مخرج کسر حساب a / b عدد b است ، که اندازه های کسرهای واحدی را که کسر را تشکیل می دهند ، نشان می دهد. مخرج کسر جبری A / B است عبارت جبری ب- برای انجام عملیات حساب با کسر ، آنها را باید به کمترین مخرج مشترک تقلیل داد.

شما نیاز خواهید داشت

• برای کار با کسرهای جبری هنگام یافتن کمترین مخرج مشترک ، باید روش های فاکتورگذاری چند جمله ها را بدانید.

دستورالعمل ها

کاهش به کمترین مخرج مشترک دو کسر حساب n / m و s / t را در نظر بگیرید ، جایی که n ، m ، s ، t عدد صحیح هستند. روشن است که این دو کسر را می توان به هر مخرجی که بر m و t قابل تقسیم باشد تقلیل داد. اما آنها سعی می کنند آنها را به کمترین مخرج مشترک برسانند. برابر است با حداقل ضرب مشترک مخرج m و t این کسرها. کمترین مضرب (LCM) اعداد کوچکترین تقسیم بر همه اعداد داده شده در یک زمان است. آنهایی که در مورد ما لازم است کمترین مضرب اعداد m و t را پیدا کنیم. به عنوان LCM (m، t) تعیین می شود. سپس کسرها در موارد مربوط ضرب می شوند: (n / m) * (LCM (m، t) / m)، (s / t) * (LCM (m، t) / t).

بیایید کمترین مخرج مشترک از سه کسر را پیدا کنیم: 5/4 ، 8/7 ، 14/11. ابتدا مخرج 5 ، 8 ، 14 را گسترش می دهیم: 5 \u003d 1 * 5 ، 8 \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 ، 14 \u003d 2 * 7. بعد ، LCM را محاسبه می کنیم (5 ، 8 ، 14) ، ضرب تمام اعداد موجود در حداقل یکی از گسترش ها. LCM (5 ، 8 ، 14) \u003d 5 * 2 ^ 3 * 7 \u003d 280. توجه داشته باشید که اگر عامل در گسترش چندین عدد اتفاق بیفتد (عامل 2 در گسترش مخرج 8 و 14) ، سپس فاکتور را می گیریم به میزان بیشتری (در مورد ما 2 ^ 3).

بنابراین ، کل دریافت می شود. 280 \u003d 5 * 56 \u003d 8 * 35 \u003d 14 * 20 است. در اینجا اعدادی بدست می آوریم که باید کسرها را با مخرج مربوطه ضرب کنیم تا به کمترین مخرج مشترک برسیم. ما 4/5 \u003d 56 * (4/5) \u003d 224/280 ، 7/8 \u003d 35 * (7/8) \u003d 245/280 ، 11/14 \u003d 20 * (11/14) \u003d 220/280 بدست می آوریم.

کسرهای جبری با تشبیه با کسرهای حسابی به کمترین مخرج مشترک تقلیل می یابند. برای وضوح ، با یک مثال مسئله را در نظر بگیرید. اجازه دهید دو کسر (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) و (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1) داده شود. فاکتور هر دو مخرج. توجه داشته باشید که مخرج کسر اول یک مربع کامل است: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 \u003d (3 * y + 1) ^ 2. برای

اما بسیاری از اعداد طبیعی با سایر اعداد طبیعی به طور مساوی قابل تقسیم هستند.

برای مثال:

عدد 12 به 1 ، 2 ، 3 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12 تقسیم می شود.

عدد 36 بر 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12 ، 18 ، 36 قابل تقسیم است.

اعدادی که تعداد آنها به طور مساوی قابل تقسیم است (برای 12 عدد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 و 12 است) نامیده می شوند تقسیم کنندگان... تقسیم کننده عدد طبیعی آ یک عدد طبیعی است که یک عدد معین را تقسیم می کند آ بدون باقیمانده به یک عدد طبیعی که بیش از دو تقسیم کننده داشته باشد گفته می شود کامپوزیت .

توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای فاکتورهای مشترک هستند. اینها اعداد هستند: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. تقسیم مشترک دو عدد داده شده آ و ب - این عددی است که بر اساس آن هر دو عدد داده شده بدون باقی مانده قابل تقسیم هستند آو ب.

مضرب مشترک multiple number عددی است که با هر یک از این اعداد قابل تقسیم است. برای مثال، اعداد 9 ، 18 و 45 یک ضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز ضرب های مشترک آنها هستند. در میان تمام ضربات j کل ، همیشه کوچکترین وجود دارد ، در این حالت 90 است. این عدد نامیده می شود کوچکترینضرب مشترک (LCM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید بیشتر از بزرگترین اعدادی باشد که برای آن تعیین شده است.

حداقل چند برابر (LCM). خواص

تغییر پذیری:

مشارکت:

به طور خاص ، اگر و یا اعداد تقلبی هستند ، پس:

کمترین مضرب مشترک از دو عدد صحیح مترو n تقسیم کننده سایر مضربهای مشترک است مترو n... علاوه بر این ، مجموعه ای از مضرب های مشترک m ، n مصادف با مجموعه ضرب ها برای LCM ( m ، n).

علائم مجانبی را می توان با توجه به برخی توابع نظری عدد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف ... و:

این امر از تعریف و خصوصیات عملکرد Landau ناشی می شود g (n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول ناشی می شود.

یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM).

LCM ( الف ، ب) را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد:

1. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده است ، می توانید از رابطه آن با LCM استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اصلی شناخته شود:

جایی که p 1 ، ... ، p k - مختلف اعداد اول، و d 1 ، ... ، d k و e 1 ، ... ، e k - عددهای صحیح غیر منفی (در صورت عدم وجود مقدار اول در تجزیه ، می توانند صفر باشند).

سپس LCM ( آ,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر ، تجزیه LCM شامل تمام فاکتورهای اصلی است که حداقل در یکی از موارد گسترش تعداد موجود است الف ، ب، و بزرگترین از دو نماینده این عامل گرفته شده است.

مثال:

محاسبه کمترین مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون. برای یافتن LCM یک سری اعداد ، به موارد زیر نیاز دارید:

- تجزیه اعداد به عوامل اصلی ؛

- بزرگترین انبساط را به فاکتورهای محصول مورد نظر منتقل کنید (حاصلضرب فاکتورهای بیشترین تعداد از موارد داده شده) ، و سپس فاکتورهای حاصل از انبساط اعداد دیگری را که در عدد اول وجود ندارد یا در آن هستند اضافه کنید. آن کمتر بار؛

- حاصل حاصل از فاکتورهای اصلی LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا چند عدد طبیعی LCM دارند. اگر اعداد ضرب های یکدیگر نباشند یا فاکتورهای یکسانی در انبساط نداشته باشند ، LCM آنها برابر با حاصلضرب این اعداد است.

فاکتورهای اصلی عدد 28 (2 ، 2 ، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل می شوند ، محصول حاصل (84) کوچکترین عددکه بر 21 و 28 قابل تقسیم است.

فاکتورهای اصلی بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 عدد 25 تکمیل می شوند ، محصول حاصل شده 150 از بزرگترین عدد 30 بزرگتر است و بدون باقی مانده بر روی تمام اعداد داده شده تقسیم می شود. این کوچکترین محصول ممکن است (150 ، 250 ، 300 ...) ، که مضربی از تمام اعداد داده شده است.

اعداد 2،3،11،37 اول هستند ، بنابراین LCM آنها برابر با حاصلضرب اعداد داده شده است.

قانون... برای محاسبه LCM اعداد اول ، باید همه این اعداد را بین خود ضرب کنید.

گزینه ای دیگر:

برای یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چند عدد ، به موارد زیر نیاز دارید:

1) نشان دادن هر عدد به عنوان محصولی از عوامل اصلی آن ، به عنوان مثال:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 ،

2) قدرت تمام عوامل اصلی را بنویسید:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1 ،

3) همه تقسیم کننده های اصلی (عوامل) هر یک از این اعداد را یادداشت کنید.

4) بالاترین درجه هر یک از آنها را که در همه گسترش این اعداد یافت می شود ، انتخاب کنید.

5) این درجه ها را ضرب کنید.

مثال ... LCM اعداد را پیدا کنید: 168 ، 180 و 3024.

تصمیم گیری ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1 ،

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1 ،

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

ما بزرگترین قدرت را از بین تمام عوامل اصلی می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.

بیشتر عملیات با کسرهای جبری ، مانند جمع و تفریق ، نیاز به کاهش مقدماتی این کسرها به مخرج همان... چنین مخرجی نیز غالباً با عبارت " مخرج مشترک" در این مبحث ، ما تعریف مفاهیم "مخرج مشترک کسرات جبری" و "کمترین مخرج کسرهای جبری (LCF)" را در نظر خواهیم گرفت ، الگوریتم یافتن مخرج مشترک را نقطه به نقطه در نظر گرفته و چندین مسئله را در این موضوع حل می کنیم .

Yandex.RTB R-A-339285-1

مخرج مشتقات کسر جبری

اگر در مورد کسرهای معمولی صحبت کنیم ، آنگاه مخرج مشترک عددی است که با هر یک از مخرج کسرهای اصلی قابل تقسیم است. برای کسرهای مشترک 1 2 و 5 9 36 می تواند یک مخرج مشترک باشد ، زیرا بدون باقی مانده بر 2 و 9 قابل تقسیم است.

مخرج مشترک کسرهای جبری به روشی مشابه تعریف شده است ، فقط چند جمله ای ها به جای اعداد استفاده می شوند ، زیرا آنها اعداد موجود در عدد و مخرج کسر جبری هستند.

تعریف 1

مخرج مشترک کسره جبریچند جمله ای است که با مخرج هر یک از کسرها قابل تقسیم است.

در ارتباط با ویژگی های کسرهای جبری ، که در زیر بحث خواهد شد ، ما اغلب با مخرج مشترک ارائه شده در قالب یک محصول ، و نه در قالب یک چند جمله ای استاندارد ، برخورد خواهیم کرد.

مثال 1

چند جمله ای به عنوان محصول نوشته شده است 3 x 2 (x + 1)، مربوط به یک چند جمله ای استاندارد است 3 3 3 + 3 2 2... این چند جمله ای می تواند مخرج مشترک کسرهای جبری 2 x ، - 3 x y x 2 و y + 3 x + 1 باشد ، به دلیل اینکه قابل تقسیم بر ایکس، بر x 2 و در x + 1... اطلاعات مربوط به قابل تقسیم بودن چند جمله ها در عنوان مربوط به منبع ما است.

حداقل مخرج مشترک (LCN)

برای کسرهای جبری داده شده ، تعداد مخرج مشترک می تواند بی نهایت باشد.

مثال 2

کسرهای 1 2 x و x + 1 x 2 + 3 را به عنوان مثال در نظر بگیرید. مخرج مشترک آنها است 2 x (x 2 + 3)پسندیدن - 2 x (x 2 + 3)پسندیدن x (x 2 + 3)پسندیدن 6 ، 4 x (x 2 + 3) (y + y 4)پسندیدن - 31 x 5 (x 2 + 3) 3، و غیره.

هنگام حل مشکلات ، می توانید کار خود را با استفاده از یک مخرج مشترک ، که در میان تمام مجموعه های مخرج ساده ترین شکل را دارد ، آسان کنید. از این مخرج اغلب به عنوان کمترین مخرج مشترک یاد می شود.

تعریف 2

حداقل مخرج مشترک کسرهای جبری آیا مخرج مشترک کسرهای جبری است که ساده ترین شکل را دارد.

ضمناً ، اصطلاح "کمترین مخرج مشترک" به طور کلی پذیرفته نیست ، بنابراین بهتر است خود را به اصطلاح "مخرج مشترک" محدود کنیم. و به همین دلیل.

پیش از این ، توجه شما را به عبارت "مخرج بیشترین" معطوف کردیم مهربان ساده" معنی اصلی این عبارت به شرح زیر است: هر مخرج مشترک دیگر در شرایط مسئله کسرهای جبری باید بدون مخروط با مخرج ساده ترین شکل تقسیم شود. علاوه بر این ، در محصول ، که مخرج مشترک کسرها است ، می توانید از ضرایب عددی مختلفی استفاده کنید.

مثال 3

کسرها را 1 2 x و x + 1 x 2 + 3 بگیرید. ما قبلاً فهمیدیم که کار با یک مخرج مشترک از شکل 2 x (x 2 + 3) برای ما راحت تر است. همچنین ، مخرج مشترک برای این دو کسر می تواند باشد x (x 2 + 3)که شامل یک عامل عددی نیست. سال این است که کدام یک از این دو مخرج مشترک کمترین مخرج کسرها است. پاسخ مشخصی وجود ندارد ، بنابراین صحیح تر است که به سادگی از یک مخرج مشترک صحبت کنیم و گزینه ای را انتخاب کنیم که کار با آن راحت تر باشد. بنابراین ، می توانیم از مخرج مشترک مانند x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) یا - 15 5 5 (2 2 + 3) 3که بیشتر دارند نمای پیچیدهاما مقابله با آنها دشوارتر است.

یافتن مخرج مشترک کسرهای جبری: الگوریتمی از کنش ها

فرض کنید چندین کسره جبری داریم که باید مخرج مشترکی برای آنها پیدا کنیم. برای حل این مشکل ، می توانیم از الگوریتم اقدامات زیر استفاده کنیم. ابتدا باید مخرج کسرهای اصلی را فاکتور بگیریم. سپس ما اثری را می سازیم که پی در پی شامل آن می شود:

• همه عوامل از مخرج کسر اول همراه با قدرت.
• همه فاکتورهای موجود در مخرج کسر دوم است ، اما در کار نوشتاری وجود ندارد یا درجه آنها کافی نیست.
• همه عوامل از دست رفته در مخرج کسر سوم و غیره.

محصول بدست آمده مخرج کسرهای جبری خواهد بود.

به عنوان ضرایب محصول ، می توانیم همه مخرج کسرهای آورده شده در عبارت مسئله را بگیریم. با این حال ، ضربی که در پایان به دست می آوریم از لحاظ معنایی دور از NOZ خواهد بود و استفاده از آن غیر منطقی خواهد بود.

مثال 4

مخرج مشترک کسرهای 1 x 2 y ، 5 x + 1 و y - 3 x 5 y را پیدا کنید.

تصمیم گیری

در این حالت ، لازم نیست که مخرج کسرهای اصلی را فاکتور بگیریم. بنابراین ، ما با تدوین یک کار شروع به استفاده از الگوریتم می کنیم.

از مخرج کسر اول ، ضریب را می گیریم x 2 سال، از مخرج کسر دوم عامل x + 1... کار را می گیریم x 2 سال (x + 1).

مخرج کسر سوم می تواند به ما ضرب کند x 5 سالاما ، در کارهایی که قبلاً جمع آوری کردیم ، عواملی وجود دارد x 2 و y... بنابراین ، ما بیشتر اضافه می کنیم x 5 - 2 \u003d x 3... کار را می گیریم x 2 سال (x + 1) x 3که می تواند به فرم تقلیل یابد x 5 سال (x + 1)... این NOZ کسرهای جبری ما خواهد بود.

پاسخ: x 5 سال (x + 1).

حال وقتی مخرج کسرهای جبری حاوی فاکتورهای عددی عدد صحیح باشد ، نمونه هایی از مشکلات را بررسی خواهیم کرد. در چنین مواردی ، ما همچنین بر اساس الگوریتم عمل می کنیم ، قبلاً عوامل عددی عدد صحیح را به عوامل اصلی تجزیه کرده ایم.

مثال 5

مخرج مشترک کسرهای 1 12 x و 1 90 x 2 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

با بزرگ کردن اعداد در مخرج کسرها به عوامل اول ، 1 2 2 3 x و 1 2 3 2 5 x 2 بدست می آوریم. اکنون می توانیم به سمت ترسیم یک مخرج مشترک برویم. برای این ، از مخرج کسر اول ، محصول را می گیریم 2 2 3 x و فاکتورهای 3 ، 5 و ایکس از مخرج کسر دوم. ما گرفتیم 2 2 3 x 3 5 x \u003d 180 x 2... این مخرج مشترک ماست.

پاسخ: 180 2 2

اگر به نتایج دو مثال تجزیه و تحلیل شده دقت کنید ، متوجه خواهید شد که مخرج مشترک کسرها شامل تمام فاکتورهای موجود در گسترش مخرج هستند و اگر یک عامل خاص در چندین مخرج وجود داشته باشد ، آن را با بزرگترین نماینده موجود و اگر در مخرج ضرایب عدد صحیح وجود داشته باشد ، در مخرج مشترک یک عامل عددی برابر است با کمترین مضرب مشترک این ضرایب عددی.

مثال 6

مخرج هر دو کسر جبری 1 12 x و 1 90 x 2 دارای یک عامل هستند ایکس... در حالت دوم ، عامل x به صورت مربع در می آید. برای تدوین مخرج مشترک ، باید این فاکتور را در بیشترین حد ، یعنی x 2... هیچ ضریب دیگری با متغیرها وجود ندارد. ضرایب عددی عدد صحیح کسرهای اصلی 12 و 90 ، و کمترین مضرب مشترک آنها است 180 ... معلوم می شود که مخرج مشترک مورد نظر شکل دارد 180 2 2.

حال می توانیم الگوریتم دیگری برای یافتن فاکتور مشترک کسرهای جبری بنویسیم. برای این ما:

• مخرج همه کسرها را به عوامل تجزیه می کنیم.
• حاصلضرب تمام فاکتورهای حرف را بنویسید (اگر عاملی در چندین انبساط وجود داشته باشد ، ما گزینه ای را با بالاترین میزان انتخاب می کنیم)
• lCM ضرایب انبساط عددی را به محصول حاصل اضافه کنید.

الگوریتم های داده شده معادل هستند ، بنابراین می توان از هر یک از آنها در حل مسائل استفاده کرد. توجه به جزئیات مهم است.

زمانهایی وجود دارد که عوامل مشترک در مخرج کسرها در پشت ضرایب عددی قابل مشاهده نیستند. در اینجا توصیه می شود ابتدا ضرایب عددی را در بالاترین توان متغیرهای خارج از براکت در هر یک از عوامل مخرج بگیرید.

مثال 7

مخرج کسر 3 5 - x و 5 - x · y 2 2 · x - 10 چیست؟

تصمیم گیری

در حالت اول ، منهای یک باید از براکت ها خارج شود. ما 3 - x - 5 می گیریم. برای خلاص شدن از منهای مخرج ، عدد و مخرج را در - 1 ضرب کنید: - 3 x - 5.

در حالت دوم ، دو عدد را از پرانتز خارج می کنیم. این به ما امکان می دهد کسر 5 - x · y 2 2 · x - 5 را بدست آورید.

بدیهی است که مخرج مشترک این کسرات جبری - 3 x - 5 و 5 - x y 2 2 x - 5 است 2 (x - 5).

پاسخ: 2 (x - 5).

داده های کسر در بیانیه مسئله می تواند ضرایب کسری داشته باشد. در این موارد ، ابتدا باید ضرایب کسری را با ضرب عدد و مخرج در تعدادی عدد خلاص کنید.

مثال 8

ساده کردن کسرهای جبری 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 و - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 ، سپس مخرج مشترک آنها را تعیین کنید.

تصمیم گیری

بیایید با ضرب عدد و مخرج در حالت اول در 14 ، در حالت دوم در 3 از ضرایب کسری خلاص شویم. ما گرفتیم:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 7 x + 1 x 2 + 2 و - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 \u003d 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 \u003d - 6 2 x 2 + 4 \u003d - 6 2 x 2 + 2.

پس از تحولات انجام شده ، مشخص می شود که مخرج مشترک است 2 (x 2 + 2).

پاسخ: 2 (x 2 + 2).

اگر در متن خطایی مشاهده کردید ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

مضرب عددی است که به طور مساوی با عدد معینی قابل تقسیم است. کمترین مضرب مشترک (LCM) از یک گروه اعداد ، کوچکترین عددی است که به طور مساوی بر هر عدد در گروه قابل تقسیم است. برای یافتن کمترین مضرب مشترک ، باید فاکتورهای اصلی اعداد داده شده را پیدا کنید. LCM همچنین می تواند با استفاده از تعدادی روش دیگر محاسبه شود که برای گروه های دو یا چند عددی قابل استفاده است.

مراحل

یک سری مضرب

به اعداد داده شده نگاه کنید. روشی که در اینجا شرح داده شده است ، هنگامی بهتر است استفاده شود که دو عدد داده شود ، که هر عدد کمتر از 10 باشد. اگر اعداد بزرگ هستند ، از روش دیگری استفاده کنید.

• به عنوان مثال ، کمترین مضرب 5 و 8 را پیدا کنید. این تعداد کم است ، بنابراین می توانید از این روش استفاده کنید.

1. مضرب عددی است که به طور مساوی با عدد معینی قابل تقسیم است. چند عدد را می توان در جدول ضرب یافت.

   • به عنوان مثال ، اعدادی که ضرب 5 باشند عبارتند از: 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40.

2. یک سری اعداد را بنویسید که مضرب عدد اول هستند. این کار را در زیر مضربهای عدد اول انجام دهید تا دو ردیف عدد با هم مقایسه شوند.

   • به عنوان مثال ، اعدادی که ضرب 8 باشند عبارتند از: 8 ، 16 ، 24 ، 32 ، 40 ، 48 ، 56 و 64.

3. کمترین عددی را که در هر دو ردیف ضرب ظاهر می شود پیدا کنید. برای پیدا کردن باید مجبور شوید چندین سری طولانی بنویسید تعداد کل... کمترین عددی که در هر دو ردیف ضرب ظاهر می شود ، کوچکترین مضرب مشترک است.

   • به عنوان مثال ، کوچکترین عددی که در مجموعه ای از مضربهای 5 و 8 ظاهر می شود ، 40 است. بنابراین ، 40 کمترین مضرب 5 و 8 است.

   فاکتور بندی اولیه

   1. به اعداد داده شده نگاه کنید. روشی که در اینجا شرح داده شده است بهتر است هنگامی استفاده شود که دو عدد داده شود ، هر کدام بزرگتر از 10 است. اگر اعداد داده شده کوچکتر باشند ، از روش دیگری استفاده کنید.

      • به عنوان مثال ، کمترین ضرب مشترک 20 و 84 را پیدا کنید. هر یک از اعداد بزرگتر از 10 هستند ، بنابراین می توانید از این روش استفاده کنید.

   2. اولین عدد را به فاکتورهای اصلی تبدیل کنید. به این معنی که هنگام ضرب عدد داده شده ، باید چنین اعداد اول را پیدا کنید. هنگامی که عوامل اصلی را پیدا کردید ، آنها را به عنوان برابر بنویسید.

      • برای مثال، 2 × 10 \u003d 20 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ بار 10 \u003d 20) و 2 × 5 \u003d 10 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ بار (\\ mathbf (5)) \u003d 10)... بدین ترتیب، توسط عوامل اصلی اعداد 20 اعداد 2 ، 2 و 5 است. آنها را به صورت عبارت بنویسید:.

   3. عامل دوم. این کار را به همان روشی انجام دهید که عدد اول را فاکتور بندی کرده اید ، یعنی اعداد اول را پیدا کنید که با ضرب ، عدد داده شده را می دهند.

      • برای مثال، 2 × 42 \u003d 84 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ بار 42 \u003d 84), 7 × 6 \u003d 42 (\\ displaystyle (\\ mathbf (7)) \\ بار 6 \u003d 42) و 3 × 2 \u003d 6 (\\ displaystyle (\\ mathbf (3)) \\ بار (\\ mathbf (2)) \u003d 6)... بنابراین ، فاکتورهای اصلی 84 2 ، 7 ، 3 و 2 است. آنها را به صورت یک عبارت بنویسید:.

   4. فاکتورهای مشترک هر دو عدد را یادداشت کنید. این فاکتورها را به عنوان یک عمل ضرب یادداشت کنید. هنگامی که هر عامل را یادداشت می کنید ، آن را در هر دو عبارت خط بزنید (عباراتی که فاکتورهای اصلی را توصیف می کنند).

      • به عنوان مثال ، عامل مشترک برای هر دو عدد 2 است ، بنابراین بنویسید 2 × (\\ سبک نمایش 2 بار) و در هر دو عبارت 2 را خط بزنید.
      • مشترک هر دو عدد عامل دیگر 2 است ، بنویسید 2 × 2 (\\ نمایش سبک 2 \\ بار 2) و 2 دوم را در هر دو عبارت خط بزنید.

   5. فاکتورهای باقی مانده را به عملیات ضرب اضافه کنید. اینها عواملی هستند که در هر دو عبارت از آنها عبور نشده است ، یعنی عواملی هستند که در هر دو عدد مشترک نیستند.

      • مثلاً در بیان 20 \u003d 2 × 2 × 5 (\\ نمایش سبک 20 \u003d 2 \\ بار 2 \\ بار 5) هر دو (2) خط خورده اند زیرا آنها از عوامل مشترک هستند. عامل 5 خط خورده نیست ، بنابراین عمل ضرب را اینگونه بنویسید: 2 × 2 × 5 (\\ سبک نمایش 2 \\ بار 2 \\ بار 5)
      • در بیان 84 \u003d 2 × 7 × 3 × 2 (\\ نمایش سبک 84 \u003d 2 \\ بار 7 \\ بار 3 \\ بار 2) همچنین هر دو دو خط را خط زد (2). فاکتورهای 7 و 3 از هم جدا نشده اند ، بنابراین عمل ضرب را اینگونه بنویسید: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\\ سبک نمایش 2 \\ بار 2 \\ بار 5 \\ بار 7 \\ 3 بار).

   6. کمترین مضرب مشترک را محاسبه کنید. برای این کار ، اعداد را در عمل ضرب ضبط شده ضرب کنید.

      • برای مثال، 2 × 2 × 5 × 7 3 \u003d 420 (\\ سبک نمایش 2 \\ بار 2 \\ بار 5 \\ بار 7 \\ بار 3 \\ 420)... بنابراین کمترین مضرب مشترک 20 و 84 420 است.

   یافتن تقسیم کنندگان مشترک

   1. شبکه را مانند یک بازی tic-tac-toe بکشید. چنین شبکه ای از دو خط موازی تشکیل شده است که (با زاویه راست) با دو خط موازی دیگر تلاقی می کنند. در پایان با سه ردیف و سه ستون (شبکه شباهت زیادی به علامت # دارد). اولین شماره را در سطر اول و ستون دوم بنویسید. شماره دوم را در سطر اول و ستون سوم بنویسید.

      • برای مثال ، کمترین مضرب 18 و 30 را پیدا کنید. در ردیف اول و ستون دوم 18 را بنویسید ، و در ردیف اول و ستون سوم 30 را بنویسید.

   2. مقسوم علیه مشترک هر دو عدد را پیدا کنید. آن را در سطر اول و ستون اول بنویسید. بهتر است به دنبال فاکتورهای اصلی باشید ، اما این الزامی نیست.

      • به عنوان مثال ، 18 و 30 عدد زوج هستند ، بنابراین عامل مشترک آنها 2 است. بنابراین در ردیف اول و ستون اول 2 را بنویسید.

   3. هر عدد را بر تقسیم کننده اول تقسیم کنید. هر ضریب را زیر شماره مربوطه بنویسید. ضریب حاصل تقسیم دو عدد است.

      • برای مثال، 18 ÷ 2 \u003d 9 (\\ نمایشگر سبک 18 \\ div 2 \u003d 9)بنابراین 9 زیر 18 را بنویسید.
      • 30 ÷ 2 \u003d 15 (\\ سبک نمایش 30 \\ div 2 \u003d 15)بنابراین 15 زیر 30 بنویسید.

   4. مقسوم علیه مشترک هر دو نصاب را پیدا کنید. اگر چنین تقسیم کننده ای وجود ندارد ، از دو مرحله بعدی صرف نظر کنید. در غیر این صورت ، مقسوم علیه را در ردیف دوم و ستون اول یادداشت کنید.

      • به عنوان مثال ، 9 و 15 بر 3 قابل تقسیم هستند ، بنابراین 3 را در ردیف دوم و ستون اول بنویسید.

   5. هر ضریب را به عامل دوم تقسیم کنید. هر نتیجه تقسیم را در زیر ضریب مربوطه بنویسید.

      • برای مثال، 9 ÷ 3 \u003d 3 (\\ سبک نمایش 9 \\ div 3 \u003d 3)بنابراین 3 زیر 9 را بنویسید.
      • 15 ÷ 3 \u003d 5 (\\ سبک نمایش 15 \\ div 3 \u003d 5)بنابراین 5 زیر 15 بنویسید.

   6. در صورت لزوم ، سلولهای اضافی را به شبکه اضافه کنید. مراحل شرح داده شده را تکرار کنید تا اینکه ضریب های تقسیم مشترک داشته باشند.

   7. اعداد را در ستون اول و آخرین ردیف شبکه دایره کنید. سپس اعداد انتخاب شده را به عنوان یک عمل ضرب یادداشت کنید.

      • به عنوان مثال ، اعداد 2 و 3 در ستون اول و اعداد 3 و 5 در ردیف آخر قرار دارند ، بنابراین عمل ضرب را اینگونه بنویسید: 2 × 3 × 3 × 5 (\\ سبک نمایش 2 \\ 3 بار \\ 3 بار 3 \\ 5 بار).

   8. نتیجه ضرب اعداد را پیدا کنید. با این کار کمترین مضرب مشترک از دو عدد داده شده محاسبه می شود.

      • برای مثال، 2 × 3 × 3 × 5 \u003d 90 (\\ سبک نمایش 2 \\ 3 بار \\ 3 بار 3 \\ بار 5 \u003d 90)... بنابراین کمترین مضرب مشترک 18 و 30 برابر 90 است.

   الگوریتم اقلیدس

   1. اصطلاحات مربوط به عملیات تقسیم را به خاطر بسپارید. سود سهام عددی است که تقسیم می شود. مقسوم علیه عددی است که بر آن تقسیم می شود. ضریب حاصل تقسیم دو عدد است. Remainder عدد باقیمانده است که دو عدد تقسیم می شوند.

      • مثلاً در بیان 15 ÷ 6 \u003d 2 (\\ سبک نمایش 15 \\ div 6 \u003d 2) ost 3:
        15 سود سهام است
        6 مقسوم علیه است
        2 ضریب است
        3 باقیمانده است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

تعریف 2

اگر یک عدد طبیعی a با یک عدد طبیعی $ b $ قابل تقسیم باشد ، $ b $ را مقسوم کننده $ a $ و $ a $ را مضربی از $ b $ می نامند.

بگذارید $ a $ و $ b $ اعداد طبیعی باشند. عدد $ c $ را تقسیم کننده مشترک برای هر $ $ $ و $ $ $ می نامند.

مجموعه مقسوم علیه مشترک برای اعداد $ a $ و $ b $ محدود است ، زیرا هیچ یک از این مقسوم علیه ها نمی تواند بیشتر از $ $ باشد. از این رو ، در میان این مقسوم علیه ها یک بزرگترین وجود دارد که بزرگترین تقسیم کننده مشترک اعداد $ a $ و $ b $ نامیده می شود ، و از علامت برای نشان دادن آن استفاده می شود:

$ Gcd \\ (a؛ b) \\ یا \\ D \\ (a؛ b) $

برای یافتن بزرگترین تقسیم کننده مشترک دو عدد ، شما نیاز دارید:

1. حاصل اعداد موجود در مرحله 2 را پیدا کنید. عدد بدست آمده بزرگترین عامل مشترک مورد نظر خواهد بود.

مثال 1

gcd اعداد 121 $ و 132 $ را پیدا کنید

$ 242 \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

$ 132 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

اعدادی را انتخاب کنید که در تجزیه این اعداد گنجانده شده است

$ 242 \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

$ 132 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

حاصل اعداد موجود در مرحله 2 را پیدا کنید. عدد بدست آمده بزرگترین عامل مشترک مورد نظر خواهد بود.

$ Gcd \u003d 2 \\ cdot 11 \u003d 22 $

مثال 2

GCD تک سلولی ها را 63 و 81 دلار پیدا کنید.

ما با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این:

بیایید اعداد را به فاکتورهای اصلی تجزیه کنیم

63 دلار \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

81 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

ما اعدادی را انتخاب می کنیم که در تجزیه این اعداد گنجانده شده است

63 دلار \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

81 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

بیایید حاصل اعداد موجود در مرحله 2 را پیدا کنیم. عدد بدست آمده بزرگترین عامل مشترک مورد نظر خواهد بود.

$ Gcd \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d 9 $

با استفاده از مجموعه تقسیم کننده اعداد ، می توانید GCD دو عدد را به روش دیگری پیدا کنید.

مثال 3

GCD اعداد 48 $ و 60 $ را پیدا کنید.

تصمیم:

مجموعه مقسوم علیه عدد 48 $ $: $ \\ left \\ ((\\ rm 1،2،3.4.6،8،12،16،24،48) \\ right \\) $

اکنون مجموعه تقسیم کننده های عدد 60 $ $: $ \\ \\ چپ \\ ((\\ rm 1،2،3،4،5،6،10،12،15،20،30،60) \\ right \\ ) $

تقاطع این مجموعه ها را پیدا کنیم: $ \\ left \\ ((\\ rm 1،2،3،4،6،12) \\ right \\) $ - این مجموعه مجموعه تقسیم کننده های مشترک اعداد 48 $ $ و 60 دلار بزرگترین عنصر در این مجموعه یک عدد 12 $ وجود خواهد داشت. بنابراین بزرگترین تقسیم کننده مشترک اعداد 48 و 60 دلار 12 دلار خواهد بود.

تعریف LCM

تعریف 3

مضرب مشترک اعداد طبیعی $ a $ و $ b $ یک عدد طبیعی است که مضربی از هر دو $ a $ و $ b $ است.

مضرب های متداول اعداد اعدادی هستند که بدون عدد باقیمانده با عدد اصلی قابل تقسیم هستند. به عنوان مثال ، برای اعداد 25 $ و 50 $ ، مضرب های مشترک اعداد 50،100،150،200 دلار و غیره خواهند بود.

کمترین مضرب مشترک کمترین مضرب نامیده می شود و با LCM $ (a؛ b) $ یا K $ (a؛ b) مشخص می شود. $

برای یافتن LCM دو عدد ، به موارد زیر نیاز دارید:

1. اعداد فاکتور
2. فاکتورهایی را که بخشی از عدد اول هستند بنویسید و فاکتورهایی را که بخشی از عدد دوم هستند و به اول وارد نمی شوند به آنها اضافه کنید

مثال 4

LCM اعداد 99 $ و 77 $ را پیدا کنید.

ما با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این

اعداد فاکتور

99 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

فاکتورهای موجود در مورد اول را بنویسید

عواملی را که بخشی از عامل دوم هستند و به عامل اول وارد نمی شوند ، به آنها اضافه کنید

حاصلضرب اعداد موجود در مرحله 2 را پیدا کنید. عدد حاصل حداقل ضرب مشترک مورد نظر است

$ LCM \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 \\ cdot 7 \u003d 693 $

تهیه لیست های تقسیم کننده اعداد اغلب بسیار وقت گیر است. راهی برای یافتن GCD وجود دارد که الگوریتم اقلیدس نام دارد.

عباراتی که الگوریتم اقلیدس بر اساس آنها ساخته شده است:

اگر $ a $ و $ b $ اعداد طبیعی هستند و $ a \\ vdots b $ ، پس $ D (a؛ b) \u003d b $

اگر $ a $ و $ b $ اعداد طبیعی هستند مانند $ b

با استفاده از $ D (a؛ b) \u003d D (a-b؛ b) $ ، می توانید اعداد در نظر گرفته شده را پی در پی کاهش دهید تا زمانی که به جفتی از اعداد برسیم که یکی از آنها قابل تقسیم بر دیگری باشد. سپس کوچکتر از این اعداد بزرگترین تقسیم کننده مشترک مورد نظر برای اعداد $ a $ و $ b $ خواهد بود.

خواص GCD و LCM

1. هر ضرب مشترک $ a $ و $ b $ بر K $ (a؛ b) $ قابل تقسیم است
2. اگر $ a \\ vdots b $ ، پس K $ (a؛ b) \u003d a $

اگر K $ (a؛ b) \u003d k $ و $ m $ یک عدد طبیعی است ، پس K $ (am؛ bm) \u003d km $

اگر $ d $ یک مقسوم علیه $ a $ و $ b $ باشد ، K ($ \\ frac (a) (d) ؛ \\ frac (b) (d) $) \u003d $ \\ \\ frac (k) (d) ) $

اگر $ a \\ vdots c $ و $ b \\ vdots c $ ، پس $ \\ frac (ab) (c) $ یک مضرب مشترک $ a $ و $ b $ است

برای هر عدد طبیعی $ a $ and $ b $، برابر است

$ D (a؛ b) \\ cdot К (a؛ b) \u003d ab $

تقسیم کننده مشترک اعداد $ a $ و $ b $ تقسیم کننده عدد $ D (a؛ b) $ است