Min aritmetik mudah ialah sebutan purata, dalam menentukan jumlah isipadu bagi ciri yang diberikan agregat data diagihkan sama rata antara semua unit dalam populasi yang diberikan. Jadi, purata keluaran tahunan bagi setiap pekerja ialah jumlah keluaran yang akan jatuh ke atas setiap pekerja jika keseluruhan volum keluaran diagihkan sama rata antara semua pekerja organisasi. Nilai mudah purata aritmetik dikira dengan formula:

Min aritmetik mudah- Sama dengan nisbah jumlah nilai individu ciri kepada bilangan ciri dalam agregat

Contoh 1. Sepasukan 6 pekerja menerima 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ribu rubel sebulan.

Cari gaji purata Penyelesaian: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ribu rubel.

Min aritmetik berwajaran

Jika isipadu set data adalah besar dan mewakili siri taburan, maka min aritmetik berwajaran dikira. Beginilah cara harga purata wajaran seunit pengeluaran ditentukan: jumlah kos pengeluaran (jumlah produk kuantitinya dengan harga unit pengeluaran) dibahagikan dengan jumlah pengeluaran.

Kami mewakili ini dalam bentuk formula berikut:

Min aritmetik berwajaran- adalah sama dengan nisbah (jumlah hasil darab nilai ciri kepada kekerapan pengulangan ciri tertentu) kepada (jumlah frekuensi semua ciri). Ia digunakan apabila varian populasi yang dikaji berlaku bilangan kali yang tidak sama.

Contoh 2. Cari purata gaji bulanan pekerja bengkel

Gaji purata boleh diperolehi dengan membahagikan jumlah keseluruhan upah untuk jumlah nombor pekerja:

Jawapan: 3.35 ribu rubel.

Min aritmetik untuk siri selang

Apabila mengira min aritmetik untuk siri variasi selang, mula-mula tentukan purata bagi setiap selang, sebagai separuh jumlah sempadan atas dan bawah, dan kemudian - purata keseluruhan siri. Dalam kes selang terbuka, nilai selang bawah atau atas ditentukan oleh saiz selang yang bersebelahan dengannya.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran.

Contoh 3... Tentukan purata umur pelajar petang.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran. Tahap penghampiran mereka bergantung pada sejauh mana taburan sebenar unit populasi dalam selang itu menghampiri seragam.

Apabila mengira purata, bukan sahaja nilai mutlak, tetapi juga nilai relatif (frekuensi) boleh digunakan sebagai pemberat.

Setiap orang masuk dunia moden Apabila merancang untuk membuat pinjaman atau membuat stok sayur-sayuran untuk musim sejuk, dia secara berkala menghadapi konsep seperti "nilai purata". Mari kita ketahui: apakah itu, jenis dan kelasnya yang wujud, dan mengapa ia digunakan dalam statistik dan disiplin lain.

Purata - apakah itu?

Nama serupa (SV) ialah ciri umum bagi satu set fenomena homogen, ditentukan oleh mana-mana satu ciri pembolehubah kuantitatif.

Walau bagaimanapun, orang yang jauh daripada definisi yang tidak jelas seperti itu memahami konsep ini sebagai jumlah purata sesuatu. Sebagai contoh, sebelum membuat pinjaman, pekerja bank pasti akan bertanya bakal pelanggan menyediakan data purata pendapatan bagi tahun tersebut, iaitu jumlah wang yang diperoleh seseorang. Ia dikira dengan menjumlahkan pendapatan sepanjang tahun dan membahagikan dengan bilangan bulan. Oleh itu, bank akan dapat menentukan sama ada pelanggannya akan dapat membayar balik hutang tepat pada masanya.

Mengapa ia digunakan?

Sebagai peraturan, purata digunakan secara meluas untuk memberikan huraian ringkasan tentang fenomena sosial tertentu yang bersifat massa. Ia juga boleh digunakan untuk pengiraan skala yang lebih kecil, seperti dalam kes pinjaman dalam contoh di atas.

Walau bagaimanapun, selalunya, purata masih digunakan untuk tujuan global. Contoh salah satunya ialah pengiraan jumlah tenaga elektrik yang digunakan oleh rakyat dalam satu bulan kalendar. Berdasarkan data yang diperoleh, pada masa akan datang, norma maksimum ditetapkan untuk kategori penduduk yang menikmati faedah daripada negara.

Juga, dengan bantuan nilai purata, hayat perkhidmatan jaminan tertentu perkakas rumah, kereta, bangunan, dsb. Berdasarkan data yang dikumpul dengan cara ini, piawaian kerja dan rehat moden pernah dibangunkan.

Malah, sebarang fenomena kehidupan moden yang bersifat besar-besaran dalam satu cara atau yang lain semestinya dikaitkan dengan konsep yang sedang dipertimbangkan.

Aplikasi

Fenomena ini digunakan secara meluas dalam hampir semua sains tepat, terutamanya yang bersifat eksperimen.

Mencari purata adalah penting dalam perubatan, kejuruteraan, memasak, ekonomi, politik dan banyak lagi.

Berdasarkan data yang diperoleh daripada generalisasi tersebut, ubat terapeutik, program latihan dibangunkan, dan minimum kos sara hidup dan gaji, membina jadual latihan, menghasilkan perabot, pakaian dan kasut, barangan kebersihan dan banyak lagi.

Dalam matematik, istilah ini dipanggil "nilai min" dan digunakan untuk melaksanakan keputusan pelbagai contoh dan tugasan. Yang paling mudah ialah penambahan dan penolakan dengan pecahan biasa. Lagipun, seperti yang anda tahu, untuk menyelesaikannya contoh yang serupa adalah perlu untuk membawa kedua-dua pecahan ke penyebut biasa.

Juga, dalam ratu sains tepat, istilah "nilai min pembolehubah rawak". Kebanyakannya lebih biasa dengannya sebagai "jangkaan matematik", lebih kerap dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian. Perlu diingatkan bahawa fenomena yang sama juga digunakan semasa melakukan pengiraan statistik.

Nilai purata dalam statistik

Walau bagaimanapun, selalunya konsep yang dikaji digunakan dalam statistik. Seperti yang anda tahu, sains ini sendiri pakar dalam pengiraan dan analisis. ciri kuantitatif fenomena sosial massa. Oleh itu, nilai purata dalam statistik digunakan sebagai kaedah khusus untuk mencapai tugas utamanya - pengumpulan dan analisis maklumat.

Intipati kaedah statistik ini adalah untuk menggantikan nilai unik individu bagi atribut yang dipertimbangkan dengan purata seimbang tertentu.

Jenaka makanan terkenal adalah contohnya. Jadi, di kilang tertentu pada hari Selasa untuk makan tengah hari, bosnya biasanya makan kaserol daging, dan pekerja biasa - kubis rebus. Berdasarkan data ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa secara purata kakitangan kilang itu menjamu selera dengan gulungan kubis pada hari Selasa.

Padahal contoh yang diberikan sedikit dibesar-besarkan, bagaimanapun, ia menggambarkan kelemahan utama kaedah mencari nilai purata - meratakan ciri-ciri individu objek atau orang.

Nilai purata digunakan bukan sahaja untuk menganalisis maklumat yang dikumpul, tetapi juga untuk merancang dan meramalkan tindakan selanjutnya.

Ia juga menilai hasil yang dicapai (contohnya, pelaksanaan rancangan untuk menanam dan menuai gandum untuk musim bunga-musim panas).

Cara mengira dengan betul

Walaupun, bergantung pada jenis SV, terdapat formula yang berbeza untuk pengiraannya, dalam teori statistik umum, sebagai peraturan, hanya satu kaedah mengira nilai purata ciri yang digunakan. Untuk melakukan ini, anda mesti terlebih dahulu menambah nilai semua fenomena, dan kemudian bahagikan jumlah yang terhasil dengan nombornya.

Apabila membuat pengiraan sedemikian, perlu diingat bahawa nilai purata sentiasa mempunyai dimensi (atau unit) yang sama dengan unit individu populasi.

Syarat untuk pengiraan yang betul

Formula yang dipertimbangkan di atas adalah sangat mudah dan universal, jadi hampir mustahil untuk membuat kesilapan di dalamnya. Walau bagaimanapun, ia sentiasa bernilai mempertimbangkan dua aspek, jika tidak, data yang diperoleh tidak akan menggambarkan keadaan sebenar.

Kelas CB

Setelah menemui jawapan kepada soalan asas: "Apakah nilai purata?", "Di manakah ia digunakan?" dan "Bagaimana anda boleh mengiranya?", adalah wajar mengetahui kelas dan jenis CB yang wujud.

Pertama sekali, fenomena ini terbahagi kepada 2 kelas. Ini adalah purata struktur dan undang-undang kuasa.

Jenis undang-undang kuasa SV

Setiap kelas di atas, seterusnya, dibahagikan kepada jenis. Kelas ijazah ada empat.

• Purata aritmetik ialah jenis CB yang paling biasa. Ia ialah istilah purata, dalam menentukan jumlah volum atribut yang dipertimbangkan dalam agregat data diagihkan sama rata antara semua unit agregat yang diberikan.

  Jenis ini dibahagikan kepada subspesies: SV aritmetik mudah dan wajaran.

• Min harmonik ialah salingan bagi min aritmetik, dikira daripada salingan atribut yang dipertimbangkan.

  Ia digunakan dalam kes di mana nilai individu atribut dan produk diketahui, tetapi data kekerapan tidak.

• Purata geometri paling kerap digunakan dalam analisis kadar pertumbuhan fenomena ekonomi. Ia memungkinkan untuk mengekalkan kerja tidak berubah. nilai individu nilai tertentu, bukan jumlah.

  Ia juga boleh menjadi ringkas dan seimbang.

• Nilai kuasa dua purata akar digunakan dalam mengira penunjuk individu penunjuk, seperti pekali variasi, yang mencirikan irama pengeluaran, dsb.

  Ia juga mengira diameter purata paip, roda, sisi purata segi empat sama dan angka yang serupa.

  Seperti semua jenis purata SV yang lain, punca purata kuasa dua adalah mudah dan berwajaran.

Jenis kuantiti struktur

Sebagai tambahan kepada purata SV, jenis struktur sering digunakan dalam statistik. Mereka lebih sesuai untuk mengira ciri-ciri relatif nilai-nilai atribut yang berbeza-beza dan struktur dalaman siri pengedaran.

Terdapat dua jenis sedemikian.

Purata(dalam matematik dan statistik) set nombor ialah hasil tambah semua nombor dibahagikan dengan nombornya. Ia adalah salah satu ukuran yang paling biasa bagi arah aliran pusat.

Ia telah dicadangkan (bersama-sama dengan min geometri dan min harmonik) oleh Pythagoreans.

Kes khas bagi min aritmetik ialah min (daripada populasi umum) dan min sampel (sampel).

pengenalan

Kami menandakan set data X = (x 1 , x 2 , …, x n), maka min sampel biasanya ditunjukkan oleh bar mendatar di atas pembolehubah (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), disebut " x dengan garis ").

Huruf Yunani μ digunakan untuk menunjukkan min aritmetik keseluruhan populasi. Bagi pembolehubah rawak yang mana nilai min ditentukan, μ ialah min kebarangkalian atau jangkaan matematik pembolehubah rawak. Jika set X ialah satu set nombor rawak dengan min kebarangkalian μ, kemudian untuk sebarang sampel x i daripada koleksi ini μ = E ( x i) ialah jangkaan matematik sampel ini.

Dalam amalan, perbezaan antara μ dan x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) ialah μ ialah pembolehubah biasa kerana anda boleh melihat sampel dan bukannya keseluruhan populasi. Oleh itu, jika sampel dibentangkan secara rawak (dari segi teori kebarangkalian), maka x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (tetapi bukan μ) boleh dianggap sebagai pembolehubah rawak yang mempunyai taburan kebarangkalian ke atas sampel ( taburan kebarangkalian bagi min).

Kedua-dua kuantiti ini dikira dengan cara yang sama:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ gaya paparan (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

Jika X ialah pembolehubah rawak, maka jangkaan matematik X boleh dianggap sebagai min aritmetik nilai dalam pengukuran berulang kuantiti X... Ini adalah manifestasi hukum bilangan besar. Oleh itu, min sampel digunakan untuk menganggar jangkaan matematik yang tidak diketahui.

Ia dibuktikan dalam algebra asas bahawa min n+ 1 nombor melebihi purata n nombor jika dan hanya jika nombor baru lebih besar daripada purata lama, kurang jika dan hanya jika nombor baru kurang daripada purata, dan tidak berubah jika dan hanya jika nombor baru adalah sama dengan purata. Lebih banyak n, semakin kecil perbezaan antara purata baharu dan lama.

Ambil perhatian bahawa terdapat beberapa nilai "min" lain, termasuk min kuasa, min Kolmogorov, min harmonik, min aritmetik-geometrik, dan pelbagai purata wajaran (cth, min aritmetik berwajaran, min geometri berwajaran, min harmonik berwajaran).

Contoh daripada

• Untuk tiga nombor, tambahkannya dan bahagi dengan 3:

• Untuk empat nombor, tambahkannya dan bahagi dengan 4:

Atau lebih mudah 5 + 5 = 10, 10: 2. Kerana kita menambah 2 nombor, yang bermaksud berapa banyak nombor yang kita tambah, kita bahagi dengan begitu banyak.

Pembolehubah rawak berterusan

Untuk kuantiti teragih berterusan f (x) (\ gaya paparan f (x)), min aritmetik ke atas segmen [a; b] (\ gaya paparan) ditakrifkan dari segi kamiran pasti:

F (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ gaya paparan (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)

Beberapa masalah menggunakan min

Kurang keteguhan

Walaupun min aritmetik sering digunakan sebagai purata atau kecenderungan memusat, konsep ini tidak digunakan untuk statistik teguh, yang bermaksud bahawa min aritmetik tertakluk kepada pengaruh yang kuat"Penyimpangan besar". Perlu diperhatikan bahawa untuk taburan dengan pekali kecondongan yang besar, min aritmetik mungkin tidak sepadan dengan konsep "min", dan nilai min daripada statistik teguh (contohnya, median) mungkin menggambarkan arah aliran pusat dengan lebih baik.

Contoh klasik ialah mengira pendapatan purata. Min aritmetik boleh disalahtafsirkan sebagai median, yang boleh membawa kepada kesimpulan bahawa terdapat lebih ramai orang yang berpendapatan lebih tinggi daripada yang sebenarnya. Pendapatan "purata" ditafsirkan sedemikian rupa sehingga pendapatan kebanyakan orang hampir dengan jumlah ini. Pendapatan "min" (dalam erti kata min aritmetik) ini lebih tinggi daripada pendapatan kebanyakan orang, kerana pendapatan yang tinggi dengan sisihan yang besar daripada min menyerongkan min aritmetik dengan kuat (sebaliknya, pendapatan median "menentang" seperti berat sebelah). Walau bagaimanapun, pendapatan "purata" ini tidak menyatakan apa-apa tentang bilangan orang berhampiran pendapatan median (dan tidak menyatakan apa-apa tentang bilangan orang berhampiran pendapatan modal). Namun begitu, jika anda mengambil mudah konsep "purata" dan "majoriti rakyat", maka anda boleh membuat kesimpulan yang salah bahawa kebanyakan orang mempunyai pendapatan yang lebih tinggi daripada yang sebenarnya. Sebagai contoh, laporan pendapatan bersih "purata" di Madinah, Washington, yang dikira sebagai purata aritmetik bagi semua pendapatan bersih tahunan penduduk, akan menghasilkan hasil yang mengejutkan nombor besar kerana Bill Gates. Pertimbangkan sampel (1, 2, 2, 2, 3, 9). Purata aritmetik ialah 3.17, tetapi lima daripada enam nilai berada di bawah purata ini.

Faedah kompaun

Jika nombor membiak, tetapi tidak lipat, anda perlu menggunakan min geometri, bukan min aritmetik. Selalunya, kejadian ini berlaku semasa mengira pulangan pelaburan dalam kewangan.

Sebagai contoh, jika stok jatuh sebanyak 10% pada tahun pertama dan meningkat sebanyak 30% pada tahun kedua, maka adalah tidak betul untuk mengira kenaikan "purata" dalam dua tahun ini sebagai min aritmetik (-10% + 30%) / 2 = 10%; nilai purata yang betul dalam kes ini diberikan oleh kadar pertumbuhan tahunan kumulatif, di mana pertumbuhan tahunan hanya kira-kira 8.16653826392% ≈ 8.2%.

Sebabnya ialah peratusan mempunyai titik permulaan baharu setiap kali: 30% ialah 30%. daripada nombor yang kurang daripada harga pada awal tahun pertama: jika saham berada pada $ 30 pada mulanya dan jatuh 10%, ia adalah pada $ 27 pada awal tahun kedua. Jika stok naik 30%, ia bernilai $ 35.1 pada akhir tahun kedua. Purata aritmetik pertumbuhan ini ialah 10%, tetapi oleh kerana stok hanya $ 5.1 dalam 2 tahun, purata kenaikan 8.2% memberikan hasil akhir sebanyak $ 35.1:

[$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]. Jika kita menggunakan min aritmetik 10% dengan cara yang sama, kita tidak akan mendapat nilai sebenar: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].

Kompaun pada akhir Tahun 2: 90% * 130% = 117% untuk jumlah peningkatan sebanyak 17% dan CAGR sebanyak 117% ≈ 108.2% (\ gaya paparan (\ persegi (117 \%)) \ lebih kurang 108.2 \% ) , iaitu purata pertumbuhan tahunan sebanyak 8.2%.

Arah

Apabila mengira min aritmetik bagi beberapa pembolehubah yang berubah secara kitaran (contohnya, fasa atau sudut), penjagaan khusus harus diambil. Sebagai contoh, purata 1 ° dan 359 ° ialah 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ gaya paparan (\ frac (1 ^ (\ bulatan) +359 ^ (\ bulatan)) (2)) =) 180 °. Nombor ini tidak betul kerana dua sebab.

• Pertama, piawai sudut hanya ditakrifkan untuk julat 0 ° hingga 360 ° (atau 0 hingga 2π apabila diukur dalam radian). Oleh itu, pasangan nombor yang sama boleh ditulis sebagai (1 ° dan −1 °) atau sebagai (1 ° dan 719 °). Purata bagi setiap pasangan adalah berbeza: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ gaya paparan (\ frac (1 ^ (\ bulatan) + (- 1 ^ (\ bulatan))) (2)) = 0 ^ (\ bulatan)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ gaya paparan (\ frac (1 ^ (\ bulatan) +719 ^ (\ bulatan)) (2)) = 360 ^ (\ bulatan)) .
• Kedua, dalam kes ini, 0 ° (bersamaan dengan 360 °) akan menjadi purata geometri yang lebih baik, kerana nombor menyimpang kurang daripada 0 ° daripada mana-mana nilai lain (0 ° mempunyai varians paling sedikit). Bandingkan:
  • nombor 1 ° menyimpang dari 0 ° dengan hanya 1 °;
  • nombor 1 ° menyimpang daripada purata pengiraan 180 ° sebanyak 179 °.

Nilai purata untuk pembolehubah kitaran, yang dikira menggunakan formula di atas, akan dianjakkan secara buatan daripada purata sebenar ke tengah julat angka. Oleh sebab itu, purata dikira dengan cara yang berbeza, iaitu nombor dengan varians paling sedikit ( titik tengah). Selain itu, bukannya menolak, jarak modular (iaitu jarak lilitan) digunakan. Sebagai contoh, jarak modular antara 1 ° dan 359 ° ialah 2 °, bukan 358 ° (pada bulatan antara 359 ° dan 360 ° == 0 ° - satu darjah, antara 0 ° dan 1 ° - juga 1 °, secara keseluruhannya - 2 °).

4.3. Nilai purata. Intipati dan kepentingan purata

Purata dalam statistik, penunjuk generalisasi dipanggil yang mencirikan tahap tipikal fenomena dalam keadaan tempat dan masa tertentu, mencerminkan nilai atribut yang berbeza-beza bagi setiap unit populasi homogen secara kualitatif. Dalam amalan ekonomi, pelbagai penunjuk digunakan, dikira sebagai purata.

Sebagai contoh, penunjuk umum pendapatan pekerja syarikat saham bersama (JSC) ialah purata pendapatan seorang pekerja, ditentukan oleh nisbah dana upah dan bayaran sosial untuk tempoh dalam tinjauan (tahun, suku, bulan) kepada bilangan pekerja dalam AO.

Mengira purata adalah salah satu teknik generalisasi biasa; purata mencerminkan perkara biasa, yang tipikal (tipikal) untuk semua unit populasi yang dikaji, pada masa yang sama ia mengabaikan perbezaan unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya, terdapat gabungan kemalangan dan keperluan. Apabila mengira purata, disebabkan oleh tindakan undang-undang nombor besar, peluang dibatalkan, seimbang, oleh itu, seseorang boleh mengabstrak daripada ciri-ciri fenomena yang tidak penting, dari nilai kuantitatif atribut dalam setiap kes tertentu. Keupayaan untuk abstrak daripada rawak nilai individu, turun naik dan nilai saintifik purata sebagai membuat generalisasi ciri-ciri agregat.

Di mana terdapat keperluan untuk generalisasi, pengiraan ciri sedemikian membawa kepada penggantian banyak nilai individu yang berbeza bagi ciri tersebut purata penunjuk yang mencirikan keseluruhan keseluruhan fenomena, yang memungkinkan untuk mengenal pasti corak yang wujud dalam fenomena sosial massa yang tidak dapat dilihat dalam fenomena individu.

Purata mencerminkan ciri, tipikal, tahap sebenar fenomena yang dikaji, mencirikan tahap ini dan perubahannya dalam masa dan ruang.

Purata ialah ciri ringkasan keteraturan proses dalam keadaan di mana ia berlaku.

4.4. Jenis purata dan cara mengiranya

Pilihan jenis purata ditentukan oleh kandungan ekonomi penunjuk tertentu dan data awal. Dalam setiap kes, satu daripada nilai purata digunakan: aritmetik, garmonik, geometri, kuadratik, kubik dan lain-lain. Purata yang disenaraikan tergolong dalam kelas kuasa undang-undang sederhana.

Selain purata undang-undang kuasa, purata struktur digunakan dalam amalan statistik, yang dianggap sebagai mod dan median.

Marilah kita membincangkan dengan lebih terperinci tentang purata kuasa.

Min aritmetik

Jenis medium yang paling biasa ialah purata aritmetik. Ia digunakan dalam kes di mana isipadu ciri pembolehubah untuk keseluruhan populasi adalah jumlah nilai ciri unit individunya. Fenomena sosial dicirikan oleh ketambahan (penjumlahan) volum atribut pembolehubah, ini menentukan kawasan penggunaan min aritmetik dan menerangkan kelazimannya sebagai penunjuk umum, sebagai contoh: jumlah dana upah ialah jumlah gaji semua pekerja, tuaian kasar ialah jumlah produk yang dihasilkan dari keseluruhan kawasan penanaman.

Untuk mengira min aritmetik, anda perlu membahagikan jumlah semua nilai atribut dengan nombor mereka.

Min aritmetik digunakan dalam bentuk purata mudah dan purata wajaran. Bentuk awal yang menentukan ialah purata mudah.

Min aritmetik mudah adalah sama dengan jumlah mudah nilai individu bagi atribut purata, dibahagikan dengan jumlah bilangan nilai ini (ia digunakan dalam kes di mana terdapat nilai individu yang tidak dikumpulkan bagi atribut tersebut):

di mana
- nilai individu pembolehubah (pilihan); m - bilangan unit dalam populasi.

Selanjutnya, had penjumlahan tidak akan ditunjukkan dalam formula. Sebagai contoh, anda perlu mencari purata keluaran seorang pekerja (tukang kunci) jika anda tahu berapa banyak bahagian yang dibuat oleh setiap 15 pekerja, i.e. beberapa nilai individu ciri diberikan, kepingan:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Min aritmetik mudah dikira dengan formula (4.1), 1 keping:

Bahagian tengah pilihan yang diulang beberapa kali berbeza, atau, seperti yang mereka katakan, mempunyai berat yang berbeza, dipanggil berwajaran. Pemberat ialah bilangan unit dalam kumpulan populasi yang berbeza (pilihan yang sama digabungkan menjadi satu kumpulan).

Min aritmetik berwajaran- purata nilai terkumpul, - dikira dengan formula:

, (4.2)

di mana
- berat (kekerapan pengulangan tanda yang sama);

- jumlah hasil darab magnitud ciri mengikut kekerapannya;

- jumlah bilangan unit dalam populasi.

Kami akan menggambarkan teknik pengiraan purata wajaran aritmetik menggunakan contoh yang dipertimbangkan di atas. Untuk melakukan ini, kami akan mengumpulkan data awal dan meletakkannya dalam jadual. 4.1.

Jadual 4.1

Pengagihan pekerja untuk pengeluaran bahagian

Menurut formula (4.2), purata wajaran aritmetik ialah, pcs .:

Dalam sesetengah kes, pemberat mungkin tidak ditunjukkan nilai mutlak, dan relatif (dalam peratus atau pecahan unit). Kemudian formula untuk purata wajaran aritmetik akan kelihatan seperti:

di mana
- khususnya, i.e. bahagian setiap kekerapan dalam jumlah keseluruhan semua

Jika frekuensi dikira dalam pecahan (pekali), maka
= 1, dan formula untuk purata wajaran aritmetik ialah:

Mengira min aritmetik berwajaran daripada min kumpulan dijalankan mengikut formula:

,

di mana f- bilangan unit dalam setiap kumpulan.

Keputusan pengiraan min aritmetik bagi min kumpulan dibentangkan dalam jadual. 4.2.

Jadual 4.2

Pengagihan pekerja mengikut purata tempoh perkhidmatan

Dalam contoh ini, pilihan bukanlah data individu mengenai tempoh perkhidmatan pekerja individu, tetapi purata bagi setiap bengkel. Libra f ialah bilangan pekerja di kedai. Oleh itu, pengalaman kerja purata pekerja di seluruh perusahaan adalah, tahun:

.

Pengiraan min aritmetik dalam siri taburan

Jika nilai ciri purata dinyatakan dalam bentuk selang ("dari - hingga"), i.e. siri selang taburan, kemudian apabila mengira min aritmetik, titik tengah selang ini diambil sebagai nilai atribut dalam kumpulan, akibatnya siri diskret terbentuk. Pertimbangkan contoh berikut (Jadual 4.3).

Kami beralih dari siri selang kepada yang diskret dengan menggantikan nilai selang dengan nilai min mereka / (min mudah

Jadual 4.3

Pengagihan pekerja JSC mengikut tahap gaji bulanan

nilai selang terbuka (yang pertama dan yang terakhir) secara bersyarat disamakan dengan selang yang bersebelahan dengannya (yang kedua dan yang terakhir).

Dengan pengiraan purata sedemikian, beberapa ketidaktepatan dibenarkan, kerana andaian dibuat tentang keseragaman pengagihan unit atribut dalam kumpulan. Walau bagaimanapun, semakin sempit selang dan lebih banyak unit dalam selang, semakin kecil ralat.

Selepas titik tengah selang ditemui, pengiraan dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam siri diskret - pilihan didarab dengan frekuensi (berat) dan jumlah hasil dibahagikan dengan jumlah frekuensi (berat) , ribu rubel:

.

Jadi, tahap purata gaji pekerja AO ialah 729 rubel. sebulan.

Mengira min aritmetik selalunya memakan masa dan intensif buruh. Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, prosedur untuk mengira purata boleh dipermudahkan dan dipermudahkan dengan menggunakan sifatnya. Mari kita kemukakan (tanpa bukti) beberapa sifat asas min aritmetik.

Harta 1. Jika semua nilai individu bagi sesuatu ciri (iaitu. semua pilihan) menurun atau meningkat dalam ikali, kemudian purata ciri baharu itu akan berkurangan atau bertambah isekali.

Harta 2. Jika semua varian ciri purata berkuranganmenjahit atau menambah dengan nombor A, maka min aritmetik sepadansebenarnya akan berkurangan atau bertambah dengan bilangan A yang sama.

Harta 3. Jika berat semua pilihan purata dikurangkan atau meningkat dalam Kepada kali, maka min aritmetik tidak akan berubah.

Daripada penunjuk mutlak, anda boleh gunakan sebagai berat purata berat tertentu secara keseluruhan (saham atau peratusan). Ini memudahkan pengiraan purata.

Untuk memudahkan pengiraan purata, mereka mengikuti laluan penurunan nilai varian dan frekuensi. Penyederhanaan terbesar dicapai apabila, sebagai A nilai salah satu varian pusat dengan frekuensi tertinggi dipilih, sebagai / ialah nilai selang (untuk baris dengan selang yang sama). Kuantiti A dipanggil asal, oleh itu kaedah pengiraan purata ini dipanggil "kaedah mengira dari sifar bersyarat" atau "Cara detik-detik itu."

Mari kita anggap bahawa semua pilihan NS mula-mula dikurangkan dengan nombor yang sama A, dan kemudian dikurangkan dengan i sekali. Kami mendapat siri variasi baharu pengedaran pilihan baharu .

Kemudian pilihan baharu akan diungkapkan:

,

dan min aritmetik baharu mereka , -detik pesanan pertama-formula:

.

Ia sama dengan purata pilihan asal, mula-mula dikurangkan dengan A, dan kemudian masuk i sekali.

Untuk mendapatkan purata sebenar, momen pesanan pertama diperlukan m 1 , darab dengan i dan tambah A:

.

Kaedah ini mengira min aritmetik daripada satu siri variasi dipanggil "Cara detik-detik itu." Kaedah ini digunakan dalam baris pada selang waktu yang sama.

Pengiraan min aritmetik dengan kaedah momen digambarkan oleh data dalam Jadual. 4.4.

Jadual 4.4

Pengagihan perusahaan kecil di rantau ini mengikut nilai aset tetap (OPF) pada tahun 2000

Cari detik pesanan pertama

.

Kemudian, mengambil A = 19 dan mengetahuinya i= 2, kira NS, ribu rubel.:

Jenis purata dan kaedah untuk pengiraannya

Pada peringkat pemprosesan statistik, pelbagai tugas penyelidikan boleh ditetapkan, untuk penyelesaian yang mana purata yang sesuai mesti dipilih. Dalam kes ini, perlu dipandu oleh peraturan berikut: nilai yang mewakili pengangka dan penyebut purata mestilah berkaitan secara logik.

• purata kuasa;
• purata struktur.

Mari kita perkenalkan konvensyen berikut:

Nilai yang dikira purata;

Purata, di mana garis di atas menunjukkan bahawa terdapat purata nilai individu;

Kekerapan (kebolehulangan nilai individu bagi sesuatu ciri).

Pelbagai purata diperoleh daripada formula min kuasa am:

(5.1)

untuk k = 1 - min aritmetik; k = -1 - harmonik purata; k = 0 - min geometri; k = -2 - punca min kuasa dua.

Nilai purata adalah mudah dan berwajaran. Purata wajaran mereka memanggil nilai yang mengambil kira bahawa beberapa pilihan untuk nilai sifat mungkin mempunyai nombor yang berbeza, dan oleh itu setiap pilihan perlu didarab dengan nombor ini. Dengan kata lain, "berat" ialah bilangan unit populasi dalam kumpulan yang berbeza, i.e. setiap pilihan "ditimbang" mengikut kekerapannya. Frekuensi f dipanggil berat statistik atau purata berat.

Min aritmetik- jenis medium yang paling biasa. Ia digunakan apabila pengiraan dijalankan pada data statistik bukan berkumpulan, di mana anda ingin mendapatkan istilah purata. Min aritmetik ialah nilai purata bagi sesuatu ciri, apabila menerimanya, jumlah volum ciri dalam agregat kekal tidak berubah.

Rumus min aritmetik ( ringkas) mempunyai bentuk

di mana n ialah saiz populasi.

Sebagai contoh, gaji purata pekerja sesebuah perusahaan dikira sebagai min aritmetik:

Penunjuk yang menentukan di sini ialah gaji setiap pekerja dan bilangan pekerja perusahaan. Apabila mengira purata, jumlah gaji kekal sama, tetapi diagihkan, seolah-olah, di kalangan semua pekerja secara sama rata. Sebagai contoh, anda perlu mengira purata gaji pekerja di sebuah syarikat kecil di mana 8 orang bekerja:

Apabila mengira nilai purata, nilai individu atribut, yang dipuratakan, boleh diulang, oleh itu, nilai purata dikira mengikut data terkumpul. Dalam kes ini ia datang tentang menggunakan min aritmetik berwajaran yang mempunyai bentuk

(5.3)

Jadi, kita perlu mengira purata harga saham beberapa syarikat saham bersama di perdagangan bursa saham. Adalah diketahui bahawa urus niaga telah dijalankan dalam tempoh 5 hari (5 urus niaga), bilangan saham yang dijual pada kadar jualan diagihkan seperti berikut:

1 - 800 ac. - 1010 rubel.

2 - 650 ac. - 990 rubel.

3 - 700 ac. - 1015 rubel.

4 - 550 ac. - 900 rubel.

5 - 850 ac. - 1150 rubel.

Nisbah awal untuk menentukan harga saham purata ialah nisbah jumlah urus niaga (OSS) kepada bilangan saham yang dijual (KPA).

Nilai purata tersebar luas dalam statistik. Nilai purata mencirikan penunjuk kualitatif aktiviti komersial: kos pengedaran, keuntungan, keuntungan, dll.

Purata adalah salah satu generalisasi biasa. Pemahaman yang betul tentang intipati purata menentukan kepentingan khasnya dalam keadaan ekonomi pasaran, apabila purata, melalui tunggal dan rawak, memungkinkan untuk mengenal pasti umum dan perlu, untuk mendedahkan kecenderungan undang-undang ekonomi. pembangunan.

nilai purata adalah penunjuk umum di mana tindakan dinyatakan syarat am, corak fenomena yang dikaji.

Purata statistik dikira berdasarkan data jisim pemerhatian jisim tersusun secara statistik dengan betul (berterusan dan terpilih). Walau bagaimanapun, purata statistik akan menjadi objektif dan tipikal jika ia dikira daripada data jisim untuk populasi homogen secara kualitatif (fenomena jisim). Sebagai contoh, jika anda mengira gaji purata dalam koperasi dan perusahaan milik negara, dan memanjangkan hasilnya kepada seluruh penduduk, maka purata adalah rekaan, kerana ia dikira untuk populasi heterogen, dan purata sedemikian kehilangan semua makna.

Dengan bantuan purata, terdapat, seolah-olah, melicinkan perbezaan dalam nilai atribut, yang timbul untuk satu sebab atau yang lain dalam unit pemerhatian individu.

Sebagai contoh, output purata jurujual bergantung pada banyak sebab: kelayakan, tempoh perkhidmatan, umur, bentuk perkhidmatan, kesihatan, dsb.

Purata keluaran mencerminkan harta umum seluruh penduduk.

Nilai purata adalah cerminan nilai sifat yang dikaji, oleh itu, ia diukur dalam dimensi yang sama dengan sifat ini.

Setiap nilai purata mencirikan populasi yang dikaji untuk mana-mana satu kriteria. Untuk mendapatkan gambaran lengkap dan menyeluruh tentang populasi yang dikaji untuk beberapa ciri penting, secara amnya, adalah perlu untuk mempunyai sistem nilai purata yang boleh menggambarkan fenomena dari sudut yang berbeza.

Terdapat pelbagai purata:

min aritmetik;

min geometri;

purata harmonik;

punca purata kuasa dua;

kronologi purata.

Mari kita pertimbangkan beberapa jenis purata yang paling kerap digunakan dalam statistik.

Min aritmetik

Min aritmetik mudah (tidak berwajaran) adalah sama dengan jumlah nilai individu atribut, dibahagikan dengan bilangan nilai ini.

Nilai individu atribut dipanggil varian dan dilambangkan dengan x (); bilangan unit dalam populasi dilambangkan dengan n, nilai purata ciri dilambangkan dengan ... Oleh itu, min aritmetik mudah ialah:

Menurut data siri pengedaran diskret, dapat dilihat bahawa nilai atribut (varian) yang sama diulang beberapa kali. Jadi, pilihan x berlaku secara agregat 2 kali, dan pilihan x - 16 kali, dsb.

Bilangan nilai yang sama ciri dalam siri pengedaran dipanggil kekerapan atau berat dan dilambangkan dengan simbol n.

Mari kita mengira purata gaji seorang pekerja dalam rubel:

Bil gaji untuk setiap kumpulan pekerja adalah sama dengan produk pilihan mengikut kekerapan, dan jumlah produk ini memberikan jumlah bil gaji semua pekerja.

Selaras dengan ini, pengiraan boleh dibentangkan dalam bentuk umum:

Formula yang terhasil dipanggil min aritmetik berwajaran.

Bahan statistik hasil pemprosesan boleh dipersembahkan bukan sahaja dalam bentuk siri pengedaran diskret, tetapi juga dalam bentuk siri variasi selang dengan selang tertutup atau terbuka.

Pengiraan purata bagi data terkumpul dibuat mengikut formula purata wajaran aritmetik:

Dalam amalan statistik ekonomi, kadangkala perlu mengira purata mengikut cara kumpulan atau melalui bahagian individu penduduk (cara persendirian). Dalam kes sedemikian, purata kumpulan atau separa diambil sebagai pilihan (x), berdasarkan jumlah purata dikira sebagai min aritmetik wajaran biasa.

Sifat asas bagi min aritmetik .

Purata aritmetik mempunyai beberapa sifat:

1. Daripada penurunan atau peningkatan dalam frekuensi setiap nilai atribut x dalam n kali, nilai min aritmetik tidak akan berubah.

Jika semua frekuensi dibahagikan atau didarab dengan sebarang nombor, maka nilai purata tidak akan berubah.

2. Faktor sepunya nilai individu bagi atribut boleh diambil daripada tanda min:

3. Purata jumlah (perbezaan) dua atau lebih nilai adalah sama dengan jumlah (perbezaan) purata mereka:

4. Jika x = c, dengan c ialah pemalar, maka
.

5. Jumlah sisihan nilai atribut X daripada min aritmetik x adalah sama dengan sifar:

Purata harmonik.

Bersama-sama dengan min aritmetik, statistik menggunakan min harmonik, salingan min aritmetik bagi nilai salingan atribut. Seperti min aritmetik, ia boleh menjadi mudah dan berwajaran.

Ciri-ciri siri variasi, bersama-sama dengan min, ialah mod dan median.

Fesyen - Ini ialah nilai ciri (pilihan), yang paling kerap diulang dalam populasi yang dikaji. Untuk siri pengedaran diskret, mod akan menjadi nilai varian dengan frekuensi tertinggi.

Untuk siri selang taburan dengan selang yang sama, mod ditentukan oleh formula:

di mana
- nilai awal selang yang mengandungi mod;

- nilai selang modal;

- kekerapan selang modal;

- kekerapan selang sebelum modal;

ialah kekerapan selang berikutan modal.

Median - ini ialah varian yang terletak di tengah-tengah siri variasi. Jika siri pengedaran adalah diskret dan mempunyai bilangan ahli yang ganjil, maka median akan menjadi pilihan yang terletak di tengah-tengah baris tertib (baris tertib ialah susunan unit populasi dalam tertib menaik atau menurun).

Dalam pengiraan min hilang.

Purata maksudnya set nombor adalah sama dengan jumlah nombor S dibahagikan dengan nombor nombor ini. Iaitu, ternyata begitu purata maksudnya sama dengan: 19/4 = 4.75.

catatan

Jika anda perlu mencari min geometri untuk hanya dua nombor, maka anda tidak memerlukan kalkulator kejuruteraan: ekstrak punca darjah kedua ( Punca kuasa dua) daripada sebarang nombor menggunakan kalkulator yang paling biasa.

Nasihat yang berguna

Tidak seperti min aritmetik, min geometri tidak begitu kuat dipengaruhi oleh sisihan besar dan turun naik antara nilai individu dalam set penunjuk yang dikaji.

Sumber:

• kalkulator dalam talian min geometri
• purata formula geometri

Purata nilai adalah salah satu ciri set nombor. Mewakili nombor yang tidak boleh berada di luar julat yang ditakrifkan oleh nilai terbesar dan terkecil dalam set nombor ini. Purata aritmetik ialah jenis purata yang paling biasa digunakan.

Arahan

Tambahkan semua nombor dalam set dan bahagikan dengan bilangan sebutan untuk mendapatkan min aritmetik. Bergantung pada syarat khusus pengiraan, kadangkala lebih mudah untuk membahagikan setiap nombor dengan bilangan nilai dalam set dan menjumlahkan hasilnya.

Gunakan, sebagai contoh, yang disertakan dengan Windows, jika tidak mungkin untuk mengira min aritmetik dalam kepala anda. Anda boleh membukanya menggunakan dialog pelancaran program. Untuk melakukan ini, tekan "kekunci panas" WIN + R atau klik butang "Mula" dan pilih arahan "Jalankan" dalam menu utama. Kemudian taip calc dalam medan input dan tekan Enter atau klik butang OK. Perkara yang sama boleh dilakukan melalui menu utama - bukanya, pergi ke bahagian "Semua program" dan dalam bahagian "Standard" dan pilih baris "Kalkulator".

Masukkan semua nombor dalam set secara berurutan dengan menekan kekunci Tambah selepas setiap satu daripada mereka (kecuali yang terakhir) atau dengan mengklik butang yang sepadan dalam antara muka kalkulator. Anda juga boleh memasukkan nombor dari papan kekunci dan dengan mengklik butang yang sepadan pada antara muka.

Tekan kekunci slash ke hadapan atau klik ini dalam antara muka kalkulator selepas memasukkan nilai terakhir set dan taipkan bilangan nombor dalam urutan. Kemudian tekan tanda sama dan kalkulator akan mengira dan memaparkan min aritmetik.

Anda boleh menggunakan editor hamparan Microsoft Excel untuk tujuan yang sama. Dalam kes ini, mulakan editor dan masukkan semua nilai urutan nombor dalam sel bersebelahan. Jika selepas memasukkan setiap nombor anda menekan Enter atau kekunci anak panah ke bawah atau kanan, editor itu sendiri akan mengalihkan fokus input ke sel bersebelahan.

Klik sel di sebelah nombor yang terakhir dimasukkan jika anda tidak berpuas hati dengan hanya melihat min aritmetik. Kembangkan menu lungsur dengan arahan Greek sigma (Σ) "Edit" pada tab "Home". Pilih baris " Purata"Dan editor akan memasukkan formula yang diperlukan untuk mengira purata nilai aritmetik ke dalam sel yang diserlahkan. Tekan kekunci Enter dan nilai akan dikira.

Min aritmetik adalah salah satu ukuran arah aliran pusat yang digunakan secara meluas dalam pengiraan matematik dan statistik. Sangat mudah untuk mencari min aritmetik untuk beberapa nilai, tetapi setiap tugas mempunyai nuansa tersendiri, yang hanya perlu diketahui untuk melakukan pengiraan yang betul.

Apakah maksud aritmetik

Bagaimana untuk mencari min aritmetik

Ciri bekerja dengan nombor negatif

1. Mencari jumlah min aritmetik dengan kaedah piawai;
2. Mencari min aritmetik bagi nombor negatif.
3. Pengiraan min aritmetik bagi nombor positif.

Jawapan kepada setiap tindakan ditulis dipisahkan dengan koma.

Pecahan semula jadi dan perpuluhan

Apabila bekerja dengan pecahan semula jadi mereka harus dikurangkan kepada penyebut biasa, yang didarab dengan bilangan nombor dalam tatasusunan. Pengangka jawapan akan menjadi jumlah pengangka yang diberikan bagi unsur pecahan asal.

• Kalkulator kejuruteraan.

Arahan

Perlu diingat bahawa dalam kes am purata nombor geometri didapati dengan mendarab nombor ini dan mengekstrak punca kuasa daripadanya, yang sepadan dengan bilangan nombor. Sebagai contoh, jika anda perlu mencari min geometri bagi lima nombor, maka anda perlu mengekstrak punca kuasa daripada hasil darab.

Gunakan peraturan asas untuk mencari min geometri bagi dua nombor. Cari produk mereka, dan kemudian ekstrak punca kuasa dua daripadanya, kerana nombor adalah dua, yang sepadan dengan kuasa punca. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi 16 dan 4, cari hasil darabnya 16 4 = 64. Daripada nombor yang terhasil, ekstrak punca kuasa dua bagi √64 = 8. Ini akan menjadi nilai yang diperlukan... Ambil perhatian bahawa min aritmetik kedua-dua nombor ini adalah lebih besar daripada dan sama dengan 10. Jika punca tidak diekstrak sepenuhnya, bulatkan hasilnya kepada susunan yang dikehendaki.

Untuk mencari min geometri bagi lebih daripada dua nombor, gunakan juga peraturan asas. Untuk melakukan ini, cari hasil darab semua nombor yang anda perlukan untuk mencari min geometri. Daripada produk yang terhasil, ekstrak punca kuasa yang sama dengan bilangan nombor. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 2, 4, dan 64, cari hasil darabnya. 2 4 64 = 512. Oleh kerana anda perlu mencari hasil min geometri bagi tiga nombor, ekstrak punca darjah ketiga daripada hasil darab. Sukar untuk melakukan ini secara lisan, jadi gunakan kalkulator kejuruteraan. Untuk melakukan ini, ia mempunyai butang "x ^ y". Dail nombor 512, tekan butang "x ^ y", kemudian dail nombor 3 dan tekan butang "1 / x" untuk mencari nilai 1/3, tekan butang "=". Kami mendapat hasil menaikkan 512 kepada kuasa 1/3, yang sepadan dengan akar kuasa ketiga. Dapatkan 512 ^ 1/3 = 8. Ini ialah min geometri bagi 2.4 dan 64.

Menggunakan kalkulator kejuruteraan, anda boleh mencari min geometri dengan cara yang berbeza. Cari butang log pada papan kekunci anda. Selepas itu, ambil logaritma bagi setiap nombor, cari jumlahnya dan bahagikannya dengan bilangan nombor. Ambil antilogaritma daripada nombor yang terhasil. Ini akan menjadi min geometri bagi nombor. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 2, 4 dan 64 yang sama, lakukan satu set operasi pada kalkulator. Dail nombor 2, kemudian tekan butang log, tekan butang "+", dail nombor 4 dan tekan log dan "+" sekali lagi, dail 64, tekan log dan "=". Hasilnya ialah nombor yang sama dengan jumlah logaritma perpuluhan bagi nombor 2, 4 dan 64. Bahagikan nombor yang terhasil dengan 3, kerana ini ialah bilangan nombor yang mana min geometri dicari. Daripada hasilnya, ambil antilogaritma dengan menogol butang kes dan gunakan kekunci log yang sama. Hasilnya ialah nombor 8, ini adalah min geometri yang dikehendaki.