Za določitev površine trikotnika lahko uporabimo različne formule. Od vseh metod je najlažje in najpogosteje uporabiti višino pomnožiti z dolžino osnove in rezultat nato razdeliti na dva. Vendar ta metoda še zdaleč ni edina. Spodaj si lahko preberete, kako najti površino trikotnika z različnimi formulami.

Ločeno bomo obravnavali metode za izračun površine določenih vrst trikotnika - pravokotnega, enakokrakega in enakostraničnega. Vsako formulo spremljamo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.

Univerzalni načini iskanja površine trikotnika

V spodnjih formulah se uporabljajo posebni simboli. Vsakega od njih bomo razvozlali:

• a, b, c - dolžine treh strani slike, ki jo obravnavamo;
• r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
• R je polmer kroga, ki ga lahko opišemo okoli njega;
• α - vrednost kota, ki ga tvorita strani b in c;
• β je kot med a in c;
• γ - vrednost kota, ki ga tvorita stranice a in b;
• h - višina našega trikotnika, spuščena iz kota α na stran a;
• p - polovica vsote stranic a, b in c.

Logično je, zakaj je mogoče na ta način najti površino trikotnika. Trikotnik lahko enostavno dopolnimo do paralelograma, pri katerem bo ena stran trikotnika delovala diagonalno. Območje paralelograma najdemo tako, da dolžino ene njegove stranice pomnožimo z vrednostjo vlečene višine. Diagonala deli ta običajni paralelogram na 2 enaka trikotnika. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.

S \u003d ½ a b sin γ

Po tej formuli najdemo površino trikotnika tako, da pomnožimo dolžino njegovih dveh strani, to je a in b, s sinusom kota, ki ju tvorita. Ta formula logično izhaja iz prejšnje. Če spustimo višino iz kota β na stran b, potem glede na lastnosti pravokotnega trikotnika, ko pomnožimo dolžino stranice a s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, to je , h.

Območje obravnavane figure najdemo tako, da polovico polmera kroga, ki ga lahko vpišemo vanj, pomnožimo z njenim obodom. Z drugimi besedami, najdemo zmnožek polperimetra in polmer omenjenega kroga.

S \u003d a b s / 4R

V skladu s to formulo lahko vrednost, ki jo potrebujemo, poiščemo tako, da zmnožimo stranice strani slike s 4 polmeri kroga, opisanega okoli nje.

Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (vsestranski, enakokraki, enakostranični, pravokotni). To lahko storimo s pomočjo bolj zapletenih izračunov, na katerih se ne bomo podrobneje zadrževali.

Območja trikotnikov s posebnimi lastnostmi

Kako najdem površino pravokotnika? Posebnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati višini. Če sta a in b kraka in c postane hipotenuza, potem najdemo območje, kot sledi:

Kako najti območje enakokraki trikotnik? Ima dve strani z dolžino a in eno stran z dolžino b. Zato lahko njegovo površino določimo tako, da zmnožimo zmnožek kvadrata stranice a s sinusom kota γ.

Kako najti površino enakostraničnega trikotnika? V njej je dolžina vseh strani enaka a, velikost vseh kotov pa α. Njegova višina je enaka polovici zmnožka dolžine stranice a na kvadratni koren iz 3. Če želite najti površino pravilnega trikotnika, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korenom iz 3 in deliti z 4.

Iz nasprotne točke) in dobljeni produkt razdelimo na dva. V obliki je to videti tako:

S \u003d ½ * a * h,

kje:
S je površina trikotnika,
a je dolžina njegove stranice,
h - višina spuščena na to stran.

Dolžina in višina strani morata biti prikazani v isti enoti. V tem primeru bo območje trikotnika dobljeno v ustreznih enotah.

Primer.
Na eni strani vsestranskega trikotnika, dolgega 20 cm, se pravokotnik spusti od nasprotnega vrha, dolgega 10 cm.
Zahtevana je površina trikotnika.
Sklep.
S \u003d ½ * 20 * 10 \u003d 100 (cm²).

Če poznate dolžino katere koli strani vsestranskega trikotnika in kot med njima, potem uporabite formulo:

S \u003d ½ * a * b * sinγ,

kjer so: a, b dolžini dveh poljubnih stranic, γ pa kot med njima.

Na primer, v praksi je pri merjenju zemljišč uporaba zgornjih formul včasih težavna, saj zahteva dodatne konstrukcije in meritve kotov.

Če poznate dolžine vseh treh stranic vsestranskega trikotnika, uporabite Heronovo formulo:

S \u003d √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - dolžine stranic trikotnika,
p - polobod: p \u003d (a + b + c) / 2.

Če je poleg dolžin vseh strani znan tudi polmer vpisanega kroga, potem uporabite naslednjo kompaktno formulo:

kjer je: r - polmer vpisanega kroga (p - polobod).

Za izračun površine vsestranskega trikotnika opisanega kroga in dolžine njegovih stranic uporabite formulo:

kjer je: R polmer omejene krožnice.

Če poznate dolžino ene strani trikotnika in tri kote (načeloma sta dovolj dva - vrednost tretjega se izračuna iz enakosti vsote treh kotov trikotnika - 180º), potem uporabite formula:

S \u003d (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

kjer je α vrednost kota, nasprotnega strani a;
β, γ so vrednosti drugih dveh kotov trikotnika.

Potreba po iskanju različnih elementov, vključno s površino trikotnik, pojavil mnogo stoletij pred našo dobo med znanstveniki astronomi Antična grčija. Kvadrat trikotnik je mogoče izračunati različne potiz uporabo različnih formul. Način izračuna je odvisen od tega, kateri elementi trikotnik so znani.

Navodila

Če iz pogoja poznamo vrednosti obeh strani b, c in kota, ki ju tvorita ?, potem je površina trikotnik ABC najdemo po formuli:
S \u003d (bcsin?) / 2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti obeh strani a, b in kota, ki ju ne tvorita ?, potem je površina trikotnik ABC najdemo na naslednji način:
Najti kot?, Greh? \u003d bsin? / a, nato po tabeli določimo sam kot.
Najti kot?,? \u003d 180 ° -? -?.
Najdemo samo območje S \u003d (absin?) / 2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti le treh strani trikotnik a, b in c, nato območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)), kjer je p polperimeter p \u003d (a + b + c) / 2

Če iz stanja problema poznamo višino trikotnik h in stran, na katero se ta višina spusti, nato območje trikotnik ABC po formuli:
S \u003d ah (a) / 2 \u003d bh (b) / 2 \u003d ch (c) / 2.

Če poznamo vrednosti stranic trikotnik a, b, c in polmer, opisan okoli danega trikotnik R, potem območje tega trikotnik ABC se določi po formuli:
S \u003d abc / 4R.
Če so znane tri stranice a, b, c in polmer vpisanega, potem je območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S \u003d pr, kjer je p polperimeter, p \u003d (a + b + c) / 2.

Če je ABC enakostraničen, potem območje najdemo po formuli:
S \u003d (a ^ 2v3) / 4.
Če je trikotnik ABC enakokrak, potem je površina določena s formulo:
S \u003d (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, kjer je c - trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten, potem je površina določena s formulo:
S \u003d ab / 2, kjer sta a in b kraka trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten enakokrak, potem je površina določena s formulo:
S \u003d c ^ 2/4 \u003d a ^ 2/2, kjer je c hipotenuza trikotnik, a \u003d b - noga.

Sorodni videoposnetki

Viri:

• kako izmeriti površino trikotnika

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika, če poznate kot

Poznavanje samo enega parametra (vrednosti kota) ni dovolj za iskanje območja tre kvadrat ... Če obstajajo dodatne dimenzije, lahko za določitev območja izberemo eno od formul, na kateri se kot ena od znanih spremenljivk uporablja tudi vrednost kota. Nekatere najpogosteje uporabljene formule so navedene spodaj.

Navodila

Če poleg vrednosti kota (γ), ki ga tvorita obe strani tre kvadrat , potem so znane tudi dolžine teh strani (A in B) kvadrat Številko (S) lahko definiramo kot polovico zmnožka stranskih dolžin in sinusa tega znanega kota: S \u003d ½ × A × B × sin (γ).

Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov

Spodaj so formule za iskanje površine poljubnega trikotnika ki so primerne za iskanje površine katerega koli trikotnika, ne glede na njegove lastnosti, kote ali mere. Formule so predstavljene v obliki slike, tukaj so razlage za uporabo ali utemeljitev njihove pravilnosti. Tudi ločena slika prikazuje korespondence črkovne oznake v formulah in grafični simboli na risbi.

Opomba ... Če ima trikotnik posebne lastnosti (enakokrake, pravokotne, enakostranične), lahko uporabite spodnje formule, pa tudi posebne formule, ki veljajo samo za trikotnike s temi lastnostmi:

• "Formule za območje enakostraničnega trikotnika"

Formule površin za trikotnik

Pojasnilo formul:
a, b, c - dolžine stranic trikotnika, katerega površino želimo najti
r - polmer kroga, vpisanega v trikotnik
R - polmer kroga, opisanega okoli trikotnika
h - višina trikotnika, spuščena na stran
str - polobod trikotnika, 1/2 vsota njegovih stranic (obod)
α - kot, ki je nasproti strani a trikotnika
β - kot, ki je nasproti strani b trikotnika
γ - kot, ki je nasproten strani c trikotnika
h a, h b , h c - višina trikotnika, spuščena na stran a, b, c

Upoštevajte, da zgornje oznake ustrezajo zgornji sliki, tako da boste pri reševanju resničnega problema v geometriji vizualno lažje nadomeščali pravilne vrednosti na pravih mestih v formuli.

• Površina trikotnika je polovica zmnožka višine trikotnika na dolžino stranice, na katero se ta višina spusti (Formula 1). Pravilnost te formule je mogoče razumeti logično. Višina, ki se spusti na osnovo, bo poljuben trikotnik razdelila na dva pravokotna. Če vsakega od njih dopolnimo do pravokotnika z dimenzijama b in h, potem bo očitno površina teh trikotnikov enaka natančno polovici površine pravokotnika (Sпр \u003d bh)
• Površina trikotnika je polovica zmnožka obeh strani na sinus kota med njima (Formula 2) (glej primer reševanja problema s pomočjo te formule spodaj). Kljub temu, da se zdi drugačen od prejšnjega, ga je mogoče zlahka preoblikovati vanj. Če spustimo višino iz kota B na stran b, se izkaže, da je zmnožek stranice a na sinus kota γ na lastnosti sinusa v pravokotnem trikotniku enak višini trikotnika, ki smo ga narisali, kar nam bo dal prejšnjo formulo
• Najdemo površino poljubnega trikotnika čez sestavapolovica polmera vpisanega kroga z vsoto dolžin vseh njegovih stranic (Formula 3), z drugimi besedami, polovični obseg trikotnika morate pomnožiti s polmerom vpisanega kroga (to je lažje zapomniti)
• Območje poljubnega trikotnika lahko najdemo tako, da zmnožek vseh njegovih stranic delimo s 4 polmeri omejenega kroga okoli njega (Formula 4)
• Formula 5 predstavlja iskanje območja trikotnika skozi dolžine njegovih stranic in njegovega polperimetra (polovica vsote vseh njegovih stranic)
• Heronova formula (6) je prikaz enake formule brez uporabe koncepta polperimetra, le skozi dolžine stranic
• Površina poljubnega trikotnika je enaka zmnožku kvadrata stranice trikotnika in sinusov kotov, ki mejijo na to stran, deljenih z dvojnim sinusom kota, nasprotnega tej strani (Formula 7)
• Območje poljubnega trikotnika lahko najdemo kot zmnožek dveh kvadratov kroga, ki ga okoli njega opisujejo sinusi vsakega od njegovih vogalov. (Formula 8)
• Če sta znana dolžina ene strani in velikost dveh sosednjih kotov, potem lahko območje trikotnika najdemo kot kvadrat te stranice, deljeno z dvojno vsoto kotangent teh kotov (Formula 9)
• Če je znana le dolžina vsake višine trikotnika (formula 10), je površina takšnega trikotnika obratno sorazmerna z dolžino teh višin, kot je določeno v Heronovi formuli
• Formula 11 vam omogoča izračun območje trikotnika s koordinatami njegovih točk, ki so podane kot vrednosti (x; y) za vsako točko. Upoštevajte, da je treba nastalo vrednost vzeti modulo, saj so lahko koordinate posameznih (ali celo vseh) točk v območju negativnih vrednosti

Opomba... Sledijo primeri reševanja geometrijskih problemov za iskanje površine trikotnika. Če želite rešiti problem v geometriji, ki ni podoben temu, ki ga ni tukaj, o njem pišite na forumu. V rešitvah namesto simbola " kvadratni koren"se lahko uporabi funkcija sqrt (), pri kateri je sqrt kvadratni korenski simbol, radikalni izraz pa je naveden v oklepajih. Včasih za preproste radikalne izraze simbol √

Naloga. Poiščite območje ob dveh straneh in kot med njima

Strani trikotnika so 5 in 6 cm, kot med njima pa je 60 stopinj. Poiščite površino trikotnika.

Sklep.

Za rešitev tega problema bomo uporabili formulo številka dve iz teoretičnega dela lekcije.
Območje trikotnika lahko najdemo skozi dolžini obeh strani in sinusu kota med njima in bo enako
S \u003d 1/2 ab sin γ

Ker imamo vse potrebne podatke za rešitev (v skladu s formulo), moramo vrednosti iz pogoja problema nadomestiti v formulo:
S \u003d 1/2 * 5 * 6 * greh 60

V tabeli vrednosti trigonometrične funkcije poiščite in v izraz nadomestite vrednost sinusa 60 stopinj. Enako bo korenu treh z dvema.
S \u003d 15 √3 / 2

Odgovorite: 7,5 √3 (odvisno od učiteljevih zahtev lahko verjetno pustite 15 √3 / 2)

Naloga. Poiščite površino enakostraničnega trikotnika

Poiščite površino enakostraničnega trikotnika s stranico 3 cm.

Sklep.

Območje trikotnika lahko najdemo s Heronovo formulo:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Ker je a \u003d b \u003d c, bo formula za površino enakostraničnega trikotnika dobila obliko:

S \u003d √3 / 4 * a 2

S \u003d √3 / 4 * 3 2

Odgovorite: 9 √3 / 4.

Naloga. Spreminjanje območja pri spreminjanju dolžine stranic

Kolikokrat se bo povečala površina trikotnika, če se stranice povečajo za 4-krat?

Sklep.

Ker ne poznamo dimenzij stranic trikotnika, bomo za rešitev problema domnevali, da so dolžine stranic enake poljubna števila a, b, c. Nato, da bi odgovorili na vprašanje problema, najdemo površino tega trikotnika, nato pa površino trikotnika, katerega stranice so štirikrat večje. Razmerje površin teh trikotnikov nam bo dalo odgovor na težavo.

Spodaj je besedilna razlaga rešitve problema v korakih. Vendar je na koncu ta ista rešitev predstavljena v lažje berljivi grafični obliki. Zainteresirani lahko takoj spustijo rešitev.

Da bi to rešili, uporabimo Heronovo formulo (glej zgoraj v teoretičnem delu lekcije). Videti je tako:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(glej prvo vrstico spodnje slike)

Dolžine stranic poljubnega trikotnika so podane s spremenljivkami a, b, c.
Če se stranice povečajo 4-krat, bo površina novega trikotnika c:

S 2 \u003d 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(glej drugo vrstico na spodnji sliki)

Kot lahko vidite, je 4 pogost dejavnik, ki ga lahko iz vseh štirih izrazov vzamemo iz oklepajev splošna pravila matematika.
Potem

S 2 \u003d 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - v tretji vrstici slike
S 2 \u003d 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - četrta vrstica

Kvadratni koren je popolnoma izvlečen iz števila 256, zato ga vzamemo izpod korena
S 2 \u003d 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 \u003d 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(glej peto vrstico spodnje slike)

Da bi odgovorili na vprašanje, zastavljeno v problemu, moramo le površino nastalega trikotnika razdeliti na površino izvirnika.
Določite razmerja površin tako, da izraze delite med seboj in zmanjšate nastali ulomek.

Navodila

Stranke in vogali se štejejo za osnovne elemente in... Trikotnik je v celoti opredeljen s katerim koli od naslednjih osnovnih elementov: bodisi s tremi stranicami bodisi z eno stranjo in dvema vogaloma ali z dvema stranicama in kotom med njimi. Za obstoj trikotnikdefinirane s tremi stranicami a, b, c, je potrebno in dovolj za zadovoljevanje neenakosti, imenovane neenakosti trikotnik:
a + b\u003e c,
a + c\u003e b,
b + c\u003e a.

Za gradnjo trikotnik na treh straneh a, b, c je treba iz točke C segmenta CB \u003d a, kako s kompasom narisati krog polmera b. Nato na enak način iz točke B narišemo krog s polmerom, ki je enak strani c. Njihova presečišče A je tretje oglišče želenega trikotnik ABC, kjer je AB \u003d c, CB \u003d a, CA \u003d b - stranice trikotnik... Problem je, če stranice a, b, c izpolnjujejo neenakosti trikotnik v koraku 1.

Tako zgrajena površina S trikotnik ABC z znanimi stranicami a, b, c, se izračuna po Heronovi formuli:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
kjer so a, b, c - stranice trikotnik, p je polperimeter.
p \u003d (a + b + c) / 2

Če je trikotnik enakostraničen, torej so vse njegove stranice enake (a \u003d b \u003d c). trikotnik izračunano po formuli:
S \u003d (a ^ 2 v3) / 4

Če je trikotnik pravokoten, to je, da je eden od njegovih vogalov 90 °, stranice, ki ga tvorijo, pa so kraki, je tretja stran hipotenuza. IN v tem primeru kvadrat je enako zmnožku nog, deljenim z dvema.
S \u003d ab / 2

Najti kvadrat trikotnik, lahko uporabite eno od številnih formul. Izberite formulo, odvisno od tega, kateri podatki so že znani.

Boste potrebovali

• poznavanje formul za iskanje površine trikotnika

Navodila

Če poznate velikost ene strani in velikost višine, spuščene na to stran iz nasprotnega kota, potem lahko območje poiščete tako: S \u003d a * h / 2, kjer je S območje Trikotnik, a je ena od strani trikotnika, h - višina na stran a.

Znano je, kako določiti površino trikotnika, če so znane njegove tri stranice. To je Heron formula. Za poenostavitev snemanja je uvedena vmesna vrednost - polobod: p \u003d (a + b + c) / 2, kjer a, b, c -. Potem je Heronova formula naslednja: S \u003d (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ stopnjevanje.

Recimo, da poznate eno stran trikotnika in tri kote. Potem je območje trikotnika enostavno najti: S \u003d a²sinα sinγ / (2sinβ), kjer je β kot, ki je nasproten strani a, in α in γ sta kota, ki mejijo na stran.

Sorodni videoposnetki

Opomba

Najbolj splošna formula, ki je primerna za vse primere, je Heronova formula.

Viri:

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika na treh straneh

Iskanje površine trikotnika je ena najpogostejših nalog v šolski planimetriji. Poznavanje treh strani trikotnika zadostuje za določitev površine katerega koli trikotnika. V posebnih primerih in enakostraničnih trikotnikih je dovolj, da poznamo dolžino dveh oziroma ene strani.

Boste potrebovali

• stranske dolžine trikotnikov, Heronova formula, kosinusni izrek

Navodila

Heronova formula za površino trikotnika je naslednja: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Če pobarvamo polperimeter p, dobimo: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2)) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Formulo za površino trikotnika lahko izpeljete tudi iz premislekov, na primer z uporabo kosinusnega izreka.

Po kosinusnem izreku je AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). S pomočjo uvedenih oznak so lahko tudi v obliki: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Zato je cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Območje trikotnika najdemo tudi s formulo S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 skozi dve strani in kot med njima. Sinus kota ABC lahko izrazimo z uporabo osnovne trigonometrične identitete: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Sinus v formuli nadomestimo in zapišemo navzdol lahko dobite formulo za površino trikotnika ABC.

Sorodni videoposnetki

Za obnovitvena dela včasih je treba izmeriti kvadrat stene. Tako je lažje izračunati zahtevano količino barve ali ozadja. Za meritve je najbolje uporabiti trak ali centimetrski trak. Meritve je treba izvesti po stene so bili poravnani.

Boste potrebovali

• -ruleta;
• -ledec.

Navodila

Šteti kvadrat stene, morate vedeti natančno višino stropov, pa tudi izmeriti dolžino vzdolž tal. To se naredi na naslednji način: vzemite centimeter in ga položite čez podnožje. Običajno centimeter ni dovolj za celotno dolžino, zato ga pritrdite v kotu, nato pa ga odvijte največja dolžina... Na tej točki označite s svinčnikom, zapišite dobljeni rezultat in izvedite nadaljnje meritve na enak način, začenši od zadnje merilne točke.

Standardni stropi v tipičnem - 2 metra 80 centimetrov, 3 metre in 3 metre 20 centimetrov, odvisno od hiše. Če je bila hiša zgrajena pred petdesetimi leti, je najverjetneje realna višina nekoliko nižja od prikazane. Če računate kvadrat za popravila majhna zaloga ne bo škodila - upoštevajte, da temelji na standardu. Če vseeno morate vedeti realna višina - opravite meritve. Načelo je podobno merjenju dolžine, vendar je potrebna stopnica.

Pomnožite pridobljene kazalnike - to je kvadrat vaš stene... Res je, s slikarska dela ali ker morate odšteti kvadrat vrata in okenske odprtine... Če želite to narediti, položite centimeter vzdolž odprtine. Če prihaja o vratih, ki jih boste kasneje zamenjali, nato pa jih preživite z odstranjenimi vratni okvirsamo ob upoštevanju kvadrat neposredno sama odprtina. Območje okna se izračuna vzdolž oboda njegovega okvirja. Po kvadrat izračuna se okno in vrata, rezultat odštejemo od skupne dobljene sobe.

Upoštevajte, da se meritve dolžine in širine prostora izvajajo skupaj, zato je lažje pritrditi centimeter ali trak in s tem dobiti natančnejši rezultat. Večkrat izvedite isto meritev, da se prepričate, da so dobljene številke točne.

Sorodni videoposnetki

Iskanje prostornine trikotnika je res nepomembna naloga. Bistvo je v tem, da je trikotnik dvodimenzionalna figura, tj. leži povsem v eni ravnini, kar pomeni, da preprosto nima prostornine. Seveda ne najdete nečesa, kar ne obstaja. A ne odnehajmo! Lahko domnevamo, da je prostornina dvodimenzionalne figure njegova površina. Poiskali bomo površino trikotnika.

Boste potrebovali

• list papirja, svinčnik, ravnilo, kalkulator

Navodila

Narišite na list papirja s pomočjo ravnila in svinčnika. S skrbnim pregledom trikotnika se lahko prepričate, da ga resnično nima, saj je narisan na ravnini. Označite stranice trikotnika: ena stran naj bo stran, druga stran b in tretja stran c. Označimo oglišča trikotnika z A, B in C.

Z ravnilom izmerite katero koli stran trikotnika in zapišite rezultat. Po tem obnovite pravokotnik na izmerjeno stran iz nasprotne točke, takšen pravokotnik bo višina trikotnika. V primeru, prikazanem na sliki, se pravokotnik "h" povrne na stran "c" iz oglišča "A". Izmerite nastalo višino s ravnilom in zapišite meritev.

Morda vam bo težko rekonstruirati natančen pravokotnik. V tem primeru uporabite drugo formulo. Z ravnilom izmerite vse stranice trikotnika. Nato izračunajte polovični obseg trikotnika "p" tako, da dodate nastale dolžine stranic in njihovo vsoto delite na polovico. Če imate na razpolago vrednost pol oboda, lahko uporabite Heronovo formulo. Če želite to narediti, morate izvleči kvadratni koren naslednjega: p (p-a) (p-b) (p-c).

Prejeli ste zahtevano vrednost površina trikotnika. Problem iskanja prostornine trikotnika ni bil rešen, toda, kot smo že omenili, prostornina ni. Najdete prostornino, ki je v bistvu trikotnik v tridimenzionalnem svetu. Če si predstavljamo, da je naš prvotni trikotnik postal tridimenzionalna piramida, bo prostornina take piramide zmnožek dolžine njene osnove na površino trikotnika, ki smo ga dobili.

Opomba

Izračuni bodo bolj natančni, bolj natančno boste merili.

Viri:

• Kalkulator Vse za vse - Portal referenčnih vrednosti
• prostornina trikotnika v letu 2019

Tri točke, ki enolično definirajo trikotnik v kartezijanskem koordinatnem sistemu, so njegove točke. Če poznate njihov položaj glede na vsako od koordinatnih osi, lahko izračunate katere koli parametre ravna figura, vključno s tistim, ki ga omejuje njegov obod kvadrat... To je mogoče storiti na več načinov.

Navodila

Za izračun površine uporabite Heronovo formulo trikotnik... Uporablja dimenzije treh strani oblike, zato začnite izračun z. Dolžina vsake stranice mora biti enaka korenu vsote kvadratov dolžin njenih projekcij na koordinatne osi... Če označimo koordinate A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) in C (X₃, Y₃, Z₃), lahko dolžine njihovih stranic izrazimo kot: AB \u003d √ ((X₁-X₂ ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Za poenostavitev izračunov vnesite pomožno spremenljivko - polobod (P). Ker je to polovica vsote dolžin vseh strani: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ² ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Na internetu obstaja več kot 10 formul za izračun površine trikotnika, ki jih veliko uporabljajo pri težavah z znanimi stranicami in koti trikotnika. Vendar pa obstajajo številni zapleteni primeri, ko je v skladu s specifikacijo znana le ena stran in koti trikotnika, ali polmer omejenega ali vpisanega kroga in še ena značilnost. V takih primerih preproste formule ni mogoče uporabiti.

Spodnje formule bodo rešile 95 odstotkov težav, pri katerih morate najti površino trikotnika.
Pojdimo k obravnavi formul skupnih površin.
Upoštevajte trikotnik, prikazan na spodnji sliki

Na sliki in nadalje v formulah so predstavljene klasične oznake vseh njenih značilnosti
a, b, c - stranice trikotnika,
R je polmer omejene krožnice,
r - polmer vpisanega kroga,
h [b], h [a], h [c] - višine, narisane v skladu s stranicami a, b, c.
alfa, beta, hamma - vogali blizu oglišč.

Osnovne formule za površino trikotnika

1. Površina je enaka polovici zmnožka stranice trikotnika na višino, spuščeno na to stran. V jeziku formul lahko to opredelitev zapišemo na naslednji način

Če sta stran in višina znani, bo vsak študent našel območje.
Mimogrede, iz te formule lahko izpeljemo eno koristno razmerje med višinami

2. Glede na to, da je višina trikotnika skozi sosednjo stran izražena z odvisnostjo

Nato iz prve formule območja sledimo isti vrsti druge

Pobližje si oglejte formule - enostavno si jih je zapomniti, saj sta pri delu dve strani in kot med njima. Če pravilno določimo stranice in vogale trikotnika (kot na zgornji sliki), potem dobimo dva strani a, b in kot je povezan s tretjimC (hamma).

3. Za kote trikotnika velja naslednja relacija:

Omejitev vam omogoča, da pri izračunih uporabite naslednje formule za površino trikotnika

Primeri te odvisnosti so izjemno redki, vendar se morate zavedati, da obstaja taka formula.

4. Če sta stranska in dva sosednja kota znana, potem območje najdemo po formuli

5. Formula za območje glede na stran in kotangens sosednjih kotov je naslednja

S prerazporeditvijo indeksov lahko dobite odvisnosti za druge stranke.

6. Spodaj navedena formula območja se uporablja pri problemih, ko so točke trikotnika na ravnini določene s koordinatami. V tem primeru je površina enaka polovici determinante, sprejete modulo.

7. Heronjeva formula uporabljeno v primerih z znanimi trikotnimi stranicami.
Najprej poiščite polobod trikotnika

In potem se površina določi s formulo

ali

Pogosto se uporablja v kodi kalkulatorjev.

8. Če so znane vse višine trikotnika, potem je površina določena s formulo

Na kalkulatorju je težko izračunati, toda v paketih MathCad, Mathematica, Maple je območje "ena dva".

9. Naslednje formule uporabljajo znane polmere vpisanega in obkroženega kroga.

Če so polmer in stranice trikotnika znani ali njegov obseg, se površina izračuna po formuli

10. V primerih, kjer so podane stranice in polmer ali premer opisanega kroga, se površina najde po formuli

11. Naslednja formula določa površino trikotnika glede na stran in kote trikotnika.

In na koncu - posebni primeri:
Površina pravokotnega trikotnika z nogama a in b je enaka polovici njihovega izdelka

Formula enakostraničnega (pravilnega) trikotnika=

\u003d ena četrtina zmnožka kvadrata stranice in korena tripleta.