap: x 1 = 8 x 2 = –12

*Denklemin sağ ve sol taraflarını hemen 2'ye bölmek, yani basitleştirmek mümkündü. Hesaplamalar daha kolay olacaktır.

Örnek 2: Karar vermek x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ve x 2 = 11 olduğunu bulduk

Cevapta x=11 yazmak caizdir.

Cevap: x = 11

Örnek 3: Karar vermek x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant negatiftir, gerçek sayılarda çözüm yoktur.

Cevap: çözüm yok

Diskriminant negatiftir. Bir çözüm var!

Burada negatif bir diskriminantın elde edilmesi durumunda denklemin çözümünden bahsedeceğiz. Karmaşık sayılar hakkında bir şey biliyor musun? Bunların neden ve nerede ortaya çıktıklarını ve matematikteki spesifik rollerinin ve gerekliliklerinin ne olduğunu burada ayrıntıya girmeyeceğim; bu ayrı bir makalenin konusu.

Karmaşık sayı kavramı.

Küçük bir teori.

Karmaşık sayı z, formdaki bir sayıdır

z = a + bi

a ve b'nin gerçel sayılar olduğu durumlarda, i sanal birim olarak adlandırılır.

a+bi – bu TEK BİR NUMARAdır, toplama değildir.

Sanal birim eksi birin köküne eşittir:

Şimdi denklemi düşünün:

İki eşlenik kök elde ediyoruz.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem.

Özel durumları ele alalım; bu, “b” veya “c” katsayısının sıfıra eşit olduğu (veya her ikisinin de sıfıra eşit olduğu) durumdur. Herhangi bir ayrımcılığa uğramadan kolayca çözülebilirler.

Durum 1. Katsayı b = 0.

Denklem şöyle olur:

Haydi dönüştürelim:

Örnek:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Durum 2. Katsayı c = 0.

Denklem şöyle olur:

Dönüştürüp çarpanlara ayıralım:

*Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir.

Örnek:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 veya x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Durum 3. Katsayılar b = 0 ve c = 0.

Burada denklemin çözümünün her zaman x = 0 olacağı açıktır.

Faydalı özellikler ve katsayı kalıpları.

Büyük katsayılı denklemleri çözmenizi sağlayan özellikler vardır.

AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A + B+ c = 0, O

- denklemin katsayıları için ise AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A+ s =B, O

Bu özellikler karar vermenize yardımcı olur belirli bir tür denklemler

Örnek 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Oranların toplamı 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bunun anlamı

Örnek 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Eşitlik geçerlidir A+ s =B, Araç

Katsayıların düzenlilikleri.

1. Eğer ax 2 + bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse, kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Örnek. 6x 2 + 37x + 6 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. ax 2 – bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Örnek. 15x 2 –226x +15 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Denklemde ise. ax 2 + bx – c = 0 katsayısı “b” eşittir (a 2 – 1) ve katsayısı “c” sayısal olarak “a” katsayısına eşittir, o zaman kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Örnek. 17x 2 +288x – 17 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Eğer ax 2 – bx – c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 – 1)'e eşitse ve c katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Örnek. 10x 2 – 99x –10 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vieta'nın teoremi.

Vieta'nın teoremi, adını ünlü Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır. Vieta teoremini kullanarak, rastgele bir KU'nun köklerinin toplamını ve çarpımını katsayıları cinsinden ifade edebiliriz.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Toplamda 14 sayısı sadece 5 ve 9'u verir. Bunlar köklerdir. Belirli bir beceriyle, sunulan teoremi kullanarak birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak anında çözebilirsiniz.

Ayrıca Vieta teoremi. İkinci dereceden bir denklemi olağan şekilde (bir diskriminant aracılığıyla) çözdükten sonra ortaya çıkan köklerin kontrol edilebilmesi uygundur. Bunu her zaman yapmanızı öneririm.

ULAŞIM ŞEKLİ

Bu yöntemle “a” katsayısı serbest terimle sanki kendisine “atılmış” gibi çarpılır, bu yüzden buna denir. "aktarma" yöntemi. Bu yöntem, Vieta teoremini kullanarak denklemin köklerini kolayca bulabileceğiniz durumlarda ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Eğer A± b+c≠ 0 ise transfer tekniği kullanılır, örneğin:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Denklem (2)'deki Vieta teoremini kullanarak x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu belirlemek kolaydır.

Denklemin ortaya çıkan kökleri 2'ye bölünmelidir (çünkü ikisi x 2'den "atılmıştır"), şunu elde ederiz:

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Gerekçesi nedir? Bakın neler oluyor.

Denklem (1) ve (2)'nin ayırıcıları eşittir:

Denklemlerin köklerine bakarsanız yalnızca farklı paydalar elde edersiniz ve sonuç tam olarak x 2 katsayısına bağlıdır:

İkincisi (değiştirilmiş) 2 kat daha büyük köklere sahiptir.

Bu nedenle sonucu 2'ye bölüyoruz.

*Üç atarsak sonucu 3'e vb. böleriz.

Cevap: x 1 = 5 x 2 = 0,5

meydan ur-ie ve Birleşik Devlet Sınavı.

Önemini kısaca anlatacağım - Çabuk ve düşünmeden KARAR VERMELİSİNİZ, köklerin ve ayırıcıların formüllerini ezbere bilmeniz gerekiyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde yer alan birçok problem, ikinci dereceden bir denklemin (geometrik olanlar dahil) çözülmesiyle ilgilidir.

Dikkate değer bir şey!

1. Bir denklemin yazım şekli “örtük” olabilir. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür:

15+ 9x 2 - 45x = 0 veya 15x+42+9x 2 - 45x=0 veya 15 -5x+10x 2 = 0.

Bunu standart bir forma getirmeniz gerekiyor (çözerken kafanızın karışmaması için).

2. X'in bilinmeyen bir miktar olduğunu ve herhangi bir harfle (t, q, p, h ve diğerleri) gösterilebileceğini unutmayın.