Sa pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng mga Equation," ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga quadratic equation.

Isaalang-alang natin ang lahat nang detalyado: ang kakanyahan at pagtatala ng quadratic equation, tukuyin ang mga nauugnay na termino, pag-aralan ang scheme para sa paglutas ng hindi kumpleto at kumpletong equation, makikilala natin ang pormula ng mga ugat at diskriminasyon, magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at koepisyent, at siyempre magbibigay tayo ng visual na solusyon sa mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Quadratic equation, mga uri nito

Quadratic equation ay isang equation na nakasulat bilang a x 2 + b x + c = 0, Saan x– variable, a , b at c– ilang mga numero, habang a ay hindi zero.

Madalas quadratic equation ay tinatawag ding mga equation ng pangalawang degree, dahil sa esensya ang isang quadratic equation ay isang algebraic equation ng pangalawang degree.

Magbigay tayo ng isang halimbawa upang mailarawan ibinigay na kahulugan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, atbp. Ito ay mga quadratic equation.

Kahulugan 2

Mga numero a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, habang ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b - ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, A c tinatawag na libreng miyembro.

Halimbawa, sa quadratic equation 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 ang nangungunang koepisyent ay 6, ang pangalawang koepisyent ay − 2 , at ang libreng termino ay katumbas ng − 11 . Bigyang-pansin natin ang katotohanan na kapag ang coefficients b at/o c ay negatibo, pagkatapos ay gamitin maikling anyo mga tala tulad ng 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, hindi 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Linawin din natin ang aspetong ito: kung ang coefficients a at/o b pantay 1 o − 1 , pagkatapos ay hindi sila maaaring magkaroon ng tahasang bahagi sa pagsulat ng quadratic equation, na ipinaliwanag ng mga kakaibang katangian ng pagsulat ng mga ipinahiwatig na mga numerical coefficient. Halimbawa, sa quadratic equation y 2 − y + 7 = 0 ang nangungunang koepisyent ay 1, at ang pangalawang koepisyent ay − 1 .

Nabawasan at hindi nabawas na mga quadratic equation

Batay sa halaga ng unang koepisyent, nahahati ang mga quadratic equation sa nabawas at hindi nabawas.

Kahulugan 3

Pinababang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1. Para sa iba pang mga halaga ng nangungunang koepisyent, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Magbigay tayo ng mga halimbawa: ang mga quadratic equation x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 ay nababawasan, kung saan ang nangungunang koepisyent ay 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- unreduced quadratic equation, kung saan ang unang coefficient ay iba sa 1 .

Anumang unreduced quadratic equation ay maaaring ma-convert sa isang pinababang equation sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig sa unang coefficient (katumbas na pagbabago). Ang binagong equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat gaya ng ibinigay na unreduced equation o hindi rin magkakaroon ng mga ugat sa lahat.

Ang pagsasaalang-alang ng isang partikular na halimbawa ay magbibigay-daan sa amin upang malinaw na ipakita ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa 1

Ibinigay ang equation na 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Kinakailangang i-convert ang orihinal na equation sa pinababang anyo.

Solusyon

Ayon sa pamamaraan sa itaas, hinahati namin ang magkabilang panig ng orihinal na equation sa pamamagitan ng nangungunang koepisyent 6. Pagkatapos makuha namin: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, at ito ay kapareho ng: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 at higit pa: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Mula dito: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kaya, ang isang equation na katumbas ng ibinigay ay nakuha.

Sagot: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Bumaling tayo sa kahulugan ng isang quadratic equation. Sa loob nito ay tinukoy namin iyon isang ≠ 0. Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation a x 2 + b x + c = 0 ay tiyak na parisukat, dahil sa a = 0 ito ay mahalagang transforms sa linear equation b x + c = 0.

Sa kaso kapag ang mga coefficients b At c ay katumbas ng zero (na posible, parehong indibidwal at magkasanib), ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan 4

Hindi kumpletong quadratic equation- tulad ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, kung saan kahit isa sa mga coefficient b At c(o pareho) ay zero.

Kumpletuhin ang quadratic equation– isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Talakayin natin kung bakit ang mga uri ng quadratic equation ay binibigyan ng eksaktong mga pangalang ito.

Kapag b = 0, ang quadratic equation ay nasa anyo a x 2 + 0 x + c = 0, na kapareho ng a x 2 + c = 0. Sa c = 0 ang quadratic equation ay nakasulat bilang a x 2 + b x + 0 = 0, na katumbas a x 2 + b x = 0. Sa b = 0 At c = 0 ang equation ay kukuha ng anyo a x 2 = 0. Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba sa kumpletong quadratic equation dahil ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ay nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng equation - hindi kumpleto.

Halimbawa, ang x 2 + 3 x + 4 = 0 at − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ay mga kumpletong quadratic equation; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Ginagawang posible ng kahulugang ibinigay sa itaas na makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

• a x 2 = 0, ang equation na ito ay tumutugma sa mga coefficient b = 0 at c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 sa c = 0.

Isaalang-alang natin nang sunud-sunod ang solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong quadratic equation.

Solusyon ng equation a x 2 =0

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang equation na ito ay tumutugma sa mga coefficient b At c, katumbas ng zero. Equation a x 2 = 0 maaaring i-convert sa isang katumbas na equation x 2 = 0, na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng orihinal na equation sa numero a, hindi katumbas ng zero. Ang halatang katotohanan ay ang ugat ng equation x 2 = 0 ito ay zero dahil 0 2 = 0 . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na maaaring ipaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero p, hindi katumbas ng zero, totoo ang hindi pagkakapantay-pantay p 2 > 0, mula sa kung saan ito ay sumusunod na kapag p ≠ 0 pagkakapantay-pantay p 2 = 0 hindi kailanman makakamit.

Kahulugan 5

Kaya, para sa hindi kumpletong quadratic equation a x 2 = 0 mayroong isang ugat x = 0.

Halimbawa 2

Halimbawa, lutasin natin ang isang hindi kumpletong quadratic equation − 3 x 2 = 0. Ito ay katumbas ng equation x 2 = 0, ang tanging ugat nito ay x = 0, kung gayon ang orihinal na equation ay may iisang ugat - zero.

Sa madaling sabi, ang solusyon ay nakasulat tulad ng sumusunod:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Paglutas ng equation na a x 2 + c = 0

Susunod sa linya ay ang solusyon ng hindi kumpletong mga quadratic equation, kung saan b = 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 + c = 0. Ibahin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglipat ng term mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa, pagpapalit ng sign sa tapat ng isa at paghahati sa magkabilang panig ng equation sa isang numero na hindi katumbas ng zero:

• paglipat c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation a x 2 = − c;
• hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a, napupunta tayo sa x = - c a .

Ang aming mga pagbabago ay katumbas ng naaayon, ang resultang equation ay katumbas din ng orihinal, at ang katotohanang ito ay ginagawang posible upang makagawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation. Mula sa kung ano ang mga halaga a At c ang halaga ng expression - c a depende: maaari itong magkaroon ng minus sign (halimbawa, kung a = 1 At c = 2, pagkatapos - c a = - 2 1 = - 2) o isang plus sign (halimbawa, kung a = − 2 At c = 6, pagkatapos - c a = - 6 - 2 = 3); hindi ito zero dahil c ≠ 0. Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga sitwasyon kung kailan - c a< 0 и - c a > 0 .

Sa kaso kapag - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p ang pagkakapantay-pantay p 2 = - c a ay hindi maaaring totoo.

Ang lahat ay naiiba kapag - c a > 0: tandaan ang square root, at magiging halata na ang ugat ng equation x 2 = - c a ay ang numero - c a, dahil - c a 2 = - c a. Hindi mahirap unawain na ang bilang - - c a ay ang ugat din ng equation x 2 = - c a: sa katunayan, - - c a 2 = - c a.

Ang equation ay walang ibang mga ugat. Maipapakita natin ito gamit ang paraan ng kontradiksyon. Upang magsimula, tukuyin natin ang mga notasyon para sa mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang x 1 At − x 1. Ipagpalagay natin na ang equation x 2 = - c a ay mayroon ding ugat x 2, na iba sa mga ugat x 1 At − x 1. Alam natin iyon sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation x ang mga ugat nito, binabago natin ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay sa numero.

Para sa x 1 At − x 1 isinusulat namin: x 1 2 = - c a , at para sa x 2- x 2 2 = - c a . Batay sa mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero, binabawasan namin ang isang tamang termino ng pagkakapantay-pantay ayon sa termino mula sa isa pa, na magbibigay sa amin ng: x 1 2 − x 2 2 = 0. Ginagamit namin ang mga katangian ng mga pagpapatakbo na may mga numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ito ay kilala na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at lamang kung ang isa sa mga numero ay zero. Mula sa itaas ay sinusundan iyon x 1 − x 2 = 0 at/o x 1 + x 2 = 0, na pareho x 2 = x 1 at/o x 2 = − x 1. Isang malinaw na kontradiksyon ang lumitaw, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng equation x 2 iba sa x 1 At − x 1. Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang mga ugat maliban sa x = - c a at x = - - c a.

Isa-isahin natin ang lahat ng mga argumento sa itaas.

Kahulugan 6

Hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + c = 0 ay katumbas ng equation x 2 = - c a, na:

• ay walang mga ugat sa - c a< 0 ;
• magkakaroon ng dalawang ugat x = - c a at x = - - c a para sa - c a > 0.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation a x 2 + c = 0.

Halimbawa 3

Nabigyan ng quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0. Ito ay kinakailangan upang makahanap ng solusyon.

Solusyon

Ilipat natin ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay magkakaroon ng anyo ang equation 9 x 2 = − 7.
Hatiin natin ang magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9 , dumating tayo sa x 2 = - 7 9 . Sa kanang bahagi ay nakikita natin ang isang numero na may minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ay ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 ay hindi magkakaroon ng mga ugat.

Sagot: equation 9 x 2 + 7 = 0 walang ugat.

Halimbawa 4

Ang equation ay kailangang malutas − x 2 + 36 = 0.

Solusyon

Ilipat natin ang 36 sa kanang bahagi: − x 2 = − 36.
Hatiin natin ang dalawang bahagi sa pamamagitan ng − 1 , nakukuha namin x 2 = 36. Sa kanang bahagi - positibong numero, mula dito maaari nating tapusin na x = 36 o x = - 36 .
Kunin natin ang ugat at isulat ang huling resulta: hindi kumpletong quadratic equation − x 2 + 36 = 0 may dalawang ugat x=6 o x = − 6.

Sagot: x=6 o x = − 6.

Solusyon ng equation a x 2 +b x=0

Suriin natin ang ikatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation, kung kailan c = 0. Upang makahanap ng solusyon sa isang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0, gagamitin natin ang paraan ng factorization. I-factorize natin ang polynomial na nasa kaliwang bahagi ng equation, na inaalis ang common factor sa mga bracket x. Ang hakbang na ito ay gagawing posible na baguhin ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation sa katumbas nito x (a x + b) = 0. At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng isang set ng mga equation x = 0 At a x + b = 0. Equation a x + b = 0 linear, at ang ugat nito: x = − b a.

Kahulugan 7

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0 magkakaroon ng dalawang ugat x = 0 At x = − b a.

Palakasin natin ang materyal gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa 5

Kinakailangang maghanap ng solusyon sa equation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solusyon

Ilalabas natin x sa labas ng mga bracket ay nakukuha natin ang equation na x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation x = 0 at 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ngayon ay dapat mong lutasin ang resultang linear equation: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Maikling isulat ang solusyon sa equation tulad ng sumusunod:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Sagot: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Upang makahanap ng mga solusyon sa mga quadratic equation, mayroong isang root formula:

Kahulugan 8

x = - b ± D 2 · a, kung saan D = b 2 − 4 a c– ang tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation.

Ang pagsulat ng x = - b ± D 2 · esensyal ay nangangahulugan na x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano hinango ang formula na ito at kung paano ito ilalapat.

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Harapin natin ang gawain ng paglutas ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0. Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

• hatiin ang magkabilang panig ng equation sa isang numero a, naiiba sa zero, nakukuha natin ang sumusunod na quadratic equation: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Piliin natin ang kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi ng resultang equation:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng anyo: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Ngayon ay posible na ilipat ang huling dalawang termino sa kanang bahagi, binabago ang pag-sign sa kabaligtaran, pagkatapos nito makuha namin ang: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Sa wakas, binabago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Kaya, dumating tayo sa equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , katumbas ng orihinal na equation a x 2 + b x + c = 0.

Sinuri namin ang solusyon ng naturang mga equation sa mga nakaraang talata (paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation). Ang karanasang natamo ay ginagawang posible na makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• na may b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kapag b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ang equation ay x + b 2 · a 2 = 0, pagkatapos ay x + b 2 · a = 0.

Mula dito ang tanging ugat x = - b 2 · a ay halata;

• para sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ang mga sumusunod ay magiging totoo: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , na kapareho ng x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ibig sabihin. ang equation ay may dalawang ugat.

Posibleng tapusin na ang pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa tanda ng expression na b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 na nakasulat sa kanang bahagi. At ang tanda ng pagpapahayag na ito ay ibinibigay ng tanda ng numerator, (denominator 4 a 2 ay palaging magiging positibo), iyon ay, ang tanda ng pagpapahayag b 2 − 4 a c. Ang ekspresyong ito b 2 − 4 a c ibinigay ang pangalan - ang discriminant ng quadratic equation at ang letrang D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng discriminant - batay sa halaga at tanda nito, maaari nilang tapusin kung ang quadratic equation ay magkakaroon ng tunay na mga ugat, at, kung gayon, ano ang bilang ng mga ugat - isa o dalawa.

Bumalik tayo sa equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Isulat muli natin ito gamit ang discriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Bumuo tayo muli ng ating mga konklusyon:

Kahulugan 9

• sa D< 0 ang equation ay walang tunay na ugat;
• sa D=0 ang equation ay may iisang ugat x = - b 2 · a ;
• sa D > 0 ang equation ay may dalawang ugat: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 o x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Batay sa mga katangian ng mga radical, ang mga ugat na ito ay maaaring isulat sa anyo: x = - b 2 · a + D 2 · a o - b 2 · a - D 2 · a. At, kapag binuksan natin ang mga module at dinala ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, makakakuha tayo ng: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Kaya, ang resulta ng aming pangangatwiran ay ang derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D kinakalkula ng formula D = b 2 − 4 a c.

Ginagawang posible ng mga formula na ito na matukoy ang parehong tunay na mga ugat kapag ang discriminant ay mas malaki sa zero. Kapag ang discriminant ay zero, ang paglalapat ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat, bilang ang tanging solusyon quadratic equation. Sa kaso kung saan negatibo ang discriminant, kung susubukan nating gamitin ang formula para sa ugat ng isang quadratic equation, haharap tayo sa pangangailangang kunin parisukat na ugat mula sa negatibong numero, na magdadala sa atin nang higit sa totoong mga numero. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay hindi magkakaroon ng mga tunay na ugat, ngunit posible ang isang pares ng kumplikadong conjugate root, na tinutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Posibleng lutasin ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng kaagad na paggamit ng root formula, ngunit ito ay karaniwang ginagawa kapag kinakailangan upang makahanap ng mga kumplikadong ugat.

Sa karamihan ng mga kaso, karaniwang nangangahulugan ito ng paghahanap hindi para sa kumplikado, ngunit para sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Kung gayon, pinakamainam, bago gamitin ang mga pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, upang matukoy muna ang discriminant at tiyaking hindi ito negatibo (kung hindi man ay ipapasiya natin na ang equation ay walang tunay na mga ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang kalkulahin ang halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay ginagawang posible na magbalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation.

Kahulugan 10

Upang malutas ang isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, kailangan:

• ayon sa pormula D = b 2 − 4 a c hanapin ang discriminant value;
• sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para sa D = 0, hanapin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula x = - b 2 · a ;
• para sa D > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat ng quadratic equation gamit ang formula x = - b ± D 2 · a.

Tandaan na kapag ang discriminant ay zero, maaari mong gamitin ang formula x = - b ± D 2 · a, ito ay magbibigay ng parehong resulta tulad ng formula x = - b 2 · a.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Bigyan natin ng solusyon ang mga halimbawa para sa iba't ibang kahulugan may diskriminasyon.

Halimbawa 6

Kailangan nating hanapin ang mga ugat ng equation x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solusyon

Isulat natin ang mga numerical coefficient ng quadratic equation: a = 1, b = 2 at c = − 6. Susunod ay nagpapatuloy kami ayon sa algorithm, i.e. Simulan nating kalkulahin ang discriminant, kung saan papalitan natin ang mga coefficient a, b At c sa discriminant formula: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Kaya nakuha namin ang D> 0, na nangangahulugan na ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x = - b ± D 2 · a at, pinapalitan ang kaukulang mga halaga, nakukuha namin ang: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pasimplehin natin ang resultang expression sa pamamagitan ng pag-alis ng factor sa root sign at pagkatapos ay bawasan ang fraction:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7

Sagot: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1-7 .

Halimbawa 7

Kailangang lutasin ang isang quadratic equation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solusyon

Tukuyin natin ang discriminant: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ganitong halaga ng discriminant, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

Sagot: x = 3.5.

Halimbawa 8

Ang equation ay kailangang malutas 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Solusyon

Ang mga numerical coefficient ng equation na ito ay magiging: a = 5, b = 6 at c = 2. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang mahanap ang discriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Ang kinakalkula na discriminant ay negatibo, kaya ang orihinal na quadratic equation ay walang tunay na ugat.

Sa kaso kapag ang gawain ay upang ipahiwatig ang mga kumplikadong ugat, inilalapat namin ang root formula, na gumaganap ng mga aksyon na may mga kumplikadong numero:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 o x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i o x = - 3 5 - 1 5 · i.

Sagot: walang tunay na mga ugat; ang mga kumplikadong ugat ay ang mga sumusunod: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

SA kurikulum ng paaralan Walang pamantayang kinakailangan upang maghanap ng mga kumplikadong ugat, samakatuwid, kung sa panahon ng solusyon ang discriminant ay natukoy na negatibo, ang sagot ay agad na isusulat na walang tunay na mga ugat.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang root formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) ay ginagawang posible na makakuha ng isa pang formula, mas compact, na nagpapahintulot sa isa na makahanap ng mga solusyon sa quadratic equation na may pantay na koepisyent para sa x ( o may isang koepisyent ng anyo 2 · n, halimbawa, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ipakita natin kung paano hinango ang formula na ito.

Harapin natin ang gawain ng paghahanap ng solusyon sa quadratic equation a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nagpapatuloy kami ayon sa algorithm: tinutukoy namin ang discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), at pagkatapos ay gamitin ang root formula:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Hayaang ang expression n 2 − a · c ay denoted bilang D 1 (kung minsan ito ay denoted D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation na isinasaalang-alang sa pangalawang coefficient 2 · n ay kukuha ng anyo:

x = - n ± D 1 a, kung saan D 1 = n 2 − a · c.

Madaling makita na D = 4 · D 1, o D 1 = D 4. Sa madaling salita, ang D 1 ay isang quarter ng discriminant. Malinaw, ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D, na nangangahulugang ang tanda ng D 1 ay maaari ding magsilbi bilang isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Kahulugan 11

Kaya, upang makahanap ng solusyon sa isang quadratic equation na may pangalawang coefficient na 2 n, kinakailangan:

• hanapin ang D 1 = n 2 − a · c ;
• sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kapag D 1 = 0, tukuyin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula x = - n a;
• para sa D 1 > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat gamit ang formula x = - n ± D 1 a.

Halimbawa 9

Kinakailangang lutasin ang quadratic equation 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solusyon

Maaari nating katawanin ang pangalawang koepisyent ng ibinigay na equation bilang 2 · (− 3) . Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kung saan ang a = 5, n = − 3 at c = − 32.

Kalkulahin natin ang ikaapat na bahagi ng discriminant: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Ang resultang halaga ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tukuyin natin ang mga ito gamit ang kaukulang root formula:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 o x = - 2

Posibleng magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas mahirap.

Sagot: x = 3 1 5 o x = - 2 .

Pagpapasimple sa anyo ng mga quadratic equation

Minsan posible na i-optimize ang anyo ng orihinal na equation, na magpapasimple sa proseso ng pagkalkula ng mga ugat.

Halimbawa, ang quadratic equation na 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ay malinaw na mas maginhawang lutasin kaysa 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig nito sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa itaas ay nagpakita kami ng pinasimple na representasyon ng equation na 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng 100.

Ang ganitong pagbabago ay posible kapag ang mga coefficient ng quadratic equation ay hindi magkapareho mga pangunahing numero. Pagkatapos ay karaniwang hinahati natin ang magkabilang panig ng equation sa pinakamalaki karaniwang divisor ganap na mga halaga mga coefficient nito.

Bilang halimbawa, ginagamit namin ang quadratic equation 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Tukuyin natin ang GCD ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Hatiin natin ang magkabilang panig ng orihinal na quadratic equation sa pamamagitan ng 6 at makuha ang katumbas na quadratic equation na 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng isang quadratic equation, karaniwan mong inaalis ang mga fractional coefficient. Sa kasong ito, dumarami sila sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominator ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng quadratic equation 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 ay i-multiply sa LCM (6, 3, 1) = 6, kung gayon ito ay isusulat sa mas maraming sa simpleng anyo x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Sa wakas, tandaan namin na halos palaging inaalis namin ang minus sa unang koepisyent ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng bawat termino ng equation, na nakakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghahati) sa magkabilang panig ng -1. Halimbawa, mula sa quadratic equation − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, maaari kang pumunta sa pinasimpleng bersyon nito 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient

Ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation, na alam na natin, x = - b ± D 2 · a, ay nagpapahayag ng mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga numerical coefficient nito. Batay sa formula na ito, mayroon kaming pagkakataon na tukuyin ang iba pang mga dependency sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Ang pinakatanyag at naaangkop na mga pormula ay ang teorama ni Vieta:

x 1 + x 2 = - b a at x 2 = c a.

Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation ang kabuuan ng mga ugat ay ang pangalawang coefficient na may kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagtingin sa anyo ng quadratic equation 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, posibleng matukoy kaagad na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3 at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.

Makakahanap ka rin ng ilang iba pang koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga coefficient:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ay naiiba sa mga klasikal (kumpleto) na equation dahil ang mga kadahilanan o libreng term nito ay katumbas ng zero. Ang mga graph ng naturang mga function ay parabolas. Depende sa kanilang pangkalahatang hitsura, nahahati sila sa 3 grupo. Ang mga prinsipyo ng solusyon para sa lahat ng uri ng mga equation ay pareho.

Walang kumplikado sa pagtukoy sa uri ng isang hindi kumpletong polynomial. Pinakamainam na isaalang-alang ang mga pangunahing pagkakaiba gamit ang mga visual na halimbawa:

1. Kung b = 0, ang equation ay ax 2 + c = 0.
2. Kung c = 0, dapat lutasin ang expression na ax 2 + bx = 0.
3. Kung b = 0 at c = 0, ang polynomial ay nagiging equality tulad ng ax 2 = 0.

Ang huling kaso ay higit pa sa isang teoretikal na posibilidad at hindi kailanman nangyayari sa mga gawain sa pagsubok ng kaalaman, dahil ang tanging tamang halaga ng variable na x sa expression ay zero. Sa hinaharap, isasaalang-alang ang mga pamamaraan at halimbawa ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation ng 1) at 2) na uri.

Pangkalahatang algorithm para sa paghahanap ng mga variable at mga halimbawa na may mga solusyon

Anuman ang uri ng equation, ang algorithm ng solusyon ay binabawasan sa mga sumusunod na hakbang:

1. Bawasan ang expression sa isang form na maginhawa para sa paghahanap ng mga ugat.
2. Magsagawa ng mga kalkulasyon.
3. Isulat ang sagot.

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang mga hindi kumpletong equation ay ang pagsasaliksik sa kanila kaliwang bahagi at nag-iiwan ng zero sa kanan. Kaya, ang formula para sa isang hindi kumpletong quadratic equation para sa paghahanap ng mga ugat ay nabawasan sa pagkalkula ng halaga ng x para sa bawat isa sa mga kadahilanan.

Maaari mo lamang matutunan kung paano lutasin ito sa pagsasanay, kaya isaalang-alang natin kongkretong halimbawa paghahanap ng mga ugat ng isang hindi kumpletong equation:

Tulad ng makikita, sa sa kasong ito b = 0. I-factorize natin ang kaliwang bahagi at makuha ang expression:

4(x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

Malinaw, ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Ang mga halaga ng variable na x1 = 0.5 at (o) x2 = -0.5 ay nakakatugon sa mga katulad na kinakailangan.

Upang madali at mabilis na makayanan ang gawain ng agnas quadratic trinomial sa mga kadahilanan, tandaan ang sumusunod na formula:

Kung walang libreng termino sa expression, ang problema ay lubos na pinasimple. Ito ay sapat na upang mahanap at bracket karaniwang denominador. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang halimbawa kung paano lutasin ang mga hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax2 + bx = 0.

Alisin natin ang variable x sa mga bracket at kunin ang sumusunod na expression:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Ginagabayan ng lohika, dumating tayo sa konklusyon na x1 = 0, at x2 = -3.

Tradisyunal na paraan ng solusyon at hindi kumpletong quadratic equation

Ano ang mangyayari kung ilalapat mo ang discriminant formula at susubukan mong hanapin ang mga ugat ng isang polynomial na may mga coefficient na katumbas ng zero? Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa koleksyon karaniwang mga gawain para sa Unified State Examination in Mathematics 2017, lulutasin natin ito gamit ang mga karaniwang formula at ang paraan ng factorization.

7x 2 – 3x = 0.

Kalkulahin natin ang discriminant value: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Lumalabas na ang polynomial ay may dalawang ugat:

Ngayon, lutasin natin ang equation sa pamamagitan ng factoring at ihambing ang mga resulta.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga pamamaraan ay nagbibigay ng parehong resulta, ngunit ang paglutas ng equation gamit ang pangalawang paraan ay mas madali at mas mabilis.

Ang teorama ni Vieta

Ngunit ano ang gagawin sa paboritong teorama ni Vieta? Maaari bang gamitin ang pamamaraang ito kapag hindi kumpleto ang trinomial? Subukan nating maunawaan ang mga aspeto ng pagdadala ng mga hindi kumpletong equation klasikong hitsura ax2 + bx + c = 0.

Sa katunayan, posibleng ilapat ang teorama ni Vieta sa kasong ito. Kinakailangan lamang na dalhin ang expression sa pangkalahatang anyo nito, na pinapalitan ang mga nawawalang termino ng zero.

Halimbawa, na may b = 0 at a = 1, upang maalis ang posibilidad ng pagkalito, ang gawain ay dapat na nakasulat sa anyo: ax2 + 0 + c = 0. Pagkatapos ay ang ratio ng kabuuan at produkto ng mga ugat at Ang mga kadahilanan ng polynomial ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

Nakakatulong ang mga teoretikal na kalkulasyon upang makilala ang kakanyahan ng isyu, at palaging nangangailangan ng mga kasanayan sa pagsasanay kapag nagresolba mga tiyak na gawain. Muli nating buksan ang sangguniang aklat ng mga karaniwang gawain para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado at humanap ng angkop na halimbawa:

Isulat natin ang expression sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng teorama ni Vieta:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Ang susunod na hakbang ay upang lumikha ng isang sistema ng mga kondisyon:

Malinaw, ang mga ugat ng quadratic polynomial ay magiging x 1 = 4 at x 2 = -4.

Ngayon, magsanay tayo na dalhin ang equation sa pangkalahatang anyo nito. Kunin natin ang sumusunod na halimbawa: 1/4× x 2 – 1 = 0

Upang mailapat ang teorama ni Vieta sa isang pagpapahayag, kinakailangan na alisin ang fraction. I-multiply natin ang kaliwa at kanang panig sa 4, at tingnan ang resulta: x2– 4 = 0. Ang resultang pagkakapantay-pantay ay handa nang lutasin ng teorama ni Vieta, ngunit mas madali at mas mabilis na makuha ang sagot sa pamamagitan lamang ng paglipat ng c = 4 sa kanang bahagi ng equation: x2 = 4.

Upang buod, dapat itong sabihin na ang pinakamahusay na paraan paglutas ng hindi kumpletong equation ay factorization, ay ang pinakasimpleng at mabilis na paraan. Kung ang mga paghihirap ay lumitaw sa proseso ng paghahanap ng mga ugat, maaari kang makipag-ugnay tradisyonal na pamamaraan paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng isang discriminant.

Magtrabaho tayo quadratic equation. Ang mga ito ay napakapopular na mga equation! Sa pinaka pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura ng quadratic equation:

Halimbawa:

Dito A =1; b = 3; c = -4

Dito A =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito A =-3; b = 6; c = -18

Well, naiintindihan mo...

Paano malutas ang mga quadratic equation? Kung mayroon kang isang quadratic equation sa harap mo sa form na ito, kung gayon ang lahat ay simple. Tandaan natin mahiwagang salita may diskriminasyon . Bihira ang isang high school student na hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "wesolve through a discriminant" inspires confidence and reassurance. Dahil hindi na kailangang umasa ng mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa paggamit. Kaya, ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito ang hitsura:

Ang ekspresyon sa ilalim ng tanda ng ugat ay ang isa may diskriminasyon. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa isang quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c Ito ang formula na aming kinakalkula. Palitan natin gamit ang iyong sariling mga palatandaan! Halimbawa, para sa unang equation A =1; b = 3; c= -4. Narito isulat namin ito:

Ang halimbawa ay halos malutas:

yun lang.

Anong mga kaso ang posible kapag ginagamit ang formula na ito? May tatlong kaso lang.

1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na ang ugat ay maaaring makuha mula dito. Kung ang ugat ay nakuha ng mabuti o hindi maganda ay isa pang tanong. Ang mahalaga ay kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay mayroon kang isang solusyon. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit ito ay gumaganap ng isang papel sa hindi pagkakapantay-pantay, kung saan pag-aaralan natin ang isyu nang mas detalyado.

3. Negatibo ang discriminant. Ang square root ng isang negatibong numero ay hindi maaaring kunin. Oh well. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Ito ay napaka-simple. At ano, sa palagay mo imposibleng magkamali? Well, oo, paano...
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b at c. O sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang nakakatulong dito ay isang detalyadong pagtatala ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin mo yan!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng humigit-kumulang 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya At ang bilang ng mga error ay bababa nang husto. Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:

Mukhang hindi kapani-paniwalang mahirap isulat nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan ito. Well, o pumili. Ano ang mas mahusay, mabilis o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang isulat ang lahat nang napakaingat. Gagana ito nang mag-isa. Lalo na kung gagamit ka mga praktikal na pamamaraan, na inilalarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may isang bungkos ng mga minus ay madaling malutas at walang mga pagkakamali!

Kaya, kung paano malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na naalala natin. O natuto sila, na maganda rin. Alam mo kung paano matukoy nang tama a, b at c. Alam mo ba kung paano? matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin bilangin ang resulta. Naiintindihan mo na ang pangunahing salita dito ay matulungin?

Gayunpaman, ang mga quadratic equation ay madalas na mukhang bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ito hindi kumpletong quadratic equation . Maaari din silang malutas sa pamamagitan ng isang discriminant. Kailangan mo lang maunawaan ng tama kung ano ang mga ito ay katumbas dito. a, b at c.

Naisip mo na ba ito? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; A c? Ito ay wala doon sa lahat! Well oo, tama iyan. Sa matematika ang ibig sabihin nito ay c = 0 ! yun lang. Ipalit ang zero sa formula sa halip c, at magtatagumpay tayo. Pareho sa pangalawang halimbawa. Wala lang tayong zero dito Sa, A b !

Ngunit ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay maaaring malutas nang mas simple. Nang walang anumang diskriminasyon. Isaalang-alang natin ang una hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin sa kaliwang bahagi? Maaari mong alisin ang X sa mga bracket! Ilabas na natin.

Kaya paano ito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag maniwala sa akin? Okay, pagkatapos ay bumuo ng dalawang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
hindi gumagana? yun lang...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x = 0, o x = 4

Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong angkop. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha namin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Gaya ng nakikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa paggamit ng isang discriminant.

Ang pangalawang equation ay maaari ding malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Ito ay lalabas:

Dalawang ugat din . x = +3 at x = -3.

Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng X sa labas ng mga bracket, o simpleng paglipat mga numero sa kanan at pagkatapos ay i-extract ang ugat.
Napakahirap lituhin ang mga diskarteng ito. Dahil lang sa unang kaso kailangan mong kunin ang ugat ng X, na sa paanuman ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket...

Ngayon pansinin ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang parehong mga dahil sa kawalan ng pansin... Kung saan sa kalaunan ay nagiging masakit at nakakasakit...

Unang appointment. Huwag maging tamad bago lutasin ang isang quadratic equation at dalhin ito sa karaniwang anyo. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c. Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. ganito:

At muli, huwag magmadali! Ang isang minus sa harap ng isang X squared ay maaari talagang magalit sa iyo. Madaling kalimutan... Tanggalin ang minus. Paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa. Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Ayon sa teorama ni Vieta. Huwag kang matakot, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huli equation. Yung. ang ginamit namin para isulat ang root formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, ang pagsuri sa mga ugat ay madali. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Ang resulta ay dapat na isang libreng miyembro, i.e. sa aming kaso -2. Mangyaring tandaan, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro kasama ang iyong tanda . Kung hindi ito gumana, nangangahulugan ito na nasiraan ka na sa isang lugar. Hanapin ang error. Kung ito ay gumagana, kailangan mong idagdag ang mga ugat. Huling at huling pagsusuri. Ang koepisyent ay dapat b Sa kabaligtaran pamilyar. Sa aming kaso -1+2 = +1. Isang koepisyent b, na nasa harap ng X, ay katumbas ng -1. Kaya, lahat ay tama!
Nakakalungkot na napakasimple lang nito para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay purong, na may koepisyent. a = 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang gayong mga equation! Lahat mas kaunting mga error kalooban.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa isang common denominator gaya ng inilarawan sa nakaraang seksyon. Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, patuloy na gumagapang ang mga error sa ilang kadahilanan...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na pasimplehin ang masamang halimbawa sa isang bungkos ng mga minus. Pakiusap! Heto siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:

yun lang! Ang paglutas ay isang kasiyahan!

Kaya, sabihin buod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang factor.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling ma-verify gamit ang Vieta's theorem. Gawin mo!

Fractional equation. ODZ.

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga equation. Alam na natin kung paano gumawa ng mga linear at quadratic na equation. Ang huling view na natitira - mga fractional equation. O tinatawag din silang higit na kagalang-galang - fractional rational equation . Ito ay ang parehong bagay.

Fractional equation.

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga equation na ito ay kinakailangang naglalaman ng mga fraction. Ngunit hindi lamang mga fraction, ngunit mga fraction na mayroon hindi alam sa denominator. Hindi bababa sa isa. Halimbawa:

Ipaalala ko sa iyo na kung ang mga denominador ay lamang mga numero, ito ay mga linear na equation.

Paano magdesisyon mga fractional equation? Una sa lahat, alisin ang mga fraction! Pagkatapos nito, ang equation ay madalas na nagiging linear o quadratic. At pagkatapos ay alam namin kung ano ang gagawin... Sa ilang mga kaso maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5=5 o isang hindi tamang expression, tulad ng 7=2. Ngunit bihira itong mangyari. Babanggitin ko ito sa ibaba.

Ngunit paano mapupuksa ang mga fraction!? Napakasimple. Paglalapat ng magkaparehong pagbabagong-anyo.

Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa parehong expression. Upang ang lahat ng mga denominador ay nabawasan! Ang lahat ay agad na magiging mas madali. Hayaan akong ipaliwanag sa isang halimbawa. Kailangan nating lutasin ang equation:

Gaya ng itinuro sa mga junior class? Inilipat namin ang lahat sa isang tabi, dalhin ito sa isang karaniwang denominator, atbp. Kalimutan kung paano masamang panaginip! Ito ang kailangan mong gawin kapag nagdagdag o nagbawas ng mga fraction. O nagtatrabaho ka sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad nating i-multiply ang magkabilang panig ng isang expression na magbibigay sa atin ng pagkakataong bawasan ang lahat ng denominator (i.e., sa esensya, ng isang common denominator). At ano ang expression na ito?

Sa kaliwang bahagi, ang pagbabawas ng denominator ay nangangailangan ng pagpaparami ng x+2. At sa kanan, kailangan ang multiplication sa 2. Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat i-multiply sa 2(x+2). Multiply:

Ito ay isang karaniwang multiplikasyon ng mga fraction, ngunit ilalarawan ko ito nang detalyado:

Pakitandaan na hindi ko pa binubuksan ang bracket (x + 2)! Kaya, sa kabuuan nito, isinulat ko ito:

Sa kaliwang bahagi ito ay ganap na nagkontrata (x+2), at sa kanan 2. Alin ang kinakailangan! Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin linear equation:

At lahat ay maaaring malutas ang equation na ito! x = 2.

Lutasin natin ang isa pang halimbawa, medyo mas kumplikado:

Kung naaalala natin na 3 = 3/1, at 2x = 2x/ 1, maaari nating isulat:

At muli, inaalis natin ang hindi natin gusto - mga fraction.

Nakikita natin na upang mabawasan ang denominator na may X, kailangan nating i-multiply ang fraction sa (x – 2). At ang iilan ay hindi hadlang sa amin. Well, paramihin natin. Lahat kaliwang bahagi at lahat kanang bahagi:

Panaklong muli (x – 2) Hindi ako nagsisiwalat. Nagtatrabaho ako sa bracket bilang isang buo na parang isang numero! Ito ay dapat palaging gawin, kung hindi, walang mababawasan.

Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan binabawasan namin (x – 2) at nakakakuha tayo ng equation na walang anumang fraction, na may ruler!

Ngayon buksan natin ang mga bracket:

Nagdadala kami ng mga katulad, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makakuha ng:

Klasikong quadratic equation. Ngunit ang minus sa unahan ay hindi maganda. Maaari mong palaging mapupuksa ito sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa -1. Ngunit kung titingnan mong mabuti ang halimbawa, mapapansin mo na pinakamahusay na hatiin ang equation na ito sa -2! Sa isang iglap, ang minus ay mawawala, at ang mga posibilidad ay magiging mas kaakit-akit! Hatiin sa -2. Sa kaliwang bahagi - termino ayon sa termino, at sa kanan - hatiin lamang ang zero sa -2, zero at makuha natin ang:

Niresolba namin ang discriminant at sinusuri gamit ang theorem ng Vieta. Nakukuha namin x = 1 at x = 3. Dalawang ugat.

Tulad ng nakikita mo, sa unang kaso ang equation pagkatapos ng pagbabagong-anyo ay naging linear, ngunit dito ito ay nagiging parisukat. Nangyayari na pagkatapos maalis ang mga fraction, lahat ng X ay nabawasan. May natitira, tulad ng 5=5. Ibig sabihin nito x ay maaaring maging kahit ano. Kung ano man yan, mababawasan pa rin. At ito ay lumabas na purong katotohanan, 5=5. Ngunit, pagkatapos maalis ang mga fraction, maaari itong maging ganap na hindi totoo, tulad ng 2=7. At ito ay nangangahulugan na walang solusyon! Ang alinmang X ay lumalabas na hindi totoo.

Napagtanto ang pangunahing solusyon mga fractional equation ? Ito ay simple at lohikal. Binabago natin ang orihinal na ekspresyon para mawala ang lahat ng hindi natin gusto. O nakakasagabal ito. Sa kasong ito, ito ay mga fraction. Gayon din ang gagawin natin sa lahat ng uri ng kumplikadong mga halimbawa na may logarithms, sines at iba pang kakila-kilabot. Kami Laging Alisin na natin ang lahat ng ito.

Gayunpaman, kailangan nating baguhin ang orihinal na expression sa direksyon na kailangan natin ayon sa mga tuntunin, oo... Ang karunungan nito ay paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika. Kaya't pinagkadalubhasaan namin ito.

Ngayon ay matututunan natin kung paano i-bypass ang isa sa pangunahing ambus sa Unified State Exam! Ngunit una, tingnan natin kung nahulog ka ba dito o hindi?

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Ang bagay ay pamilyar na, pinarami namin ang magkabilang panig (x – 2), nakukuha namin ang:

Paalala ko sa iyo, may mga bracket (x – 2) Nagtatrabaho kami na parang may isa, integral na expression!

Dito hindi na ako sumulat ng isa sa mga denominador, ito ay hindi marangal... At hindi ako gumuhit ng mga bracket sa mga denominator, maliban sa x – 2 walang anuman, hindi mo kailangang gumuhit. Paikliin natin:

Buksan ang mga panaklong, ilipat ang lahat sa kaliwa, at magbigay ng mga katulad:

Malutas namin, suriin, nakakuha kami ng dalawang ugat. x = 2 At x = 3. Mahusay.

Ipagpalagay na ang takdang-aralin ay nagsasabi na isulat ang ugat, o ang kanilang kabuuan kung mayroong higit sa isang ugat. Ano ang isusulat natin?

Kung magpasya kang ang sagot ay 5, ikaw ay tinambangan. At ang gawain ay hindi mai-kredito sa iyo. Nagtrabaho sila nang walang kabuluhan... Ang tamang sagot ay 3.

Anong meron?! At subukan mong gumawa ng tseke. Palitan ang mga halaga ng hindi alam sa orihinal halimbawa. At kung sa x = 3 lahat ay lalago nang kahanga-hanga, makakakuha tayo ng 9 = 9, pagkatapos ay kailan x = 2 Ito ay magiging dibisyon ng zero! Ang talagang hindi mo magagawa. ibig sabihin x = 2 ay hindi isang solusyon, at hindi isinasaalang-alang sa sagot. Ito ang tinatawag na extraneous o extra root. Itatapon na lang namin. Ang huling ugat ay isa. x = 3.

Paano kaya?! – Nakarinig ako ng mga galit na bulalas. Itinuro sa amin na ang isang equation ay maaaring i-multiply sa isang expression! Ito ay isang magkatulad na pagbabagong-anyo!

Oo, magkapareho. Sa ilalim ng isang maliit na kondisyon - ang expression kung saan tayo nagpaparami (hatiin) - iba sa zero. A x – 2 sa x = 2 katumbas ng zero! Kaya lahat ay patas.

Kaya ano ang dapat nating gawin ngayon?! Huwag i-multiply sa expression? Dapat ko bang suriin sa bawat oras? Muli itong hindi malinaw!

mahinahon! Huwag mag-panic!

Sa mahirap na sitwasyong ito, tatlong magic letter ang magliligtas sa atin. Alam ko kung ano ang iniisip mo. Tama! Ito ODZ . Lugar ng Mga Katanggap-tanggap na Halaga.

Umaasa ako na pagkatapos pag-aralan ang artikulong ito matututunan mo kung paano hanapin ang mga ugat ng isang kumpletong quadratic equation.

Gamit ang discriminant, ang mga kumpletong quadratic equation lamang ang malulutas;

Anong mga quadratic equation ang tinatawag na complete? Ito mga equation ng anyong ax 2 + b x + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang isang kumpletong quadratic equation, kailangan nating kalkulahin ang discriminant D.

D = b 2 – 4ac.

Depende sa halaga ng discriminant, isusulat namin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.

Kung zero ang discriminant, x = (-b)/2a. Kapag ang discriminant ay isang positibong numero (D > 0),

pagkatapos x 1 = (-b - √D)/2a, at x 2 = (-b + √D)/2a.

Halimbawa. Lutasin ang equation x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Sagot: 2.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Sagot: walang ugat.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Sagot: – 3.5; 1.

Kaya isipin natin ang solusyon ng kumpletong quadratic equation gamit ang diagram sa Figure 1.

Gamit ang mga formula na ito maaari mong lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation. Kailangan mo lang mag-ingat ang equation ay isinulat bilang polynomial ng karaniwang anyo

A x 2 + bx + c, kung hindi, maaari kang magkamali. Halimbawa, sa pagsulat ng equation na x + 3 + 2x 2 = 0, maaari kang magkamali na magpasya na

a = 1, b = 3 at c = 2. Pagkatapos

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 at pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang solusyon sa halimbawa 2 sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi isinulat bilang polynomial ng standard form, dapat muna ang kumpletong quadratic equation ay isulat bilang polynomial ng standard form (ang monomial na may pinakamalaking exponent ay dapat mauna, iyon ay. A x 2 , pagkatapos ay may mas kaunti – bx at pagkatapos ay isang libreng miyembro Sa.

Kapag nilulutas ang pinababang quadratic equation at isang quadratic equation na may even coefficient sa pangalawang termino, maaari kang gumamit ng iba pang mga formula. Kilalanin natin ang mga formula na ito. Kung sa isang kumpletong quadratic equation ang coefficient sa pangalawang termino ay kahit na (b = 2k), pagkatapos ay maaari mong lutasin ang equation gamit ang mga formula na ibinigay sa diagram sa Figure 2.

Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na reduced kung ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng isa at ang equation ay nasa anyo x 2 + px + q = 0. Ang ganitong equation ay maaaring ibigay para sa solusyon, o maaari itong makuha sa pamamagitan ng paghati sa lahat ng coefficient ng equation sa coefficient. A, nakatayo sa x 2 .

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang diagram para sa paglutas ng pinababang parisukat
mga equation. Tingnan natin ang isang halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na tinalakay sa artikulong ito.

Halimbawa. Lutasin ang equation

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Lutasin natin ang equation na ito gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3

Mapapansin mo na ang coefficient ng x sa equation na ito ay isang even number, iyon ay, b = 6 o b = 2k, kung saan k = 3. Pagkatapos ay subukan nating lutasin ang equation gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram ng figure D. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3. Napansin na ang lahat ng mga coefficient sa quadratic equation na ito ay nahahati ng 3 at nagsasagawa ng division, nakukuha natin ang pinababang quadratic equation x 2 + 2x – 2 = 0 Solve ang equation na ito gamit ang mga formula para sa reduced quadratic.
equation figure 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang equation na ito gamit ang iba't ibang mga formula, nakatanggap kami ng parehong sagot. Samakatuwid, nang lubusan mong pinagkadalubhasaan ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1, palagi mong magagawang lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation.

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Quadratic equation - madaling lutasin! *Pagkatapos nito ay tinukoy bilang "KU". Mga kaibigan, tila wala nang mas simple sa matematika kaysa sa paglutas ng gayong equation. Pero may nagsabi sa akin na maraming tao ang may problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming on-demand na mga impression ang ibinibigay ng Yandex bawat buwan. Narito ang nangyari, tingnan mo:

Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 70,000 tao bawat buwan ang naghahanap impormasyong ito, ano ang kinalaman ng tag-init na ito, at kung ano ang mangyayari sa akademikong taon— magkakaroon ng dobleng dami ng mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga lalaki at babae na nagtapos sa paaralan nang matagal na ang nakalipas at naghahanda para sa Unified State Exam ay naghahanap ng impormasyong ito, at nagsusumikap din ang mga mag-aaral na i-refresh ang kanilang memorya.

Sa kabila ng katotohanan na maraming mga site na nagsasabi sa iyo kung paano lutasin ang equation na ito, nagpasya akong mag-ambag din at mag-publish ng materyal. Una, gusto kong pumunta ang mga bisita sa aking site batay sa kahilingang ito; pangalawa, sa ibang mga artikulo, kapag lumabas ang paksang "KU", magbibigay ako ng link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang higit pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa ibang mga site. Magsimula na tayo! Mga nilalaman ng artikulo:

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:

kung saan ang mga coefficient a,bat kasama di-makatwirang mga numero, kung saan ang a≠0.

SA kurso sa paaralan ang materyal ay ibinibigay sa sumusunod na anyo - ang mga equation ay kondisyon na nahahati sa tatlong klase:

1. Mayroon silang dalawang ugat.

2. *Magkaroon lamang ng isang ugat.

3. Wala silang mga ugat. Ito ay nagkakahalaga lalo na tandaan dito na wala silang tunay na mga ugat

Paano kinakalkula ang mga ugat? Basta!

Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng "kakila-kilabot" na salitang ito ay may napakasimpleng formula:

Ang root formula ay ang mga sumusunod:

*Kailangan mong malaman ang mga formula na ito sa puso.

Maaari mong agad na isulat at lutasin ang:

Halimbawa:

1. Kung D > 0, ang equation ay may dalawang ugat.

2. Kung D = 0, ang equation ay may isang ugat.

3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Tingnan natin ang equation:

Sa pamamagitan ng sa pagkakataong ito, kapag ang discriminant ay zero, ang kurso sa paaralan ay nagsasabi na ang resulta ay isang ugat, dito ito ay katumbas ng siyam. Tama ang lahat, ganoon nga, ngunit...

Ang ideyang ito ay medyo hindi tama. Sa katunayan, mayroong dalawang ugat. Oo, oo, huwag magulat, nakakakuha ka ng dalawang pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, kung gayon ang sagot ay dapat sumulat ng dalawang ugat:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ngunit ito ay kaya - isang maliit na digression. Sa paaralan maaari mong isulat ito at sabihin na mayroong isang ugat.

Ngayon ang susunod na halimbawa:

Tulad ng alam natin, ang ugat ng isang negatibong numero ay hindi maaaring kunin, kaya walang solusyon sa kasong ito.

Iyan ang buong proseso ng desisyon.

Quadratic function.

Ipinapakita nito kung ano ang hitsura ng solusyon sa geometriko. Napakahalagang maunawaan ito (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo ay susuriin namin nang detalyado ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat).

Ito ay isang function ng form:

kung saan ang x at y ay mga variable

a, b, c – ibinigay na mga numero, na may ≠ 0

Ang graph ay isang parabola:

Iyon ay, lumalabas na sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation na may "y" na katumbas ng zero, nakita natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may x axis. Maaaring may dalawa sa mga puntong ito (positibo ang discriminant), isa (zero ang discriminant) at wala (negatibo ang discriminant). Mga detalye tungkol sa quadratic function maaari kang tumingin artikulo ni Inna Feldman.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 1: Lutasin 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Sagot: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ito ay posible na agad na hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng 2, iyon ay, pasimplehin ito. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.

Halimbawa 2: Magpasya x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nalaman namin na x 1 = 11 at x 2 = 11

Ito ay pinahihintulutang isulat ang x = 11 sa sagot.

Sagot: x = 11

Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Ang discriminant ay negatibo, walang solusyon sa totoong mga numero.

Sagot: walang solusyon

Ang discriminant ay negatibo. May solusyon!

Dito ay pag-uusapan natin ang paglutas ng equation sa kaso kapag nakakuha ng negatibong diskriminasyon. May alam ka ba tungkol sa mga kumplikadong numero? Hindi ko na idedetalye dito ang tungkol sa kung bakit at saan sila lumitaw at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan sa matematika ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.

Isang maliit na teorya.

Ang complex number z ay isang numero ng form

z = a + bi

kung saan ang a at b ay tunay na mga numero, ang i ay ang tinatawag na imaginary unit.

a+bi – ito ay isang SINGLE NUMBER, hindi isang karagdagan.

Ang haka-haka na yunit ay katumbas ng ugat ng minus one:

Ngayon isaalang-alang ang equation:

Nakakakuha kami ng dalawang conjugate roots.

Hindi kumpletong quadratic equation.

Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang coefficient "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay katumbas ng zero). Madali silang malulutas nang walang anumang diskriminasyong isyu.

Case 1. Coefficient b = 0.

Ang equation ay nagiging:

I-convert natin:

Halimbawa:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Case 2. Coefficient c = 0.

Ang equation ay nagiging:

Ibahin natin at i-factor:

*Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero.

Halimbawa:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Case 3. Coefficients b = 0 at c = 0.

Dito ay malinaw na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x = 0.

Mga kapaki-pakinabang na katangian at pattern ng mga coefficient.

May mga katangian na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation na may malalaking coefficient.

Ax 2 + bx+ c=0 pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay

a + b+ c = 0, yun

- kung para sa mga coefficient ng equation Ax 2 + bx+ c=0 pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay

a+ c =b, yun

Ang mga katangiang ito ay tumutulong sa pagpapasya isang tiyak na uri mga equation

Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Ang kabuuan ng mga logro ay 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ibig sabihin

Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan a+ c =b, ibig sabihin

Regularidad ng mga coefficient.

1. Kung sa equation na ax 2 + bx + c = 0 ang coefficient "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient "c" ay numerical na katumbas ng coefficient "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Kung sa equation ax 2 – bx + c = 0 ang coefficient “b” ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient “c” ay numerically equal sa coefficient “a”, kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Kung sa Eq. ax 2 + bx – c = 0 koepisyent “b” ay katumbas ng (a 2 – 1), at coefficient “c” ay katumbas ng bilang sa coefficient na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Kung sa equation na ax 2 – bx – c = 0 ang coefficient “b” ay katumbas ng (a 2 – 1), at ang coefficient c ay numerical na katumbas ng coefficient “a”, kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.

palakol 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Ang teorama ni Vieta.

Ang theorem ni Vieta ay pinangalanan sa sikat na French mathematician na si Francois Vieta. Gamit ang teorama ni Vieta, maaari nating ipahayag ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang arbitrary na KU sa mga tuntunin ng mga coefficient nito.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sa kabuuan, ang bilang na 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ay mga ugat. Sa isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita na teorama, maaari mong malutas kaagad ang maraming mga quadratic equation.

Ang teorama ni Vieta, bilang karagdagan. ay maginhawa sa na pagkatapos malutas ang isang parisukat na equation sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng isang discriminant), ang mga resultang ugat ay maaaring masuri. Inirerekomenda kong gawin ito palagi.

PARAAN NG TRANSPORTASYON

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng termino, na parang "itinapon" dito, kaya naman tinawag itong paraan ng "paglipat". Ang paraang ito ay ginagamit kapag madali mong mahanap ang mga ugat ng equation gamit ang teorem ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Kung A± b+c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang pamamaraan ng paglipat, halimbawa:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Gamit ang theorem ni Vieta sa equation (2), madaling matukoy na x 1 = 10 x 2 = 1

Ang mga resultang ugat ng equation ay dapat nahahati sa 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha natin

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Ano ang katwiran? Tingnan mo ang nangyayari.

Ang mga diskriminasyon ng mga equation (1) at (2) ay pantay:

Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, makakakuha ka lamang ng iba't ibang mga denominador, at ang resulta ay tiyak na nakasalalay sa koepisyent ng x 2:

Ang pangalawa (binago) ay may mga ugat na 2 beses na mas malaki.

Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa 2.

*Kung i-reroll natin ang tatlo, hahatiin natin ang resulta sa 3, atbp.

Sagot: x 1 = 5 x 2 = 0.5

Sq. ur-ie at Pinag-isang State Examination.

Sasabihin ko sa iyo nang maikli ang tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT KAYONG MAGPASIYA nang mabilis at nang hindi nag-iisip, kailangan mong malaman ang mga pormula ng mga ugat at mga diskriminasyon sa puso. Maraming mga problema na kasama sa mga gawain ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri ay bumagsak sa paglutas ng isang quadratic equation (kasama ang mga geometriko).

Isang bagay na dapat tandaan!

1. Ang anyo ng pagsulat ng isang equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na entry:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Kailangan mong dalhin ito sa isang karaniwang form (upang hindi malito kapag nag-solve).

2. Tandaan na ang x ay isang hindi kilalang dami at maaari itong tukuyin ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.