Pri proučavanju stereometrije, jedna od glavnih tema je "Cilindar". Bočna površina smatra se ako ne glavnom, već važnom formulom pri rješavanju geometrijskih problema. Međutim, također je važno upamtiti definicije koje će vam pomoći u navigaciji kroz primjere i prilikom dokazivanja različitih teorema.

Koncept cilindra

Nekoliko je definicija koje treba prvo razmotriti. Tek nakon njihovog proučavanja može se početi razmatrati pitanje formule za bočnu površinu cilindra. Ostali izrazi mogu se izračunati na temelju ovog zapisa.

• Pod cilindričnom površinom podrazumijeva se ravnina koju opisuje tvornica, koja se kreće i ostaje paralelna zadanom smjeru, klizeći duž postojeće krivulje.
• Tu je i druga definicija: cilindričnu površinu čini skup paralelnih linija koje sijeku zadanu krivulju.
• Generator se konvencionalno naziva visina cilindra. Kad ga pomaknete oko osi koja prolazi kroz središte baze, dobivate određeno geometrijsko tijelo.
• Os je ravna crta koja prolazi kroz obje osnove slike.
• Cilindar je stereometrijsko tijelo omeđeno presječenim bočnim površinama i 2 paralelne ravnine.

Postoje sorte ove trodimenzionalne figure:

1. Pod kružnom se podrazumijeva cilindar čija je vodilica krug. Njegove su glavne komponente radijus baze i tvornica. Potonji je jednak visini lika.
2. Postoji ravni cilindar. Ime je dobio zbog okomitosti generatriksa na osnove lika.
3. Treći tip je kosi cilindar. U udžbenicima možete pronaći i njegov drugi naziv "kružni cilindar sa zakošenom bazom". Ovaj se oblik određuje radijusom baze, minimalnom i maksimalnom visinom.
4. Pod jednakostraničnim cilindrom razumijeva se tijelo koje ima jednaku visinu i promjer kružne ravnine.

Legenda

Tradicionalno se glavne "komponente" cilindra obično nazivaju kako slijedi:

• Osnovni radijus - R (također zamjenjuje istu veličinu stereometrijskog lika).
• Formativ - L.
• Visina - H.
• Osnovno područje - S glavno (drugim riječima, trebate pronaći navedeni parametar kruga).
• Visine kosog cilindra - h 1, h 2 (minimalna i maksimalna).
• Bočna površina je S strana (ako je razmotate, dobit ćete neku vrstu pravokutnika).
• Volumen stereometrijske figure je V.
• Ukupna površina - S.

Stereometrijski oblik "Komponente"

Kada se proučava cilindar, bočna površina igra važnu ulogu. To je zbog činjenice da je ova formula uključena u nekoliko drugih, složenijih. Stoga morate biti dobro upućeni u teoriju.

Glavne komponente slike su:

1. Bočna površina. Kao što znate, dobiva se zbog gibanja generatora duž zadane krivulje.
2. Ukupna površina uključuje postojeće baze i bočnu ravninu.
3. Presjek cilindra obično je pravokutnik paralelan osi slike. Inače se naziva avion. Ispada da su duljina i širina također sastavnice ostalih slika. Dakle, uvjetno, duljine presjeka su generatori. Širina - paralelni akordi stereometrijske figure.
4. Aksijalni presjek znači položaj ravnine kroz središte tijela.
5. I na kraju, konačna definicija. Tangentna ravnina je ravnina koja prolazi kroz tvorbu cilindra i nalazi se pod pravim kutom u odnosu na aksijalni presjek. U tom slučaju mora biti zadovoljen jedan uvjet. Navedena generatrica mora ući u ravninu aksijalnog presjeka.

Osnovne formule za rad s cilindrom

Da bi se odgovorilo na pitanje kako pronaći površinu cilindra, potrebno je proučiti glavne "komponente" stereometrijskog lika i formule za njihovo pronalaženje.

Te se formule razlikuju po tome što se prvo daju izrazi za cilindrični lim, a zatim za ravni.

Primjeri s rastavljenom otopinom

Morate znati površinu bočne površine cilindra. S obzirom na dijagonalu presjeka AC \u003d 8 cm (i to aksijalno). Nakon kontakta s generatorom dobivamo< ACD = 30°

Odluka. Budući da su vrijednosti dijagonale i kuta poznate, u ovom slučaju:

• CD \u003d AC * cos 30 °.

Komentar. Trokut ACD, u konkretan primjer, pravokutni. To znači da je količnik CD i AC \u003d kosinus prisutnog kuta. Vrijednost trigonometrijske funkcije može se naći u posebnoj tablici.

Slično tome, možete pronaći vrijednost AD:

• AD \u003d AC * sin 30 °

Sada je potrebno izračunati željeni rezultat prema sljedećoj formulaciji: površina bočne površine cilindra jednaka je dvostrukom rezultatu množenja "pi", radijusa slike i njegove visine. Treba koristiti drugu formulu: površina baze cilindra. Jednako je rezultatu množenja "pi" s kvadratom radijusa. I na kraju, zadnja formula: ukupna površina površinski. Jednako je zbroju prethodna dva područja.

Dani su cilindri. Njihov volumen \u003d 128 * n cm³. Koji cilindar ima najmanju ukupnu površinu?

Odluka. Prvo trebate upotrijebiti formule za pronalaženje volumena slike i njegove visine.

Budući da je ukupna površina cilindra poznata iz teorije, potrebno je primijeniti njegovu formulu.

Ako rezultirajuću formulu razmotrimo kao funkciju površine cilindra, tada će minimalni "indikator" biti postignut u ekstremnoj točki. Da biste dobili posljednju vrijednost, trebate koristiti diferencijaciju.

Formule se mogu naći u posebnoj tablici za pronalazak izvedenica. U budućnosti će se pronađeni rezultat izjednačiti s nulom i naći će se rješenje jednadžbe.

Odgovor: S min će se postići na h \u003d 1/32 cm, R \u003d 64 cm.

Dat je stereometrijski lik - cilindar i presjek. Potonje se izvodi na takav način da je paralelno s osom stereometrijskog tijela. Cilindar ima sljedeće parametre: VK \u003d 17 cm, h \u003d 15 cm, R \u003d 5 cm. Potrebno je pronaći udaljenost između presjeka i osi.

Budući da se pod presjekom cilindra podrazumijeva VSCM, tj. Pravokutnik, tada je njegova stranica BM \u003d h. Potrebno je uzeti u obzir IUD. Trokut je pravokutni. Na temelju ove tvrdnje može se izvesti točna pretpostavka da je MK \u003d BC.

VK² \u003d VM² + MK²

MK² \u003d VK² - VM²

MK² \u003d 17² - 15²

Stoga možemo zaključiti da je MK \u003d BC \u003d 8 cm.

Sljedeći je korak presijecanje osnove slike. Potrebno je uzeti u obzir rezultirajuću ravninu.

AD je promjer stereometrijskog lika. Paralelna je s odjeljkom spomenutim u izjavi o problemu.

BC - ravna crta smještena na ravnini postojećeg pravokutnika.

ABCD je trapez. U određenom se slučaju smatra jednakokrakim, budući da je oko njega opisan krug.

Ako pronađete visinu rezultirajućeg trapeza, tada možete dobiti odgovor postavljen na početku problema. Naime: pronalaženje udaljenosti između osi i nacrtanog presjeka.

Za to je potrebno pronaći vrijednosti AD i OC.

Odgovor: presjek se nalazi 3 cm od osi.

Zadaci za objedinjavanje gradiva

S obzirom na cilindar. U daljnjem rješenju koristi se bočna površina. Ostali su parametri poznati. Površina baze je Q, površina aksijalnog presjeka je M. Potrebno je pronaći S. Drugim riječima, ukupna površina cilindra.

S obzirom na cilindar. Bočna površina mora se pronaći u jednom od koraka u rješavanju problema. Poznato je da je visina \u003d 4 cm, polumjer \u003d 2 cm. Potrebno je pronaći ukupnu površinu stereometrijskog lika.

Mnogo je zadataka povezanih s cilindrom. Moraju pronaći radijus i visinu tijela ili vrstu njegovog presjeka. Osim toga, ponekad trebate izračunati površinu cilindra i njegov volumen.

Koje je tijelo cilindar?

Znam školski program proučava se kružni, odnosno onaj u osnovi, cilindar. Ali oni također ističu eliptični izgled ove figure. Iz imena je jasno da će mu baza biti elipsa ili oval.

Cilindar ima dvije baze. Oni su međusobno jednaki i povezani su segmentima linija koji poravnavaju odgovarajuće osnovne točke. Zovu se generatrice cilindra. Svi generatori međusobno su paralelni i jednaki. Oni čine bočnu površinu tijela.

U opći slučaj cilindar je nagnuto tijelo. Ako generatori naprave bazu pod pravim kutom, tada već govore o ravnoj figuri.

Zanimljivo je da je kružni cilindar tijelo revolucije. Dobiva se okretanjem pravokutnika oko jedne od njegovih stranica.

Glavni elementi cilindra

Glavni elementi cilindra su kako slijedi.

1. Visina. To je najkraća udaljenost između osnova cilindra. Ako je ravna, tada se visina poklapa s generatorom.
2. Radius. Isto kao i ono što se može nacrtati u osnovi.
3. Os. To je ravna crta koja sadrži središta obje baze. Os je uvijek paralelna sa svim generatorima. U ravnom cilindru okomit je na baze.
4. Aksijalni presjek. Nastaje kada ravnina koja sadrži os presijeca cilindar.
5. Tangentna ravnina. Prolazi kroz jednu od generatrica i okomita je na aksijalni presjek koji je povučen kroz ovu generatriku.

Kako je cilindar povezan s prizmom koja je u njega upisana ili opisana oko nje?

Ponekad postoje problemi u kojima trebate izračunati površinu cilindra, a poznati su i neki elementi prizme povezani s njim. U kakvom su odnosu ove brojke?

Ako je prizma upisana u cilindar, tada su joj baze jednaki poligoni. Štoviše, oni su upisani u odgovarajuće baze cilindara. Bočni bridovi prizme podudaraju se s generatricama.

Opisana prizma ima u bazama pravilne poligone. Opisani su oko krugova cilindra, koji su njegove baze. Ravnine koje sadrže plohe prizme dodiruju cilindar duž svojih tvornica.

O bočnoj površini i površini baze za ravni kružni cilindar

Ako odmotate bočnu površinu, dobit ćete pravokutnik. Njegove stranice podudarat će se s tvornicom i opsegom baze. Stoga će bočno područje cilindra biti jednako umnošku ove dvije vrijednosti. Ako zapišete formulu, dobit ćete sljedeće:

S strana \u003d l * n,

gdje je n generator, l je opseg.

Štoviše, zadnji parametar izračunava se formulom:

l \u003d 2 π * r,

ovdje je r polumjer kružnice, π je broj "pi" jednak 3,14.

Budući da je baza krug, površina joj se izračunava pomoću sljedećeg izraza:

S glavno \u003d π * r 2.

O površini cijele površine ravnog kružnog cilindra

Budući da ga čine dvije baze i bočna površina, morate dodati ove tri vrijednosti. Odnosno, ukupna površina cilindra izračunat će se po formuli:

S kat \u003d 2 π * r * n + 2 π * r 2.

Često se piše u drugom obliku:

S kat \u003d 2 π * r (n + r).

O površinama kosog kružnog cilindra

Što se tiče temelja, sve su formule iste, jer su i dalje krugovi. Ali bočna površina više ne daje pravokutnik.

Da biste izračunali površinu bočne površine nagnutog cilindra, morat ćete pomnožiti vrijednosti generatrice i opseg presjeka, koji će biti okomiti na odabranu generatricu.

Formula izgleda ovako:

S strana \u003d x * P,

gdje je x duljina tvorbe cilindra, P je opseg presjeka.

Usput, bolje je odabrati odjeljak tako da tvori elipsu. Tada će se pojednostavniti izračuni njegovog opsega. Duljina elipse izračunava se pomoću formule koja daje približni odgovor. Ali to je često dovoljno za zadatke školskog tečaja:

l \u003d π * (a + b),

gdje su "a" i "b" poluosovine elipse, odnosno udaljenost od središta do njegovih najbližih i najudaljenijih točaka.

Površina cijele površine mora se izračunati pomoću sljedećeg izraza:

S kat \u003d 2 π * r 2 + x * R.

Čemu su jednaki neki presjeci ravnog kružnog cilindra?

Kad presjek prolazi kroz os, tada se njegovo područje određuje kao umnožak tvorbe i promjera baze. To je zbog činjenice da izgleda poput pravokutnika, čije se stranice podudaraju s označenim elementima.

Da biste pronašli površinu presjeka cilindra paralelnog s aksijalnim, trebat će vam i formula za pravokutnik. U ovoj će se situaciji jedna njegova strana i dalje poklapati s visinom, dok je druga jednaka tetivi baze. Potonji se poklapa s linijom presjeka u osnovi.

Kad je presjek okomit na os, tada izgleda poput kruga. Štoviše, površina mu je ista kao u osnovi slike.

Moguće je i presijecanje pod nekim kutom prema osi. Zatim se u odjeljku dobije oval ili njegov dio.

Primjeri zadataka

Zadatak broj 1. S obzirom na ravni cilindar s osnovnom površinom od 12,56 cm 2. Potrebno je izračunati ukupnu površinu cilindra ako je njegova visina 3 cm.

Odluka. Potrebno je koristiti formulu za ukupnu površinu kružnog ravnog cilindra. Ali nedostaju mu podaci, naime osnovni radijus. Ali područje kruga je poznato. Iz njega je lako izračunati radijus.

Ispada da je jednak kvadratnom korijenu količnika, koji se dobiva dijeljenjem površine baze s pi. Nakon dijeljenja 12,56 sa 3,14, izlazi 4. Korijen od 4 je 2. Stoga će radijus imati točno ovu vrijednost.

Odgovor: S kat \u003d 50,24 cm 2.

Zadatak broj 2. Cilindar polumjera 5 cm presječen je ravninom paralelnom osi. Udaljenost od presjeka do osi je 3 cm. Visina cilindra je 4 cm. Potrebno je pronaći područje presjeka.

Odluka. Oblik presjeka - pravokutni. Jedna njegova strana poklapa se s visinom cilindra, a druga je jednaka tetivi. Ako je poznata prva vrijednost, tada se mora naći druga.

Za to treba napraviti dodatnu konstrukciju. Nacrtajte dva segmenta u osnovi. Obojica će početi u središtu kruga. Prva će završiti u središtu tetive i jednaka je poznatoj udaljenosti od osi. Drugi je na kraju akorda.

Dobit ćete pravokutni trokut. U njemu su poznate hipotenuza i jedna od nogu. Hipotenuza odgovara radijusu. Druga noga je polovica akorda. Nepoznata noga pomnožena s 2 dat će željenu duljinu akorda. Izračunajmo njegovu vrijednost.

Da biste pronašli nepoznati krak, trebate hipotenuzu i poznati katet izravnati u kvadrat, od prvog oduzeti drugi i izvući kvadratni korijen. Kvadrati su 25 i 9. Njihova je razlika 16. Nakon vađenja kvadratnog korijena ostaje 4. Ovo je željena noga.

Akord će biti 4 * 2 \u003d 8 (cm). Sada možete izračunati površinu presjeka: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).

Odgovor: S presjek jednak je 32 cm 2.

Zadatak broj 3. Potrebno je izračunati površinu osnog presjeka cilindra. Poznato je da je u nju upisana kocka s rubom od 10 cm.

Odluka. Aksijalni presjek valjka poklapa se s pravokutnikom koji prolazi kroz četiri vrha kocke i sadrži dijagonale njegovih osnova. Stranica kocke je tvornica cilindra, a dijagonala osnovice podudara se s promjerom. Umnožak ove dvije vrijednosti dat će područje koje treba pronaći u problemu.

Da biste pronašli promjer, trebate upotrijebiti znanje da je u osnovi kocke kvadrat, a njegova dijagonala tvori jednakostranični pravokutni trokut. Njegova hipotenuza je potrebna dijagonala figure.

Da biste ga izračunali, potrebna vam je formula Pitagorinog teorema. Trebate kvadrat stranice kocke pomnožiti s 2 i uzeti kvadratni korijen. Deset do drugog stupnja je sto. Pomnoženo s 2 - dvjesto. Kvadratni korijen iz 200 je 10√2.

Presjek je opet pravokutnik sa stranicama 10 i 10√2. Njeno se područje može lako izračunati množenjem ovih vrijednosti.

Odgovor. S presjek \u003d 100√2 cm 2.

Površina bočne površine cilindra jednaka je površini pravokutnika čija je osnova jednaka 2π r, a visina je jednaka visini cilindra h, tj. 2π rh.

Ukupna površina cilindra bit će: 2π r 2 + 2π rh \u003d 2π r(r+ h).

Područje bočne površine cilindra uzima se kao područje skeniranja njegova bočna površina.

Stoga je površina bočne površine ravnog kružnog cilindra jednaka površini odgovarajućeg pravokutnika (slika) i izračunava se formulom

S b.ts. \u003d 2πRH, (1)

Ako površini njegove dvije baze dodamo površinu bočne površine cilindra, tada ćemo dobiti površinu ukupne površine cilindra

S pun \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

Ravni volumen cilindra

gdje je Q osnovno područje, a H visina cilindra.

Budući da je površina baze cilindra Q, postoje nizovi opisanih i upisanih poligona s površinama Q n i Q ' n takav da

\\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q n \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q ' n \u003d Q.

Konstruirajmo slijed prizmi, čija su osnova gore opisani i upisani poligoni, a bočni bridovi paralelni su s tvornicom datog cilindra i imaju duljinu H. Te su prizme opisane i upisane za zadati cilindar. Njihov volumen nalazi se prema formulama

V n \u003d Q n H i V ' n \u003d Q ' n H.

Slijedom toga,

V \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q n H \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q ' n H \u003d QH.

Posljedica.
Volumen ravnog kružnog cilindra izračunava se po formuli

V \u003d π R2H

gdje je R polumjer osnove, a H visina cilindra.

Budući da je osnova kružnog cilindra kružnica polumjera R, tada je Q \u003d π R 2, pa prema tome

Tijela revolucije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i kugla.

Ako u zadatku na ispitu iz matematike trebate izračunati volumen stošca ili površinu kugle - smatrajte se sretnima.

Primijenite formule volumena i površine za cilindar, konus i kuglu. Svi su u našem stolu. Naučiti napamet. Tu započinje znanje o stereometriji.

Ponekad je dobro nacrtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.

2. Koliko je puta volumen stošca opisan o pravilnoj četverokutnoj piramidi veći od volumena stošca upisanog u ovu piramidu?

Jednostavno je - nacrtajte pogled odozdo. Vidimo da je polumjer veći krug puta veći od manjeg radijusa. Visine oba stošca su jednake. Slijedom toga, volumen većeg konusa bit će dvostruko veći.

Još važna točka... Zapamtite da u zadacima dijela B mogućnosti za ispit u matematici se odgovor zapisuje kao cijeli broj ili konačan decimalni razlomak... Stoga u vašem dijelu odgovora u dijelu B ne bi trebalo biti nikakvog odgovora ili u njemu. Ne trebate zamijeniti ni približnu vrijednost broja! Svakako se mora smanjiti! Zbog toga je u nekim problemima zadatak formuliran, na primjer, kako slijedi: "Nađi površinu bočne površine cilindra podijeljenu s".

A gdje se još primjenjuju formule za volumen i površinu tijela okretaja? Naravno, u problemu C2 (16). Također ćemo vam reći o tome.

Cilindar (dolazi iz grčkog jezika, od riječi "valjak", "valjak") je geometrijsko tijelo, koje je izvana omeđeno površinom koja se naziva cilindrična i dvije ravnine. Te ravnine sijeku površinu lika i međusobno su paralelne.

Cilindrična površina je površina koja se dobiva ravnom crtom u prostoru. Ti su pokreti takvi da se odabrana točka ove ravne crte pomiče po ravnoj krivulji. Takva ravna crta naziva se generatriksom, a zakrivljena vodilja.

Cilindar se sastoji od para osnova i bočne strane cilindrična površina... Postoji nekoliko vrsta cilindara:

1. Kružni, ravni cilindar. Za takav cilindar osnova i vodilica okomite su na liniju generatora, a postoji

2. Nagnuti cilindar. Njegov kut između stvarajuće crte i baze nije u pravu.

3. Cilindar različitog oblika. Hiperbolični, eliptični, parabolični i drugi.

Područje cilindra, kao i ukupna površina bilo kojeg cilindra, pronalazi se zbrajanjem površina osnova ove slike i površine bočne površine.

Formula kojom se izračunava ukupna površina cilindra za kružni, ravni cilindar:

Sp \u003d 2p Rh + 2p R2 \u003d 2p R (h + R).

Područje bočne površine smatra se malo složenijim od površine cilindra u cjelini; izračunava se množenjem duljine generirajuće crte s opsegom presjeka formiranog ravninom koja je okomita do proizvodne linije.

Datim cilindrom za kružni, ravni cilindar prepoznaje se rasklapanje ovog predmeta.

Ravni uzorak je pravokutnik koji ima visinu h i duljinu P koja je jednaka opsegu osnove.

Stoga slijedi da je bočno područje cilindra jednaka površina sweep i može se izračunati pomoću ove formule:

Ako uzmemo kružni, ravni cilindar, onda za njega:

P \u003d 2p R i Sb \u003d 2p Rh.

Ako je cilindar nagnut, tada bočna površina mora biti jednaka umnošku duljine generirajuće crte i opsega presjeka koji je okomit na ovu generirajuću liniju.

Nažalost, ne postoji jednostavna formula za izražavanje bočne površine kosog cilindra u smislu njegove visine i parametara baze.

Da biste izračunali cilindar, morate znati nekoliko činjenica. Ako presjek svojom ravninom presijeca osnove, takav je presjek uvijek pravokutnik. Ali ti će se pravokutnici razlikovati, ovisno o položaju odjeljka. Jedna od stranica aksijalnog presjeka slike, koja je okomita na osnove, jednaka je visini, a druga jednaka promjeru osnove cilindra. A površina takvog presjeka jednaka je umnošku jedne strane pravokutnika na drugu, okomitu na prvu, ili umnošku visine ove figure na promjer njegove osnove.

Ako je presjek okomit na osnove slike, ali ne prolazi kroz os rotacije, tada će površina ovog presjeka biti jednaka umnošku visine ovog cilindra i određene tetive. Da biste dobili akord, trebate izgraditi krug u podnožju cilindra, nacrtati polumjer i ucrtati udaljenost na kojoj se nalazi presjek. I od ove točke trebate povući okomice na polumjer od presjeka s kružnicom. Sjecišta su povezana sa središtem. A osnova trokuta je ona željena koja se traži, zvuči ovako: "Zbir kvadrata dviju kateta jednak je hipotenuzi na kvadrat":

C2 \u003d A2 + B2.

Ako presjek ne dodiruje osnovu cilindra, a sam cilindar je kružan i ravan, tada se područje ovog presjeka nalazi kao područje kruga.

Područje kruga je:

S env. \u003d 2p R2.

Da biste pronašli R, trebate podijeliti njegovu duljinu C s 2n:

R \u003d C \\ 2n, gdje je n broj pi, matematička konstanta izračunata za rad s podacima kruga i jednaka 3,14.