Tahap pertama

Janjang geometri. Panduan yang komprehensif dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Jadi mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak yang anda suka (dalam kes kami, mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu yang pertama, yang mana yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor -th) sentiasa satu.

Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli urutan ke-.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini:.

Dalam kes kami:

Jenis janjang yang paling biasa ialah aritmetik dan geometri. Dalam benang ini, kita akan bercakap tentang jenis kedua - janjang geometri.

Mengapakah kita memerlukan janjang geometri dan sejarah asalnya.

Malah pada zaman purba, ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa (lebih dikenali sebagai Fibonacci) terlibat dalam menyelesaikan keperluan praktikal perdagangan. Rahib itu dihadapkan dengan tugas untuk menentukan dengan bantuan jumlah berat paling sedikit yang mungkin untuk menimbang barang? Dalam tulisannya, Fibonacci membuktikan bahawa sistem pemberat sedemikian adalah optimum: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang terpaksa menghadapi perkembangan geometri, yang mungkin anda pernah dengar dan sekurang-kurangnya mempunyai konsep umum... Setelah anda memahami sepenuhnya topik tersebut, fikirkan mengapa sistem sedemikian adalah optimum?

Pada masa ini, dalam amalan hidup, janjang geometri menampakkan diri apabila melabur wang dalam bank, apabila jumlah faedah dikenakan ke atas jumlah terkumpul dalam akaun untuk tempoh sebelumnya. Dalam erti kata lain, jika anda meletakkan wang pada deposit berjangka di bank simpanan, maka dalam setahun deposit akan meningkat lebih daripada jumlah asal, i.e. jumlah baru akan sama dengan deposit didarab dengan. Pada tahun yang lain, jumlah ini akan meningkat sebanyak, i.e. jumlah yang diperoleh pada masa itu akan didarabkan lagi dan seterusnya. Keadaan yang sama diterangkan dalam masalah mengira apa yang dipanggil faedah kompaun- peratusan diambil setiap kali daripada jumlah pada akaun, dengan mengambil kira faedah sebelumnya. Kami akan bercakap mengenai tugas-tugas ini sedikit kemudian.

Terdapat banyak lagi kes mudah di mana janjang geometri digunakan. Sebagai contoh, penyebaran influenza: satu orang menjangkiti seseorang, mereka, seterusnya, menjangkiti orang lain, dan dengan itu gelombang kedua jangkitan adalah seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menjangkiti orang lain ... dan seterusnya .. .

By the way, piramid kewangan, MMM yang sama, adalah pengiraan yang mudah dan kering berdasarkan sifat janjang geometri. menarik? Mari kita fikirkan.

Janjang geometri.

Katakan kita mempunyai urutan berangka:

Anda akan segera menjawab bahawa ia adalah mudah dan nama urutan sedemikian - janjang aritmetik dengan perbezaan ahlinya. Bagaimana pula ini:

Jika anda menolak yang sebelumnya daripada nombor seterusnya, maka anda akan melihat bahawa setiap kali perbezaan baru diperoleh (dan seterusnya), tetapi urutan itu pasti wujud dan mudah untuk diperhatikan - setiap nombor seterusnya adalah kali lebih besar daripada sebelumnya. satu!

Urutan nombor jenis ini dipanggil janjang geometri dan ditunjukkan oleh.

Janjang geometri () ialah jujukan berangka, sebutan pertamanya bukan sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

Sekatan bahawa sebutan pertama () tidak sama dan tidak rawak. Katakan tidak ada, dan sebutan pertama masih sama, dan q adalah sama, hmm .. mari, maka ternyata:

Setuju bahawa ini bukan lagi sebarang perkembangan.

Seperti yang anda faham, kami akan mendapat keputusan yang sama jika ia adalah sebarang nombor selain sifar, dan. Dalam kes ini, tidak akan ada janjang, kerana keseluruhan siri nombor akan sama ada semua sifar, atau satu nombor, dan semua sifar lain.

Sekarang mari kita bercakap dengan lebih terperinci tentang penyebut janjang geometri, iaitu, Fr.

Mari kita ulangi: ialah nombor, berapa kali setiap penggal seterusnya berubah janjang geometri.

Apa yang anda fikir ia boleh menjadi? Betul, positif dan negatif, tetapi bukan sifar (kami bercakap tentang ini lebih tinggi sedikit).

Katakan kita mempunyai yang positif. Biar dalam kes kita juga. Apakah penggal kedua dan? Anda boleh menjawabnya dengan mudah:

Semuanya betul. Sehubungan itu, jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif.

Bagaimana jika negatif? Contohnya, a. Apakah penggal kedua dan?

Ini adalah cerita yang sama sekali berbeza.

Cuba kira istilah janjang ini. Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada. Oleh itu, jika, maka tanda-tanda ahli janjang geometri itu silih berganti. Iaitu, jika anda melihat janjang dengan tanda berselang-seli pada ahlinya, maka penyebutnya adalah negatif. Pengetahuan ini boleh membantu anda menguji diri anda semasa menyelesaikan masalah mengenai topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang geometri, dan yang aritmetik:

Faham? Mari bandingkan jawapan kami:

• Janjang geometri - 3, 6.
• Janjang aritmetik - 2, 4.
• Ia bukan janjang aritmetik mahupun geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke janjang terakhir kita, dan cuba mencari istilahnya dengan cara yang sama seperti dalam aritmetik. Seperti yang anda fikirkan, terdapat dua cara untuk mencarinya.

Kami mendarabkan setiap sebutan dengan berturut-turut.

Jadi, ahli ke janjang geometri yang diterangkan adalah sama dengan.

Seperti yang anda fikirkan, kini anda sendiri akan menyimpulkan formula yang akan membantu anda mencari mana-mana ahli janjang geometri. Atau adakah anda sudah mengeluarkannya untuk diri sendiri, menerangkan cara mencari ahli itu langkah demi langkah? Jika ya, maka semak ketepatan alasan anda.

Mari kita jelaskan ini dengan contoh mencari ahli ke-kepada janjang yang diberikan:

Dalam kata lain:

Cari sendiri nilai ahli janjang geometri tertentu.

Terjadi? Mari bandingkan jawapan kami:

Beri perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kita didarab berturut-turut dengan setiap sebutan sebelumnya bagi janjang geometri.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini - kami akan membawanya ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Formula terbitan adalah betul untuk semua nilai, baik positif dan negatif. Semak sendiri dengan mengira ahli janjang geometri dengan syarat berikut:, a.

Adakah anda mengiranya? Mari bandingkan keputusan yang diperoleh:

Setuju bahawa adalah mungkin untuk mencari ahli perkembangan dengan cara yang sama seperti ahli, namun, terdapat kemungkinan pengiraan yang salah. Dan jika kita telah menemui istilah ke-janjang geometri, maka apa yang lebih mudah daripada menggunakan bahagian "potong" formula.

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

Baru-baru ini, kami bercakap tentang fakta bahawa mungkin terdapat lebih dan kurang daripada sifar, walau bagaimanapun, terdapat makna khas yang dipanggil janjang geometri semakin berkurangan.

Mengapa anda fikir nama sedemikian?
Mula-mula, mari kita tulis beberapa janjang geometri yang terdiri daripada ahli.
Katakan, a, maka:

Kami melihat bahawa setiap sebutan berikutnya adalah kurang daripada faktor sebelumnya satu demi satu, tetapi adakah terdapat sebarang nombor? Anda akan segera menjawab tidak. Itulah sebabnya penurunan yang tidak terhingga - berkurangan, berkurangan, dan tidak pernah menjadi sifar.

Untuk memahami dengan jelas bagaimana ia kelihatan secara visual, mari cuba lukis graf perkembangan kami. Jadi, untuk kes kami, formula mengambil bentuk berikut:

Adalah menjadi kebiasaan bagi kita untuk membina pergantungan pada carta, oleh itu:

Intipati ungkapan tidak berubah: dalam entri pertama, kami menunjukkan pergantungan nilai ahli janjang geometri pada nombor ordinalnya, dan dalam entri kedua, kami hanya mengambil nilai istilah janjang geometri sebagai, dan nombor ordinal ditetapkan bukan bagaimana, tetapi bagaimana. Apa yang perlu dilakukan ialah membina graf.
Mari lihat apa yang anda dapat. Inilah graf yang saya dapat:

Nampak? Fungsi berkurangan, cenderung kepada sifar, tetapi tidak pernah melepasinya, jadi ia berkurangan secara tidak terhingga. Mari kita tandai titik kita pada graf, dan pada masa yang sama apakah koordinat dan maksudnya:

Cuba gambarkan secara skematik graf janjang geometri apabila, jika sebutan pertamanya juga sama. Analisis, apakah perbezaannya dengan carta kami sebelum ini?

Adakah anda berjaya? Inilah graf yang saya dapat:

Memandangkan anda telah memahami sepenuhnya asas tema janjang geometri: anda tahu apa itu, anda tahu cara mencari istilahnya, dan anda juga tahu apa itu janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga, mari kita beralih kepada sifat utamanya.

Sifat janjang geometri.

Adakah anda masih ingat harta ahli janjang aritmetik? Ya, ya, bagaimana untuk mencari nilai nombor janjang tertentu, apabila terdapat nilai sebelumnya dan seterusnya ahli janjang tertentu. teringat? ini:

Sekarang kita berhadapan dengan soalan yang sama untuk ahli janjang geometri. Untuk mendapatkan formula yang serupa, mari kita mula melukis dan membuat penaakulan. Anda akan lihat, ia sangat mudah, dan jika anda terlupa, anda boleh mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil satu lagi janjang geometri mudah yang kita tahu dan. Bagaimana untuk mencari? Dengan janjang aritmetik, ini mudah dan ringkas, tetapi bagaimana dengan di sini? Malah, dalam geometri juga, tidak ada yang rumit - anda hanya perlu menulis setiap nilai yang diberikan kepada kami mengikut formula.

Anda bertanya, dan apa yang perlu kita lakukan dengan ini sekarang? Ia sangat mudah. Sebagai permulaan, kami akan menggambarkan formula ini dalam rajah, dan cuba melakukan pelbagai manipulasi dengannya untuk mencapai nilai.

Kami abstrak daripada nombor yang diberikan kepada kami, kami akan fokus hanya untuk menyatakannya melalui formula. Kita perlu mencari nilai yang diserlahkan oren mengenali jirannya. Mari cuba lakukan dengan mereka pelbagai tindakan, akibatnya kita boleh dapatkan.

Penambahan.
Mari cuba tambah dua ungkapan dan, kita dapat:

Daripada ungkapan ini, seperti yang anda lihat, kami tidak boleh menyatakan dalam apa-apa cara, oleh itu, kami akan mencuba pilihan lain - penolakan.

Penolakan.

Seperti yang anda lihat, kami juga tidak boleh menyatakan daripada ini, oleh itu, kami akan cuba mendarabkan ungkapan ini dengan satu sama lain.

Pendaraban.

Sekarang lihat dengan teliti apa yang kita ada, darabkan ahli janjang geometri yang diberikan kepada kita berbanding dengan apa yang perlu dijumpai:

Cuba teka apa yang saya cakapkan? Betul, untuk mencari kita perlu ambil Punca kuasa dua daripada nombor janjang geometri yang didarab dengan satu sama lain bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki:

Baiklah. Anda sendiri telah menyimpulkan sifat janjang geometri. Cuba tulis formula ini Pandangan umum... Terjadi?

Lupa syarat untuk? Fikirkan mengapa ia penting, sebagai contoh, cuba kira sendiri, jika. Apa yang berlaku dalam kes ini? Betul, karut lengkap kerana formulanya kelihatan seperti ini:

Oleh itu, jangan lupa had ini.

Sekarang mari kita mengira apa yang sama dengan

Jawapan yang betul - ! Jika, semasa mengira, anda tidak melupakan nilai kedua yang mungkin, maka anda adalah rakan yang hebat dan anda boleh meneruskan latihan dengan segera, dan jika anda terlupa, baca apa yang dibincangkan di bawah dan perhatikan mengapa perlu menulis kedua-duanya akar dalam jawapan.

Mari kita lukis kedua-dua janjang geometri kita - satu dengan makna, dan satu lagi dengan makna dan semak sama ada kedua-duanya mempunyai hak untuk wujud:

Untuk menyemak sama ada janjang geometri sedemikian wujud atau tidak, adalah perlu untuk melihat sama ada ia adalah sama antara semua ahli yang diberikan? Hitung q untuk kes pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita perlu menulis dua jawapan? Kerana tanda istilah yang diperlukan bergantung kepada sama ada ia positif atau negatif! Dan kerana kita tidak tahu apa dia, kita perlu menulis kedua-dua jawapan dengan tambah dan tolak.

Sekarang anda telah menguasai perkara utama dan memperoleh formula untuk sifat janjang geometri, cari, mengetahui dan

Bandingkan jawapan yang diterima dengan yang betul:

Apa pendapat anda, bagaimana jika kita diberi bukan nilai ahli janjang geometri yang bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki, tetapi sama jarak daripadanya. Sebagai contoh, kita perlu mencari, dan diberi dan. Bolehkah kita dalam kes ini menggunakan formula yang kita perolehi? Cuba sahkan atau nafikan kemungkinan ini dengan cara yang sama, tuliskan kandungan setiap nilai, seperti yang anda lakukan semasa mula-mula memperoleh formula, untuk.
Apa yang awak buat?

Sekarang lihat dengan teliti sekali lagi.
dan sepadan:

Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa formula berfungsi bukan sahaja dengan jiran dengan syarat yang diperlukan bagi janjang geometri, tetapi juga dengan jarak yang sama daripada ahli yang dicari.

Oleh itu, formula awal kami mengambil bentuk:

Iaitu, jika dalam kes pertama kita berkata demikian, sekarang kita mengatakan bahawa ia boleh sama dengan mana-mana nombor asli yang kurang. Perkara utama adalah sama untuk kedua-dua nombor yang diberikan.

Berlatih pada contoh khusus, hanya berhati-hati!

1. ,. Cari.
2. ,. Cari.
3. ,. Cari.

Memutuskan? Saya harap anda sangat prihatin dan perasan sedikit tangkapan.

Kami membandingkan hasilnya.

Dalam dua kes pertama, kami menggunakan formula di atas dengan tenang dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kes ketiga, setelah mempertimbangkan dengan teliti nombor ordinal nombor yang diberikan kepada kami, kami faham bahawa ia tidak sama jarak dengan nombor yang kami cari: ia adalah nombor sebelumnya, tetapi dialihkan dalam kedudukan, jadi tidak mungkin. untuk menggunakan formula.

Bagaimana untuk menyelesaikannya? Ia sebenarnya tidak sesukar yang didengari! Mari catatkan bersama anda apa yang terdiri daripada setiap nombor yang diberikan kepada kami dan nombor yang diperlukan.

Jadi, kita ada dan. Mari lihat apa yang boleh kita lakukan dengan mereka? Saya mencadangkan untuk membahagikan dengan. Kita mendapatkan:

Kami menggantikan data kami ke dalam formula:

Langkah seterusnya yang boleh kita temui - untuk ini kita perlu ambil akar padu daripada nombor yang terhasil.

Dan sekarang kita lihat sekali lagi apa yang kita ada. Kita ada, tetapi kita perlu mencari, dan dia, pada gilirannya, adalah sama dengan:

Kami menemui semua data yang diperlukan untuk pengiraan. Gantikan dalam formula:

Jawapan kami: .

Cuba selesaikan masalah serupa yang lain sendiri:
Diberi:,
Cari:

Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada - .

Seperti yang anda lihat, sebenarnya, anda perlukan ingat hanya satu formula-. Anda boleh mengeluarkan semua yang selebihnya tanpa sebarang kesulitan pada bila-bila masa. Untuk melakukan ini, hanya tulis janjang geometri yang paling mudah pada sekeping kertas dan tuliskan apa, mengikut formula di atas, setiap nombornya adalah sama.

Jumlah ahli janjang geometri.

Sekarang pertimbangkan formula yang membolehkan kita mengira dengan cepat jumlah ahli janjang geometri dalam selang tertentu:

Untuk mendapatkan formula bagi jumlah ahli janjang geometri terhingga, kita darabkan semua bahagian persamaan yang lebih tinggi dengan. Kita mendapatkan:

Lihat dengan teliti: apakah persamaan dua formula terakhir? Betul, ahli biasa, contohnya, dan sebagainya, kecuali ahli pertama dan terakhir. Mari cuba tolak 1 daripada persamaan ke-2. Apa yang awak buat?

Sekarang nyatakan istilah janjang geometri melalui formula dan gantikan ungkapan yang terhasil dalam formula terakhir kami:

Kumpulan ungkapan. Anda sepatutnya mendapat:

Apa yang perlu dilakukan hanyalah menyatakan:

Sehubungan itu, dalam kes ini.

Bagaimana jika? Apakah formula yang berfungsi kemudian? Bayangkan satu janjang geometri di. Apa yang dia suka? Dengan betul satu siri nombor yang sama, masing-masing, formula akan kelihatan seperti ini:

Terdapat banyak lagenda dalam janjang aritmetik dan geometri. Salah seorang daripada mereka ialah legenda Seth, pencipta catur.

Ramai orang tahu bahawa permainan catur dicipta di India. Apabila raja Hindu bertemu dengannya, baginda gembira dengan kecerdasannya dan pelbagai kemungkinan kedudukan dalam dirinya. Setelah mengetahui bahawa ia dicipta oleh salah seorang rakyatnya, raja memutuskan untuk memberi ganjaran secara peribadi kepadanya. Dia memanggil pencipta kepadanya dan memerintahkan untuk memintanya untuk apa sahaja yang dia mahu, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling mahir sekalipun.

Seta meminta masa untuk berfikir, dan apabila keesokan harinya Seta menampakkan diri kepada raja, dia mengejutkan raja dengan kesopanan yang tiada tandingan permintaannya. Dia meminta untuk mengeluarkan sebutir gandum untuk sel pertama papan catur, untuk biji gandum kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dsb.

Raja marah dan menghalau Set, dengan mengatakan bahawa permintaan hamba itu tidak layak untuk kemurahan hati diraja, tetapi berjanji bahawa hamba akan menerima bijirinnya untuk semua sel dewan.

Dan sekarang persoalannya: menggunakan formula untuk jumlah ahli janjang geometri, hitung berapa banyak butir yang perlu diterima oleh Seta?

Mari kita mulakan alasan. Oleh kerana, mengikut syarat, Seta meminta sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dan lain-lain, kita melihat bahawa dalam masalah itu. ia datang tentang janjang geometri. Apakah yang sama dalam kes ini?
Betul.

Jumlah sel papan catur. Masing-masing, . Kami mempunyai semua data, ia kekal hanya untuk menggantikannya ke dalam formula dan mengira.

Untuk mewakili sekurang-kurangnya lebih kurang "skala" nombor tertentu, kami mengubah menggunakan sifat darjah:

Sudah tentu, jika anda mahu, anda boleh mengambil kalkulator dan mengira nombor yang anda akan dapat pada akhirnya, tetapi jika tidak, anda perlu mengambil kata-kata saya untuk itu: nilai akhir ungkapan itu.
Itu dia:

quintillion quadrillion trilion bilion juta ribu.

Fuh) Jika anda ingin membayangkan betapa besarnya bilangan ini, maka anggarkan berapa besar kandang itu diperlukan untuk mengandungi keseluruhan jumlah bijirin.
Dengan ketinggian bangsal m dan lebar m, panjangnya perlu memanjang sejauh km, i.e. dua kali lebih jauh dari Bumi ke Matahari.

Sekiranya tsar itu kuat dalam matematik, dia boleh mencadangkan bahawa saintis itu sendiri mengira bijirin, kerana untuk mengira sejuta biji, dia memerlukan sekurang-kurangnya satu hari pengiraan tanpa jemu, dan memandangkan perlu untuk mengira kuintilion, bijirin akan perlu dikira sepanjang hayatnya.

Sekarang mari kita selesaikan masalah mudah untuk jumlah ahli janjang geometri.
Seorang murid gred 5 A Vasya, mendapat selesema, tetapi terus pergi ke sekolah. Setiap hari Vasya menjangkiti dua orang, yang seterusnya menjangkiti dua orang lagi, dan seterusnya. Ada orang dalam kelas. Berapa hari keseluruhan kelas akan jatuh sakit dengan selesema?

Jadi, ahli pertama perkembangan geometri ialah Vasya, iaitu seseorang. ahli ke atas janjang geometri, ini adalah dua orang yang dijangkitinya pada hari pertama ketibaannya. jumlah keseluruhan ahli janjang adalah sama dengan bilangan pelajar 5A. Sehubungan itu, kita bercakap tentang perkembangan di mana:

Mari kita gantikan data kita ke dalam formula untuk jumlah ahli janjang geometri:

Seluruh kelas akan jatuh sakit dalam beberapa hari. Adakah anda tidak percaya pada formula dan nombor? Cuba gambarkan sendiri "jangkitan" pelajar. Terjadi? Lihat bagaimana ia kelihatan untuk saya:

Kira sendiri berapa hari murid akan dijangkiti selesema jika masing-masing menjangkiti seseorang dan terdapat seseorang di dalam kelas.

Apakah nilai yang anda dapat? Ternyata semua orang mula sakit selepas sehari.

Seperti yang anda lihat, tugas dan lukisan sedemikian menyerupai piramid di mana setiap satu "membawa" orang baru. Walau bagaimanapun, lambat laun tiba masanya apabila yang terakhir tidak dapat menarik sesiapa pun. Dalam kes kita, jika kita bayangkan bahawa kelas itu terpencil, orang dari akan menutup rantai (). Oleh itu, jika seseorang terlibat dalam piramid kewangan, di mana wang diberikan sekiranya anda membawa dua peserta lain, maka orang itu (atau kes am) tidak akan membawa sesiapa, oleh itu, akan kehilangan segala-galanya yang mereka laburkan dalam penipuan kewangan ini.

Semua yang telah dinyatakan di atas merujuk kepada janjang geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang anda ingat, kami mempunyai jenis yang istimewa - janjang geometri yang berkurangan tanpa had. Bagaimana untuk mengira jumlah ahlinya? Dan mengapakah perkembangan jenis ini mempunyai ciri tertentu? Mari kita selesaikan bersama-sama.

Jadi, mula-mula, mari kita lihat semula angka janjang geometri yang semakin berkurangan dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat formula untuk jumlah janjang geometri, yang diperoleh sedikit lebih awal:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, graf menunjukkan bahawa ia cenderung kepada sifar. Iaitu, pada, ia akan menjadi hampir sama, masing-masing, apabila mengira ungkapan, kita mendapat hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahawa apabila mengira jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga, kurungan ini boleh diabaikan, kerana ia akan sama.

- formula ialah hasil tambah sebutan bagi janjang geometri menyusut tak terhingga.

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika keadaan menyatakan dengan jelas bahawa kita perlu mencari jumlah tidak berkesudahan bilangan ahli.

Jika nombor tertentu n ditunjukkan, maka kami menggunakan formula untuk jumlah n sebutan, walaupun jika atau.

Sekarang mari kita berlatih.

1. Cari hasil tambah sebutan pertama suatu janjang geometri dengan dan.
2. Cari hasil tambah sebutan bagi janjang geometri menyusut tak terhingga dengan dan.

Saya harap anda sangat prihatin. Mari bandingkan jawapan kami:

Kini anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri, dan sudah tiba masanya untuk beralih dari teori kepada amalan. Masalah eksponen yang paling biasa dihadapi dalam peperiksaan ialah masalah faedah kompaun. Ia adalah mengenai mereka yang kita akan bercakap.

Tugas untuk mengira faedah kompaun.

Anda mungkin pernah mendengar apa yang dipanggil formula faedah kompaun. Adakah anda faham apa yang dia maksudkan? Jika tidak, mari kita fikirkan, kerana setelah menyedari proses itu sendiri, anda akan segera memahami, dan berikut adalah perkembangan geometri.

Kami semua pergi ke bank dan kami tahu ada keadaan yang berbeza pada deposit: ini adalah istilah, dan perkhidmatan tambahan, dan peratusan dengan dua cara yang berbeza akruannya adalah mudah dan kompleks.

DENGAN minat mudah semuanya lebih kurang jelas: faedah dikira sekali pada akhir tempoh deposit. Iaitu, jika kita mengatakan bahawa kita meletakkan 100 rubel untuk setahun di bawah, maka mereka akan dikreditkan hanya pada akhir tahun. Oleh itu, pada akhir deposit, kami akan menerima rubel.

Faedah kompaun- ini adalah pilihan yang ada permodalan faedah, iaitu penambahan mereka kepada jumlah deposit dan pengiraan pendapatan seterusnya bukan dari permulaan, tetapi dari jumlah terkumpul deposit. Penggunaan huruf besar tidak berlaku secara berterusan, tetapi dengan beberapa kekerapan. Sebagai peraturan, tempoh tersebut adalah sama dan paling kerap bank menggunakan sebulan, suku atau tahun.

Katakan kita meletakkan semua rubel yang sama pada kadar tahunan, tetapi dengan permodalan bulanan deposit. Apa yang kita dapat?

Adakah anda memahami segala-galanya di sini? Jika tidak, mari kita fikirkan secara berperingkat.

Kami membawa rubel ke bank. Menjelang akhir bulan, akaun kami sepatutnya mempunyai jumlah yang terdiri daripada rubel kami ditambah faedah ke atasnya, iaitu:

Setuju?

Kita boleh meletakkannya di luar kurungan dan kemudian kita dapat:

Setuju, formula ini sudah lebih serupa dengan yang kami tulis pada mulanya. Ia tetap berurusan dengan minat

Dalam penyataan masalah, kita diberitahu tentang tahunan. Seperti yang anda ketahui, kami tidak mendarab dengan - kami menukar faedah kepada perpuluhan, itu dia:

Betul ke? Sekarang anda bertanya, dari mana datangnya nombor itu? Sangat ringkas!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN faedah terakru BULANAN... Seperti yang anda ketahui, masing-masing dalam setahun, bank akan mengenakan kami sebahagian daripada faedah tahunan setiap bulan:

Sedar? Sekarang cuba tulis bagaimana bahagian formula ini akan kelihatan jika saya katakan bahawa faedah dikira setiap hari.
Adakah anda berjaya? Mari bandingkan hasilnya:

Bagus! Mari kembali kepada tugas kami: tuliskan jumlah yang akan dikreditkan ke akaun kami untuk bulan kedua, dengan mengambil kira bahawa faedah dikenakan ke atas jumlah terkumpul deposit.
Inilah yang saya dapat:

Atau, dengan kata lain:

Saya fikir anda telah melihat corak dan melihat janjang geometri dalam semua ini. Tuliskan apakah ahlinya akan bersamaan, atau, dengan kata lain, berapa banyak wang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Adakah? Menyemak!

Seperti yang anda lihat, jika anda meletakkan wang di bank selama setahun dengan faedah yang mudah, maka anda akan menerima rubel, dan jika pada kadar yang kompleks - rubel. Faedahnya kecil, tetapi ini hanya berlaku pada tahun ke-, tetapi untuk tempoh yang lebih lama, permodalan adalah lebih menguntungkan:

Mari kita pertimbangkan satu lagi jenis masalah dengan faedah kompaun. Selepas apa yang anda fikirkan, ia akan menjadi asas untuk anda. Jadi tugasnya:

Syarikat Zvezda mula melabur dalam industri pada tahun 2000, mempunyai modal dalam dolar. Setiap tahun sejak 2001, dia memperoleh keuntungan, iaitu daripada modal tahun sebelumnya. Berapakah keuntungan yang akan diterima oleh syarikat Zvezda pada penghujung tahun 2003 jika keuntungan itu tidak dikeluarkan daripada edaran?

Modal syarikat "Zvezda" pada tahun 2000.
- ibu kota syarikat "Zvezda" pada tahun 2001.
- ibu kota syarikat "Zvezda" pada tahun 2002.
- ibu kota syarikat "Zvezda" pada tahun 2003.

Atau kita boleh menulis secara ringkas:

Untuk kes kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Perhatikan bahawa dalam masalah ini kita tidak mempunyai pembahagian sama ada oleh atau oleh, kerana peratusan diberikan SECARA TAHUNAN dan ia dikira SECARA TAHUNAN. Iaitu, apabila membaca masalah untuk faedah kompaun, perhatikan berapa peratusan yang diberikan, dan dalam tempoh apa ia dicaj, dan hanya kemudian teruskan ke pengiraan.
Sekarang anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri.

Bersenam.

1. Cari istilah eksponen jika diketahui bahawa, dan
2. Cari hasil tambah sebutan pertama janjang geometri, jika diketahui bahawa, dan
3. MDM Capital mula melabur dalam industri pada tahun 2003, mempunyai modal dalam dolar. Setiap tahun, mulai tahun 2004, dia memperoleh keuntungan, iaitu daripada modal tahun sebelumnya. Syarikat "MSK Cash Flows" mula melabur dalam industri pada tahun 2005 dalam jumlah $ 10,000, mula membuat keuntungan pada tahun 2006 dalam jumlah. Berapakah jumlah modal sesebuah syarikat lebih daripada yang lain pada penghujung tahun 2007, jika keuntungan belum dikeluarkan daripada edaran?

Jawapan:

1. Oleh kerana penyataan masalah tidak mengatakan bahawa janjang itu tidak terhingga dan ia diperlukan untuk mencari jumlah bilangan tertentu ahlinya, pengiraan dijalankan mengikut formula:
2. 
   Modal MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - meningkat sebanyak 100% iaitu 2 kali ganda.
   Masing-masing:
   rubel
   Aliran Tunai MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - meningkat sebanyak, iaitu, kali.
   Masing-masing:
   rubel
   rubel

Mari kita ringkaskan.

1) Janjang geometri () ialah jujukan berangka, sebutan pertamanya bukan sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

2) Persamaan ahli janjang geometri -.

3) boleh mengambil sebarang nilai, kecuali dan.

• jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya tanda ganti;
• pada - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

4), kerana ialah sifat janjang geometri (istilah bersebelahan)

atau
, pada (istilah yang sama jarak)

Apabila mencari, jangan lupa itu mesti ada dua jawapan.

Sebagai contoh,

5) Jumlah ahli janjang geometri dikira dengan formula:
atau

Jika janjang menurun secara tidak terhingga, maka:
atau

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tak terhingga hanya jika syarat menyatakan dengan jelas bahawa adalah perlu untuk mencari hasil tambah bilangan sebutan tak terhingga.

6) Masalah untuk faedah kompaun juga dikira mengikut formula sebutan ke-- bagi janjang geometri, dengan syarat dana itu belum dikeluarkan daripada edaran:

KEMAJUAN GEOMETRI. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Janjang geometri() ialah jujukan berangka, sebutan pertamanya bukan sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut bagi suatu janjang geometri.

Penyebut janjang geometri boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan.

• Jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua ahli perkembangan seterusnya bertukar tanda;
• pada - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

Persamaan ahli janjang geometri - .

Jumlah ahli janjang geometri dikira dengan formula:
atau

Formula untuk sebutan ke-n bagi janjang geometri adalah sangat mudah. Baik dari segi makna mahupun secara umum. Tetapi terdapat pelbagai masalah pada formula istilah ke-n - daripada yang sangat primitif kepada yang agak serius. Dan dalam proses perkenalan kami, kami pasti akan mempertimbangkan kedua-duanya. Baiklah, mari kita berkenalan?)

Jadi, sebagai permulaan sendiri formulan

Di sana dia:

b n = b 1 · q n -1

Formula sebagai formula, tiada yang ghaib. Ia kelihatan lebih ringkas dan lebih padat daripada formula yang serupa. Maksud formulanya juga mudah, seperti but felt.

Formula ini membolehkan anda mencari MANA-MANA ​​ahli janjang geometri MENGIKUT NOMBORNYA " n".

Seperti yang anda lihat, maknanya adalah analogi lengkap dengan janjang aritmetik. Kita tahu nombor n - kita juga boleh mengira istilah di bawah nombor ini. Apa yang kita mahu. Tanpa mendarab secara berurutan dengan "q" berkali-kali. Itulah keseluruhannya.)

Saya faham bahawa pada tahap kerja ini dengan kemajuan semua nilai yang disertakan dalam formula sepatutnya sudah jelas kepada anda, tetapi saya menganggap tugas saya untuk menguraikan setiap satu. Untuk berjaga-jaga.

Jadi mari kita pergi:

b 1 – pertama ahli janjang geometri;

q – ;

n- nombor ahli;

b n – ke (nke) ahli janjang geometri.

Formula ini menghubungkan empat parameter utama mana-mana janjang geometri - bn, b 1 , q dan n... Dan di sekitar empat tokoh utama ini, semua masalah dalam perkembangan berkisar.

"Bagaimana ia dipaparkan?"- Saya mendengar soalan ingin tahu ... Elementary! Lihatlah!

Apa yang sama dengan kedua ahli kemajuan? Tiada masalah! Kami menulis secara langsung:

b 2 = b 1 q

Dan penggal ketiga? Bukan masalah pun! Kita darabkan sebutan kedua sekali lagi padaq.

seperti ini:

B 3 = b 2 q

Sekarang mari kita ingat bahawa sebutan kedua pula adalah sama dengan b 1 q dan kita menggantikan ungkapan ini ke dalam kesamaan kita:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Kita mendapatkan:

B 3 = b 1 q 2

Sekarang mari baca entri kami dalam bahasa Rusia: ketiga sebutan adalah sama dengan sebutan pertama kali q in kedua ijazah. Adakah anda faham? Belum lagi? Okay, satu langkah lagi.

Apakah penggal keempat? Semuanya sama! gandakan sebelumnya(iaitu sebutan ketiga) oleh q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Jumlah:

B 4 = b 1 q 3

Dan sekali lagi kami terjemahkan ke dalam bahasa Rusia: keempat sebutan adalah sama dengan sebutan pertama kali q in ketiga ijazah.

Dan lain-lain. Jadi bagaimana? Ada corak? Ya! Untuk sebarang sebutan dengan sebarang nombor, bilangan faktor yang sama q (iaitu, darjah penyebut) akan sentiasa kurang satu daripada bilangan istilah yang diperlukann.

Oleh itu, formula kami adalah, tanpa pilihan:

b n =b 1 · q n -1

Itu sahaja yang ada.)

Baiklah, mari kita selesaikan masalah, mungkin?)

Menyelesaikan masalah formulanahli ke atas suatu janjang geometri.

Mari mulakan, seperti biasa, dengan menggunakan formula secara langsung. Berikut ialah masalah biasa:

Ia diketahui secara eksponen bahawa b 1 = 512 dan q = -1/2. Cari sebutan kesepuluh dalam janjang itu.

Sudah tentu, masalah ini boleh diselesaikan tanpa sebarang formula sama sekali. Secara langsung dalam maksud janjang geometri. Tetapi kita perlu memanaskan badan dengan formula untuk penggal ke-1, bukan? Jadi kami memanaskan badan.

Data kami untuk menggunakan formula adalah seperti berikut.

Istilah pertama diketahui. Sudah 512.

b 1 = 512.

Penyebut janjang itu juga diketahui: q = -1/2.

Ia kekal hanya untuk memikirkan berapa bilangan ahli n. Tiada masalah! Adakah kita berminat dengan penggal kesepuluh? Jadi kita menggantikan sepuluh dan bukannya n dalam formula am.

Dan kami mengira aritmetik dengan tepat:

Jawapan: -1

Seperti yang anda lihat, penggal kesepuluh janjang itu ternyata dengan tolak. Tidak hairanlah: penyebut janjang ialah -1/2, i.e. negatif nombor. Dan ini memberitahu kita bahawa tanda-tanda perkembangan kita silih berganti, ya.)

Semuanya mudah di sini. Dan di sini adalah tugas yang sama, tetapi sedikit lebih rumit dari segi pengiraan.

Ia diketahui secara eksponen bahawa:

b 1 = 3

Cari sebutan ketiga belas dalam janjang itu.

Semuanya sama, cuma kali ini penyebut janjangnya ialah tidak rasional... Punca dua. Baiklah, tidak mengapa. Formula adalah perkara universal, ia mengatasi sebarang nombor.

Kami bekerja secara langsung mengikut formula:

Formula itu, sudah tentu, berfungsi sebagaimana mestinya, tetapi ... di sinilah sesetengahnya akan membeku. Apa yang perlu dilakukan seterusnya dengan akar? Bagaimana untuk menaikkan akar kepada kuasa kedua belas?

Bagaimana-bagaimana ... Anda perlu memahami bahawa apa-apa formula, sudah tentu, adalah perkara yang baik, tetapi pengetahuan tentang semua matematik terdahulu tidak dibatalkan! Bagaimana untuk membina? Ya, sifat-sifat darjah yang perlu diingat! Mari kita tukar akar menjadi eksponen pecahan dan - mengikut formula eksponen.

seperti ini:

Jawapan: 192

Dan itu sahaja.)

Apakah kesukaran utama dalam penggunaan langsung formula jangka-n? Ya! Kesukaran utama ialah bekerja dengan ijazah! Iaitu - eksponensial nombor negatif, pecahan, punca dan seumpamanya. Jadi mereka yang mempunyai masalah dengan ini, kami menggesa anda untuk mengulang ijazah dan sifatnya! Jika tidak, anda akan perlahan dalam topik ini, ya ...)

Sekarang mari kita selesaikan masalah carian biasa salah satu elemen formula jika semua yang lain diberikan. Untuk penyelesaian yang berjaya untuk masalah sedemikian, resipi adalah seragam dan sangat mudah - menulis formulanahli ke umum! Betul-betul dalam buku nota bersebelahan dengan keadaan. Dan kemudian, dari syarat itu, kita memikirkan apa yang telah diberikan kepada kita dan apa yang kurang. Dan kami menyatakan dari formula nilai yang diperlukan... Semuanya!

Sebagai contoh, tugas yang tidak berbahaya.

Sebutan kelima dalam janjang geometri dengan penyebut 3 ialah 567. Cari sebutan pertama dalam janjang ini.

Tiada yang rumit. Kami bekerja secara langsung dengan mantera.

Kami menulis formula untuk penggal ke-n!

b n = b 1 · q n -1

Apa yang telah diberikan kepada kita? Pertama, penyebut janjang diberikan: q = 3.

Di samping itu, kita diberi penggal kelima: b 5 = 567 .

Semuanya? Tidak! Kami juga diberi nombor n! Ini ialah lima: n = 5.

Saya harap anda sudah faham apa yang ada dalam rakaman tersebut b 5 = 567 dua parameter disembunyikan sekaligus - ini adalah sebutan kelima itu sendiri (567) dan nombornya (5). Dalam pelajaran yang sama tentang, saya sudah bercakap tentang perkara ini, tetapi saya fikir ia tidak berlebihan untuk mengingatkan anda di sini.)

Sekarang kami menggantikan data kami ke dalam formula:

567 = b 1 · 3 5-1

Kami mengira aritmetik, memudahkan dan mendapatkan yang mudah persamaan linear:

81 b 1 = 567

Kami menyelesaikan dan mendapat:

b 1 = 7

Seperti yang anda lihat, tiada masalah untuk mencari ahli pertama. Tetapi apabila mencari penyebut q dan nombor n mungkin ada kejutan. Dan anda juga perlu bersedia untuk mereka (untuk kejutan), ya.)

Sebagai contoh, masalah ini:

Sebutan kelima janjang geometri dengan penyebut positif ialah 162, dan sebutan pertama janjang ini ialah 2. Cari penyebut janjang itu.

Kali ini kita diberi sebutan pertama dan kelima, dan kita diminta untuk mencari penyebut janjang itu. Jadi mari kita mulakan.

Kami menulis formulanahli ke!

b n = b 1 · q n -1

Data awal kami adalah seperti berikut:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Tak cukup makna q... Tiada masalah! Sekarang kita akan menemuinya.) Kita menggantikan semua yang kita tahu ke dalam formula.

Kita mendapatkan:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Persamaan darjah empat mudah. Tetapi sekarang - kemas! Pada peringkat penyelesaian ini, ramai pelajar segera dengan gembira mengeluarkan akar (darjah empat) dan mendapat jawapan. q=3 .

seperti ini:

q 4 = 81

q = 3

Tetapi sebenarnya, ini adalah jawapan yang belum selesai. Lebih tepat lagi, tidak lengkap. kenapa? Intinya ialah jawapannya q = -3 juga sesuai: (-3) 4 akan menjadi 81 juga!

Ini disebabkan oleh fakta bahawa persamaan kuasa x n = a sentiasa ada dua akar bertentangan di malahn . Dengan tambah dan tolak:

Kedua-duanya sesuai.

Sebagai contoh, menyelesaikan (iaitu. kedua ijazah)

x 2 = 9

Atas sebab tertentu, anda tidak terkejut dengan penampilan dua punca x = ± 3? Berikut adalah perkara yang sama. Dan dengan mana-mana yang lain malah darjah (keempat, keenam, kesepuluh, dll.) akan sama. Butiran - dalam topik tentang

sebab tu penyelesaian yang betul akan menjadi seperti ini:

q 4 = 81

q= ± 3

Baiklah, kami telah mengetahui tanda-tandanya. Mana satu betul - tambah atau tolak? Nah, kita membaca sekali lagi keadaan masalah dalam mencari maklumat tambahan. Ia, sudah tentu, mungkin tidak ada, tetapi dalam tugas ini maklumat tersebut tersedia. Dalam keadaan kita, ia dikatakan dalam teks biasa bahawa janjang diberikan dengan penyebut positif.

Oleh itu, jawapannya adalah jelas:

q = 3

Semuanya mudah di sini. Pada pendapat anda, apakah yang akan berlaku jika pernyataan masalah adalah seperti ini:

Sebutan kelima janjang geometri ialah 162, dan sebutan pertama janjang ini ialah 2. Cari penyebut janjang itu.

Apakah perbezaannya? Ya! Dalam keadaan tiada apa tanda penyebut tidak disebut. Tidak secara langsung mahupun tidak langsung. Dan di sini tugas itu sudah ada dua penyelesaian!

q = 3 dan q = -3

Ya Ya! Dan dengan tambah dan tolak.) Secara matematik, fakta ini bermakna terdapat dua janjang yang sesuai dengan keadaan masalah. Dan untuk setiap - penyebutnya sendiri. Untuk keseronokan, berlatih dan tulis lima penggal pertama setiap satu.)

Sekarang mari kita berlatih mencari nombor ahli. Ini adalah tugas yang paling sukar, ya. Tetapi juga lebih kreatif.)

Janjang geometri diberikan:

3; 6; 12; 24; …

Apakah nombor 768 dalam janjang ini?

Langkah pertama masih sama: menulis formulanahli ke!

b n = b 1 · q n -1

Dan sekarang, seperti biasa, kami menggantikan data yang kami tahu ke dalamnya. Um ... tidak diganti! Di mana penggal pertama, di mana penyebutnya, di mana semua yang lain ?!

Di mana, di mana ... Dan mengapa kita memerlukan mata? Tepuk bulu mata? Kali ini perkembangan diberikan kepada kami secara langsung dalam bentuk urutan. Lihat penggal pertama? Kita lihat! Ini ialah rangkap tiga (b 1 = 3). Bagaimana dengan penyebutnya? Kami tidak melihatnya lagi, tetapi ia sangat mudah untuk dikira. Jika, sudah tentu, anda faham.

Jadi kita mengira. Secara langsung dalam erti kata janjang geometri: kami mengambil mana-mana ahlinya (kecuali yang pertama) dan membahagikan dengan yang sebelumnya.

Sekurang-kurangnya seperti ini:

q = 24/12 = 2

Apa lagi yang kita tahu? Kami juga mengetahui ahli tertentu janjang ini, bersamaan dengan 768. Di bawah beberapa nombor n:

b n = 768

Kami tidak tahu nombornya, tetapi tugas kami adalah mencarinya.) Jadi kami sedang mencari. Kami telah memuat turun semua data yang diperlukan untuk penggantian ke dalam formula. Tanpa saya sedari.)

Jadi kami menggantikan:

768 = 3.2n -1

Kami melakukan yang asas - kami membahagikan kedua-dua bahagian kepada tiga dan menulis semula persamaan dalam bentuk biasa: yang tidak diketahui di sebelah kiri, yang diketahui - di sebelah kanan.

Kita mendapatkan:

2 n -1 = 256

Berikut adalah persamaan yang menarik. Anda perlu mencari "n". Apa yang luar biasa? Ya, saya tidak membantah. Sebenarnya, ini adalah yang paling mudah. Ia dipanggil sedemikian kerana yang tidak diketahui (dalam dalam kes ini nombor ini n) berdiri di dalam penunjuk ijazah.

Pada peringkat berkenalan dengan janjang geometri (ini adalah gred kesembilan), persamaan eksponen tidak diajar untuk menyelesaikan, ya ... Ini adalah topik untuk sekolah menengah. Tetapi tidak ada yang mengerikan. Walaupun anda tidak tahu bagaimana persamaan tersebut diselesaikan, kami akan cuba mencari persamaan kami n berpandukan logik yang mudah dan akal.

Kita mula beralasan. Di sebelah kiri kita mempunyai deuce pada tahap tertentu... Kami belum tahu apa sebenarnya ijazah ini, tetapi ini bukan masalah besar. Tetapi sebaliknya, kita benar-benar tahu bahawa ijazah ini bersamaan dengan 256! Jadi kita ingat sejauh mana dua memberi kita 256. Ingat? Ya! V kelapan ijazah!

256 = 2 8

Jika anda tidak ingat atau dengan pengiktirafan darjah masalah, maka tidak mengapa: kita hanya menaikkan kedua-duanya secara berurutan ke segi empat sama, ke kiub, ke darjah keempat, kelima, dan seterusnya. Pemilihan, sebenarnya, tetapi pada tahap ini agak baik.

Satu cara atau yang lain, kita dapat:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Jadi 768 adalah kesembilan ahli kemajuan kami. Itu sahaja, masalah selesai.)

Jawapan: 9

Apa? membosankan? Bosan dengan perkara asas? Setuju. Saya juga. Mari kita pergi ke peringkat seterusnya.)

Tugasan yang lebih mencabar.

Dan kini kami menyelesaikan masalah dengan lebih mendadak. Tidak begitu hebat, tetapi mereka masih mempunyai sedikit kerja yang perlu dilakukan untuk mendapatkan jawapannya.

Sebagai contoh, ini.

Cari sebutan kedua janjang geometri jika sebutan keempat ialah -24 dan sebutan ketujuh ialah 192.

Ini adalah genre klasik. Beberapa dua ahli perkembangan yang berbeza diketahui, tetapi beberapa ahli lagi mesti ditemui. Lagipun semua ahli BUKAN berjiran. Yang memalukan pada mulanya, ya ...

Seperti dalam, kami akan mempertimbangkan dua cara untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kaedah pertama adalah universal. Algebra. Berfungsi dengan sempurna dengan mana-mana data sumber. Oleh itu, kita akan mulakan dengan dia.)

Kami menulis setiap istilah mengikut formula nahli ke!

Semuanya betul-betul seperti dengan janjang aritmetik. Cuma kali ini kami bekerjasama yang lain formula am. Itu sahaja.) Tetapi intipatinya adalah sama: kita ambil dan satu demi satu kami menggantikan data awal kami ke dalam formula sebutan ke-n. Untuk setiap ahli - mereka sendiri.

Untuk ahli keempat, tulis:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Terdapat. Satu persamaan sudah sedia.

Untuk ahli ketujuh, kami menulis:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Secara keseluruhan, kami mendapat dua persamaan untuk perkembangan yang sama .

Kami mengumpul sistem daripada mereka:

Walaupun penampilannya yang menggerunkan, sistem ini agak mudah. Penyelesaian yang paling jelas ialah penggantian biasa. Kami meluahkan b 1 daripada persamaan atas dan gantikan kepada persamaan yang lebih rendah:

Selepas bermain-main sedikit dengan persamaan yang lebih rendah (dengan mengurangkan kuasa dan membahagikan dengan -24), kita dapat:

q 3 = -8

Dengan cara ini, anda boleh mencapai persamaan yang sama dengan cara yang lebih mudah! Bagaimana? Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda satu lagi rahsia, tetapi sangat cantik, berkuasa dan cara yang berguna penyelesaian sistem yang serupa. Sistem sedemikian dalam persamaan yang duduk hanya berfungsi. Sekurang-kurangnya satu. Dipanggil kaedah pembahagian istilah satu persamaan kepada persamaan yang lain.

Jadi, sebelum kita adalah sistem:

Dalam kedua-dua persamaan di sebelah kiri - kerja dan di sebelah kanan hanyalah nombor. Ini sangat petanda baik.) Mari kita ambil dan ... bahagikan, katakan, persamaan bawah dengan yang atas! Apa maksudnya, bahagikan satu persamaan dengan persamaan yang lain? Sangat ringkas. Kami ambil sebelah kiri satu persamaan (rendah) dan bahagikan dia pada sebelah kiri persamaan lain (atas). Bahagian kanan adalah serupa: sebelah kanan satu persamaan bahagikan pada sebelah kanan yang lain.

Seluruh proses pembahagian kelihatan seperti ini:

Sekarang, setelah mengurangkan semua yang dikurangkan, kami mendapat:

q 3 = -8

Mengapa kaedah ini bagus? Ya, hakikat bahawa dalam proses pembahagian sedemikian segala yang buruk dan menyusahkan dapat dikurangkan dengan selamat dan persamaan yang sama sekali tidak berbahaya kekal! Itulah sebabnya ia sangat penting untuk dimiliki hanya pendaraban dalam sekurang-kurangnya satu daripada persamaan sistem. Tiada pendaraban - tiada apa yang perlu dikurangkan, ya ...

Secara umum, kaedah ini (seperti banyak cara lain yang tidak remeh untuk menyelesaikan sistem) malah memerlukan pelajaran yang berasingan. Saya pasti akan menganalisisnya dengan lebih terperinci. Suatu hari nanti…

Walau bagaimanapun, tidak kira bagaimana anda menyelesaikan sistem, dalam apa jua keadaan, sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan yang terhasil:

q 3 = -8

Tiada masalah: ekstrak akar (kubik) dan anda sudah selesai!

Sila ambil perhatian bahawa anda tidak perlu meletakkan tambah / tolak di sini semasa mengekstrak. Kami mempunyai akar darjah ganjil (ketiga). Dan jawapannya juga sama, ya.)

Jadi, penyebut janjang telah ditemui. Tolak dua. baiklah! Proses sedang dijalankan.)

Untuk sebutan pertama (katakan dari persamaan atas) kita dapat:

baiklah! Kita tahu sebutan pertama, kita tahu penyebutnya. Dan kini kami mempunyai peluang untuk mencari mana-mana ahli perkembangan. Termasuk yang kedua.)

Untuk penggal kedua, semuanya agak mudah:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Jawapan: -6

Jadi, kami telah membentangkan cara algebra untuk menyelesaikan masalah tersebut. Keras? Tidak juga, saya bersetuju. Panjang dan membosankan? Ya, sama sekali. Tetapi kadangkala anda boleh mengurangkan jumlah kerja dengan ketara. Untuk ini ada cara grafik. Baik lama dan biasa kepada kita.)

Melukis masalah!

Ya! Tepat sekali. Sekali lagi kita melukis perkembangan kita pada paksi nombor. Tidak perlu mengikuti pembaris, tidak perlu mengekalkan selang yang sama antara ahli (yang, dengan cara itu, tidak akan sama, kerana janjangnya adalah geometri!), Tetapi hanya secara skematik lukis urutan kami.

Saya mendapatnya seperti ini:

Dan sekarang kita melihat gambar dan berfikir. Berapa banyak bahagian "q" yang sama keempat dan ketujuh ahli? Betul, tiga!

Oleh itu, kami mempunyai hak untuk menulis:

-24q 3 = 192

Oleh itu, q kini mudah dicari:

q 3 = -8

q = -2

Baguslah, penyebutnya sudah ada dalam poket kita. Dan sekarang kita melihat gambar sekali lagi: berapa banyak penyebut seperti itu berada di antara kedua dan keempat ahli? Dua! Oleh itu, untuk merekodkan perkaitan antara istilah ini, penyebutnya ialah kuasa dua.

Jadi kami menulis:

b 2 · q 2 = -24 , di mana b 2 = -24/ q 2

Kami menggantikan penyebut kami yang ditemui ke dalam ungkapan untuk b 2, kira dan dapatkan:

Jawapan: -6

Seperti yang anda lihat, semuanya lebih mudah dan lebih cepat daripada melalui sistem. Lebih-lebih lagi, di sini kita tidak perlu mengira penggal pertama langsung! sama sekali.)

Berikut ialah cara mudah dan intuitif untuk menyala. Tetapi dia juga mempunyai kelemahan yang serius. Sudahkah anda meneka? Ya! Ia hanya berfungsi untuk kepingan perkembangan yang sangat pendek. Mereka yang jarak antara ahli yang diminati kepada kami tidaklah terlalu besar. Tetapi dalam semua kes lain sudah sukar untuk melukis gambar, ya ... Kemudian kami menyelesaikan masalah secara analitikal, melalui sistem.) Dan sistem adalah perkara universal. Sebarang nombor boleh diuruskan.

Satu lagi cabaran epik:

Sebutan kedua janjang geometri ialah 10 lebih daripada yang pertama, dan sebutan ketiga ialah 30 lebih daripada yang kedua. Cari penyebut janjang itu.

Apa yang keren? Tidak sama sekali! Semuanya sama. Kami sekali lagi menterjemah pernyataan masalah ke dalam algebra tulen.

1) Kami menulis setiap istilah mengikut formula nahli ke!

Sebutan kedua: b 2 = b 1 q

Sebutan ketiga: b 3 = b 1 q 2

2) Kami menulis perkaitan antara ahli daripada penyataan masalah.

Kami membaca syarat: "Sebutan kedua bagi janjang eksponen ialah 10 lebih daripada yang pertama." Berhenti, ini berharga!

Jadi kami menulis:

b 2 = b 1 +10

Dan kami menterjemah frasa ini ke dalam matematik tulen:

b 3 = b 2 +30

Kami mendapat dua persamaan. Kami menggabungkannya ke dalam satu sistem:

Sistem ini kelihatan mudah. Tetapi terdapat banyak indeks yang berbeza untuk huruf. Mari gantikan bukan sebutan kedua dan ketiga bagi ungkapan mereka melalui sebutan dan penyebut pertama! Adakah sia-sia kita melukisnya?

Kita mendapatkan:

Tetapi sistem sedemikian bukan lagi hadiah, ya ... Bagaimana untuk menyelesaikannya? Malangnya, mantra rahsia sejagat untuk menyelesaikan kompleks tak linear tiada sistem dalam matematik dan tidak boleh. Ia adalah hebat! Tetapi perkara pertama yang perlu terlintas di fikiran anda apabila cuba menggigit kacang yang sukar adalah untuk menganggarkan, tetapi adakah salah satu persamaan sistem berkurangan kepada pemandangan yang indah, membenarkan, sebagai contoh, dengan mudah menyatakan salah satu pembolehubah melalui yang lain?

Jadi mari kita anggaran. Persamaan pertama sistem jelas lebih mudah daripada yang kedua. Kita akan seksa dia.) Bukankah kita harus mencuba dari persamaan pertama sesuatu nyatakan melalui sesuatu? Oleh kerana kita ingin mencari penyebutnya q, maka adalah lebih berfaedah bagi kita untuk menyatakannya b 1 seberang q.

Jadi mari kita cuba lakukan prosedur ini dengan persamaan pertama, menggunakan yang lama yang baik:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Semuanya! Jadi kami meluahkan tidak perlu kita pembolehubah (b 1) melalui perlu(q). Ya, mereka tidak menerima ungkapan yang paling mudah. Beberapa pecahan ... Tetapi sistem kami berada pada tahap yang baik, ya.)

tipikal. Kami tahu apa yang perlu dilakukan.

Kami menulis ODZ (semestinya!) :

q ≠ 1

Kami mendarabkan semuanya dengan penyebut (q-1) dan membatalkan semua pecahan:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Kami membahagikan semuanya dengan sepuluh, buka kurungan, kumpulkan semuanya di sebelah kiri:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Kami menyelesaikan hasilnya dan mendapatkan dua akar:

q 1 = 1

q 2 = 3

Hanya ada satu jawapan terakhir: q = 3 .

Jawapan: 3

Seperti yang anda lihat, cara untuk menyelesaikan kebanyakan masalah untuk formula sebutan ke-n suatu janjang geometri adalah sentiasa sama: baca dengan penuh perhatian keadaan masalah dan, menggunakan formula untuk istilah ke-n, kami menterjemah keseluruhannya informasi berguna ke dalam algebra tulen.

Iaitu:

1) Kami menulis secara berasingan setiap istilah yang diberikan dalam masalah dengan formulanahli ke.

2) Daripada keadaan masalah, kami menterjemahkan perkaitan antara istilah ke dalam bentuk matematik. Kami menyusun persamaan atau sistem persamaan.

3) Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil atau sistem persamaan, kami dapati parameter janjang yang tidak diketahui.

4) Sekiranya terdapat jawapan yang tidak jelas, kami membaca dengan teliti keadaan masalah untuk mencari maklumat tambahan (jika ada). Kami juga menyemak jawapan yang diterima dengan syarat DLO (jika ada).

Dan sekarang mari kita senaraikan masalah utama yang paling kerap membawa kepada ralat dalam proses menyelesaikan masalah pada janjang geometri.

1. Aritmetik asas. Tindakan dengan pecahan dan nombor negatif.

2. Jika anda mempunyai masalah dengan sekurang-kurangnya satu daripada tiga perkara ini, anda pasti akan tersilap dalam topik ini. Malangnya ... Jadi jangan malas dan ulangi apa yang disebutkan di atas. Dan ikuti pautan - pergi. Kadang-kadang ia membantu.)

Formula yang diubah suai dan berulang.

Sekarang mari kita lihat beberapa masalah peperiksaan biasa dengan pembentangan keadaan yang kurang biasa. Ya, anda menekanya! ia diubahsuai dan berulang rumus sebutan ke-n. Kami telah pun menemui formula sedemikian dan bekerja dalam janjang aritmetik. Semuanya sama di sini. Intipatinya sama.

Sebagai contoh, tugas sedemikian dari OGE:

Janjang geometri diberikan oleh formula b n = 3 2 n ... Cari hasil tambah ahli pertama dan keempat.

Kali ini, perkembangan itu tidak begitu biasa bagi kita. Dalam bentuk beberapa jenis formula. Jadi apa? Formula ini - juga formulanahli ke! Kita semua tahu bahawa formula untuk sebutan ke-n boleh ditulis dalam bentuk umum, melalui huruf, dan untuk perkembangan tertentu... DENGAN khusus sebutan pertama dan penyebut.

Dalam kes kami, kami, sebenarnya, telah diberikan formula istilah umum untuk janjang geometri dengan parameter berikut:

b 1 = 6

q = 2

Mari kita semaknya?) Mari kita tulis formula sebutan ke-n dalam bentuk umum dan gantikan ke dalamnya b 1 dan q... Kita mendapatkan:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Permudahkannya menggunakan pemfaktoran dan sifat kuasa untuk mendapatkan:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Seperti yang anda lihat, semuanya adil. Tetapi matlamat kami bersama anda bukanlah untuk menunjukkan terbitan formula tertentu. Ini adalah penyimpangan lirik. Semata-mata untuk pemahaman.) Matlamat kami adalah untuk menyelesaikan masalah mengikut formula yang diberikan kepada kami dalam keadaan. Tangkap?) Jadi kami bekerja dengan formula yang diubah suai secara langsung.

Kami mengira penggal pertama. Pengganti n=1 ke dalam formula umum:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

macam ni. Dengan cara ini, saya tidak akan malas, dan sekali lagi saya akan menarik perhatian anda kepada blooper biasa dengan pengiraan ahli pertama. TAK PERLU tengok formula b n= 3 2n, segera tergesa-gesa untuk menulis bahawa penggal pertama adalah tiga kali ganda! Ini adalah kesilapan besar, ya ...)

Jom sambung. Pengganti n=4 dan hitung sebutan keempat:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Dan akhirnya, kami mengira jumlah yang diperlukan:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Jawapan: 54

Masalah lain.

Janjang geometri ditentukan oleh syarat:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Cari sebutan keempat dalam janjang itu.

Di sini perkembangan diberikan oleh formula rekursif. Baiklah.) Bagaimana untuk bekerja dengan formula sedemikian - kami juga tahu.

Jadi kita bertindak. Langkah demi langkah.

1) Kira dua berturut-turut ahli kemajuan.

Penggal pertama telah pun diberikan kepada kami. Tolak tujuh. Tetapi istilah kedua seterusnya, boleh dikira dengan mudah menggunakan formula rekursif. Jika anda memahami cara ia berfungsi, sudah tentu.)

Jadi kita mengira penggal kedua menurut yang terkenal dahulu:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Kami menganggap penyebut janjang itu

Tiada masalah juga. Lurus, bahagikan kedua ahli pada pertama.

Kita mendapatkan:

q = -21/(-7) = 3

3) Kami menulis formulan-ahli ke dalam bentuk biasa dan pertimbangkan ahli yang dikehendaki.

Jadi, kita tahu sebutan pertama, dan penyebutnya juga. Jadi kami menulis:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Jawapan: -189

Seperti yang anda boleh lihat, bekerja dengan formula sedemikian untuk janjang geometri sememangnya tidak berbeza daripada itu untuk janjang aritmetik. Ia hanya penting untuk memahami intipati umum dan makna formula ini. Nah, maksud janjang geometri juga mesti difahami, ya.) Dan kemudian tidak akan ada kesilapan bodoh.

Baiklah, mari kita selesaikan sendiri?)

Tugas asas untuk memanaskan badan:

1. Satu janjang geometri diberikan di mana b 1 = 243, dan q = -2/3. Cari sebutan keenam dalam janjang itu.

2. Istilah umum janjang geometri diberikan oleh formula b n = 5∙2 n +1 . Cari nombor bagi sebutan tiga digit terakhir janjang ini.

3. Janjang geometri ditetapkan oleh syarat:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Cari sebutan kelima dalam janjang itu.

Sedikit lebih rumit:

4. Janjang geometri diberikan:

b 1 =2048; q =-0,5

Apakah sebutan negatif keenam?

Apa yang kelihatan sangat sukar? Tidak sama sekali. Akan menyimpan logik dan pemahaman makna janjang geometri. Nah, formula untuk penggal ke-n, sudah tentu.

5. Sebutan ketiga janjang geometri ialah -14, dan sebutan kelapan ialah 112. Cari penyebut janjang itu.

6. Hasil tambah sebutan pertama dan kedua janjang geometri ialah 75, dan hasil tambah sebutan kedua dan ketiga ialah 150. Cari sebutan keenam janjang itu.

Jawapan (berantakan): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Itu hampir semua. Ia kekal hanya untuk belajar mengira hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri ya temui janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dan jumlahnya. Satu perkara yang sangat menarik dan luar biasa, dengan cara itu! Lebih lanjut mengenai ini dalam pelajaran berikut.)

Jika setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n kemudian mereka mengatakan bahawa ia diberikan turutan berangka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan berangka adalah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil ahli pertama urutan , nombor a 2 — penggal kedua , nombor a 3 — ketiga dan lain-lain. Nombor a n dipanggil ahli ke- urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua ahli jiran a n dan a n +1 ahli urutan a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), a a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan urutan, anda mesti menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan diberikan dengan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh ditentukan oleh formula

a n= 2n - 1,

dan urutan berselang-seli 1 dan -1 - dengan formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula rekursif, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli urutan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

jika a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh ahli pertama urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad dan tidak berkesudahan .

Urutan itu dipanggil muktamad jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan itu dipanggil tidak berkesudahan jika ia mempunyai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

urutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan itu dipanggil semakin meningkat jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan itu dipanggil semakin berkurangan jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - urutan yang semakin meningkat;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurangan dengan peningkatan bilangan, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonic, khususnya, ialah jujukan menaik dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dengan yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika ada nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - beberapa nombor.

Oleh itu, perbezaan antara ahli seterusnya dan sebelumnya bagi janjang aritmetik yang diberikan sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menetapkan janjang aritmetik, cukup untuk menunjukkan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

jika a 1 = 3, d = 4 , maka lima ahli pertama jujukan ditemui seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaannya d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh janjang aritmetik itu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

◄

Perhatikan bahawa n -sebutan janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

kemudian jelas

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah ahli janjang aritmetik ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik, kesamaan adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sebab

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

yang pertama n ahli janjang aritmetik adalah sama dengan hasil tambah separuh sebutan melampau dengan bilangan sebutan:

Oleh itu, khususnya, ia berikutan bahawa jika perlu untuk menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika janjang aritmetik diberikan, maka nilainya a 1 , a n, d, n danS n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

• jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
• jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
• jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

Janjang geometri urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dengan yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nombor.

Oleh itu, nisbah ahli seterusnya bagi janjang geometri yang diberikan kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menetapkan janjang geometri, cukup untuk menunjukkan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima ahli pertama jujukan ditemui seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebutnya q dia n Istilah ke-1 boleh didapati dengan formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh janjang geometri itu 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelum dan seterusnya.

Oleh kerana pernyataan sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua salah satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang eksponen. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahawa n Sebutan ke- bagi janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana istilah sebelumnya b k , yang mana ia cukup untuk menggunakan formula

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua mana-mana anggota janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab ahli janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri, kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

secara eksponen

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sebab

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

yang pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= nb 1

Ambil perhatian bahawa jika anda perlu menjumlahkan syarat

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

Sebagai contoh,

secara eksponen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika janjang geometri diberikan, maka nilainya b 1 , b n, q, n dan S n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebutnya q yang berikut sifat monotonisitas :

• perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan q> 1;

b 1 < 0 dan 0 < q< 1;

• perkembangan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 dan q> 1.

Jika q< 0 , maka janjang geometri itu berselang-seli: anggota bernombor ganjilnya mempunyai tanda yang sama seperti sebutan pertamanya, dan sebutan bernombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri yang berselang-seli tidak monoton.

Kerja yang pertama n ahli janjang geometri boleh dikira dengan formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga, modulus penyebutnya adalah kurang 1 , itu dia

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ini sesuai dengan kes ini

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga ialah nombor yang dijumlahkan dengan yang pertama n ahli perkembangan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n ... Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Janjang aritmetik dan geometri adalah berkait rapat. Mari kita lihat hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , kemudian

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . - janjang aritmetik dengan beza 2 dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - janjang geometri dengan penyebut q , kemudian

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . - janjang geometri dengan penyebut 6 dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄

Mari kita pertimbangkan beberapa siri.

7 28 112 448 1792...

Jelas sekali bahawa nilai mana-mana unsurnya adalah empat kali ganda lebih besar daripada yang sebelumnya. Bermaksud, baris yang diberi adalah satu perkembangan.

Urutan nombor yang tidak berkesudahan dipanggil janjang geometri. ciri utama iaitu nombor seterusnya diperoleh daripada nombor sebelumnya dengan mendarab dengan nombor tertentu. Ini dinyatakan oleh formula berikut.

a z +1 = a z q, dengan z ialah nombor bagi elemen yang dipilih.

Sehubungan itu, z ∈ N.

Tempoh di mana janjang geometri dipelajari di sekolah ialah darjah 9. Contoh akan membantu anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan formula ini, penyebut janjang boleh didapati seperti berikut:

Baik q mahupun b z tidak boleh sama dengan sifar. Selain itu, setiap elemen janjang tidak boleh sifar.

Sehubungan itu, untuk mengetahui nombor seterusnya dalam siri, anda perlu mendarab yang terakhir dengan q.

Untuk menetapkan janjang ini, anda mesti menentukan elemen dan penyebut pertamanya. Selepas itu, adalah mungkin untuk mencari mana-mana ahli berikutnya dan jumlah mereka.

Varieti

Bergantung kepada q dan a 1, janjang ini dibahagikan kepada beberapa jenis:

• Jika kedua-dua a 1 dan q lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian bertambah dengan setiap satu elemen seterusnya janjang geometri. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 = 3, q ​​​​= 2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika | q | kurang daripada satu, iaitu, pendaraban dengannya bersamaan dengan pembahagian, maka janjang dengan keadaan yang serupa ialah janjang geometri menurun. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 lebih daripada satu, q kurang.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti berikut:

6 2 2/3 ... - mana-mana unsur adalah 3 kali lebih besar daripada unsur yang mengikutinya.

• Tanda berselang seli. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3, q = -2 - kedua-dua parameter adalah kurang daripada sifar.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti berikut:

3, 6, -12, 24,...

Formula

Terdapat banyak formula untuk kegunaan mudah janjang geometri:

• Formula ahli ke-z. Membolehkan anda mengira item di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.

Contoh:q = 3, a 1 = 4. Ia diperlukan untuk mengira unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah unsur pertama yang nombornya ialah z... Mengira hasil tambah semua unsur urutan hinggaa zinklusif.

Sejak (1-q) berada dalam penyebut, maka (1 - q)≠ 0, oleh itu q tidak sama dengan 1.

Nota: jika q = 1, maka janjang itu akan menjadi satu siri nombor berulang tak terhingga.

Jumlah janjang geometri, contoh:a 1 = 2, q= -2. Kira S 5.

Penyelesaian:S 5 = 22 - pengiraan dengan formula.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:a 1 = 2 , q= 0.5. Cari jumlahnya.

Penyelesaian:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa sifat:

• Ciri ciri. Jika syarat berikut dilakukan untuk mana-manaz, maka siri nombor yang diberikan ialah janjang geometri:

a z 2 = a z -1 · az + 1

• Juga, kuasa dua bagi sebarang nombor janjang geometri ditemui dengan menambah kuasa dua mana-mana dua nombor lain dalam baris tertentu, jika jaraknya sama dari unsur ini.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , di manat- jarak antara nombor ini.

• Elemenberbeza dalam qsekali.
• Logaritma unsur-unsur janjang juga membentuk janjang, tetapi sudah aritmetik, iaitu, setiap satu daripada mereka lebih besar daripada yang sebelumnya dengan nombor tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu janjang geometri, contoh dengan penyelesaian untuk gred 9 boleh membantu.

• syarat:a 1 = 3, a 3 = 48. Cariq.

Penyelesaian: setiap elemen berikutnya adalah lebih besar daripada elemen sebelumnya dalamq sekali.Ia adalah perlu untuk menyatakan beberapa unsur melalui yang lain menggunakan penyebut.

Oleh itu,a 3 = q 2 · a 1

Apabila menggantikanq= 4

• syarat:a 2 = 6, a 3 = 12. Kira S 6.

Penyelesaian:Untuk melakukan ini, cukup untuk mencari q, elemen pertama dan menggantikannya ke dalam formula.

a 3 = q· a 2 , oleh itu,q= 2

a 2 = q A 1,Oleh itu a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Cari unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian: untuk ini sudah cukup untuk menyatakan unsur keempat dari segi pertama dan dari segi penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh permohonan:

• Pelanggan bank membuat deposit dalam jumlah 10,000 rubel, di bawah terma yang setiap tahun pelanggan akan menambah 6% daripada prinsipal kepada jumlah prinsipal. Berapakah jumlah akaun tersebut dalam masa 4 tahun?

Penyelesaian: Jumlah awal ialah 10 ribu rubel. Ini bermakna setahun selepas pelaburan, akaun akan mempunyai jumlah yang sama dengan 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Sehubungan itu, jumlah pada akaun dalam satu tahun lagi akan dinyatakan seperti berikut:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali ganda. Ini bermakna bahawa untuk mencari jumlah dana pada akaun dalam 4 tahun, sudah cukup untuk mencari elemen keempat perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama bersamaan dengan 10 ribu dan penyebutnya sama dengan 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Contoh tugas untuk mengira jumlah:

Janjang geometri digunakan dalam pelbagai masalah. Contoh untuk mencari jumlah boleh diberikan seperti berikut:

a 1 = 4, q= 2, hitungS 5.

Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya ke dalam formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Hitung hasil tambah enam unsur pertama.

Penyelesaian:

Dalam geom. kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah q kali lebih besar daripada yang sebelumnya, iaitu, untuk mengira jumlah, anda perlu mengetahui elemena 1 dan penyebutnyaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Begitu juga, anda perlu mencaria 1 mengetahuia 2 danq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Janjang geometri tidak kurang pentingnya dalam matematik berbanding aritmetik. Janjang geometri ialah jujukan nombor b1, b2, ..., b [n], setiap sebutan seterusnya diperoleh dengan mendarab yang sebelumnya dengan nombor tetap. Nombor ini, yang juga mencirikan kadar peningkatan atau penurunan perkembangan, dipanggil penyebut janjang geometri dan menandakan

Untuk tugasan lengkap janjang geometri, sebagai tambahan kepada penyebut, adalah perlu untuk mengetahui atau menentukan sebutan pertamanya. Untuk nilai positif penyebut, janjang adalah jujukan monoton, dan jika jujukan nombor ini menurun secara monoton dan, untuk, meningkat secara monoton. Kes apabila penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam amalan, kerana kita mempunyai urutan nombor yang sama, dan penjumlahan mereka tidak menarik minat praktikal.

Istilah umum janjang geometri dikira dengan formula

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri ditentukan oleh formula

Pertimbangkan penyelesaian kepada masalah klasik pada janjang geometri. Mari kita mulakan dengan yang paling mudah untuk pemahaman.

Contoh 1. Sebutan pertama janjang geometri ialah 27, dan penyebutnya ialah 1/3. Cari enam sebutan pertama suatu janjang geometri.

Penyelesaian: Mari kita tulis keadaan masalah dalam borang

Untuk pengiraan, kami menggunakan formula untuk sebutan ke-n suatu janjang geometri

Berdasarkannya, kami dapati ahli perkembangan yang tidak diketahui

Seperti yang anda lihat, mengira ahli janjang geometri tidaklah sukar. Perkembangan itu sendiri akan kelihatan seperti ini

Contoh 2. Tiga sebutan pertama janjang geometri diberikan: 6; -12; 24. Cari penyebut dan sebutan ketujuhnya.

Penyelesaian: Kira penyebut janjang geomitrik berdasarkan takrifannya

Kami mendapat janjang geometri berselang-seli, penyebutnya ialah -2. Sebutan ketujuh dikira dengan formula

Ini telah menyelesaikan masalah.

Contoh 3. Janjang geometri diberikan oleh dua ahlinya ... Cari sebutan kesepuluh dalam janjang itu.

Penyelesaian:

Mari tulis nilai yang diberikan melalui formula

Menurut peraturan, adalah perlu untuk mencari penyebut, dan kemudian mencari nilai yang dikehendaki, tetapi untuk sebutan kesepuluh kita ada

Formula yang sama boleh diperolehi berdasarkan manipulasi mudah dengan data input. Kami membahagikan penggal keenam siri dengan yang lain, hasilnya kami dapat

Jika nilai yang terhasil didarab dengan sebutan keenam, kita mendapat yang kesepuluh

Oleh itu, untuk tugasan sedemikian, menggunakan transformasi mudah dengan cara yang pantas, anda boleh mencari penyelesaian yang betul.

Contoh 4. Janjang geometri diberikan oleh formula berulang

Cari penyebut janjang geometri dan hasil tambah enam sebutan pertama.

Penyelesaian:

Mari kita tulis data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan

Ungkapkan penyebutnya dengan membahagikan persamaan kedua dengan yang pertama

Cari sebutan pertama janjang daripada persamaan pertama

Mari kita hitung lima sebutan seterusnya untuk mencari jumlah janjang geometri