Pour déterminer la zone du triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les manières, la plus facile et fréquemment utilisée est la multiplication de la hauteur de la longueur de la base, suivie de la division du résultat obtenu par deux. Cependant, cette méthode est loin du seul. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver une zone triangulaire à l'aide de différentes formules.

Séparément, nous examinerons les moyens de calculer la zone d'espèces spécifiques du triangle rectangulaire, équiviable et équilatérale. Chaque formule Nous accompagnons une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.

Façons universelles de trouver la zone triangle

Les formules suivantes utilisent des désignations spéciales. Nous allons déchiffrer chacun d'eux:

• a, b, c - la longueur des trois côtés des chiffres que nous considérons;
• r est un rayon de cercle qui peut être inscrit dans notre triangle;
• R est un rayon de la circonférence qui peut être décrit autour de lui;
• α est la valeur de l'angle formé par les parties B et C;
• β est la magnitude de l'angle entre A et C;
• γ est la magnitude de l'angle formé par les parties A et B;
• h - la hauteur de notre triangle, abaissée de l'angle α à la côte a;
• p est la moitié de la somme des parties A, B et S.

Il est généralement clair que vous pouvez trouver la zone du triangle de cette manière. Le triangle est facilement complété à un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle effectuera le rôle d'une diagonale. La zone du parallélogramme multiplie la longueur de l'un de ses côtés à la valeur de hauteur effectuée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel sur 2 triangles identiques. Par conséquent, il est évident que la zone de notre triangle d'origine devrait être égale à la moitié de la zone de ce parallélogramme auxiliaire.

S \u003d ½ a · b · péché γ

Selon cette formule, la zone triangulaire multiplie les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire A et B, le sinus de l'angle formé par eux. Cette formule est logiquement émise de la précédente. Si vous abaissez la hauteur de l'angle β sur le côté B, alors, selon les propriétés triangle rectangulaire, lors de la multiplication de la longueur du côté A par sinus de l'angle γ, nous obtenons la hauteur du triangle, c'est h.

La zone des chiffres considérés que nous trouvons en multipliant la moitié du rayon de cercle, qui peut être entré dessus, sur son périmètre. En d'autres termes, nous trouvons un produit d'une demi-version sur le rayon dudit cercle.

S \u003d A · B · C / 4R

Selon cette formule, la magnitude nécessaire à nous peut être trouvée en divisant le travail des parties de la figure sur le rayon 4 du cercle autour de celui décrit.

Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer la zone de tout triangle (polyvalent, équiviable, équilatérale, rectangulaire). Vous pouvez le faire avec des calculs plus complexes sur lesquels nous ne nous arrêterons pas en détail.

Carré de triangles avec des propriétés spécifiques

Comment trouver une zone rectangulaire? Une caractéristique de ce chiffre est que ses deux parties sont simultanément ses hauteurs. Si A et B sont des catégories, et cela devient hypothenuisa, la zone se trouve comme ceci:

Comment trouver une zone de triangle équivible? En elle, deux côtés de longueur A et d'un côté avec une longueur B. Par conséquent, sa zone peut être déterminée en divisant sur 2 œuvres du carré du côté A sur le sinus de l'angle γ.

Comment trouver une zone de triangle équilatérale? En cela, la longueur de toutes les parties est égale à A, et la valeur de tous les angles - α. Sa hauteur est égale à la moitié de la longueur de la longueur du côté et sur la racine carrée de 3. Pour trouver la zone du triangle droit, vous avez besoin du carré du côté et multipliez le carré de 3 à la racine et divisé par 4.

Concept de carré

Le concept d'une zone de toute forme géométrique, en particulier un triangle, sera associé à une telle figure sous la forme d'un carré. Pour une unité de la zone de toute forme géométrique, nous allons prendre le carré de la place, dont le côté est égal à un. En complétude, rappelez-vous deux propriétés de base pour le concept d'espace chiffres géométriques.

Propriété 1:Si les formes géométriques sont égales, les valeurs de leurs zones sont également égales.

Propriété 2: Tout chiffre peut être brisé en plusieurs chiffres. De plus, la zone de la figure d'origine est égale à la somme des valeurs des zones de tous les composants de ses chiffres.

Considérer un exemple.

Exemple 1.

Évidemment, un côté du triangle est une diagonale rectangle , dans lequel un côté a une longueur de 5 $ $ (26 $ de cellules de 5 $) et les deuxièmes $ de 6 $ (26 $ US $). Par conséquent, la zone de ce triangle sera égale à la moitié de ce rectangle. La zone du rectangle est égale

Ensuite, la zone triangle est égale

Réponse: 15 $ $.

Ensuite, nous considérons plusieurs méthodes de recherche des zones de triangles, à savoir, à l'aide de la taille et de la base, avec formulas gérone et la zone de triangle équilatérale.

Comment trouver une zone triangle à travers la hauteur et la base

Théorème 1.

La zone du triangle peut être trouvée comme moitié du travail du côté du côté, à la hauteur portée sur ce côté.

Mathématiquement ça ressemble à ceci

$ S \u003d \\ frac (1) (2) αh $

où $ A $ est la longueur du côté, $ H $ est une hauteur consacrée dessus.

Preuve.

Considérons un triangle $ ABC $, dans lequel $ AC \u003d α $. Ce côté a été effectué une hauteur de $ BH $, ce qui équivaut à $ h $. Jetez-le à la place $ Axyc $ comme à la figure 2.

La zone de rectangle $ AXBH $ est $ H \\ CDOT AH $ et le rectangle $ HBYC $ est $ H \\ CDOT HC $. Puis

$ S_ABH \u003d \\ frac (1) (2) H \\ CDOT AH $, $ S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) H \\ CDOT HC $

Par conséquent, la zone triangle désirée, selon la propriété 2, est égale

$ S \u003d S_ABH + S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) H \\ CDOT AH + \\ FRAC (1) (2) H \\ CDOT HC \u003d \\ frac (1) (2) H \\ CDOT (AH + HC) \u003d \\ Frac (1) (2) αh $

Le théorème est prouvé.

Exemple 2.

Trouver une zone triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une zone égale à une

La base de ce triangle est égale à 9 $ (comme $ 9 $ est des cellules de 9 $). La hauteur est également égale à 9 $. Puis, par theorem 1, nous obtenons

$ S \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT 9 \\ CDOT 9 \u003d 40,5 $

Réponse: 40,5 $ $.

Formula Gérone

Théorème 2.

Si on nous donne trois côtés d'un triangle $ α $, $ β $ et $ γ $, puis sa zone peut être trouvée comme suit

$ S \u003d \\ SQRT (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

ici ρ $ ρ $ signifie le semi-mètre de ce triangle.

Preuve.

Considérez le dessin suivant:

Selon Pythagore, Theorem Triangle $ Abh $

Du triangle $ CBH $, selon le théorème de Pythagora, nous avons

$ H ^ 2 \u003d α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ H ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

De ces deux ratios, nous obtenons l'égalité

$ γ ^ 2-x ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ X \u003d \\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ H ^ 2 \u003d γ ^ 2 - (\\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β 2) (2β)) ^ 2 $

$ H ^ 2 \u003d \\ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ H ^ 2 \u003d \\ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

Depuis $ ρ \u003d \\ frac (α + β + γ) (2) $, puis $ α + β + γ \u003d 2ρ $, cela signifie

$ H ^ 2 \u003d \\ frac (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α) (4β ^ 2) $

$ H ^ 2 \u003d \\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ H \u003d \\ sqrt (\\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ H \u003d \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Par le théorème 1, nous obtenons

$ S \u003d \\ frac (1) (2) βH \u003d \\ frac (β) (2) \\ CDOT \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ-α) (ρ-γ) (ρ-γ) (ρ-γ) (ρ-γ) ) \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Comment pouvez-vous vous rappeler de programme scolaire Selon la géométrie, un triangle est une figure formée de trois segments combinés à trois points qui ne sont pas allongés sur une ligne droite. Le triangle forme trois angle, d'où le nom de la figure. La définition peut être différente. Le triangle peut également être appelé un polygone à trois angles, la réponse sera également vraie. Les triangles sont divisés en fonction du nombre d'égales parties et de la magnitude des coins sur les figures. C'est ainsi que de tels triangles sont distingués comme équilibre, équilétéral et polyvalent, ainsi que rectangulaire, aigu et stupide, respectivement.

La formule de calcul de la zone du triangle est beaucoup. Choisissez comment trouver une zone triangle, c'est-à-dire Quelle formule à utiliser, seulement pour vous. Mais il convient de noter que certains symboles utilisés dans de nombreuses formules pour calculer la zone triangulaire. Alors souviens-toi:

S est la zone du triangle,

a, B, C est le côté triangle,

h est la hauteur du triangle,

R est le rayon du cercle décrit,

p est un demi-mètre.

Voici les principales désignations que vous pourriez être utiles si vous avez complètement oublié le cours de géométrie. Vous trouverez ci-dessous des options les plus compréhensibles et non difficiles de calculer la zone inconnue et mystérieuse du triangle. Ce n'est pas difficile et accomplit utile à la fois dans les besoins domestiques et pour aider vos enfants. N'oublions pas comment calculer la zone triangle est plus facile que simple:

Dans notre cas, la zone triangle est: S \u003d ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. \u003d 2,75 m². M. N'oubliez pas que la zone est mesurée en centimètres carrés (m²).

Triangle rectangulaire et sa région.

Le triangle rectangulaire est un triangle ayant un angle égal à 90 degrés (car il s'appelle directement). L'angle droit forme deux lignes perpendiculaires (dans le cas d'un triangle - deux segments perpendiculaires). Dans un triangle rectangulaire, un angle droit ne peut être qu'un seul, car La somme de tous les angles d'un triangle est de 180 degrés. Il s'avère que 2 autres angles doivent diviser les 90 degrés restants, par exemple 70 et 20, 45 et 45, etc. Donc, vous vous êtes souvenu de la principale, il reste à apprendre à trouver la zone d'un triangle rectangulaire. Imaginez que nous avons un triangle aussi rectangulaire, et nous devons trouver sa place S.

1. Le moyen le plus simple de déterminer la zone du triangle rectangulaire est calculé par la formule suivante:

Dans notre cas, la zone du triangle rectangulaire est la suivante: S \u003d 2,5 cm. * 3 cm. / 2 \u003d 3,75 m² cm

En principe, il n'y a plus la nécessité de réconcilier la zone du triangle d'une autre manière, parce que Dans la vie quotidienne sera utile et aidera seulement ceci. Mais il existe des options pour mesurer la zone triangle à travers des coins tranchants.

2. Pour les autres moyens de calculer, vous devez avoir une table cosinus, des sinus et des tangentes. Juge vous-même, ces options de calcul de la zone du triangle rectangulaire peuvent toujours être utilisées:

Nous avons décidé de tirer parti de la première formule et des petits blots (dessinés dans un ordinateur portable et utilisé une vieille ligne et des transports), mais nous avons eu un calcul fidèle:

S \u003d (2.5 * 2.5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Nous avons atteint de tels résultats 3.6 \u003d 3.7, mais en tenant compte du passage des cellules, cette nuance peut être pardonnée.

Triangle égal et sa région.

Si vous avez une tâche pour calculer la formule d'un triangle équilibré, il est plus facile d'utiliser le principal et comme il est considéré comme une zone de triangle classique.

Mais pour commencer, avant de trouver la zone d'un triangle équivalable, nous découvrons quel type de silhouette est-ce. Un triangle entièrement échangé s'appelle un triangle dans lequel deux côtés ont la même longueur. Ces deux côtés sont appelés côté, le tiers s'appelle la base. Ne confondez pas un triangle surélevé avec équilatéral, c'est-à-dire Le triangle correct, dans lequel tous les trois côtés sont égaux. Dans un tel triangle, il n'y a pas de tendances particulières aux coins, plus précisément à leur ampleur. Cependant, les angles de la base dans un triangle équilibré sont égaux, mais diffèrent de l'angle entre les parties égales. Donc, la première et la principale formule que vous connaissez déjà, il reste à savoir quelles autres formules pour déterminer la zone d'un triangle équivalable sont connues:

Triangle est l'une des figures géométriques les plus courantes avec lesquelles nous nous familiarisons déjà dans école primaire. Avec la question de savoir comment trouver une zone triangle, chaque écolier est confronté dans les leçons de la géométrie. Alors, quelles caractéristiques de l'emplacement de ce chiffre peuvent être attribuées? Dans cet article, nous examinerons les formules de base nécessaires pour remplir une telle tâche et examiner également les types de triangles.

Types de triangles

Trouver une zone triangle peut absolument différentes façonsParce que dans la géométrie, il n'y a pas un type de chiffres contenant trois angle. Ces espèces comprennent:

• Stupide.
• Équipical (correct).
• Triangle rectangle.
• Isocèle.

Considérer plus chacun des types existants Triangles.

Une telle figure géométrique est considérée comme la plus courante lors de la résolution des tâches géométriques. Quand il devient nécessaire de dessiner un triangle arbitraire, cette option vient à la rescousse.

Dans le triangle aigu, comme clair par le titre, tous les angles sont tranchants et total à 180 °.

Un tel triangle est également très courant, mais il est quelque peu moins fréquemment à travers. Par exemple, lors de la résolution de triangles (c'est-à-dire, plusieurs de ses côtés et de ses coins sont connus et vous devez trouver les éléments restants) parfois, vous devez déterminer si l'angle est émoussé ou non. Cosinus est un nombre négatif.

La valeur de l'un des angles dépasse 90 °, de sorte que les deux angles restants peuvent prendre de petites valeurs (par exemple, 15 ° ou tous les 3 °).

Pour trouver la zone triangle de ce type, vous devez connaître des nuances que nous allons parler ensuite.

Triangles corrects et égaux

Le polygone correct est une figure qui comprend n angles, dans laquelle tous les côtés et les coins sont égaux. Donc le triangle droit. Étant donné que la somme de tous les coins du triangle est de 180 °, chacun des trois angles est de 60 °.

Le bon triangle, en raison de sa propriété, est également appelé la figure équilatérale.

Il convient également de noter que dans le triangle droit, vous ne pouvez entrer qu'un cercle et à peu près il ne peut être décrit que par un cercle et leurs centres sont situés à un moment donné.

En plus du type équilatéral, il est également possible de mettre en évidence un triangle anososositif, il est légèrement différent de celui-ci. Dans un tel triangle, deux côtés et deux angles sont égaux les uns aux autres et le tiers (auquel ils correspondent angles égaux) est la base.

La figure montre un triangle équiviable def, les angles D et F desquels sont égaux et DF est la base.

Triangle rectangle

Le triangle rectangulaire est nommé car l'un de ses coins est droit, c'est-à-dire égal à 90 °. D'autres deux angles dans la quantité sont de 90 °.

Sami grand visage Un tel triangle couché sur un angle de 90 ° est hypoténuse, le reste de ses deux partis sont des katents. Pour ce type de triangles, le théorème Pythagore est applicable:

La somme des carrés des longueurs de chariot est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

La figure montre un triangle rectangulaire BAC avec AC Hypothenuisa et AB et BC Cate.

Pour trouver la zone triangle avec un angle droit, vous devez savoir valeurs numériques Ses cathètes.

Passons à la formule de trouver la zone de ce chiffre.

Formulas de base carré

Dans la géométrie, deux formules peuvent être distinguées, qui conviennent à la recherche de la superficie de la plupart des types de triangles, à savoir, pour les triangles aiguës, stupides, corrects et égaux. Demandons chacun d'eux.

Côté et hauteur

Cette formule est universelle pour trouver la zone à l'étude des formes. Pour cela, il suffit de connaître la longueur du côté et la longueur de la hauteur consacrée dessus. La formule elle-même (la moitié du produit de la base est la hauteur) est la suivante:

où A est le côté de ce triangle, et H est la hauteur du triangle.

Par exemple, pour trouver la zone du triangle ACB aiguë, vous devez multiplier son côté AB à la hauteur du CD et diviser la valeur résultante à deux.

Cependant, il n'est pas toujours facile de trouver la zone du triangle de cette manière. Par exemple, afin de tirer parti de cette formule pour un triangle stupide, il est nécessaire de continuer l'un de ses côtés et seulement après cela maintient la hauteur.

En pratique, cette formule est appliquée plus souvent que le reste.

Sur deux côtés et coin

Cette formule, ainsi que le précédent approprié pour la plupart des triangles et dans sa signification, c'est une conséquence de la formule de recherche de la zone sur le côté et de la hauteur du triangle. C'est-à-dire que la formule à l'étude peut être facilement retirée du précédent. Sa formulation ressemble à ceci:

S \u003d ½ * sino * a * b,

où A et B sont les parties du triangle, et o est l'angle entre les parties à A et B.

Rappelez-vous que l'angle des sinus peut être visualisé dans une table spéciale, nommée d'après les mathématiques soviétiques exceptionnelles V. M. BRARADIS.

Et maintenant, nous nous tournons vers d'autres formules appropriées uniquement pour des types exceptionnels de triangles.

Carré d'un triangle rectangulaire

Outre la formule universelle, qui comprend la nécessité de dépenser de la hauteur dans un triangle, une zone triangulaire contenant un angle droit peut être trouvée sur ses coutumes.

Ainsi, la zone du triangle contenant un angle droit est la moitié du travail de ses cathètes ou:

où a et b - les chats du triangle rectangulaire.

Triangle rectangle

Cette espèce Les figures géométriques diffèrent dans ce que sa zone peut être trouvée à la valeur spécifiée d'un seul côté (puisque tous les côtés du triangle correct sont égaux). Ainsi, après avoir rencontré la tâche de «trouver une zone de triangle, lorsque les parties sont égales, vous devez tirer parti de la formule suivante:

S \u003d A 2 * √3 / 4,

où a est le côté du triangle équilatéral.

Formula Gérone

La dernière option pour trouver la zone triangle est la formule de Geron. Afin de tirer parti de cela, vous devez connaître la longueur des trois côtés de la figure. La formule de Gérone ressemble à ceci:

S \u003d √P · (p - a) · (P-B) · (P-C),

où A, B et C sont les côtés de ce triangle.

Parfois, dans la tâche est donnée: "La zone du triangle droit est de trouver la longueur de son côté." DANS ce cas Il est nécessaire de tirer parti de la formule déjà connue pour que nous trouvions la zone du triangle droit et de lui tirer de la valeur des parties (ou de sa place):

A 2 \u003d 4S / √3.

Tâches d'examen

Dans les tâches de GIA en mathématiques, de nombreuses formules sont nombreuses. De plus, il est souvent nécessaire de trouver la zone triangulaire sur le papier à damier.

Dans ce cas, il est le plus pratique de dépenser la hauteur d'un côté de la figure, de déterminer sa longueur dans les cellules et de tirer parti de la formule universelle pour trouver la zone:

Ainsi, après avoir étudié les formules présentées dans l'article, vous n'avez aucun problème lors de la recherche de la zone du triangle de quelque nature que ce soit.