Théorèmes généraux des haut-parleurs du système corporel. Les théorèmes sur la circulation du centre de masse, sur la modification de la quantité de mouvement, sur la modification du point principal de la quantité de mouvement, sur la modification de l'énergie cinétique. Principes de Dalambert et mouvements possibles. Équation générale des orateurs. Lagrange équations.

Théorèmes généraux de la dynamique solide et du système corporel

Théorèmes de haut-parleurs généraux - C'est le théorème sur le mouvement du centre de masse système mécaniqueThéorème sur le changement de mouvement, le théorème sur le changement du moment principal du nombre de mouvements (moment cinétique) et le théorème sur le changement de l'énergie cinétique du système mécanique.

Théorème sur le mouvement du centre du système de masse mécanique

Théorème sur le mouvement du centre de masse.
Le produit du système de masse pour accélérer son centre de masse est égal à la somme de vecteur de toutes les forces externes agissant sur le système:
.

Ici m est la masse du système:
;
une accélération C du centre de masse système:
;
v C - Système de centre de vitesse:
;
r C - Vecteur de rayon (coordonnées) Centre de système de masse:
;
- Coordonnées (par rapport au centre fixe) et la masse de points à partir de laquelle le système consiste.

Théorème sur le changement de mouvement (impulsion)

Mouvement du système (impulsion) De même, la masse de l'ensemble du système sur la vitesse de son centre de masse ou de la quantité de mouvement (la somme des impulsions) de points individuels ou de composants de pièces du système:
.

Théorème sur la variation de la quantité de mouvement sous forme différentielle.
Le dérivé de temps sur la quantité de mouvement (impulsion) du système est égal à la somme de vecteur de toutes les forces externes agissant sur le système:
.

Théorème sur la modification de la quantité de mouvement sous la forme intégrale.
La variation de la quantité de mouvement (impulsion) du système pendant une certaine période est égale à la somme des impulsions de force externes pendant la même période:
.

La loi de préserver la quantité de mouvement (impulsion).
Si la somme de toutes les forces externes agissant sur le système est zéro, le vecteur du mouvement du système sera constant. C'est-à-dire que toutes ses projections sur l'axe des coordonnées permettront d'enregistrer des valeurs constantes.

Si la quantité des projections des forces externes sur lesquelles ou l'axe est égale à zéro, la projection du nombre de mouvements système sur cet axe sera constante.

Théorème sur le changement du point principal de la quantité de mouvement (théorème des moments)

L'heure principale du mouvement du système par rapport à ce centre O est appelée valeur égale à la somme de vecteur des moments du mouvement de tous les points du système par rapport à ce centre:
.
Ici, les crochets dénottent l'art vectoriel.

Systèmes enchanteurs

Ensuite ci-dessous, le théorème fait référence au cas lorsque le système mécanique a un point ou un axe fixe, qui est sécurisé par rapport au système de référence inertiel. Par exemple, un corps attaché à une roulement sphérique. Ou un système de corps se déplaçant autour d'un centre fixe. Il peut également s'agir d'un axe fixe autour duquel le corps tourne ou le système corporel. Dans ce cas, dans les moments, il est nécessaire de comprendre les moments de l'impulsion et des forces sur l'axe fixe.

Théorème sur le changement du point principal de la quantité de mouvement (théorème des moments)
Le dérivé de temps du point principal de la quantité de mouvement système par rapport à un certain centre stationnaire o est égal à la somme des moments de toutes les forces externes du système par rapport au même centre.

La loi de maintenir le moment principal du nombre de mouvements (moment d'impulsion).
Si la somme des moments de toutes les forces externes attachées au système par rapport à ce centre fixe O est nulle, le moment principal de la quantité de mouvement système par rapport à ce centre sera permanent. C'est-à-dire que toutes ses projections sur l'axe des coordonnées permettront d'enregistrer des valeurs constantes.

Si la somme des moments des forces extérieures relatives à un certain axe stationnaire est nulle, le moment du nombre de mouvement du système par rapport à cet axe sera constant.

Systèmes arbitraires

Le théorème suivant a une nature universelle. Il est applicable aux systèmes fixes et à la déplacement librement. Dans le cas des systèmes fixes, vous devez prendre en compte les réactions des liens de points fixes. Il diffère du théorème précédent par le fait qu'au lieu du point fixe O, le centre du système de masse C doit être pris.

Théorème des moments relatifs au centre de la masse
Le temps dérivé du point principal de la quantité de mouvement du système par rapport au centre de masse C est égal à la somme des moments de toutes les forces externes du système par rapport au même centre.

La loi de la préservation du moment d'impulsion.
Si la somme des moments de toutes les forces externes attachées au système relatif au centre de masse C est nulle, le moment principal de la quantité de mouvement système par rapport à ce centre sera constant. C'est-à-dire que toutes ses projections sur l'axe des coordonnées permettront d'enregistrer des valeurs constantes.

Moment d'inertie corps

Si le corps tourne autour de l'axe z Avec une vitesse angulaire Ω z, alors son moment de mouvement (moment cinétique) par rapport à l'axe Z est déterminé par la formule:
L z \u003d j z Ω z,
où J z est le moment de l'inertie du corps par rapport à l'axe Z.

Le moment de l'inertie du corps par rapport à l'axe z Déterminé par la formule:
,
où h k est la distance entre la masse de points M k sur l'axe Z.
Pour une mince bague de masse m et de rayon r ou cylindre, la masse est distribuée à travers sa tige,
J z \u003d m r 2 .
Pour une bague ou un cylindre homogène solide,
.

Théorème Steiner-Guigens.
Soit CZ - l'axe traversant le centre du corps du corps, oz - l'axe parallèle à celui-ci. Ensuite, les moments de l'inertie du corps par rapport à ces axes sont associés à la relation:
J oz \u003d j cz + m a 2 ,
où m est le poids corporel; A - la distance entre les axes.

En plus général :
,
Où est le tenseur d'inertie.
Voici un vecteur mené du centre de masse corporelle à un point avec une masse m K.

Le théorème sur le changement d'énergie cinétique

Laissez le corps de la masse m Effectuer un mouvement de translationnel et de rotation avec une vitesse angulaire Ω autour d'un certain axe Z. Ensuite, l'énergie cinétique du corps est déterminée par la formule:
,
où v C est la vitesse de déplacement du centre de masse du corps;
J CZ est le moment de l'inertie du corps par rapport à l'axe traversant le centre de la masse du corps parallèle à l'axe de rotation. La direction de l'axe de rotation peut varier avec le temps. La formule spécifiée donne une valeur instantanée de l'énergie cinétique.

Théorème sur le changement de l'énergie cinétique du système sous forme différentielle.
Le différentiel (incrément) de l'énergie cinétique du système à une partie de son mouvement est égal à la quantité de différentielle de travail sur ce mouvement de toutes les forces externes et internes attachées au système:
.

Le théorème sur le changement de l'énergie cinétique du système sous la forme intégrale.
Le changement de l'énergie cinétique du système à certains de ses mouvements est égal à la somme des travaux de ce mouvement de toutes les forces externes et internes attachées au système:
.

Le travail que le pouvoir fait est égal au produit scalaire des vecteurs de force et du mouvement infiniment petit du point de son application:
,
C'est-à-dire le produit de modules de vecteurs F et DS sur le cosinus de l'angle entre eux.

Travailler que le moment des forces est égal au produit scalaire des vecteurs de couple et d'un angle de rotation infiniment petit:
.

Le principe de Dalamber

L'essence du principe de Dalamber est de charger les orateurs de réduire les tâches statiques. Pour cela, on suppose (ou est connu à l'avance) que le corps du système a certaines accélérations (angulaires). Ensuite, l'inertie est introduite et (ou) les moments des forces d'inertie, qui sont égaux en taille et inverse dans la direction des forces et des moments des forces qui, selon les lois de la mécanique, créeraient les accélérations spécifiées ou Accélérations angulaires

Considérer un exemple. Le chemin du corps engendre des mouvements de translation et des forces externes agissent dessus. Ensuite, nous supposons que ces forces créent une accélération du centre du système de masse. Selon le théorème sur le mouvement du centre des masses, le centre de masse du corps aurait la même accélération, si la puissance a été utilisée sur le corps. Ensuite, nous introduisons le pouvoir de l'inertie:
.
Après cela, la tâche des orateurs:
.
;
.

Pour le mouvement de rotation vient de la même manière. Laissez le corps tourne autour de l'axe Z et il y a des moments externes de M E ZK. Nous supposons que ces moments créent une accélération angulaire ε z. Ensuite, nous introduisons le moment des forces d'inertie M et \u003d - J Z ε z. Après cela, la tâche des orateurs:
.
Se transforme en tâche de statique:
;
.

Principe des mouvements possibles

Le principe des mouvements possibles est utilisé pour résoudre les tâches statiques. Dans certaines tâches, il donne une solution plus courte que d'élaborer des équations d'équation. Cela est particulièrement vrai des systèmes avec des connexions (par exemple, des corps reliés par des fils et des blocs) constitués de nombreux corps.

Principe des mouvements possibles.
Pour l'équilibre du système mécanique avec des obligations idéales, il est nécessaire et suffisant que la somme du travail élémentaire de toutes les forces actives agissant sur celui-ci avec tout mouvement de système éventuel était de zéro.

Mouvement possible du système - Il s'agit d'un petit mouvement dans lequel les connexions imposées sur le système ne sont pas violées.

Connexions idéales - Ce sont des connexions qui ne fonctionnent pas lors du déplacement du système. Plus précisément, la quantité de travail effectuée par les connexions elles-mêmes lorsque le système se déplace est zéro.

Équation générale des orateurs (principe de Dalamber - Lagrange)

Le principe de Dalamber - Lagrange est l'association du principe de Dalambert avec le principe des mouvements possibles. C'est-à-dire que lors de la résolution du problème de la dynamique, nous introduisons les forces d'inertie et réduisons la tâche des statiques que nous résolvons avec l'aide du principe des mouvements possibles.

Le principe de Dalamber - Lagrange.
Lors du déplacement du système mécanique avec des liaisons idéales à chaque fois, la somme du travail élémentaire de toutes les forces actives attachées et toutes les forces d'inertie sur tout mouvement possible du système est nulle:
.
Cette équation est appelée l'équation globale des orateurs.

Équations Lagrange

Coordonnées généralisées Q. 1, q 2, ..., q n - Il s'agit d'une combinaison de n valeurs qui déterminent sans ambiguïté la position du système.

Le nombre de coordonnées généralisées n coïncide avec le nombre de degrés de liberté de système.

Vitesses généralisées - Ceux-ci sont dérivés des coordonnées généralisées du temps t.

Forces généralisées Q. 1, q 2, ..., q n .
Considérez le mouvement possible du système dans lequel la coordonnée Q K recevra le mouvement ΔQ K. Les coordonnées restantes restent inchangées. Soit ΔA K être le travail effectué par des forces externes avec un tel geste. Puis
ΔA k \u003d q k δq k, ou
.

Si, avec un mouvement possible du système, toutes les coordonnées sont modifiées, le travail effectué par des forces externes avec un tel geste a la forme:
ΔA \u003d Q. 1 ΔQ 1 + q 2 ΔQ 2 + ... + q n δq n.
Ensuite, les forces généralisées sont des dérivés partiels du travail de mouvement:
.

Pour les forces potentielles avec potentiel π,
.

Équations Lagrange - ce sont les équations du système mécanique dans les coordonnées généralisées:

Ici est une énergie cinétique. Il s'agit de la fonction des coordonnées généralisées, des vitesses et, éventuellement, le temps. Par conséquent, son dérivé privé est également fonction des coordonnées généralisées, des vitesses et du temps. Ensuite, il est nécessaire de considérer que les coordonnées et les vitesses sont des fonctions de temps. Par conséquent, pour trouver un dérivé complet dans le temps, vous devez appliquer la règle de différenciation d'une fonction complexe:
.

Les références:
S. M. Targ, De courte durée Mécanique théorique, "High School", 2010.

Lecture 3. Théorèmes de haut-parleurs généraux

Dynamique des points matérielsc'est une section importante de la mécanique théorique. Ici, il est principalement considéré comme des tâches du mouvement des systèmes mécaniques (systèmes de points matériels) avec un nombre fini de degrés de liberté - le nombre maximal de paramètres indépendants qui déterminent la position du système. La tâche principale de la dynamique du système est l'étude des lois sur la route solide et systèmes mécaniques.

L'approche la plus simple de l'étude du mouvement du système constitué de N. Points matériels, descendant à la prise en compte des mouvements de chaque point individuel du système. Dans le même temps, toutes les forces agissant sur chaque point système, y compris la force de l'interaction entre les points, doivent être déterminées.

Déterminer l'accélération de chaque point conformément à la deuxième loi de Newton (1.2), nous obtenons pour chaque point trois loi différentielle scalaire du mouvement de deuxième ordre, c'est-à-dire 3 N. loi différentielle du mouvement pour l'ensemble du système.

Pour trouver les équations de mouvement du système mécanique en fonction des forces spécifiées et des conditions initiales de chaque point du système, les lois différentielles obtenues doivent être intégrées. Cette tâche est difficile même dans le cas de deux points matériels, qui ne bougent que sous l'action des forces d'interaction en vertu de la loi de l'attraction mondiale (tâche de deux organes) et est extrêmement difficile dans le cas de trois points interagissants ( la tâche de trois corps).

Par conséquent, il est nécessaire de trouver de telles méthodes de résolution de problèmes qui entraîneraient des équations résolues et donnaient une idée du mouvement du système mécanique. Les théorèmes généraux des orateurs, étant une conséquence des lois sur la trafic différentielle, vous permettent d'éviter la complexité découlant de l'intégration et d'obtenir les résultats nécessaires.

3. 1. Commentaires généraux

Les points du système mécanique seront numérotés par des index jE., j., k. etc., qui exécutent toutes les valeurs 1, 2, 3… N.où N. - le nombre de points du système. Quantités physiques liées à k.-Y point est indiqué par le même index que le point. Par exemple, le rayon-vector et la vitesse express k.point.

Pour chacun des points du système, il y a des forces de double origine: premièrement, les forces dont les sources se trouvent en dehors du système appelé externe forces et noté; Deuxièmement, les forces de la part d'autres points de ce système ont appelé interne forces et noté. Les forces nationales répondent à la troisième loi de Newton. Considérez les propriétés les plus simples des forces internes agissant sur l'ensemble du système mécanique chez tout le monde.

Première propriété. La somme géométrique de toutes les forces internes du système (le vecteur principal des forces internes) est zéro.

En effet, si vous considérez deux points arbitraires du système, par exemple et (Fig. 3.1)alors pour eux car Les forces d'action et de contre-mesures sont toujours égales au module, agissent sur une ligne d'action dans la direction opposée, qui relie les points d'interaction. Le vecteur principal des forces internes est composé de paires de forces de points interagissant, donc

(3.1)

Deuxième propriété. La somme géométrique des moments de toutes les forces internes par rapport à un point d'espace arbitraire est zéro.

Envisager un système de moments de forces et d'un point À PROPOS DE(Fig. 3.1). De (Fig. 3.1). il est clair que

,

parce que Les deux forces ont les mêmes épaules et des directions opposées des moments de vecteur. Moment principal Pouvoirs domestiques À PROPOS DE Il consiste en une quantité de vecteur de telles expressions et est zéro. D'où,

Laisser les forces externes et internes agissant sur le système mécanique constitué de N. Points (Fig. 3.2). Si chaque point du système est attaché aux forces externes automatiques et aux forces internes résultantes, alors pour tout k.- Si le point du système peut être effectué par des équations différentielles de mouvement. Toutes ces équations vont N.:

et dans les projections pour des axes fixes de coordonnées 3 N.:

(3.4)

Les équations vectorielles (3.3) ou les équations scalaires équivalentes (3.4) sont représentées par les lois différentielles du mouvement des points matériels de l'ensemble du système. Si tous les points se déplacent parallèlement à un plan ou une ligne droite, le nombre d'équations (3.4) dans le premier cas sera 2 N.Deuxième N..

Exemple 1. Deux charges masse et sont connectées les unes aux autres avec un câble déraisonnable, percuté à travers le bloc (Fig. 3.3). Négliger les forces de friction, ainsi qu'une masse du bloc et du câble, pour déterminer la loi de la cargaison et de la tension du câble.

Décision. Le système se compose de deux corps matériaux (liés par un câble non rentable) en mouvement parallèlement à un axe x. Nous écrivons des lois différentielles du mouvement dans les projections de l'axe h. Pour chaque corps.

Laissez la bonne cargaison descend avec l'accélération, puis la charge gauche augmentera avec une accélération. Libéré mentalement de la connexion (câble) et remplacez-la par des réactions et (Fig. 3.3). Compte tenu du corps gratuit, nous ferons des lois différentielles du mouvement dans la projection sur l'axe h. (Cela fait référence à la tension des fils sont des forces internes et le poids des marchandises - externe):

Puisque (les corps sont associés à un câble déraisonnable), nous obtenons

Résoudre ces équations concernant l'accélération et la tension du câble T., obtenir

.

Notez que la tension du câble n'est pas égale à la force de la cargaison appropriée.

3. 2. Le théorème du centre de masse

On sait que le système solide et mécanique de l'avion peut se déplacer assez difficile. Au premier théorème sur le mouvement du corps et le système mécanique peut être atteint comme suit: lancer k.l. Le sujet constitué de nombreux solides fixés. Il est clair qu'il volera sur Parabola. Cela a révélé lors de l'étude du mouvement du point. Cependant, maintenant, l'objet n'est pas un point. Il tourne, cabane pendant le processus de vol autour d'un certain centre efficace, qui se déplace le long de la parabole. Le premier théorème sur le mouvement des objets complexes suggère qu'un certain centre efficace est le centre de la masse d'un sujet en mouvement. Le centre des masses n'est pas nécessairement situé dans le corps lui-même, il peut se coucher et quelque part en dehors de cela.

Théorème. Le centre de la masse du système mécanique se déplace comme un point de masse égal à la masse de l'ensemble du système, à laquelle toutes les forces externes sont appliquées au système.

Pour prouver le théorème, réécrivez les lois différentielles du mouvement (3.3) sous la forme suivante:

(3.5)

où N. - le nombre de points du système.

Déplacer l'équation les uns des autres:

(mais)

La position du centre de masse mécanique par rapport au système de coordonnées sélectionné est déterminée par formule (2.1): Où M.- Système de masse. Puis partie gauche L'égalité (a) sera enregistrée

Le premier montant debout dans la partie droite de l'égalité (a) est égal au vecteur principal des forces extérieures, et ce dernier par la propriété des forces internes est zéro. Puis l'égalité (a), en prise en compte (b) réécrire

, (3.6)

ceux. le produit du système de masse pour accélérer le centre de sa masse est égal à la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système.

De l'équation (3.6), il s'ensuit que les forces internes n'affectent directement pas le mouvement du centre de masse. Cependant, dans certains cas, la raison de l'apparition des forces extérieures attachées au système. Ainsi, les forces internes menant à la rotation de la roue motrice de la voiture provoquent l'embrayage externe pour celui-ci appliqué à la tige de la roue.

Exemple 2. Le mécanisme situé dans le plan vertical est monté sur un plan lisse horizontal et est fixé à celui de manière rigide avec la surface des barres À et L. (Fig. 3.4).

Disque 1 rayon R De manière mégieuse. Disque 2 Masse m. et rayon r collé avec une manivelle longue R+ r Au point Avec 2. Krivoship tourne avec constante

vitesse angulaire. Au premier instant, Krivoship occupe le droit position horizontale. Négliger la masse de manivelle, déterminer les efforts horizontaux et verticaux les plus grands agissant sur les barres si la masse totale des lits et des roues 1 est égale M. Considérons également le comportement du mécanisme en l'absence de barres.

Décision. Le système se compose de deux masses ( N.=2 ): Toujours disque 1 du lit et du disque mobile 2. Envoyez l'axe w.À travers le centre de gravité du disque fixe verticalement vers le haut, l'axe h.- le long du plan horizontal.

Nous écrivons le théorème sur le mouvement du centre de masse (3.6) de la forme de coordonnées

Les forces externes de ce système sont les suivantes: le poids du lit et du disque fixe - Mg., Poids de disque mobile - mg., - La réaction totale du boulon horizontal est une réaction totale normale du plan. D'où,

Alors les lois de mouvement (b) réécrireont

Calculez les coordonnées du centre de la masse du système mécanique:

; (ré)

comme on peut le voir (Fig. 3.4), , , (l'angle de rotation de la manivelle), . Substituer ces expressions en (d) et calculer les deuxième dérivés de temps t. De, nous obtenons ça

e)

Substitution (c) et (d) en (b), nous trouvons

Pression horizontale agissant sur des barres a la plus grande et la plus petite signification lorsque cos. = 1 En conséquence, c'est-à-dire

Mécanisme de pression par avion horizontal a la plus grande et la plus petite signification quand péché. en conséquence, c'est-à-dire

En fait, la première tâche de la dynamique est résolue: selon les équations bien connues du mouvement du centre du système de masse (E), les forces participant à la motion sont restaurées.

En l'absence de barres K. et L. (Fig. 3.4)Le mécanisme peut commencer à rebondir sur un plan horizontal. Il aura lieu quand, c'est-à-dire Quand, il s'ensuit que la vitesse angulaire de la rotation de la manivelle, dans laquelle le mécanisme rebondissait doit satisfaire à l'égalité

.

3. 3. La loi de préserver le mouvement du centre de masse

Si le vecteur principal des forces externes agissant sur le système est zéro, c'est-à-dire , alors dehors(3.6) Il s'ensuit que l'accélération du centre de masse est nulle, par conséquent, la vitesse du centre de masse est constante dans le module et la direction. Si, en particulier, au moment initial, le centre des masses est seul, il repose sur tout le temps jusqu'à ce que le vecteur principal des forces externes soit nul.

De ce théorème, il y a plusieurs conséquences.

· Une seule forces internes ne peut pas être modifiée par la nature du centre de masse du système.

· Si le vecteur principal des forces externes agissant sur le système est égal à zéro, le centre des masses est seul ou se déplaçant uniformément et droit.

· Si la projection du vecteur principal des forces externes du système sur certains axes fixes est nulle, la projection de la vitesse du système de centre de masse ne change pas sur cet axe.

· Une paire de forces attachées à un solide ne peut pas changer le mouvement de son centre de masse (il ne peut provoquer que la rotation du corps autour du centre des masses).

Considérons un exemple illustrant la loi de préserver le mouvement du centre de masse.

Exemple 3. Deux envois par les masses et sont reliés par un fil non rentable, bloqué par le bloc (Fig. 3.5)dépouillé sur un coin M.Le coin repose sur un plan horizontal lisse. Au premier instant, le système était seul. Trouvez le mouvement du coin sur l'avion lorsque vous abaissez la première cargaison à la hauteur N. Nous négligerons le bloc et le fil.

Décision. Les forces externes agissant sur le coin avec les cargaisons sont des forces de gravité et Mg., ainsi que la réaction normale de la surface horizontale lisse N. par conséquent,

Depuis au moment initial, le système était seul, nous avons.

Calculer la coordonnée du centre de la masse du système à l'époque et à l'époque t. 1 quand peser du poids g. Jure à la hauteur H..

Pour l'instant:

,

où , H.- En conséquence, les coordonnées du centre de masse de cargaison pesant g, g et pesage de coin pesant M.g..

Supposons que le coin se déplace dans la direction positive de l'axe BŒUF. Par ampleur L.Si le poids du poids diminue à la hauteur N.Puis pour le moment

parce que charges avec le coup de poing sur L. Droite, et la cargaison se déplace à la distance le long du coin. Depuis, puis après des calculs, nous obtenons

.

3.4. Le nombre de mouvements du système

3.4.1. Calcul du nombre de mouvements du système

Le nombre de mouvement du point de matériau est la valeur vectorielle égale au produit du point du point sur le vecteur de sa vitesse

Unité de mesure de la quantité de mouvement -

Le nombre de mouvements du système mécanique s'appelle une somme de vecteur de la quantité de mouvement de points individuels du système, c'est-à-dire

où N. - le nombre de points du système.

Le nombre de mouvements du système mécanique peut être exprimé par système de masse M.et masse de centre de vitesse. Vraiment,

ceux. La quantité de mouvement du système est égale à la masse de l'ensemble du système sur la vitesse de sa masse centrale.La direction coïncide avec la direction (Fig. 3.6)

Dans les projections sur les axes rectangulaires ont

où, - projections de la vitesse du système de masse.

Ici M.- masse du système mécanique; ne change pas lorsque le système se déplace.

Ces résultats sont particulièrement pratiques à utiliser lors du calcul des quantités de mouvements solides.

À partir de la formule (3.7), on peut voir que si le système mécanique se déplace de manière à ce que son centre de masse reste fixé, la quantité de mouvement du système reste égale à zéro.

3.4.2. Impulsion élémentaire et pleine puissance

L'effet de la force sur le point de matériau au fil du temps dt. Il peut être caractérisé par une impulsion élémentaire. Force d'impulsion complète pendant le temps t., ou force d'impulsion déterminée par la formule

ou dans les saillies sur les coordonnées de l'axe

(3.8a)

Forcer l'unité d'impulsion.

3.4.3. Théorème sur la modification du nombre de mouvements du système

Laissez les forces externes et internes s'appliquent aux points système. Puis pour chaque point du système, vous pouvez appliquer des lois différentielles du mouvement (3.3), ce qui signifie que :

.

Somme à travers tous les points du système, nous obtenons

Par la propriété des forces internes et par définition avoir

(3.9)

Multiplier les deux parties de cette équation sur dt.Je reçois le théorème de changer la quantité de mouvement sous forme différentielle:

, (3.10)

ceux. le différentiel de la quantité de mouvement du système mécanique est égal à la somme de vecteur des impulsions élémentaires de toutes les forces externes agissant sur le point du système mécanique.

Informer l'intégrale des deux parties (3.10) à temps de 0 à t., Nous obtenons le théorème sous la forme ultime ou intégrale

(3.11)

Dans les saillies sur les axes de coordonnées, nous aurons

Changer le nombre de système mécanique pendant le tempst.égal à la somme de vecteur de toutes les impulsions d'effets externes agissant sur le point du système mécanique pendant le même temps.

Exemple 4. Masse de cargaison m. descend le plan incliné de l'état de repos sous l'action de la force F., Temps proportionnel: où (Fig. 3.7). Quelle vitesse va tourner le corps à travers t. secondes après le début du mouvement, si le coefficient de la glissement de la cargaison sur le plan incliné est égal f..

Décision. Représentent la force attachée à la charge: mg. - la force de la charge, N. - réaction normale de l'avion - la force de frottement du bordereau de cargaison sur l'avion et. La direction de toutes les forces est décrite sur (Fig. 3.7).

Nous dirigeons l'axe h. Le long du plan incliné vers le bas. Nous écrivons le théorème sur la modification de la quantité de mouvement (3.11) dans la projection de l'axe h.:

(mais)

Sous la condition, parce que Au début du temps, la cargaison était au repos. La somme des projections d'impulsions de toutes les forces de l'axe x est égale

D'où,

,

.

3.4.4. Les lois du maintien de la quantité de mouvement

Les lois sur la conservation sont obtenues comme cas particuliers du théorème sur le changement de la quantité de mouvement. Deux cas spéciaux sont possibles.

· Si la somme de vecteur de toutes les forces externes appliquées au système est zéro, c'est-à-dire Puis du théorème suit (3.9) , quelle ,

ceux. Si le vecteur principal des forces externes du système est zéro, le nombre de mouvements du système est constamment grand et direction.

· Si la projection du vecteur principal des forces externes sur tout coordonner l'axe égal à zéro, par exemple, oh, c'est-à-dire , puis la projection de la quantité de mouvement sur cet axe est permanente.

Considérons un exemple d'application de la loi de la conservation de la quantité de mouvement.

Exemple 5. Le pendule balistique est un corps de masse suspendu sur un long fil (Fig. 3.8).

Masse de balle se déplaçant à la vitesse V. Et tomber dans un corps fixe, coincé dedans et le corps dévie. Quelle a été la vitesse de balle si le corps a atteint sa taille h. ?

Décision. Laissez le corps avec la balle bloquée acquis la vitesse. Ensuite, en utilisant la loi de préservation de la quantité de mouvement dans l'interaction de deux organes, vous pouvez enregistrer .

La vitesse peut être calculée en utilisant la loi de conservation de l'énergie mécanique . Puis. En conséquence, trouvé

.

Exemple 6.. L'eau entre dans le canal fixe (Fig. 3.9) section transversale variable à une vitesse à un angle à l'horizon; surface transversale du canal à l'entrée; Vitesse d'eau à la sortie du canal et fait un angle avec l'horizon.

Déterminez le composant horizontal de la réaction que l'eau a sur les murs du canal. Densité d'eau .

Décision. Nous déterminerons la composante horizontale de la réaction réactive par les murs du canal sur l'eau. Cette force est égale au module et le contraire par le signe de la force souhaitée. Nous avons, selon (3.11a),

. (mais)

Nous calculons la masse du volume du liquide entrant dans le canal pour T:

La valeur du RAV 0 est appelée la deuxième masse est une masse de liquide traversant toute section transversale du tuyau par unité de temps.

La même quantité d'eau quitte le canal pendant le même temps. La vitesse initiale et finie est donnée dans la condition.

Nous calculons le côté droit de l'égalité (A) qui détermine la quantité de projections sur l'axe horizontal des forces externes appliquées au système (eau). La seule force horizontale est la composante horizontale de la réaction égale des murs R x.. Cette force avec le mouvement d'eau constant est constante. donc

. (dans)

Substitution (b) et (c) en (a), nous obtenons

3.5 Système de moment cinétique

3.5.1. L'heure principale du mouvement du système

Laissez le rayon-vectoriel de la masse du système par rapport à un point A, appelé le centre (Fig. 3.10).

Moment de mouvement (moment cinétique) points En ce qui concerne le centre de A.appelé vecteur , défini par la formule

. (3.12)

En même temps, vecteur dirigé perpendiculaire à l'avion traversant le centre MAISet vecteur .

Le moment de la quantité de mouvement (moment cinétique) points par rapport à l'axeil s'appelle la projection sur cet axe du moment du nombre de mouvements du point par rapport à tout centre sélectionné sur cet axe.

Le moment principal du nombre de mouvements (moment cinétique) du système par rapport au centre Aappelé la magnitude

(3.13)

Le système principal du mouvement (moment cinétique) du système par rapport à l'axeappelé la projection sur cet axe du point principal du nombre de mouvements système par rapport à ceux sélectionnés sur cette Axe central.

3.5.2. Couple cinétique du solide rotatif par rapport à l'axe de rotation

Point immobile compatible À PROPOS DEcorps couché sur l'axe de rotation À PROPOS DEz., avec le début du système de coordonnées Ohuz.dont les axes vont pivoter avec le corps (Fig. 3.11). Soit le rayon-vector du point du corps par rapport au début des coordonnées, ses projections sur l'axe sont notées. Vecteur de projections vitesse angulaire Corps sur les mêmes axes que nous désignons 0, 0, ().

Ministère de l'éducation et de la science Fédération Russe

Etat fédéral Établissement d'enseignement de l'enseignement professionnel supérieur

"Université technologique de Kuban State"

Mécanique théorique

Partie 2 Dynamique

Approuvé par la publication éditoriale

conseil de l'université comme

didacticiel

Krasnodar

UDC 531.1 / 3 (075)

Mécanique théorique. Partie 2. Dynamique: tutoriel / l.i.dyko; Kouban. État Tekhnol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 s.

ISBN 5-230-06865-5

Présente en bref formes matériels théoriques, des exemples de problèmes de résolution sont donnés, dont la plupart reflètent les problèmes réels de la technologie, l'attention est accordée au choix d'une méthode de solution rationnelle.

Conçu pour les baccalauréats par correspondance et formes distantes de formations de formation, de transport et d'ingénierie.

Tableau. 1 malade. 68 bibliogr. 20 noms.

Editeur scientifique Cand.tehn. Nauk, Assoc. V.f. melnikov

Réviseurs: Département de la mécanique théorique et de la théorie des mécanismes et des machines de l'Université de Kuban Agrial Prof. Féminin Canarev; Professeur agrégé du département de mécanique théorique de l'Université technologique de l'État de Kuban M.e. Multitude

Imprimé par la décision du conseil de rédaction et de publication de l'Université technologique de l'État de Kuban.

Réimpression

ISBN 5-230-06865-5 Kubbda 1998.

Préface

Ce didacticiel est destiné aux étudiants de la correspondance de spécialités de construction, de transport et d'ingénierie, mais il peut être utilisé dans l'étude de la section "Dynamics" de la mécanique théorique des étudiants avec des étudiants d'autres spécialités, ainsi que des étudiants de la journée forme de formation dans un travail indépendant.

Le manuel est établi conformément au programme actuel de la mécanique théorique couvre toutes les questions de la partie principale du cours. Chaque section contient un court matériau théorique, équipé d'illustrations et de directives méthodiques pour son utilisation lors de la résolution des tâches. Dans le manuel désassemblé la décision de 30 tâches reflétant les problèmes réels de la technologie et des tâches de contrôle correspondantes pour s'auto-décider. Pour chaque tâche, un schéma de conception est présenté, une solution illustrant clairement. Le décisif de la décision est conforme aux exigences relatives à l'enregistrement des étudiants de contrôle des joys.

L'auteur exprime une profonde gratitude aux enseignants du ministère de la Mécanique théorique et de la théorie des mécanismes et des machines de l'Université de Kuban agraire pour beaucoup de travail sur la révision du manuel, ainsi que des enseignants du département de la mécanique théorique de l'État de Kuban Technology Université pour des commentaires et des conseils précieux sur la préparation de manuels scolaires pour publication.

Tous les commentaires et souhaits critiques seront acceptés par l'auteur avec gratitude et plus tard.

introduction

La dynamique est la section la plus importante de la mécanique théorique. Les tâches les plus spécifiques qui sont en pratique d'ingénierie appartiennent à la dynamique. En utilisant les conclusions de la statique et de la cinématique, la dynamique établit les lois générales du mouvement des organes importants dans le cadre de l'action des forces appliquées.

L'objet de matériau le plus simple est le point de matériau. Pour un point de matériau, vous pouvez prendre le corps matériau de toutes les formes, dont la tailles dans le problème à l'examen peut être négligée. Pour un point de matériau, vous pouvez prendre le corps des tailles finales si la différence dans le mouvement de ses points pour cette tâche n'est pas significative. Cela se produit lorsque les tailles du corps sont petites comparées aux distances qui passent les points de corps. Chaque particule de solide peut être considérée comme un point de matériau.

Les forces attachées au corps ou au corps de matériau, en dynamique sont estimées à leur effet dynamique, c'est-à-dire en fonction de la manière dont ils modifient les caractéristiques du mouvement des objets matériels.

Le mouvement des objets de matériau dans le temps est effectué dans l'espace par rapport à un certain système de référence. Dans les mécaniciens classiques basés sur les axiomes de Newton, l'espace est considéré comme tridimensionnel, ses propriétés ne dépendent pas des objets de matériau qui y avance. La position du point dans cet espace est déterminée par trois coordonnées. Le temps n'est pas lié à l'espace et à la circulation des objets matériels. Il est considéré comme le même pour tous les systèmes de référence.

Les lois des orateurs décrivent le mouvement des objets matériels par rapport aux axes absolus des coordonnées, adoptés sous condition pour fixe. Le début du système de coordonnées absolu est accepté au centre du soleil et les axes sont envoyés à des étoiles distantes et non émouvantes. Lors de la résolution de nombreuses tâches techniques, les axes de coordonnées associés à la Terre peuvent être considérés comme mobilières de manière conditionnelle.

Les paramètres du mouvement mécanique des objets de matériaux dans la dynamique sont établis par des conclusions mathématiques des lois fondamentales de la mécanique classique.

Première loi (loi de l'inertie):

Le point de matériau conserve l'état du repos ou du mouvement uniforme et rectiligne jusqu'à ce que l'action de toutes les forces l'affiche de cet état.

Le mouvement uniforme et rectiligne du point est appelé mouvement d'inertie. Pochka est un cas particulier d'inertie, lorsque la vitesse du point est nulle.

Tout point de matériau a une inertie, c'est-à-dire cherche à préserver l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. Le système de référence, en ce qui concerne laquelle la loi de l'inertie est effectuée est appelée inertielle et le mouvement observé par rapport à ce système est appelé absolu. Tout système de référence effectué par rapport au système de translation et uniformes du système d'inertielle sera également un système inertiel.

Deuxième loi (loi fondamentale de la dynamique):

L'accélération du point de matériau relatif au système de référence d'inertielle est proportionnelle à la force attachée au point et coïncide avec la force vers:
.

De la loi fondamentale, la dynamique suit que c'est en vigueur
accélération
. La masse du point caractérise le degré de résistance au point de changement de sa vitesse, c'est-à-dire une mesure de l'inertie du point de matériau.

Troisième loi (loi d'action et contre-action):

Les forces avec lesquelles deux corps agissent sur l'autre sont égales au module et sont dirigées le long d'une droite sur les côtés opposés.

Les forces, appelées l'action et l'opposition, sont attachées à différents corps Et donc le système équilibré ne forme pas.

Quatrième loi (la loi de l'indépendance de la force):

Avec une action simultanée de plusieurs forces, l'accélération du point de matériau est égale à la quantité géométrique d'accélérations qui auraient un point sous l'action de chaque force séparément:

où
,
,…,
.

(Systèmes mécaniques) - Option IV

1. L'équation principale de la dynamique du point de matériau est connue, est exprimée par l'équation. Équations différentielles Les mouvements de points arbitraires du système mécanique non libre selon deux façons de diviser les forces peuvent être enregistrés sous deux formes:

(1) Où K \u003d 1, 2, 3, ..., n est le nombre de points du système de matériau.

(2)

où - la masse du point k-alors point; - Le rayon du vecteur du point de K-SO est une force donnée (active) agissant sur la K-ème ou les forces actives résultantes agissant sur le k-the. - les forces résultantes des réactions d'obligations agissant sur le k-the; - les forces internes résultantes agissant sur le K-the; - Égalité des forces extérieures agissant sur le k-the.

Avec l'aide d'équations (1) et (2), vous pouvez vous efforcer de décider à la fois des première et seconde tâches des haut-parleurs. Cependant, la solution de la deuxième tâche de la dynamique pour le système est très compliquée non seulement d'un point de vue mathématique, mais également parce que nous sommes confrontés à des difficultés fondamentales. Ils consistent en le fait que les deux pour le système (1) et pour le système (2), le nombre d'équations est significativement moins de nombre inconnu.

Donc, si utilisé (1), alors connu pour la deuxième tâche (inverse) des haut-parleurs sera et et les inconnues seront. Les équations de vecteur seront " n.", Et inconnu -" 2n ".

Si vous procédez du système d'équations (2), puis connus et faisant partie des forces extérieures. Pourquoi une partie? Le fait est que la force externe comprend des réactions externes de connexions inconnues. De plus, les inconnus seront aussi.

Ainsi, comme le déverrouillage du système (1) et du système (2) est déverrouillé. Il est nécessaire d'ajouter des équations, compte tenu des équations de liens et il est possible d'imposer certaines restrictions sur les connexions elles-mêmes. Que faire?

Si nous passons de (1), vous pouvez ensuite suivre le chemin pour compiler les équations du premier type de Lagrange. Mais ce chemin n'est pas rationnel parce que simple tâche (Moins de degrés de liberté), plus du point de vue des mathématiques pour le résoudre.

Ensuite, nous faisons attention au système (2), où - sont toujours inconnus. La première étape lors de la résolution du système consiste à éliminer ces inconnues. Il convient de garder à l'esprit que nous ne sommes généralement pas intéressés par les forces internes lorsque le système est en mouvement, c'est-à-dire lorsque le système est en mouvement, vous n'avez pas besoin de savoir comment chaque point du système est en mouvement, mais il suffit de savoir comment le système est en général.

Ainsi, si différentes façons Exclure du système (2) des forces inconnues, nous obtenons certaines relations, c'est-à-dire certains apparaissent caractéristiques générales Pour le système, la connaissance permet de juger comment le système se déplace en général. Ces caractéristiques sont entrées par le soi-disant théorèmes généraux Dynamique. Quatre tels théorèmes:

1. Théorème O. système de masse de masse centrale mobile;

2. Théorem ob. changer le nombre de mouvements de système mécanique;

3. Théorem ob. changer le moment cinétique du système mécanique;

4. Théorem ob. changer l'énergie cinétique du système mécanique.