Jika setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n , kemudian mereka mengatakan bahawa diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan berangka ialah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil ahli pertama urutan , nombor a 2 — ahli kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan lain-lain. Nombor a n dipanggil ahli ke- urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua ahli jiran a n dan a n +1 urutan ahli a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), a a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda mesti menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan diberikan dengan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli urutan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

jika a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Sekiranya a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh ahli pertama urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad dan tidak berkesudahan .

Urutan dipanggil muktamad jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan dipanggil tidak berkesudahan jika ia mempunyai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

turutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan dipanggil amaran , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ialah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ialah urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurangan dengan peningkatan bilangan, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonic, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - beberapa nombor.

Oleh itu, perbezaan antara ahli seterusnya dan sebelumnya bagi sesuatu yang diberikan janjang aritmetik sentiasa tetap:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menetapkan janjang aritmetik, cukup untuk menentukan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

jika a 1 = 3, d = 4 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaan d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh suatu janjang aritmetik

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

◄

Perhatikan bahawa n -ahli ke atas sesuatu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah ahli janjang aritmetik ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik, kesamaan adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sebagai

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n ahli janjang aritmetik adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dengan bilangan sebutan:

Daripada ini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika perlu untuk menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu janjang aritmetik diberikan, maka kuantitinya a 1 , a n, d, n danS n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

• jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
• jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
• jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

janjang geometri urutan dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nombor.

Oleh itu, nisbah bagi sebutan seterusnya janjang geometri ini kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menetapkan janjang geometri, cukup untuk menentukan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n -istilah ke- boleh didapati dengan formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh suatu janjang geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelumnya dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua salah satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan penegasan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahawa n sebutan ke- janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana istilah sebelumnya b k , yang mana ia sudah memadai untuk menggunakan formula

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua mana-mana anggota janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab ahli janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri, kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

secara eksponen

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sebagai

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= n.b. 1

Perhatikan bahawa jika kita perlu menjumlahkan terma

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

Sebagai contoh,

secara eksponen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu janjang geometri diberi, maka kuantitinya b 1 , b n, q, n dan S n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotonisitas :

• perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan q> 1;

b 1 < 0 dan 0 < q< 1;

• Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 dan q> 1.

Sekiranya q< 0 , maka janjang geometri adalah berselang seli: sebutan bernombor ganjilnya mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan bernombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri yang berselang-seli tidak monoton.

Produk pertama n sebutan janjang geometri boleh dikira dengan formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang daripada 1 , iaitu

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ini sesuai dengan kes ini

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya adalah berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menjumlahkan yang pertama n syarat perkembangan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Janjang aritmetik dan geometri adalah berkait rapat. Mari kita pertimbangkan hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , kemudian

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . — janjang aritmetik dengan beza 2 dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut q , kemudian

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 6 dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄

Matematik adalah apamanusia mengawal alam dan diri mereka sendiri.

Ahli matematik Soviet, ahli akademik A.N. Kolmogorov

Janjang geometri.

Bersama-sama dengan tugas tentang janjang aritmetik, tugasan yang berkaitan dengan konsep janjang geometri juga biasa dalam ujian masuk dalam matematik. Untuk berjaya menyelesaikan masalah tersebut, anda perlu mengetahui sifat janjang geometri dan mempunyai kemahiran yang baik dalam menggunakannya.

Artikel ini ditumpukan kepada pembentangan sifat utama janjang geometri. Ia juga menyediakan contoh penyelesaian masalah biasa, dipinjam daripada tugasan ujian masuk dalam matematik.

Mari kita perhatikan terlebih dahulu sifat utama janjang geometri dan ingat semula formula dan pernyataan yang paling penting, dikaitkan dengan konsep ini.

Definisi. Urutan berangka dipanggil janjang geometri jika setiap nombornya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor itu dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk janjang geometriformula adalah sah

, (1)

mana . Formula (1) dipanggil formula bagi istilah umum janjang geometri, dan formula (2) ialah sifat utama janjang geometri: setiap ahli janjang itu bertepatan dengan min geometri ahli jirannya dan .

Catatan, bahawa ia adalah tepat kerana sifat ini bahawa janjang yang dimaksudkan dipanggil "geometrik".

Formula (1) dan (2) di atas diringkaskan seperti berikut:

, (3)

Untuk mengira jumlah pertama ahli janjang geometriformula terpakai

Jika kita tentukan

mana . Oleh kerana , formula (6) ialah generalisasi formula (5).

Dalam kes apabila dan janjang geometrisemakin berkurangan. Untuk mengira jumlahdaripada semua ahli janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga, formula digunakan

. (7)

Sebagai contoh , menggunakan formula (7), seseorang boleh menunjukkan, apa

mana . Kesamaan ini diperoleh daripada formula (7) dengan syarat , (kesamaan pertama) dan , (kesamaan kedua).

Teorem. Jika , maka

Bukti. Jika , maka ,

Teorem telah terbukti.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah mengenai topik "Kemajuan geometri".

Contoh 1 Diberi: , dan . Untuk mencari .

Keputusan. Jika formula (5) digunakan, maka

Jawapan: .

Contoh 2 Biar dan . Untuk mencari .

Keputusan. Sejak dan , kita menggunakan formula (5), (6) dan mendapatkan sistem persamaan

Jika persamaan kedua bagi sistem (9) dibahagikan dengan yang pertama, kemudian atau . Daripada ini ia mengikuti . Mari kita pertimbangkan dua kes.

1. Jika , maka dari persamaan pertama sistem (9) kita ada.

2. Jika , maka .

Contoh 3 Biar , dan . Untuk mencari .

Keputusan. Ia mengikuti daripada formula (2) bahawa atau . Sejak , kemudian atau .

Dengan syarat. Walau bagaimanapun , oleh itu . Kerana dan , maka di sini kita mempunyai sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem dibahagikan dengan yang pertama, maka atau .

Oleh kerana , persamaan mempunyai satu punca yang sesuai . Dalam kes ini, persamaan pertama sistem membayangkan .

Dengan mengambil kira formula (7), kami memperoleh.

Jawapan: .

Contoh 4 Diberi: dan . Untuk mencari .

Keputusan. Sejak itu .

Kerana , kemudian atau

Mengikut formula (2), kita ada . Dalam hal ini, daripada kesamarataan (10) kita memperoleh atau .

Walau bagaimanapun, dengan syarat, oleh itu.

Contoh 5 Adalah diketahui bahawa . Untuk mencari .

Keputusan. Menurut teorem, kita mempunyai dua kesamaan

Sejak , kemudian atau . Kerana, kemudian.

Jawapan: .

Contoh 6 Diberi: dan . Untuk mencari .

Keputusan. Dengan mengambil kira formula (5), kami memperoleh

Sejak itu . Sejak , dan , kemudian .

Contoh 7 Biar dan . Untuk mencari .

Keputusan. Mengikut formula (1), kita boleh menulis

Oleh itu, kami mempunyai atau . Adalah diketahui bahawa dan , oleh itu dan .

Jawapan: .

Contoh 8 Cari penyebut bagi janjang geometri menurun tak terhingga jika

dan .

Keputusan. Daripada formula (7) ia berikut dan . Dari sini dan dari keadaan masalah, kita memperoleh sistem persamaan

Jika persamaan pertama sistem itu adalah kuasa dua, dan kemudian bahagikan persamaan yang terhasil dengan persamaan kedua, maka kita dapat

Ataupun .

Jawapan: .

Contoh 9 Cari semua nilai yang jujukan , , ialah janjang geometri.

Keputusan. Biar , dan . Menurut formula (2), yang mentakrifkan sifat utama janjang geometri, kita boleh menulis atau .

Dari sini kita mendapat persamaan kuadratik, yang akarnya dan .

Mari kita semak: jika, kemudian , dan ; jika , maka , dan .

Dalam kes pertama kita ada dan , dan dalam kedua - dan .

Jawapan: , .

Contoh 10selesaikan persamaan

, (11)

di mana dan .

Keputusan. Bahagian kiri persamaan (11) ialah hasil tambah janjang geometri menurun tak terhingga, di mana dan , dengan syarat: dan .

Daripada formula (7) ia berikut, apa . Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . akar yang sesuai persamaan kuadratik adalah

Jawapan: .

Contoh 11. P urutan nombor positifmembentuk janjang aritmetik, a - janjang geometri, apa kaitannya dengan . Untuk mencari .

Keputusan. Sebagai jujukan aritmetik, kemudian (sifat utama janjang aritmetik). Sejauh mana, kemudian atau . Ini bermakna, bahawa janjang geometri ialah. Mengikut formula (2), kemudian kita menulis itu.

Sejak dan , kemudian . Dalam kes itu, ungkapan mengambil borang atau . Dengan syarat, jadi dari persamaankita mendapatkan keputusan sahaja masalah yang sedang dipertimbangkan, iaitu .

Jawapan: .

Contoh 12. Kira jumlah

. (12)

Keputusan. Darab kedua-dua belah kesamaan (12) dengan 5 dan dapatkan

Jika kita tolak (12) daripada ungkapan yang terhasil, kemudian

atau .

Untuk mengira, kami menggantikan nilai ke dalam formula (7) dan mendapatkan . Sejak itu .

Jawapan: .

Contoh penyelesaian masalah yang diberikan di sini akan berguna kepada pemohon sebagai persediaan untuk peperiksaan kemasukan. Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah penyelesaian masalah, dikaitkan dengan janjang geometri, boleh digunakan panduan belajar daripada senarai literatur yang disyorkan.

1. Pengumpulan tugasan dalam matematik untuk pemohon ke universiti teknikal / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: bahagian tambahan kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Kursus penuh matematik asas dalam tugasan dan latihan. Buku 2: Urutan dan Kemajuan Nombor. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Sudah masuk Mesir Purba mengetahui bukan sahaja aritmetik, tetapi juga janjang geometri. Di sini, sebagai contoh, adalah tugas dari papirus Rhind: "Tujuh muka mempunyai tujuh kucing; setiap kucing makan tujuh tikus, setiap tikus makan tujuh biji jagung, setiap telinga boleh tumbuh tujuh sukat barli. Berapa besarkah nombor dalam siri ini dan jumlahnya?

nasi. 1. Masalah janjang geometri Mesir Purba

Tugasan ini diulang berkali-kali dengan variasi yang berbeza antara orang lain pada masa yang lain. Sebagai contoh, secara bertulis pada abad XIII. "Book of the abakus" oleh Leonardo of Pisa (Fibonacci) mempunyai masalah di mana 7 wanita tua muncul dalam perjalanan ke Rom (jelas jemaah haji), setiap satunya mempunyai 7 baghal, setiap satunya mempunyai 7 beg, setiap satunya mengandungi 7 roti, setiap satunya mempunyai 7 pisau, setiap satunya dalam 7 sarung. Masalahnya bertanya berapa banyak barang yang ada.

Hasil tambah n ahli pertama janjang geometri S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Formula ini boleh dibuktikan, sebagai contoh, seperti berikut: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Mari tambah nombor b 1 q n kepada S n dan dapatkan:

Oleh itu S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), dan kita mendapat formula yang diperlukan.

Sudah ada pada salah satu tablet tanah liat Babylon Purba, sejak abad VI. BC e., mengandungi jumlah 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Benar, seperti dalam beberapa kes lain, kita tidak tahu di mana fakta ini diketahui oleh orang Babylon .

Pertumbuhan pesat perkembangan geometri dalam beberapa budaya, khususnya, di India, berulang kali digunakan sebagai simbol visual tentang keluasan alam semesta. Dalam legenda yang terkenal tentang kemunculan catur, penguasa memberi peluang kepada pencipta mereka untuk memilih sendiri ganjaran, dan dia meminta sejumlah biji gandum yang akan diperoleh jika diletakkan pada sel pertama papan catur , dua pada yang kedua, empat pada yang ketiga, lapan pada yang keempat, dan lain-lain, setiap kali nombor itu digandakan. Tuanku fikir begitu kita bercakap, paling banyak, kira-kira beberapa beg, tetapi dia tersilap mengira. Adalah mudah untuk melihat bahawa untuk semua 64 petak papan catur pencipta sepatutnya menerima (2 64 - 1) butiran, yang dinyatakan sebagai nombor 20 digit; walaupun seluruh permukaan Bumi disemai, ia akan mengambil masa sekurang-kurangnya 8 tahun untuk mengumpul bilangan bijirin yang diperlukan. Legenda ini kadangkala ditafsirkan sebagai rujukan kepada kemungkinan yang hampir tidak terhad yang tersembunyi dalam permainan catur.

Fakta bahawa nombor ini benar-benar 20 digit adalah mudah untuk dilihat:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (pengiraan yang lebih tepat memberikan 1.84 10 19). Tetapi saya tertanya-tanya sama ada anda boleh mengetahui digit apakah nombor ini berakhir?

Janjang geometri meningkat jika penyebut lebih besar daripada 1 dalam nilai mutlak, atau menurun jika kurang daripada satu. Dalam kes kedua, nombor q n boleh menjadi kecil sewenang-wenangnya untuk n yang cukup besar. Walaupun eksponen yang semakin meningkat meningkat secara tidak dijangka dengan pantas, eksponen yang semakin berkurangan berkurangan dengan cepat.

Semakin besar n, semakin lemah nombor q n berbeza dari sifar, dan semakin hampir jumlah n ahli janjang geometri S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) dengan nombor S \u003d b 1 / (1 - q) . (Begitu alasan, sebagai contoh, F. Viet). Nombor S dipanggil hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga. Walau bagaimanapun, selama berabad-abad persoalan tentang apakah maksud penjumlahan bagi SEMUA janjang geometri, dengan bilangan sebutan yang tidak terhingga, tidak cukup jelas kepada ahli matematik.

Janjang geometri yang semakin berkurangan boleh dilihat, sebagai contoh, dalam aporia Zeno "Menggigit" dan "Achilles dan kura-kura". Dalam kes pertama, jelas menunjukkan bahawa keseluruhan jalan (anggap panjang 1) ialah jumlah bilangan tak terhingga bagi segmen 1/2, 1/4, 1/8, dsb. Ini, sudah tentu, adalah bagaimana keadaannya. dari sudut pandangan idea tentang janjang geometri tak terhingga jumlah terhingga. Namun - bagaimana ini boleh berlaku?

Dalam aporia tentang Achilles, keadaannya sedikit lebih rumit, kerana di sini penyebut janjang itu tidak sama dengan 1/2, tetapi dengan beberapa nombor lain. Biarkan, sebagai contoh, Achilles berlari pada kelajuan v, kura-kura bergerak pada kelajuan u, dan jarak awal antara mereka ialah l. Achilles akan berlari jarak ini dalam masa l / v , kura-kura akan bergerak jarak lu / v pada masa ini. Apabila Achilles berlari melalui segmen ini, jarak antara dia dan penyu akan menjadi sama dengan l (u / v) 2, dan lain-lain. Ternyata mengejar penyu bermakna mencari jumlah janjang geometri yang berkurangan tanpa terhingga dengan yang pertama. sebutan l dan penyebut u / v. Jumlah ini - segmen yang Achilles akhirnya akan lari ke titik pertemuan dengan penyu - adalah sama dengan l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Tetapi, sekali lagi, bagaimana keputusan ini harus ditafsirkan dan mengapa ia masuk akal sama sekali, masa yang lama ia tidak begitu jelas.

Jumlah janjang geometri digunakan oleh Archimedes semasa menentukan luas segmen parabola. Biarkan segmen parabola yang diberi dibatasi oleh kord AB dan biarkan tangen pada titik D parabola itu selari dengan AB. Biarkan C ialah titik tengah AB, E titik tengah AC, F titik tengah CB. Lukis garisan selari dengan DC melalui titik A , E , F , B ; biarkan tangen dilukis pada titik D , garisan ini bersilang pada titik K , L , M , N . Mari kita juga melukis segmen AD dan DB. Biarkan garis EL bersilang dengan garis AD pada titik G, dan parabola pada titik H; garis FM memotong garisan DB pada titik Q, dan parabola di titik R. Menurut teori umum bahagian kon, DC ialah diameter parabola (iaitu, segmen selari dengan paksinya); ia dan tangen pada titik D boleh berfungsi sebagai paksi koordinat x dan y, di mana persamaan parabola ditulis sebagai y 2 \u003d 2px (x ialah jarak dari D ke mana-mana titik diameter tertentu, y ialah panjang a segmen selari dengan tangen tertentu dari titik diameter ini ke beberapa titik pada parabola itu sendiri).

Berdasarkan persamaan parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , dan oleh kerana DK = 2DL , maka KA = 4LH . Oleh kerana KA = 2LG , LH = HG . Luas segmen ADB parabola adalah sama dengan luas segitiga ΔADB dan kawasan segmen AHD dan DRB digabungkan. Sebaliknya, luas segmen AHD adalah sama dengan luas segi tiga AHD dan baki segmen AH dan HD, dengan setiap satunya operasi yang sama boleh dilakukan - berpecah menjadi segitiga (Δ) dan dua bahagian yang tinggal (), dsb.:

Luas segi tiga ΔAHD adalah sama dengan separuh luas segi tiga ΔALD (mereka mempunyai tapak sepunya AD, dan ketinggian berbeza sebanyak 2 kali), yang, seterusnya, adalah sama dengan separuh luas ​segi tiga ΔAKD, dan oleh itu separuh luas segi tiga ΔACD. Oleh itu, luas segi tiga ΔAHD adalah sama dengan satu perempat daripada luas segi tiga ΔACD. Begitu juga, luas segi tiga ΔDRB adalah sama dengan satu perempat daripada luas segi tiga ΔDFB. Jadi, luas segi tiga ∆AHD dan ∆DRB, diambil bersama, adalah sama dengan satu perempat daripada luas segi tiga ∆ADB. Mengulangi operasi ini seperti yang digunakan pada segmen AH , HD , DR dan RB juga akan memilih segi tiga daripadanya, luas yang, diambil bersama, akan menjadi 4 kali kurang daripada luas segi tiga ΔAHD dan ΔDRB, diambil bersama-sama, dan oleh itu 16 kali lebih kecil, daripada luas segi tiga ΔADB . Dan lain-lain:

Oleh itu, Archimedes membuktikan bahawa "setiap segmen yang tertutup antara garis lurus dan parabola ialah empat pertiga daripada segi tiga, mempunyai tapak yang sama dan ketinggian yang sama."

Janjang geometri, bersama-sama dengan aritmetik, ialah siri nombor penting, yang dikaji dalam kursus sekolah algebra dalam darjah 9. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan penyebut janjang geometri, dan cara nilainya mempengaruhi sifatnya.

Definisi janjang geometri

Sebagai permulaan, kami memberikan definisi siri nombor ini. Janjang geometri ialah satu siri nombor rasional, yang dibentuk dengan mendarabkan unsur pertamanya secara berurutan dengan nombor tetap yang dipanggil penyebut.

Sebagai contoh, nombor dalam siri 3, 6, 12, 24, ... adalah janjang geometri, kerana jika kita darab 3 (elemen pertama) dengan 2, kita dapat 6. Jika kita darab 6 dengan 2, kita dapat 12, dan seterusnya.

Ahli-ahli jujukan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i ialah integer yang menunjukkan nombor unsur dalam siri itu.

Takrifan janjang di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an = bn-1 * a1, dengan b ialah penyebutnya. Mudah untuk menyemak formula ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapat a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita sekali lagi sampai kepada takrifan siri nombor yang sedang dipertimbangkan. Penaakulan yang sama boleh diteruskan untuk nilai yang besar n.

Penyebut bagi janjang geometri

Nombor b sepenuhnya menentukan watak keseluruhan siri nombor itu. Penyebut b boleh menjadi positif, negatif, atau lebih besar daripada atau kurang daripada satu. Semua pilihan di atas membawa kepada urutan yang berbeza:

• b > 1. Terdapat siri nombor rasional yang semakin meningkat. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 adalah negatif, maka keseluruhan jujukan akan meningkat hanya modulo, tetapi menurun dengan mengambil kira tanda nombor.
• b = 1. Selalunya kes sedemikian tidak dipanggil janjang, kerana terdapat siri biasa nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlah

Sebelum meneruskan semakan tugasan tertentu menggunakan penyebut jenis janjang yang sedang dipertimbangkan, formula penting harus diberikan untuk jumlah n unsur pertamanya. Formulanya ialah: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri jika anda mempertimbangkan urutan rekursif ahli janjang. Juga ambil perhatian bahawa dalam formula di atas, cukup untuk mengetahui hanya elemen pertama dan penyebut untuk mencari jumlahnya nombor sewenang-wenangnya ahli.

Urutan menurun tanpa had

Di atas adalah penjelasan tentang apa itu. Sekarang, mengetahui formula untuk Sn, mari kita gunakannya pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung kepada sifar apabila dinaikkan kepada kuasa besar, iaitu, b∞ => 0 jika -1

Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan sentiasa positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda hasil tambah janjang geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda unsur pertamanya a1.

Sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa masalah, di mana kita akan menunjukkan cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh kepada nombor tertentu.

Nombor tugas 1. Pengiraan unsur-unsur yang tidak diketahui janjang dan jumlah

Diberi janjang geometri, penyebut janjang itu ialah 2, dan unsur pertamanya ialah 3. Apakah sebutan ke-7 dan ke-10nya, dan apakah hasil tambah tujuh unsur awalnya?

Keadaan masalahnya agak mudah dan melibatkan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira elemen dengan nombor n, kita menggunakan ungkapan an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita dapat: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk ahli ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kami menggunakan formula yang terkenal untuk jumlah dan menentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri. Kami ada: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Nombor tugas 2. Menentukan jumlah unsur arbitrari janjang

Biarkan -2 ialah penyebut bagi janjang eksponen bn-1 * 4, dengan n ialah integer. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.

Masalah yang ditimbulkan tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan formula yang diketahui. Anda boleh menyelesaikannya dengan 2 pelbagai kaedah. Demi kesempurnaan, kami persembahkan kedua-duanya.

Kaedah 1. Ideanya mudah: anda perlu mengira dua jumlah yang sepadan bagi sebutan pertama, dan kemudian tolak yang lain daripada satu. Kira jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita mengira jumlah besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahawa dalam ungkapan terakhir, hanya 4 istilah telah disimpulkan, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut keadaan masalah. Akhirnya, kita ambil perbezaan: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Kaedah 2. Sebelum menggantikan nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula untuk jumlah di antara sebutan m dan n bagi siri berkenaan. Kami bertindak dengan cara yang sama seperti dalam kaedah 1, hanya kami bekerja terlebih dahulu dengan perwakilan simbolik jumlah. Kami mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda boleh menggantikan nombor yang diketahui ke dalam ungkapan yang terhasil dan mengira keputusan akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Nombor tugas 3. Apakah penyebutnya?

Biarkan a1 = 2, cari penyebut janjang geometri, dengan syarat jumlah tak terhingganya ialah 3, dan diketahui bahawa ini adalah siri nombor yang semakin berkurangan.

Mengikut keadaan masalah, tidak sukar untuk meneka formula yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah kemajuan yang semakin berkurangan. Kami mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebut: b = 1 - a1 / S∞. Ia kekal untuk menggantikan nilai yang diketahui dan mendapatkan nombor yang diperlukan: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 atau -0.333 (3). Kita boleh menyemak keputusan ini secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk jenis urutan ini, modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang anda lihat, |-1 / 3|

Nombor tugas 4. Memulihkan satu siri nombor

Biarkan 2 elemen siri nombor diberikan, sebagai contoh, yang ke-5 bersamaan dengan 30 dan yang ke-10 bersamaan dengan 60. Ia adalah perlu untuk memulihkan keseluruhan siri daripada data ini, dengan mengetahui bahawa ia memenuhi sifat janjang geometri.

Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti menulis ungkapan yang sepadan untuk setiap ahli yang diketahui. Kami mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang kita bahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita dapat: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebut dengan mengambil punca darjah kelima nisbah ahli yang diketahui daripada keadaan masalah, b = 1.148698. Kami menggantikan nombor yang terhasil ke dalam salah satu ungkapan untuk unsur yang diketahui, kami dapat: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Oleh itu, kita telah menemui apakah penyebut janjang bn, dan janjang geometri bn-1 * 17.2304966 = an, dengan b = 1.148698.

Di manakah janjang geometri digunakan?

Jika tiada aplikasi siri berangka ini dalam amalan, maka kajiannya akan dikurangkan kepada kepentingan teori semata-mata. Tetapi terdapat aplikasi sedemikian.

3 contoh yang paling terkenal disenaraikan di bawah:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang tangkas tidak dapat mengejar kura-kura yang perlahan, diselesaikan menggunakan konsep urutan nombor yang semakin berkurangan.
• Jika bijirin gandum diletakkan pada setiap sel papan catur supaya 1 biji diletakkan pada sel pertama, 2 - pada sel ke-2, 3 - pada ke-3, dan seterusnya, maka 18446744073709551615 bijirin akan diperlukan untuk mengisi semua sel papan!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk menyusun semula cakera dari satu batang ke batang lain, perlu melakukan operasi 2n - 1, iaitu, bilangannya meningkat secara eksponen daripada bilangan cakera n digunakan.

Formula untuk ahli ke-n bagi janjang geometri adalah perkara yang sangat mudah. Baik dari segi makna mahupun secara umum. Tetapi terdapat pelbagai masalah untuk formula ahli ke-1 - dari yang sangat primitif kepada yang agak serius. Dan dalam proses perkenalan kami, kami pasti akan mempertimbangkan kedua-duanya. Baiklah, mari kita berjumpa?)

Jadi, sebagai permulaan, sebenarnya formulan

Inilah dia:

b n = b 1 · q n -1

Formula sebagai formula, tiada yang ghaib. Ia kelihatan lebih ringkas dan lebih padat daripada formula serupa untuk . Maksud formulanya juga mudah, seperti but felt.

Formula ini membolehkan anda mencari MANA-MANA ​​ahli janjang geometri MENGIKUT NOMBORNYA " n".

Seperti yang anda lihat, maknanya adalah analogi lengkap dengan janjang aritmetik. Kita tahu nombor n - kita juga boleh mengira istilah di bawah nombor ini. Apa yang kita mahu. Tidak mendarab secara berurutan dengan "q" berkali-kali. Itulah keseluruhannya.)

Saya faham bahawa pada tahap kerja dengan janjang ini, semua kuantiti yang disertakan dalam formula sepatutnya sudah jelas kepada anda, tetapi saya menganggap tugas saya untuk menguraikan setiap satu. Untuk berjaga-jaga.

Jadi mari kita pergi:

b 1 – pertama ahli janjang geometri;

q – ;

n– nombor ahli;

b n – ke (nke) ahli janjang geometri.

Formula ini menghubungkan empat parameter utama mana-mana janjang geometri - bn, b 1 , q dan n. Dan sekitar empat tokoh utama ini, semua-semua tugas dalam perkembangan berputar.

"Dan bagaimana ia dipaparkan?"- Saya mendengar soalan ingin tahu ... Elementary! Lihatlah!

Apa yang sama dengan kedua ahli kemajuan? Tiada masalah! Kami menulis secara langsung:

b 2 = b 1 q

Dan ahli ketiga? Bukan masalah pun! Kita darabkan sebutan kedua sekali lagi padaq.

seperti ini:

B 3 \u003d b 2 q

Ingat sekarang bahawa sebutan kedua, seterusnya, adalah sama dengan b 1 q dan gantikan ungkapan ini ke dalam kesamaan kita:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Kita mendapatkan:

B 3 = b 1 q 2

Sekarang mari baca entri kami dalam bahasa Rusia: ketiga sebutan adalah sama dengan sebutan pertama didarab dengan q dalam kedua ijazah. Adakah anda faham? Belum lagi? Okay, satu langkah lagi.

Apakah penggal keempat? Semuanya sama! gandakan sebelumnya(iaitu sebutan ketiga) pada q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Jumlah:

B 4 = b 1 q 3

Dan sekali lagi kami terjemahkan ke dalam bahasa Rusia: keempat sebutan adalah sama dengan sebutan pertama didarab dengan q dalam ketiga ijazah.

Dan lain-lain. Jadi bagaimana? Adakah anda menangkap coraknya? Ya! Untuk sebarang sebutan dengan sebarang nombor, bilangan faktor yang sama q (iaitu kuasa penyebut) akan sentiasa kurang satu daripada bilangan ahli yang dikehendakin.

Oleh itu, formula kami adalah, tanpa pilihan:

b n =b 1 · q n -1

Itu sahaja.)

Baiklah, mari kita selesaikan masalah, boleh?)

Menyelesaikan masalah pada formulansebutan ke- bagi suatu janjang geometri.

Mari kita mulakan, seperti biasa, dengan aplikasi langsung formula. Berikut adalah masalah biasa:

Ia diketahui secara eksponen bahawa b 1 = 512 dan q = -1/2. Cari sebutan kesepuluh bagi janjang itu.

Sudah tentu, masalah ini boleh diselesaikan tanpa sebarang formula sama sekali. Sama seperti janjang geometri. Tetapi kita perlu memanaskan badan dengan formula penggal ke-n, bukan? Di sini kita berpisah.

Data kami untuk menggunakan formula adalah seperti berikut.

Istilah pertama diketahui. Ini ialah 512.

b 1 = 512.

Penyebut janjang juga diketahui: q = -1/2.

Ia kekal hanya untuk memikirkan berapa bilangan istilah n adalah sama dengan. Tiada masalah! Adakah kita berminat dengan penggal kesepuluh? Jadi kita menggantikan sepuluh dan bukannya n dalam formula am.

Dan berhati-hati mengira aritmetik:

Jawapan: -1

Seperti yang anda lihat, penggal kesepuluh janjang itu ternyata dengan tolak. Tidak hairanlah: penyebut janjang ialah -1/2, i.e. negatif nombor. Dan ini memberitahu kita bahawa tanda-tanda perkembangan kita silih berganti, ya.)

Semuanya mudah di sini. Dan di sini adalah masalah yang sama, tetapi sedikit lebih rumit dari segi pengiraan.

Dalam janjang geometri, kita tahu bahawa:

b 1 = 3

Cari sebutan ketiga belas janjang itu.

Semuanya sama, hanya kali ini penyebut janjang - tidak rasional. Akar dua. Nah, bukan masalah besar. Formula adalah perkara universal, ia mengatasi sebarang nombor.

Kami bekerja secara langsung mengikut formula:

Formula itu, sudah tentu, berfungsi sebagaimana mestinya, tetapi ... di sinilah beberapa akan bergantung. Apa yang perlu dilakukan seterusnya dengan akar? Bagaimana untuk menaikkan akar kepada kuasa kedua belas?

Bagaimana-bagaimana ... Anda perlu memahami bahawa apa-apa formula, sudah tentu, adalah perkara yang baik, tetapi pengetahuan tentang semua matematik terdahulu tidak dibatalkan! Bagaimana untuk menaikkan? Ya, ingat sifat-sifat darjah! Jom tukar akar kepada darjah pecahan dan - dengan formula menaikkan kuasa kepada kuasa.

seperti ini:

Jawapan: 192

Dan semua perkara.)

Apakah kesukaran utama dalam aplikasi langsung formula sebutan ke-n? Ya! Kesukaran utama ialah bekerja dengan ijazah! Iaitu, eksponensial nombor negatif, pecahan, akar dan struktur yang serupa. Jadi mereka yang mempunyai masalah dengan ini, permintaan segera untuk mengulang ijazah dan harta mereka! Jika tidak, anda akan perlahan dalam topik ini, ya ...)

Sekarang mari kita selesaikan masalah carian biasa salah satu elemen formula jika semua yang lain diberikan. Untuk penyelesaian yang berjaya untuk masalah sedemikian, resipinya adalah tunggal dan mudah untuk menakutkan - tulis formulanahli ke dalam Pandangan umum! Betul-betul dalam buku nota bersebelahan dengan keadaan. Dan kemudian, dari syarat itu, kita memikirkan apa yang diberikan kepada kita dan apa yang tidak mencukupi. Dan kami menyatakan dari formula nilai yang dikehendaki. Semuanya!

Sebagai contoh, masalah yang tidak berbahaya.

Sebutan kelima bagi suatu janjang geometri dengan penyebut 3 ialah 567. Cari sebutan pertama bagi janjang ini.

Tiada yang rumit. Kami bekerja secara langsung mengikut mantra.

Kami menulis formula penggal ke-n!

b n = b 1 · q n -1

Apa yang diberikan kepada kita? Pertama, penyebut janjang diberikan: q = 3.

Di samping itu, kita diberi penggal kelima: b 5 = 567 .

Semuanya? Tidak! Kami juga diberi nombor n! Ini ialah lima: n = 5.

Saya harap anda sudah faham apa yang ada dalam rekod b 5 = 567 dua parameter disembunyikan sekaligus - ini adalah ahli kelima itu sendiri (567) dan nombornya (5). Dalam pelajaran yang sama tentang saya sudah bercakap tentang ini, tetapi saya fikir ia tidak berlebihan untuk diingatkan di sini.)

Sekarang kami menggantikan data kami ke dalam formula:

567 = b 1 3 5-1

Kami menganggap aritmetik, memudahkan dan mendapatkan yang mudah persamaan linear:

81 b 1 = 567

Kami menyelesaikan dan mendapat:

b 1 = 7

Seperti yang anda lihat, tiada masalah untuk mencari ahli pertama. Tetapi apabila mencari penyebut q dan nombor n mungkin ada kejutan. Dan anda juga perlu bersedia untuk mereka (kejutan), ya.)

Sebagai contoh, masalah sedemikian:

Sebutan kelima bagi janjang geometri dengan penyebut positif ialah 162, dan sebutan pertama janjang ini ialah 2. Cari penyebut janjang itu.

Kali ini kami diberi ahli pertama dan kelima, dan diminta untuk mencari penyebut janjang itu. Di sini kita bermula.

Kami menulis formulanahli ke!

b n = b 1 · q n -1

Data awal kami adalah seperti berikut:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Tak cukup nilai q. Tiada masalah! Mari cari sekarang.) Kami menggantikan semua yang kita tahu ke dalam formula.

Kita mendapatkan:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Persamaan mudah darjah keempat. Tetapi sekarang - berhati-hati! Pada peringkat penyelesaian ini, ramai pelajar segera mengekstrak akar (darjah keempat) dengan gembira dan mendapatkan jawapannya q=3 .

seperti ini:

q4 = 81

q = 3

Tetapi secara umum, ini adalah jawapan yang belum selesai. Atau sebaliknya, tidak lengkap. kenapa? Intinya ialah jawapannya q = -3 juga sesuai: (-3) 4 juga akan menjadi 81!

Ini kerana persamaan kuasa x n = a sentiasa ada dua akar bertentangan di malahn . Tambah dan tolak:

Kedua-duanya sesuai.

Sebagai contoh, menyelesaikan (iaitu. kedua darjah)

x2 = 9

Atas sebab tertentu anda tidak terkejut dengan penampilan dua punca x=±3? Kat sini pun sama. Dan dengan mana-mana yang lain malah darjah (keempat, keenam, kesepuluh, dll.) akan sama. Butiran - dalam topik tentang

Jadi penyelesaian yang betul akan menjadi seperti ini:

q 4 = 81

q= ±3

Baiklah, kami telah mengetahui tanda-tandanya. Mana satu betul - tambah atau tolak? Nah, kita membaca keadaan masalah sekali lagi untuk mencari maklumat tambahan. Ia, sudah tentu, mungkin tidak wujud, tetapi dalam masalah ini maklumat tersebut tersedia. Dalam keadaan kami, secara langsung dinyatakan bahawa kemajuan diberikan dengan penyebut positif.

Jadi jawapannya adalah jelas:

q = 3

Semuanya mudah di sini. Pada pendapat anda, apakah yang akan berlaku jika penyataan masalah adalah seperti ini:

Sebutan kelima suatu janjang geometri ialah 162, dan sebutan pertama janjang ini ialah 2. Cari penyebut janjang itu.

Apa perbezaannya? Ya! Dalam keadaan tiada apa tidak menyebut penyebutnya. Tidak secara langsung mahupun tidak langsung. Dan di sini masalahnya sudah ada dua penyelesaian!

q = 3 dan q = -3

Ya Ya! Dan dengan tambah dan tolak.) Secara matematik, fakta ini bermakna terdapat dua janjang yang sesuai dengan tugasan. Dan untuk setiap - penyebutnya sendiri. Untuk keseronokan, berlatih dan tulis lima penggal pertama setiap satu.)

Sekarang mari kita berlatih mencari nombor ahli. Ini yang paling sukar, ya. Tetapi juga lebih kreatif.

Diberi janjang geometri:

3; 6; 12; 24; …

Apakah nombor 768 dalam janjang ini?

Langkah pertama adalah sama: tulis formulanahli ke!

b n = b 1 · q n -1

Dan sekarang, seperti biasa, kami menggantikan data yang diketahui kami ke dalamnya. Hm... tak sesuai! Di mana ahli pertama, di mana penyebutnya, di mana semua yang lain?!

Di mana, di mana ... Mengapa kita memerlukan mata? Melebatkan bulu mata? Kali ini perkembangan diberikan kepada kami secara langsung dalam bentuk urutan. Bolehkah kita melihat penggal pertama? Kita lihat! Ini ialah rangkap tiga (b 1 = 3). Bagaimana dengan penyebutnya? Kami tidak melihatnya lagi, tetapi ia sangat mudah untuk dikira. Jika, sudah tentu, anda faham.

Di sini kita pertimbangkan. Secara langsung mengikut maksud janjang geometri: kami mengambil mana-mana ahlinya (kecuali yang pertama) dan membahagikan dengan yang sebelumnya.

Sekurang-kurangnya seperti ini:

q = 24/12 = 2

Apa lagi yang kita tahu? Kami juga mengetahui beberapa ahli janjang ini, bersamaan dengan 768. Di bawah beberapa nombor n:

b n = 768

Kami tidak tahu nombornya, tetapi tugas kami adalah mencarinya.) Jadi kami mencari. Kami telah memuat turun semua data yang diperlukan untuk penggantian dalam formula. Tanpa terasa.)

Di sini kami menggantikan:

768 = 3 2n -1

Kami membuat yang asas - kami membahagikan kedua-dua bahagian dengan tiga dan menulis semula persamaan dalam bentuk biasa: yang tidak diketahui di sebelah kiri, yang diketahui di sebelah kanan.

Kita mendapatkan:

2 n -1 = 256

Berikut adalah persamaan yang menarik. Kita perlu mencari "n". Apa yang luar biasa? Ya, saya tidak membantah. Sebenarnya, ia adalah yang paling mudah. Ia dipanggil sedemikian kerana yang tidak diketahui (dalam kes ini nombor ini n) berdiri di dalam penunjuk ijazah.

Pada peringkat berkenalan dengan janjang geometri (ini adalah gred kesembilan), persamaan eksponen tidak diajar untuk menyelesaikan, ya ... Ini adalah topik untuk sekolah menengah. Tetapi tidak ada yang mengerikan. Walaupun anda tidak tahu bagaimana persamaan tersebut diselesaikan, mari cuba cari persamaan kami n berpandukan logik yang mudah dan akal.

Kita mula berbincang. Di sebelah kiri kita mempunyai deuce pada tahap tertentu. Kami belum tahu apa sebenarnya ijazah ini, tetapi ini tidak menakutkan. Tetapi sebaliknya, kita benar-benar tahu bahawa ijazah ini bersamaan dengan 256! Jadi kita ingat sejauh mana deuce memberi kita 256. Ingat? Ya! AT kelapan darjah!

256 = 2 8

Jika anda tidak ingat atau dengan pengiktirafan tahap masalah, maka tidak mengapa: kami hanya menaikkan kedua-duanya secara berturut-turut ke segi empat sama, ke kubus, ke kuasa keempat, kelima, dan seterusnya. Pemilihan, sebenarnya, tetapi pada tahap ini, adalah agak perjalanan.

Satu cara atau yang lain, kita akan mendapat:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Jadi 768 adalah kesembilan ahli kemajuan kami. Itu sahaja, masalah selesai.)

Jawapan: 9

Apa? membosankan? Bosan dengan sekolah rendah? Saya setuju. Saya juga. Mari kita pergi ke peringkat seterusnya.)

Tugas yang lebih kompleks.

Dan kini kami menyelesaikan teka-teki dengan lebih mendadak. Tidak betul-betul hebat, tetapi anda perlu berusaha sedikit untuk mendapatkan jawapannya.

Sebagai contoh, seperti ini.

Cari sebutan kedua bagi suatu janjang geometri jika sebutan keempatnya ialah -24 dan sebutan ketujuh ialah 192.

Ini adalah genre klasik. Beberapa dua ahli perkembangan yang berbeza diketahui, tetapi seorang lagi ahli mesti ditemui. Lagipun semua ahli BUKAN jiran. Apa yang mengelirukan pada mulanya, ya ...

Seperti dalam , kami mempertimbangkan dua kaedah untuk menyelesaikan masalah tersebut. Cara pertama adalah universal. Algebra. Berfungsi dengan sempurna dengan mana-mana data sumber. Jadi di situlah kita akan bermula.)

Kami melukis setiap istilah mengikut formula nahli ke!

Semuanya betul-betul sama seperti dengan janjang aritmetik. Cuma kali ini kami bekerjasama yang lain formula am. Itu sahaja.) Tetapi intipatinya adalah sama: kita ambil dan mengikut giliran kami menggantikan data awal kami ke dalam formula sebutan ke-n. Untuk setiap ahli - mereka sendiri.

Untuk penggal keempat kami menulis:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Terdapat. Satu persamaan sudah lengkap.

Untuk penggal ketujuh kami menulis:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Secara keseluruhan, dua persamaan diperolehi untuk perkembangan yang sama .

Kami mengumpulkan sistem daripada mereka:

Walaupun penampilannya yang menggerunkan, sistem ini agak mudah. Cara yang paling jelas untuk menyelesaikan adalah penggantian biasa. Kami meluahkan b 1 daripada persamaan atas dan gantikan kepada persamaan yang lebih rendah:

Sedikit mengutak-atik persamaan yang lebih rendah (mengurangkan eksponen dan membahagi dengan -24) menghasilkan:

q 3 = -8

Dengan cara ini, persamaan yang sama boleh dicapai dengan cara yang lebih mudah! Apa? Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda satu lagi rahsia, tetapi sangat cantik, berkuasa dan cara yang berguna penyelesaian untuk sistem sedemikian. Sistem sedemikian, dalam persamaan yang mereka duduk hanya berfungsi. Sekurang-kurangnya dalam satu. dipanggil kaedah pembahagian istilah satu persamaan kepada persamaan yang lain.

Jadi kami mempunyai sistem:

Dalam kedua-dua persamaan di sebelah kiri - kerja, dan di sebelah kanan hanyalah nombor. Ini sangat petanda baik.) Mari kita ambil dan ... bahagikan, katakan, persamaan bawah dengan yang atas! Apa maksudnya, bahagikan satu persamaan dengan persamaan yang lain? Sangat ringkas. Kami ambil sebelah kiri satu persamaan (rendah) dan kita bahagikan dia pada sebelah kiri persamaan lain (atas). Bahagian kanan adalah serupa: sebelah kanan satu persamaan kita bahagikan pada sebelah kanan yang lain.

Seluruh proses pembahagian kelihatan seperti ini:

Sekarang, mengurangkan semua yang dikurangkan, kita dapat:

q 3 = -8

Apa yang bagus tentang kaedah ini? Ya, kerana dalam proses pembahagian sedemikian, segala yang buruk dan menyusahkan boleh dikurangkan dengan selamat dan persamaan yang sama sekali tidak berbahaya kekal! Itulah sebabnya ia sangat penting untuk dimiliki hanya pendaraban dalam sekurang-kurangnya satu daripada persamaan sistem. Tiada pendaraban - tiada apa yang perlu dikurangkan, ya ...

Secara umum, kaedah ini (seperti banyak cara lain yang tidak remeh untuk menyelesaikan sistem) malah memerlukan pelajaran yang berasingan. Saya pasti akan melihatnya dengan lebih dekat. Suatu hari nanti…

Walau bagaimanapun, tidak kira bagaimana anda menyelesaikan sistem, dalam apa jua keadaan, kini kita perlu menyelesaikan persamaan yang terhasil:

q 3 = -8

Tiada masalah: kami mengekstrak akar (kubik) dan - selesai!

Sila ambil perhatian bahawa tidak perlu meletakkan tambah / tolak di sini semasa mengekstrak. Kami mempunyai akar darjah ganjil (ketiga). Dan jawapannya adalah sama, ya.

Jadi, penyebut janjang ditemui. Tolak dua. baiklah! Proses sedang dijalankan.)

Untuk sebutan pertama (katakan dari persamaan teratas) kita dapat:

baiklah! Kita tahu sebutan pertama, kita tahu penyebutnya. Dan kini kami mempunyai peluang untuk mencari mana-mana ahli perkembangan. Termasuk yang kedua.)

Untuk ahli kedua, semuanya agak mudah:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Jawapan: -6

Jadi, kami telah menyusun cara algebra untuk menyelesaikan masalah tersebut. Rumit? Tidak banyak, saya setuju. Panjang dan membosankan? Ya sememangnya. Tetapi kadangkala anda boleh mengurangkan jumlah kerja dengan ketara. Untuk ini ada cara grafik. Baik lama dan biasa kepada kita oleh .)

Mari kita lukiskan masalahnya!

Ya! Tepat sekali. Sekali lagi kami menggambarkan perkembangan kami pada paksi nombor. Tidak semestinya oleh pembaris, tidak perlu mengekalkan selang yang sama antara ahli (yang, dengan cara itu, tidak akan sama, kerana janjangnya adalah geometri!), Tetapi hanya secara skematik lukis urutan kami.

Saya mendapatnya seperti ini:

Sekarang lihat gambar dan fikirkan. Berapa banyak bahagian "q" yang sama keempat dan ketujuh ahli? Betul, tiga!

Oleh itu, kami mempunyai hak untuk menulis:

-24q 3 = 192

Dari sini kini mudah untuk mencari q:

q 3 = -8

q = -2

Baguslah, penyebutnya sudah ada dalam poket kita. Dan sekarang kita melihat gambar sekali lagi: berapa banyak penyebut seperti itu berada di antara kedua dan keempat ahli? Dua! Oleh itu, untuk merekodkan hubungan antara ahli ini, kami akan menaikkan penyebutnya kuasa dua.

Di sini kami menulis:

b 2 · q 2 = -24 , di mana b 2 = -24/ q 2

Kami menggantikan penyebut kami yang ditemui ke dalam ungkapan untuk b 2 , kira dan dapatkan:

Jawapan: -6

Seperti yang anda lihat, semuanya lebih mudah dan lebih pantas daripada melalui sistem. Lebih-lebih lagi, di sini kita tidak perlu mengira penggal pertama sama sekali! sama sekali.)

Berikut adalah cara-cahaya yang mudah dan visual. Tetapi ia juga mempunyai kelemahan yang serius. Tebak? Ya! Ia hanya baik untuk kepingan perkembangan yang sangat pendek. Mereka yang jarak antara ahli yang diminati kepada kami tidaklah terlalu besar. Tetapi dalam semua kes lain sudah sukar untuk melukis gambar, ya ... Kemudian kami menyelesaikan masalah secara analitikal, melalui sistem.) Dan sistem adalah perkara universal. Berurusan dengan sebarang nombor.

Satu lagi epik:

Sebutan kedua janjang geometri ialah 10 lebih daripada yang pertama, dan sebutan ketiga ialah 30 lebih daripada yang kedua. Cari penyebut janjang itu.

Apa yang menarik? Tidak sama sekali! Semuanya sama. Kami sekali lagi menterjemahkan keadaan masalah kepada algebra tulen.

1) Kami melukis setiap istilah mengikut formula nahli ke!

Sebutan kedua: b 2 = b 1 q

Penggal ketiga: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Kami menulis hubungan antara ahli dari keadaan masalah.

Membaca syarat: "Sebutan kedua janjang geometri ialah 10 lebih daripada yang pertama." Berhenti, ini berharga!

Jadi kami menulis:

b 2 = b 1 +10

Dan kami menterjemah frasa ini ke dalam matematik tulen:

b 3 = b 2 +30

Kami mendapat dua persamaan. Kami menggabungkannya ke dalam satu sistem:

Sistem ini kelihatan mudah. Tetapi terdapat banyak indeks yang berbeza untuk huruf. Mari gantikan bukan ahli kedua dan ketiga ekspresi mereka melalui ahli dan penyebut pertama! Sia-sia, atau apa, kita melukisnya?

Kita mendapatkan:

Tetapi sistem sedemikian bukan lagi hadiah, ya ... Bagaimana untuk menyelesaikannya? Malangnya, mantra rahsia universal untuk menyelesaikan kompleks bukan linear Tiada sistem dalam matematik dan tidak boleh ada. Ia hebat! Tetapi perkara pertama yang perlu terlintas di fikiran anda apabila cuba memecahkan masalah yang sukar adalah untuk memikirkannya dan tidak salah satu daripada persamaan sistem berkurangan kepada pemandangan Indah, membenarkan, sebagai contoh, untuk dengan mudah menyatakan salah satu pembolehubah dari segi yang lain?

Jom teka. Persamaan pertama sistem jelas lebih mudah daripada yang kedua. Kami akan menyeksanya.) Mengapa tidak mencuba dari persamaan pertama sesuatu nyatakan melalui sesuatu? Oleh kerana kita ingin mencari penyebutnya q, maka adalah lebih berfaedah bagi kita untuk menyatakannya b 1 melalui q.

Jadi mari kita cuba lakukan prosedur ini dengan persamaan pertama, menggunakan yang lama yang baik:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Semuanya! Di sini kami telah menyatakan tidak perlu kita pembolehubah (b 1) melalui perlu(q). Ya, bukan ungkapan paling mudah yang diterima. Beberapa jenis pecahan ... Tetapi sistem kami berada pada tahap yang baik, ya.)

tipikal. Apa yang perlu dilakukan - kami tahu.

Kami menulis ODZ (semestinya!) :

q ≠ 1

Kami mendarabkan semuanya dengan penyebut (q-1) dan mengurangkan semua pecahan:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Kami membahagikan semuanya dengan sepuluh, buka kurungan, kumpulkan semuanya di sebelah kiri:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Kami menyelesaikan yang terhasil dan mendapatkan dua akar:

q 1 = 1

q 2 = 3

Hanya ada satu jawapan terakhir: q = 3 .

Jawapan: 3

Seperti yang anda lihat, cara untuk menyelesaikan kebanyakan masalah untuk formula ahli ke-n bagi janjang geometri adalah sentiasa sama: kita membaca dengan penuh perhatian keadaan masalah dan menggunakan formula istilah ke-n kita terjemahkan keseluruhannya informasi berguna ke dalam algebra tulen.

Iaitu:

1) Kami menulis secara berasingan setiap ahli yang diberikan dalam masalah mengikut formulanahli ke.

2) Daripada keadaan masalah, kami menterjemahkan perkaitan antara ahli ke dalam bentuk matematik. Kami menyusun persamaan atau sistem persamaan.

3) Kami menyelesaikan persamaan atau sistem persamaan yang terhasil, cari parameter janjang yang tidak diketahui.

4) Sekiranya terdapat jawapan yang tidak jelas, kami membaca dengan teliti keadaan masalah untuk mencari maklumat tambahan (jika ada). Kami juga menyemak jawapan yang diterima dengan syarat-syarat ODZ (jika ada).

Dan kini kami menyenaraikan masalah utama yang paling kerap membawa kepada ralat dalam proses menyelesaikan masalah janjang geometri.

1. Aritmetik asas. Operasi dengan pecahan dan nombor negatif.

2. Jika sekurang-kurangnya satu daripada tiga perkara ini adalah masalah, maka anda pasti akan tersilap dalam topik ini. Malangnya... Jadi jangan malas dan ulangi apa yang disebutkan di atas. Dan ikuti pautan - pergi. Kadang-kadang ia membantu.)

Formula yang diubah suai dan berulang.

Dan sekarang mari kita lihat beberapa masalah peperiksaan biasa dengan pembentangan keadaan yang kurang biasa. Ya, ya, anda menekanya! Ini adalah diubahsuai dan berulang formula ahli ke-n. Kami telah pun menemui formula sedemikian dan bekerja dalam janjang aritmetik. Semuanya serupa di sini. Intipatinya sama.

Sebagai contoh, masalah sedemikian daripada OGE:

Janjang geometri diberikan oleh formula b n = 3 2 n . Cari hasil tambah bagi sebutan pertama dan keempat.

Kali ini perkembangan diberikan kepada kami tidak seperti biasa. Semacam formula. Jadi apa? Formula ini adalah juga formulanahli ke! Kita semua tahu bahawa rumus istilah ke-n boleh ditulis dalam bentuk umum, melalui huruf, dan untuk perkembangan tertentu. Dengan khusus sebutan pertama dan penyebut.

Dalam kes kami, kami sebenarnya diberi formula istilah umum untuk janjang geometri dengan parameter berikut:

b 1 = 6

q = 2

Mari kita semak?) Mari kita tulis rumus sebutan ke-n dalam bentuk am dan gantikan ke dalamnya b 1 dan q. Kita mendapatkan:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Kami memudahkan, menggunakan pemfaktoran dan sifat kuasa, dan mendapatkan:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Seperti yang anda lihat, semuanya adil. Tetapi matlamat kami bersama anda bukanlah untuk menunjukkan terbitan formula tertentu. Begitulah, penyimpangan lirik. Semata-mata untuk pemahaman.) Matlamat kami adalah untuk menyelesaikan masalah mengikut formula yang diberikan kepada kami dalam keadaan. Adakah anda menangkapnya?) Jadi kami sedang bekerja dengan formula yang diubah suai secara langsung.

Kami mengira penggal pertama. Pengganti n=1 ke dalam formula umum:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

macam ni. Dengan cara ini, saya tidak terlalu malas dan sekali lagi saya akan menarik perhatian anda kepada kesilapan biasa dengan pengiraan penggal pertama. JANGAN tengok formula b n= 3 2n, segera bergegas untuk menulis bahawa ahli pertama adalah troika! Ia satu kesilapan besar, ya...)

Kita teruskan. Pengganti n=4 dan pertimbangkan penggal keempat:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Dan akhirnya, kami mengira jumlah yang diperlukan:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Jawapan: 54

Masalah lain.

Janjang geometri diberikan oleh syarat:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Cari sebutan keempat janjang itu.

Di sini perkembangan diberikan oleh formula berulang. Baiklah.) Bagaimana untuk bekerja dengan formula ini - kami juga tahu.

Di sini kami berlakon. Langkah demi langkah.

1) mengira dua berturut-turut ahli kemajuan.

Penggal pertama sudah diberikan kepada kita. Tolak tujuh. Tetapi istilah kedua seterusnya, boleh dikira dengan mudah menggunakan formula rekursif. Jika anda memahami cara ia berfungsi, sudah tentu.)

Di sini kita mempertimbangkan penggal kedua menurut yang terkenal dahulu:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Kami menganggap penyebut janjang itu

Juga tiada masalah. Lurus, kongsi kedua batang pada pertama.

Kita mendapatkan:

q = -21/(-7) = 3

3) Tulis formulanahli ke dalam bentuk biasa dan pertimbangkan ahli yang dikehendaki.

Jadi, kita tahu sebutan pertama, penyebutnya juga. Di sini kami menulis:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Jawapan: -189

Seperti yang anda lihat, bekerja dengan formula sedemikian untuk janjang geometri pada asasnya tidak berbeza daripada itu untuk janjang aritmetik. Ia hanya penting untuk memahami intipati umum dan makna formula ini. Nah, maksud janjang geometri juga perlu difahami, ya.) Dan kemudian tidak akan ada kesilapan bodoh.

Baiklah, mari kita buat keputusan sendiri?)

Tugas yang agak asas, untuk memanaskan badan:

1. Diberi satu janjang geometri di mana b 1 = 243, dan q = -2/3. Cari sebutan keenam janjang itu.

2. Sebutan lazim bagi janjang geometri diberikan oleh formula b n = 5∙2 n +1 . Cari nombor ahli tiga digit terakhir janjang ini.

3. Janjang geometri diberikan oleh syarat:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Cari sebutan kelima janjang itu.

Sedikit lebih rumit:

4. Diberi janjang geometri:

b 1 =2048; q =-0,5

Apakah sebutan negatif keenam daripadanya?

Apa yang kelihatan sangat sukar? Tidak sama sekali. Logik dan pemahaman tentang maksud janjang geometri akan menjimatkan. Nah, formula penggal ke-n, sudah tentu.

5. Sebutan ketiga janjang geometri ialah -14 dan sebutan kelapan ialah 112. Cari penyebut janjang itu.

6. Hasil tambah sebutan pertama dan kedua bagi suatu janjang geometri ialah 75, dan hasil tambah sebutan kedua dan ketiga ialah 150. Cari sebutan keenam janjang itu.

Jawapan (berantakan): 6; -3888; -satu; 800; -32; 448.

Itu hampir semua. Ia kekal hanya untuk belajar mengira hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri ya temui janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dan jumlahnya. Satu perkara yang sangat menarik dan luar biasa, dengan cara itu! Lebih lanjut mengenainya dalam pelajaran kemudian.)