Os je smer. To pomeni, da se projekcija na os ali na usmerjeno premico šteje za enako. Projekcija je lahko algebraična in geometrijska. Geometrijsko se projekcija vektorja na os razume kot vektor, algebraično pa kot število. To pomeni, da se uporabljata koncepta projekcije vektorja na os in numerične projekcije vektorja na os.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Če imamo os L in vektor A B →, ki ni nič, lahko konstruiramo vektor A 1 B 1 ⇀, ki označuje projekcije njegovih točk A 1 in B 1.

A 1 B → 1 bo projekcija vektorja A B → na L.

Opredelitev 1

Projekcija vektorja na os imenujemo vektor, katerega začetek in konec sta projekciji začetka in konca danega vektorja. n p L A B → → običajno je označevati projekcijo A B → na L. Za konstruiranje projekcije na L spustimo pravokotnice na L.

Primer 1

Primer vektorske projekcije na os.

Vklopljeno koordinatna ravnina Okoli x y je podana točka M 1 (x 1, y 1). Za podobo vektorja polmera točke M 1 je treba zgraditi projekcije na O x in O y. Dobimo koordinate vektorjev (x 1, 0) in (0, y 1).

Če pod vprašajem o projekciji a → na nenič b → ali projekciji a → na smer b →, potem mislimo na projekcijo a → na os, s katero sovpada smer b →. Projekcija a → na premico, ki jo definira b →, je označena z n p b → a → →. Znano je, da kadar je kot med a → in b →, lahko štejemo, da sta n p b → a → → in b → sosmerna. V primeru, ko je kot tup, sta n p b → a → → in b → nasprotno usmerjena. V primeru pravokotnosti a → in b → in je a → nič, je projekcija a → v smeri b → ničelni vektor.

Številčna značilnost vektorske projekcije na os je numerična projekcija vektorja na določeno os.

Opredelitev 2

Numerična projekcija vektorja na os je število, ki je enako zmnožku dolžine danega vektorja s kosinusom kota med tem vektorjem in vektorjem, ki določa smer osi.

Številčna projekcija A B → na L je označena z n p L A B → in a → na b → - n p b → a →.

Na podlagi formule dobimo npb → a → = a → · cos a →, b → ^, od koder je a → dolžina vektorja a →, a ⇀, b → ^ kot med vektorjema a → in b →.

Dobimo formulo za izračun številčne projekcije: n p b → a → = a → · cos a →, b → ^. Uporablja se za znane dolžine a → in b → ter kot med njima. Formula je uporabna za znane koordinate a → in b →, vendar obstaja poenostavljena oblika.

Primer 2

Ugotovite številčno projekcijo a → na premico v smeri b → z dolžino a → enako 8 in kotom med njima 60 stopinj. Po hipotezi imamo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Zato nadomeščamo številčne vrednosti v formulo n p b ⇀ a → = a → cos a →, b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4.

odgovor: 4.

Glede na cos (a →, b → ^) = a ⇀, b → a → b → imamo a →, b → kot skalarni produkt a → in b →. Po formuli n p b → a → = a → cos a ⇀, b → ^ lahko najdemo numerično projekcijo a → usmerjeno vzdolž vektorja b → in dobimo n p b → a → = a →, b → b →. Formula je enakovredna definiciji, navedeni na začetku odstavka.

Opredelitev 3

Številčna projekcija vektorja a → na os, ki sovpada v smeri z b →, je razmerje skalarnega produkta vektorjev a → in b → do dolžine b →. Formula n p b → a → = a →, b → b → je uporabna za iskanje numerične projekcije a → na premo črto, ki sovpada v smeri z b →, z znanimi koordinatama a → in b →.

Primer 3

B → = (- 3, 4) je podan. Poiščite številčno projekcijo a → = (1, 7) na L.

Rešitev

Na koordinatni ravnini npb → a → = a →, b → b → ima obliko npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2, za a → = (ax, ay ) in b → = bx, by. Za iskanje numerične projekcije vektorja a → na os L potrebujete: np L a → = npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

odgovor: 5.

Primer 4

Poiščite projekcijo a → na L, ki sovpada s smerjo b →, kjer sta a → = - 2, 3, 1 in b → = (3, - 2, 6). Podan je tridimenzionalni prostor.

Rešitev

Glede na a → = a x, a y, a z in b → = b x, b y, b z izračunamo skalarni produkt: a ⇀, b → = a x b x + a y b y + a z b z. Dolžino b → najdemo s formulo b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Iz tega sledi, da bo formula za določanje številčne projekcije a →: n p b → a ⇀ = a →, b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.

Nadomestne številčne vrednosti: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 ...

Odgovor: - 6 7.

Razmislite o povezavi med a → na L in dolžino projekcije a → na L. Os L narišemo tako, da od točke do L dodamo a → in b →, nato pa narišemo pravokotno črto od konca a → do L in projekcijo na L. Obstaja 5 različic slike:

Prvič primer za a → = npb → a → → pomeni a → = npb → a → →, zato sledi npb → a → = a → cos (a, → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → a → →.

Drugič primer implicira uporabo n p b → a → ⇀ = a → cos a →, b →, torej n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = n p b → a → →.

Tretjič primer pojasnjuje, da za npb → a → → = 0 → dobimo npb ⇀ a → = a → cos (a →, b → ^) = a → cos 90 ° = 0, nato npb → a → → = 0 in npb → a → = 0 = npb → a → →.

četrti primer kaže npb → a → → = a → cos (180 ° - a →, b → ^) = - a → cos (a →, b → ^), sledi npb → a → = a → cos (a →, b → ^) = - npb → a → →.

peti primer kaže a → = npb → a → →, kar pomeni a → = npb → a → →, torej imamo npb → a → = a → cos a →, b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - npb → a →.

4. opredelitev

Številčna projekcija vektorja a → na os L, ki je usmerjena kot b →, ima naslednji pomen:

• dolžina projekcije vektorja a → na L pod pogojem, da je kot med a → in b → manjši od 90 stopinj ali enak 0: npb → a → = npb → a → → s pogojem 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nič pod pogojem pravokotnosti a → in b →: n p b → a → = 0, ko je (a →, b → ^) = 90 °;
• dolžino projekcije a → na L, pomnoženo z -1, ko obstaja top ali nerazgiban kot vektorjev a → in b →: n p b → a → = - n p b → a → → s pogojem 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primer 5

Glede na dolžino projekcije a → na L, enako 2. Poiščite številčno projekcijo a → ob predpostavki, da je kot 5 π 6 radianov.

Rešitev

Iz pogoja je razvidno, da je ta kot tup: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primer 6

Dana je ravnina O x y z z vektorsko dolžino a → enako 6 3, b → (- 2, 1, 2) s kotom 30 stopinj. Poišči koordinate projekcije a → na os L.

Rešitev

Najprej izračunamo numerično projekcijo vektorja a →: n p L a → = n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9.

Po hipotezi je kot oster, potem je numerična projekcija a → = dolžina projekcije vektorja a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ta primer kaže, da sta vektorja n p L a → → in b → sosmerna, zato obstaja število t, za katerega velja enakost: n p L a → → = t b →. Od tu vidimo, da je np L a → → = tb →, zato lahko najdemo vrednost parametra t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Potem so np L a → → = 3 b → s koordinatami projekcije vektorja a → na os L enake b → = (- 2, 1, 2), kjer je treba vrednosti pomnožiti s 3. Imamo np L a → → = (- 6 , 3, 6). Odgovor: (- 6, 3, 6).

Ponoviti je treba predhodno preučene podatke o stanju kolinearnosti vektorjev.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Naj bosta dva vektorja in sta dana v prostoru. Odmaknite se od poljubne točke O vektorji in. Vogal med vektorji in se imenuje najmanjši kot. Označeno .

Upoštevajte os l in nanj postavimo vektor enote (tj. vektor, katerega dolžina je enaka eni).

Kot med vektorjem in osjo l razumeti kot med vektorji in.

Torej naj l- neka os in - vektor.

Označimo z A 1 in B 1 projekcija osi l oziroma točke A in B... Pretvarjajmo se A 1 ima koordinato x 1, a B 1- koordinirati x 2 na osi l.

Potem projekcija vektorjev na os l se imenuje razlika x 1 – x 2 med koordinatami projekcij konca in začetka vektorja na to os.

Projekcija vektorja na os l bo označevalo.

Jasno je, da če je kot med vektorjem in osjo l ostra potem x 2> x 1, in projekcijo x 2 – x 1> 0; če je ta kot tup, potem x 2< x 1 in projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, potem x 2= x 1 in x 2– x 1=0.

Tako je projekcija vektorja na os l Je dolžina segmenta A 1 B 1, posneto z določenim predznakom. Zato je projekcija vektorja na os število ali skalar.

Na podoben način določimo projekcijo enega vektorja na drugega. V tem primeru najdemo projekcije koncev danega vektorja na premico, na kateri leži 2. vektor.

Oglejmo si nekaj glavnih projekcijske lastnosti.

LINEARNO ODVISNI IN LINEARNO NEODVISNI VEKTORSKI SISTEMI

Razmislimo o več vektorjih.

Linearna kombinacija teh vektorjev se imenuje kateri koli vektor oblike, kjer so nekatera števila. Številke imenujemo koeficienti linearne kombinacije. Pravijo tudi, da je v tem primeru linearno izražena v smislu teh vektorjev, t.j. se iz njih pridobi z linearnimi dejanji.

Na primer, če so podani trije vektorji, se vektorji lahko obravnavajo kot njihova linearna kombinacija:

Če je vektor predstavljen kot linearna kombinacija nekaterih vektorjev, potem pravijo, da je razpadla vzdolž teh vektorjev.

Vektorji se imenujejo linearno odvisnače obstajajo številke, niso vsa enaka nič, tako da ... Jasno je, da bodo dani vektorji linearno odvisni, če je kateri od teh vektorjev linearno izražen z drugimi.

V nasprotnem primeru, tj. ko je razmerje se izvaja samo takrat, ko , se ti vektorji imenujejo linearno neodvisna.

Izrek 1. Vsaka dva vektorja sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.

Dokaz:

Podobno je mogoče dokazati naslednji izrek.

2. izrek. Trije vektorji so linearno odvisni, če in samo če so koplanarni.

Dokaz.

OSNOVA

Osnova imenujemo množica linearno neodvisnih vektorjev, ki niso nič. Elemente osnove bomo označili z.

V prejšnjem razdelku smo videli, da sta dva nekolinearna vektorja v ravnini linearno neodvisna. Zato sta v skladu z izrekom 1 iz prejšnjega razdelka osnova na ravnini katera koli dva nekolinearna vektorja na tej ravnini.

Podobno so kateri koli trije nekoplanarni vektorji linearno neodvisni v prostoru. Posledično se trije nekomplanarni vektorji imenujejo baza v prostoru.

Naslednja trditev drži.

Izrek. Naj bo podana osnova v prostoru. Potem lahko kateri koli vektor predstavimo kot linearno kombinacijo , kje x, y, z- nekaj številk. Ta razpad je edinstven.

Dokaz.

Tako osnova omogoča, da se vsak vektor nedvoumno poveže s trojko števil - koeficienti razširitve tega vektorja glede na vektorje baze:. Za vsako trojko števil velja tudi obratno x, y, z z uporabo osnove lahko povežete vektor, če sestavite linearno kombinacijo .

Če je osnova in , nato številke x, y, z se imenujejo koordinate vektorjev v dani osnovi. Vektorske koordinate označujejo.

DECARTIAN KOORDINATNI SISTEM

Naj bo podana točka v prostoru O in tri nekomplanarne vektorje.

Kartezijev koordinatni sistem v prostoru (na ravnini) se imenuje množica točke in osnove, t.j. niz točke in treh nekoplanarnih vektorjev (2 nekolinearna vektorja), ki izhajajo iz te točke.

Točka O imenovano izvor; ravne črte, ki potekajo skozi izhodišče v smeri osnovnih vektorjev, se imenujejo koordinatne osi - abscisa, ordinatna in aplikativna os. Ravnine, ki potekajo skozi koordinatne osi, se imenujejo koordinatne ravnine.

Razmislite o poljubni točki v izbranem koordinatnem sistemu M... Predstavimo pojem točkovnih koordinat M... Vektor, ki povezuje izvor s točko M... poklical radij vektor točke M.

Vektor v izbrani osnovi lahko povežemo s trojko številk - njegove koordinate: .

Koordinate vektorja polmera točke M... se imenujejo koordinate točke M... v obravnavanem koordinatnem sistemu. M (x, y, z)... Prva koordinata se imenuje abscisa, druga je ordinata, tretja pa aplikat.

Kartezijeve koordinate na ravnini se določijo na podoben način. Tukaj ima točka samo dve koordinati - absciso in ordinato.

Preprosto je videti, da ima za dani koordinatni sistem vsaka točka določene koordinate. Po drugi strani pa za vsako trojko števil obstaja ena sama točka, ki ima ta števila kot koordinate.

Če imajo vektorji, vzeti za osnovo v izbranem koordinatnem sistemu, enotno dolžino in so parno pravokotni, se koordinatni sistem imenuje Kartezijanski pravokotnik.

To je enostavno pokazati.

Smerni kosinus vektorja v celoti določajo njegovo smer, o njegovi dolžini pa ničesar.

na osi ali kakšnem drugem vektorju pa sta koncepta njegove geometrijske projekcije in numerične (ali algebraične) projekcije. Rezultat geometrijske projekcije je vektor, rezultat algebraične projekcije pa je nenegativno realno število. Toda preden preidemo na te koncepte, se spomnimo potrebnih informacij.

Preliminarne informacije

Glavni koncept je koncept samega vektorja. Da bi predstavili definicijo geometrijskega vektorja, se spomnimo, kaj je segment. Naj uvedemo naslednjo definicijo.

Opredelitev 1

Segment je del premice, ki ima dve meji v obliki točk.

Segment ima lahko 2 smeri. Za označevanje smeri bomo eno od meja segmenta imenovali njegov začetek, drugo mejo pa njegov konec. Smer je označena od njegovega začetka do konca segmenta.

Opredelitev 2

Vektor ali usmerjen odsek je odsek, za katerega je znano, katera od meja segmenta velja za začetek in katera za konec.

Oznaka: Dve črki: $ \ overline (AB) $ - (kjer je $ A $ njegov začetek in $ B $ njegov konec).

Ena mala črka: $ \ overline (a) $ (slika 1).

Naj predstavimo še nekaj pojmov, povezanih s konceptom vektorja.

Opredelitev 3

Dva neničelna vektorja se imenujeta kolinearna, če ležita na isti ravni črti ali na ravnih črtah, ki so vzporedne med seboj (slika 2).

4. opredelitev

Dva neničelna vektorja se imenujeta sosmerna, če izpolnjujeta dva pogoja:

1. Ti vektorji so kolinearni.
2. Če kažejo v eno smer (slika 3).

Oznaka: $ \ overline (a) \ overline (b) $

Definicija 5

Dva neničelna vektorja se imenujeta nasprotno usmerjena, če izpolnjujeta dva pogoja:

1. Ti vektorji so kolinearni.
2. Če so usmerjeni v različne smeri (slika 4).

Oznaka: $ \ overline (a) ↓ \ overline (d) $

Opredelitev 6

Dolžina vektorja $ \ overline (a) $ je dolžina segmenta $ a $.

Zapis: $ | \ nadrobni del (a) | $

Obrnimo se na definicijo enakosti dveh vektorjev

Opredelitev 7

Dva vektorja se imenujeta enaka, če izpolnjujeta dva pogoja:

1. So-režiral sta;
2. Njihove dolžine so enake (slika 5).

Geometrijska projekcija

Kot smo že rekli, bo rezultat geometrijske projekcije vektor.

Opredelitev 8

Geometrijska projekcija vektorja $ \ overline (AB) $ na os je vektor, ki ga dobimo na naslednji način: Izvor vektorja $ A $ je projiciran na to os. Dobimo točko $ A "$ - začetek želenega vektorja. Končno točko vektorja $ B $ projiciramo na to os. Dobimo točko $ B" $ - konec želenega vektorja. Vektor $ \ overline (A "B") $ bo želeni vektor.

Razmislite o težavi:

Primer 1

Konstruirajte geometrijsko projekcijo $ \ overline (AB) $ na os $ l $, prikazano na sliki 6.

Narišemo pravokotno na os $ l $ iz točke $ A $, na njej dobimo točko $ A "$. Nato iz točke $ B $ narišemo pravokotno na os $ l $, dobimo točka $ B" $ na njej (slika 7).

Oblikovanje različnih linij in površin na ravnini vam omogoča, da zgradite vizualno podobo predmetov v obliki risbe. Upoštevali bomo pravokotno zasnovo, pri kateri so projekcijski žarki pravokotni na projekcijsko ravnino. PROJEKCIJA VEKTORJA NA RAVNINO upoštevajmo vektor = (slika 3.22), zaprt med pravokotnici, izpuščeni od njegovega začetka in konca.

riž. 3.23. Vektorska projekcija vektorja na os.

V vektorski algebri je pogosto potrebno projicirati vektor na OS, torej na ravno črto z določeno orientacijo. Ta zasnova je enostavna, če vektor in os L ležita v isti ravnini (slika 3.23). Vendar pa postane naloga težja, če ta pogoj ni izpolnjen. Konstruirajmo projekcijo vektorja na os, ko vektor in os ne ležita v isti ravnini (slika 3.24).

riž. 3.24. Projiciranje vektorja na os
na splošno.

Skozi konce vektorja narišemo ravnine, pravokotne na premico L. Na presečišču s to premo črto ti ravnini definirata dve točki A1 in B1 - vektor, ki ga bomo imenovali vektorska projekcija tega vektorja. Problem iskanja vektorske projekcije je mogoče lažje rešiti, če vektor pripeljemo v isto ravnino z osjo, kar je mogoče storiti, saj v vektorski algebri upoštevamo proste vektorje.

Poleg vektorske projekcije obstaja tudi SKALARNA PROJEKCIJA, ki je enaka modulu vektorske projekcije, če vektorska projekcija sovpada z orientacijo osi L, in je enaka nasprotni vrednosti, če je vektorska projekcija in os L ima nasprotno usmerjenost. Skalarna projekcija bo označena z:

Vektorske in skalarne projekcije v praksi niso vedno terminološko strogo ločene. Običajno se uporablja izraz "vektorska projekcija", kar pomeni skalarno vektorsko projekcijo. Pri odločanju je treba med temi koncepti jasno razlikovati. Po ustaljeni tradiciji bomo uporabljali izraza "vektorska projekcija", kar pomeni skalarna projekcija, in "vektorska projekcija" - v skladu z ustaljenim pomenom.

Dokažimo izrek, ki omogoča izračun skalarne projekcije danega vektorja.

TEOREM 5. Projekcija vektorja na os L je enaka zmnožku njegovega modula s kosinusom kota med vektorjem in osjo, tj.

(3.5)

riž. 3.25. Iskanje vektorja in skalarja
Vektorske projekcije na os L
(in os L je enako usmerjena).

DOKAZ. Predkonstruirajmo, da najdemo kot G Med vektorjem in osjo L. Če želite to narediti, zgradite ravno črto MN, vzporedno z osjo L in poteka skozi točko O - začetek vektorja (slika 3.25). Kot bo želeni kot. Skozi točki A in O narišemo dve ravnini, pravokotni na os L. Dobimo:

Ker sta L-os in premica MN vzporedni.

Izpostavimo dva primera medsebojnega položaja vektorja in osi L.

1. Vektorska projekcija in L-os naj bosta enako usmerjeni (slika 3.25). Nato ustrezna skalarna projekcija .

2. Naj in L sta usmerjeni v različnih smereh (slika 3.26).

riž. 3.26. Iskanje vektorske in skalarne projekcije vektorja na os L (in os L je usmerjena v nasprotni smeri).

Tako je trditev izreka v obeh primerih resnična.

TEOREM 6. Če je izvor vektorja reduciran na neko točko na osi L in se ta os nahaja v ravnini s, tvori vektor kot z vektorsko projekcijo na ravnino s in kot z vektorsko projekcijo na os L; poleg tega vektorske projekcije same tvorijo kot med seboj