Du sommet opposé) et diviser le produit résultant à deux. Dans la forme de cela, cela ressemble à ceci:

S \u003d ½ * a * h,

où:
S - Triangle Square,
a - la longueur de sa part
h est la hauteur, abaissée de ce côté.

La longueur des parties et la hauteur doivent être présentées dans les mêmes unités de mesure. Dans le même temps, la zone du triangle réussira dans les unités correspondantes "" ".

Exemple.
Sur l'un des côtés du triangle polyvalent, 20 cm de long, perpendiculairement du sommet opposé à 10 cm de long.
Une zone de triangle est requise.
Décision.
S \u003d ½ * 20 * 10 \u003d 100 (cm²).

Si la longueur de deux tous les côtés du triangle polyvalent et de l'angle entre eux sont connus, utilisez la formule:

S \u003d ½ * a * b * sinγ

où: A, B - la longueur de deux côtés arbitraires et γ - le coin entre eux.

En pratique, par exemple, lors de la mesure des parcelles terrestres, l'utilisation des formules ci-dessus est parfois difficile, car elle nécessite des constructions et des mesures supplémentaires d'angles.

Si vous connaissez la longueur des trois côtés du triangle polyvalent, utilisez la formule Gérone:

S \u003d √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - la longueur du côté du triangle,
p est un demi-mètre: p \u003d (A + B + C) / 2.

Si, en plus des longueurs de tous côtés, le rayon inscrit dans le triangle du cercle est connu, puis utilisez la formule compacte suivante:

où: R est un rayon du cercle inscrit (p - demi-mètre).

Pour calculer la zone du triangle polyvalent du cercle décrit et de la longueur de ses côtés, utilisez la formule:

où: R est le rayon du cercle décrit.

Si la longueur de l'un des côtés du triangle et de trois angles est connue (en principe, il y a suffisamment de deux - la quantité de la troisième est calculée à partir de l'égalité de la somme des trois coins du triangle - 180º), puis Utilisez la formule:

S \u003d (a² * sinβ * sinγ) / 2Sinα,

où α est la valeur du côté opposé A de l'angle;
β, γ - Les valeurs des deux coins restants du triangle.

Besoin nécessaire divers éléments, y compris la place triangle, est apparu dans plusieurs siècles avant JC des scientifiques académiques La Grèce ancienne. Surface triangle peut être calculé différentes façonsEn utilisant différentes formules. La méthode de calcul dépend des éléments triangle Connu.

Instruction

Si nous connaissons les valeurs des deux côtés B, c et de l'angle d'entre eux formé?, Puis la zone triangle ABC est sur la formule:
S \u003d (BCSIN?) / 2.

Si nous connaissons les valeurs des deux côtés A, B et l'angle non formé par eux?, Puis la zone triangle ABC est comme suit:
Trouver un angle ?, Sin? \u003d BSIN? / A, alors la table est déterminée par l'angle lui-même.
Trouver un angle? \u003d 180 ° -? - ?.
Trouvez le S \u003d (absin?) / 2 elle-même.

Si nous connaissons les valeurs de trois côtés de la condition triangle a, b et c, puis la zone triangle ABC est sur la formule:
S \u003d V (p (p-a) (p-b) (p-b)), où p est un demi-version P \u003d (A + B + C) / 2

Si nous connaissons la hauteur des termes du problème triangle h et le côté à laquelle cette hauteur est omise, puis la zone triangle ABC Selon la formule:
S \u003d AH (A) / 2 \u003d BH (B) / 2 \u003d CH (C) / 2.

Si nous connaissons le sens des parties triangle a, b, c et rayon décrivent près de cette triangle R, alors la zone de cette triangle ABC est déterminé par la formule:
S \u003d ABC / 4R.
S'il y a trois côtés de A, B, C et du rayon inscrit, alors la zone triangle ABC est sur la formule:
S \u003d PR, où p est un demi-mètre, p \u003d (A + B + C) / 2.

Si ABC est équilatéral, la zone est située par la formule:
S \u003d (A ^ 2v3) / 4.
Si le triangle ABC est précédé, la zone est déterminée par la formule:
S \u003d (CV (4a ^ 2 - c ^ 2)) / 4, où c - triangle.
Si le triangle ABC est rectangulaire, la zone est déterminée par la formule:
S \u003d AB / 2, où A et B - Kartets triangle.
Si le triangle ABC est un isked rectangulaire, la zone est déterminée par la formule:
S \u003d c ^ 2/4 \u003d A ^ 2/2, où c est hypoténuse triangle, A \u003d B - Catat.

Vidéo sur le sujet

Sources:

• comment mesurer la zone du triangle

Astuce 3: Comment trouver une zone de triangle s'il suit

Connaissance d'un seul paramètre (l'ampleur de l'angle) ne suffit pas à trouver la zone tre. golnik . S'il y a des dimensions supplémentaires, il est possible de choisir l'une des formules pour déterminer la zone dans laquelle la valeur d'angle est utilisée comme l'une des variables connues. Plusieurs formules de ce type utilisé le plus souvent sont données ci-dessous.

Instruction

Si, outre l'ampleur de l'angle (γ) formé par les deux parties tre. golnik , sont connus et les longueurs de ces côtés (A et B), puis surface (S) Les chiffres peuvent être déterminés en la moitié des longueurs de produit des côtés sur le sinus de cet angle connu: S \u003d ½ × A × B × SIN (γ).

Triangle est telle figure géométriqueCe qui se compose de trois lignes droites connectées à des points qui ne mentent pas sur une ligne droite. Points de connexion directe - ce sont les sommets du triangle, qui sont indiqués avec des lettres latines (Par exemple, A, B, C). Les triangles droites sont appelés segments également acceptés par les lettres latines. Les types de triangles suivants sont distingués:

• Rectangulaire.
• Stupide.
• Aigu.
• Versatile.
• Équilatéral.
• Isocèle.

Formules générales pour calculer la zone triangulaire

La formule de la zone du triangle en longueur et en hauteur

S \u003d A * H / 2,
Où et est la longueur du côté du triangle, dont la surface doit être trouvée, la longueur de H passée à la base de la hauteur.

Formula Gérone

S \u003d √R * (R - A) * (P-B) * (P-C),
où √ est racine carrée, Une demi-version de la triangle, A, B, C est la longueur de chaque côté du triangle. La demi-période du triangle peut être calculée par la formule P \u003d (A + B + C) / 2.

Formule de la zone du triangle dans la magnitude de l'angle et de la longueur du segment

S \u003d (a * b * péché (α)) / 2,
Où b, c est La longueur des parties du triangle, sin (α) est le sinus de l'angle entre les deux côtés.

La formule de la zone du triangle sur le rayon du cercle inscrit et des trois côtés

S \u003d p * r,
Lorsque P est un demi-version d'un triangle, dont la surface doit être trouvée, R-rayon inscrit dans ce triangle du cercle.

La formule de la zone triangle de trois côtés et le rayon de la circonférence décrits autour de celui-ci

S \u003d (a * b * c) / 4 * r,
Lorsque A, B, C est la longueur de chaque côté du triangle, le rayon R décrit autour du triangle du cercle.

La formule de la zone du triangle sur les coordonnées cartésiennes des points

Les coordonnées cartésiennes des points sont des coordonnées dans le système XOY, où X est l'abscisse, l'ordonnée en Y. Le système de coordonnées XOI sur le plan est appelé mutuellement perpendiculaire aux axes numériques de OH et OY avec démarrage général La référence au point O. Si les coordonnées des points de ce plan sont spécifiées sous la forme A (X1, Y1), B (x2, Y2) et C (x3, Y3), puis la zone triangulaire peut être calculée en fonction à la formule suivante, qui est obtenue à partir du produit vectoriel de deux vecteurs.
S \u003d | (x1 - x3) (Y2 - Y3) - (x2 - x3) (Y1 - Y3) | / 2,
où || Indique le module.

Comment trouver une zone rectangulaire

Le triangle rectangulaire est un tel triangle, qui a un angle de 90 degrés. Un tel angle dans un triangle ne peut être qu'un.

La formule de la zone du triangle rectangulaire en deux catégories

S \u003d a * b / 2,
Où A, B est la longueur des cathètes. Les carestes sont appelées les parties adjacentes au coin droit.

La formule de la zone du triangle rectangulaire sur l'hypoténuse et le coin aigu

S \u003d a * b * péché (α) / 2,
Où A, B sont les katents de triangle, et le péché (α) est un singe d'un angle, qui coupe droit A, b.

La formule de la zone du triangle rectangulaire sur cathétu et le coin opposé

S \u003d A * B / 2 * TG (β),
Lorsque A, B est le triangle Kattenets, TG (β) est une tangente d'angle dans lequel les cathètes A, B sont connectés.

Comment calculer une zone de triangle égale

Il est également appelé tel triangle, qui a deux côtés égaux. Ces parties sont appelées côté, et l'autre côté est la base. Vous pouvez utiliser l'une des formules suivantes pour calculer la zone d'un triangle isqué.

La formule principale pour calculer la zone d'un triangle d'équilibre

S \u003d h * c / 2,
Lorsque C est la base du triangle, H est la hauteur du triangle, abaissée à la base.

La formule d'un triangle d'équilibre sur le côté et la base

S \u003d (C / 2) * √ (A * A - C * C / 4),
Lorsque C est la base du triangle, la valeur de l'un des côtés latéraux d'un triangle équivible.

Comment trouver une zone de triangle équilatérale

Un triangle équilatéral est un tel triangle que toutes les parties sont égales. Pour calculer la zone de triangle équilatérale, vous pouvez utiliser la formule suivante:
S \u003d (√3 * a * a) / 4,
où une est la longueur du côté du triangle équilatéral.

Les formules ci-dessus permettront de calculer la zone de triangle souhaitée. Il est important de rappeler que de calculer les triangles de rechange doivent prendre en compte le type de triangle et les données disponibles pouvant être utilisées pour calculer.

Pour déterminer la zone du triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les manières, la plus facile et fréquemment utilisée est la multiplication de la hauteur de la longueur de la base, suivie de la division du résultat obtenu par deux. Cependant, cette méthode est loin du seul. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver une zone triangulaire à l'aide de différentes formules.

Séparément, nous examinerons les moyens de calculer la zone d'espèces spécifiques du triangle rectangulaire, équiviable et équilatérale. Chaque formule Nous accompagnons une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.

Façons universelles de trouver la zone triangle

Les formules suivantes utilisent des désignations spéciales. Nous allons déchiffrer chacun d'eux:

• a, b, c - la longueur des trois côtés des chiffres que nous considérons;
• r est un rayon de cercle qui peut être inscrit dans notre triangle;
• R est un rayon de la circonférence qui peut être décrit autour de lui;
• α est la valeur de l'angle formé par les parties B et C;
• β est la magnitude de l'angle entre A et C;
• γ est la magnitude de l'angle formé par les parties A et B;
• h - la hauteur de notre triangle, abaissée de l'angle α à la côte a;
• p est la moitié de la somme des parties A, B et S.

Il est généralement clair que vous pouvez trouver la zone du triangle de cette manière. Le triangle est facilement complété à un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle effectuera le rôle d'une diagonale. La zone du parallélogramme multiplie la longueur de l'un de ses côtés à la valeur de hauteur effectuée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel sur 2 triangles identiques. Par conséquent, il est évident que la zone de notre triangle d'origine devrait être égale à la moitié de la zone de ce parallélogramme auxiliaire.

S \u003d ½ a · b · péché γ

Selon cette formule, la zone triangulaire multiplie les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire A et B, le sinus de l'angle formé par eux. Cette formule est logiquement émise de la précédente. Si vous abaissez la hauteur de l'angle β sur le côté B, ensuite, selon les propriétés du triangle rectangulaire, lorsque le côté du côté A est multiplié par le sinus de l'angle γ, nous obtenons la hauteur du triangle, c'est h.

La zone des chiffres considérés que nous trouvons en multipliant la moitié du rayon de cercle, qui peut être entré dessus, sur son périmètre. En d'autres termes, nous trouvons un produit d'une demi-version sur le rayon dudit cercle.

S \u003d A · B · C / 4R

Selon cette formule, la magnitude nécessaire à nous peut être trouvée en divisant le travail des parties de la figure sur le rayon 4 du cercle autour de celui décrit.

Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer la zone de tout triangle (polyvalent, équiviable, équilatérale, rectangulaire). Vous pouvez le faire avec des calculs plus complexes sur lesquels nous ne nous arrêterons pas en détail.

Carré de triangles avec des propriétés spécifiques

Comment trouver une zone rectangulaire? Une caractéristique de ce chiffre est que ses deux parties sont simultanément ses hauteurs. Si A et B sont des catégories, et cela devient hypothenuisa, la zone se trouve comme ceci:

Comment trouver une zone de triangle équivible? En elle, deux côtés de longueur A et d'un côté avec une longueur B. Par conséquent, sa zone peut être déterminée en divisant sur 2 œuvres du carré du côté A sur le sinus de l'angle γ.

Comment trouver une zone de triangle équilatérale? En cela, la longueur de toutes les parties est égale à A, et la valeur de tous les angles - α. Sa hauteur est égale à la moitié de la longueur de la longueur du côté et sur la racine carrée de 3. Pour trouver la zone du triangle droit, vous avez besoin du carré du côté et multipliez le carré de 3 à la racine et divisé par 4.

Instruction

Des soirées et les angles sont considérés comme les éléments principaux mais. Le triangle est entièrement déterminé par l'un des éléments de base suivants: trois côtés ou un côté, deux angles ou deux côtés et un angle entre eux. Pour l'existence triangledéfini par trois côtés de A, B, C, il est nécessaire et suffisant pour effectuer des inégalités appelées inégalités triangle:
a + B\u003e C,
a + C\u003e B,
b + C\u003e a.

Pour la construction triangle Sur trois côtés d'A, B, C, il est nécessaire d'un point d'un segment de SV \u003d A Comment effectuer un cercle circulaire avec un rayon B. Ensuite, de manière similaire de dépenser à partir d'un point B avec un rayon de la même côté C. Le point de leur intersection a est le troisième sommet de la personne souhaitée triangle Abc, où av \u003d c, cb \u003d a, ca \u003d b - parties triangle. La tâche a si les parties a, b, c, satisfaire des inégalités triangle Spécifié à l'étape 1.

Taille S, intégrée de cette manière triangle ABC S. côtés célèbres A, B, C, est calculé par la formule de Geron:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
où a, b, c-côtés triangle, P est un demi-mètre.
P \u003d (A + B + C) / 2

Si le triangle est équilatéral, c'est-à-dire que toutes ses parties sont égales (A \u003d B \u003d C). triangle Calculé par la formule:
S \u003d (A ^ 2 V3) / 4

Si le triangle est rectangulaire, c'est-à-dire un de ses coins de 90 ° et les côtés, qui forment, par catégories, la troisième côté de l'hypoenuus. DANS ce cas surface est égal au produit des cathètes divisé par deux.
S \u003d AB / 2

Trouver surface triangleVous pouvez utiliser l'une des nombreuses formules. La formule choisit en fonction des données déjà connues.

Tu auras besoin de

• connaissance des formules pour trouver une zone triangle

Instruction

Si vous connaissez la magnitude d'un des côtés et de la taille de la hauteur, abaissé de ce côté de l'angle opposé à celui-ci, vous pouvez trouver la zone comme suit: S \u003d A * H / 2, où S est la zone de Le triangle, A est l'un des côtés du triangle, et H - Hauteur, côté a.

Il est connu pour déterminer la zone triangle, si trois côtés sont connus. Elle est la formule de Geron. Pour simplifier son enregistrement, une valeur intermédiaire est administrée - un demi-mètre: p \u003d (A + B + C) / 2, où A, B, C -. Ensuite, la formule de Geron comme suit: S \u003d (p (P-A) (P-B) (P-B) (P-C)) ^ ½, ^ ^ ^.

Supposons que vous sachiez l'un des côtés du triangle et de trois coins. Ensuite, il est facile de trouver une zone triangle: S \u003d A²Sinα sinγ / (2Sinβ), où β est un angle, le côté opposé A, et α et γ - adjacent sur le côté des coins.

Vidéo sur le sujet

Remarque

La formule la plus générale adaptée à tous les cas est la formule de Geron.

Sources:

Astuce 3: Comment trouver une zone triangle pour trois côtés

La recherche d'une zone triangle est l'une des tâches les plus courantes de Planimetry de l'école. La connaissance des trois côtés du triangle suffit à déterminer la zone de n'importe quel triangle. Dans des cas particuliers et des triangles équilatéraux, il suffit de connaître les longueurs des deux et d'une main, respectivement.

Tu auras besoin de

• les longueurs des côtés des triangles, la formule Geron, le théorème cosinus

Instruction

La formule Geron pour la zone triangulaire comme suit: S \u003d sqrt (p-b) (p-b) (p-b) (P-C)). Si vous sélectionnez un demi-mètre P, alors il s'avère: S \u003d SQRT (((A + B + C) / 2) ((B + CA) / 2) ((A + CB) / 2) ((A + CB) / 2) ( + BC) / 2)) \u003d (SQRT ((A + B + C) (A + BC) (A + CB) (B + CA))) / 4.

Il peut être dérivé à la formule de la zone triangle et à des considérations, par exemple en appliquant le théorème de cosinus.

Par le théorème cosinus AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * COS (ABC). En utilisant la notation introduite, celles-ci peuvent également être sous la forme de: B ^ 2 \u003d (A ^ 2) + (C ^ 2) -2A * C * COS (ABC). Par conséquent, COS (ABC) \u003d ((A ^ 2) + (c ^ 2) - (B ^ 2)) / (2 * A * C)

La zone triangle est également située selon la formule S \u003d A * C * Sin (ABC) / 2 à deux côtés et angle entre eux. Le sinus d'angle ABC peut être exprimé à l'aide de la principale identité trigonométrique: sin (ABC) \u003d SQRT (1 - (((COS (ABC)) ^ 2). Remplaçant le sinus dans la formule et la peinture, vous pouvez Venez à la formule pour la zone triangle. ABC.

Vidéo sur le sujet

Pour travaux de réparation Cela arrive à mesurer surface des murs. Il est plus facile de calculer la quantité requise de peinture ou de papier peint. Pour les mesures, il est préférable d'utiliser un ruban à mesurer ou une bande de centimètre. Les mesures doivent être effectuées après des murs A été aligné.

Tu auras besoin de

• -roulette;
• -échelle.

Instruction

Calculer surface Les murs, vous devez connaître la hauteur exacte des plafonds, ainsi que produire des mesures de longueur sur le sol. Ceci est fait comme suit: Prenez un centimètre, lancez-le au-dessus du socle. Généralement un centimètre manquant pour toute la longueur, alors fixez-le dans le coin, puis détendez-vous sur longueur maximale. À ce stade, mettez une marque de crayon, écrivez le résultat et une mesure supplémentaire de la même manière, à partir du dernier point de mètre.

Ceilkov standard Dans typiques - 2 mètres de 80 centimètres, 3 mètres et 3 mètres de 20 centimètres, selon la maison. Si la maison a été construite jusqu'à la cinquantaine, il est fort probable que la grande hauteur est légèrement inférieure en dessous. Si vous calculez surface Pour les travaux de réparation, une petite marge ne fera pas mal - examiner sur la base de la norme. Si vous avez encore besoin de savoir hauteur réelle - Passez des mesures. Le principe est similaire à la mesure de la longueur, mais l'escabeau sera nécessaire.

Multiplier les indicateurs obtenus - c'est surface toi des murs. Vrai, comme travaux de peinture ou avoir besoin de déduire surface Porte I. opérations de fenêtre. Pour ce faire, lancez un centimètre le long de l'ouverture. Si un nous parlons à propos de la porte que vous allez ensuite changer, puis dépensez avec enlevé boîte de porte, donné seulement surface Directement les perspectives elles-mêmes. La zone de la fenêtre est calculée autour du périmètre de son cadre. Après surface Les fenêtres et la porte sont calculées, déduisent le résultat de la zone totale obtenue.

Veuillez noter que les mesures de longueur et les largeurs de la pièce sont effectuées ensemble, il est plus facile de fixer un centimètre ou une roulette et, en conséquence, d'obtenir un résultat plus précis. Coupez la même mesure plusieurs fois pour vous assurer que la précision des figures reçues.

Vidéo sur le sujet

Trouver le volume du triangle est vraiment une tâche non triviale. Le fait est que le triangle est une figure bidimensionnelle, c'est-à-dire Il se situe entièrement dans le même plan, ce qui signifie qu'il n'a tout simplement pas de volume. Bien sûr, il est impossible de trouver quelque chose qui n'existe pas. Mais nous ne baisserons pas vos mains! Vous pouvez prendre l'hypothèse suivante - le volume de la figure bidimensionnelle, c'est sa zone. Nous rechercherons une zone triangle.

Tu auras besoin de

• feuille de papier, crayon, règle, calculatrice

Instruction

Dessinez une feuille de papier avec une règle et un crayon. Soigneusement examiné le triangle, vous pouvez vous assurer qu'il n'a pas vraiment, car il est tiré sur l'avion. Signez le côté du triangle: laisser un côté le côté "A", l'autre côté "B" et le troisième côté "C". Signez les sommets des lettres triangle "A", "B" et "C".

Mesurez la ligne de chaque côté du triangle et écrivez le résultat résultant. Après cela, restaurez perpendiculairement au côté mesuré du sommet opposé à celui-ci, une telle perpendiculaire est la hauteur du triangle. Dans le cas montré sur la figure, "H" perpendiculaire est restauré sur le côté "C" du haut "A". Mesurez la hauteur résultante de la règle et écrivez le résultat de la mesure.

Il se peut que vous soyez difficile de restaurer la perpendiculaire précise. Dans ce cas, vous devez utiliser une autre formule. Mesurez tous les côtés de la règle du triangle. Après cela, calculez la demi-version du triangle "P" en pliant les longueurs résultantes des parties et en divisant la somme en deux. Ayant à sa disposition la valeur de la demi-mesure, vous pouvez en fonction de la formule de Gérone. Pour ce faire, il est nécessaire de retirer la racine carrée des éléments suivants: p (p-a) (p-b) (P-C).

Tu as reçu l'ampleur souhaitée Triangle Square. La tâche de trouver le volume du triangle n'est pas résolue, mais comme mentionné ci-dessus, le volume n'est pas. Vous pouvez trouver un volume essentiellement un triangle dans le monde tridimensionnel. Si vous soumettez que notre triangle d'origine est devenu une pyramide en trois dimensions, le volume d'une telle pyramide sera le produit de sa fondation pour la zone de triangle que nous avons reçue.

Remarque

Les comptages seront les plus précis que plus soigneusement que vous allez mesurer

Sources:

• Calculatrice "Tout dans tout" - portail pour les valeurs de référence
• volume de triangle en 2019

Trois points, déterminant de manière unique le triangle dans le système de coordonnées cartésiennes, est ses sommets. Connaître leur position par rapport à chacun des axes de coordonnées, vous pouvez calculer tous les paramètres de cette silhouette, y compris le périmètre limité surface. Cela peut être fait de plusieurs manières.

Instruction

Utilisez la formule Geron pour calculer la zone triangle. Cela implique la taille des trois côtés de la figure, de sorte que les calculs commencent par. La longueur de chaque côté doit être égale à la racine de la somme des carrés de ses projections sur coordonner les axes. Si vous désignez les coordonnées A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) et C (X₃, Y₃, Z₃), les longueurs de leurs parties peuvent être exprimées comme suit: AB \u003d √ (x₁-x₂ ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (z₁-z₂) ²), BC \u003d √ ((x₂-x₃) ² + (Y₂-y₃) ² + (z₂-z₃) ²), AC \u003d √ (x₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (z₁-z₃) ²).

Pour simplifier les calculs, entrez une variable auxiliaire - une demi-version (P). À partir de là que cette moitié la moitié des longueurs de tous les côtés: p \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ (x₁-x₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (z₁-z₂) ² ) + √ (x₂-x₃) ² + (Y₂-y₃) ² + (z₂-z₃) ²) + √ (x₁-x₃) ² + (Y₁-y₃) ² + (z₁-z₃) ²).

Le triangle est une figure bien connue. Et cela, malgré la variété riche de ses formes. Rectangulaire, équilatéral, aigu, iscevé, stupide. Chacun d'entre eux est différent. Mais pour quelqu'un que vous devez reconnaître la zone triangle.

Commun pour tous les triangles de formules dans lesquelles les longueurs des parties ou des hauteurs sont utilisées

Désignes prises en eux: Parties - A, B, C; Heights sur les parties concernées N A, N B, N avec.

1. La zone triangle est calculée comme le produit ½, latérale et la hauteur, abaissée à celle-ci. S \u003d ½ * a * n a. De même, les formules des autres parties restantes doivent être écrites.

2. La formule Geron, dans laquelle la demi-version apparaît (elle est supposée être notée par une petite lettre P, contrairement au périmètre complet). Le demi-mètre doit être compté comme suit: plié tous les côtés et les diviser à 2. La formule de demi-version: p \u003d (A + B + C) / 2. L'égalité de la figure de la figure ressemble à ceci : S \u003d √ (P * (R - A) * (P-C) * (R - C)).

3. Si vous ne souhaitez pas utiliser un demi-mètre, cette formule est utile dans laquelle seules les longueurs des parties sont présentes: S \u003d ¼ * √ ((A + B + C) * (B + C - A) * (A + C-B) * (A + B - C)). C'est un peu plus long que le précédent, mais aidera s'il était oublié comment trouver un demi-mètre.

Formules communes dans lesquelles apparaissent les coins du triangle

Désignations nécessaires à la lecture de formules: α, β, γ - angles. Ils se trouvent en face des parties A, B, C, respectivement.

1. Il s'agit de la moitié du travail de deux côtés et le sinus de l'angle entre eux est égal à la zone triangulaire. C'est-à-dire: S \u003d ½ a * in * péché γ. De même, les formules doivent être écrites pour deux autres cas.

2. La zone du triangle peut être calculée sur un côté et trois coins connus. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 péché α).

3. Il existe toujours une formule avec un côté connu et deux angles adjacents. Il semble de cette manière: S \u003d C 2 / (2 (CTG α + CTG β)).

Deux formules récentes ne sont pas les plus simples. Rappelez-vous qu'ils sont assez difficiles.

Formules générales pour la situation lorsque les rayons des cercles inscrits ou décrits sont connus

Notation supplémentaire: R, R - rayon. Le premier est utilisé pour le rayon du cercle inscrit. Le second est pour la décrire.

1. La première formule, selon laquelle la zone triangulaire est calculée, est associée à une demi-version. S \u003d P * R. D'une manière différente, il peut être écrit comme suit: S \u003d ½ r * (A + B + C).

2. Dans le second cas, il sera nécessaire de multiplier tous les côtés du triangle et de les diviser au rayon de quatre fois du cercle décrit. DANS expression alphabétique Il ressemble à ceci: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. La troisième situation vous permet de faire sans connaître les parties, mais les valeurs de tous les trois angles seront nécessaires. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * péché γ.

Cas privé: triangle rectangulaire

C'est la situation la plus simple, car la connaissance n'est requise que la longueur des deux cathètes. Ils sont notés par des lettres latines A et C. La zone du triangle rectangulaire est égale à la moitié de la zone du rectangle qui lui est dérivée.

Mathématiquement cela ressemble à ceci: S \u003d ½ a * B. Elle se souvient de la voie la plus simple. Parce que cela ressemble à une formule pour une zone rectangle, seulement un autre coup, indiquant la moitié, apparaît.

Cas privé: Triangle égal

Comme il a deux partis égaux, alors certaines formules de sa région ont un peu simplifiée. Par exemple, la formule Geron, selon laquelle la surface d'un triangle équivible est calculée, prend la forme suivante:

S \u003d ½ b √ ((A + ½ C) * (A - ½ C)).

S'il est converti, il deviendra plus court. Dans ce cas, la formule de Geron pour un triangle sans anose est écrite comme suit:

S \u003d ¼ en √ (4 * A 2 - B 2).

Il est un peu plus simple que pour un triangle arbitraire, ressemble à une formule carrée si les côtés latéraux et l'angle entre eux sont connus. S \u003d ½ a 2 * péché β.

Cas privé: triangle équilatéral

Habituellement, le côté est connu dans les tâches ou vous pouvez en quelque sorte découvrir. Ensuite, la formule sur laquelle se trouve la zone d'un tel triangle:

S \u003d (A 2 √3) / 4.

Tâches de recherche de la zone si le triangle est représenté sur le papier à damier

Le plus simple est la situation lorsque le triangle rectangulaire est attiré de manière à ce que ses cathètes coïncident avec des lignes en papier. Ensuite, il est nécessaire de simplement calculer le nombre de cellules empilées dans les cathètes. Puis multipliez-les et divisez-les en deux.

Lorsque le triangle est aigu ou stupide, il doit être dessiné à un rectangle. Ensuite, il y aura 3 triangles dans la figure résultante. L'un est celui qui est donné dans la tâche. Et les deux autres sont auxiliaires et rectangulaires. Il est nécessaire de déterminer la zone des deux derniers selon la méthode décrite ci-dessus. Ensuite, il comptait la zone du rectangle et déduisez-les de ceux calculés pour les auxiliaires. La zone triangle est définie.

Une situation dans laquelle aucun des côtés du triangle ne coïncide avec les lignes de papier est beaucoup plus compliqué. Ensuite, il faut écrire dans un rectangle pour que les sommets de la figure d'origine reposent sur ses côtés. Dans ce cas, les triangles rectangulaires auxiliaires seront trois.

Exemple de tâche sur la formule Geron

État. Un certain triangle est connu des parties. Ils sont égaux à 3, 5 et 6 cm. Il est nécessaire de connaître sa zone.

Vous pouvez maintenant calculer la zone du triangle selon la formule ci-dessus. Sous la racine carrée, il allume le produit de quatre nombres: 7, 4, 2 et 1. c'est-à-dire que la zone est égale à √ (4 * 14) \u003d 2 √ (14).

S'il n'y a pas de précision, la racine carrée de 14 peut être enlevée. C'est 3,74. Ensuite, la zone sera de 7,48.

Répondre. S \u003d 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.

Exemple d'une tâche avec un triangle rectangulaire

État. Un rouleau d'un triangle rectangulaire est supérieur au deuxième à 31 cm. Il est nécessaire de connaître leurs longueurs si la zone triangulaire est de 180 cm 2.
Décision. Nous devrons résoudre le système de deux équations. Le premier est associé à une zone. Le second - avec le ratio de cathètes, qui est donné dans la tâche.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d B + 31.
Premièrement, la valeur "A" doit être substituée à la première équation. Il s'avère: 180 \u003d ½ (en + 31) * dans. Ce n'est qu'une valeur inconnue, il est donc facile de le résoudre. Après des divulgations, les crochets s'avèvent équation quadratique: en 2 + 31 V - 360 \u003d 0. Il donne deux valeurs pour "B": 9 et 40. Le deuxième nombre ne convient pas comme une réponse, car la longueur du côté du triangle ne peut pas être une valeur négative. .

Il reste à calculer la deuxième catat: ajouter au numéro résultant 31. Il s'avère 40. Il s'agit de la valeur souhaitée dans le problème.

Répondre. Triangle Catts sont de 9 et 40 cm.

La tâche de trouver le côté à travers la zone, la partie et l'angle du triangle

État. La zone de certains triangle est de 60 cm 2. Il est nécessaire de calculer l'une de ses parties si le deuxième côté est de 15 cm et l'angle entre eux est de 30º.

Décision. Sur la base des désignations adoptées, le côté souhaité "A", connu "B", angle donné "γ". Ensuite, la zone de la place peut être réécrite afin:

60 \u003d ½ A * 15 * Sin 30º. Ici, Sinus 30 degrés est de 0,5.

Après les transformations "A" s'avère 60 / (0,5 * 0,5 * 15). C'est 16.

Répondre. Le côté désiré est de 16 cm.

La tâche de la place inscrite dans le triangle rectangulaire

État. Le pic de la place avec un côté de 24 cm coïncide avec le coin direct du triangle. Deux autres sont allongés sur Cateches. Le troisième appartient à l'hypoténuse. La longueur de l'un des cathètes est de 42 cm. Quelle est la zone du triangle rectangulaire?

Décision. Considérer deux triangles rectangulaires. Le premier est la tâche. La seconde repose sur le célèbre cachet du triangle d'origine. Ils sont similaires, car ils ont un angle commun et sont formés par une droite parallèle.

Ensuite, la relation de leurs cathètes est égale. Les karts de triangle plus petits sont égaux à 24 cm (côtés du carré) et 18 cm (la catate spécifiée 42 cm soustrait le côté du carré de 24 cm). Les batailles correspondantes d'un grand triangle sont de 42 cm et X, voir cette "X" est nécessaire pour calculer la zone du triangle.

18/42 \u003d 24 / x, c'est-à-dire X \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (cm).

Ensuite, la zone est égale au produit 56 et 42, divisé en deux, soit 1176 cm 2.

Répondre. La zone souhaitée est de 1176 cm 2.