Il est assez souvent possible de distinguer caractéristiques importantes mouvements Système mécanique, sans recourir à l'intégration du système équations différentielles mouvement. Ceci est réalisé en appliquant les théorèmes généraux de la dynamique.

5.1. Concepts de base et définitions

Forces externes et internes. Toute force agissant sur un point d'un système mécanique est nécessairement soit une force active, soit une réaction de couplage. L'ensemble des forces agissant sur les points du système peut être divisé en deux classes différentes: en forces externes et en forces internes (indices e et i - des mots latins externus - externe et internus - interne). Les forces externes sont appelées forces agissant sur des points du système à partir de points et de corps qui ne font pas partie du système considéré. Les forces d'interaction entre points et corps du système considéré sont dites internes.

Cette division dépend des points matériels et des corps inclus par le chercheur dans le système mécanique considéré. Si la composition du système est étendue pour inclure des points et des corps supplémentaires, certaines forces qui étaient externes au système précédent peuvent devenir internes au système étendu.

Propriétés des efforts internes. Puisque ces forces sont des forces d'interaction entre les parties du système, elles sont incluses dans le système complet des forces internes en "deux" organisé selon l'axiome d'action-réaction. Chacun de ces "deux" de forces

vecteur principal et point principal par rapport à un centre arbitraire sont égaux à zéro. Puisque le système complet d'efforts internes n'est constitué que de "deux", alors

1) le vecteur principal du système d'efforts internes est égal à zéro,

2) le moment principal du système d'efforts internes par rapport à un point quelconque est égal à zéro.

La masse du système est somme arithmétique masse mk de tous les points et corps formant le système :

centre de gravité(centre d'inertie) d'un système mécanique est un point géométrique C dont le rayon vecteur et les coordonnées sont déterminés par les formules

où sont les rayons vecteurs et les coordonnées des points qui forment le système.

Pour corps solide situés dans un champ de gravité uniforme, les positions du centre de masse et du centre de gravité coïncident, dans d'autres cas ce sont des points géométriques différents.

Avec le référentiel inertiel, on considère souvent simultanément un référentiel non inertiel en marche avant. Ses axes de coordonnées (axes de Koenig) sont choisis de manière à ce que le point de référence C coïncide toujours avec le centre de masse du système mécanique. Conformément à la définition, le centre de masse est fixé dans les axes de Koenig et se situe à l'origine des coordonnées.

Le moment d'inertie du système par rapport à l'axe est appelée une quantité scalaire égale à la somme des produits des masses mk de tous les points du système par les carrés de leurs distances à l'axe :

Si le système mécanique est un corps rigide, pour trouver 12, vous pouvez utiliser la formule

où est la densité, le volume occupé par le corps.

MINISTÈRE DE L'AGRICULTURE ET DE L'ALIMENTATION DE LA RÉPUBLIQUE DU BÉLARUS

Établissement d'enseignement "ETAT AGRAIRE BÉLARUS

UNIVERSITÉ TECHNIQUE"

Département de Mécanique Théorique et Théorie des Mécanismes et des Machines

MÉCANIQUE THÉORIQUE

complexe méthodologique pour les étudiants du groupe de spécialités

74 06 Génie agricole

En 2 parties Partie 1

CDU 531.3(07) LBC 22.213ya7 T 33

Compilé par:

Candidat en sciences physiques et mathématiques, professeur agrégé Yu. S. Biza, candidat sciences techniques, professeur agrégé N. L. Rakova, maître de conférencesI. A. Tarasevitch

Réviseurs :

Département de mécanique théorique de l'établissement d'enseignement "Université technique nationale de Biélorussie" (chef

Département de Mécanique Théorique BNTU Docteur en Sciences Physiques et Mathématiques, Professeur A. V. Tchigarev);

Chercheur principal du Laboratoire "Vibroprotection des Systèmes Mécaniques" Etablissement Scientifique d'Etat "Institut Commun de Génie Mécanique

Académie nationale des sciences du Bélarus », candidat en sciences techniques, professeur agrégé A. M. Goman

Mécanique théorique. Section "Dynamique": pédagogique

Méthode T33. complexe. En 2 parties Partie 1 / comp.: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk : BGATU, 2013. - 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8.

Le complexe pédagogique et méthodologique présente des matériaux pour l'étude de la section "Dynamique", partie 1, qui fait partie de la discipline "Mécanique théorique". Comprend un cours de conférences, des matériaux de base pour la mise en œuvre exercices pratiques, tâches et exemples de tâches pour le travail indépendant et le contrôle activités d'apprentissageétudiants à temps plein et à temps partiel.

UDC 531.3(07) LBC 22.213ya7

INTRODUCTION

La mécanique théorique est la science des lois générales du mouvement mécanique, de l'équilibre et de l'interaction des corps matériels.

C'est l'une des disciplines fondamentales de la science physique et mathématique générale. C'est la base théorique de la technologie moderne.

L'étude de la mécanique théorique, ainsi que d'autres disciplines physiques et mathématiques, contribue à l'élargissement des horizons scientifiques, forme la capacité de pensée concrète et abstraite et contribue à l'amélioration de la culture technique générale du futur spécialiste.

La mécanique théorique, étant la base scientifique de toutes les disciplines techniques, contribue au développement des compétences décisions rationnelles tâches d'ingénierie liées au fonctionnement, à la réparation et à la conception de machines et d'équipements agricoles et de récupération.

Selon la nature des tâches considérées, la mécanique se divise en statique, cinématique et dynamique. La dynamique est une section de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des corps matériels sous l'action des forces appliquées.

À pédagogue et méthodique complexe (UMK) présente des matériaux sur l'étude de la section "Dynamique", qui comprend un cours de conférences, des matériaux de base pour la conduite Travaux pratiques, tâches et exemples d'exécution pour travail indépendant et le contrôle des activités éducatives des étudiants à temps plein et à temps partiel.

À à la suite de l'étude de la section "Dynamique", l'étudiant doit apprendre base théorique dynamique et maîtriser les méthodes de base pour résoudre des problèmes de dynamique :

Connaître les méthodes de résolution de problèmes de dynamique, théorèmes généraux dynamique, principes de mécanique;

Pouvoir déterminer les lois du mouvement d'un corps en fonction des forces qui agissent sur lui ; appliquer les lois et les théorèmes de la mécanique pour résoudre des problèmes ; déterminer les réactions statiques et dynamiques des liens qui limitent le mouvement des corps.

Le programme de la discipline "Mécanique théorique" prévoit un nombre total d'heures de classe - 136, dont 36 heures pour l'étude de la section "Dynamique".

1. CONTENU SCIENTIFIQUE ET THÉORIQUE DU COMPLEXE PÉDAGOGIQUE ET MÉTHODOLOGIQUE

1.1. Glossaire

La statique est une section de mécanique qui expose la doctrine générale des forces, la réduction est étudiée systèmes complexes forces à la forme la plus simple et les conditions d'équilibre sont établies divers systèmes les forces.

La cinématique est une branche de la mécanique théorique dans laquelle le mouvement des objets matériels est étudié, quelles que soient les causes qui provoquent ce mouvement, c'est-à-dire quelles que soient les forces agissant sur ces objets.

La dynamique est une section de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des corps matériels (points) sous l'action des forces appliquées.

Point matériel- un corps matériel dont la différence dans le mouvement des points est insignifiante.

La masse d'un corps est une valeur scalaire positive qui dépend de la quantité de matière contenue dans un corps donné et détermine sa mesure d'inertie lors d'un mouvement de translation.

Système de référence - un système de coordonnées associé au corps, par rapport auquel le mouvement d'un autre corps est étudié.

système inertiel- un système dans lequel les première et deuxième lois de la dynamique sont remplies.

La quantité de mouvement d'une force est une mesure vectorielle de l'action d'une force pendant un certain temps.

Quantité de mouvement d'un point matériel est le vecteur mesure de son mouvement, qui est égal au produit de la masse du point et du vecteur de sa vitesse.

Énergie cinétique est une mesure scalaire du mouvement mécanique.

Travail de force élémentaire est une quantité scalaire infinitésimale égale au produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement infinitésimal du point d'application de la force.

Énergie cinétique est une mesure scalaire du mouvement mécanique.

L'énergie cinétique d'un point matériel est un scalaire

une valeur positive égale à la moitié du produit de la masse d'un point par le carré de sa vitesse.

L'énergie cinétique d'un système mécanique est une arithmétique

la somme cinétique des énergies cinétiques de tous les points matériels de ce système.

La force est une mesure de l'interaction mécanique des corps, caractérisant son intensité et sa direction.

1.2. Les sujets de cours et leur contenu

Section 1. Introduction à la dynamique. Concepts de base

mécanique classique

Thème 1. Dynamique d'un point matériel

Les lois de la dynamique d'un point matériel (les lois de Galilée - Newton). Équations différentielles du mouvement d'un point matériel. Deux tâches principales de la dynamique pour un point matériel. Solution du deuxième problème de dynamique ; constantes d'intégration et leur détermination à partir des conditions initiales.

Références :, pp. 180-196, , pp. 12-26.

Thème 2. Dynamique du mouvement relatif du matériau

Mouvement relatif d'un point matériel. Équations différentielles du mouvement relatif d'un point ; portable et les forces d'inertie de Coriolis. Le principe de relativité en mécanique classique. Un cas de repos relatif.

Références : , p. 180-196, , p. 127-155.

Thème 3. Géométrie des masses. Centre de masse d'un système mécanique

Masse du système. Le centre de masse du système et ses coordonnées.

Littérature :, pp. 86-93, pp. 264-265

Sujet 4. Moments d'inertie d'un corps rigide

Moments d'inertie d'un corps rigide autour de l'axe et du pôle. Rayon d'inertie. Théorème sur les moments d'inertie autour d'axes parallèles. Moments d'inertie axiaux de certains corps.

Moments d'inertie centrifuges comme caractéristique de l'asymétrie corporelle.

Références : , p. 265-271, , p. 155-173.

Section 2. Théorèmes généraux de la dynamique d'un point matériel

et système mécanique

Sujet 5. Le théorème sur le mouvement du centre de masse du système

Le théorème sur le mouvement du centre de masse du système. Conséquences du théorème sur le mouvement du centre de masse du système.

Références : , p. 274-277, , p. 175-192.

Sujet 6. La quantité de mouvement d'un point matériel

et système mécanique

Quantité de mouvement d'un point matériel et d'un système mécanique. Impulsion élémentaire et impulsion de force pendant une période de temps finie. Théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un point et d'un système sous formes différentielles et intégrales. Loi de conservation de la quantité de mouvement.

Littérature : , pp. 280-284, , pp. 192-207.

Sujet 7. Moment de quantité de mouvement d'un point matériel

et système mécanique par rapport au centre et à l'axe

Moment d'impulsion d'un point autour du centre et de l'axe. Le théorème sur la variation du moment cinétique d'un point. Moment cinétique d'un système mécanique autour du centre et de l'axe.

Le moment cinétique d'un corps rigide en rotation autour de l'axe de rotation. Théorème sur la variation du moment cinétique du système. Loi de conservation de la quantité de mouvement.

Références : , p. 292-298, , p. 207-258.

Thème 8. Travail et pouvoir des forces

Le travail élémentaire de la force, son expression analytique. Le travail de la force sur le chemin final. Le travail de la gravité, force élastique. Égalité à zéro de la somme du travail des forces internes agissant dans un solide. Le travail des forces appliquées à un corps rigide tournant autour d'un axe fixe. Du pouvoir. Efficacité.

Références : , p. 208-213, , p. 280-290.

Thème 9. Énergie cinétique d'un point matériel

et système mécanique

Energie cinétique d'un point matériel et d'un système mécanique. Calcul de l'énergie cinétique d'un corps rigide dans divers cas de son mouvement. Théorème de Koenig. Théorème sur la variation de l'énergie cinétique d'un point sous forme différentielle et intégrale. Théorème sur la variation de l'énergie cinétique d'un système mécanique sous forme différentielle et intégrale.

Références : , p. 301-310, , p. 290-344.

Sujet 10. Champ de force potentiel et potentiel

Le concept de champ de force. Champ de force potentiel et fonction de force. Travail d'une force sur le déplacement final d'un point dans un champ de force potentiel. Énergie potentielle.

Références : , p. 317-320, , p. 344-347.

Sujet 11. Dynamique des corps rigides

Équations différentielles du mouvement de translation d'un corps rigide. Équation différentielle du mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe. pendule physique. Équations différentielles du mouvement plan d'un corps rigide.

Références : , p. 323-334, , p. 157-173.

Section 1. Introduction à la dynamique. Concepts de base

mécanique classique

La dynamique est une section de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des corps matériels (points) sous l'action des forces appliquées.

corps matériel- un corps qui a une masse.

Point matériel- un corps matériel dont la différence dans le mouvement des points est insignifiante. Il peut s'agir soit d'un corps dont les dimensions peuvent être négligées lors de son mouvement, soit d'un corps de dimensions finies, s'il avance.

Les particules sont également appelées points matériels, en lesquels un corps solide est divisé mentalement lors de la détermination de certaines de ses caractéristiques dynamiques. Exemples de points matériels (Fig. 1) : a - le mouvement de la Terre autour du Soleil. La terre est un point matériel ; b est le mouvement de translation d'un corps rigide. Le corps solide est mère-

al point, puisque V B \u003d V A; une B = une UNE ; c - rotation du corps autour de l'axe.

Une particule de corps est un point matériel.

L'inertie est la propriété des corps matériels de modifier la vitesse de leur mouvement plus rapidement ou plus lentement sous l'action des forces appliquées.

La masse d'un corps est une valeur scalaire positive qui dépend de la quantité de matière contenue dans un corps donné et détermine sa mesure d'inertie lors d'un mouvement de translation. En mécanique classique, la masse est une constante.

La force est une mesure quantitative de l'interaction mécanique entre des corps ou entre un corps (point) et un champ (électrique, magnétique, etc.).

La force est une quantité vectorielle caractérisée par l'amplitude, le point d'application et la direction (ligne d'action) (Fig. 2 : A - point d'application ; AB - ligne d'action de la force).

Riz. 2

En dynamique, à côté des forces constantes, il existe également des forces variables qui peuvent dépendre du temps t, de la vitesse ϑ, de la distance r, ou d'une combinaison de ces grandeurs, c'est-à-dire

F = const ;

F = F(t);

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ ) .

locomotive électrique; c − F = F (r) est la force de répulsion du centre O ou d'attraction vers celui-ci.

Système de référence - un système de coordonnées associé au corps, par rapport auquel le mouvement d'un autre corps est étudié.

Un système inertiel est un système dans lequel les première et deuxième lois de la dynamique sont remplies. Il s'agit d'un système de coordonnées fixe ou d'un système se déplaçant de manière uniforme et rectiligne.

Le mouvement en mécanique est un changement de position d'un corps dans l'espace et le temps par rapport à d'autres corps.

L'espace en mécanique classique est tridimensionnel, obéissant à la géométrie euclidienne.

Le temps est une quantité scalaire qui s'écoule de la même manière dans tous les systèmes de référence.

Un système d'unités est un ensemble d'unités de mesure de grandeurs physiques. Pour mesurer toutes les grandeurs mécaniques, trois unités de base suffisent : les unités de longueur, de temps, de masse ou de force.

Toutes les autres unités de mesure des grandeurs mécaniques sont des dérivées de celles-ci. Deux types de systèmes d'unités sont utilisés : le système international d'unités SI (ou plus petit - CGS) et le système technique d'unités - ICSC.

Sujet1. Dynamique des points matériels

1.1. Les lois de la dynamique d'un point matériel (les lois de Galilée - Newton)

La première loi (de l'inertie).

Un point matériel isolé des influences extérieures conserve son état de repos ou se déplace uniformément et rectilignement jusqu'à ce que les forces appliquées l'obligent à changer cet état.

Le mouvement effectué par un point en l'absence de forces ou sous l'action d'un système de forces équilibré est appelé mouvement d'inertie.

Par exemple, le mouvement d'un corps le long d'un parcours lisse (la force de frottement est nulle)

surface horizontale (Fig. 4: G - poids corporel; N - réaction normale de l'avion).

Puisque G = − N , alors G + N = 0.

Lorsque ϑ 0 ≠ 0 le corps se déplace à la même vitesse ; à ϑ 0 = 0 le corps est au repos (ϑ 0 est la vitesse initiale).

La deuxième loi (loi fondamentale de la dynamique).

Le produit de la masse d'un point et de l'accélération qu'il reçoit sous l'action d'une force donnée est égal en valeur absolue à cette force, et sa direction coïncide avec la direction de l'accélération.

un B

Mathématiquement, cette loi s'exprime par le vecteur égalité

A F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - le point se déplace uniformément et rectilignement, ou à ϑ 0 = 0 - il est au repos (loi d'inertie). Deuxième

la loi vous permet d'établir une relation entre la masse m d'un corps situé près de la surface de la terre et son poids G .G = mg, où g -

Accélération de la gravité.

La troisième loi (la loi d'égalité d'action et de réaction). Deux points matériels agissent l'un sur l'autre avec des forces égales en amplitude et dirigées le long de la ligne droite reliant

ces points, dans des directions opposées.

Puisque les forces F 1 = - F 2 sont appliquées à différents points, alors le système de forces (F 1 , F 2 ) n'est pas équilibré, c'est-à-dire (F 1 , F 2 ) ≈ 0 (Fig. 6).

les masses des points en interaction sont inversement proportionnelles à leurs accélérations.

La quatrième loi (la loi de l'indépendance de l'action des forces). L'accélération reçue par un point sous l'action simultanée d'un

mais plusieurs forces, est égal à la somme géométrique de ces accélérations qu'un point recevrait sous l'action de chaque force séparément sur lui.

Explication (fig. 7).

bronzer

une 1 une kF n

Les forces R résultantes (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Puisque ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , alors

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , c'est-à-dire que la quatrième loi est équivalente à

k = 1

la règle de l'addition des forces.

1.2. Equations différentielles du mouvement d'un point matériel

Soit plusieurs forces agissant simultanément sur un point matériel, parmi lesquelles il y a à la fois des constantes et des variables.

Nous écrivons la deuxième loi de la dynamique sous la forme

point, alors (1.2) contient des dérivées de r et est une équation différentielle du mouvement d'un point matériel sous forme vectorielle ou l'équation de base de la dynamique d'un point matériel.

Projections d'égalité vectorielle (1.2): - sur l'axe des coordonnées cartésiennes (Fig. 8, mais)

Sur l'axe naturel (Fig. 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Les équations (1.3) et (1.4) sont des équations différentielles du mouvement d'un point matériel dans les axes de coordonnées cartésiennes et les axes naturels, respectivement, c'est-à-dire des équations différentielles naturelles qui sont généralement utilisées pour le mouvement curviligne d'un point si la trajectoire du point et son rayon de courbure est connu.

1.3. Deux principaux problèmes de dynamique pour un point matériel et leur solution

La première tâche (directe).

Connaissant la loi du mouvement et la masse du point, déterminez la force agissant sur le point.

Pour résoudre ce problème, vous devez connaître l'accélération du point. Dans les problèmes de ce type, il peut être spécifié directement, ou la loi de mouvement d'un point est spécifiée, conformément à laquelle il peut être déterminé.

1. Donc, si le mouvement d'un point est donné en coordonnées cartésiennes

x \u003d f 1 (t) , y \u003d f 2 (t) et z \u003d f 3 (t) puis les projections de l'accélération sont déterminées

Le théorème sur le mouvement du centre de masse.Équations différentielles du mouvement d'un système mécanique. Le théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système mécanique. Loi de conservation du mouvement du centre de masse.

Théorème sur le changement de quantité de mouvement. La quantité de mouvement d'un point matériel. Impulsion élémentaire de force. L'impulsion de la force sur une période de temps finie et ses projections sur axes de coordonnées. Théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un point matériel sous des formes différentielles et finies.

La quantité de mouvement du système mécanique ; son expression en termes de masse du système et de vitesse de son centre de masse. Le théorème sur le changement de la quantité de mouvement d'un système mécanique sous des formes différentielles et finies. Loi de conservation de la quantité de mouvement mécanique

(Le concept d'un corps et d'un point de masse variable. L'équation de Meshchersky. La formule de Tsiolkovsky.)

Théorème sur le changement de moment de quantité de mouvement. Moment d'impulsion d'un point matériel par rapport au centre et par rapport à l'axe. Le théorème sur la variation du moment cinétique d'un point matériel. Force centrale. Conservation du moment cinétique d'un point matériel dans le cas d'une force centrale. (Le concept de vitesse de secteur. La loi des aires.)

Le moment principal de la quantité de mouvement ou le moment cinétique d'un système mécanique autour du centre et autour de l'axe. Le moment cinétique d'un corps rigide en rotation autour de l'axe de rotation. Théorème sur la variation du moment cinétique d'un système mécanique. La loi de conservation du moment cinétique d'un système mécanique. (Théorème sur la variation du moment cinétique d'un système mécanique en mouvement relatif par rapport au centre de masse.)

Théorème sur la variation de l'énergie cinétique. Energie cinétique d'un point matériel. Travail de force élémentaire; expression analytique pour le travail élémentaire. Travail d'une force sur le déplacement final du point de son application. Le travail de la force de gravité, de la force d'élasticité et de la force de gravité. Théorème sur la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel sous formes différentielles et finies.

Energie cinétique d'un système mécanique. Formules de calcul de l'énergie cinétique d'un corps rigide lors d'un mouvement de translation, lors d'une rotation autour d'un axe fixe et en cas général mouvement (en particulier, avec un mouvement parallèle au plan). Théorème sur l'évolution de l'énergie cinétique d'un système mécanique sous formes différentielles et finies. Égalité à zéro de la somme du travail des forces internes dans un solide. Travail et puissance des forces appliquées à un corps rigide tournant autour d'un axe fixe.

Le concept de champ de force. Champ de force potentiel et fonction de force. Expression des projections de force en termes de fonction de force. Surfaces de potentiel égal. Travail d'une force sur le déplacement final d'un point dans un champ de force potentiel. Énergie potentielle. Exemples de champs de force potentiels : un champ gravitationnel uniforme et un champ gravitationnel. La loi de conservation de l'énergie mécanique.

Dynamique du corps rigide.Équations différentielles du mouvement de translation d'un corps rigide. Équation différentielle de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe. pendule physique. Équations différentielles du mouvement plan d'un corps rigide.

principe d'Alembert. principe de d'Alembert pour un point matériel ; force d'inertie. Principe de d'Alembert pour un système mécanique. Amener les forces d'inertie des points d'un corps rigide au centre; vecteur principal et moment principal des forces d'inertie.

(Détermination des réactions dynamiques des roulements lors de la rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe. Le cas où l'axe de rotation est l'axe central principal d'inertie du corps.)

Le principe des déplacements possibles et l'équation générale de la dynamique. Relations imposées à un système mécanique. Déplacements possibles (ou virtuels) d'un point matériel et d'un système mécanique. Le nombre de degrés de liberté du système. Connexions idéales. Le principe des mouvements possibles. Équation générale de la dynamique.

Equations du mouvement du système en coordonnées généralisées (équations de Lagrange). Coordonnées du système généralisé ; vitesses généralisées. Expression du travail élémentaire en coordonnées généralisées. Forces généralisées et leur calcul; le cas des forces à potentiel. Conditions d'équilibre du système en coordonnées généralisées. Équations différentielles du mouvement du système en coordonnées généralisées ou équations de Lagrange de 2e espèce. Équations de Lagrange en cas de forces potentielles ; Fonction de Lagrange (potentiel cinétique).

Le concept de stabilité d'équilibre. Petites vibrations libres d'un système mécanique à un degré de liberté autour de la position d'équilibre stable du système et de leurs propriétés.

Éléments de la théorie de l'impact. Phénomène d'impact. Force d'impact et impulsion d'impact. Action de la force d'impact sur un point matériel. Théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique lors d'un impact. Impact central direct du corps sur une surface fixe ; impacts élastiques et inélastiques. Coefficient de récupération d'impact et sa détermination expérimentale. Coup central direct de deux corps. Théorème de Carnot.

BIBLIOGRAPHIE

De base

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Cours de mécanique théorique. Tome 1, 2. M., 1985 et éditions antérieures.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Cours de mécanique théorique. M., 1983.

Starzhinsky V. M. Mécanique théorique. M., 1980.

Targ S. M. Petit cours de mécanique théorique. M., 1986 et éditions antérieures.

Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Cours de mécanique théorique. Partie 1. M., 1984 et éditions antérieures.

Yablonsky A. A. Cours de mécanique théorique. Partie 2. M., 1984 et éditions antérieures.

Meshchersky I.V. Recueil de problèmes de mécanique théorique. M., 1986 et éditions antérieures.

Recueil de problèmes de mécanique théorique / Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Supplémentaire

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Mécanique théorique dans des exemples et des problèmes. Ch. 1, 2. M., 1984 et éditions antérieures.

Recueil de problèmes de mécanique théorique / 5raznichen / co N.A., Kan V.L., Mintsberg B.L. et al.M., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F. Calculs standards en mécanique théorique basés sur un ordinateur. M., 1986,

Collection de tâches pour dissertations de Mécanique Théorique / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 et éditions précédentes (contient des exemples de résolution de problèmes).

L'utilisation d'OZMS pour résoudre des problèmes est associée à certaines difficultés. Par conséquent, des relations supplémentaires sont généralement établies entre les caractéristiques du mouvement et des forces, qui sont plus pratiques pour application pratique. Ces rapports sont théorèmes généraux de la dynamique. En tant que conséquences de l'OZMS, ils établissent des dépendances entre la vitesse de changement de certaines mesures de mouvement spécialement introduites et les caractéristiques des forces externes.

Théorème sur le changement de quantité de mouvement. Introduisons la notion de vecteur impulsion (R. Descartes) d'un point matériel (Fig. 3.4) :

je je = t v g (3.9)

Riz. 3.4.

Pour le système, nous introduisons le concept vecteur de quantité de mouvement principal du système sous forme de somme géométrique :

Q \u003d Y, m "V r

Conformément à l'OZMS: Xu, - ^ \u003d i), ou X

CONCERNANT) .

En tenant compte que /w, = const nous obtenons : -Ym,!" = CONCERNANT),

ou sous forme définitive

faire / di \u003d A (E (3.11)

ceux. la première dérivée temporelle du vecteur impulsion principal du système est égale au vecteur principal des forces externes.

Le théorème sur le mouvement du centre de masse. Centre de gravité du système appelé un point géométrique, dont la position dépend de t, etc. sur la distribution de masse /r/, dans le système et est déterminé par l'expression du rayon vecteur du centre de masse (Fig. 3.5) :

où g s - rayon vecteur du centre de masse.

Riz. 3.5.

Appelons = t avec la masse du système. Après avoir multiplié l'expression

(3.12) sur le dénominateur et en différenciant les deux parties du semi-

égalité précieuse nous aurons : g s s = ^t.U. = 0, ou 0 = c'est nous.

Ainsi, le vecteur impulsion principal du système est égal au produit de la masse du système et de la vitesse du centre de masse. En utilisant le théorème de changement de quantité de mouvement (3.11), on obtient :

t avec dU s / dі \u003d A (E), ou

La formule (3.13) exprime le théorème sur le mouvement du centre de masse : le centre de masse du système se déplace comme un point matériel avec la masse du système, qui est affectée par le vecteur principal des forces externes.

Théorème sur le changement de moment de quantité de mouvement. Introduisons le concept de moment d'impulsion d'un point matériel comme produit vectoriel de son rayon-vecteur et de son impulsion :

k o o = bl X ce, (3.14)

où à OI- moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point fixe O(Fig. 3.6).

Nous définissons maintenant le moment cinétique d'un système mécanique comme une somme géométrique :

K () \u003d X ko, \u003d ShchU,? O-15>

En différenciant (3.15), on obtient :

Ґ сік--- X t je w. + g toi X t je

Étant donné que = U G U je X t je t je= 0, et formule (3.2), on obtient :

сіК a /с1ї - ї 0 .

Sur la base de la deuxième expression de (3.6), nous aurons finalement un théorème sur la variation du moment cinétique du système :

La première dérivée temporelle du moment cinétique du système mécanique par rapport au centre fixe O est égale au moment principal des forces extérieures agissant sur ce système par rapport au même centre.

Lors de la dérivation de la relation (3.16), on a supposé que O- un point fixe. Cependant, on peut montrer que dans un certain nombre d'autres cas la forme de la relation (3.16) ne change pas, en particulier si, dans le cas d'un mouvement plan, le point moment est choisi au centre de masse, le centre instantané de vitesses ou d'accélérations. De plus, si le point O coïncide avec un point matériel en mouvement, l'égalité (3.16), écrite pour ce point, se transformera en l'identité 0 = 0.

Théorème sur la variation de l'énergie cinétique. Lorsqu'un système mécanique se déplace, l'énergie «externe» et interne du système change. Si les caractéristiques des efforts internes, le vecteur principal et le moment principal, n'affectent pas la variation du vecteur principal et du moment principal du nombre d'accélérations, alors les forces internes peuvent être incluses dans les estimations des processus de l'état énergétique du système. Par conséquent, lorsque l'on considère les changements dans l'énergie du système, il faut considérer les mouvements de points individuels, auxquels des forces internes sont également appliquées.

L'énergie cinétique d'un point matériel est définie comme la quantité

T^myTsg. (3.17)

L'énergie cinétique d'un système mécanique est égale à la somme des énergies cinétiques des points matériels du système :

remarquerez que T > 0.

Nous définissons la puissance de la force comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur vitesse :

Considérons le mouvement d'un certain système de volumes matériels par rapport à un système de coordonnées fixe. Lorsque le système n'est pas libre, alors il peut être considéré comme libre, si nous écartons les contraintes imposées au système et remplaçons leur action par les réactions correspondantes.

Divisons toutes les forces appliquées au système en forces externes et internes ; les deux peuvent inclure des réactions de rejet

Connexions. On note par et le vecteur principal et le moment principal des efforts externes relatifs au point A.

1. Théorème sur le changement de quantité de mouvement. Si est la quantité de mouvement du système, alors (voir )

c'est-à-dire que le théorème est valide: la dérivée temporelle de la quantité de mouvement du système est égale au vecteur principal de toutes les forces externes.

En remplaçant le vecteur par son expression où est la masse du système, est la vitesse du centre de masse, l'équation (4.1) peut prendre une forme différente :

Cette égalité signifie que le centre de masse du système se déplace comme un point matériel dont la masse est égale à la masse du système et auquel est appliquée une force géométriquement égale au vecteur principal de toutes les forces externes du système. Le dernier énoncé est appelé le théorème sur le mouvement du centre de masse (centre d'inertie) du système.

Si alors de (4.1) il s'ensuit que le vecteur impulsion est constant en amplitude et en direction. En le projetant sur l'axe des coordonnées, on obtient trois intégrales premières scalaires des équations différentielles de la double chaîne du système :

Ces intégrales sont appelées intégrales de moment. Lorsque la vitesse du centre de masse est constante, c'est-à-dire qu'il se déplace de manière uniforme et rectiligne.

Si la projection du vecteur principal des forces externes sur un axe quelconque, par exemple sur l'axe, est égale à zéro, alors nous avons une première intégrale, ou si deux projections du vecteur principal sont égales à zéro, alors il y a deux intégrales de la quantité de mouvement.

2. Théorème sur le changement du moment cinétique. Soit A un point quelconque de l'espace (mobile ou stationnaire), qui ne coïncide pas nécessairement avec un point matériel particulier du système pendant tout le temps du mouvement. Nous désignons sa vitesse dans un système de coordonnées fixe par Le théorème sur la variation du moment cinétique d'un système matériel par rapport au point A a la forme

Si le point A est fixe, alors l'égalité (4.3) prend une forme plus simple :

Cette égalité exprime le théorème sur la variation du moment cinétique du système par rapport à un point fixe : la dérivée temporelle du moment cinétique du système, calculée par rapport à un point fixe, est égale au moment principal de toutes les forces externes relatives à ce point.

Si alors, d'après (4.4), le vecteur moment cinétique est constant en amplitude et en direction. En le projetant sur l'axe des coordonnées, on obtient les intégrales premières scalaires des équations différentielles du mouvement du système :

Ces intégrales sont appelées intégrales du moment cinétique ou intégrales des aires.

Si le point A coïncide avec le centre de masse du système, alors le premier terme du membre droit de l'égalité (4.3) s'annule et le théorème sur la variation du moment cinétique a la même forme (4.4) que dans le cas de un point fixe A. Notons (voir 4 § 3) que dans le cas considéré le moment cinétique absolu du système à gauche de l'égalité (4.4) peut être remplacé par le moment cinétique égal du système dans son mouvement par rapport à le centre de masse.

Soit un axe constant ou un axe de direction constante passant par le centre de masse du système, et soit le moment cinétique du système par rapport à cet axe. De (4.4) il résulte que

où est le moment des forces extérieures autour de l'axe. Si pendant tout le temps du mouvement alors nous avons la première intégrale

Dans les travaux de S. A. Chaplygin, plusieurs généralisations du théorème sur le changement de moment cinétique ont été obtenues, qui ont ensuite été appliquées pour résoudre un certain nombre de problèmes sur le roulement des billes. D'autres généralisations du théorème sur le changement du moment kpnetologique et leurs applications dans les problèmes de la dynamique d'un corps rigide sont contenues dans les travaux. Les principaux résultats de ces travaux sont liés au théorème sur la variation du moment cinétique par rapport au mobile, passant constamment par un point mobile A. Soit un vecteur unitaire dirigé le long de cet axe. En multipliant scalairement par les deux côtés de l'égalité (4.3) et en ajoutant le terme à ses deux parties, on obtient

Lorsque la condition cinématique est remplie

l'équation (4.5) découle de (4.7). Et si la condition (4.8) est satisfaite pendant tout le temps du mouvement, alors la première intégrale (4.6) existe.

Si les connexions du système sont idéales et permettent la rotation du système en tant que corps rigide autour de l'axe et dans le nombre de déplacements virtuels, alors le moment principal des réactions autour de l'axe et est égal à zéro, puis la valeur sur le le côté droit de l'équation (4.5) est le moment principal de toutes les forces actives externes autour de l'axe et . L'égalité à zéro de ce moment et la satisfiabilité de la relation (4.8) seront dans le cas considéré des conditions suffisantes pour l'existence de l'intégrale (4.6).

Si la direction de l'axe et est inchangée, alors la condition (4.8) peut être écrite comme

Cette égalité signifie que les projections de la vitesse du centre de masse et de la vitesse du point A sur l'axe et sur le plan perpendiculaire à celui-ci sont parallèles. Dans les travaux de S. A. Chaplygin, au lieu de (4.9), il faut que moins de conditions générales où X est une constante arbitraire.

Notons que la condition (4.8) ne dépend pas du choix d'un point sur . En effet, soit P un point arbitraire sur l'axe. Alors

et donc

En conclusion, on note l'interprétation géométrique des équations de Resal (4.1) et (4.4) : les vecteurs des vitesses absolues des extrémités des vecteurs et sont égaux, respectivement, au vecteur principal et au moment principal de toutes les forces externes par rapport à le point A