Perkembangan aritmetik   dipanggil urutan nombor (ahli-ahli perkembangan)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeza dari yang sebelumnya dengan istilah keluli, yang juga dipanggil langkah atau perbezaan perkembangan.

Oleh itu, menetapkan langkah perkembangan dan istilah pertamanya, seseorang boleh mencari unsur-unsur itu dengan formula

Sifat perkembangan aritmetik

1) Setiap ahli perkembangan aritmetik, bermula dari nombor kedua adalah min aritmetik dari ahli sebelumnya dan seterusnya perkembangan

Berbincang juga benar. Sekiranya purata aritmetik dari ahli ganjil (walaupun) jiran yang bersamaan adalah sama dengan anggota yang berada di antara mereka, maka urutan nombor ini adalah perkembangan aritmetik. Mengikut pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa sebarang urutan.

Selain itu, oleh sifat perkembangan aritmetik, formula di atas boleh diselaraskan kepada yang berikut

Ini mudah untuk melihat jika anda menulis istilah di sebelah kanan tanda yang sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam tugas.

2) Jumlah ahli n pertama perkembangan aritmetik dikira oleh formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah perkembangan aritmetik, ia sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup biasa dalam situasi hidup mudah.

3) Jika anda tidak perlu mencari jumlah keseluruhan, tetapi sebahagian daripada urutan yang bermula dari ahli kthnya, maka formula jumlah berikut akan berguna

4) Kepentingan praktikal ialah mencari jumlah n ahli perkembangan aritmetik bermula dari nombor kth. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Ini menyimpulkan bahan teoretikal dan meneruskan penyelesaian masalah yang lazim dalam amalan.

Contoh 1. Temui istilah ketinggian aritmetik 4; 7; ...

Penyelesaian:

Menurut keadaan itu, kita ada

Tentukan langkah perkembangan

Dengan formula yang terkenal, kita dapati tempoh keempat puluh perkembangan

Contoh 2. Perkembangan aritmetik diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuhnya. Cari ahli pertama perkembangan dan jumlah sepuluh.

Penyelesaian:

Kami menuliskan unsur-unsur yang diberikan dari kemajuan mengikut formula

Kurangkan yang pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kita dapati langkah perkembangan

Kami menggantikan nilai yang dijumpai ke mana-mana persamaan untuk mencari istilah pertama perkembangan aritmetik

Kami mengira jumlah sepuluh ahli yang pertama dalam perkembangan tersebut

Tanpa menggunakan pengiraan yang kompleks, kami mendapati semua kuantiti yang dicari.

Contoh 3. Perkembangan aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Cari ahli pertama perkembangan, jumlah 50 ahli yang bermula pada 50 dan jumlah 100 pertama.

Penyelesaian:

Kami menulis formula unsur ke-100 perkembangan

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati perkembangan jangka masa 50

Cari jumlah bahagian perkembangan

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah kemajuan adalah 250.

Contoh 4

Cari bilangan ahli perkembangan aritmetik jika:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

Penyelesaian:

Kami menulis persamaan melalui istilah pertama dan langkah perkembangan dan menentukannya

Gantikan nilai yang diperoleh dalam formula jumlah untuk menentukan jumlah ahli dalam jumlah

Mudahkan

dan selesaikan persamaan kuadratik

Dari kedua nilai yang terdapat, hanya 8 yang sesuai untuk keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan anggota pertama perkembangan adalah 111.

Contoh 5

Selesaikan persamaan

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Penyelesaian: Persamaan ini adalah jumlah satu aritmetik. Kami menulis istilah pertama dan mencari perbezaan dalam perkembangan

Sekiranya setiap nombor semula jadi n   padan nombor sebenar a n , maka mereka mengatakan yang diberikan urutan berangka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Oleh itu, urutan berangka adalah fungsi argumen semulajadi.

Nombor a 1   dipanggil ahli pertama urutan itu nombor a 2 — ahli kedua urutan itu nombor a 3 — ketiga   dan sebagainya. Nombor a n   dipanggil nth ahli urutan tersebut , dan nombor semulajadi n — nombornya .

Daripada dua ahli jiran a n dan a n +1   urutan ahli a n +1   dipanggil seterusnya (berhubung dengan a n ), dan a n — sebelumnya (berhubung dengan a n +1 ).

Untuk menentukan urutan, anda perlu menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan nombor apa pun.

Selalunya urutan ditetapkan menggunakan formula istilah nth , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan mengikut nombornya.

Contohnya

jujukan nombor ganjil positif boleh ditentukan oleh formula

a n= 2n -1,

dan urutan seli 1   dan -1   - formula

b   n = (-1)   n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang,   iaitu, formula yang menyatakan mana-mana ahli urutan, bermula dengan beberapa, melalui ahli-ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Contohnya

jika a 1 = 1 , dan a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 ,   maka tujuh anggota pertama urutan berangka ditetapkan sebagai berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan mungkin akhir dan tidak berkesudahan .

Sequence dipanggil yang paling utama jika dia mempunyai ahli yang terbatas. Sequence dipanggil tidak berkesudahan jika dia mempunyai banyak ahli yang tak terhingga.

Contohnya

urutan nombor semulajadi dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

yang paling utama.

Urutan Perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Sequence dipanggil semakin meningkat jika setiap anggotanya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada sebelumnya.

Sequence dipanggil berkurangan jika setiap anggotanya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada sebelumnya.

Contohnya

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .   - meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /   n, . . . - urutan menurun. ◄

Urutan yang unsurnya tidak berkurangan dengan bilangan yang semakin meningkat, atau sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan monoton .

Urutan monoton, khususnya, meningkatkan urutan dan penurunan urutan.

Perkembangan aritmetik

Perkembangan aritmetik urutan dipanggil, setiap ahli yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

adalah perkembangan aritmetik jika untuk mana-mana nombor semulajadi n   keadaan berpuas hati:

a n +1 = a n + d,

di mana d - beberapa nombor.

Oleh itu, perbezaan antara ahli-ahli seterusnya dan sebelumnya bagi suatu aritmetik yang diberikan adalah sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d   dipanggil perbezaan perkembangan aritmetik.

Untuk menentukan perkembangan aritmetik, sudah cukup untuk menunjukkan tempoh dan perbezaan pertama.

Contohnya

jika a 1 = 3, d = 4 , maka lima orang ahli urutan yang pertama dijumpai seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk perkembangan aritmetik dengan ahli pertama a 1 dan perbezaan d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Contohnya

kita dapati tempoh tiga puluh perkembangan aritmetik

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d

a n= a 1 + (n- 1)d

a n +1 = a 1 + nd,

maka jelaslah

setiap ahli perkembangan aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan purata aritmetik dari ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor-nombor a, b, dan c adalah ahli berturut-turut dari suatu aritmetik jika hanya jika satu daripadanya adalah sama dengan aritmetik min dua yang lain.

Contohnya

a n = 2n- 7 adalah perkembangan aritmetik.

Kami menggunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu

◄

Perhatikan bahawa n jangka panjang perkembangan aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 tetapi juga sebelum ini a k

a n = a k + (n- k)d.

Contohnya

untuk a 5   boleh menulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

maka jelaslah

mana-mana ahli perkembangan aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah anggota perkembangan aritmetik ini sama jaraknya.

Di samping itu, bagi mana-mana perkembangan aritmetik, kesamaannya memegang:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Contohnya

dalam perkembangan aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, sejak itu

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

  a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

yang pertama n   terma perkembangan aritmetik adalah sama dengan hasil separuh jumlah terma melampau dengan bilangan istilah:

Dari ini, khususnya, ia adalah mengikut jika perlu untuk merumuskan istilah

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Contohnya

dalam perkembangan aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika perkembangan aritmetik diberikan, maka jumlahnya a 1 , a n, d, n   danS n dihubungkan oleh dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga kuantiti ini diberikan, maka nilai-nilai yang bersamaan dengan dua kuantiti lain ditentukan dari formula-formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Perkembangan aritmetik adalah urutan monotonik. Dalam kes ini:

• jika d > 0 maka ia semakin meningkat;
• jika d < 0 maka ia berkurangan;
• jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Perkembangan geometri

Perkembangan geometri urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

adalah perkembangan geometri jika untuk mana-mana nombor semulajadi n   keadaan berpuas hati:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0   - beberapa nombor.

Oleh itu, nisbah ahli seterusnya perkembangan geometri ini kepada nombor sebelumnya ialah nombor malar:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q   dipanggil penyebut kemajuan geometri.

Untuk menentukan perkembangan geometri, sudah cukup untuk menunjukkan istilah dan penyebut pertama.

Contohnya

jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima orang ahli urutan yang pertama dijumpai seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1   dan penyebut q   dia n ahli boleh didapati dengan formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Contohnya

mencari istilah ketujuh dalam perkembangan geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

maka jelaslah

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli perkembangan geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan purata geometrik (berkadar) daripada ahli sebelumnya dan seterusnya.

Oleh kerana percakapan itu juga benar, kenyataan berikut menyatakan:

nombor-nombor a, b, dan c adalah ahli berturut-turut beberapa perkembangan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satu daripadanya adalah sama dengan hasil dua yang lain, iaitu salah satu daripada angka adalah maksud geometri dua yang lain.

Contohnya

kami membuktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n   \u003d -3 · 2   n adalah perkembangan geometri. Kami menggunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n   \u003d -3 · 2   n,

b n -1   \u003d -3 · 2   n -1 ,

b n +1   \u003d -3 · 2   n +1 .

Oleh itu

b n 2 \u003d (-3 · 2   n) 2 \u003d (-3 · 2   n -1 ) · (-3 · 2   n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan kenyataan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahawa n istilah terma perkembangan geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 tetapi juga mana-mana ahli terdahulu b k , yang mana ia cukup menggunakan formula

b n = b k · q n -   k.

Contohnya

untuk b 5   boleh menulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n -   k,

b n = b n -   k · q k,

maka jelaslah

b n 2 = b n -   k· b n +   k

kuadrat mana-mana ahli perkembangan geometri, bermula dengan yang kedua, adalah sama dengan produk ahli-ahli dari kemajuan ini sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang perkembangan geometri kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Contohnya

secara eksponen

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sejak itu

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

yang pertama n   penyebut q ≠ 0   dikira oleh formula:

Dan apabila q = 1   - mengikut formula

S n= nb 1

Perhatikan bahawa jika anda perlu menyerahkan ahli

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

Contohnya

secara eksponen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika perkembangan geometri diberikan, maka kuantiti b 1 , b n, q, n   dan S n dihubungkan oleh dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga kuantiti diberikan, maka nilai-nilai yang bersamaan dengan dua kuantiti yang lain ditentukan daripada formula-formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk perkembangan geometri dengan istilah pertama b 1   dan penyebut q   yang berikut sifat monotonik :

• kemajuan semakin meningkat jika salah satu daripada syarat berikut adalah benar:

b 1 > 0 dan q> 1;

b 1 < 0 dan 0 < q< 1;

• perkembangan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut adalah benar:

b 1 > 0 dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 dan q> 1.

Jika q< 0 , maka perkembangan geometri adalah berselang-seli: ahli-ahlinya dengan nombor ganjil mempunyai tanda yang sama sebagai anggota pertamanya, dan ahli-ahli dengan bilangan bahkan memiliki tanda yang bertentangan. Sudah jelas bahawa perkembangan geometri berselang tidak monotonik.

Produk yang pertama n   terma perkembangan geometri boleh dikira dengan formula:

P n= b 1 ·   b 2 ·   b 3 · . . . ·   b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Contohnya

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kemajuan geometri yang berkurangan

Kemajuan geometri yang berkurangan   yang disebut perkembangan geometri tak terhingga, penyebut yang kurang 1 iaitu

|q| < 1 .

Perhatikan bahawa perkembangan geometri yang tak terhingga mungkin tidak menjadi urutan yang berkurangan. Inilah kesnya.

1 < q< 0 .

Dengan penyebut ini, urutan itu bersilih ganti. Contohnya

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah kemajuan geometri yang berkurangan panggil nombor yang mana jumlah yang pertama n ahli-ahli perkembangan dengan jumlah yang tidak terhad dalam jumlah itu n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

Contohnya

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan perkembangan aritmetik dan geometri

Perkembangan aritmetik dan geometri berkait rapat. Mari kita pertimbangkan hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d kemudian

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Contohnya

1, 3, 5, . . . - perkembangan aritmetik dengan perbezaan 2   dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . .   - perkembangan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - perkembangan geometri dengan penyebut q kemudian

log a b 1, log b 2, log b 3, . . .   - perkembangan aritmetik dengan perbezaan log aq .

Contohnya

2, 12, 72, . . .   - perkembangan geometri dengan penyebut 6   dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . .   - perkembangan aritmetik dengan perbezaan lg 6 . ◄

Sebelum kita mula membuat keputusan   masalah perkembangan aritmetik, pertimbangkan urutan urutan berangka, kerana perkembangan aritmetik adalah kes khas urutan berangka.

Urutan berangka adalah set berangka, setiap elemen yang mempunyai nombor sirinya sendiri. Unsur-unsur set ini dipanggil ahli-ahli urutan itu. Nombor urutan unsur jujukan ditunjukkan oleh indeks:

Unsur pertama urutan itu;

Unsur urutan kelima;

  - "nth" elemen jujukan, iaitu item giliran n.

Ada hubungan antara nilai unsur urutan dan nombor sirinya. Oleh itu, kita dapat mempertimbangkan urutan sebagai fungsi, hujah yang merupakan bilangan urutan unsur urutan tersebut. Dalam erti kata lain, kita boleh mengatakannya urutan adalah fungsi hujah semulajadi:

Urutan boleh ditetapkan dalam tiga cara:

1 . Urutan boleh diatur menggunakan jadual.   Dalam kes ini, kami hanya menetapkan nilai setiap ahli jujukan tersebut.

Sebagai contoh, Seseorang memutuskan untuk mengambil pengurusan masa peribadi, dan untuk memulakan, selama seminggu untuk mengira berapa banyak masa yang dia luangkan pada VKontakte. Menulis masa dalam jadual, dia akan menerima urutan yang mengandungi tujuh unsur:

Baris pertama jadual menunjukkan hari dalam seminggu, dan yang kedua menunjukkan masa dalam beberapa minit. Kita lihat bahawa, pada hari Isnin, Seseorang menghabiskan masa selama 125 minit di VKontakte, iaitu pada hari Khamis - 248 minit, dan, pada hari Jumaat hanya 15.

2 . Urutan boleh ditentukan dengan menggunakan formula istilah nth.

Dalam kes ini, kebergantungan nilai elemen turutan pada bilangannya dinyatakan secara langsung dalam bentuk formula.

Sebagai contoh, jika, kemudian

Untuk mencari nilai unsur turutan dengan nombor yang diberikan, kita akan menggantikan bilangan elemen dalam formula ahli ke-n.

Kami melakukan perkara yang sama jika kita perlu mencari nilai fungsi, jika nilai hujah diketahui. Kami menggantikan nilai hujah dalam persamaan fungsi:

Jika, sebagai contoh, kemudian

Sekali lagi, saya perhatikan bahawa dalam urutan, berbeza dengan fungsi numerik sewenang-wenang, hujah hanya boleh menjadi nombor semulajadi.

3   . Urutan boleh ditetapkan menggunakan formula yang menyatakan pergantungan nilai dari seorang ahli jujukan dengan nombor n pada nilai anggota terdahulu. Dalam kes ini, tidak cukup bagi kita untuk mengetahui hanya bilangan anggota urutan untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan ahli pertama atau beberapa ahli pertama jujukan tersebut.

Sebagai contoh, pertimbangkan jujukan ,

Kita boleh mencari nilai-nilai ahli urutan satu demi satubermula dari yang ketiga:

Iaitu, setiap kali, untuk mencari nilai ahli ke-n urutan, kita kembali kepada dua sebelumnya. Cara ini menentukan jujukan dipanggil berulang, dari perkataan Latin recurro   - kembali.

Sekarang kita boleh menentukan perkembangan aritmetik. Perkembangan aritmetik adalah kes khas yang mudah bagi urutan berangka.

Perkembangan aritmetik   dipanggil urutan berangka, setiap ahli yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama.

Nombor dipanggil perbezaan perkembangan aritmetik. Perbezaan dalam aritmetik boleh menjadi positif, negatif, atau sama dengan sifar.

Jika tajuk \u003d "(! LANG: d\u003e 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} semakin meningkat.

Sebagai contoh, 2; 5; 8; 11; ...

Sekiranya, setiap ahli perkembangan aritmetik lebih kecil daripada sebelumnya, dan perkembangannya berkurangan.

Sebagai contoh, 2; -1; -4; -7; ...

Jika, maka semua ahli perkembangan adalah sama dengan jumlah yang sama, dan perkembangannya pegun.

Sebagai contoh, 2; 2; 2; 2; ...

Harta utama perkembangan aritmetik:

Mari lihat pada gambar.

Kita lihat itu

, dan pada masa yang sama

Menambah dua kesamaan ini, kami memperoleh:

.

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2:

Oleh itu, setiap ahli perkembangan aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan purata aritmetik dua orang jiran:

Lagipun, sejak

, dan pada masa yang sama

kemudian

, dan kerana itu

Setiap ahli perkembangan aritmetik, bermula dengan judul \u003d "(! LANG: k\u003e l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula istilah pergi.

Kita melihat bahawa untuk ahli-ahli aritmetik kemajuan hubungan berpuas hati:

dan akhirnya

Kami mendapat   formula istilah nth.

PENTING!    Mana-mana anggota perkembangan aritmetik boleh dinyatakan dari segi dan. Mengetahui istilah pertama dan perbezaan perkembangan aritmetik, anda boleh mencari mana-mana anggotanya.

Jumlah n ahli perkembangan aritmetik.

Dalam perkembangan aritmetik sewenang-wenangnya, jumlah ahli yang sama jarak dari yang melampau adalah sama antara satu sama lain:

Pertimbangkan perkembangan aritmetik di mana ahli-ahli. Katakan jumlah ahli-ahli perkembangan ini sama.

Kami mengatur ahli-ahli kemajuan terlebih dahulu dalam urutan nombor menaik, dan kemudian dalam urutan menurun:

Tambah berpasangan:

Jumlah dalam setiap kurungan adalah sama, bilangan pasangan adalah n.

Kami mendapat:

Jadi jumlah n ahli perkembangan aritmetik boleh didapati dengan formula:

Pertimbangkan menyelesaikan masalah perkembangan aritmetik.

1 . Urutan diberikan oleh formula istilah nth: . Buktikan bahawa urutan ini merupakan perkembangan aritmetik.

Marilah kita buktikan bahawa perbezaan di antara dua ahli bersebelahan adalah nombor yang sama.

Kami telah menerima bahawa perbezaan dua ahli jiran urutan tidak bergantung kepada bilangan mereka dan adalah tetap. Oleh itu, mengikut definisi, urutan ini merupakan perkembangan aritmetik.

2 . Perkembangan aritmetik diberikan -31; -27; ...

a) Cari 31 ahli perkembangan.

b) Tentukan jika nombor 41 dimasukkan dalam perkembangan ini.

a)   Kita lihat bahawa;

Kami menulis formula istilah ke-n untuk perkembangan kami.

Dalam kes umum

Dalam kes kami Oleh itu

Atau aritmetik adalah sejenis turutan numerik yang disusun yang sifatnya dipelajari dalam kursus sekolah dalam algebra. Artikel ini membincangkan persoalan bagaimana untuk mencari jumlah perkembangan aritmetik.

Apakah perkembangan ini?

Sebelum meneruskan pertimbangan isu (bagaimana untuk mencari jumlah perkembangan aritmetik), adalah wajar memahami apa yang akan dibincangkan.

Mana-mana jujukan nombor nyata yang diperolehi dengan menambah (menolak) nilai tertentu dari setiap nombor terdahulu dipanggil perkembangan aljabar (aritmetik). Takrif ini dalam terjemahan ke dalam bahasa matematik mengambil bentuk:

Di sini saya adalah nombor siri unsur siri i. Oleh itu, mengetahui hanya satu nombor awal, anda boleh dengan mudah memulihkan keseluruhan siri. Parameter d dalam formula dipanggil perbezaan perkembangan.

Ia dapat dengan mudah ditunjukkan bahawa untuk siri-siri nombor yang dipertimbangkan persamaan berikut dipegang:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Iaitu, untuk mencari nilai unsur n ke dalam urutan, seseorang harus menambah perbezaan d ke elemen pertama 1 n-1 kali.

Berapakah jumlah perkembangan aritmetik: formula

Sebelum memberikan rumusan untuk jumlah yang dinyatakan, ia patut mempertimbangkan kes khas yang mudah. Memandangkan perkembangan nombor semula jadi dari 1 hingga 10, anda perlu mencari jumlah mereka. Oleh kerana terdapat beberapa istilah dalam perkembangan (10), adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah masalah, iaitu merumuskan semua elemen dalam susunan.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Perlu dipertimbangkan satu perkara menarik: kerana setiap istilah berbeza dari yang berikutnya dengan nilai yang sama d \u003d 1, maka penjumlahan sepasang dengan yang pertama dengan kesepuluh, yang kedua dengan kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama. Sesungguhnya:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang dapat anda lihat, hanya terdapat 5 jumlah ini, iaitu dua kali ganda kurang daripada jumlah unsur dalam siri ini. Kemudian mengalikan bilangan jumlah (5) dengan hasil setiap jumlah (11), anda akan datang kepada hasil yang diperoleh dalam contoh pertama.

Sekiranya kita umumkan argumen ini, kita boleh menulis ungkapan berikut:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahawa tidak perlu untuk menyatukan semua elemen secara berturut-turut, cukup untuk mengetahui nilai yang pertama 1 dan terakhir n, serta jumlah bilangan istilah n.

Dipercayai bahawa untuk kali pertama sebelum kesaksamaan ini, Gauss muncul dengan idea ketika dia mencari penyelesaian untuk masalah yang ditetapkan oleh guru sekolahnya: untuk jumlah 100 integer pertama.

Jumlah elemen dari m ke n: formula

Formula yang diberikan dalam perenggan terdahulu memberikan jawapan kepada persoalan bagaimana untuk mencari jumlah perkembangan aritmetik (elemen pertama), tetapi sering dalam masalah adalah perlu untuk menambahkan sejumlah nombor di tengah-tengah perkembangan. Bagaimana untuk melakukannya?

Jawapan kepada soalan ini adalah paling mudah dengan menimbangkan contoh berikut: biarkan perlu mencari jumlah ahli dari mth ke nth. Untuk menyelesaikan masalah, seseorang harus membentangkan segmen yang diberikan dari m ke n progresi dalam bentuk siri berangka baru. Dalam perwakilan ini, istilah mth m adalah yang pertama, dan n akan berada di bawah nombor n- (m-1). Dalam kes ini, menggunakan formula piawai untuk jumlah itu, kita dapat ungkapan berikut:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Contoh menggunakan rumus

Mengetahui bagaimana untuk mencari jumlah perkembangan aritmetik, adalah wajar mempertimbangkan contoh mudah menggunakan formula di atas.

Urutan berangka diberikan di bawah, anda harus mencari jumlah ahli-ahlinya, bermula dari 5 dan berakhir dengan ke-12:

Nombor ini menunjukkan bahawa perbezaan d ialah 3. Menggunakan ungkapan untuk elemen nth, kita dapat mencari nilai-nilai dari 5 dan 12 istilah perkembangan. Ternyata:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Mengetahui nilai-nilai nombor di hujung perkembangan algebra yang sedang dipertimbangkan, dan juga mengetahui nombor mana yang mereka hadi berturut-turut, kita boleh menggunakan formula untuk jumlah yang diperoleh dalam perenggan yang terdahulu. Ia akan berubah:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Perlu diingatkan bahawa nilai ini boleh diperoleh dengan cara yang berbeza: pertama tentukan jumlah 12 elemen pertama menggunakan formula standard, kemudian hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan formula yang sama, kemudian tolak kedua dari jumlah pertama.

I.V. Yakovlev | Bahan Matematik | MathUs.ru

Perkembangan aritmetik

Perkembangan aritmetik adalah sejenis urutan khas. Oleh itu, sebelum menentukan aritmetik (dan kemudian geometrik) perkembangan, kita perlu membincangkan secara ringkas konsep penting urutan berangka.

Urutan

Bayangkan peranti pada skrin yang mana beberapa nombor dipaparkan satu demi satu. Katakan 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Set nombor ini hanyalah satu contoh jujukan.

Definisi Urutan berangka adalah satu set nombor di mana setiap nombor boleh diberikan nombor unik (iaitu, dimasukkan ke dalam surat-menyurat dengan satu integer positif) 1. Nombor n dipanggil ahli ke-n urutan.

Oleh itu, dalam contoh di atas, nombor pertama mempunyai nombor 2, ini adalah ahli pertama urutan, yang boleh dilambangkan oleh a1; nombor lima mempunyai nombor 6 adalah anggota kelima dari urutan, yang boleh dilambangkan oleh a5. Secara umum, ahli ke-n urutan dijelaskan oleh (atau bn, cn, dan sebagainya).

Keadaan yang sangat mudah ialah apabila istilah nth urutan dapat ditakrifkan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula a \u003d 2n 3 mentakrifkan urutan: 1; 1; 3; 5; 7; ::: Formula an \u003d (1) n mentakrif urutan: 1; 1; 1; 1; :::

Tidak setiap set nombor adalah urutan. Oleh itu, segmen bukan urutan; ia mengandungi nombor "terlalu banyak" supaya mereka boleh dinomborkan semula. Set R bagi semua nombor nyata juga bukan urutan. Fakta-fakta ini terbukti dalam analisis matematik.

Perkembangan aritmetik: definisi asas

Sekarang kita sudah bersedia untuk menentukan perkembangan aritmetik.

Definisi Perkembangan aritmetik adalah urutan, setiap ahli yang (mulai dari detik) sama dengan jumlah ahli terdahulu dan beberapa nombor tetap (disebut perbezaan perkembangan aritmetik).

Sebagai contoh, urutan 2; 5; 8; 11; ::: adalah perkembangan aritmetik dengan istilah pertama 2 dan perbezaan 3. Sequence 7; 2; 3; 8; ::: adalah perkembangan aritmetik dengan istilah pertama 7 dan perbezaan 5. Urutan 3; 3; 3; ::: adalah aritmetik perkembangan dengan perbezaan sama dengan sifar.

Takrifan yang sama: urutan yang disebut perkembangan aritmetik jika perbezaan a + 1 an adalah nilai malar (bebas dari n).

Perkembangan aritmetik dipanggil meningkat jika perbezaannya positif, dan berkurang jika perbezaannya negatif.

1 Dan di sini adalah definisi yang lebih ringkas: urutan adalah fungsi yang ditakrifkan pada satu set nombor semula jadi. Contohnya, urutan nombor nyata adalah fungsi f: N! R.

Secara lalai, urutan dianggap tak terhingga, iaitu, mengandungi bilangan nombor tak terhingga. Tetapi tiada siapa yang meragui urutan yang terhingga; sebenarnya, sebarang set angka terhingga boleh dipanggil urutan terhingga. Sebagai contoh, urutan terakhir adalah 1; 2; 3; 4; 5 terdiri daripada lima nombor.

Formula ahli ke-n dalam aritmetik

Adalah mudah difahami bahawa perkembangan aritmetik ditentukan sepenuhnya oleh dua nombor: istilah pertama dan perbezaannya. Oleh itu, persoalan timbul: bagaimana, mengetahui istilah pertama dan perbezaannya, untuk mencari istilah aritmetik aritmetik sewenang-wenangnya?

Ia tidak sukar untuk mendapatkan formula yang dikehendaki untuk ahli nth perkembangan aritmetik. Ayo

Petugas 1. Dalam perkembangan aritmetik 2; 5; 8; 11; ::: cari formula untuk jangka masa nth dan kira jangka ke-100.

Penyelesaian. Menurut formula (1) kita ada:

a \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Harta dan tanda perkembangan aritmetik

Harta perkembangan aritmetik. Dalam perkembangan aritmetik untuk apa-apa

Dengan kata lain, setiap ahli perkembangan aritmetik (bermula dari yang kedua) adalah minit aritmetik dari ahli-ahli jiran.

seperti yang diperlukan.

Dalam cara yang lebih umum, untuk perkembangan aritmetik kesamaan

a n \u003d a n k + a n + k

untuk mana-mana n\u003e 2 dan sebarang integer positif k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata formula (2) bukan sahaja perlu, tetapi juga keadaan yang mencukupi untuk urutan itu menjadi perkembangan aritmetik.

Tanda perkembangan aritmetik. Sekiranya kesamaan (2) memegang untuk semua n\u003e 2, maka urutan an adalah suatu perkembangan aritmetik.

Bukti. Kami menulis semula formula (2) seperti berikut:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

Ini menunjukkan bahawa perbezaan satu + 1 tidak bergantung kepada n, dan ini hanya bermakna bahawa jujukannya adalah perkembangan aritmetik.

Harta dan tanda perkembangan aritmetik boleh dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kemudahan, kami akan melakukan ini untuk tiga nombor (ini adalah keadaan yang sering berlaku dalam tugas).

Pencirian perkembangan aritmetik. Tiga nombor a, b, c membentuk perkembangan aritmetik jika dan hanya jika 2b \u003d a + c.

Masalah 2. (Moscow State University, fakulti ekonomi, 2007) Tiga nombor 8x, 3 x2 dan 4 dalam bentuk pesanan yang ditunjukkan merupakan kemajuan aritmetik yang menurun. Cari x dan tunjukkan perbezaan perkembangan ini.

Penyelesaian. Oleh sifat perkembangan aritmetik kita ada:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Sekiranya x \u003d 1, maka kita akan mendapat kemajuan yang berkurang sebanyak 8, 2, 4 dengan perbezaan 6. Jika x \u003d 5, maka kita akan mendapat peningkatan 40, 22, 4; kes ini tidak baik.

Jawab: x \u003d 1, perbezaannya ialah 6.

Jumlah ahli n yang pertama dalam perkembangan aritmetik

Lagenda mengatakan bahawa sebaik sahaja guru memberitahu anak-anak untuk mencari jumlah nombor dari 1 hingga 100 dan duduk dengan senyap untuk membaca akhbar itu. Walau bagaimanapun, dalam masa kurang dari beberapa minit, seorang lelaki berkata bahawa dia telah menyelesaikan masalah itu. Ia adalah Karl Friedrich Gauss, 9 tahun, yang kemudian menjadi ahli matematik terbesar dalam sejarah.

Idea sedikit Gauss adalah ini. Biarkan

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Kami menulis jumlah ini dalam susunan terbalik:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

dan tambah dua formula ini:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap istilah dalam kurungan adalah sama dengan 101, dan semua istilah tersebut adalah 100. Oleh itu,

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Kami menggunakan idea ini untuk mendapatkan formula jumlah

S \u003d a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

Pengubahsuaian berguna formula (3) diperolehi dengan menggantikan formula istilah n a \u003d a1 + (n 1) d ke dalamnya:

Masalah 3. Cari jumlah kesemua nombor tiga digit positif yang boleh dibahagikan dengan 13.

Penyelesaian. Nombor tiga digit yang terdiri daripada kelipatan 13 membentuk suatu perkembangan aritmetik dengan tempoh pertama 104 dan perbezaan 13; Tempoh n-ke dalam perkembangan ini mempunyai bentuk:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Mari kita perhatikan berapa banyak ahli yang dimajukan oleh kita. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan ketidaksamaan ini:

sebuah 6,999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n 6 69:

Jadi, dalam perkembangan 69 ahli kami. Dengan formula (4) kita dapati jumlah yang dikehendaki:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2